2007 04 algoritm matematic

METROLOGIE, vol LIV (serie nou), 2007, nr. 1 - 4

---------------------------------------------- *) Institutul Naional de Metrologie, os. Vitan Brzeti nr. 11, cod 042122, sector 4, Bucureti, Tel: (+4021) 334 50 60; 334 48 30; 334 55 20

ALGORITM MATEMATIC PENTRU CALCULUL INCERTITUDINII DE MSURARE A UNUI CALIBRU INEL

Elena DUGHEANU

1 Introducere

*

Rezumat: Lucrarea prezint modul de calcul al incertitudinii de msurare a unui calibru inel i algoritmul matematic pentru calculul direct al acesteia. Abstract: The paper presents the mathematic model for the evaluation of the measurement uncertainty for a ring gauge and the algorithm for the computation of its measurement uncertainty. Cuvinte cheie: calibru inel, incertitudine de msurare, algoritm de calcul al incertitudinii Key words: ring gauge, uncertainty measurement, mathematic algorithm

Calibrele cilindrice netede sunt msuri terminale de form cilindric interioar sau exterioar, mrimea materializat fiind diametrul.

Etalonarea unui calibru inel neted s-a efectuat conform cu prescripiile din EAL-G29 i Norma tehnic de metrologie NTM 1-93-90: Etalonarea calibrelor inel. Ca etaloane se folosesc un comparator de lungime tip Abbe i un calibru inel din oel cu diametrul nominal Ds = 40 mm, care difer semnificativ de diametrul calibrului de msurat, care are un diametru nominal de 90 mm. Fora de msurare este constant i are o valoare nominal de 1,5 N pe tot domeniul de msurare. Pentru a menine condiiile de mediu, temperatura este atent monitorizat i este meninut n limitele 20 0C 0,5 0C.

2 Modelul matematic

Diametrul dx al calibrului de etalonat corectat pentru temperatura de referin se obine conform relaiei:

dx = ds + l + li + lT + lP + lE + lA (1) unde: ds diametrul calibrului etalon la temperatura de referin; l diferena observat la deplasarea direciei de msurare cnd palpatoarele ating suprafaa interioar a calibrelor n dou puncte diametral opuse; li corecia pentru erorile de indicaie ale comparatorului; lT corecia datorit efectelor de temperatur asupra calibrului de etalonat, calibrului etalon i comparatorului de lungimi; lP corecia datorit dezalinierii celor dou calibre fa de direcia de msurare; lE corecia datorit deformaiei elastice a calibrului de etalonat i calibrului etalon; lA corecia datorit diferenei dintre erorile de tip Abbe ale comparatorului la msurarea diametrului calibrului de etalonat i a calibrului etalon.

3 Componentele incertitudinii de msurare i algoritmul de calcul La evaluarea incertitudinii de msurare am identificat urmtoarele surse de incertitudine:

- calibrul etalon


Diametrul interior al calibrului etalon mpreun cu incertitudinea extins asociat pentru un factor de extindere k = 2, este: ds = 40,0007 mm 0,2 m; uc = 0,1 m;

- comparatorul de lungimi (li) Coreciile pentru erorile de indicaie a scrii gradate a comparatorului sunt conform

documentaiei tehnice date de productor. n acest exemplu, acestea sunt egale cu: (0,3 m + 1,510-6li), unde li este lungimea indicat n metri. Pentru o diferen de lungime: Dx Ds = (90 40) mm = 50 mm, eroarea este estimat a se afla n intervalul: 0,375 m;

- coreciile de temperatur: Din msurri anterioare i pe baza experienei, se poate constata c abaterile temperaturii

calibrului de etalonat, calibrului etalon i comparatorului de lungime fa de temperatura camerei se gsesc n intervalul 0,2 0C.

Temperatura camerei fa de temperatura de referin nu variaz cu mai mult de 0,5 0C n timpul msurrii. Msurarea este, deci, descris de: abaterea temperaturii din ncperea n care se fac msurrile fa de temperatura de referin i abaterile temperaturii calibrului de etalonat, a etalonului i comparatorului n timpul msurrii, fa de temperatura de referin.

Corecia lT datorit influenei temperaturii este determinat conform relaiei: lT = [Ds(s - R) Dx(x - R)]tA + Dssts Dxxtx (Ds - Dx) RtR (2) unde: Ds, Dx diametrele nominale ale calibrului etalon, respectiv al calibrului de etalonat;R, s, x coeficienii de dilatare termic ai riglei comparatorului, etalonului i calibrului de etalonat; tA = tA t0 reprezint abaterile temperaturii camerei n care se fac msurrile fa de temperatura de referin t0 = 20 0C; t, ts, tR abaterile temperaturii calibrului de etalonat, calibrului etalon i a riglei comparatorului, fa de temperatura camerei n care se face msurarea.

Incertitudinea asociat se determin pe baza urmtoarelor relaii: tTA = [Ds(s - R) Dx(x - R)]tA tTs = Dssts tTx = Dxxtx tTR = (Ds - Dx) RtR (3)

n conformitate cu certificatul de etalonare a calibrului etalon, al datelor productorului referitor la calibrul de msurat i al riglei comparatorului, coeficientul de dilatare corespunztor acestora este presupus egal cu (11,5 1,0)10-6 0C-1. Incertitudinea coeficientului de dilatare este reprezentat de o distribuie dreptunghiular cu limitele: 210 -6 0C-1. Utiliznd aceste valori i limitele variaiei de temperatur de 0,2 0C fa de temperatura camerei, pentru o distribuie dreptunghiular avem urmtoarele contribuii de incertitudine:

u(tTs) = (40 mm11,5 0C-10,2 0C10-3 3)/ = 0,053 m u(tTx) = (90 mm11,5 0C-10,2 0C10-3 3)/ = 0,120 m u(tTR) = (50 mm11,5 0C-10,2 0C10-3 3)/ = 0,066 m u(tTA) = (50 mm2 0C-10,5 0C10-3 3)/ = 0,029 m (4)

Incertitudinea standard asociat coeficientului de dilatare formeaz urmtorul sub buget, conform tabelului 1.

Tabelul 1. Contribuia incertitudinii datorit coeficientului de dilatare

Mrime X

Estimaie xi

Incertitudine standard

u(xi i

Distribuie de probabilitate )

Coeficient de sensibilitate

c

Contribuia incertitudinii

ui i(y) t 0,0 m TA 0,029 m - 1,0 0,029 m t 0,0 m Ts 0,053 m - 1,0 0,053 m t 0,0 m Tx 0,120 m - 1,0 0,120 m t 0,0 m TR 0,066 m - 1,0 0,066 m t 0,0 m T - - - 0,15 m


- corecia de coaxialitate (lP

)()11(2 2 cuDD

lSx

P =

) Abaterea de la coaxialitatea ntre palpatorii mainii i direcia de msurare se presupune

egal cu 20 m. Corecia datorit abaterii presupuse de la coaxialitate i incertitudinea standard asociat este dat de ecuaiile urmtoare (conform EA-4/02 Exprimarea incertitudinii de msurare la etalonare):

(5)

)()11(5

16)( 4222 cu

DDlu

SXP += (6)

unde c reprezint lungimea corzii msurate de la centrul calibrului. Valoarea coreciei este egal cu lP = - 0,004 m. Incertitudinea de msurare asociat calculat cu formula (6) este: u(lP

Nr. crt

) = 0,0065 m. Dup cum se vede, ponderea ei este foarte mic nct se poate neglija;

- deformaiile elastice Deformaia elastic a calibrului de etalonat i a calibrului etalon la contactul cu palpatorii

nu se determin n msurri curente. Din experien, efectele rezultate din deformaiile elastice sunt estimate a fi egale cu: 0,03 m;

- corecia erorii de tip Abbe De asemenea, valorile erorilor de tip Abbe ale comparatorului nu se determin n mod

curent la fiecare msurare. Din experien i etalonri periodice, efectele datorit acestor erori sunt estimate a fi egale cu: 0,02 m;

- msurri (l). n tabelul 2 sunt date rezultatele experimentale obinute la msurarea calibrului n diferite seciuni.

Tabelul 2. Date experimentale

Obiect Observaii Msurand

1 calibru etalon 0. Comparatorul este pus pe zero diametru, care coincide cu axa inscripionat a cilindrului

2 calibrul de etalonat 49,999 35 mm diametru msurat pe o direcie perpendicular pe axa inscripionat a cilindrului (direcie nominal)

3 calibrul de etalonat 49,999 11 mm diametru rotit fa de axa inscripionat cu 1 mm pe circumferin

4 calibrul de etalonat 49,999 72 mm diametru rotit fa de axa inscripionat cu 1 mm pe circumferin

5 calibrul de etalonat 49,999 54 mm

diametru msurat pe axa inscripionat, translatat paralel fa de planul simetric, care conine axa inscripionat fa, cu 1 mm n sus


diametru msurat pe axa inscripionat, translatat paralel fa de planul simetric, care conine axa inscripionat, la mijlocul nlimii calibrului


diametru msurat pe axa inscripionat, translatat paralel fa de planul simetric, ortogonal fa de axa cilindrului, cu 1 mm n jos

Msurrile pot fi mprite pe 2 grupe: msurarea diametrului etalonului care se utilizeaz

pentru punerea comparatorului pe zero (observaia 1) i msurrile calibrului de etalonat


(observaiile 27), care dau diferena diametrelor: =_

l 49,999 54 mm. Abaterea standard pentru o singur determinare: este s(l) = 0,33 m.

Abaterea standard a mediei s-a obinut egal cu: 15,0533,0

1)()(

_==

=

nlsls m, unde n

este numrul de msurri. Abaterea standard pentru o singur observaie s(l) = 0,18 m are n vedere efectele datorit abaterilor de form ale calibrului care se etaloneaz i a repetabilitii comparatorului. Pentru a obine incertitudinea standard asociat diferenei medii dintre diametre, se ia n considerare i incertitudinea datorit punerii pe zero a comparatorului. Aceasta este dedus din estimaia abaterii standard sp

30,0)0()()( 2_

2 =+= pslslu

(0) = 0,25 m, dac se consider rezoluia comparatorului de 1 m. Incertitudinea rezultant referitoare la msurarea diametrelor este:

m

Tabelul 3. Bugetul de incertitudine

mrime X

estimaie xi

incertitudine standard

u(xi i

distribuia de probabilitate )

coeficient de sensibilitate

c

contribuia incertitudinii

ui i(y) d 40,0007 mm s 0,10 m normal 1,0 0,10 m l 49,999 55 mm 0,30 m normal 1,0 0,30 m l 0,0 m i 0,22 m dreptunghiular 1,0 0,22 m l 0,0 mm T 0,15 m normal 1,0 0,15 m l 0,000 004 mm P 0,0065 m dreptunghiular 1,0 0,0065 m l 0,0 m E 0,018 m dreptunghiular 1,0 0,018 m l 0,0 m A 0,012 m dreptunghiular 1,0 0,012 m d 90,000 25 mm x 0,433 m Incertitudinea extins: U = 2 u(dx

innd cont de modelul matematic asociat incertitudinii de msurare, am elaborat un algoritm de calcul care poate fi utilizat pentru calculul direct al incertitudinii, doar prin introducerea urmtoarelor date: valoarea nominal a diametrului calibrului de msurat, diametrul calibrului etalon, valoarea temperaturii la care s-a efectuat msurarea i valorile efectiv msurate cu comparatorul de lungimi.

) = 2 0,433 m = 0,9 m Raportarea rezultatului: Diametrul calibrului msurat este: (90,000 3 0,0009) mm.


Algoritm pentru calculul incertitudinii de msurare a unui calibru inel Date iniiale: diametrul calibrului de etalonat, Dx: Dx 0.09 m diametrul calibrului etalon, Ds: Ds 0.04 m abaterea fa de temperatura de referin, t: t 0.2 0 C coeficientul de dilatare (main, calibru etalon, calibru de etalonat) ; 11.5 0C -1 variaia coeficientului de dilatare, (x,s,m): 2 0C -1 diferena dintre temperaturile etalonului i calibrului,t: t 0.2 0 C incertitudinea calibrului etalon, Uc 0,1+0,5Ds 0.12 m incertitudinea mainii, Um 0,25+0,25Dx 0.2725 m dezalinierea ntre direcia de msurare i palpatori Llp 0.02 m deformaia elastic dintre palpator i calibru le 0.03 m corecia erorii tip Abbe a mainii lA 0.03 m observaii repetate: s 0.296 648 m

0.8 0.3 0.1 0.7 0.3 m varianta Componena incertitudinii: u(xi) u(xi)*u(xi) calibru etalon 0.12 0.0144 main 0.2725 0.074 256 25 temperatur: (Dx-s)t 0.011 561 0.000 133 65 Dssts 0.053 179 0.002 828 026 Dxxtx 0.119 653 0.014 316 883 (Ds-Ds)mt m 0.115 0.066 474 0.004 418 791 coaxialitate 0.011 561 0.000 133 65 deformaii elastice 0.017 341 0.000 300 712 corecia tip Abbe 0.017 341 0.000 300 712 s 0.296 648 0.088 variana 0.199 088 673 incertitudinea compus uc: 0.446 193 538 m incertitudinea extins U k = 2 0.892 387 076 m 0.9 m


4 Concluzii

Calibrele etalon reprezint o poziie important n schema de ierarhizare a mijloacelor de msurare pentru domeniul lungimii, ntruct ele se utilizeaz de ctre laboratoarele de metrologie att pentru diseminarea unitii de msur n domeniul calibrelor netede, ct i pentru reglarea mainilor de msurat lungimi din ntreaga industrie.

Algoritmul de calcul elaborat pentru calculul incertitudinii de msurare a calibrelor inel are o larg i direct aplicabilitate n multe laboratoare de metrologie de vrf sau industriale, fiind accesibil utilizatorilor. De asemenea, poate constitui un model pentru elaborarea a noi algoritmi de calcul pentru alte etaloane de referin i de lucru existente n laboratoarele de metrologie. Bibliografie [1] SR EN ISO 13005:2003, Ghid de exprimare a incertitudinii de msurare [2] Boiciuc D, Elena Dugheanu, Cramarescu R, Schema de ierarhizare a etaloanelor din domeniul Lungimi, Metrologie 1 (1999), pp 23-29 [3] R. Cramarescu, Norma Tehnic de Metrologie: NTM 1-93-90: Etalonarea calibrelor netede, Ed. Tehnic, Bucureti,1990 [4] EA -4/02: Expression of the Uncertainty of Measurement in Calibration, 1999, pp 72-79 [5] Procedura specific PS 30 1.1 - INM: Etalonarea calibrelor cilindrice netede. ------------- Prezentat n data de: 15 septembrie 2006; acceptat n data de: 15 octombrie 2006 Revizie tiinific: dr. ing. Drago BOICIUC

Absolvent a Institutului Politehnic Bucureti, Facultatea de Mecanic, secia Mecanic Fin, 1984

Cercettor tiinific II la Institutul Naional de Metrologie, 2003 Sef colectiv Lungimi la Institutul Naional de Metrologie, 2000 Teza de doctorat susinut la Universitatea Politehnica din Bucureti,

Facultatea Electronic, Telecomunicaii i Ingineria Informaiei, oct.2007

Elena DUGHEANU

2007 04 algoritm matematic

Documents