2002 赛程安排 五支球队在同一场地进行单循环比赛。共要进行 10

场比赛。如何安排赛程使对各队来说都尽量公平。 下面是随便安排的一个赛程：记五支球队分别为

A 、 B 、 C 、 D 、 E ，随便安排的赛程如下： A 1 B 9 2 C 3 5 7 D 6 8 10 4 B C D E

由此可得十场比赛的顺序为： AB, BC, AD, DE, BD, AE, CD, BE, AC, CE 。 这个赛程安排得公平性如何呢 ? 不妨只

看看各队每相邻两场比赛中间得到的休息时间是否均等。不难统计五个队每两场比赛的相隔场次

A: 1,2,2; B: 0,2,2; C: 4,1,0; D: 0,0,1; E: 1,1,1

显然这个赛程对 A, E 有利 , 对 D 不公平 .

从上面的例子出发讨论以下问题 : 1. 对于五支球队的比赛 , 给出一个各队每两场

比赛中间都至少相隔一场的赛程 . 2. 当 n 支球队比赛时 , 各队每两场比赛中间相

隔的场次数的上限是多少 ? 3. 在达到 2 的上限的条件下 , 给出 n=8, n=9

的赛程 , 并说明它们的编制过程 . 4. 除了每两场比赛间隔场次数这一指标外 , 你

还能给出哪些指标来衡量一个赛程的优劣 , 并说明 3 中给出的赛程达到这些指标的程度 .

§5.2 放射性计年模型

1. 同位素与放射性衰变 10. 同位素：原子中核电荷数（质

子数）相同，但具有不同的质量（中子数）的元素称为同位素。

它们的化学性质相同，在周期表中处于同一个位置。有相同的元素符号，但在左上角注名质量数，左下角为质子数。

如： 11H ， 2

1H ， 31H ， 12

6C ， 136

C ， 146C ， 234

92U ， 23692U 等。

20. 放射性同位素的蜕变 同位素中有稳定的和不稳定的两种。 不稳定的同位素具有放射性， 通过放射粒子而变为同一元素的不同

的同位素或者不同元素的同位素。 称之为同位素的蜕变。 14

6C→ 147N ， 87

37Rb→ 8738Sr ，

238U→234U →230Th

2. 放射性同位素衰变的数学模型： 假设： 1. 粒子同质， 2. 充分光滑， 3. 没有迁移， 4. 大量粒子的平均放射效应， 5. 环境没有影响， 6. 粒子放射相互独立。

模型： N( t ), t 时刻粒子数。

衰变常数:,)0(,)( 0 NNtNdt

dN

teNtN 0)(

2/10

TeN

2ln2/1 T

)(lnln 0 tNN

t

半衰期： T1/2 ， N( T1/2)=N0/2

衰变时间：

3. 放射性元素的平衡 如果随着放射性元素的蜕变衰减，又得到

定常速率的补充， 则放射性元素的变化可以由如下模型来描述

模型有一个平衡状态 N*=b/λ ，

bNdt

dN

当 N>N* 时元素不断减少 ,

N<N* 时元素将会增加 .

表明放射性元素最终将会达到这个平衡状态 ,

我们称这个现象为放射性元素的平衡。

4. 14C 计年法 原理： 1. 宇宙射线穿过大气，产生中子，使得 14N 蜕

变为 14C 。 2. 它与氧原子结合生成 14CO2 被植物吸收，进

入食物链。 3. 生物体内的 14C 不断衰变为 14N 成为气体散

失。 4. 活体还会不断吸收 14C ，使体内的 14C 维持

平衡。 5. 生物死亡后，不再吸收 14C ，则体内的 14C

将由于蜕变，在体内的比例数将逐渐降低。

利用死亡的生物体内 14C 的含量就可以测定死亡的时间。

分析： N(t)=N0e-λt. 则 t = ln[N0/N(t)]/λ. 如果生物体在 t = 0 时死亡 , 则有 N0=N* 。

如果在 t = t1 时被发掘可以得到

t1 = ln [N*/N(t1)] / λ

5. 在考古计年上的应用

例 1 马王堆古尸的年龄 — 考古计年模型

湖南省长沙市马王堆一号墓于 1972 年 8 月出土。

当时测得出土的木炭样本中放射14C 的放射性蜕变物的速率为 29.78 次 / 分，

而新砍伐烧成的木炭中放射 14C蜕变物的速率为 38.37 次 / 分。

使用 14C 计年法可以确定墓葬的大致年代。

假设：马王堆墓葬的年代生物体中 14C的平衡数量与现代生物体中 14C 的平衡数量相同。

如果出土的木炭实在墓葬的当时 (t = 0 时 ) 被砍伐烧成的 ,

则当 t ≥ 0 时木炭内的 14C 将按模型 N’= - λN ， N(0)=N* 衰减。

如果墓葬在 t = t1 时出土 , 并且用当时新砍伐烧成的木炭中的 14C 的 ( 平衡 )含量估计墓葬的当时木炭内 14C 的平衡量。

并且观测得 N’(t1)=29.78, N’(0)=38.37

则可以得到 t1 = ln [N*/N(t1)] / λ

= ln [N’(0)/N’(t1)] T1/2 / ln 2 = ln (38.37/29.78)×5730/0.6931 =2095. 公元前 120 年左右西汉中期 .

例 2 如何估计地球的年龄？

一 . 背景： 1903 居里利用放射性测定地质年代。 1907 伯尔伍德得到了放射性地质年代

的数据。 二 . 问题：如何通过岩石的地质年表及同位素的演化规律确定更可靠的地球年龄。

三 . 用于地质计年的同位素： 1. 出现于岩石形成期， 2. 具放射性的不稳定的同位素， 3. 半衰期足够长， 4. 含量可以观测。 同位素 半衰期（年） 衰变系数（ / 年） 87

37Rb 48.6×109 1.43×10-11

23892U 4.468×109 1.551×10-10

23492U 248000 2.794×10-6

23090Th 75200 9.217×10-6

146C 5730 1.209×10-4

四 . 岩石放射性计年的等时线模型 1. 模型 : N(t): t 时放射性元素含量 , D(t): t 时稳定产物含

量 , N0, D0: 初始值 , 则有 N(t) + D(t) = N0+D0 D

D0 (N0, D0) N

又知 , 则有

对于固定的 t 和不同的 N0, N(t) 和 D(t) 将分布在同一条直线—等时线上。 （ Isochron Diagram）

D

D0 (N0, D0) N

teNtN 0)(

),()1(),(),(),( 000000 NtNeDNtNeNtNDNtD tt

2. 假设： 10. 岩石内同位素的含量只随放射性衰变而

变化。 20. 衰变后的生成物是稳定的 , 不再衰变 30. 初始时刻稳定元素的含量是一定的。 40. 放射性元素及其衰变产物总量不变。

3. 模型的实现：岩石年龄的铷 87Rb—锶 87Sr计年法

10.岩石内不稳定的同位素铷 (87Rb)只因放射性而衰减为稳定的锶 (87Sr) ，

20.铷 (87Rb) 的半衰期很长，为 48.6 × 109 年， 30.岩石内不同的矿物质中铷 (87Rb) 的初始含量可能不同，

40. 岩石生成的初始时刻中锶 (87Sr) 的含量相同， 50. 使用质谱仪可以测量铷 (87Rb) 和锶 (87Sr) 的相对含量 Rb = 87Rb /86Sr 和 Sr = 87Sr/86Sr。

由等时线模型可知，对于任意给定的时刻 t 都有 D(t)=m N(t) + r0, 如果我们同时在岩石所含的 n 种不同的矿石中

观测到铷和锶的含量 (Ni, Di), i=1,2,…,n, 则利用最小二乘法就可以给出 m, r0 的最小二乘

估计。 从而得到岩石生成的时间

2/12/1 4427.12ln

)1ln()1ln(mTT

mmt

例 . 1967 年采集到一块包含有长石、白云母和黑云母的岩石。用质谱仪进行分析，测的铷和锶的相对含量如下：

长 石 白云母 黑云母 Sr 0.77 0.82 0.80 Rb 2.00 7.00 5.00 可以估得 m=0.01 ， r0=0.75 ，从而有 t = 1.4427×ln 1.01× 48.6 × 109 年 =6.97×108 年。 地球的年龄约为 44~46亿年，宇宙约为 150~200亿

年

问题： P142 第 2 题： 14C 计年法 P143 第 3 题：铀–钍计年法