20131027 h10 lecture5_matiyasevich

Что можно делатьс вещественными числамии нельзя делать с целыми

числами

Часть 2. Десятая проблема ГильбертаПятая лекция

Ю.В.Матиясевич

Санкт-Петербургское отделениеМатематического института им. В. А. Стеклова РАН

http://logic.pdmi.ras.ru/~yumat

числами

Часть 2. Десятая проблема ГильбертаПятая лекция

числамиЧасть 2. Десятая проблема Гильберта

Пятая лекция

числамиЧасть 2. Десятая проблема Гильберта

Пятая лекция

Гипотеза Martin’a Davis’а (=DPRM-теорема)Гипотеза M. Davis’а (DPRM-теорема). Каждоеперечислимое множество является диофантовым.

Диофантова альтернатива

D(x1, . . . , xm) = 0

I либо∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

I либо∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

Вещественные неизвестные

D(χ1, . . . , χm) = 0

sin(πχ1) = 0...

sin(πχm) = 0

π = 3.14159...

D2(χ1, . . . , χm)+ sin2(πχ1) + · · ·+ sin2(πχm) = 0

D(χ1, . . . , χm) = 0sin(πχ1) = 0

...sin(πχm) = 0

π = 3.14159...

D(χ1, . . . , χm) = 0sin(πχ1) = 0

...sin(πχm) = 0

π = 3.14159...

D(χ1, . . . , χm) = 0sin(πχ1) = 0

...sin(πχm) = 0

π = 3.14159...

Следствие DPRM-теоремы

Пусть F0 обозначает класс функций многих вещественныхпеременных, которые могут быть заданы выражениями,построены из переменных, конкретных натуральных чисел исимвола числа π при помощи композиции операций сложения,вычитания и умножения и функции sin в произвольномпорядке. Не существует алгоритма, который по произвольнойфунции Φ(χ1, . . . , χm) из класса F0 распознавал, имеет лиуравнение

Φ(χ1, . . . , χm) = 0

решение в вещественных числах.

Только натуральные коэффициенты

sin(ψ) = 0 2 ≤ ψ ≤ 4

D2(χ1, . . . , χm)+

sin2(ψχ1) + · · ·+ sin2(ψχm) +

sin2(ψ) + (1− (ψ − 3)2 − ζ2)2 = 0

Только натуральные коэффициенты

sin(ψ) = 0 2 ≤ ψ ≤ 4

D2(χ1, . . . , χm)+

sin2(ψχ1) + · · ·+ sin2(ψχm) +

sin2(ψ) + (1− (ψ − 3)2 − ζ2)2 = 0

Пусть F1 обозначает класс функций многих вещественныхпеременных, которые могут быть заданы выражениями,построеными из переменных, конкретных натуральных чиселпри помощи композиции операций сложения, вычитания иумножения и функции sin в произвольном порядке. Несуществует алгоритма, который по произвольнойфунции Φ(χ1, . . . , χm) из класса F1 распознавал, имеет лиуравнение

Φ(χ1, . . . , χm) = 0

Альтернативы∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0 ∃χ1 . . . χmΦ(χ1, . . . , χm) = 0∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0 ∀χ1 . . . χmΦ(χ1, . . . , χm) > 0

∃x1 . . . xm2D2(x1, . . . , xm) = 0 ∃χ1 . . . χmΨ(χ1, . . . , χm) = 0∀x1 . . . xm2D2(x1, . . . , xm) > 1 ∀χ1 . . . χmΨ(χ1, . . . , χm) > 1

Φ(χ1, . . . , χm) =(B2(χ1, . . . , χm) + 1

)(D2(χ1, . . . , χm)+

sin2(πχ1) + · · ·+ sin2(πχm))

Φ(χ1, . . . , χm) =(B2(χ1, . . . , χm) + 1

)(D2(χ1, . . . , χm)+

sin2(πχ1) + · · ·+ sin2(πχm))

∃x1 . . . xm2D2(x1, . . . , xm) = 0

∃χ1 . . . χmΨ(χ1, . . . , χm) = 0

∀x1 . . . xm2D2(x1, . . . , xm) > 1 ∀χ1 . . . χmΨ(χ1, . . . , χm) > 1

Φ(χ1, . . . , χm) =(B2(χ1, . . . , χm) + 1

)(D2(χ1, . . . , χm)+

sin2(πχ1) + · · ·+ sin2(πχm))

∃x1 . . . xm2D2(x1, . . . , xm) = 0

∃χ1 . . . χmΨ(χ1, . . . , χm) = 0

∀x1 . . . xm2D2(x1, . . . , xm) > 1

∀χ1 . . . χmΨ(χ1, . . . , χm) > 1

Φ(χ1, . . . , χm) =(B2(χ1, . . . , χm) + 1

)(D2(χ1, . . . , χm)+

sin2(πχ1) + · · ·+ sin2(πχm))

∃x1 . . . xm2D2(x1, . . . , xm) = 0 ∃χ1 . . . χmΨ(χ1, . . . , χm) = 0∀x1 . . . xm2D2(x1, . . . , xm) > 1

∀χ1 . . . χmΨ(χ1, . . . , χm) > 1

Φ(χ1, . . . , χm) =(B2(χ1, . . . , χm) + 1

)(D2(χ1, . . . , χm)+

sin2(πχ1) + · · ·+ sin2(πχm))

Φ(χ1, . . . , χm) =(B2(χ1, . . . , χm) + 1

)(D2(χ1, . . . , χm)+

sin2(πχ1) + · · ·+ sin2(πχm))

Φ(χ1, . . . , χm) =(B2(χ1, . . . , χm) + 1

)(D2(χ1, . . . , χm)+

sin2(πχ1) + · · ·+ sin2(πχm))

Пусть F0 по-прежнему обозначает класс функций многихвещественных переменных, которые могут быть заданывыражениями, построеными из переменных, конкретныхнатуральных чисел и символа числа π при помощи композицииопераций сложения, вычитания и умножения и функции sin впроизвольном порядке. Не существует алгоритма, который попроизвольной фунции Φ(χ1, . . . , χm) из класса F0 распознавал,имеет ли неравенство

Φ(χ1, . . . , χm) < 1

Случай одной переменной

A(χ) = χ sin(χ)

B(χ) = χ sin(χ3)

Лемма. Для любых вещественных чисел α и β и любогоположительного числа ε найдется вещественное число χ такое,что

|A(χ)− α| < ε

B(χ)− β = 0

Не ограничивая общности считаем, что ε < 1

Случай одной переменнойДоказательство. Найдем в интервале [2Kπ − π

2 , 2Kπ + π2 ]

число χ0 такое, чтоA(χ0) = α

Найдем положительное δ такое, что

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

|A(χ)− α| = |A(χ)− A(χ0)|= |A′(χ∗)(χ− χ0)| где |χ∗ − χ0| < δ

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

< ε при δ =ε

2Kπ + 3

2 , 2Kπ + π2 ]

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

< ε при δ =ε

2Kπ + 3

2 , 2Kπ + π2 ]

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

|A(χ)− α|

= |A(χ)− A(χ0)|= |A′(χ∗)(χ− χ0)| где |χ∗ − χ0| < δ

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

< ε при δ =ε

2Kπ + 3

2 , 2Kπ + π2 ]

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

|A(χ)− α| = |A(χ)− A(χ0)|

= |A′(χ∗)(χ− χ0)| где |χ∗ − χ0| < δ

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

< ε при δ =ε

2Kπ + 3

2 , 2Kπ + π2 ]

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

|A(χ)− α| = |A(χ)− A(χ0)|= |A′(χ∗)(χ− χ0)|

где |χ∗ − χ0| < δ

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

< ε при δ =ε

2Kπ + 3

2 , 2Kπ + π2 ]

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

< ε при δ =ε

2Kπ + 3

2 , 2Kπ + π2 ]

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|

< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

< ε при δ =ε

2Kπ + 3

2 , 2Kπ + π2 ]

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

< ε при δ =ε

2Kπ + 3

2 , 2Kπ + π2 ]

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

< ε при δ =ε

2Kπ + 3

2 , 2Kπ + π2 ]

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

при δ =ε

2Kπ + 3

2 , 2Kπ + π2 ]

|χ− χ0| < δ ⇒ |A(χ)− α| < ε

= |(sin(χ∗) + χ∗ cos(χ∗))(χ− χ0)|< (1 + |χ0|+ δ)δ

< (2Kπ + 3)δ

< ε при δ =ε

2Kπ + 3

(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3

= 6χ20δ + 2δ3

>6(2Kπ − π

2 )2ε

2Kπ + 3> 2π при достаточно большом K

B(χ) = β

|A(χ)− α| < ε

(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ20δ + 2δ3

>6(2Kπ − π

2 )2ε

B(χ) = β

|A(χ)− α| < ε

(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ20δ + 2δ3

>6(2Kπ − π

2 )2ε

2Kπ + 3

> 2π при достаточно большом K

B(χ) = β

|A(χ)− α| < ε

(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ20δ + 2δ3

>6(2Kπ − π

2 )2ε

B(χ) = β

|A(χ)− α| < ε

(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ20δ + 2δ3

>6(2Kπ − π

2 )2ε

B(χ) = β

|A(χ)− α| < ε

(χ0 + δ)3 − (χ0 − δ)3 = 6χ20δ + 2δ3

>6(2Kπ − π

2 )2ε

B(χ) = β

|A(χ)− α| < ε

Случай одной переменнойЛемма. Для любых вещественных чисел α и β и любогоположительного числа ε найдется вещественное число χ такое,что |A(χ)− α| < ε, B(χ) = β.

|A(Cε(α, β))− α| < ε B(Cε(α, β)) = β

Ak(χ) = A (B(. . .B︸︷︷︸(k−1) раз

(χ) . . . ))

Лемма. Для любых вещественных чисел α1, . . . , αn и любогоположительного числа ε

|Ak(χ)− αk | < ε k = 1, . . . , n

гдеχ = Cε(α1,Cε(α2, . . . ,Cε(αk , 0) . . . ))

|A(Cε(α, β))− α| < ε B(Cε(α, β)) = β

Ak(χ) = A (B(. . .B︸︷︷︸(k−1) раз

(χ) . . . ))

|Ak(χ)− αk | < ε k = 1, . . . , n

гдеχ = Cε(α1,Cε(α2, . . . ,Cε(αk , 0) . . . ))

|A(Cε(α, β))− α| < ε B(Cε(α, β)) = β

Ak(χ) = A (B(. . .B︸︷︷︸(k−1) раз

(χ) . . . ))

|Ak(χ)− αk | < ε k = 1, . . . , n

гдеχ = Cε(α1,Cε(α2, . . . ,Cε(αk , 0) . . . ))

|A(Cε(α, β))− α| < ε B(Cε(α, β)) = β

Ak(χ) = A (B(. . .B︸︷︷︸(k−1) раз

(χ) . . . ))

|Ak(χ)− αk | < ε k = 1, . . . , n

гдеχ = Cε(α1,Cε(α2, . . . ,Cε(αk , 0) . . . ))

Случай одной переменнойI либо

∃χ1 . . . χmΦ(χ1, . . . , χm) = 0

I либо

∀χ1 . . . χmΦ(χ1, . . . , χm) > 1

Ψ(χ) = Φ(A1(χ),A2(χ), . . . ,Am(χ))

I либо

∀ε > 0∃χΨ(χ) < ε

I либо

∀χΨ(χ) ≥ 1

∃χ1 . . . χmΦ(χ1, . . . , χm) = 0

I либо

∀χ1 . . . χmΦ(χ1, . . . , χm) > 1

Ψ(χ) = Φ(A1(χ),A2(χ), . . . ,Am(χ))

I либо

∀ε > 0∃χΨ(χ) < ε

I либо

∀χΨ(χ) ≥ 1

∃χ1 . . . χmΦ(χ1, . . . , χm) = 0

I либо

∀χ1 . . . χmΦ(χ1, . . . , χm) > 1

Ψ(χ) = Φ(A1(χ),A2(χ), . . . ,Am(χ))

I либо

∀ε > 0 ∃χΨ(χ) < ε

I либо

∀χΨ(χ) ≥ 1

Пусть F10 обозначает класс функций одной вещественной

переменной, которые могут быть заданы выражениями,построеными из переменной, конкретных натуральных чисел исимвола числа π при помощи композиции операций сложения,вычитания и умножения и функции sin в произвольномпорядке. Не существует алгоритма, который по произвольнойфунции Φ(χ) из класса F1

0 распознавал, имеет ли неравенство

Φ(χ) < 1

переменной, которые могут быть заданы выражениями,построеными из переменной, конкретных натуральных чисел исимвола числа π при помощи композиции операций сложения,вычитания и умножения и функции sin в произвольномпорядке. Не существует алгоритма, который по произвольнойфунции Φ(χ) из класса F1

0 распознавал, имеет ли уравнение

2Φ(χ) = 1

переменной, которые могут быть заданы выражениями,построеными из переменной, конкретных натуральных чиселпри помощи композиции операций сложения, вычитания иумножения и функции sin в произвольном порядке. Несуществует алгоритма, который по произвольной фунции Φ(χ)из класса F1

1 распознавал, имеет ли уравнение

2Φ(χ) = 1

ТождестваI либо

∀ε > 0 ∃χΨ(χ) < ε

I либо

∀χΨ(χ) ≥ 1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

I либо∃χ1−Ψ(χ) + |1−Ψ(χ)| 6= 0

I либо∀χ1−Ψ(χ) + |1−Ψ(χ)| = 0

ТождестваI либо

∀ε > 0 ∃χΨ(χ) < ε

I либо

∀χΨ(χ) ≥ 1

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−

I либо∃χ1−Ψ(χ) + |1−Ψ(χ)| 6= 0

I либо∀χ1−Ψ(χ) + |1−Ψ(χ)| = 0

переменной, которые могут быть заданы выражениями,построеными из переменной, конкретных натуральных чисел исимвола числа π при помощи композиции операций сложения,вычитания и умножения и функций sin и | | (абсолютнаявеличина) в произвольном порядке. Не существует алгоритма,который по произвольной фунции Φ(χ1, . . . , χm) из класса F1

2распознавал, справедливо ли равенство

2Φ(χ) = 1

при всех вещественных значениях χ.

Снова полиномиальные уравнения

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

Φ(τ) = A sin(Π(τ)τ

)+ B cos

(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

В любом решении этой системы дифференциальных уравненийфункция Π(τ) является константой – числом π, и существуетрешение, в котором эта фукция тождественно равна числу π.

Снова полиномиальные уравненияτ ∈ [0, 1]

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

)+ B cos

(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Снова полиномиальные уравненияτ ∈ [0, 1]

Υ′(τ) = 0

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

)+ B cos

(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

Φ(τ) = A

sin(Π(τ)τ

+ B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

Φ(τ) = A

sin(Π(τ)τ

cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

Φ(τ) =

A sin(Π(τ)τ

cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

Φ(τ) =

A sin(Π(τ)τ

B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

Φ(τ) =

A sin(Π(τ)τ

)+ B cos

(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

)+ B cos

(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

)+ B cos

(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

)+ B cos

(Π(τ)τ

Φ(0) = 0

⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

+ B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0

Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

+ B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0

Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

+ B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1

⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

+ B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0

Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

+ B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0

⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

+ B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

+ B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4

⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

+ B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0

+ B cos(Π(τ)τ

Φ(0) = 0 ⇒ B = 0Φ′(0) = 1 ⇒ A 6= 0Φ(1) = 0 ⇒ Π(τ) = nπ

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇒ Π(τ) = π

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(τ) = A sin(Π(τ)Υ(τ)τ

)+ B cos

(Π(τ)Υ(τ)τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0

Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

)+ B cos

(Π(τ)Υ(τ)τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

)+ B cos

(Π(τ)Υ(τ)τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(τ) = A

sin(Π(τ)Υ(τ)τ

+ B cos(Π(τ)Υ(τ)τ

)Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0

Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(τ) = A

sin(Π(τ)Υ(τ)τ

cos(Π(τ)Υ(τ)τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(τ) =

A sin(Π(τ)Υ(τ)τ

cos(Π(τ)Υ(τ)τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(τ) =

B cos(Π(τ)Υ(τ)τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(τ) =

)+ B cos

(Π(τ)Υ(τ)τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

)+ B cos

(Π(τ)Υ(τ)τ

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

)+ B cos

(Π(τ)Υ(τ)τ

)Ψ(0) = 0

⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

)+ B cos

(Π(τ)Υ(τ)τ

)Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ)

⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0

⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0

Ψ(0) = 0 ⇒ B = 0Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) ⇒ Υ(τ) = 0 или A 6= 0

Ψ(1) = 0 ⇒ Π(τ)Υ(τ) = nπ

⇒ Υ(τ) = n

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0Ψ(0) = 0 Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) Ψ(1) = 0

В любом решении этой системы дифференциальных уравненийфункция Υ(τ) является константой – некоторым целымчислом, и для любого целого числа n существует решение, вкотором фукция Υ(τ) тождественно равна этому числу n.

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′(τ) = 0 Ψ′′(τ) + Π2(τ)Υ2(τ)Ψ(τ) = 0Ψ(0) = 0 Ψ′(0) = Π(τ)Υ(τ) Ψ(1) = 0

В любом решении этой системы дифференциальных уравненийфункция Υ(τ) является константой – некоторым целымчислом, и для любого целого числа n существует решение, вкотором фукция Υ(τ) тождественно равна этому числу n.

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′1(τ) = 0 Ψ′′1(τ) + Π2(τ)Υ21(τ)Ψ1(τ) = 0

Υ′m(τ) = 0 Ψ′′m(τ) + Π2(τ)Υ2m(τ)Ψm(τ) = 0

Ψ1(0) = 0 Ψ′1(0) = Π(τ)Υ1(τ) Ψm(1) = 0. . .

Ψm(0) = 0 Ψ′m(0) = Π(τ)Υm(τ) Ψm(1) = 0

D(Υ1(τ), . . . ,Υm(τ)

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′1(τ) = 0 Ψ′′1(τ) + Π2(τ)Υ21(τ)Ψ1(τ) = 0

Υ′m(τ) = 0 Ψ′′m(τ) + Π2(τ)Υ2m(τ)Ψm(τ) = 0

Ψ1(0) = 0 Ψ′1(0) = Π(τ)Υ1(τ) Ψm(1) = 0. . .

Ψm(0) = 0 Ψ′m(0) = Π(τ)Υm(τ) Ψm(1) = 0

D(Υ1(τ), . . . ,Υm(τ)

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′1(τ) = 0 Ψ′′1(τ) + Π2(τ)Υ21(τ)Ψ1(τ) = 0

Υ′m(τ) = 0 Ψ′′m(τ) + Π2(τ)Υ2m(τ)Ψm(τ) = 0

Ψ1(0) = 0 Ψ′1(0) = Π(τ)Υ1(τ) Ψm(1) = 0

Ψm(0) = 0 Ψ′m(0) = Π(τ)Υm(τ) Ψm(1) = 0

D(Υ1(τ), . . . ,Υm(τ)

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′1(τ) = 0 Ψ′′1(τ) + Π2(τ)Υ21(τ)Ψ1(τ) = 0

Υ′m(τ) = 0 Ψ′′m(τ) + Π2(τ)Υ2m(τ)Ψm(τ) = 0

Ψ1(0) = 0 Ψ′1(0) = Π(τ)Υ1(τ) Ψm(1) = 0. . .

Ψm(0) = 0 Ψ′m(0) = Π(τ)Υm(τ) Ψm(1) = 0

D(Υ1(τ), . . . ,Υm(τ)

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′1(τ) = 0 Ψ′′1(τ) + Π2(τ)Υ21(τ)Ψ1(τ) = 0

Υ′m(τ) = 0 Ψ′′m(τ) + Π2(τ)Υ2m(τ)Ψm(τ) = 0

Ψ1(0) = 0 Ψ′1(0) = Π(τ)Υ1(τ) Ψm(1) = 0. . .

Ψm(0) = 0 Ψ′m(0) = Π(τ)Υm(τ) Ψm(1) = 0

D(Υ1(τ), . . . ,Υm(τ)

Π′(τ) = 0 Φ′′(τ) + Π2(τ)Φ(τ) = 0Φ(0) = 0 Φ′(0) = 1 Φ(1) = 0 3 ≤ Π(0) ≤ 4

Υ′1(τ) = 0 Ψ′′1(τ) + Π2(τ)Υ21(τ)Ψ1(τ) = 0

Υ′m(τ) = 0 Ψ′′m(τ) + Π2(τ)Υ2m(τ)Ψm(τ) = 0

Ψ1(0) = 0 Ψ′1(0) = Π(τ)Υ1(τ) Ψm(1) = 0. . .

Ψm(0) = 0 Ψ′m(0) = Π(τ)Υm(τ) Ψm(1) = 0

D(Υ1(τ), . . . ,Υm(τ)

3 ≤ Π(0) ≤ 4

⇐⇒ 3 + ∆21(0) = Π(0) & Π(0) + ∆2

2(0) = 4

∆(α) = β ⇐⇒ ∆(τ)− β = (τ − α)Ω(τ)

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆21(0) = Π(0) & Π(0) + ∆2

2(0) = 4

∆(α) = β ⇐⇒ ∆(τ)− β = (τ − α)Ω(τ)

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆21(0) = Π(0) & Π(0) + ∆2

2(0) = 4

∆(α) = β

⇐⇒ ∆(τ)− β = (τ − α)Ω(τ)

3 ≤ Π(0) ≤ 4 ⇐⇒ 3 + ∆21(0) = Π(0) & Π(0) + ∆2

2(0) = 4

∆(α) = β ⇐⇒ ∆(τ)− β = (τ − α)Ω(τ)

Не существует алгоритма, который позволял бы попроизвольной системе дифференциальных уравнений вида

P1(τ,Φ1(τ), . . . ,Φk(τ),Φ′1(τ)

(τ,Φ1(τ), . . . ,Φk(τ),Φ′k(τ)

где P1, . . . , Pk – многочлены с целыми коэффициентами,узнавать, имеет ли эта система решение на интервале [0, 1].

Следствие (трудное) DPRM-теоремы

Не существует алгоритма, который позволял бы подифференциальному уравнению вида

P(τ,Φ(τ),Φ′(τ), . . . ,Φ〈n〉(τ)

где P – многочлен с целыми коэффициентами, узнавать, имеетли это уравнение решение на интервале [0, 1].

Формальные степенные ряды

Ψ(τ) =∞∑k=0

ψkτk

Ψ′(τ) = 0, τΦ′(τ) = Ψ(τ)Φ(τ)

τΦ′(τ) =∞∑k=0

kφkτk =

∞∑k=0

ψ0φkτk

kφk = ψ0φk k = 0, 1, 2, . . .

Вырожденное решение: ∀k φk = 0Невырожденное решение:

∃k φk 6= 0 ⇒ ψ0 = k

Ψ(τ) =∞∑k=0

ψkτk

Ψ′(τ) = 0, τΦ′(τ) = Ψ(τ)Φ(τ)

τΦ′(τ) =∞∑k=0

kφkτk =

∞∑k=0

ψ0φkτk

kφk = ψ0φk k = 0, 1, 2, . . .

∃k φk 6= 0 ⇒ ψ0 = k

Ψ(τ) =∞∑k=0

ψkτk

Ψ′(τ) = 0, τΦ′(τ) = Ψ(τ)Φ(τ)

τΦ′(τ) =∞∑k=0

kφkτk =

∞∑k=0

ψ0φkτk

kφk = ψ0φk k = 0, 1, 2, . . .

∃k φk 6= 0 ⇒ ψ0 = k

Ψ(τ) =∞∑k=0

ψkτk

Ψ′(τ) = 0, τΦ′(τ) = Ψ(τ)Φ(τ)

τΦ′(τ) =∞∑k=0

kφkτk =

∞∑k=0

ψ0φkτk

kφk = ψ0φk k = 0, 1, 2, . . .

∃k φk 6= 0 ⇒ ψ0 = k

Ψ(τ) =∞∑k=0

ψkτk

Ψ′(τ) = 0, τΦ′(τ) = Ψ(τ)Φ(τ)

τΦ′(τ) =∞∑k=0

kφkτk =

∞∑k=0

ψ0φkτk

kφk = ψ0φk k = 0, 1, 2, . . .

Вырожденное решение: ∀k φk = 0

Невырожденное решение:

∃k φk 6= 0 ⇒ ψ0 = k

Ψ(τ) =∞∑k=0

ψkτk

Ψ′(τ) = 0, τΦ′(τ) = Ψ(τ)Φ(τ)

τΦ′(τ) =∞∑k=0

kφkτk =

∞∑k=0

ψ0φkτk

kφk = ψ0φk k = 0, 1, 2, . . .

∃k φk 6= 0

⇒ ψ0 = k

Ψ(τ) =∞∑k=0

ψkτk

Ψ′(τ) = 0, τΦ′(τ) = Ψ(τ)Φ(τ)

τΦ′(τ) =∞∑k=0

kφkτk =

∞∑k=0

ψ0φkτk

kφk = ψ0φk k = 0, 1, 2, . . .

∃k φk 6= 0 ⇒ ψ0 = k

Ψ′1(τ) = 0,τΦ′1(τ) = Ψ1(τ)Φ1(τ),

...Ψ′m(τ) = 0,τΦ′m(τ) = Ψm(τ)Φm(τ),

D(Ψ1(τ), . . . ,Ψm(τ)) = 0

Φ1(τ) . . .Φm(τ) 6≡ 0

Ψ′1(τ) = 0,τΦ′1(τ) = Ψ1(τ)Φ1(τ),

Ψ′m(τ) = 0,τΦ′m(τ) = Ψm(τ)Φm(τ),

D(Ψ1(τ), . . . ,Ψm(τ)) = 0

Φ1(τ) . . .Φm(τ) 6≡ 0

Ψ′1(τ) = 0,τΦ′1(τ) = Ψ1(τ)Φ1(τ),

...Ψ′m(τ) = 0,τΦ′m(τ) = Ψm(τ)Φm(τ),

D(Ψ1(τ), . . . ,Ψm(τ)) = 0

Φ1(τ) . . .Φm(τ) 6≡ 0

Ψ′1(τ) = 0,τΦ′1(τ) = Ψ1(τ)Φ1(τ),

...Ψ′m(τ) = 0,τΦ′m(τ) = Ψm(τ)Φm(τ),

D(Ψ1(τ), . . . ,Ψm(τ)) = 0

Φ1(τ) . . .Φm(τ) 6≡ 0

Ψ′1(τ) = 0,τΦ′1(τ) = Ψ1(τ)Φ1(τ),

...Ψ′m(τ) = 0,τΦ′m(τ) = Ψm(τ)Φm(τ),

D(Ψ1(τ), . . . ,Ψm(τ)) = 0

Φ1(τ) . . .Φm(τ) 6≡ 0

P1(τ,Φ1(τ), . . . ,Φk(τ),Φ′1(τ)

(τ,Φ1(τ), . . . ,Φk(τ),Φ′k(τ)

где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать,имеет ли эта система решение в виде формального степенногоряда, удовлетворяющего также условию

Φ1(τ) 6≡ 0.

Сходящиеся степенные ряды

Ψ′(τ) = 0τ2Φ′(τ)− (Ψ(τ)τ + 1)Φ(τ) + 1 = 0

−φ0 + 1 = 0

−ψ0φ0 − φ1 = 0

(k − 1)φk−1 − ψ0φk−1 − φk = 0, k > 1

φ0 = 1 φk = −ψ0(1− ψ0)(2− ψ0) . . . (k − 1− φ0).

Ψ′(τ) = 0τ2Φ′(τ)− (Ψ(τ)τ + 1)Φ(τ) + 1 = 0

−φ0 + 1 = 0

−ψ0φ0 − φ1 = 0

(k − 1)φk−1 − ψ0φk−1 − φk = 0, k > 1

φ0 = 1 φk = −ψ0(1− ψ0)(2− ψ0) . . . (k − 1− φ0).

Ψ′(τ) = 0τ2Φ′(τ)− (Ψ(τ)τ + 1)Φ(τ) + 1 = 0

−φ0 + 1 = 0

−ψ0φ0 − φ1 = 0

(k − 1)φk−1 − ψ0φk−1 − φk = 0, k > 1

φ0 = 1 φk = −ψ0(1− ψ0)(2− ψ0) . . . (k − 1− φ0).

Ψ′(τ) = 0τ2Φ′(τ)− (Ψ(τ)τ + 1)Φ(τ) + 1 = 0

−φ0 + 1 = 0

−ψ0φ0 − φ1 = 0

(k − 1)φk−1 − ψ0φk−1 − φk = 0, k > 1

φ0 = 1 φk = −ψ0(1− ψ0)(2− ψ0) . . . (k − 1− φ0).

Ψ′(τ) = 0τ2Φ′(τ)− (Ψ(τ)τ + 1)Φ(τ) + 1 = 0

−φ0 + 1 = 0

−ψ0φ0 − φ1 = 0

(k − 1)φk−1 − ψ0φk−1 − φk = 0, k > 1

φ0 = 1 φk = −ψ0(1− ψ0)(2− ψ0) . . . (k − 1− φ0).

Ψ′(τ) = 0τ2Φ′(τ)− (Ψ(τ)τ + 1)Φ(τ) + 1 = 0

−φ0 + 1 = 0

−ψ0φ0 − φ1 = 0

(k − 1)φk−1 − ψ0φk−1 − φk = 0, k > 1

φ0 = 1 φk = −ψ0(1− ψ0)(2− ψ0) . . . (k − 1− φ0).

P1(τ,Φ1(τ), . . . ,Φk(τ),Φ′1(τ)

(τ,Φ1(τ), . . . ,Φk(τ),Φ′k(τ)

где Pm – многочлены с целыми коэффициентами узнавать,имеет ли эта система решение в виде сходящихся степенныхрядов

Уравнения в частных производных

D(y1, . . . , ym) = 0

Ψ(τ1, . . . , τm) =∞∑

y1,...,ym=0

ψy1,...,ymτy11 . . . τ ymm

∂τk

)τ ykk = ykτ

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=∑∞

y1,...,ym=0 D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ymτy11 . . . τ ymm

D(y1, . . . , ym) = 0

Ψ(τ1, . . . , τm) =∞∑

y1,...,ym=0

ψy1,...,ymτy11 . . . τ ymm

∂τk

)τ ykk = ykτ

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=∑∞

D(y1, . . . , ym) = 0

Ψ(τ1, . . . , τm) =∞∑

y1,...,ym=0

ψy1,...,ymτy11 . . . τ ymm

∂τk

)τ ykk = ykτ

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=∑∞

D(y1, . . . , ym) = 0

Ψ(τ1, . . . , τm) =∞∑

y1,...,ym=0

ψy1,...,ymτy11 . . . τ ymm

∂τk

)τ ykk = ykτ

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=∑∞

D(y1, . . . , ym) = 0

Ψ(τ1, . . . , τm) =∞∑

y1,...,ym=0

ψy1,...,ymτy11 . . . τ ymm

∂τk

)τ ykk = ykτ

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=∑∞

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

∞∑y1,...,ym=0

τ y11 . . . τ ymm (∗)

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=∑∞

ψy1,...,ym =1

D(y1, . . . , ym)

Дифференциальное уравнение (*) имеет решение в том итолько том случае, когда диофантово уравнениеD(y1, . . . , ym) = 0 решений не имеет

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

∞∑y1,...,ym=0

τ y11 . . . τ ymm (∗)

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=∑∞

ψy1,...,ym =1

D(y1, . . . , ym)

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

∞∑y1,...,ym=0

τ y11 . . . τ ymm (∗)

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=∑∞

ψy1,...,ym =1

D(y1, . . . , ym)

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

∞∑y1,...,ym=0

τ y11 . . . τ ymm (∗)

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=∑∞

ψy1,...,ym =1

D(y1, . . . , ym)

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

∞∑y1,...,ym=0

τ y11 . . . τ ymm (∗)

(1− τ1) . . . (1− τm)D

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) = 1 (∗∗)

Дифференциальные уравнения (*) и (**) имеют решения в томи только том случае, когда диофантово уравнениеD(y1, . . . , ym) = 0 решений не имеет

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

∞∑y1,...,ym=0

τ y11 . . . τ ymm (∗)

(1− τ1) . . . (1− τm)D

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) = 1 (∗∗)

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

∞∑y1,...,ym=0

τ y11 . . . τ ymm (∗)

(1− τ1) . . . (1− τm)D

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) = 1 (∗∗)

Не существует алгоритма, который позволял бы попроизвольному многочлену Q с целыми коэффициентамиузнавать, имеет ли дифференциальное уравнение в частныхпроизводных

Q(τ1, . . . , τm,

∂∂τ1, . . . , ∂

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) = 1

решение в виде формального степенного ряда.

a ∈M⇐⇒ ∃x2 . . . xmD(a, x2, . . . , xm) = 0

(1− τ2) . . . (1− τm)D(τ1

∂∂τ1, τ2

∂∂τ2, . . . , τm

∂∂τm

)Ψ(τ1, τ2, . . . , τm) =

= Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

∂τ2Φ(τ1, τ2, . . . , τm) = · · · =

∂τmΦ(τ1, τ2, . . . , τm) = 0

Φ(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φkτk1

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

(1− τ2) . . . (1− τm)

a ∈M⇐⇒ ∃x2 . . . xmD(a, x2, . . . , xm) = 0

(1− τ2) . . . (1− τm)D(τ1

∂∂τ1, τ2

∂∂τ2, . . . , τm

∂∂τm

)Ψ(τ1, τ2, . . . , τm) =

= Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

∂τ2Φ(τ1, τ2, . . . , τm) = · · · =

∂τmΦ(τ1, τ2, . . . , τm) = 0

Φ(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φkτk1

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

(1− τ2) . . . (1− τm)

a ∈M⇐⇒ ∃x2 . . . xmD(a, x2, . . . , xm) = 0

(1− τ2) . . . (1− τm)D(τ1

∂∂τ1, τ2

∂∂τ2, . . . , τm

∂∂τm

)Ψ(τ1, τ2, . . . , τm) =

= Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

∂τ2Φ(τ1, τ2, . . . , τm) = · · · =

∂τmΦ(τ1, τ2, . . . , τm) = 0

Φ(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φkτk1

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

(1− τ2) . . . (1− τm)

a ∈M⇐⇒ ∃x2 . . . xmD(a, x2, . . . , xm) = 0

(1− τ2) . . . (1− τm)D(τ1

∂∂τ1, τ2

∂∂τ2, . . . , τm

∂∂τm

)Ψ(τ1, τ2, . . . , τm) =

= Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

∂τ2Φ(τ1, τ2, . . . , τm) = · · · =

∂τmΦ(τ1, τ2, . . . , τm) = 0

Φ(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φkτk1

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

(1− τ2) . . . (1− τm)

a ∈M⇐⇒ ∃x2 . . . xmD(a, x2, . . . , xm) = 0

(1− τ2) . . . (1− τm)D(τ1

∂∂τ1, τ2

∂∂τ2, . . . , τm

∂∂τm

)Ψ(τ1, τ2, . . . , τm) =

= Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

∂τ2Φ(τ1, τ2, . . . , τm) = · · · =

∂τmΦ(τ1, τ2, . . . , τm) = 0

Φ(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φkτk1

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

(1− τ2) . . . (1− τm)

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

(1− τ2) . . . (1− τm)

=∞∑k=0

φkτk1

∑y2,...,ym

τ y12 . . . τ ymm

=∞∑

y1,...,ym=0

D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ymτy11 . . . τ ymm

D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ym = φy1

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

(1− τ2) . . . (1− τm)

=∞∑k=0

φkτk1

∑y2,...,ym

τ y12 . . . τ ymm

=∞∑

y1,...,ym=0

D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ymτy11 . . . τ ymm

D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ym = φy1

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

(1− τ2) . . . (1− τm)

=∞∑k=0

φkτk1

∑y2,...,ym

τ y12 . . . τ ymm

=∞∑

y1,...,ym=0

D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ymτy11 . . . τ ymm

D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ym = φy1

∂τ1, . . . , τm

∂τm

)Ψ(τ1, . . . , τm) =

=Φ(τ1, τ2, . . . , τm)

(1− τ2) . . . (1− τm)

=∞∑k=0

φkτk1

∑y2,...,ym

τ y12 . . . τ ymm

=∞∑

y1,...,ym=0

D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ymτy11 . . . τ ymm

D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ym = φy1

y1 ∈M =⇒ φy1 = 0

D(y1, . . . , ym) 6= 0 ⇒ ψy1,...,ym =φy1

D(y1, . . . , ym)

D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ym = φy1

y1 ∈M =⇒ φy1 = 0

D(y1, . . . , ym) 6= 0 ⇒ ψy1,...,ym =φy1

D(y1, . . . , ym)

D(y1, . . . , ym)ψy1,...,ym = φy1

y1 ∈M =⇒ φy1 = 0

D(y1, . . . , ym) 6= 0 ⇒ ψy1,...,ym =φy1

D(y1, . . . , ym)

n = 1, 2

a ∈Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xmDn(a, x2, . . . , xm) = 0

(1− τ2) . . . (1− τm)Dn

∂∂τ1, τ2

∂∂τ2, . . . , τm

∂∂τm

)Ψ(τ1, τ2, . . . , τm) =

= Φn(τ1, τ2, . . . , τm),∂∂τ2

Φn(τ1, τ2, . . . , τm) = · · · = ∂∂τm

Φn(τ1, τ2, . . . , τm) = 0

Φn(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φn,kτk a ∈Mn =⇒ φn,a = 0

n = 1, 2

a ∈Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xmDn(a, x2, . . . , xm) = 0

(1− τ2) . . . (1− τm)Dn

∂∂τ1, τ2

∂∂τ2, . . . , τm

∂∂τm

)Ψ(τ1, τ2, . . . , τm) =

= Φn(τ1, τ2, . . . , τm),∂∂τ2

Φn(τ1, τ2, . . . , τm) = · · · = ∂∂τm

Φn(τ1, τ2, . . . , τm) = 0

Φn(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

n = 1, 2

a ∈Mn ⇐⇒ ∃x2 . . . xmDn(a, x2, . . . , xm) = 0

(1− τ2) . . . (1− τm)Dn

∂∂τ1, τ2

∂∂τ2, . . . , τm

∂∂τm

)Ψ(τ1, τ2, . . . , τm) =

= Φn(τ1, τ2, . . . , τm),∂∂τ2

Φn(τ1, τ2, . . . , τm) = · · · = ∂∂τm

Φn(τ1, τ2, . . . , τm) = 0

Φn(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ1,kτk a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0

Φ2(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ2,kτk a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0

(1− τ1)(Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) + Φ2(τ1, τ2, . . . , τm)

φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .

M = a | φ1,a = 0

a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈M

a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0 =⇒ φ1,a = 1 =⇒ a 6∈M

Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ1,kτk a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0

Φ2(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ2,kτk a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0

(1− τ1)(Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) + Φ2(τ1, τ2, . . . , τm)

φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .

M = a | φ1,a = 0

a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈M

a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0 =⇒ φ1,a = 1 =⇒ a 6∈M

Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ1,kτk a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0

Φ2(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ2,kτk a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0

(1− τ1)(Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) + Φ2(τ1, τ2, . . . , τm)

φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .

M = a | φ1,a = 0

a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈M

a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0 =⇒ φ1,a = 1 =⇒ a 6∈M

Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ1,kτk a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0

Φ2(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ2,kτk a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0

(1− τ1)(Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) + Φ2(τ1, τ2, . . . , τm)

φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .

M = a | φ1,a = 0

a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈M

a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0 =⇒ φ1,a = 1 =⇒ a 6∈M

Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ1,kτk a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0

Φ2(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ2,kτk a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0

(1− τ1)(Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) + Φ2(τ1, τ2, . . . , τm)

φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .

M = a | φ1,a = 0

a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈M

a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0 =⇒ φ1,a = 1 =⇒ a 6∈M

Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ1,kτk a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0

Φ2(τ1, τ2, . . . , τm) =∞∑k=0

φ2,kτk a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0

(1− τ1)(Φ1(τ1, τ2, . . . , τm) + Φ2(τ1, τ2, . . . , τm)

φ1,a + φ2,a = 1, a = 0, 1, . . .

M = a | φ1,a = 0

a ∈M1 =⇒ φ1,a = 0 =⇒ a ∈M

a ∈M2 =⇒ φ2,a = 0 =⇒ φ1,a = 1 =⇒ a 6∈M

Диофантовы игрыПравила

James Jones [1974], основываясь на идеях M.Rabin’a [1957],ввел диофантовы игры.

P(a1, . . . , am, x1, . . . , xm) = 0

Петр выбирает значения параметров a1, . . . , amНиколай выбирает значения неизвестных x1, . . . , xmI Петр выбирает a1

I Николай выбирает x1

I Петр выбирает a2

I ...............................................I Петр выбирает amI Николай выбирает xm

Николай объявляется победителем в том и только том случае,когда значение многочлена оказывается равным нулю.

P(a1, . . . , am, x1, . . . , xm) = 0

Петр выбирает значения параметров a1, . . . , am

Николай выбирает значения неизвестных x1, . . . , xmI Петр выбирает a1

P(a1, . . . , am, x1, . . . , xm) = 0

Петр выбирает значения параметров a1, . . . , amНиколай выбирает значения неизвестных x1, . . . , xm

P(a1, . . . , am, x1, . . . , xm) = 0

I ...............................................

I Петр выбирает amI Николай выбирает xm

P(a1, . . . , am, x1, . . . , xm) = 0

I ...............................................I Петр выбирает am

I Николай выбирает xm

P(a1, . . . , am, x1, . . . , xm) = 0

Диофантовы игрыТрудные ответы на простые вопросы

Упражнение. Кто имеет выигрышную стратегию в игре,задаваемой уравнением

(x1 + a2)2 + 1− (x2 + 2)(x3 + 3) = 0?

Подсказка. Победа гарантирована Петру в том и только томслучае, когда количество простых чисел вида n2 +1 бесконечно.

Диофантовы игрыТрудные ответы на простые вопросы

Упражнение. Кто имеет выигрышную стратегию в игре,задаваемой уравнением

(x1 + a2)2 + 1− (x2 + 2)(x3 + 3) = 0?

Подсказка. Победа гарантирована Петру в том и только томслучае, когда количество простых чисел вида n2 +1 бесконечно.

Теорема (Jones[1982]) Николай имеет выигрышнуюстратегию, но не имеет вычислимой выигрышной стратегии вигреa1 + a6 + 1− x42 ·

⟨(a6 + a7)2 + 3a7 + a6 − 2x4

⟩2+⟨[

(x9 − a7)2 + (x10 − a9)2][(x9 − a6)2 + (x10 − a8)2((x4 − a1)2

+ (x10 − a9 − x1)2)][

(x9 − 3x4)2 + (x10 − a8 − a9)2][(x9 − 3x4 − 1)2

+ (x10 − a8a9)2]− a12 − 1⟩2

+⟨[x10 + a12 + a12x9a4 − a3]2

+ [x5 + a13 − x9a4]2⟩− x13 − 1

a1 + x5 + 1− a5

⟨(x5 − x6)2

+ 3x6 + x5 − 2a5⟩2

(a10 − x6)2 + (a11 − x8)2][(a10 − x5)2

+ (a11 − x7)2((a5 − a1)2 + (a11 − x8 − a2)2)][

(a10 − 3a5)2

+ (a11 − x7 − x8)2][(a10 − 3a5 − 1)2 + (a11 − x7x8)2]− x11 − 1⟩2

+⟨[a11 + x11 + x11a10x3 − x2]2 + [a11 + x12 − a10x3]2

⟩= 0.

Формализмы для описанияпараллельных/распределенных вычислений

Сети Петри (Petri net, place/transition net, P/T net)

Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemicalprocesses

Системы векторного сложения (systems of vector addition)

Wikipedia:

Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemicalprocesses

Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri

in August1939 – at the age of 13 – for the purpose of describing chemicalprocesses

Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August1939

– at the age of 13 – for the purpose of describing chemicalprocesses

Wikipedia: Petri nets were invented by Carl Adam Petri in August1939 – at the age of 13

– for the purpose of describing chemicalprocesses

Системы векторного сложения

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉...

δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉

→ 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1

→ A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2

→ A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3

→ . . .

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

α1 ∈ N, . . . , αn ∈ N

A = 〈α1, . . . , αn〉 → 〈α1 + δj ,1, . . . , αn + δj ,n〉 = A + ∆j

α1 + δj ,1 ∈ N, . . . , αn + δj ,n ∈ N

A→ A + ∆j1 → A + ∆j1 + ∆j2 → A + ∆j1 + ∆j2 + ∆j3 → . . .

Проблема достижимости

ВХОД: Cистема векторного сложения ∆1, . . . ,∆k идва вектора A и B

ВОПРОС: Верно ли, что вектор B достижим из вектора Aв этой системе?

Проблема включения

ВХОД: Две системы векторного сложения Γ1, . . . , Γkи ∆1, . . . ,∆k и вектор A

ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимыйиз вектора A во второй системе, достижим извектора A также и в первой системе?

Теорема (Michael Rabin, не опубликовано). Проблемавключения для систем векторного сложения неразрешима.

Проблема эквивалентности

ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый извектора A в одной из этих систем, достижим извектора A также и в другой системе?

Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблемаэквивалентности для систем векторного сложениянеразрешима.

Проблема эквивалентности

ВОПРОС: Верно ли, что каждый вектор, достижимый извектора A в одной из этих систем, достижим извектора A также и в другой системе?

Теорема (M. Hack; T. Araki и T. Kasami). Проблемаэквивалентности для систем векторного сложениянеразрешима.

Обобщенные кони на многомерной шахматной доске

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

Обозначение. K(α1, . . . , αn) – это множество всех полей, накоторых может побывать конь, начав свой путь с поля〈α1, . . . , αn〉

Проблема включенияВХОД: Два обобщеных коня K′ и K′′ и поле A

ВОПРОС: Верно ли, K′(A) ⊇ K′′(A)

Проблема эквивалентностиВХОД: Два обобщеных коня K′ и K′′ и поле A

ВОПРОС: Верно ли, K′(A) = K′′(A)

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

∆1 = 〈δ1,1, . . . , δ1,n〉... δj ,k ∈ Z

∆k = 〈δk,1, . . . , δk,n〉

Сравнение проблемОбозначение. K(α1, . . . , αn) – это множество всех полей, накоторых может побывать конь, начав свой путь с поля〈α1, . . . , αn〉

K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A)&K′′(A) ⊇ K′(A)

Специальные кони

〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ −1, 0, 1

δi1 = · · · = δia = −1δj1 = · · · = δjb = 1δm = 0, если m 6∈ i1, . . . , ia, j1, . . . , jb

〈i1, . . . , ia〉〈j1, . . . , jb〉

Ri1 . . .Ria Rj1 . . .Rjb

〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ −1, 0, 1

δi1 = · · · = δia = −1

δj1 = · · · = δjb = 1δm = 0, если m 6∈ i1, . . . , ia, j1, . . . , jb

〈i1, . . . , ia〉〈j1, . . . , jb〉

〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ −1, 0, 1

δi1 = · · · = δia = −1δj1 = · · · = δjb = 1

δm = 0, если m 6∈ i1, . . . , ia, j1, . . . , jb

〈i1, . . . , ia〉〈j1, . . . , jb〉

〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ −1, 0, 1

〈i1, . . . , ia〉〈j1, . . . , jb〉

〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ −1, 0, 1

〈i1, . . . , ia〉〈j1, . . . , jb〉

〈δ1, . . . , δn〉 δm ∈ −1, 0, 1

〈i1, . . . , ia〉〈j1, . . . , jb〉

Шахматная машина

Шахматная машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn, каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число. Машина может находиться водном из конечного числа состояний S1, . . . ,Sm; инструкциимашины имеют вид

Si0Ri1 . . .Ria Sj0Rj1 . . .Rjb

где все числа i0, i1, . . . , ia, j0, j1, . . . , jb попарно различны.

Шахматная машина является недетерминированной!

Шахматная машинаШахматная машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn, каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число.

Машина может находиться водном из конечного числа состояний S1, . . . ,Sm; инструкциимашины имеют вид

Шахматная машинаШахматная машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn, каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число. Машина может находиться водном из конечного числа состояний S1, . . . ,Sm;

инструкциимашины имеют вид

Шахматная машинаШахматная машина имеет конечное количество регистровR1, . . . ,Rn, каждый из которых может содержать произвольнобольшое натуральное число. Машина может находиться водном из конечного числа состояний S1, . . . ,Sm; инструкциимашины имеют вид

Вычисления на шахматной машинеОпределение. Пусть в некоторой шахматной машиневыделено начальное состояние Sb

, заключительное состояниеSe , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .Поместим коня на поле

〈r1, . . . , rn〉 (∗)

где rb = 1, ri1 = x1,. . . , rik = xk , а все остальные регистрыпусты. Мы говорим, что шахматная машина вычисляетфункцию F (x1, . . . , xk), если выполены следующие три условия.

1. Если поле 〈r ′1, . . . , r ′n〉 достижимо с поля (∗), тоr ′j ≤ F (x1, . . . , xk)

2. Для любого y такого, что y ≤ F (x1, . . . , xk), существуетполе 〈r ′1, . . . , r ′n〉, достижимое с поля (∗) и такое, чтоrj = y , re = 1.

3. Состояние Se не встречается в левых частях инструкциймашины.

Вычисления на шахматной машинеОпределение. Пусть в некоторой шахматной машиневыделено начальное состояние Sb , заключительное состояниеSe

, входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .Поместим коня на поле

〈r1, . . . , rn〉 (∗)

Вычисления на шахматной машинеОпределение. Пусть в некоторой шахматной машиневыделено начальное состояние Sb , заключительное состояниеSe , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .

Поместим коня на поле

〈r1, . . . , rn〉 (∗)

Вычисления на шахматной машинеОпределение. Пусть в некоторой шахматной машиневыделено начальное состояние Sb , заключительное состояниеSe , входные регистры Ii1 , . . . , Iik и выходной регистр Oj .Поместим коня на поле

〈r1, . . . , rn〉 (∗)

где rb = 1, ri1 = x1,. . . , rik = xk , а все остальные регистрыпусты.

Мы говорим, что шахматная машина вычисляетфункцию F (x1, . . . , xk), если выполены следующие три условия.

〈r1, . . . , rn〉 (∗)

Сложение чисел

S1I4 S2O6

S1I5 S2O6

Умножение чисел

S1I6 S2

S2I7 S3R8O9

S4R8 S1I7

Сложение функцийЛемма. Имея две шахматные машины K1 и K2, вычисляющиефункции F1(x1, . . . , xm1) и F2(y1, . . . , ym2) соответственно, мыможем построить машину K, вычисляющую функцию

F (z1, . . . , zm1+m2) = F1(z1, . . . , zm1) + F2(zm1+1, . . . , zm1+m2).

S1I4 S2O6

S1I5 S2O6

Сложение функцийЛемма. Имея две шахматные машины K1 и K2, вычисляющиефункции F1(x1, . . . , xm1) и F2(y1, . . . , ym2) соответственно, мыможем построить машину K, вычисляющую функцию

F (z1, . . . , zm1+m2) = F1(z1, . . . , zm1) + F2(zm1+1, . . . , zm1+m2).

S1I4 S2O6

S1I5 S2O6

Умножение функцийЛемма. Имея две шахматные машины K1 и K2, вычисляющиефункции F1(x1, . . . , xm1) и F2(y1, . . . , ym2) соответственно, мыможем построить машину K, вычисляющую функцию

F (z1, . . . , zm1+m2) = F1(z1, . . . , zm1)× F2(zm1+1, . . . , zm1+m2).

S1I6 S2

S2I7 S3R8O9

S4R8 S1I7

Умножение функцийЛемма. Имея две шахматные машины K1 и K2, вычисляющиефункции F1(x1, . . . , xm1) и F2(y1, . . . , ym2) соответственно, мыможем построить машину K, вычисляющую функцию

F (z1, . . . , zm1+m2) = F1(z1, . . . , zm1)× F2(zm1+1, . . . , zm1+m2).

S1I6 S2

S2I7 S3R8O9

S4R8 S1I7

Альтернативы

D(x1, . . . , xm) = 0

I либо∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

I либо∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)

I либо∃x1 . . . xmA(x1, . . . , xm) = B(x1, . . . , xm)

I либо

∀x1 . . . xmA(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1

D(x1, . . . , xm) = 0

I либо∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

I либо∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)

I либо

∀x1 . . . xmA(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1

D(x1, . . . , xm) = 0

I либо∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

I либо∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)

I либо

∀x1 . . . xmA(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1

D(x1, . . . , xm) = 0

I либо∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

I либо∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)

I либо

∀x1 . . . xmA(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1

D(x1, . . . , xm) = 0

I либо∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

I либо∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)

I либо

∀x1 . . . xmA(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1

D(x1, . . . , xm) = 0

I либо∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

I либо∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

D2(x1, . . . , xm) = A(x1, . . . , xm)− B(x1, . . . , xm)

A(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm)

I либо

∀x1 . . . xmA(x1, . . . , xm) ≥ B(x1, . . . , xm) + 1

Машина K′A

A(x1, . . . , xm)

= A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A′. ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходнойрегистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальныхрегистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующиеинструкции:

Sm+2 Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . . . . .

Sm+2 Sm+3Rim,1 . . .Rim,wXm

Sm+3 Sm+2

Sm+3 Sb,

Обозначим полученную машину через K′A, её начальнымсостоянием объявим Sm+2.

Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

Sm+2 Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . . . . .

Sm+3 Sm+2

Sm+3 Sb,

Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A′.

ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходнойрегистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальныхрегистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующиеинструкции:

Sm+2 Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . . . . .

Sm+3 Sm+2

Sm+3 Sb,

Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A′. ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры

, Bm+1 – выходнойрегистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальныхрегистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующиеинструкции:

Sm+2 Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . . . . .

Sm+3 Sm+2

Sm+3 Sb,

Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A′. ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходнойрегистр

, Sb – начальное состояние, а номера всех остальныхрегистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующиеинструкции:

Sm+2 Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . . . . .

Sm+3 Sm+2

Sm+3 Sb,

Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A′. ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходнойрегистр, Sb – начальное состояние

, а номера всех остальныхрегистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующиеинструкции:

Sm+2 Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . . . . .

Sm+3 Sm+2

Sm+3 Sb,

Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

Построим шахматную машину, вычисляющую A′. ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходнойрегистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальныхрегистров и состояний превосходят m + 9.

Добавим следующиеинструкции:

Sm+2 Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . . . . .

Sm+3 Sm+2

Sm+3 Sb,

Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

Sm+2 Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . . . . .

Sm+3 Sm+2

Sm+3 Sb,

Обозначим полученную машину через K′A

, её начальнымсостоянием объявим Sm+2.

Машина K′A

A(x1, . . . , xm) = A′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

Sm+2 Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . . . . .

Sm+3 Sm+2

Sm+3 Sb,

Машина K′′B

B(x1, . . . , xm) + 1 = B ′′(x1, . . . , x1︸︷︷︸w times

, . . . , xm, . . . , xm︸︷︷︸w times

Построим шахматную машину, вычисляющую B ′, ПустьRi1,1 , . . . , Rim,w – её входные регистры, Bm+1 – выходнойрегистр, Sb – начальное состояние, а номера всех остальныхрегистров и состояний превосходят m + 9. Добавим следующиеинструкции:

Sm+2 Sm+3Ri1,1 . . .Ri1,wX1

. . . . . .

Sm+3 Sm+2

Sm+3 Sb,

Обозначим полученную машину через K′′B , её начальнымсостоянием объявим Sm+2.

Машина K′

Добавим к машине KA следующие инструкции

1. для каждого регистра Ri машины K′A кроме X1, . . . , Xm+1:

SsRi St

2. для каждого регистра Rj машины KB кроме X1, . . . , Xm+1:

Ss StRj

3. для каждого состояния Sk машины KB :

4.St Ss

Машина K′

Добавим к машине KA следующие инструкции1. для каждого регистра Ri машины K′A кроме X1, . . . , Xm+1:

SsRi St

Ss StRj

4.St Ss

Машина K′

SsRi St

Ss StRj

4.St Ss

Машина K′

SsRi St

Ss StRj

4.St Ss

Машина K′

SsRi St

Ss StRj

4.St Ss

Машина K′′

Машина K′′ имеет те же инструкции, что и машина K′′B , но кней добавлены все регистры машины K′A.

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0⇐⇒ ∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐⇒ ∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0⇐⇒ ¬∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐⇒ ¬∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

⇐⇒ ∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐⇒ ∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

⇐⇒ ¬∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

K′(A) 6⊇ K′′(A) ⇐ ∃x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) = 0

K′(A) ⊇ K′′(A) ⇐ ∀x1 . . . xmD(x1, . . . , xm) 6= 0

Включение и эквивалентностьПроблема включения

ВХОД: Два обобщеных коня K′ и K′′ и поле AВОПРОС: Верно ли, K′(A) ⊇ K′′(A)

K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A)&K′′(A) ⊇ K′(A)

K′(r1, . . . , rn) ⊇ K′′(r1, . . . , rn) ⇐⇒⇐⇒ K′(r1, . . . , rn) = K′(r1, . . . , rn) ∪ K′′(r1, . . . , rn)

K′′′(r1, . . . , rn) = K′(r1, . . . , rn) ∪ K′′(r1, . . . , rn)

K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A)&K′′(A) ⊇ K′(A)

K′′′(r1, . . . , rn) = K′(r1, . . . , rn) ∪ K′′(r1, . . . , rn)

K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A)&K′′(A) ⊇ K′(A)

K′′′(r1, . . . , rn) = K′(r1, . . . , rn) ∪ K′′(r1, . . . , rn)

K′(A) = K′′(A) ⇐⇒ K′(A) ⊇ K′′(A)&K′′(A) ⊇ K′(A)

K′′′(r1, . . . , rn) = K′(r1, . . . , rn) ∪ K′′(r1, . . . , rn)

Включение и эквивалентностьK′ K′′

Ri1 . . .Ria Rj1 . . .Rjb Ri1 . . .Ria Rj1 . . .Rjb

Tm+4Ri1 . . .Ria Tm+5Rj1 . . .Rjb Tm+6Ri1 . . .Ria Tm+7Rj1 . . .Rjb

Sm+8 Tm+4Sm+2 Sm+8 Tm+6Sm+2Sm+8 Tm+5Sm+2 Sm+8 Tm+7Sm+2

Tm+4 Tm+4 Tm+5 Tm+5

Tm+6 Tm+7

K′′′ K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Tm+4 Tm+4 Tm+5 Tm+5

Tm+6 Tm+7

K′′′ K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Tm+4Ri1 . . .Ria Tm+5Rj1 . . .Rjb

Tm+4 Tm+4 Tm+5 Tm+5

Tm+6 Tm+7

K′′′ K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Tm+4 Tm+4 Tm+5 Tm+5

Tm+6 Tm+7

K′′′ K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Sm+8 Tm+4Sm+2

Sm+8 Tm+6Sm+2

Sm+8 Tm+5Sm+2

Sm+8 Tm+7Sm+2Tm+4 Tm+4 Tm+5 Tm+5

Tm+6 Tm+7

K′′′ K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Tm+4 Tm+4 Tm+5 Tm+5

Tm+6 Tm+7

K′′′ K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Tm+5 Tm+6 Tm+7

K′′′ K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Tm+4 Tm+4 Tm+5 Tm+5

Tm+6 Tm+7

K′′′ K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Tm+4 Tm+4 Tm+5 Tm+5

Tm+6 Tm+7

K′′′

K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Tm+4 Tm+4 Tm+5 Tm+5

Tm+6 Tm+7

K′′′ K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Tm+4 Tm+4 Tm+5 Tm+5

Tm+6 Tm+7

K′′′ K′′′′

K′ ⊇ K′′ ⇐⇒ K′′′ = K′′′′

Унификация (невсеобщее равенство)

E1(x1, . . . , xm) = E2(x1, . . . , xm)

Проблема унификации для чистого исчисления предикатовпервого порядка разрешима.

Проблема унификации для исчисления предикатов третьегопорядка неразрешима. L. D. Baxter [1978] дал новоедоказательство этого факта с использованием неразрешимостидиофантовых уравнений.

W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблемаунификации для исчисления предикатов второго порядка,исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.

E1(x1, . . . , xm) = E2(x1, . . . , xm)

Проблема унификации для исчисления предикатов третьегопорядка неразрешима.

L. D. Baxter [1978] дал новоедоказательство этого факта с использованием неразрешимостидиофантовых уравнений.

E1(x1, . . . , xm) = E2(x1, . . . , xm)

Как перемножать термы?

Tn = F (F (. . .F︸︷︷︸n times

(x) . . . ));

Сложение n + m: подстановка Tm вместо x в Tn

Умножение n ×m: ?

Tn = F (F (. . .F︸︷︷︸n times

(x) . . . ));

Tn = F (F (. . .F︸︷︷︸n times

(x) . . . ));

Одна история

Разрешима ли проблема так называемой одновременнойжесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?

Одна историяРазрешима ли проблема так называемой одновременнойжесткой E -унификации (simultaneous rigid E -unification)?

A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимостьодновременной жесткой E -унификации

A. Воронков и A. Дегтярев установили неразрешимостьодновременной жесткой E -унификации путем сведения к нейтак называемой проблемы монадической полуунификации(monadic semi-unification problem).

Неразрешимость проблемы монадической полуунификацииустановил ранее M. Baaz [1993] путем сведения к нейпроблемы унификации для исчисления предикатов второгопорядка.

W. D. Golfarb [1981] установил неразрешимость проблемыунификации для исчисления предикатов второго порядка,исходя из неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.

A. Воронков и A. Дегтярев [1996] дали прямое доказательствонеразрешимость одновременной жесткой E -унификации наоснове неразрешимости 10-й проблемы Гильберта.

20131027 h10 lecture5_matiyasevich

Education