2012 년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세

2012 년 봄학기강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세

이산수학 (Discrete Mathematics) 증명 방법

(Methods of Proof)

Discrete Mathemat-icsby Yang-Sae Moon

증명의 중요성

수학에서 증명이란• 수학적 문장의 진실성을 정밀하고 부정할 수 없도록 설명하는 정확 (correct) 하고 완전

(complete) 한 기술이다 .• A correct (well-reasoned, logically valid) and complete (clear, detailed) ar-

gument that rigorously and undeniably establishes the truth of a mathemati-cal statement

증명에서의 기본적 사항• 정확성 : Correctness prevents us from fooling ourselves.• 완전성 : Completeness allows anyone to verify the result.

1.5 Methods of Proof


증명의 응용 분야

학문의 많은 분야에서 , 논리적이고 정확한 의사 교환 (clear communication)을 위해 사용한다 .수학 분야의 기본적인 행동 ( 연구 ) 은 흥미롭고 밝혀지지 않은 많은 정리

(theorem) 를 증명을 통해 발견하는 것이다 .정리의 증명은 프로그램 검증 (program verification), 컴퓨터 보안 , 자동화된

추론 시스템 (automated reasoning system) 등에서 사용된다 .. . .



용어 (Terminology) (1/3)

정리 (theorem)• 정리란 참 (true) 으로 밝혀진 명제이다 .• A statement that has been proven to be true.

공리 (axiom, postulates)• 증명된 정리 혹은 증명하고자 하는 정리의 가정 / 명제이다 . ( 증명이 불필요

한 )• Assumptions (often unproven) defining the structures about which

we are reasoning. ( 예 : n 이 짝수라면 n = 2k 라 나타낼 수 있다 .)

추론 규칙 (rules of inference)• 논리적으로 유효한 주장 (logically valid deductions) 을 사용하여 , 가정을

결론으로 이끌어가는 증명의 과정이다 .• Patterns of logically valid deductions from hypotheses to conclu-

sions.




보조정리 (lemma)• 다른 정리를 증명하는데 사용하는 간단한 정리이다 .• A minor theorem used as a stepping-stone to proving a major theo-

rem.“ 복잡한 내용이 정리이고 , 간단한 내용이 보조정리”를 의미하는 것은 아님에

유의 !

따름정리 (corollary)• 어떤 정리가 증명되면 , 이에 의하여 자연스럽게 증명되는 정리이다 .• A minor theorem proved as an easy consequence of a major theo-

rem.




가설 (conjecture)• 증명되지는 않았지만 참으로 믿어지는 명제이다 .• A statement whose truth values has not been proven.

(A conjecture may be widely believed to be true, regardless.)

이론 (theory)• 주어진 공리 (axiom) 으로부터 증명이 가능한 모든 정리 (theorem) 의

집합이다 .• The set of all theorems that can be proven from a given set of ax-

ioms.



추론 규칙 (Inference Rules) (1/2)

추론 규칙의 의미• 주어진 가정 (antecedent) 이 참 (true) 일 때 , 결론 (consequent) 가

참이라는 패턴• “x = 3”(= p) 이면 , “x + 1 = 4”(= q) 이다 .

- 상기 예에서 p( 가정 ) 가 참이면 , q( 결론 ) 은 참이 된다 .

추론 규칙의 표기


antecedent 1antecedent 2 … consequent

가정

결론

“” 은 “ therefore” 를 의미한다 .


추론 규칙 (Inference Rules) (2/2)1.5 Methods of Proof

각 추론 규칙은 “항진 명제인 함축 (implication)” 에 해당한다 .ant.1ant.2 … con.

에 해당하는 tautology 는 “ ((ant.1 ant.2 … ) con.” 이다 .


추론 규칙 예제 (1/2)

예제• “It is below freezing now. Therefore, it is either below freezing or

raining now.” 가 참인 것은 어떤 추론 규칙에 근거하는가 ?• 풀이

− p = “It is below freezing now.”, q = “It is raining now.”− 주어진 문장은 다음과 같은 추론 규칙에 근거하며 , 이를 addition rule 이라 한다 .


p p q


추론 규칙 예제 (2/2)

예제• “If it rains today, then we will not have a barbecue today.

If we do not have a barbecue today, then we will have a barbecue tomorrow. Therefore, if it rains today, then we will have a barbecue tomorrow.” 의

추론 근거는 ?

• 풀이

− p = “It is raining today.”− q = “We will not have a barbecue today”− r = “We will have a barbecue tomorrow.”


p qq r

p rHypothetical syllogism

( 삼단논법 )


추론 규칙 종류 (1/2)1.5 Methods of Proof

Rule of infer-ence

Tautology Name

p p q p (p q) Addition

p q p (p q) p Simplification

pq

p q((p) (q)) (p q) Conjunction

pp q

q(p (p q)) q

Modus ponens ( 긍정 논법 )(the mode of affirming)

¬qp q

¬p(¬q (p q)) ¬p

Modus tollens ( 부정 논법 )(the mode of denying)

p q 가 true 이면 , 당연히 p 와 q 모두 true 이다 .p 가 true 인 상태에서 p q 가 true 이면 , 당연히 q 는

true 이다 .


추론 규칙 종류 (2/2)1.5 Methods of Proof

Rule of infer-ence

Tautology Name

p qq r

p r((p q) (q r)) (p r) Hypothetical syllogism

( 삼단 논법 )

p q¬p

q((p q) ¬p) q Disjunctive syllogism

p q¬p r

q r((p q) (¬p r)) (q r) Resolution ( 분해 )

p 가 false 이고 p q 이 true 이면 , 당연히 q 는 true 이다 .


Formal Proofs (1/2)1.5 Methods of Proof

Formal Proof 의 정의• Formal proof 란 주어진 가정 (antecedent) 에 기반하여 추론 규칙을

적용한 일련의 단계 (step) 를 거쳐서 결론 (consequent) 을 도출하는 과정이다 .− A formal proof of a conclusion C, given antecedents p1, p2, …, pn

consists of a sequence of steps, each of which applies some infer-ence rule to antecedents or to previously proven statements to yield a new true statement (the consequent).

• 증명 (proof) 은 주어진 모든 가정이 true 일 때 결론이 true 임을 보이는 과정이다 .− A proof demonstrates that if the antecedents are true, then the

conclusion is true.


Formal Proofs (2/2)1.5 Methods of Proof

예제• 다음 가정이 “ We will be home by sunset.” 이라는 결론을 도출함을 보여라 .

− “It is not sunny this afternoon and it is colder than yesterday.”− “We will go swimming only if it is sunny.” ( If we will go swimming, then it is sunny

this …)− “If we do not go swimming, then we will take a canoe trip.”− “If we take a canoe trip, then we will be home by sunset.”

• 풀이− p = “It is sunny this afternoon.”− q = “It is colder than yesterday.”− r = “We will go swimming.”− s = “We will take a canoe trip.”− t = “We will be home by sunset.”

단계 과정 이유1 ¬p q 가정

2 ¬p 단계 1 의 simplification3 r p 가정

4 ¬r 단계 2, 3 기반의 Modus tol-lens

5 ¬r s 가정

6 s 단계 4, 5 기반의 Modus po-nens

7 s t 가정

8 t 단계 6, 7 기반의 Modus po-nens

p p q q

Modus po-nens

¬q p q ¬p

Modus tol-lens


Inference Rules for Quantifiers (1/3) 1.5 Methods of Proof

Quantifier 를 포함하는 추론 규칙• Universal instantiation

− xP(x) 가 주어졌을 때 , xP(x) 이 true 라면 , domain 에 속하는 임의의 값 ( 요소 ) c 에 대해서 P(c) 가 true 임을 보이는데 사용되는 추론 규칙이다 .

• Universal generalization

− xP(x) 가 주어졌을 때 , domain 에 속하는 모든 값 ( 요소 ) c 에 대해서 P(c) 가 true 이면 , xP(x) 가 true 임을 보일 때 사용되는 추론 규칙이다 .

• Existential instantiation

− xP(x) 가 주어졌을 때 , xP(x) 가 true 라면 , domain 안에 P(c) 를 true 로 하는 값 ( 요소 ) c 가 적어도 하나 이상 있다는 것을 나타내는 추론 규칙이다 .

• Existential generalization

− xP(x) 가 주어졌을 때 , 특정 값 ( 요소 ) c 에 대해서 P(c) 가 true 이면 , xP(x) 이 true 라는 추론 규칙이다 .



Quantifier 사용 명제의 추론 규칙 정리

Rule of inference Tautology NamexP(x)

P(c) xP(x) P(c) Universal in-stantiation

P(c) for an ar-bitrary c\ xP(x)

P(c) for an arbitrary c xP(x) Universal gen-eralization

xP(x) P(c) for some c

xP(x) P(c) for some c Existential in-stantiation

P(c) for some c\ xP(x)

P(c) for an some c xP(x) Existential gen-eralization



예제 • 다음 가정이 “ Maria has taken a course in computer science.” 이라는 결론을

도출함을 보여라 .− “Everyone in this discrete mathematics class has taken a course in computer sci-

ence.”− “Maria is a student in this class.”

• 풀이− D(x) = “x is in this discrete mathematics class.”− C(x) = “x has taken a course in computer science.”− 가정 : x(D(x) C(x)), D(Maria)− 결론 : C(Maria)− 추론 과정

단계 과정 이유1 x(D(x) C(x)) 가정

2 D(Maria) C(Maria) 단계 1 의 universal instantiation3 D(Maria) 가정

4 C(Maria) 단계 2, 3 기반의 Modus ponens


Summary of Proof Methods1.5 Methods of Proof

함축 (implication) p q 의 증명을 위하여 , 다음 방법들을 사용한다 .• Direct proof: Assume p is true, and prove q.• Indirect proof: Assume ¬q, and prove ¬p. ( 대우의 증명에 해당 )• Vacuous proof: Prove ¬p by itself. ( 가정이 false 임을 증명 )• Trivial proof: Prove q by itself. ( 결론이 항시 true 임을 증명 )• Proof by cases:

To prove (p1 p2 .... pn) q,prove ((p1 q) (p2 q) .... (pn q))


Direct Proof ( 직접 증명 )1.5 Methods of Proof

Implication p q 의 증명을 위하여 , p 가 true 라 가정하고 여러 규칙과 기존에 true 로 증명된 정리를 사용하여 q 가 true 임을 증명한다 .예제• Definition: An integer n is called odd iff n=2k+1 for some integer k; n is

even iff n=2k for some k.• Axiom: Every integer is either odd or even.• Theorem: (For all numbers n) If n is an odd integer, then n2 is an odd integer.• Proof:

− If n is odd, then n = 2k+1 for some integer k.− Thus, n2 = (2k+1)2 = 4k2 + 4k + 1 = 2(2k2 + 2k) + 1. − Therefore, n2 is of the form 2j + 1 (with j the integer 2k2 + 2k), thus n2 is

odd. □


Indirect Proof ( 간접 증명 )1.5 Methods of Proof

Implication p q 대신 이의 대우인 ¬q ¬p 를 증명한다 .예제• Theorem: (For all integers n) If 3n+2 is odd, then n is odd.• Proof:

− Suppose that the conclusion is false, i.e., n is even.− Then n=2k for some integer k.− Then 3n+2 = 3(2k)+2 = 6k+2 = 2(3k+1).− Thus 3n+2 is even, because it equals 2j for integer j = 3k+1.− So 3n+2 is not odd.− We have shown that ¬(n is odd)→¬(3n+2 is odd), thus its contra-positive

(3n+2 is odd) → (n is odd) is also true. □


Vacuous Proof ( 무의미한 증명 )1.5 Methods of Proof

가정 (p) 이 false 임을 보임으로서 , 결론 (q) 이 true 임을 증명한다 .예제• Theorem: (For all n) If n is both odd and even, then n2 = n + n.• Proof:

− The statement “n is both odd and even” is necessarily falsesince no number can be both odd and even.

− So, the theorem is vacuously true. □


Trivial Proof ( 자명한 증명 )1.5 Methods of Proof

Implication p q 에서 , 결론 (q) 이 trivial 하게 true 임을 증명한다 .예제• Theorem: (For integers n) If n is the sum of two prime numbers, then either

n is odd or n is even.• Proof:

− Any integer n is either odd or even.− So the conclusion of the implication is true regardless of the truth of the

antecedent.− Thus the implication is true trivially. □


Proof by Contradiction ( 모순에 의한 증명 ) (1/2) 1.5 Methods of Proof

증명 방법• A method for proving p.

(p 를 증명하고자 하는 방법이다 .)• Assume ¬p, and prove some proposition q is contradiction (i.e., q is always

false.)(p 를 부정하면 항시 거짓이 되는 명제가 있음을 보인다 . 즉 , ¬pF 을 보인다 .)

• Then, ¬pF, which is only true if ¬p=F(¬pF 이 참이 되기 위해서는 ¬p 가 거짓이어야 한다 .)

• Thus, p is true. ( 따라서 , p 는 참이 된다 .)

주어진 가정 (p) 을 부정 (false) 했을 때 항상 false 가 되는 명제 q 가 있음을 보이면 ,p 의 가정이 잘못되었으므로 p 는 true 가 된다 .( 가정을 부정했을 때 , 결론이 항시 거짓이 되면 , “ 가정을 부정”한 것이 잘못된 것이다 .따라서 , 가정은 참이다 .)

* 타임 머신의 예 : “ 우리는 과거로 돌아갈 수 없다 .” 왜 ? 내가 과거로 돌아갈 수 있다 하자 . 만일 과거로 돌아가서 , 내 부모님이 만나지 못하게 한다면 … 지금의 나는 ?



예제 ( skip)• Theorem: (For all integers n) If 3n+2 is odd, then n is odd. (indirect proof 의

예제 )• Proof:

− Suppose 3n+2 is odd and n is even. [¬(p q) ¬(¬p q) p ¬q ]

− And, we can prove that “If n is even, then 3n+2 is odd.”. (by the same proof steps showed in the example of indirect proof.)

− Then, this conclusion is contradiction of assumption (i.e., 3n+2 is odd.)− Therefore, the given implication is true. □

개념적인 다른 예제 : n 이 정수라 할 때 , 2n 은 짝수이다 .− 만일 , 2n 이 홀수라 하자 . 그러면 , 2n = 2k+1 인 정수 k 가 존재한다 .− 그러면 , k = (2n – 1)/2 가 되는데 , 이는 정수가 아니다 .− 따라서 , 2n 은 홀수가 아니고 , 이는 가정 (2n 이 홀수 ) 이 잘못되었음을 의미한다 .− 따라서 , 2n 은 짝수이다 .

Proof by Contradiction ( 모순에 의한 증명 ) (2/2)


Proof by Cases ( 사례에 의한 증명 ) (1/2) 1.5 Methods of Proof

가정이 논리합으로 구성된 (p1 p2 .... pn) q 형태를 증명하기

위하여 , 다음과 같은 tautology 를 사용한다

(p1 p2 .... pn) q ((p1 q) (p2 q) .... (pn q))

즉 , 각각의 (pi q) 를 증명함으로써 전체를 증명하는 방법이다 .


Proof by Cases ( 사례에 의한 증명 ) (2/2) 1.5 Methods of Proof

예제• Theorem: |xy| = |x||y|, where x and y are real numbers.

(|x| = x if x 0, |x| = -x if x < 0)• Proof:

− p = x and y are real numbers, q = |xy| = |x||y|− p = {x 0, y 0} {x 0, y < 0} {x < 0, y 0} {x < 0, y < 0}

▫ {x 0, y 0} q: |xy| = xy = |x||y|▫ {x 0, y < 0} q: |xy| = -xy = x(-y) = |x||y|▫ …

− All the possible cases are proven to true, and thus, the theorem is proven.□


Proof of Equivalence ( 동치 증명 )1.5 Methods of Proof

상호조건 p ↔ q(“p if and only if q”) 을 증명하기 위해서는 다음과 같은 tautology 를 사용한다 .

(p ↔ q) ((p q) (q p))

• 즉 , (p q) 를 증명하고 (q p) 를 증명함으로써 , (p ↔ q) 를 증명한다 .


Existence Proof ( 존재 증명 ) (1/2)1.5 Methods of Proof

증명하고자 하는 문장에 xP(x) 형태의 quantifier/predicate 가

포함된 경우를 존재 증명 (existence proof) 이라 한다 .If the proof of a statement of the form xP(x) is called an exis-tence proof.


Existence Proof ( 존재 증명 ) (2/2)1.5 Methods of Proof

예제• Theorem: There exists a positive integer n that is the sum of two

perfect cubes in two different ways.( 두 수의 세제곱의 합을 두 가지 방법으로 나타낼 수 있는 정수가 존재한다 .)(In other words, there exists a positive integer n such that n = j3 + k3 = l3 + m3, where j, k, l, and m are positive integers, and {j, k} {l, m}.)

• Proof: Consider n = 1729, j = 9, k = 10, l = 1, m = 12. Now just check that the equalities hold. □


Uniqueness Proof ( 유일성 증명 )1.5 Methods of Proof

유일하게 하나의 값 ( 요소 ) 만이 주어진 특성을 만족하는 경우를 유일성이라 하고 , 이의 증명을 유일성 증명 (uniqueness proof)이라 한다 .

유일성의 증명 과정• 존재 : x 가 주어진 특성을 가짐을 보인다 .• 유일성 : 만일 y x 이면 , y 는 주어진 특성을 갖지 않음을 보인다 .

“P(x) 를 만족하는 x 가 유일하게 하나 존재함을 증명하는 과정은 다음 표현을 증명하는 것과 동일하다 . ( 가장 절친한 친구는 오직 한 명이다 .)

x(P(x) y(y x ¬P(y)))


Mistakes in Proofs1.5 Methods of Proof

예제 (mistakes in proof)• Theorem: Prove 1 = 2.• Proof:

− Let a and b be the same positive integers.− a = b [ 주어진 정의 ]− a2 = ab [ 양변에 a 를 곱함 ]− a2 - b2 = ab - b2 [ 양변에서 b2 를 뺌 ]− (a – b)(a + b) = b(a – b) [ 인수분해 ]− a + b = b [ 양변을 (a-b) 로 나눔 ]− 2b = b [since a = b]− 2 = 1. [ 양변을 b 로 나눔 ]What is wrong?

(a – b) is zero since a = b, and thus, we cannot use (a – b) as a divisor.


Homework #11.5 Methods of Proof

2012 년 봄학기 강원대학교 컴퓨터과학전공 문양세

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