20. yüzyılda bilimi sarsan düşünceler ve henri poincare

7/29/2019 20. yzylda bilimi sarsan dnceler ve henri poincare

1/25

1

20.Yzylda Bilimi Sarsan Dncelerve

Henri Poincar Bakent [email protected]

ZET19-uncu yzyln son eyreinden balayp 20-inci yzyln ortalarna kadar sren

dnemde bilime va matematie ciddi eletiriler yneltildi. Bu eletiriler, bilimi yadsmak iinyaplmad. Bilimin ne olduu ve gvenirliini konu ald. Bu tartmalar arasnda ahlk

bilimsel temellere oturtma hevesleri de oldu. Tabii, her zaman olduu gibi bilimi denetimaltna alma istekleri geri durmad. Bu yazda esas olarak bu konular hakknda byk Fransz

matematikiHenri Poincar nin baz dnceleri aklanacaktr.

Anahtar Szckler: Bilim, metafizik, din, ahlk.

Giri

Alt bin ylda insanolunun yaratt en byk dnce yapt olan matematiin temellerinin

ne olduu konusu, zellikle, 20-inci yzyln ilk yarsnda byk tartmalara neden olmutur.

Bu tartmalarda, hi biri tekine stn saylamayacak okul ortaya kt. Bu okullar ve

savlar ksaca yledir:

Sezgisellik: Matematik insan aklnn eseridir. Saylar, peri masallarndaki kahramanlar gibi

yalnzca akln yaratsdr. Eer insan akl olmasayd, onlar asla var olmayacaklard. Bu

grn en byk temsilcisi Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1882-1966) dir.

Formalizm: Matematik bir dildir, onun bir dilden ne fazlas ne de eksii vardr. Bu grn

temsilcisi saylan David Hilbert (1862-1943) e gre, matematik, basite, simgelerle oynanan

bir oyundur. Matematiin btn teoremleri, Formal Lojik kullanlarak Aksiyomatik KmelerKuramndan elde edilebilir.

Platonizm: Saylar, insan aklndan bamsz olarak var olmak zorunda olan soyut

varlklardr. Matematiksel varlklar hakkndaki dorular insan akl kefeder. Matematiin

temelleri aksiyomlar deil, matematiksel nesnelerin gerek dnyasdr. O nedenle tabiatn

kanunlar ile matematiin kanunlar ayn statdedir. Bu dncenin en nemli temsilcileri

Bertrand Russel ve Kurt Gdel (1906-1978) dir.


2/25

2

Bu okullara ve retmenlerine gemeden nce, bilimin eletirisine ksaca deinmek

gerekiyor. nk, okullar yaratan ey biraz da bu eletiridir.

Bilimin Eletirisi

Antik ada balayan dnce hareketleri olgunluk dnemine ulatnda, Hristiyanln

yaylmaya balamasyla birdenbire kesildi. nsan dncesinde oluan bu l ortam yeniden

doua (Rnesans 14.yy-17.yy) kadar srd. Bilindii gibi antik ada maddeyi inceleyen

yonyal filozoflara fizikiler ad verilmitir. Daha sonra Eleal filozoflarn veEflatunun

maddenin varlndan pheye dtklerini gryoruz. Onlara gre madde bir grnten

baka bir ey deildir. Rnesansla birlikte balayan dnce retimi felsefede olduu gibi

bilim hayatnda da byk gelimelere yol at. Antik ada felsefenin esas konularndan birisi

olan madde problemi fizik dalnda bilimsel yntemlerle yeniden ele alnd. Bu dnemin

fizii maddede olup biten her eyin matematiksel aklamasn yapmak istiyordu.

Descartesin takipileri olan mekanist fizikiler, maddeyi, uzayda bir yer kaplayan geometrik

bir cisim olarak grrken, Leibniz ve ewton maddeye dinamik bir anlam verdiler.

Mekanistler ile dinamistler arasndaki fikir ayrl kuvvet kavramnn ortaya kmasyla

ortak bir nokta yakalayabildiler.

Fizikteki yeni bulular tartmalara daima verimli boyutlar ekledi. Termodinamik bulgusu

ortaya knca, her eyi harekete indirgeyen klasik fiziin yetmezlii ortaya srld. Onun

yerine termodinamiin ilkelerini de iine alan enerji fizii kavramna girildi. 1824 ylnda

Carnot, termik makinalarda iin sya dntn ispatlad. 1847 ylnda Jules ve Mayer

snn ie edeer olduunu gsterdiler. Arkasndan enerjinin sakm yasas ortaya kt.

Tabii btn bu bulgularn ortaya k srecinde idealizm, realizm, materyalizm, sipiritualizm,

mekanizm ve dinamizm gibi terimlerle ifade edilen felsefi tartmalar hararetle srd. Butartmalar doal olarak u soruyu gndeme soktu:

-Bilimin syledikleri gvenli midir? Bilim bize maddenin kendisi hakknda gerek bilgiyi verebiliyor

mu? Eer fizik, eya hakknda gvenilir bilgiye sahip deilse, veya onun hakknda bir ey bilmiyorsa,

dine ve metafizie kap neden almasn?

Elbette bu kukuyu duyan gerek bilim adamlarndan ayr olarak, bu kukuyu yaymakta

kendileri iin fayda ve hatta zorunluluk gren inan kurumlar eksik deildi. Bilimi ve

bilimsel dnceyi cephe alan bu akm kesintisiz sregelmitir. Bilimin her eyi aklamaya


3/25

3

hibir zaman muktedir olamayacan savunarak, yaratl teorisini (aslnda bir teori deil)

toplumlarda egemen klan bu gr gnmzde postmodernizm ve akll tasarmc diye

adlandrlan grlerin savunucusudur.

Metafizik ve dinsel eilimlerin reel dnyay aklama konusundaki amazlar yannda, ada

teknolojinin insanlara sunduu kolaylk ve refah, her eye ramen, toplumlarda bilime olan

gveni giderek pekitirdi. lkeler bilim politikalar rettiler, eitimde bilimi ne koydular.

Bilim, artk, pragmatizmin yerini ald. Deney ve gzlem sonular teorilere dnmeye

balad. Pozitivist ya da maddeci esaslar aan bu anlay, ister istemez felsefeyi de etkiledi.

Metafizie ve inanlara kar koyan dnce akmlar g kazand. Laplaceden balayan bu

akm bu gn determinizm denilen ve matematik kesinlie dayanan bilimsel kuram ortaya

koydu. Tabii, bunun bir kar gr yaratmas kanlmazd. Bilimsel tanmlarn felsefiyorumunu yapan fizikiPierre Duhem, matematikiEduard Le Roy fiziin de matematik gibi

sembolik bir dil olduunu ileri srdler. Dolaysyla, eyann kalitesine taklmadan, nesneleri

daha ak, daha basit ve akln kavrayabilecei bir dil ile ifade etmek gerektiini ileri srdler.

Bu arayJohn Lockeun nesneleri birinci ve ikinci kalitedekiler snflamasna gidip dayand.

Bu anlaya gre, birinci kalitedeki nesneleri kendilerinden daha basit nesnelerle aklama

olana yoktur. Geometrik veya mekanik olaylarn sanal grnts olan bu nesneleri, biz,

duyularmzla ya da sezgilerimizle alglarz. kinci kalitedeki nesneler ise, birinci kalitedekileryardmyla aklanabilir.1 rnein, renk nesnesini (kavramn) birinci kalitedeki nesnelerle

aklayabiliriz. Bilimin, niceliklerin tesini gremediini kabul eden pozitivist ve mekanist

anlay, sonunda scientisme de karar kld.

Fizii, olaylar tasvir eden bir dil olarak kabul ettiimiz zaman, fizik bize olaylarn bir

tercmesini yapyor demektir. yleyse, tercmeler arasnda farkllklar ve hatt yanllklar

olmas doaldr. Dolaysyla, problemin asl, maddenin mahiyetini bilmeye, fiziksel dnyay

kavramaya ve fiziin eya hakknda bize verdii bilgilerin salamlndan phe etmeye

dayanmaktadr. Bunlar ise, dorudan doruya bilimin nesnel (objektif) deeriyle ilgilidir.

Bilime ve bilimin ortaya serdii doa yasalarna kar balatlan bu akm giderek bir uzla

noktasna eriti. O noktaya conventionalisme (uzlamclk) deniyor. Bu kavram biraz daha

amakta yarar olabilir. 18. ve 19. yzyllarda doa bilimlerindeki hzl gelimeler materyalist

akm ne kard. Fizik, kimya, biyoloji ve zellikle astronomide deerli bulgular elde edildi.

1Bu dncenin, Bertrand Russelin paradokstan saknmak iin Kmeler Kuramnda yapt snflandrmaya benzerliine

dikkat ediniz.


4/25

4

Bu gelime, evrensel bir mekanizm ve determinizm yasas olduu grne kadar uzand.

Laplace2, kendisine yeterli bilgilerin verilmesi halinde, 1000 yl sonra evrenin herhangi bir

yerinde ne olacan hesap edebileceini syledi. Hareketi temsil eden diferensiyel denklemin

analitik zmnn bulunmas ve snr koullarnn verilmesi halinde, yalnz 1000 yl

sonrasnn deil, 1000 yl ncesinin de hesaplanabileceini artk her matematiki bilir.

Ama bu gr ok tehlikeli grnmeye baland. Determinizm ilkesi yalnz fiziksel bilimlere

deil, gerekli veriler olduunda, sosyal bilimlere de uygulanabilir. zel olarak her toplum ve

her birey iin de bu geerli olmaldr. Buradan, toplumlarn ve bireylerin davranlarnn ve

akibetlerinin balangta tayin edildii gibi olaca sonucuna varlr. yle olunca, toplumlarn

geleneksel olarakgrev, liyakat, itaat esasna dayanan ahlki (etik) deerleri bir anda yok

olur. Bununla da kalmaz, insann akl abalarn bir yana itersek, determinizmi kaderci birzihniyete indirgemi oluruz. nk, kaderci gre indirgenen determinizmde bireyin

davranlar tamamen kaltmnn (irsiyet) etkisiyle belirlenecektir.

Bu kadar indirgenmi bir determinizm anlayna pek ok bilim adamnn ve filozofun kar

kmasndan daha doal ne olabilir? August Comte, bir yandan insann aratrmalarna snr

koymak isterken, te yandan bilimsel yntemlerle ahlak ve siyasi problemleri zeceine

inanyordu.

J.Lachelier(1832-1918), Kantn La Critique Du Judgement adl eserinden ald ilhamla

doa yasalarnn nedensellik (casualit) ilkesi kadar sonu (finalit) ilkesine de bal

olduunu savundu. Pozitivist determinizm denilen bu akm ciddi olarak eletiren bilim

adamlarnn ncs Emile Boutroux (1845-1921) saylr. Boutroux, Doa Yasalarnn

Olabilirlii adl tezinde maddeden hayata, hayattan bilince, aa realiteden stn realiteye

getike determinizmin alannn daraldn ve etkisinin azaldn savundu. Sonu olarak,

fizik lemde egemen olan determinizm matematik kesinlik tayan bir determinizm deildiryargsna vard. Onun balatt doa bilimlerini eletiri akm, 1890-1915 yllar arasnda

zirveye ulamtr. Bu akmn iki nemli nitelii vardr:

1. Bu akm dorudan doruya felsefeden kmamtr ve teknik grnme sahiptir.klityen olmayan geometrilerin varlndan yola kan akmn banda Henri

Poincar (1854-1912), Georg Cantor, Bertrand Russel, Pierre Duhem, Gaston

Milhaud (1858-1918), Edouard Le Roy vardr. Ancak, bu adlar kendi aralarnda da

2 Pierre-Simon (Marquis de) Laplace (1749 1827), Franszmatematiki ve gkbilimci.


5/25

5

ciddi tartma iindedirler. rnein, Poincar, Le Royun grlerini ok sert bir

dille eletirmitir.

2. Bilimlerin niteliini eletiren bu akm, bilimlerin deimez ilkelerini ortayakoymak peindedir. Dolaysyla, metafizik ya da dinsel akmlarn yapt

eletirilerle badatrlamazlar.

Antiscientisme diye adlandrlan bu akm, bilim kart bir akm deildir. O, bilimlerin

mahiyeti yannda akl da eletiriye tabi tutmu; bilimi, d dnyadaki varlklarla akln nesnel

ilikilerinin bir ifadesi olarak grmtr. Bylece, sanat, din ve ahlak alanlarn positivismein

ve scientismein kehanetlerinin igalinden kurtarp, insann zgrlne geni bir kap

amay hedefledii sylenmelidir. Geni bir erevede conventionalisme adn alan bu akmnbaz temsilcilerinin grlerine yer vermek, konuyu daha iyi aydnlatacaktr.

Arthur Hannequine

Blnemez olan eyden srekliyi (continue), hareketi ve reeli karakterize eden nitelikler

karlamaz. O nedenle Gay Lussac gibi fizik yasalar yaklak ifadelerdir, kesinlik ifade

etmezler.

Louis Weber

dealizmi modern metafizik olarak niteledi. Deneyden gelen kesinlikten baka bir kesinlik

kabul etmeyen bir bilimin, mutlak idealizmde ok salam bir gvence bulduunu ileri

srerek, nesne yerine fikir (ide), veri yerine olguyu koymak ister.

Joseph Wilbois

Bir kuramn hem bir dil hem bir gr as olduunu savunmu, her deneyin dnlebilir

hale gelmesi iin idrakin yerini alan bir semboln keyfi seiminden ibaret olduunu ileri

srmtr.

Gaston Milhaud

Bilimlerde matematiksel kesinlik, aklkla hesabedilen zihinsel yaratmalarn deney

verilerinin yerine gemesiyle oluur. Bu zihinsel yaratmalarla reel arasnda edeerlik

kurulamaz. Dolaysyla, bilimler nesnel olarak kazandklarn kesinlik uruna yitirirler. Zira,


6/25

6

bilimde, deney verisini aan bir ey mevcuttur. Kesin belirginlii (determination) isteyen

determinizm, reel ilikilerde asla mevcut deildir. yleyse, bilim, Bacon ve Comtun

sandklar gibi d dnyaya ait ilikilerin pasif bir kaydndan ibaret deildir. Aksine, o, zihnin

bir eseridir. Kendisine zorunsuzluu ve evrensellii veren yaratc bir zgrlk gereklidir.

Bilim ussaldr (akli), reelin bir kopyas deildir; reelin ve zihnin ortak eseridir.

Pierre Duhem (1861-1916)

Dneminin tannm bir fiziki ve matematikisi olan Duhem bilimleri eletiren akmn

dikkate deer temsilcilerinden birisidir. Cevheri ve maddeyi anlamsz sayarak enerjiyi ne

karmtr. Bilimsel kavramlar ile metafizik kavramlar badatrmaya urat. Duheme gre

fizik yasalar sembolik ilikilerdir. Bir fizik yasas ne doru ne de yanltr, yaklaktr,

tahminidir, geicidir. O nedenle fizik, matematiin dilini kullanmasna ramen onun gibi

yanlmaz deildir, mutlak gerekleri tanmaz. Fizik yasalar bu gn bizi tatmin etse bile, yarn

gelecek kuaklar tatmin etmeyecektir. Gzlenebilen olaylardan ve deneylerden teorilere

geite zihnin yapt ii bir tercme olarak yorumluyor ve diyor ki Olabildiince salt

matematik ve kavramc olan bu tercme iin harcanan aba baarl olamasa bile, daima

meru ve zaruri olacaktr. Bilimin deerini inkr eder grnen bu dnceleri onu bilimsel

phecilikten alp bilimsel nominalizme gtrmtr. Le Roy ile benzer grleri paylaan

Duhemin bilimsel nominalizmi u iki hususa dayanr:

1. Olguyu yaratan bilim adamdr. Her olgu kanunlarn iindedir. Dolaysyla biliminnesnelliini gsterecek ham olgular tanmlamak olanakszdr.

2. Olgu yaratma ii itibaridir (conventional). Ne doru ne de yanltr. Ama o, biraksiyon kuralna indirgenebilir.

Geometri

Euclides (klit, M.. 300)

Kendi adyla anlan geometrinin kurucusudur. Elementler adyla yazd 11 ciltlik eser,

insanla braklan en byk miraslardan birisidir.


7/25

7

ikolai Lobachevsky (1792-1856)

klitin 5-inci postulat, bir doruya dndaki bir noktadan bir ve yalnzca bir paralel izilir

der. Lobachevsky bu postulat yadsyan bir geometri kurdu. 1826 ylnda duyurusunu yapt

bu almas UMA da 1829-30 yl saysnda yaynland. A concise outline of the foundations

of geometry adyla yazd makalesi St.Petersburg Bilim Akademisi tarafndan red edildi.

MakaleKazan Messenger de yaynland.

Lobachevskynin devrim yaratan bu buluuna hiperbolik geometri diyoruz. Bu geometri,

klit geometrisinin 5-inci postulat dndaki postulatlar aynen kabul eder. 5-inci postulat

yerine

Bir doruya dndaki bir noktadan birden ok paralel izilebilir.

postulatn koyar. Sonu olarak, bu geometride bir genin i alar toplam 180 dereceden

kk olur. Hiperbolik geometrinin kurucusunun kim olduu hakknda speklatif grler

vardr. Gauss ve Bolyai adlar geer. Gaussun bu konuyu dnd biliniyor. Ama

grlerini asla yaynlamad. Bolyai ile Lobachevskynin e zamanl ama birbirlerinden

habersiz konuyu altklar biliniyor. Ama ilk duyuruyu yapan kii Lobachevsky olduuna

gre, bu geometriye onun adnn verilmesi doaldr.

Janos Bolyai (1802-1860)

nl Macar matematiki Farkas Bolyainin oludur. Henz 13 yandayken calculus ve

analitik mekanik alannda ustalamt. Daha sonralar klitin 5-inci postlatn uzun yllar

boyunca bir saplant halinde dnmeye balad. O kadar ki, babas ona yalvarrm bu

takntdan vazge. Nefsinle ilgili bu tutkuyu at ve saln koru. diyecektir. Ama o

almalarn srdrr ve 5-inci postulatn teki postlatlardan bamsz olduunu bulur veklityen olmayan geometrilerin kurulabilecei sonucuna varr. Lobachevskyden habersiz

olarak hiperbolik geometriyi ina eder. Babasna tuhaf bir geometri kurduunu yazar. Janos

Bolyainin buluu 1832 ylnda babas tarafndan yazlan bir ders kitabna ek (appendix)

olarak konulur. Gauss bu makaleyi okuyunca, Bu gen matematikiyi birinci snf

geometrici olarak gryorum der. Lobachevskynin ayn ii yaptn ancak 1848 ylnda

renir. kisi e zamanl olarak birbirlerinden habersiz olarak klityen olmayan geometriyi

ina etmi olmalarna karn, ilk yayn Lobachevsky yapmtr.


8/25

8

talyan matematiki Beltrami (1835-1899) Lobachevsky geometrisinin her terimini dikkatle

klit geometrisinin bir terimine dntrd. Bylece Lobachevsky geometrisinin klit

geometrisine bir tr tercmesini yapm oldu. Bu eylem, Lobachevsky geometrisinin klit

geometrisine gre tutarl olduu anlamna geliyor.

Poincarenin Farkl Geometriler Hakkndaki Gr:

Immanuel Kant (1724-1804 ), uzayn gerek yapsnn apriori olarak bilindii grndeydi.

klityen olmayan geometrilerin kuruluu Kantn bu grn rtt. Poincare, diferensiyel

denklem zmleri yaplrken, aslnda klityen olmayan geometrilerin kullandn syler.

Baz geometrik problemleri Lobachevsky geometrisinde, klit geometrisinde olduundan

daha kolay zdn fark eder. Beltraminin yapt ii de dikkate alarak, Poincargeometriler hakknda u gre varr:

1. klityen olmayan geometriler de klityen geometrinin sahip olduu mantksal vemeru matematiksel zeliklere sahiptir.

2. Btn geometrik sistemler edeerdir. Dolaysyla hibir aksiyom sistemi dorugeometriyi kendisinin ina ettiini syleyemez.

3. Geometrinin aksiyomlar ne sentetiktir, ne analitiktir ne de aprioridir. Onlar klkdeitirmi tanmlardr veya uzlamlar (convention) dr.

Poincareye gre btn geometriler uzayn ayn zeliklerini inceler, ama her birisi kendi dilini

kullanr. Kullandklar dili belirleyen ey onlar belirleyen aksiyomlardr. Bu nedenle, bir

geometri baka bir geometriye dntrlebilir (translate). Hangi geometriyi kullanmamz

gerektii hakknda basit bir kural iletiriz: Ekonomi ve basitlik. Bu nedenledir ki ounlukla

klit geometrisini kullanrz; nk yakn evremizde yaptmz iler iin o en basitidir.

Ancak, Albert Einstein grelilik kuram iin klityen olmayan geometri kullanmtr. nkyapmak istedii i iin o geometride daha kolay kullanlyordu. Tabii, Poincar ile ayn

grte olmayp, Einsteinin uzayn klityen olmadn kefettiini syleyenler de vardr.

Georg Friedrich Bernhard Riemann (1826-1866)

klitin 5-inci postulatnPlayfairin uyarlamasyla ifade edelim.


9/25

9

ki boyutlu bir dzlemde birddorusu ile doru zerinde olmayan birAnoktas verilsin.

klit Geometrisi:Anoktasndan geen ve d dorusuyla kesimeyen bir ve yalnzca bird

dorusu vardr (d // d).

Hiperbolik Geometri: Anoktasndan geen ve d dorusuyla kesimeyen birden ok

(sonsuz) doru vardr. (Lobachevsky, Bolyai)

Eliptik Geometri:Anoktasndan geen ve d dorusuyla kesimeyen hibir doru yoktur.

1854 ylndaRiemann btn bu geometrileri iine alan ok daha genel bir geometri kurdu.

Kmeler Kuram ve Sonsuzluk

Doal diller, kukusuz bir eylerin topluluklarn kavram olarak biliyor ve yerinde

kullanyordu. Matematikiler de sonsuz kk ve sonsuz byk kavramlarn kullanarak

analiz dediimiz harika arac yaratmlard. Analizi kullanan fizik, doa olaylarn bir bir

aklamaya balamt. Her ey yolunda gidiyordu. Ama, geen yzyla girilirken Alman

matematiki Georg Cantor (1845-1918) kme kavramn ortaya att. Ona dayal yeni bir

potansiyel sonsuz kavram dodu. Bu kavramlar matematikte bir devrim yaratt. Her

devrim, kurulu dzende bir karmaa yaratr. Matematikte de bu olgu kanlmaz olarakgerekleti; beklenmedik ve istenmedik bir zamanda byk bir karmaa dodu.

Doan karmaay aklamak iin imdi hepimizin iyi bildiiN={0,1,2,3,} doal saylar

kmesinden balayalm ve Cantorun yaptklarn anmsayalm: Cantor

1 , 2 , 3 ,

saylarna ile gsterdii (bir) sonsuz sayy ekledi:

1 , 2 , 3 , ,


10/25

10

Burada durmas iin bir nedeni yoktu. Say eklemeyi srd:

1 , 2 , 3 , , ,+1 , +2 , +3 , ...

Bu biimde say ekleme iini 2ya kadar gtrd:

1 , 2 , 3 , , , ... , 2

Say ekleme iine kendisini iyice kaptran Cantor, eylemini inatla srdrerek, srayla, u kmeleri elde etti:

1 , 2 , 3 , , , ... , 2 , 2+1 , 2+2 , 2+3 , ...

1 , 2 , 3 , , ,... , 2 , ... , 3 , ... , 4 , ...

1 , 2 , 3 , , , ... , 2

, ... , 3

, ... , 4

, ... , 5

, ...

1 , 2 , 3 , , , ... , 2

, ... , 3

, ... , 4

, ... ,

1 , 2 , 3 , , , ... , 2 , ... , 3 , ... , 4 , ... , , ... , , ... , , ...

1 , 2 , 3 , , ...

1 , 2 , 3 , , ((()

)...

Sonunda ulat (sonlu tesi) saylar, analizin bildii sonsuz say kavramn ve bazlarnn

hayal snrlarn ok ok ayordu. Matematikiler nceleri buna pek aldr etmediler. Ama

giderek iin vehametini anladlar. Temel sarslyordu. Dnyann en akll adamlar arasnda,

yani matematikiler arasnda byk bir tartma balad. Kimileri Cantorun sylediklerinin

gerekle ilgisi olmad, kafa yormaya demeyecek kurgular (fanteziler) olduu

grndeydi. Kimileri ise bu gibi eylerin matematikilerin deil, teolojistlerin dnecei

samalklar olduunu savundu. En radikal kiiler ise, Cantorun bir tmarhaneye kapatlarak


11/25

11

ortaya kan sorunun yokedilmesi gerektii grndeydi. yle de oldu. Cantor son yllarn

akl hastanesinde geirdi. Ama sorunlar zlmedi. Cantorun ortaya att kmeler kuram,

matematikte yepyeni bir r at. r demek az, tam anlamyla bir devrim yaratt! Bundan

sonra matematiin temelleri kmeler zerine kurulmalyd!..

Aritmetiin Temelleri

BirMmatematik sisteminde iki nitelik ararz.

1. Tamlk (completeness): indeki her teorem kantlanabiliyorsa sistem tamdr. Bakabir deyile, sistemdeki herp nermesi iin ya p dorudur ya da p yanltr

teoremlerinden biri kantlanabiliyorsa M sistemi tamdr.

2. Tutarllk (elikisizlik, consistency): Msistemindeki herp nermesi iin ya pdorudur ya da p yanltr teoremlerinden ancak birisi geerliyse M sistemi

tutarl, her ikisi ayn anda varsa M sistemi tutarszdr.

Sezgisellik (intuitionism)

Luitzen Egbertus Jan Brouwer (1881-1966)

Matematii sezgisel olarak kurmay amalayan sezgisellik okulu esas olarak Brouwer in

ortaya koyduu sistemdir. Cantorun kmeler kuramna dayal yapy iddetle yadsrken,

Russellin usbilimselliine de kar durur. Tartma, akl oyunlarnn sergilendii grkemlibir tiyatroya dnr. Sergilenen oyuna seyirciler de katlr Poincare matematiin

temellerini varsaymlara (sezgisel uzlamlara) dayamak isterken, Kronecker teolojiye

snyordu. Ama bu akmn en nemli ad Poincar dir.

Henri Poincar

27 yanda Fransz Bilimler Akademisine aday gsterilen byk bir matematiki, fiziki ve

astronomdur. Russela gre o, Fransann yetitirdii en byk insandr. Bilim ve Hipotez,adl eserlerinde her bilimin hipotezle yaadn, Bilimin Deeri adl eserinde ise


12/25

12

hipotezlerin bilimin deerinden hibir ey kaybettirmediini savundu. Ona gre, matematiin

ilkeleri, yasalar ve fizik kuramlar geni bir convention (uzlama) payna sahiptir. Neden o

conventiona deil de bu conventiona bavuruyoruz sorusuna nk bu daha uygundur

yantn vererek conventionalisme doktrininin esas savunucusu ve hatt kurucusu roln

stleniyor. Kukusuz conventionu yaratan ey sezgidir.

lgin saylacak bir gr, matematiin yalnzca bir tmdengelim (deductive) bilim olmayp

tmevarm (inductive) bilim olduunu ortaya koymasdr. O, 19.yzyln son eyreinde hz

kazanan bilimlerin eletirisini matematie uygulam en nemli kiidir. Fizikte tmevarmn

pekinsiz olduunu, nk o ilkenin evrenin genel bir dzene sahip olduu inancna

dayandn syler. Bu grten hareketle, matematikteki tmevarm eletiriye tabi tutar. in

zyle ilgili olduu iin Poincarnin verdii rnekleri ele almak yararl olacaktr.

Poincar nin atklar Konusundaki Gr:

Poincar nin, sonsuz bir kme zerinde klsik mantn kurallarnn geerli olup olmad

konusunu aklamak iin, kendisinin setii rnekleri aktarmak istiyoruz. Antik alardan

beri, sonsuz kavramnn mantkta atk yaratt iyi bilinir. Bunlar arasnda, Zenonun

kaplumbaasna eriemeyen hzl koucu Achilles, hedefe asla varamayan ok gibi rnekler,

sonsuz seriler ortaya knca kolayca zld. Ama, bazlar asla zlemedi. O dnemin iyi

matematikileri gibi, Poincar de atky yaratan nedeni arad. Acaba atky yaratan ey,

mantk kurallarnn iyi uygulanmayndan m, yoksa mantk kurallarnn sonsuz kmelere

uygulanabilir olmayndan m kaynaklanyordu?

Konuya klsik mantn tasm (kyas) ynteminin ne olduunu aklayan basit bir rnekle

balyor. Formal mantk her snflamada ortak zeliklere sahip olanlarn incelenmesindenbaka bir ey deildir diyor ve u rnei veriyor: Ayn alaya mensup iki askerin, tasm

yntemiyle ayn tugaya ait olduklarn syleriz. Gene ayn kuralla bu iki askerin ayn tmene

ait olduklarn syleriz. Bu akl yrtmeyi yapabilmemiz iin gerekli koul nedir? Kabul

edilen snflamann kesin belirli ve deimez oluudur. Akl yrtme srecinde, iki askerden

birisinin baka bir alaya nakledilmesi halinde vardmz yarg yanl olacaktr.


13/25

13

Poincar ye gre, ortaya konan rneklerin hepsinde atky yaratan neden bu basit kurala

uyulmamasdr. Bu iddiasn, Russelin kmeler kuramnda oluan atklara (paradox)

gsterdii aadaki rnek zerinde aklyor.

Trke dilinde 100 kelimeden daha az kelimeyle ifade edilemeyen doal saylarn en k

var mdr? (Elbette soruda Trke yerine baka bir dil 100 yerine baka bir say konulabilir.)

stenen say hem var hem yoktur:

Bu tr atklarda izlenen genel yntemi izleyelim. Btn doal saylar kmesini 100

kelimeden daha az bir cmle ile ifade edilemeyenler ve edilenler diye ikiye ayralm.

Edilemeyenler kmesine A, edilebilenlere A diyelim.

Trkede kelimelerin says sonlu olduu iin, en ok 100 kelimeyle kurulabilecek

cmlelerden oluan kme sonludur. Bu kme iinde anlamsz olanlar, veya bir doal sayy

ifade etmeyenler de var olacaktr. Btn o cmleleri atarsak, geriye kalanA kmesinde en ok

yz kelimelik bir cmle ile ifade edilebilen doal saylar kalacaktr. Bunlarn saysnn sonlu

olaca apaktr.A ve A kmelerindeki her birx saysn belirleyen birp(x) cmlesi vardr.

Tabii, aA iin p(x) cmlesix saysn en ok 100 kelimeyle ifade eden bir cmledir. Benzer

olarak, aA iinp(x) ise x saysn en ok 100 kelimeyle ifade edemeyen bir cmledir. Budurumda doal saylar kmesi olmak zere

A = {x | p(x) } , A = {x | p(x) } , =A A , A A=

yazabiliriz. doal saylar kmesi sonsuz ve iyi sral bir kmedir. SonluA kmesinin doal

saylardaki tmleyeni olduu iin A kmesi sonsuz bir kmedir. O halde bo deildir. yi

sralanm bir kmenin her alt kmesi de iyi sral olduundan A kmesi iyi sraldr,

dolaysyla en kk esi vardr. Buna a diyelim. aA olduu iin, a says 100

kelimeden az bir cmleyle ifade edilemeyen bir saydr. Demek ki p(a) ifadesi (nermesi) a

saysn 100 den az kelimeyle ifade edemeyen bir cmledir. te yandan, a says 100

kelimeden az kelimeyle ifade edilemeyen saylardan oluan A kmesinin en kdr. O

halde a says istenen saydr. Bu sayy aadaki yeni cmle ile ifade edebiliriz:

a says 100 kelimeden az bir cmle ile ifade edilemeyen saylardan oluan A

kmesinin en kdr.


14/25

14

Bu cmle 100 kelimeden azdr. O halde aA olacaktr. Oysa aA idi.Bu bir atkdr

(paradox).

Poincar bu atky yaratan nedeni yle aklyor. Doal saylar, 100 kelimeden az bir

cmle ile ifade edilemeyenler ve edilebilenler diye iki kategoriye ayrdk. Bu ayrmann kesin

ve deimez olduunu varsayarak ie balyoruz. Oysa bu mmkn deildir. Balangta, 100

den az kelimeyle kurulabilen btn cmleleri listeleyip, onlarn iinden anlamsz olanlar ve

bir doal say ifade etmeyenleri attktan sonra geri kalan A kmesinin kesin belirli ve

deimez olduunu varsaydk. Bu ii yaparken A kmesini ve dolaysyla onun en kk

esini hesaba katmadk. Doal saylar iki kategoriye ayrdktan sonra, tasm srasnda A

kategorisinden A kategorisine gei olmaktadr. Daha akas, tasmn her admnda Ann

en kk esi A kmesine gemektedir. Bu gei eylemi, ard arda sonsuz kez

tekrarlanabilir. Dolaysyla hibir admdaA kmesini kesin ve deimez klamayz.

Poicar, sonsuz koleksiyonlar ele alndnda benzer problemle daha ok karlalacan

vurgulayarak, snflandrmalarpredicative ve nonpredicative diye ikiye ayryor. Predicative

olan ve olmayan snflamalara rnek olsun diye aadaki iki rnei seiyor.

rnek 1 (predicative snflandrma):

Doal saylar 10 dan kk olanlar ve olmayanlar diye iki snfa ayralm. 10 dan kk

olanlara A, olmayanlara A diyelim. Rasgele seeceimiz doal saylar ait olduklar

kmelere gnderelim. Rasgele 100 doal say seelim. Bu saylarn her birisinin A kmesine

mi, yoksa A kmesine mi ait olduu kolayca belirlenir ve ilgili kmeye gnderilebilirler.

Daha sonra 101 inci, 102 inci, gibi yeni saylar geldike hangi kmeye ait olduklar

belirlenip ilgili yere gnderilebilir. Bu ekilde, rasgele seilip gnderilen saylarn

katlmasylaA veA

kmeleri deimez. Dolaysyla bu snflandrmapredicativedir.

rnek 2 (nonpredicative snflandrma):

Gene doal saylar dnelim. Bir doal say bir ok cmle ile ifade edilebilir. Ayn sayy

ifade eden cmleleri bir ekmeceye koyalm. Ayn ekmecede olan cmleleri szlk

sralamasna koyalm. lgili doal sayy temsil etmek zere, ekmecedeki sralamaya gre ilk

cmleyi seelim. Bu ilk cmle bir sesli harfle bitiyorsa, temsil ettii sayy A kmesine, bir

sessiz harfle bitiyorsaA

kmesine koyalm. Bylece doal saylar iki snfa ayrm oluruz.


15/25

15

Bu snflandrma yapldktan sonra, daha nce ortada olmayan yeni cmlelerle doal say

ifadeleri kurulabilir. rnein,

27 inci ekmecedeki saylarn en k,

99 uncu ekmecedeki ikinci en kk say,17 inci ekmecedeki sralamada 5 inci olan say,

Rasgele seilecek 10 ekmecenin belirledii saylarn en by

gibi cmlelerin her birisi bir doal sayy ifade eder. Bu cmleler belirlenen kurala gre ilgili

ekmecelere gidecektir. Gittikleri ekmecede szlk sralamasn deitireceklerdir. Her hangi

bir ekmecelerdeki yeni szlk sralamasnda ilk cmlenin deimesi olasl vardr. lk

cmle deiince, sessiz harfle bitenin sesli harfle bitiyor olmas veya tam aksinin olmas

mmkndr. Hatt byle olacak ekilde cmle kurulabilir. O zaman A kmesine say

gnderen ekmece A kmesine gnderiyor veya bunun tam aksi oluyor olacaktr. Bu

demektir ki, A ve A kmeleri hibir zaman belirli (sabit) klnamaz. Doal say belirleyen

yeni cmleler geldike, A ve Akmeleri deiecektir. Bu snflandrma nonpredicative bir

snflandrmadr.

Poincar nin Peano Aksiyomlar Hakkndaki Gr:

Gotlab Frege ve Bertrand Russel matematiin btn deyimlerinin mantk deyimleriyle ifade

edilebileceini, dolaysyla matematiin, mantn bir alt dal olduunu ileri srmlerdi.

Poincar bu gre kar duruyor ve Brouver gibi matematiin temellerini sezgiye

dayandrmak istiyordu. Ona gre, bir matematiksel varln tanm, o varln asli zeliklerini

ortaya koymaz, yalnzca o varl ina eder. Baka bir deyile, meru bir matematiksel tanm

kendi nesnesini yaratr ve varln salar. Aritmetik analitik deil, bireimsel (sentetik) birbilimdir; onun nesneleri insan dncesinden bamsz olamaz.

Bilindii gibi, say kmelerinin kuruluu doak saylara ve o kmeler zerindeki aritmetik

doal saylar zerindeki aritmetie dayaldr. Dolaysyla, aritmetiin temellerini aratran her

eylem doal saylarn varlna dayanr. Doal saylarn varl Giuseppe Peano (1858-1932)

tarafndan ortaya konuldu. Peano Aksiyomlar diye adlandrlan be aksiyom unlardr:

1.

0 bir doal saydr.2. 0 baka bir doal saynn ard deildir.


16/25

16

3. Her doal saynn bir doal say ard vardr.4. Ardklar eit olan iki doal say birbirine eittir.5. Tmevarmn Tamlk lkesi (Complete Induction Principle)

Hipotez:

a. 0 doal says birp zeliine sahipse,b. A dan kk doal saylarp zeliine sahipse,

Hkm: Her doal say p zeliine sahiptir.

Russela gre Peano aksiyomlar doal saylarn varln ortaya koyan tutarl ve kesin (rtk,

implicit) bir tanmdr.Poincar bu gre kar durdu. Ona gre, bu aksiyomlar salayan birnesnenin varl ispat edilmeden Peano aksiyomlarnn tutarl olduu sylenemez. Daha genel

olarak, bir aksiyom sisteminin kesin (implicit) tanm saylabilmesi iin sz konusu

aksiyomlarn hepsini salayan bir nesnenin varlnn gsterilmesi gerekir. Peano aksiyomlar

iin bunu yapmak ok zordur. nk, beinci aksiyom sonsuz kez yineleniyor. Bir nesnenin

Peano aksiyomlarn saladn test ederek son adma ulamak mmkn deildir. Bu

durumda bir tek yol kalyor.

Bir usavurmada (inference) ncller (premise) mantn aksiyomlar ile tutarl iseler,

varlan yarg (hkm, consequence) da yle olacaktr.

kuraln kullanmak. Peki bu mantk kuraln sonsuz kez ard arda altrabilir miyiz? Baka bir

deyile, n usavurutan sonra bir eliki domuyorsa n+1 inci usavuruta da domayacaktr

diyebilir miyiz? Bunu dediimizde tmevarm (induction) mantk iin kabul etmi oluyoruz.

Bu bir ksr dngdr (facit daire). Peano aksiyomlarnn tutarlln ispat etmek iin Peano

aksiyomlarn kullanyor olacaz.3

Poincar buradan u sonuca varyor. Peano aksiyomlarnn tutarlln facit daireye

dmeden, mantk kurallaryla gsteremediimiz srece, tmevarm ilkesini mantk

kurallaryla ispat etmi olmayz. Bu demektir ki, tmevarm ilkesi analitik deil, sentetiktir.

Aritmetik manta indirgenemez. nk mantk analitiktir, aritmetik sentetiktir.

3Peano aksiyomlarnn tutarll ancak 1936 ylnda Gerhard Gentzen tarafndan ispatlanabildi. Ne var ki, Gentzenin ispat

sonlu tesi tmevarm kullanyor. Ayn dnle sonlu tesi tmevarmn tutarll da ispata muhtatr.


17/25

17

Aritmetiin sentetik karakterini baka rneklerle de grebiliriz. Matematiktesalama ve ispat

farkl iki olgudur. Salama eylemi bir mekanik bir ilemdir. Ama ispat eylemi dourgandr.

rnein, 2 + 2 = 4 ileminin doruluu, toplamn tanm kullanlarak mantk kurallaryla

salanabilir. Dorudan salamas yaplabilen analitik bir ifadedir. Buna karn,

Herx ve hery iin x + y = y + x (*)

ifadesi dorudan salanamaz. Elbette rasgele a ve b saylar verildiinde a + b = b + a

eitliini salayabiliriz. Ama sonsuz sayda a,b eleri vardr. Her say ifti iin salama

yaparak salamay bitiremeyiz. O halde, (*) eitliini seilecek bir e ifti iin salamak

analitik bir itir ve mantk kurallaryla yaplabilir. Ama sz konusu eitliin her e ifti iin

varln mantk kurallaryla gstermek mmkn deildir; ifade sentetiktir.

Poincar nin iaret ettii baka nemli bir konu sezgi ile mantn matematikteki farkl

rolleridir. Formal mantn metotlar basit ve kesindir. Onlara gveniriz. Ama mantk, bir

ispatn nasl olacan bize syleyemez. Bu noktada sezgi devreye girer. Sezgimiz bize ispat

nasl kurgulayacamz syler. Bunu aklamak iin u rnei veriyor. Usta iki santray

izleyen acemi bir satran, oyuncularn yaptklar hamlelerin satran kurallarna uyup

uymadn salayabilir (anlayabilir). Ama oyuncularn hangi ta neden yle oynadklarn

bilemez. nk oyuncunun izledii oyun plann bilemez. Benzer ekilde, bir matematiki bir

ispatta geen her usavurmay (karm) mantk kurallaryla salayabilir. Ama orijinal ispat

bulamaz. Baka trl sylersek, bir ispattaki her usavurmann doruluu mantk kurallaryla

salanabilir. Ancak ispatn kurgulanmas sezgiyle olur.

Matematiin temellerinin kuruluunda sezgi nemli ve inkr edilemez rol oynar.

Matematiksel bir tanm, tanmlanan enin zne ait bilgileri vermez; yalnzca o enin

kuruluunu yapar. Baka bir deyile, matematiksel bir tanm tanmlad eyi yaratr ve onun

varln salar. Aritmetik bireimsel (synthetic) bir bilimdir, onun nesneleri insan

dncesinden bamsz deildir.

Usbilimsellik (Logisizm Russel Okulu)


18/25

18

Henz ilkokula balamadan rendiimiz aritmetiin temellerini kurmak iin matematikiler

olaanst aba harcadlar. Bunlar arasnda en nemlileri sralayacaz.

Gotlab Frege (1848-1925)

Alman matematiki, mantk ve filozof. Bu alanda alanlarn en gayretlisi ve ncsdr.

Gotlab Frege iyi bir mantkdr. Matematiin yasalarnn mantn yasalarndan

karlabileceini savunmutur. Bilindii gibi Russel da ayn grtedir. 1879 ylnda

yaynlad Begriffsschrift adl eserinde kurgulad ikinci basamaktan predicate calculus ile

matematiksel tanmlar yapt ve teoremler ispatlad.

1893-1903 yllar arasnda hazrlad Grundgesetze der Arithmetikadl eserinde aritmetiin

temellerini manta dayandrmak istedi. Mevcut aksiyomlara V.Temel Yasa adyla bir

aksiyom daha ekledi.Dedekind / Peano belitlerini ikinci basamak logic kurallaryla ispatlad.

Buna dayanarak aritmetiin temel teoremlerini elde etti. O zamanlar matematik kitaplarn

yaynlamak zor ve pahal bir iti. Frege, kendi parasyla birinci cildi yaynlad. kinci cilt

baskda iken Bertrand Russeldan ksa bir mektup ald. Russel V.Temel Yasann atk

yarattn, dolaysyla o yasann ve o yasaya dayal olarak karlan btn sonularn logic

asndan yok hkmnde olduunu sylyordu. Freg, hayatnn en verimli 10 yln harcad

teorisinin ktn anlamt. Byk bir olgunlukla, Russelin mektubunu ikinci cildin

sonuna ek olarak koydu. Bu gn, V.Temel Yasa olmakszn Fregein ispatlarnn geerli

olduunu syleyen mantklar vardr.

Bertrand Russel (1872-1970)

Matematie sonsuz kavramnn giriiyle birlikte atklar (paradox) ortaya kmaya balad.

Btn kmelerin kmesi kavramnn atk yaratt 1903 ylnda Russel tarafndan ortaya

kondu. Sonra bu kavram daha popler biimlerde ifade eden uyarlamalar yaygnlat. Onlar

arasnda ok bilinen birisi berber atksdr. Bir kasabann berberi, o kasabada kendini

tra etmeyen herkesi tra edermi, kendini tra edenleriyse tra etmezmi. Acaba bu berber

kendini tra eder mi? Kendini tra etmezse, kendini tra etmeyen herkesi tra ettiinden,

kendini tra etmeli. Kendini tra ederse, kendini tra edenleri tra etmediinden, kendini tra

etmemeli. Sokaktaki birisi, berberin kendini tra edip etmemesinden bana ne! diyebilir.

Ama bu atklarn birer oyun, birer bilmece olmayp, matematiin temellerini derinden

sarsan stn dnceler olduunu matematikiler endieyle kavramlard.


19/25

19

Principia Mathematica: Russel ve Whitehead matematiin temellerinde oluan sarsnty

grmek ve sylemekle yetinmediler. Matematikte doan elikiyi yokedecek yntem

aradlar. Srasyla 1910, 1912 ve 1913 yllarnda yaymlanan ciltlik Principia

Mathematica da btn matematiin usbilimsellie (logicism) indirgenebileceini

savundular. Tezlerini iki blme ayrabiliriz. Birincisi, btn matematiksel dorular

usbilimsel dorulara (logical truths) dntrlebilir. Baka bir deyile, matematiksel

deyimler usbilimsel deyimlerin bir alt kmesidir. kincisi, btn matematiksel kant (proof)

yntemleri usbilimsel kant yntemleriyle ifade edilebilir. Baka bir deyile, matematiksel

teoremler usbilimsel teoremlerin bir alt kmesidir. Russellin szleriyle zetlersek, btn

(pure) matematiin usbilimsel kurallarla elde edilebileceini gstermek usbilimcinin iidir.

yleyse, matematik usbilimdir, matematiki de usbilimcidir. Principia Mathematica modern

matematiksel usbilimin domasna neden olmutur. lk yaym paraszlk yznden geciken

Principia Mathematica, Aristotle'in Organon adl nl yaptndan sonra, usbilim alannda

yazlm en nemli yapt olarak kabul edilir.

Biimsellik (formalism Hilbert Okulu)

David Hilbert (1862-1943), akl oyunlarnn son perdesini indirmek istedi. Adna Kant

Kuram (Proof Theory) dedii biimsel bir matematik dili gelitirdi (1927). Ona gre sezgisel

matematik yaparken konutuumuz dil, duygularmz, zne (madde) geleneksel karm

yntemlerimize dardan etki etmektedir. D etkileri yoketmek iin bir matematik dili,

yapay bir dil oluturdu. Yedi ana grupta toplad 17 forml ile matematik teoremlerini

kantlayabiliyordu. Ortaya att kuramn ilk sunumunu yaparken yle diyordu:

Matematik nyargszdr. Onu bulmak iin Kroneckerin yapt gibi Tanrya,

Poincarenin yapt gibi yeteneklerimize hitabeden varsaymlara, Brouwerin yapt

gibi temel sezgilere, Russellin yapt gibi belitlere gereksinim yoktur. Matematik

formllerden oluan kendi iinde kapal bir sistemdir.

Hilbert byk bir matematikidir. 20. yzyl matematiine damgasn vurmutur. 1900 ynda

Pariste yaplan Uluslararas Matematik Kongresinde ortaya att problemler, aradan geen

100 ylda tam zlememitir, ama bu problemler yzyln matematiine yn vermitir.


20/25

20

Herkes byle bir dahinin akl oyunlar iin yazd son perdeyle temsilin bittiine

inanmaktadr. Ta ki Gdel denen biri kp oyuna hi bitmeyecek bir perde daha ekleyene

kadar

Kurt Gdel (1906-1978)

Geometrilerin, doal saylarn ve kmeler kuramnn aksiyomlarla kuruluu u soruyu

gndeme tad:

Bir formal sistemin aksiyomlar, o sistemin her modeli iindeki btn dorular karsamaya

(deduce) yeterli midir?

Kurt Gdel komuyla ilgili olarak iki nemli sonucu ortaya koydu.

1. Tamlk Teoremi (1929): Matematiksel mantkta semantik bir doru birinci basamaklojik iinde ispatlanabilir.

2. Eksiklik Teoremi (1931):a. Sistem tutarl ise tam deildir.

b. Sistemin aksiyomlarnn tutarl olup olmad, o sistem iinde ispatlanamaz.Eksiklik teoremi diye bilinen teorem (a) ile ifade edilendir. Bu bize unu sylyor:

Doal saylar aritmetiini ierecek kadar karmak herhangi bir sistemin iinde, sistemin

aksiyomlaryla doruluu veya yanll kantlanamayacak nermeler vardr.

1931 ylnda Kurt Gdel bu sonucu ortaya koyana kadar, Hilbertin formal sisteminin

matematikteki krizi tamamen zd sanlyordu. Eksiklik (incompleteness, undecidability)

adn alan bu teorem, bir sistemin tutarl olup olmadnn o sistem iinde

kantlanamayacan sylyor. Eksiklik Teoremi 20. yzyl matematiinin ynndeitirmitir. nk bu sonu, kendi iinde kapal bir sistem oluturduu sanlan Hilbert

formalizminin k anlamna geliyordu. O zamana kadar kimse Hilbertin yanlm

olabileceini dnmyordu. Dahi matematiki von Neumann bile Gdelin yaptn

renince Yanldm, gemiyi kardm! diye hayflanmtr. Principia Mathematica,

Organondan sonra usbilimde yazlan en byk yapt saylyor, demitik. Benzer olarak,Kurt

Gdel,Aristotelesten sonra gelmi en byk usbilimci nn kazanmtr.


21/25

21

Alan Mathison Turing (1912-1954)

Hilbert u nemli soruyu ortaya atmt:

Entscheidungsproblem (Decision Problem): Her hangi bir matematik nermesinin ispatlanabilir olup

olmadna karar vermeye yarayan bir yntem var mdr?

1936 ylnda Alan Turing, universal machine (Turing Machine) adn verdii mekanik problem

zme makinasyla soruya u yant verdi:

Her matematik problemini zen genel bir Turing Makinas (algoritma) yoktur.

Buna ek olarak unu da kantlad.

Hesaplanabilir her eyi hesaplayan bir evrensel Turing makinas (algoritma) vardr.

Turing, bu gnk bilgisayarlarn alma ilkelerine ok benzeyen bir yntemle, btn

problemleri zen mekanik bir makinann (ya da algoritmann) var olamayacan kantlad. Bu

sonu, farkl bir yaklamla Gdeli dorulamaktadr. Hatta, Greg Chattine gre, Gdelin

yapt iten daha byktr.

Greg Chattin

Yeterince karmak bir aksiyomatik sistemde ispatlanabilir nermeler saylabilir saydadr.

Sonu: Akl Oyunlar sryor; henz son perdesini kimse yazamad. nsan akl o son

perdenin yazlmasna belki hi izin vermeyecektir. Kimbilir, belki erdemi de bu oyuna

katabilir.

Ahlk ve Bilim

XIX. yzyln son yarsnda bilimsel ahlk yaratma hayalini kuranlar oldu. Onlar sanki

matematikte, fizikte ve teki bilim dallarnda olduu gibi, ahlkn bilimsel kuramn ortaya


22/25

22

koyacaklar ve dolaysyla herkesin itirazsz kabul edecei ahlki kurallar hayata geirmi

olacaklard. Poincar, o dnemdeki zt iki gr yle zetliyor.

1. nanan insanlar zerinde dinlerin byk egemenlii vardr. Dolaysyla, inananinsanlarn kendi dinlerinin koyduu ahlki kurallara itaat etmesini kolayca

salayabilirsiniz. Ne var ki inan, ancak baz insanlara kendini kabul ettirir. stelik

farkl dinler farkl ahlk kurallar koyar. Baz insanlar inan yerine akl kullanmay

isterler. Akl herkese kendisini kabul ettirir. yleyse, evrensel ahlk kurallar koymak

istiyorsak, bavurmamz gereken yer inan deil, akldr. Bylece, herkesin kabul

edecei bilimsel ahlk tesis edebiliriz.

2. Baz insanlar bilim hakknda iyi eyler dnmezler. Onlara gre bilimde birahlkszlk okulu vardr. Maddeye fazla yer verdiinden deil, insanlardan sayg

duygusunu ald iin bilimi tehlikeli bulurlar. Onlara gre, insanlar eriilemeyen

eylere sayg gsterir. Bilim, tanrlarn srlarn aa vurduka, tanrlar prestijlerinden

bir eyleri yitirmektedirler. O nedenle, bilginleri babo brakmak doru deildir;

onlar babo brakld zaman ortada ahlktan eser kalmayacaktr.

Biri bilimsel ahlkn tesisi iin bilime umut balayan, tekisi bilimin ahlk yok ettii

phesini tayan bu iki grn ikisi de bounadr. nk bilimsel ahlk olmaz, ahlksz

bilim de olmaz. Bu tmcenin ne anlama geldiini aada mantk bilimi iinde aklayacaz.

Bilimsel Ahlak Yoktur

Bir tasmn (karm, usavurma) ncllerinden her ikisi de bildirimci (indicative) olursa kan

sonu da bildirimci olacaktr. Oysa ahlk kurallar bildirimci deil, buyrukudur (imperative).

Bir tasmda sonucun buyruku olabilmesi iin, ncllerden en az birisinin buyruku olmas

gerekir. te yandan, bilimin belitleri ve nermeleri buyruku deil, bildirimcidir. En hnerlidiyalektiki bu ilkelerle ne kadar oynarsa oynasn, onlar buyruku yapamaz. Dolaysyla,

bilimsel karmlardan buyruku sonular elde edilemez. Hibir zaman bunu yap, unu

yapma gibi kurallar bilimde ortaya kmaz. Baka bir deyile, bilimden ahlk dorulayan ya

da onaylayan nermeler elde edilemez. te bilimsel ahlk kurmay isteyenlerin karlat

alamayacak glk budur. Onlar evrensel ahlk yasalarn ortaya koymaya ve onlar

kantlamaya urayorlar. Sanki ahlk bir eyin zerine kurulabilirmi gibi, ahlk bilimin

zerine kurma zorunluluunu duyuyorlar. Bilim bunu asla yapmaz. O halde bilimsel ahlkyoktur.


23/25

23

Bilim kendi bana bir ahlak yaratamad gibi, tek bana gelenekten gelen ahlak dorudan

doruya sarsamaz, ykamaz. Ancak, dolayl olarak etkisi olmaz m? sorusuna yant

arayabiliriz. nsann evresinde oluan ve bizzat kendisinin yapt eylemlerin her trls

onda bir etki yapar; bireyde ve toplumlarda yeni ruh halleri yaratr. nsan acma duygusu,

sevin, fke, coku gibi yeni duygulara kaplr. Acaba buna benzer eyler bilim sevgisi iin

olamaz m? Bilim bize daima yenilenen, genileyen bir ufuk aar. Alan yeni ufuklarda yeni

eyler kefettirir. Yceltmemiz gereken ey, bilginde uyanan bu bilim tutkusudur, bilim

sevgisidir. Ama bu sevgi ve tutku bilimsel ahlak deildir.

Dogmatik Ahlaklar Evrensel Olamaz

taat ediniz, nk tanr byle buyuruyor! demek bir kant deildir. Kuvvete boyun emek

ahlakl olmak deildir, hatt itaat etmek bile deildir. inanca geldiinde, kimileri yaamak

iin her eyi yapma hakkna sahip olduklarna inanabilir. Bir tanrya itaat etmek gerektii

ispat olunamaz. Olsa olsa, onun gl olduu ve bizi ezebildii veya onun iyi olduu ve ona

minnet borlu olduumuz araclar vastasyla bize gsterilebilir. Ama tanry seviyorsak her

kant gereksiz olacak ve itaat etmeyi doal davran saymaya balayacaz. Bu nedenle, dinler

matafizikten daha kuvvetlidir. Ama koyduklar ahlak kurallar evrensel olamaz.

Toplumun yarar zerine, vatanseverlik zerine, zgecilik zerine de bir ahlk kuramayz.

nk, gerektiinde mensup olduumuz topluma ya da bakasnn menfaatine kendimizi feda

etmemiz gerektiini mantk kurallaryla kantlamak gerekir. Zavalllar hakknda merhametli

olmamz gerektii kantlanamaz. Byle bir kant hi bir bilim, hibir mantk kural veremez.

Vatan sevgimizin hakl ve yerinde olduunu usavurmalarla gstermemiz istendiinde zorda

kalrz, yapamayz. Ancak, ordularmzn yenilmi, lkemizin dman ordusu tarafndan igal

edilmi olduunu renirsek ruhlarmz isyan edecek ve vatanmz kurtarmann arelerinidnmeye balayacaz. Layk olmadmz davranlarla ya da sefaletle kar karya

brakldmzda, bir isyan duygusuyla ayaklanrz.

Grlyor ki domatik ahlk ve bilimsel ahlk nceden baarszla mahkmdur. Ancak,

toplumlar iin geleneklerden, inanlardan ve deneyimlerden elde edilen ahlak kurallarnn

nemi yadsnamaz. Her eye ramen, bencil olmann en uygun olduu kesin deildir. Zira hi

bencil olmayan insanlar da vardr. Menfaat ahlk ve bencilik ahlk bir yerde gsz

kalacaktr.


24/25

24

Ahlaksz bilim olmaz

Doa yasalarnn parlak rengini gren bilim adam kendi kk bencil menfaatlerini unutacak,

kendinden daha ok sevecei bir lkye kavuacaktr. Bu lk iin, o, zahmet ve emeinin

karl olacak hibir mkfat beklemeden almaya devam edecektir. Bylece, bencil

insanlarn karlksz asla yapmad ileri yksnmeden ehvetle yapacaktr. Bu olgu, bilim

adamnda yepyeni duygular yaratr. Bu bilim sevincidir, gerei arama tutkusudur. Bu

sevincin ve tutkunun ahlaka salam olduunu syleyebiliriz. Bu ahlak, btn hayat boyunca

bilim adamnn yannda olacaktr.

Ahlaksz insanda en ok raslanlan ve insan en alaltan ey yalan deil mi? Btn ahlaklar

yalanla savatklarn sylemiyorlar m? Peki gerein peinde koan bilim adamnda veya

bilim yntemlerinde yalan ycelten bir olgu var m? Bilim adam bulduu gerei, btn

olumsuz koullar altnda ve hatta cezalandrlma tehdidi altnda olsa bile aa vurmuyor mu?

Bu nitelik ahlaklarn herkeste olmasn istedii bir nitelik deil midir?

Geni anlamda alnan ve onu anlayan ve seven statlar tarafndan retilen bilim, ahlak

terbiyesinde ok yararl ve ok nemli rol oynayabilir. Fakat ona has bir rol vermek hata olur.

Bilim ahlaki saik vazifesini grebilen, iyilik yaptrc duygular dourabilir. Fakat baka

disiplinler de bunu yapabilir.

Deimezlik (uniformite) lmdr. nk o her ilerleyie kapal bir kapdr. Bilim deiimi,

ilerlemeyi salyor.

Ahlaksz bilim olmaz derken, kastettiimiz ey bunlardr.

Bilimde DenetimCanl iin hava ne ise bilim iin hrriyet odur. Bu hrriyetin snrsz olmas gerekir. Bilim ne

bir dogmaya, ne bir partiye, ne bir tutkuya, ne bir faydaya, ne nceden edinilmi bir

dnceye boyun emelidir. nk bilim iin, boyun emek, kendi varlndan vazgemek

olacaktr. Onu nlemeye kalkan her zorlama verimsiz ve menfurdur. Bir deneyin, bir

dncenin yararl olup olmadna karar vermek iin kurallar koyabilecek bir otorite yoktur.

Tanrlarn bilim aacna dokunmay yasakladn sanmyorum. nk, olaanst bir iyapan her varlk, yapt gzel eyin grnmesini, bilinmesini ister.


25/25

Bilim adamlarnn atete yaklmalar son bulmu olsa bile, dncelerinden tr

cezalandrlan insanlar hal vardr. Dnceleri iin insanlarn hayatlarnn ve hrriyetlerinin

feda edilmesi nadir olsa bile, ak enginizisyoncular olma cesaretini gsteremeyen riyakar

zalimler, dnce retenlere kar bin trl sinsi tezvirlerin kayna olmaya devam

etmektedirler. Bu olgu, bilim adna ok ktdr. Gzleri amak iin, gerei sylemek iin

bir kahraman olmak gerektii zamanlarda, gzn ve szn drste kullanacak ok az kii

bulunacaktr. Bundan daha tehlikelisi, bu ortamlarda, gerei syleyemedii iin susmak

yerine, kendini ve bizi gerek d szleriyle aldatacak insanlarn oalmasdr. Bunlardan

bazlar bilin d olarak, gerekler yerine, grlmesi en az tehlikeli olan grmeye

balayacaklardr.

O halde, dnce zerine yaplan her meru veya sosyal basknn ortadan kalkmas gerekir.

Ancak btn bunlar d hrriyetten baka bir ey deildir. Bilimin zgrlne yetmez. En

kt zincirler kendimiz iin dvdmz zincirlerdir. Bilim adamnn kurtulmas gereken

esas zincir kendi kendine vurduu zincirdir. Hepimiz kendilerine borlu olduumuzu

dndmz saygdeer statlarn bize rettikleri baz grleri iimizde tarz. Olgular

incelerken, nceden edindiimiz bilgilere aykr durumlarla karlatmzda kendi iimizde

anlamazla dmyor muyuz? nceden inandmz eylere aykr olan olgular drste

aa vurmann su olaca duygusunu kendi iimizden atabilir miyiz? Bir ok nl bilginin

kar karya geldii durum budur. Byle durumlarda, bilgin, karlat yeni olgularla

nceden edindii inalarn ya da pein hkmlerini tarafsz ve eletirel bir gzle ayrt

edebiliyor mu? Olgular nceden edindii inanlara ters dtnde, onlar bir yana brakp,

grd gerei apak ortaya koyma cesaretini gsterebiliyor mu? Bunu yapabilmek iin,

sahip olduumuzdan daha ok cesarete ve zgr bir iradeye gereksinim vardr. Ne yazk ki bu

tr insanlar azdr. Olgular arasndan seim yaparken, geree yaknlna deil, kendince en

makul olan seen bilgin, setiini gerek sanacak ve buna bakalarn inandrmayakalkacaktr. nanarak yaplan bu i, riyakr bilginin yaptndan daha tehlikelidir.

Kaynaka

[1] H.Poincare, Bilimin Deeri, Fransz Klsikleri 168, MEB, 1949, Ankara.

[2] H.Poincare, Son Dnceler, Bat Klsikleri 525 - 91, MEB, 1986, stanbul.

20. yüzyılda bilimi sarsan düşünceler ve henri poincare

Documents