UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO

FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS

COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO

Sinodales: M.I. Mayverena Jurado Pineda

Ing. Sergio Carlos Crail Corzas

23 de Septiembre de 2009 TIPO “ A ” Semestre 2010-1

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen

antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Calcular el valor medio de la función f cuya gráfica se muestra abajo

10 puntos

2. Calcular

( )2 3 4 34x x ln x

xa ) e dx b ) lim e ln x−

→∞∫

15 puntos

1EE10-1 3. Efectuar

( )

2

32

1

2 3

x x xa ) e cos xdx b ) dx c ) dx

x xx

−

+− +∫ ∫ ∫

20 puntos

4. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor

del eje de las ordenadas, la región limitada por las curvas de ecuación

0y ln x , y= = y 2x = .

15 puntos

5. Determinar el dominio de la función f y representarlo gráficamente, si

( ) ( ) ( )2 1 2f x , y ln ln y x= − − +

10 puntos

6. Por efecto de la temperatura un cono se contrae pasando la longitud de su altura

de 10cm a 9.7 cm y la de su radio de 5cm a 4.8cm. Calcular, de manera

aproximada por medio de diferenciales, el incremento que sufre el volumen del

cono.

15 puntos

7. Calcular la derivada direccional de la función ( )1

f x , yx y

= en el punto

11 2

2, ,

y en la dirección del vector 1

12

v ,

=

15 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE MATEMÁTICAS

CÁLCULO INTEGRAL

PRIMER EXAMEN EXTRAORDINARIO

Sinodales: M.I. Mayverena Jurado Pineda

Ing. Sergio Carlos Crail Corzas

23 de Septiembre de 2009 TIPO “ B ” Semestre 2010-1

INSTRUCCIONES: Leer cuidadosamente los enunciados de los 7 reactivos que componen el examen

antes de empezar a resolverlos. La duración máxima del examen es de 2.5 horas.

1. Calcular el valor medio de la función f cuya gráfica se muestra abajo

10 puntos

2. Calcular

( )2 3 4 34x x ln x

xa ) e dx b ) lim e ln x−

→∞∫

15 puntos

1EE10-1 3. Efectuar

( )

2

32

1

2 3

x x xa ) e cos xdx b ) dx c ) dx

x xx

−

+− +∫ ∫ ∫

20 puntos

4. Calcular el volumen del sólido de revolución que se genera al hacer girar alrededor

del eje de las ordenadas, la región limitada por las curvas de ecuación

0y ln x , y= = y 2x = .

15 puntos

5. Determinar el dominio de la función f y representarlo gráficamente, si

( ) ( ) ( )2 1 2f x , y ln ln y x= − − +

10 puntos

6. Por efecto de la temperatura un cono se contrae pasando la longitud de su altura

de 10cm a 9.7cm y la de su radio de 5cm a 4.8cm. Calcular, de manera

aproximada por medio de diferenciales, el incremento que sufre el volumen del

cono.

15 puntos

7. Calcular la derivada direccional de la función ( )1

f x , yx y

= en el punto

11 2

2, ,

y en la dirección del vector 1

12

v ,

=

15 puntos

UNIVERSIDAD NACIONAL AUTONOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA

CÁLCULO INTEGRAL

Solución del Primer Examen Extraordinario

Semestre 2010 – 1

1. El valor medio se calcula por medio de la expresión ( )

( )b

a

f x d x

f cb a

=−

∫ de

la interpretación geométrica se tiene que a partir de la figura

( )

( )( )

( )

4

2

3 7 42

2 2 2

2 2 1

4 2 6 3

1

3

f x d x

f c

R e spuesta

f c

−

= − + = =

∴ = = =− −

=

∫

10 puntos

2. a) Por las propiedades de la función ln x y xe , la integral se puede

escribir como

( )

32 4 2 3

5

5 5

5

4 4 4

1 44 4 5

5 5 4

4

5 4

xx ln x x

x

x x

x

I e dx dx

I dx dx Cln

Re spuesta

I Cln

= ⋅ = ⋅

= = = +

= +

∫ ∫

∫ ∫

S1EE10-1

b)

3

xx

ln xlim

e→∞

∞=

∞, se puede aplicar la regla de L’Hôpital

2

3 3

3

3

30

0

x x xx x x

xx

x

ln x xlim lim lime e xe

Re sultado

ln xlim

e

→∞ →∞ →∞

→∞

= = =

=

15 puntos

3. a) Por partes

1

x

x

x x

I

u e dv cos x dx

du e dx v sen x

I e sen x e sen x dx

= =

= =

= −∫�������

I1 a su vez por partes

( )

2

2

x

x

x x x

x x x

I

x x

x

u e dv sen x dx

du e dx v cos x

I e sen x e cos x e cos x dx

I e sen x e cos x e cos x dx

I e sen x e cos x C

Re sultado

eI sen x cos x C

= =

= = −

= − − +

= + −

⇒ = + +

= + +

∫∫�������

S1EE10-1

b) Por sustitución trigonométrica

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

2

2

2

2 2

2 2

2 2

2 3

2 3 3

3

3 23

3

3 2

3 2

2 3 2 3 23 2

3 3 3

2 3 2 2 3 2

2 3 2 2 3 2

x tan

x sec

dx sec d

tanI sec d

sec

I sec tan d sec d

I sec ln sec tan C

x x xI ln C

I x ln x x C

Re sultado

I x ln x x C

θ

θ

θ θ

θθ θ

θ

θ θ θ θ θ

θ θ θ

− =

− + =

=

+⇒ =

= +

= + + +

− + − + −= + + +

= − + + − + + − +

= − + + − + + − +

∫∫ ∫

c) Por fracciones parciales

( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

2

22

2 2

1

11

1 1

0

1

1

0 2 2 1

1

0 2 2 2

x A Bx C

x xx x

x A x Bx C x

si x

A

si x

B C B C

si x

C B C B

− += +

++

⇒ − = + + +

=

⇒ = −

=

⇒ = − + + ⇒ + =

= −

⇒ = − − − ⇒ − = −

�

�

S1EE10-1

( ) ( )

( )

2

3 2

2

3 2 2

22

1 2

2 0 2 0

1 1 2

1

1 2 1 2

1 1

11

1

1

si

C B y C

x x

xx x x

x x x dxdx dx dx

x xx x x x

xI ln x ln x C ln C

x

I ln x Cx

Re sultado

I ln x Cx

+

⇒ = ⇒ = =

− −⇒ = +

+ +

− ⇒ = − = −

+ + +

+= + − + = +

= + +

= + +

∫ ∫ ∫ ∫

20 puntos

4. Sea la región indicada en la figura

2 2

2

2 2

2

0

2

14

2

1 14 2 0

2 2

y

y

ln

ln

e dy V

V y e

V ln e

π

π

π

− =

= −

= − − −

∫

S1EE10-1

224

3

3

1 12

2 2

16 1

4 2

14

2

14

2

ln

V ln e

V ln

V ln u

Resultado

V ln u

π

π

π

π

= − +

= +

= +

= +

15 puntos

5. Debe cumplirse que

( )

( )

2 1 2 0

1 2 2

1 2 2

2 1

1 2

1

2 2

1

2 2

ln ln y x

ln y x ln

y x

y x

x y

xy

R e su ltado

xy

− − + ≥

− + ≤

⇒ − + ≤

− + ≤

− ≤

≥ −

≥ −

10 puntos

S1EE10-1

6. Sea 21

3V r hπ= si dV V∆= entonces

V VdV dr dh

r h

∂ ∂= +

∂ ∂por

lo que

2

2

3

3

2

3 3

2 2 310 5 5

3 10 3 10

20 5 55

3 2 6

55

6

dV rh dr r dh

dV

dV dV cm

Re sultado

dV cm

ππ

ππ

π π π

π

= +

= ⋅ − + −

= − − ⇒ = −

= −

15 puntos

7. Sea 1 5

25vu ,

=

y sea f f

f i jx y

∂ ∂∇ = +

∂ ∂entonces

1 1

pp p

f i jx y

∇ = − − si 1

1 22

p , ,

( )1 2

1 11

2 2,f i j ,

⇒∇ = − − = − −

, la derivada direccional pedida es

1 1 5 1 5 4 51

2 2 45 5 4 5

9 5 9 5

204 5 5

9 5

20

v

dff u , ,

du

df

du

Re sultado

df

du

− − = ∇ ⋅ = − − ⋅ = − − =

− −= ⋅ =

−=

15 puntos