2010 - volume 1 - caderno do aluno - ensino médio - 2ª série - matemática
DESCRIPTION
Caderno do Professor com todas atividades e respostas para uso em dúvidas. Atenção: As respostas contidas aqui tem o objetivo de contribuir para um maior conhecimento e não apenas serem copiadas, já que se for pra copiar e não aprender nada, não perca seu tempo. Assim tire proveito das atividades.TRANSCRIPT
1
Caro Professor,
Em 2009 os Cadernos do Aluno foram editados e distribuídos a todos os estudantes da rede estadual de ensino. Eles serviram de apoio ao trabalho dos professores ao longo de todo o ano e foram usados, testados, analisados e revisados para a nova edição a partir de 2010.
As alterações foram apontadas pelos autores, que analisaram novamente o material, por leitores especializados nas disciplinas e, sobretudo, pelos próprios professores, que postaram suas sugestões e contribuíram para o aperfeiçoamento dos Cadernos. Note também que alguns dados foram atualizados em função do lançamento de publicações mais recentes.
Quando você receber a nova edição do Caderno do Aluno, veja o que mudou e analise as diferenças, para estar sempre bem preparado para suas aulas.
Na primeira parte deste documento, você encontra as respostas das atividades propostas no Caderno do Aluno. Como os Cadernos do Professor não serão editados em 2010, utilize as informações e os ajustes que estão na segunda parte deste documento.
Bom trabalho!
Equipe São Paulo faz escola.
2
GABARITO
Caderno do Aluno de Matemática – 2ª série – Volume 1
Páginas 4 - 10
1. Uma possível resposta:
2. Amplitude: m45,02
9,0
2
1,01
.
Período: 1 ano.
3. Imagem: {y R / 0,1 ≤ y ≤ 1,0}.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 1
O RECONHECIMENTO DA PERIODICIDADE
3
As sombras longas
4.
a) Não, pois ao nascer e ao pôr do sol, os raios solares que tocam o topo da estaca e
produzem a sombra são paralelos ao solo onde está a estaca, tornando o comprimento
da sombra muito grande, não podendo mais ser medido.
b) Uma possível resposta:
c) Período: 24 horas
5.
a) Período: 2, imagem: [–1; +1], amplitude: 1
b) Período: 4, imagem: [–4; +4], amplitude: 4
c) Período: 2, imagem: [–3; +3], amplitude: 3
4
Páginas 10 - 11
1.
a) Uma possível resposta:
0
20
40
60
0,0 s 0,5 s 1,0 s 1,5 s 2,0 s 2,5 s 3,0 s 3,5 s 4,0 s
tempo
Comprimento da Mola
b) Período: 2 / Amplitude: 20
2.
a) Função 1 (período 8)
b) Função 2 (amplitude 2)
5
Páginas 17 - 19
1.
2. = 135º e = 150º
3. = 300º e = 330º
4.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 2
A PERIODICIDADE E O MODELO DA CIRCUNFERÊNCIA TRIGONOMÉTRICA
6
Páginas 20 - 21
1.
2. 210º e 240º
3. 45º e 225º
Páginas 21 - 26
1.
a) x = 2m 2
245 osen
2
245cos o
b) x = 2
3m
2
360 osen
2
160cos o
7
c) x = 2
3m
2
130 osen
2
330cos o
2.
a) e b)
c)
ÂÂnngguulloo ((ºº)) 00 3300ºº 4455ºº 6600ºº 9900ºº 112200ºº 113355ºº 115500ºº 118800ºº
SSeennoo 0 0,5 0,7 0,9 1 0,9 0,7 0,5 0
CCoosssseennoo 1 0,9 0,7 0,5 0 –0,5 –0,7 –0,9 –1
8
ÂÂnngguulloo ((ºº)) 221100ºº 222255ºº 224400ºº 227700ºº 330000ºº 331155ºº 333300ºº 336600ºº
SSeennoo –0,5 –0,7 –0,9 –1 –0,9 –0,7 –0,5 0
CCoosssseennoo –0,9 –0,7 –0,5 0 0,5 0,7 0,9 1
3.
Página 27
1.
a) 2
2 b) 0 c) 0
d) 2
3 e)
2
3 f)
2
3
2.
a) Não.
b) Sim.
c) Sim.
9
d) Não.
Páginas 27 - 31
1.
a) 14159,3diâmetro
ocompriment
b) 28318,622
r
ocompriment
r
ocompriment
diâmetro
ocompriment
2.
a) Observando o desenho, meia circunferência equivale a, aproximadamente, 3,14
rad.
b) Uma semicircunferência é equivalente a meia circunferência, como verificamos
no item (a); a medida de meia circunferência equivale a, aproximadamente, 3,14 rad.
3.
a) 1,5 rad
b) 1,5 rad
4.
a) rad
b) 3
rad
c) 3
2rad
5.
a) 48
2 rad, isto é, 45º
b) AB = 4
rad AC =
24
2 rad AD =
4
3 rad
AF = rad AH = rad 4
54
7
10
6.
a) A medida do arco AC é cerca de 3,14 vezes maior do que a medida do arco AB.
b) O arco AD mede 2
3 radianos, medida essa que é, aproximadamente, 4,7
radianos. Portanto, o arco AD é cerca de 4,7 vezes maior do que o arco AB.
c) Um arco de comprimento igual à circunferência mede 2 radianos, ou,
aproximadamente, 6,28 radianos. Assim, são necessários cerca de 6,28 arcos de
medida igual à do arco AB para completar uma volta da circunferência.
7.
A: 6
B:
6
5
6
C: 6
7
6
D: 6
11
62
E: 4
F:
4
3
4
G: 4
5
4
H: 4
7
42
I: 3
J:
3
2
3
L: 3
4
3
M: 3
5
32
N: 5
P:
5
4
5
Q: 5
6
5
R: 5
9
52
Páginas 31 - 32
1.
a)
6
352
6
236
312
6
19
b)
6
472
6
356
432
6
31
11
2.
a) 2
5
2
e b)
6
17
6
13,
6
5,
6
e
c) 3
8
3
7,
3
2,
3
e d) 43,2,,0 e
12
Páginas 35 - 41
1.
Tabela 1
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 3
GRÁFICOS DE FUNÇÕES PERIÓDICAS ENVOLVENDO SENOS E COSSENOS
13
Tabela 2
2 e 3. A constante A está relacionada à amplitude da onda, isto é, à distância entre o
eixo horizontal e o valor máximo ou mínimo da função. A imagem da função, nesse
caso, será o intervalo
[–A, +A], se A > 0.
4.
14
5. O período da função y = cosx é 2, enquanto o período da função y = cos
2
x é 4.
6.
a)
15
b)
7.
a)
16
b)
CCoommppaarraaççããoo eennttrree ooss ddooiiss ggrrááffiiccooss
FFuunnççããoo y = senx y = –1 + 2sen
2
x
PPeerrííooddoo 2
2
12
= 4
IImmaaggeemm [–1; +1] [–3; +1]
AAmmpplliittuuddee 1 2
Páginas 41 - 42
1.
FFuunnççããoo y = 2 + senx y = 1 + 2cos
4
x
PPeerrííooddoo 2 8
IImmaaggeemm [+1; +3] [–1; +3]
AAmmpplliittuuddee 1 2
17
2. A = 5
12
124
2 B
B
12
5x
seny
Páginas 43 - 47
1 e 2.
y = 5senx
y = ‐ 3senx
y = senx
3. Varia a amplitude do gráfico e, portanto, também a imagem da função.
4.
a) R
b) [–A; +A]
c) 2
18
5.
y = senx
y = sen2x
y = sen4x
6. A diferença está no período das funções.
7.
y = senx y = sen(x/2) y = sen(x/4)
19
8.
y = cos(x/2)
y = cosx
y = cos(2x)
9.
a) R
b) [–A; +A]
c) B
2
10.
a) R
b) [–5; +5]
c) 10
2e
20
Página 48
1. A amplitude da projeção vertical é igual a 4 cm, correspondente à medida do raio da
circunferência. O período, isto é, o tempo para o corpo completar uma volta na
circunferência, é igual a 2 segundos, o que permite concluir que o valor da constante
B é, nesse caso, igual a . Associando a medida da projeção (P) sobre o eixo vertical
ao valor do seno do arco, podemos escrever a seguinte equação: P = 4sen(t), na
qual t é dado em segundos e P em centímetros.
O gráfico da situação, para três períodos do movimento, é este:
21
Páginas 50 - 51
1.
a) Adotando x = 90, para facilitar os cálculos correspondentes ao número de dias
do período, tem-se:
365
90.2.
3
7
3
35 senN . Aproximando 365 360, temos:
23
7
3
35 senN . Portanto, N 14 horas.
b) Adotando x = –90, visto que junho antecede setembro em três meses, e adotando
a simplificação realizada no item anterior, temos:
horassenN 3,93
28)1(
3
7
3
35)
2(
3
7
3
35
c) 6,07
4
365
.2
365
2.
3
7
3
3513
xsen
xsen
. Precisamos responder: qual é
o arco, em radianos, cujo seno é igual a 0,6? A resposta, de acordo com a calculadora
científica, é 0,64. Assim, 2,3764,0365
.2 x
x Para encontrar o dia desejado,
precisamos contar 37 dias a partir de 23 de setembro. Feito isso, obteremos 30 de
outubro.
SITUAÇÃO DE APRENDIZAGEM 4
EQUAÇÕES TRIGONOMÉTRIAS
22
A periodicidade da pressão sanguínea
Página 51
2. Professor, solicite aos alunos que analisem o gráfico e indiquem a imagem,a
amplitude e o período da função. Imagem 120,80 ; amplitude 202
80120
; período
0,75 = 4
3
3.
a)
mmHgPP
PPt
tP
110)2(10100)2(
)5,0(.20100)2(3
2.8cos.20100)2(
3
.8cos.20100)(
b)
Zkk
tkt
kttt
tP
,16
63
23
.8
2cos
3
.8cos0
3
.8cos
3
.8cos.20100100)(
Os possíveis valores de k, neste caso, são 0, 1 e 2, de modo que os valores de t serão:
16
15
16
9,
16
3e segundos.
Páginas 52 - 53
1.
a) 7360
)101146(2.50
senT 4274
.50
TsenT
ºF ou
CT º5,58,1
10 .
23
b) A temperatura máxima ocorrerá quando o valor do seno for máximo, isto é, for
igual a 1. Portanto, a temperatura máxima será 57 ºF, ou Cº148,1
25 . Para que o
valor do seno seja igual a 1 é preciso que o arco seja igual a 2
rad.
Assim,
1912360
101.2
t
t . Assim, a temperatura máxima da cidade será de
14º C, 191 dias após 1º de janeiro, isto é, por volta de 10 de julho.
c) Não, pois a temperatura máxima da cidade é 14 ºC, no mês de julho. Portanto a
cidade está localizada em um país do Hemisfério Norte, em latitude alta, como, por
exemplo, Finlândia ou Noruega.
Desafio !
Página 56
1.
13
25,08,1
tseny
, com t em dias e y em metros.
2.
)6(5,08,1
13
39.25,08,1
senseny 1,8 m
3. 2,05 = 1,8 +
13
.25,0
tsen
13
.25,0
tsen
= 0,25
13
.2 tsen
= 0,5
kt 2
613
2 ou
kt 26
5
13
2 , isolando t, temos: t = k13
12
13 , ou t =
k1312
65 Atribuindo valores naturais para k, obtém-se os valores de t no intervalo
que se desejar.
AJUSTES
Caderno do Professor de Matemática – 2ª série – Volume 1
Professor, a seguir você poderá conferir alguns ajustes. Eles estão sinalizados a cada
página.
54
desenhar um gráfico que reflita a periodici-
dade e que possa ser modelado por uma fun-
ção trigonométrica. Observe, por exemplo, o
gráfico do porto do Recife durante um perío-
do de dois meses. No eixo horizontal estão
assinalados os números de observações, cujo
valor máximo chega próximo de 120, o que é
razoável visto que ocorrem, em média, duas
marés altas por dia, e o período do gráfico
compreende 2 meses.
Podemos obter a equação desse gráfico,
do tipo y = C + AsenBx, se fizermos algumas
simplificações:
adotar que o gráfico é uma senoide. f
traçar uma linha horizontal para iden- f
tificar a constante C da equação. No
caso, C ≅ 1,8.
identificar o valor da amplitude A f ≅ 0,5.
deslocar a origem do sistema para o f
ponto de observação nº- 25, de maneira
que todos os demais valores de observa-
ção passem a ser subtraídos de 25.
identificar o período do gráfico, corres- f
pondente, nesse caso, a 26 observações.
Como, em média, são duas obser-
vações por dia, o período do grá-
fico, em dias, é aproximadamente
igual a 13 dias. Assim, a constante
B = 2π13
.
a) De acordo com as simplificações rea-lizadas, qual é a equação da função que pode ser representada por esse gráfico?
y = 1,8 + 0,5sen 2π13
t, com t em dias e y em
metros.
b) Qual será a altura da maré no 39º- dia de observação?
1,8 m.
c) Quais serão os dias em que a maré alta atingirá 2,05 m de altura?
2,05 = 1,8 + 0,5sen 2π13
t ⇒ sen 2π13
t = 0,5
⇒ 2π13
t = π6
+ 2kπ
ou 2π13
t = 5π6
+ 2kπ . (Isolando t, tem-se:
t = 13
12 + 13k, ou t =
65
12 + 13k. Atribuindo
altura (m)
Tábua de marés - Recifeagosto/setembro 2004
1
1019181716151413121111 111
2,5
2
1,5
0,5
0
altura (m)
Tábua de marés - Recifeagosto/setembro 2004
1
1019181716151413121111 111
2,5
2
1,5
0,5
0
51 – 25