2003, un año primo sábado 1...

Calendario S.M. Noviembre 2003 Julio Castiñeira Merino

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2003, un año primo Noviembre, mes once, un mes primo

Sábado 1 Eratóstenes

Comentario Eratóstenes de Cirene. Sabio griego nacido en Cirene, Libia, en 276 a. C. y muerto en Alejandría, Egipto, en 194. a. C. Fue director de la Biblioteca de Alejandría y es recordado como astrónomo, matemático, escritor y poeta. Como astrónomo fue el primer hombre en medir la circunferencia de la Tierra, midió la inclinación de la eclíptica (es decir la inclinación del eje de la Tierra respecto al plano de su órbita) y confeccionó un calendario que incluía años bisiestos. Como Matemático se le recuerda por la invención de la criba de Eratóstenes. La criba es un método para encontrar y tabular números primos. Consiste en ir borrando los múltiplos de los números 2, 3, y así sucesivamente hasta n en un tabla que contenga los números desde el 2 hasta el n. Al terminar el proceso nos queda la tabla de los primos menores que n.

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100

Trabajó en la datación de los eventos literarios y políticos desde el sitio de Troya, escribió poesía y ensayos sobre el teatro y ética.


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Domingo 2 Cita “Todos los primos son impares excepto el dos, que es por tanto el más impar de todos ellos” Comentario Esta cita juega con las dos acepciones de la palabra impar. La primera es técnica y la segunda es la vulgar. Técnicamente impar significa numero entero que no es múltiplo de dos y vulgarmente impar significa que no tiene igual. La cita es un juego de palabras de la proposición siguiente: el dos es el único primo par.


3

Lunes 3 Cociente Completa usando las cifras del 1 al 9

3=*********

Solución Hay dos soluciones

35832

1749635823

17469 == y

Hemos obtenido las soluciones usando la hoja de cálculo Excel y probando todas las posib ilidades.


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Martes 4 Euclides

Comentario

Euclides de Alejandría (no confundir con el filósofo Euclides de Megara) fue el mas importante matemático griego de la antigüedad. Poco se sabe de su vida, e incluso algunos autores dudan de su existencia. La fuente más fiable es Proclo, quien vivió setecientos años después de Euclides. Para Proclo Euclides fue el compilador de los matemáticos anteriores “puso en orden la mayor parte de los teoremas de Eudoxo y Theaetetus, y realizó demostraciones irrefutables sobre hechos que habían sido probados antes de manera poco satisfactoria por sus predecesores” y filosóficamente Proclo lo identifica con el movimiento Platónico.

Su obra más importante son “Los Elementos” que consta de trece libros. Ningún otro libro, excepto la Biblia; ha sido editado tantas veces. Los seis primeros de Los Elementos tratan de geometría plana. Los libros

siete al nueve son de teoría de números. El libro diez versa sobre la teoría de los irracionales. Los libros once al trece son de geometría del espacio. En el libro trece construye, con regla y compás, los cinco poliedros regulares o sólidos platónicos.

Los elementos es una de las obras mas editadas por la humanidad. Otras obras de Euclides son “Los Datos” que estud ia que propiedades de las

figuras pueden deducirse cuando otras propiedades son conocidas, “Sobre las divisiones de las figuras” que estudia como dividir una figura en dos partes cuya razón entre las áreas está dada, Óptica que es el primer trabajo griego sobre perspectiva y “los Fenómenos” que es una introducción elemental a la geometría esférica para su utilización en astronomía. Se han perdido sus trabajos Superficies, Porismas, Cónicas, Libro de las Falacias y Los Elementos de música.

En es mes dedicado a los números primos conviene recordar las principales aportaciones de Euclides a la teoría de números

1) El algoritmo de Euclides para el cálculo del máximo común divisor de dos números.

2) Demostrar que el conjunto de primos es infinito. 3) Demostrar el teorema fundamental de la aritmética: “todo número natural se

descompone en un producto de primos” 4) La construcción y caracterización de los números perfectos pares.


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Miércoles 5.- Infinitud Existen infinitos números primos. ¿Te atreves a demostrarlo? Euclides ya lo hizo en su época. Demostración. La demostración de Euclides se basa en la siguiente propiedad: Lema: Sean 2, 3, 5,....., p los n primeros números primos, y sea 132 +⋅⋅= p...q . El número q no es divisible por ninguno de los números 2, 3, 5, ...p. Veamos algunos ejemplos

Primo p q Factores primos de q 2 3 Primo 3 7 Primo 5 31 Primo 7 211 Primo 11 2311 Primo 13 30031 59 509 17 510511 19 97 277 19 9699691 347 27953 23 223092871 317 703763 29 6469693231 331 571 34231 31 200560490131 Primo

En la tabla vemos que el número q es primo unas veces y otras es compuesto.

Euclides observó sagazmente que si q es compuesto el menor factor primo de q está entre p y q y si q es primo el menor factor primo es obviamente q. Por ejemplo si

30031113117532 =+⋅⋅⋅⋅⋅=q el menor factor primo de q es 59 que es mayor que 13. De esta observación Euclides deduce que el número de primos es infinito pues a la lista de todos los números primos menor que uno dado siempre le podemos añadir un primo más.

Esta demostración es también importante por ser la primera vez que se usó la reducción al absurdo.

Otras dos demostraciones de la infinitud de la serie de primos se analizan el martes 11 y el jueves 14 de este mes.


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Jueves 6.-Números perfectos Un número es perfecto si es igual a la suma de sus divisores, exceptuando el mismo:

3216 ++=

“todo número de la forma ( )122 1 −− pp , con 12 −p primo, es un número perfecto” Prueba a escribirlos en base 2 Respuesta El número perfecto asociado al primo p en base dos consta de p unos seguidos de p –1 ceros

p Mp Perfecto Np Número Perfecto en binario 2 3 6 110 3 7 28 11.100 5 31 496 111.110.000 7 127 8128 1.111.111.000.000 13 8191 33550336 1.111.111.111.111.000.000.000.000

El teorema que afirma que todo número de la forma ( )122 1 −− pp es perfecto se debe a Euclides, quien lo demostró en los Elementos. Euler demostró el teorema reciproco, es decir, que si un número par es perfecto es de la forma indicada por Euclides. Observemos que los números perfectos pares están relacionados con los números primos de Mersenne. 12 −= p

pM . Hoy se conocen 40 primos de Mersenne (Ver Viernes 21 de este mes) y por tanto se conocen 40 números perfectos pares. Se ignora, despué de 2500 años, si los números perfectos son un conjunto infinito y si existe un número perfecto impar. Observemos que todos los números perfectos pares son números triangulares. En efecto

pMp TN = , es decir el número perfecto asociado al primo p es el número

triangular que corresponde al primo de Mersenne Mp. Recordemos que los números

triangulares vienen definidos por la fórmula nn

Tn ⋅+

=2

1


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Viernes 7 Triplete Demuestra que la única terna de primos de la forma (p, p + 2, p + 4) la forma el

3 el 5 y el 7.

Demostración Un número primo p puede ser de tres tipos: p = 3, p = 3n +1 con n mayor que 1 y p = 3n+2 con n mayor o igual que cero. Si p = 3 tenemos la terna de primos (3, 5, 7).

Si p = 3n +1 y n > 1 la terna (p, p +2, p +4) = (3n +1, 3n +3, 3n +5). Obviamente el número

p +2 = 3n +3 = 3(n +1) es múltiplo de 3 y compuesto porque n +1 es mayor que 1. Observemos que el primo más pequeño de la forma p = 3n +1 es el 1327 +⋅= .

Si p = 3n +2 y n > 2 la terna (p, p +2, p +4) = (3n +2, 3n +4, 3n +6). Obviamente el número

p +4 = 3n +6 = 3(n +2) es múltiplo de 3 y compuesto porque n +2 es mayor que 1. Observemos que el primo más pequeño de la forma p = 3n + 2 es el 1022 +⋅= . Sin embargo las ternas (p, p + 2, p + 6) y (p, p +4, p + 6) pueden estar formadas por números primos. Se desconoce si existen infinitas ternas de estos tipos formadas por números primos. La tabla muestra las ternas de primos de estos tipos para p menor que 1000.

p p+2 p+6 p p+4 p+6 5 7 11 7 11 13

11 13 17 13 17 19 17 19 23 37 41 43 41 43 47 67 71 73 101 103 107 97 101 103 107 109 113 103 107 109 191 193 197 193 197 199 227 229 233 223 227 229 311 313 317 277 281 283 347 349 353 307 311 313 461 463 467 457 461 463 641 643 647 613 617 619 821 823 827 823 827 829 857 859 863 853 857 859 881 883 887 877 881 883


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Sábado 8 Curioso El número 313 es el único primo capicúa de tres cifras. ¿Qué crees que ocurre

con él si lo expresamos en base 2? Respuesta

(2100111001313 =

Y vuelve a ser capicúa. Domingo 9 Curioso II El número obtenido ayer, tomado en base 10 vuelve a ser primo. Seguro que eres capaz de demostrarlo. Solución El número 100111001 es primo, pero probarlo no es fácil. Si usamos el método usual de ir dividiendo por los primos menores que la raíz cuadrada del número tenemos que realizar 1229 divisiones que corresponden a los 1229 primos entre el 2 y el 9973 que es el mayor primo menor que ..,. 400510100111001 ≅ Se puede aplicar el Test de Lucas tal como fue mejorado por Kraitchik y Lehmer que dice: Sea n > 1. Si para cada factor primo q de n - 1 existe un entero a tal que

1) nmoda n 11 ≡−

2) nmoda qn

11

≡−

Entonces n es primo.

En nuestro caso 4791911521 33 ⋅⋅⋅⋅=−n y podemos tomar a = 3. Aun así, los cálculos son tediosos si no se hacen con ordenador, incluso utilizando el algoritmo de exponenciación modular.


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Lunes 10 Fibonacci La sucesión de Fibonacci comienza

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... ¿Cuántos primos contiene? Respuesta La sucesión de Fibonacci se define usualmente por recurrencia de la forma siguiente

u1 = u2 = 1 y un+1 = un + un-1 (n > 2).

Es fácil probar que si un es primo entonces n es primo o es igual a 4. El reciproco no es cierto. En efecto u2 = 1 y u19 = 4181 = 11337 ⋅ es compuesto.

Actualmente se conocen 31 primos de Fibonacci. Que corresponden a los siguientes términos de la sucesión n = 3, 4, 5, 7, 11, 13, 17, 23, 29, 43, 47, 83, 131, 137, 359, 431, 433, 449, 509, 569, 571, 2971, 4723, 5387, 9311, 9677, 14431, 25561, 30757, 35999, y 81839. Observemos que

u359 = 4754204377346982207473680 2716674938292770141701655 7193662268716376935476241

por lo que es preferible determinarlos por el lugar que ocupan en la sucesión. Es un problema abierto determinar si existe un número infinito de términos primos en la sucesión de Fibonacci.


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Martes 11 Cuadrados perfectos Siempre hay un número primo entre dos cuadrados perfectos consecutivos:

( )22 1+nyn Comentario: Es un problema abierto. El hecho de que siempre existe un número primo entre n y 2n (n > 1) se llama la conjetura de Bertrand y fue probado por Chebyshev. Este hecho es otra demostración de que el conjunto de números primos es infinito. Probar la conjetura de los cuadrados perfectos es importante por la información sobre la distribución de primos. Observemos que para n mayor o igual que 3 el intervalo ( )( )22 1+n,n es más

pequeño que el intervalo ( )22 2n,n

Chebyshev Bertrand


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Miércoles 12 Cuadrados

Sólo tienes que abrir bien los ojos y encontrarás infinitos números primos que son suma de dos cuadrados perfectos consecutivos. (Fermat)

Respuesta : Fermat probó la conjetura de Girard de que todo número primo de la

forma 4n+1 puede escribirse de una única forma como suma de dos cuadrados. ¿Son estos cuadrados necesariamente consecutivos? Como vemos en la tabla de

más abajo obviamente no.

p = a2 + b2 a b a2 b2 17 1 4 1 16 29 2 5 4 25 37 1 6 1 36 53 2 7 4 49 73 3 8 9 64 89 5 8 25 64 97 4 9 16 81

101 1 10 1 100 109 3 10 9 100 137 4 11 16 121 149 7 10 49 100 157 6 11 36 121 173 2 13 4 169 193 7 12 49 144 197 1 14 1 196 229 2 15 4 225 233 8 13 64 169 241 4 15 16 225 257 1 16 1 256 269 10 13 100 169 277 9 14 81 196 281 5 16 25 256 293 2 17 4 289 317 11 14 121 196 337 9 16 81 256 349 5 18 25 324 353 8 17 64 289 373 7 18 49 324 389 10 17 100 289 397 6 19 36 361 401 1 20 1 400 409 3 20 9 400

¿Existen infinitos primos que son suma de dos cuadrados consecutivos?

Actualmente se cree que si, pero es un problema abierto. Si ( ) 221 nnp ++= entonces

122 2 ++= nnp y actualmente es desconocido si un polinomio cuadrático genera infinitos primos.


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La tabla siguiente muestra los 32 primeros primos que son suma de dos cuadrados consecutivos.

p = a2 + b2 a b a2 (a+1)2

5 1 2 1 4 13 2 3 4 9 41 4 5 16 25 61 5 6 25 36

113 7 8 49 64 181 9 10 81 100 313 12 13 144 169 421 14 15 196 225 613 17 18 289 324 761 19 20 361 400

1013 22 23 484 529 1201 24 25 576 625 1301 25 26 625 676 1741 29 30 841 900 1861 30 31 900 961 2113 32 33 1024 1089 2381 34 35 1156 1225 2521 35 36 1225 1296 3121 39 40 1521 1600 3613 42 43 1764 1849 4513 47 48 2209 2304 5101 50 51 2500 2601 7321 60 61 3600 3721 8581 65 66 4225 4356 9661 69 70 4761 4900 9941 70 71 4900 5041 10513 72 73 5184 5329 12641 79 80 6241 6400 13613 82 83 6724 6889 14281 84 85 7056 7225 14621 85 86 7225 7396 15313 87 88 7569 7744 16381 90 91 8100 8281 19013 97 98 9409 9604 19801 99 100 9801 10000 20201 100 101 10000 10201


13

Jueves 13 Entre 0 y 28

292 2 +x genera números primos para valores de x comprendidos entre 0 y 28. (Legendre) Respuesta

x 292 2 +x x 292 2 +x x 292 2 +x 0 29 31 1951 70 9829 1 31 33 2207 71 10111 2 37 34 2341 73 10687 3 47 36 2621 75 11279 4 61 37 2767 77 11887 5 79 38 2917 78 12197 6 101 40 3229 79 12511 7 127 41 3391 80 12829 8 157 42 3557 81 13151 9 191 43 3727 82 13477 10 229 45 4079 83 13807 11 271 46 4261 85 14479 12 317 47 4447 86 14821 13 367 48 4637 90 16229 14 421 49 4831 93 17327 15 479 51 5231 96 18461 16 541 52 5437 98 19237 17 607 53 5647 100 20029 18 677 54 5861 101 20431 19 751 55 6079 103 21247 20 829 56 6301 104 21661 21 911 59 6991 105 22079 22 997 60 7229 106 22501 23 1087 62 7717 108 23357 24 1181 64 8221 110 24229 25 1279 66 8741 111 24671 26 1381 67 9007 112 25117 27 1487 68 9277 114 26021 28 1597 69 9551 115 26479

En la tabla podemos observar que la fórmula dada además de producir primos

para valores comprendidos entre 0 y 28, produce primos para otros muchos valores, quizás infinitos. Una prueba de la irregularidad de la distribución de los números primos nos sugiere nos la ofrece el hecho de que no existen formulas sencillas que generen todos los números primos. Algunas fórmulas generan muchos números primos, la fórmula de

Legendre 292 2 +x es una de ellas. Otra fórmula introducida por Euler es 412 ++ xx que genera números primos para x entre 0 y 40 y para otros muchos valores como 42, 43, 45, etc... y naturalmente compuestos para x 41, 44, etc..


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x 412 ++ xx x 412 ++ xx x 412 ++ xx x 412 ++ xx 0 41 10 151 20 461 30 971 1 43 11 173 21 503 31 1033 2 47 12 197 22 547 32 1097 3 53 13 223 23 593 33 1163 4 61 14 251 24 641 34 1231 5 71 15 281 25 691 35 1301 6 83 16 313 26 743 36 1373 7 97 17 347 27 797 37 1447 8 113 18 383 28 853 38 1523 9 131 19 421 29 911 39 1601 40 1681

En 1752 Golbach probó que ningún polinomio en una variable genera números primos para todos los valores de la variable. Algunos polinomios generan infinitos primos como por ejemplo 2x+1, 4x+1 y 4x+3. En 1837 Dirichlet probó que si a y b son positivos y primos entre sí, el polinomio ax+b genera infinitos primos cuando x toma valores positivos. A este resultado se le conoce como el Teorema de Dirichlet sobre la existencia de primos en una progresión aritmética dada. Actualmente es desconocido si existe un polinomio cuadrático en una variable que genere infinitos primos. Se cree que si

Si a, b, c son primos entre sí, a es positivo, a+b y c no son ambos pares, y b2-4ac no es un cuadrado perfecto, entonces existen infinitos primos de la forma an2+bn+c.

Legendre


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Viernes 14 Fermat

Comentario

La ecuación 222 zyx =+ tiene, obviamente, relación con el teorema de Pitágoras donde x e y son los catetos de un triángulo rectángulo y z la hipotenusa. Si exigimos que las soluciones sean números enteros, la ecuación se llama entonces diofántica. En este caso la ecuación tiene infinitas soluciones que se llaman ternas pitagóricas. Por ejemplo (3, 4, 5), (6, 8, 10) y (5, 12, 13) son algunas de las soluciones.

La solución general se puede expresar con las fórmulas

( )

( )

+⋅=⋅⋅=

−⋅=

22

22

2batz

tbay

batx

Fermat creyó, en 1670, haber demostrado que la ecuación, n > 2, no tiene otras soluciones que las triviales como (1, 1 , 0) o dicho de otra forma la ecuación de Fermat no tiene solución para x, y, y z estrictamente positivos.

La demostración de esta conjetura ha sido una de las mayores hazañas matemáticas y tiene una larga historia que resumiremos brevemente.

Fermat se dio cuenta que probar la imposibilidad se reducía a dos casos el caso cuando n = 4 y el caso cuando p era primo impar. Indicó como se demostraba en el caso igual a cuatro y dejó una anotación diciendo que había descubierto una brillante demostración para p impar pero que no le cabía donde estaba escribiendo.

Cien años mas tarde, en 1774, Euler demostró el caso para n = 3 y en 1823 Legendre lo demostró para n = 5. y algo mas tarde Lamé para n = 7 y Dirichlet para n = 14. Matemáticos como Gauss, y Cauchy no aportaron nada a este problema, aunque se cree que si estudiaron el tema. Años mas tarde el propio Hilbert al ser preguntado por este problema comentó: “tendría que estuiarlo duarnate tres años al menos y posiblemente no lo resolvería”. Esto nos indica la dificultad de este problema que se enuncia de forma tan sencilla.

Kummer resolvió el problema para una categoría de primos, a los que él llamó regulares. El 60% de los primos que se conocen son regulares, pero no se ha conseguido probar que el conjunto de primos regulares sea infinito. Curiosamente si se sabe que el conjunto de primos irregulares es infinito.

Otras mejoras y el uso del ordenador permitieron demostrar a principios de 1970 que el teorema de Fermat era cierto para todos los primos menores que 125.000.

La solución del Teorema de Fermat vino en dos plazos y por otras vías. El primer paso lo dio el matemático alemán Falting al probar la conjetura de Mordell. La consecuencia es que la ecuación de Fermat sólo podía tener un número finito de soluciones. El segundo lo dio el matemático inglés Wiles quien demostró el Teorema en 1995


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Sábado 15 Primos de Fermat Los primeros términos de la sucesión definida de la forma

122 +=n

nF son números primos. Halla el menor número n para el cual nF no es primo

Respuesta: para n = 5. En efecto 7641·670041429496729712325 ==+=F .

Los números nF se llaman números de Fermat, quien conjeturó que todos ellos eran números primos. Que números en esta sucesión son primos es un problema abierto y hoy en día se cree que los únicos primos de Fermat son los cuatro primeros términos de la sucesión. Polya observó una propiedad curiosa de los números de Fermat y es que dos números de Fermat son primos entre sí. De esta propiedad se deduce fácilmente que hay infinitos números primos pues como los números de Fermat son impares cada número de Fermat proporciona un número primo impar que no divide a ninguno de los otros números de Fermat. Los números de Fermat son importantes por otro hecho que probó Gauss. Un polígono regular de n lados es construible con regla y compás si y sólo si

sr p...ppn ⋅⋅⋅⋅= 212

dónde sp,...,p,p 21 son primos de Fermat diferentes.

Fermat


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Domingo 16 Cuadrados simétricos Observa:

9613116913 22 == Demuestra que no existen más números de dos cifras de la forma xy e yx con x distinto de y, que verifique la propiedad anterior.

Observación: 4412114412 22 == Suponemos que hay una errata en el texto y donde dice no hay más números de

dos cifras quiere decir no hay mas números primos de dos cifras. No hay mas casos. Se puede comprobar directamente con una hoja de cálculo.


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Lunes 17 El problema de los números impares Golbach escribió una carta a Euler en 1742 sugiriéndole que: “Todo número impar mayor que cinco es suma de tres números primos” Comentario Esta proposición es conocida como la forma débil de la conjetura de Goldbach. La descomposición no es única. Por ejemplo

35 = 2 + 2 + 31 35 = 3 + 3+ 29 35 = 5 + 7 + 23 35 = 3 + 13 +19 35 = 5 + 11 +19 35 = 5 + 13 +17 35 = 7 + 11 +17 35 = 11 + 11 +13

En 1937 Vinogradov demostró está conjetura para todos los números impares a

partir de uno N0, llamado en su honor la constante de Vinogradov. Los matemáticos rusos acotaron esta constante con el número exp exp(16.038) aproximadamente

6104.0086510 ⋅ . Este número es enorme, tiene mas de cuatro millones de dígitos por lo que está lejos de poder alcanzarse esta cota con los ordenadores. Actualmente se ha comprobado con ordenadores la conjetura de Goldbach hasta 16107 ⋅ .

En 1923 Hardy y Littlewood demostraron que la conjetura débil de Goldbach es consecuencia de la hipótesis de Riemann.

Vinogradov


19

Martes 18 Conjetura de Golbach Euler le replicó diciendo: “Todo número par mayor que dos es suma de dos números primos” Comentario

La descomposición no es única. Por ejemplo: 36 = 5 + 31 36 = 7 + 29 36 = 13 + 23 36 = 17 + 19

Esta es la versión fuerte de la conjetura de Golbach. En efecto si se cumple esta proposición (llamemosla P2), se cumple la versión débil (llamemosla P1), pero el recíproco no es cierto. Es decir P2 ⇒ P1. En efecto. Sea n impar y mayor que cinco. Sea p3 un primo impar menor que n - 2, n - p3 es un número par y mayor que dos luego en virtud de P2 existe dos primos p1 y p2 tales que 213 pppn +=− , luego 321 pppn ++= es decir se cumple P1. Observemos además que cada primo p3 menor que n, proporciona una descomposición. Esta proposición es un problema abierto, aunque Chen ha conseguido demostrar el siguiente resultado: Teorema –Todo número par suficientemente es la suma de un primo y un casiprimo. Un casiprimo es un número que es primo o producto de dos primos. Por ejemplo 21 es un casiprimo.


20

Miércoles 19 π

2222226

191

117

11

51

131

121

1π

=

−

−

−

−

− ......L

Comentario Esta es una fórmula de Euler. Si en la conocida fórmula de la suma de los términos de una progresión geométrica

...x...xxxx

n +++++=−

3211

1

sustituimos sucesivamente x por ...,p

...,, 2221

3

1

2

1donde p recorre todos los números

primos, obtenemos el grupo de fórmulas:

......

......

......

n

n

n

+++++=−

+++++=−

+++++=−

2642

2

2642

2

2642

2

5

1

5

1

5

1

5

11

5

11

1

31

31

31

31

1

3

11

1

2

1

2

1

2

1

2

11

2

11

1

etc.. Observemos que si multiplicamos las dos primeras igualdades se obtiene

( )....++++++++=

⋅=

−⋅

−∑ 22222222

2212

1

9

1

8

1

6

1

4

1

3

1

2

11

32

1

31

1

1

21

1

1βα

una vez reordenados los términos. Si multiplicamos las tres primera igualdades se obtiene

( )∑⋅⋅

=−

⋅−

⋅−

2

222532

1

51

1

1

31

1

1

21

1

1γβα

Es decir

....222222222

22212

1

10

1

9

1

8

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

5

11

1

3

11

1

2

11

1+++++++++=

−⋅

−⋅

−

Si multiplicamos todas las igualdades obtenemos

...n

.......

p

... +++++++++=⋅−

⋅−

⋅−

⋅−

2222222

2222

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

11

11

1

5

11

1

3

11

1

2

11

1


21

La suma de la última serie

61

71

61

51

41

31

211

2

2222222π=+++++++++ ...

n....

es otra más de las innumerables hazañas de Euler. Hallando los inversos obtenemos la fórmula deseada. Nota: La fórmula dada se puede generalizar para s real y mayor que 1. Obteniendo

∏∑∞

=

∞

= −=

11 11

11

nsn

ns

pn

donde pn recorre todos los números primos. Riemann utilizó la expresión de la izquierda para definir su famosa función zeta.


22

Jueves 20 Teorema de Fermat

Si p es primo, entonces p divide a ( )22 −p .

22 −⇒ p|pprimop Demostración

Observemos que ( )

−

+

+

=−+=−

12121122

pp

....pppp

La proposición se demuestra si observamos que si p es primo y k distinto de cero y

distinto de k, el número combinatorio

kp

es divisible por p.

Esta proposición se generaliza de la siguiente forma Si p es primo y a no es divisible por p entonces aa|p p − . O bien de forma equivalente Si p es primo y a no es divisible por p entonces 11 −−pa|p . Y se llama pequeño teorema de Fermat. Euler lo generalizó de la siguiente manera

Si m > 1 y a y m son primos entre si entonces ( ) 1−pa|m ϕ . Donde ϕ es la función de Euler definida así

ϕ(m) = número de elementos en la sucesión 0, 1 2, ...., a-1 que son primos con a.


23

Viernes 21 Mersenne

Si 12 −p es primo, entonces p es primo.

12 −p primo ⇒ p primo

Al número 12 −p se le llama primo de Mersenne. Comentario Los números 12 −= n

nM se llaman números de Mersenne. Es fácil ver que si n es compuesto entonces Mn es compuesto. En efecto supongamos que lkn ⋅= Tenemos la identidad

( ) ( )111 21 ++++⋅−=− −− x...xxxx lll Sustituyendo x por xk tenemos

( ) ( ) ( )( )111 21 ++++⋅−=− −⋅−⋅⋅ klklkklk x...xxxx

Luego 1−nx es divisible por 1−kx y por tanto Mk divide a Mn. Hemos probado así que

n es compuesto ⇒ Mn es compuesto Su equivalente lógico es

Mn es primo ⇒ n es primo El recíproco de esta proposición es falsa. En efecto M11 = 211-1 = 2047 = 23·89, M23 = 223-1 = 8388607 = 47·178481, y M29 = 229-1 = 536870911 = 233·1103·2089 son compuestos.

Mersenne

Actualmente no se sabe si existen infinitos o no infinitos primos de Mersenne Se conocen los 38 primeros primos de Mersenne Mp que corresponden a los exponentes primos p siguientes

Término p Término p Término p Término p 1 2 11 107 21 9689 31 216091 2 3 12 127 22 9941 32 756839 3 5 13 521 23 11213 33 859433 4 7 14 607 24 19937 34 1257787 5 13 15 1279 25 21701 35 1398269 6 17 16 2203 26 23209 36 2976221 7 19 17 2281 27 44497 37 3021377 8 31 18 3217 28 86243 38 6972593 9 61 19 4253 29 110503 10 89 20 4423 30 132049


24

También se sabe que M13466917 y M20996011 pero se ignora si ocupan los lugares 39 y 40 en la sucesión de primos de Mersenne.

Los números de Mersenne en base dos tienen una expresión simple Mn está formado por n unos.

Los primos de Mersenne están íntimamente relacionados con los números perfectos. Ver Jueves 6 de Noviembre.


25

Sábado 22 y Domingo 23 Primos Gemelos

Son aquellos que se diferencian en 2 unidades: 3 y 5, 5 y 7, 11 y 13, .... “Existen infinitos pares de primos gemelos”.

...B +

++

++

++

+=

191

171

131

111

71

51

51

31

Constante de Brun. ¿Cuánto vale? Solución Aproximadamente 1.902160583...Esta constante es difícil de calcular. Se llama constante de Brun en honor al matemático noruego Viggo Brun quien demostró en 1919 que la suma de los inversos de los primos gemelos es finita. Observemos que esto no significa que sólo exista un número finito de primos gemelos. La suma de los inversos de los cuadrados es finita y vale

1.644936

1

4

1

3

1

2

11

2

2222≅=++++++

π...

n....

Recordemos que la suma de los inversos de los primos es infinita, es decir, lo primos gemelos son escasos. Hay 205 pares de primos gemelos menores que 10.000 (ver tabla), 1224 pares menores que 100.000 y 8.169 pares menores que 1.000.000. Actualmente se ignora si el número de primos gemelos es finito o infinito.

Los 205 pares de primos gemelos menores de 10.000

3 5 5 7 11 13 17 19 29 31 41 43 59 61 71 73 101 103 107 109

137 139 149 151 179 181 191 193 197 199 227 229 239 241 269 271 281 283 311 313 347 349 419 421 431 433 461 463 521 523 569 571 599 601 617 619 641 643 659 661 809 811 821 823 827 829 857 859 881 883

1.019 1.021 1.031 1.033 1.049 1.051 1.061 1.063 1.091 1.093 1.151 1.153 1.229 1.231 1.277 1.279 1.289 1.291 1.301 1.303 1.319 1.321 1.427 1.429 1.451 1.453 1.481 1.483 1.487 1.489 1.607 1.609 1.619 1.621 1.667 1.669 1.697 1.699 1.721 1.723 1.787 1.789 1.871 1.873 1.877 1.879 1.931 1.933 1.949 1.951 1.997 1.999 2.027 2.029 2.081 2.083 2.087 2.089 2.111 2.113 2.129 2.131 2.141 2.143 2.237 2.239 2.267 2.269 2.309 2.311 2.339 2.341 2.381 2.383 2.549 2.551 2.591 2.593 2.657 2.659 2.687 2.689 2.711 2.713 2.729 2.731 2.789 2.791 2.801 2.803 2.969 2.971 2.999 3.001 3.119 3.121 3.167 3.169 3.251 3.253 3.257 3.259 3.299 3.301 3.329 3.331 3.359 3.361 3.371 3.373 3.389 3.391 3.461 3.463 3.467 3.469 3.527 3.529 3.539 3.541 3.557 3.559 3.581 3.583 3.671 3.673 3.767 3.769 3.821 3.823 3.851 3.853 3.917 3.919 3.929 3.931 4.001 4.003 4.019 4.021 4.049 4.051 4.091 4.093 4.127 4.129 4.157 4.159 4.217 4.219 4.229 4.231 4.241 4.243 4.259 4.261 4.271 4.273 4.337 4.339 4.421 4.423 4.481 4.483 4.517 4.519 4.547 4.549 4.637 4.639 4.649 4.651 4.721 4.723 4.787 4.789 4.799 4.801 4.931 4.933 4.967 4.969 5.009 5.011 5.021 5.023 5.099 5.101 5.231 5.233 5.279 5.281 5.417 5.419 5.441 5.443 5.477 5.479 5.501 5.503 5.519 5.521 5.639 5.641 5.651 5.653 5.657 5.659 5.741 5.743


26

5.849 5.851 5.867 5.869 5.879 5.881 6.089 6.091 6.131 6.133 6.197 6.199 6.269 6.271 6.299 6.301 6.359 6.361 6.449 6.451 6.551 6.553 6.569 6.571 6.659 6.661 6.689 6.691 6.701 6.703 6.761 6.763 6.779 6.781 6.791 6.793 6.827 6.829 6.869 6.871 6.947 6.949 6.959 6.961 7.127 7.129 7.211 7.213 7.307 7.309 7.331 7.333 7.349 7.351 7.457 7.459 7.487 7.489 7.547 7.549 7.559 7.561 7.589 7.591 7.757 7.759 7.877 7.879 7.949 7.951 8.009 8.011 8.087 8.089 8.219 8.221 8.231 8.233 8.291 8.293 8.387 8.389 8.429 8.431 8.537 8.539 8.597 8.599 8.627 8.629 8.819 8.821 8.837 8.839 8.861 8.863 8.969 8.971 8.999 9.001 9.011 9.013 9.041 9.043 9.239 9.241 9.281 9.283 9.341 9.343 9.419 9.421 9.431 9.433 9.437 9.439 9.461 9.463 9.629 9.631 9.677 9.679 9.719 9.721 9.767 9.769 9.857 9.859 9.929 9.931

La pareja mayor de primos gemelos conocidos actualmente fue encontrada por

Papp en 2002 es 11033218925 169690 ±⋅ .


27

Lunes 24 Sophie Germain Un primo de Sophie Germain es un primo p que cumple que 2p+1 es tambien primo. Con p = 2 se inicia una secuencia de 5 primos:

2, 5, 11, 23 y 47 Encuentra más secuencias como la anterior Solución

p 2p+1 4p+3 8p+7 16p+15 2 5 11 23 47

179 359 719 1.439 2.879 53.639 107.279 214.559 429.119 858.239 53.849 107.699 215.399 430.799 861.599 61.409 122.819 245.639 491.279 982.559 66.749 133.499 266.999 533.999 1.067.999

126.839 253.679 507.359 1.014.719 2.029.439 143.609 287.219 574.439 1.148.879 2.297.759 167.729 335.459 670.919 1.341.839 2.683.679 186.149 372.299 744.599 1.489.199 2.978.399 206.369 412.739 825.479 1.650.959 3.301.919 254.279 508.559 1.017.119 2.034.239 4.068.479 268.049 536.099 1.072.199 2.144.399 4.288.799 296.099 592.199 1.184.399 2.368.799 4.737.599 340.919 681.839 1.363.679 2.727.359 5.454.719 422.069 844.139 1.688.279 3.376.559 6.753.119 446.609 893.219 1.786.439 3.572.879 7.145.759 539.009 1.078.019 2.156.039 4.312.079 8.624.159 594.449 1.188.899 2.377.799 4.755.599 9.511.199 607.319 1.214.639 2.429.279 4.858.559 9.717.119 658.349 1.316.699 2.633.399 5.266.799 10.533.599 671.249 1.342.499 2.684.999 5.369.999 10.739.999 725.009 1.450.019 2.900.039 5.800.079 11.600.159 775.949 1.551.899 3.103.799 6.207.599 12.415.199 810.539 1.621.079 3.242.159 6.484.319 12.968.639 812.849 1.625.699 3.251.399 6.502.799 13.005.599 819.509 1.639.019 3.278.039 6.556.079 13.112.159 926.669 1.853.339 3.706.679 7.413.359 14.826.719

p 2p+1 4p+3 8p+7 16p+15 32p+31

89 179 359 719 1.439 2.879 63.419 126.839 253.679 507.359 1.014.719 2.029.439

127.139 254.279 508.559 1.017.119 2.034.239 4.068.479 405.269 810.539 1.621.079 3.242.159 6.484.319 12.968.639 810.809 1.621.619 3.243.239 6.486.479 12.972.959 25.945.919

Las secuencias de primos donde cada término es el doble del anterior más uno se llaman secuencias de Cunnigham de longitud k. Si las cadenas no se pueden extender más por abajo o por arriba se les llaman cadenas completas. Ejemplos de cadenas completas de longitudes 2, 3 y 4 son a) 3, 7 . b) 41, 83, 167 c) 509,1019, 2039, 4079


28

Observemos que todos los primos de una cadena completa excepto el último. Son primos de Sophie Germain.

Las tablas muestran todas las cadenas completas de longitud 4 y 5 cuyo primer elemento es menor que un millón. Las hemos obtenido utilizando el programa Derive.

La primera cadena completa de longitud 7 empieza por el primo 1.122.659. Se conoce cadenas de longitud 14. La más pequeña empieza por p= 95405042230542329

Sophie Germain


29

Martes 25 Vacío Empezamos una secuencia de 5 días “no primos”. ¿serias capaz de idear una

formula para hallar cadenas de números consecutivos no primos tan grandes como queramos? Nota: hay obviamente una errata pues los números 23 y 29 son primos. Este enunciado cuadra bien el día anterior Lunes 24, o hay que decir cuatro días no primos. Solución.-Si queremos una cadena de n números compuestos podemos seguir el siguiente procedimiento: 1) Construimos ( )1432 +⋅⋅⋅⋅⋅= nn...m 2) Construimos la cadena m + 2, m + 3, m + 4, ..., m + n, m + n + 1 que consta de n términos donde el primero es divisible por 2, el segundo por 3, el tercero por 4 y así sucesivamente.

Ejemplo: para n = 5, 72065432 =⋅⋅⋅⋅=m . La cadena [722, 723, 724, 725, 726] está formada por números compuestos. Notas: 1) La cadena así construida no es, en general, la cadena de números compuestos de longitud n más pequeña. Ejemplo la cadena [24, 25, 26, 27, 28] es la cadena de longitud 5 más pequeña. Se puede construir una cadena de longitud menor de la siguiente forma: sea p el siguiente primo a n. Formamos el producto q de todos los primos menores o iguales que p. La cadena [q + 2, q + 3, q +4, q+p] está formada por p - 1 números compuestos. Ejemplo para n = 5, p = 7, q = 210 y la cadena [212, 213, 214, 215 , 216, 217] consta de seis números compuestos. 2) Las cadenas así construidas no suelen ser maximales. Es decir por arriba y por abajo puede ser ampliada por números compuestos. En nuestro ejemplo anterior la cadena [720, 721, 722, 723, 724, 725, 726] es un agujero de 7 números compuestos entre dos primos 719 y 727 y la cadena [212, 213, 214, 215, 216, 217, 218, 219, 220, 221, 222] es un agujero de 11 números compuestos entre los primos 211 y 223. 3) La sucesión de los números primos presenta, al lado de estos agujeros de longitud tan grande como queramos, la existencia de primos gemelos como 3 y 5, o 4001 y 4003, de los que se cree que existen infinitos pares.


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Miércoles 26 ABCD Halla los valores A, B, C, y D para que AA, BAB, AAAc y AAAc sean primos.

Solución.- A = 1, B = 9, C = 7 y D =3. Por tanto AA=11, BAB = 919, BACD = 9173, AAAC = 1117 En efecto si A, B, C y D son dígitos del 0 al 9 tenemos que AA = 11. Por inspección el único primo de la forma AAAC = 111C es 1117, luego C = 7. De los números dela forma B1B sólo son primos el 313 y el 919 luego B =3 o B = 9. BACD tiene dos posibilidades 317D o 917D. Examinando todos los casos el único primo es 9173, de donde obtenemos el resultado.


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Jueves 27 Euler Comentario Euler es a la matemática lo que Mozart es a la música. Ambos fueron quizás los mejores en sus disciplinas, los más prolíficos y quienes abarcaron mas ramas o estilos. Sin ninguna discusión ambos son clásicos en su materia. Naturalmente hay diferencias Mozart murió joven y Euler murió viejo y rodeado por sus hijos y nietos. Mozart no tuvo discípulos y Laplace afirmó: “Leed a Euler, es el maestro de todos nosotros” Los problemas de los días 6, 12, 13, 14, 15, 17, 18, 19 y 20 deben algo o mucho a Euler. Basta este dato para señalar su importancia.


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Viernes 28 Felicidad Felicidad = P +5 E +3 N P = Características personales E = Existencia N = Necesidades prioritarias. ¡De nuevo números primos! Comentario Esta fórmula ha sido postulada por un grupo de psicólogos británicos encabezados por Peter Cohen para medir la felicidad de una persona.

Felicidad = P +5 E +3 N La variable P mide las características personales, incluyendo filosofía de la vida,

capacidad de adaptación y resistencia. La variable E mide la existencia, que abarca la salud, estabilidad financiera y

amistades. La variable N mide las necesidades prioritarias, y cubre la auto-estima, las expectativas que tenemos de nuestra vida, la ambición y el sentido del humor. Los valores de P, E y N se obtienen rellenando una encuesta y se les asigna un “peso” de 1, 5 y 3 respectivamente. Observamos que a lo que tenemos de salud, dinero y amor se le otorga el peso máximo, a lo que deseamos un peso de tres y a lo que somos un peso de uno. La fórmula de Cohen no es la primera que intenta medir la felicidad. La formula tradicional es:. ‘la felicidad es inversamente proporcional a la diferencia entre lo que desamos ser y lo que realmente somos .


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Sábado 29 Cuatro seises Usando tan sólo cuatro seises, y todas las operaciones matemáticas que quieras debes de obtener el número 29. Solución: 29 es la diferencia entre el resto de la división de 66 entre 66 ⋅ menos su cociente.


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Domingo 30 A pares Existen varias parejas de primos de la forma xy e yx como por ejemplo 13 y 31, 17 y 71. ¿Existen parejas de tres cifras? ¿y de cuatro? Solución.- Además de las citadas existen las parejas 37 y 73, 79 y 97. De tres cifras existen 14 parejas que se listan en la tabla

Parejas 107 701 113 311 149 941 157 751 167 761 179 971 199 991 337 733 347 743 359 953 389 983 709 907 739 937 769 967

De cuatro cifras existen 102 parejas que se listan en la tabla 1009 9001 1409 9041 3019 9103 7027 7207 1021 1201 1429 9241 3023 3203 7057 7507 1031 1301 1439 9341 3049 9403 7177 7717 1033 3301 1453 3541 3067 7603 7187 7817 1061 1601 1471 1741 3083 3803 7219 9127 1069 9601 1487 7841 3089 9803 7229 9227 1091 1901 1499 9941 3109 9013 7297 7927 1097 7901 1523 3251 3163 3613 7349 9437 1103 3011 1559 9551 3169 9613 7457 7547 1109 9011 1583 3851 3257 7523 7459 9547 1151 1511 1597 7951 3299 9923 7529 9257 1153 3511 1619 9161 3319 9133 7577 7757 1181 1811 1657 7561 3343 3433 7589 9857 1193 3911 1669 9661 3347 7433 7649 9467 1213 3121 1723 3271 3359 9533 7687 7867 1217 7121 1733 3371 3373 3733 7699 9967 1223 3221 1753 3571 3389 9833 7879 9787 1229 9221 1789 9871 3407 7043 7949 9497 1231 1321 1847 7481 3463 3643 1237 7321 1867 7681 3467 7643 9029 9209 1249 9421 1879 9781 3469 9643 9349 9439 1259 9521 1913 3191 3527 7253 9479 9749 1279 9721 1933 3391 3583 3853 9679 9769 1283 3821 1949 9491 3697 7963 1381 1831 1979 9791 3719 9173 1399 9931 3767 7673

3889 9883 3917 7193 3929 9293

2003, un año primo sábado 1...

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