Prof. V. LIUTIKO VIII komandinė jaunųjų matematikųOLIMPIADA

Kretingos Simono Daukanto v.m.2009 10 27

1. Trikampio ABC kampas BAC yra status, o kraštinės AB ir BC atitinkamai lygios1 ir 3. Taškas K dalija AC santykiu 7 : 1, skaitant nuo viršūnės A. Kuri atkarpadidesnė, AC ar BK? (4 balai.)

2. Egiptietiškojo trikampio kraštinės lygios 3, 4 ir 5. Kam lygus į jį įbrėžtojo apskritimospindulys? (3 balai.)

3. Į apskritimą įbrėžtas keturkampis ABCD, kurio ∠A = 120◦ ir ∠B = 80◦. Kam lygūskampai C ir D? (3 balai.)

4. Iš visų vienaženklių natūraliųjų skaičių sudarykite kvadratinę lentelę iš trijų eilučių potris skaičius kiekvienoje eilutėje tokią, kad eilutėse, stulpeliuose ir įstrižainėse esančiųskaičių sumos būtų lygios r = 15. Tokia lentelė vadinama magiškuoju kvadratu. (4balai.)

5. Ar skaičius 49 + 610 + 320 yra pirminis? (4 balai.)

6. Kam lygus santykis xy, jei žinome, kad x > 0, y > 0, x − 2y > 0 ir 2 lg(x − 2y) =

lg x+ lg y? (4 balai.)

7. Raskite tokią funkciją f(x), su kuria būtų teisinga lygybė

xf(x) + f(1− x) = x2 + 2. (5 balai.)

8. Raskite tokį smailųjį kampą α, kad kvadratinė lygtis

x2 + 4x cosα + ctgα = 0

turėtų vienintelę šaknį. (4 balai.)

9. Su kuriomis sveikosiomis n reikšmėmis reiškinion4 + 1

n2 + n+ 1

reikšmė taip pat yra sveikasis skaičius? (4 balai.)

10. Kaip įrodyti, kad su bet kuriais m,n ∈ N skaičius (m + n)! dalijasi iš m! · n! ? (5balai.)