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Klein’s fundamental second kind 2-formfor the Cab curves

鈴木 譲

阪大理

日本数学会 2014年秋

鈴木 譲 (阪大理) Klein’s fundamental second kind 2-form for the Cab curves日本数学会 2014 年秋 1 / 12

はじめに

はじめに

代数曲線暗号 (定義方程式から出発)

J. Silverman 教授 (Brown) 三浦晋示 博士

第 15回整数論サマースクール (2007、花巻市、大西他)「種数の高い代数曲線と Abel多様体」

鈴木 譲 (阪大理) Klein’s fundamental second kind 2-form for the Cab curves日本数学会 2014 年秋 2 / 12

三浦曲線

非特異代数曲線の定義方程式 (三浦)

F : C上の (1変数代数)関数体O: 次数 1の座 (無限遠点)L := f ∈ F |ordQ(f ) ≥ 0,Q = O ∪ 0M := −ordO(f )|f ∈ La1, · · · , am ∈ M: モノイドM の生成元で、(a1, · · · , am) = 1となるものx1, · · · , xm ∈ L: −ordO(xi ) = ai , i = 1, · · · ,mとなるものC[X1, · · · ,Xm]: C上のm変数多項式環 (X1, · · · ,Xm: 不定文字).アフィン代数曲線の定義方程式........自然な全射準同型Θ : C[X1, · · · ,Xm] → C[x1, · · · , xm]の ker(Θ)

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三浦曲線

Cab曲線

Telescopic ker(Θ)の生成元がm − 1個 ⇐⇒aidi

∈< a1di−1

, · · · , ai−1

di−1>, di = (a1, · · · , ai ), i = 2, · · · ,m

(Suzuki, 2007)

Cab ker(Θ)の生成元が 1個 ⇐⇒ m = 2

.Cab 曲線..

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(x1, x2) = (x , y), (a1, a2) = (a, b),

C :∑

(i ,j)∈D

ci ,jxiy j = 0 , ci ,j ∈ C , D := (i , j)|i , j ≥ 0, ai + bj ≤ ab

g =(a− 1)(b − 1)

2

a = 2, b = 2g + 1のとき、超楕円曲線

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問題の定式化

Klein’s fundamental second kind 2-form

duigi=1: 第 1種微分C × C 上の 2-form R((x , y), (z ,w))dxdz で、以下を満たすもの

...1 (z ,w) = (x , y)でのみ 2位の極

...2 lim(z,w)→(x ,y)

R((x , y), (z ,w))(x − z)2 = 1

R((x , y), (z ,w)) =d

dzΩ((x , y), (z ,w)) +

g∑i=1

dui (x , y)

dx

dri (z ,w)

dz

drigi=1: Oでのみ極をもつ第 2種微分Ω((x , y), (z ,w)): 1-form

R((x , y), (z ,w)) = R((z ,w), (x , y))

を満足する drigi=1と、そのときの R((x , y), (z ,w))dxdz

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問題の定式化

超楕円の場合 (Klein, 1888)

y2 = c2g+1x2g+1 + c2gx

2g + · · ·+ c1x + c0 , c0, · · · , c2g+1 ∈ C

dui (x , y) :=x i−1dx

2y, i = 1, · · · , g

Ω((x , y), (z ,w)) =y + w

2(x − z)ydx

dri (z ,w) =

2g−i∑k=i

ck+1+i (k + 1− i)zk

2wdz , i = 1, · · · , g

R((x , y), (z ,w)) =

∑gj=0 x

jz jc2j+1(x + z) + 2c2j(x − z)2

1

2y

1

2w

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問題の定式化

Cabの場合 (Nakayashiki, 2010)

C :∑

(i ,j)∈D

ci ,jxiy j = 0 , D = (i , j)|i , j ≥ 0, ai + bj ≤ ab

fj :=∑

i :(i ,j)∈D

ci ,jxi , gj :=

∑i :(i ,j)∈D

ci ,jzi , hj :=

j−1∑i=0

w iy j−1−i

dui ,j(x , y) =x iy j∑a

k=1 kyk−1fk

dx , i = 1, · · · , g

Ω((x , y), (z ,w)) =

∑aj=0 hjgj

(x − z)∑a

k=1 yk−1fk

dx

R((x , y), (z ,w)) =d

dzΩ((x , y), (z ,w)) +

g∑i=1

dui (x , y)

dx

dri (z ,w)

dz

が対称となる dri ,j(z ,w) =

∑u,v Di ,j ,u,vz

uw v∑ak=1 kw

k−1gkdz の係数 Di ,j ,u,vが存在

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主結果

主結果

各 (i , j) ∈ J(a, b) := (i , j)|i , j ≥ 0, ai + bj ≤ ab − a− bについて、

dri ,j(z ,w) :=

j+1∑u=0

a∑v=j+1

∑r

∑s

cr ,ucs,vDr ,s,u,v (i , j)zr+s−i−2wu+v−j−2

∑ak=1 kw

k−1gkdz

Dr ,s,u,v (i , j) :=

u(s − i − 1) (u ≤ v = j + 1)u(r − i − 1) (j + 1 = u ≤ v)−(j + 1− u)s − (v − j − 1)r+(i + 1)(v − u) (u ≤ j , j + 2 ≤ v)

とおくとき、R((x , y), (z ,w))が対称となる。

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主結果

例 1: 超楕円 (a = 2, b = 2g + 1)

C : y2 + y

g∑r=0

cr ,1xr +

2g+1∑s=0

cs,0xs = 0

dui ,0(x , y) :=x idx

2y +∑g

r=0 cr ,1xr, i = 0, · · · , g − 1

dri ,j(z ,w) =ri ,0(z ,w)

2w +∑g

r=0 cr ,1zrdz として、

ri ,0(z ,w) =

g∑r=i+2

g∑s=0

cr ,1cs,1(r − i − 1)z r+s−i−2

+

g∑r=i+2

cr ,1(r − i − 1)z r−i−2w −2g+1∑

r=2i+3

cr ,0(r − 2i − 2)z r−i−2

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主結果

例 2: 特楕円 (cr ,u = 0, u = 0, a)

C : ya +b∑

s=0

cs,0xs = 0

dui ,j(x , y) :=x iy jdx

aya−1, (i , j) ∈ J(a, b)

dri ,j(z ,w) =ri ,j(z ,w)

awa−1dz として、

ri ,j(z ,w) = −b∑

r=i+2

cr ,0(ar − a− r − ai − rj)z r−2−iwa−2−j

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主結果

関連研究

Cab またはそれ以上の一般化 (係数は求めない)

Cab Nakayashiki 2010

Telescopic 綾野孝則 博士論文 2013

超楕円以外で個別の曲線

C3,4 Elibeck, Matsutani, Onishi他 (2007)

C3,7,8, C6,13,14,15,16 Matsutani (2013)

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まとめ

まとめ

.Klein’s fundamental second kind 2-form........Klein以来、126年ぶりの一般化

応用:

周期行列M、たとえば σ関数 σ(u;M)(uの多項式)の係数を計算

可積分系

代数曲線暗号.今後の課題........一般的な三浦曲線 (一般的な閉 Riemann面に対応)への一般化

鈴木 譲 (阪大理) Klein’s fundamental second kind 2-form for the Cab curves日本数学会 2014 年秋 12 / 12