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Matemática Básica e Financeira


Curso Técnico em Agronegócio

FORMAÇÃOTÉCNICA

SENAR - Brasília, 2015

S474m

SENAR – Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. Matemática básica e financeira / Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. –

Brasília: SENAR, 2015.91 p. : il. ISBN: 978-85-7664-080-6 Inclui bibliografia.

1. Matemática. 2. Matemática financeira. 3. Estatística. I. Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. II. Título.

CDU: 806.90-5

SumárioIntrodução à Unidade Curricular 7

Tema 1: Matemática Básica 9

Tópico 1: Expressões Matemáticas 10

Tópico 2: Potenciação 12

Tópico 3: Razão e Proporção 13

Tópico 4: Proporção 16

Tópico 5: Grandezas Proporcionais 21

Tópico 6: A Regra de Três 23

Tópico 7: Unidades de Medida 32

Encerramento 45

Tema 2: Matemática Financeira 47

Tópico 1: Uso da Moeda 48

Tópico 2: Dinheiro x Tempo 49

S474m

SENAR – Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. Matemática básica e financeira / Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. –

Brasília: SENAR, 2015.91 p. : il. ISBN: 978-85-7664-080-6 Inclui bibliografia.

1. Matemática. 2. Matemática financeira. 3. Estatística. I. Serviço Nacional de Aprendizagem Rural. II. Título.

CDU: 806.90-5

Tópico 3: Juros Simples 49

Tópico 4: Juros Compostos 55

Tópico 5: Descontos 61

Tópico 6: Séries de Pagamento 67

Tópico 7: Sistemas de Amortização 73

Encerramento 77

Tema 3: Estatística 79

Tópico 1: Conceitos da Estatística 80

Tópico 2: Coleta de Dados 81

Tópico 3: Séries Estatísticas 82

Tópico 4: Medidas de Tendência Central 84

Tópico 5: Medidas de Dispersão 86

Tópico 6: Probabilidade 88

Encerramento da Unidade Curricular 91

Referências 91

Gabarito 92

Introdução à Unidade Curricular


7

Introdução à Unidade CurricularSeja bem-vindo à unidade curricular de Matemática Básica e Financeira. Os temas que veremos aqui serão essenciais para sua atuação como técnico em agronegócio. Eles também fornecem uma base para unidades curriculares seguintes, como Administração, Economia e Contabilidade Rural e Finanças Aplicadas ao Agronegócio.

a

Objetivos de aprendizagem

Ao fim desta unidade curricular, você deverá ser capaz de:

• revisar os conceitos fundamentais da matemática básica;

• aplicar os conhecimentos matemáticos em situações concretas da administração rural;

• desenvolver o raciocínio lógico;

• conhecer as definições básicas e os principais elementos da estatística;

• compreender a estatística descritiva aplicada à pesquisa em agronegócio.

Os temas apresentam diversas atividades para que você possa exercitar o conteúdo. Certifique-se de praticar o que aprendeu e lembre-se de que você também conta com o conteúdo disponível no AVA e as videoaulas! Se tiver alguma dúvida, contate o tutor a distância.

01Matemática Básica


9

Tema 1: Matemática BásicaIndependentemente do nível de matemática que estudamos, é sempre bom rever alguns tópicos básicos. Este primeiro tema é composto por conteúdos elementares muito úteis no dia a dia. Além disso, a partir do que veremos aqui, você poderá avançar com mais facilidade nos estudos seguintes de matemática financeira e estatística.

d

Comentário do autor

Ao fim deste tema, espera-se que você seja capaz de:

• utilizar expressões algébricas para resolver problemas;

• identificar e avaliar a variação de grandezas para explicar fenômenos naturais, processos socioeconômicos e da produção tecnológica;

• resolver problemas envolvendo grandezas direta e inversamente proporcionais e porcentagem;

• recorrer a cálculos com porcentagem e relações entre grandezas proporcionais para avaliar a adequação de propostas de intervenção na realidade;

• identificar as unidades de medida mais utilizadas e resolver situações práticas que envolvam a conversão de medidas.

Inicialmente, veremos como combinar números, operações e variáveis em expressões matemáticas. Em seguida, estudaremos razões, proporções e grandezas, o que nos levará a revisar a regra de três, uma das técnicas matemáticas mais utilizadas no dia a dia. Por fim, veremos neste tema algumas unidades de medida aplicadas ao agronegócio.


10

Todos esses tópicos são importantes para o seu aprendizado, pois fornecem uma base para os temas seguintes. A partir deles, você poderá estabelecer conexões entre conhecimentos matemáticos e outros que serão úteis por toda a vida profissional.

Fonte: Shutterstock

Lembre-se de que, caso tenha alguma dúvida, você poderá procurar o tutor a distância desta unidade curricular. Vamos lá?

Tópico 1: Expressões MatemáticasExpressão matemática é uma sentença numérica na qual é possível encontrar uma ou mais das quatro operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. A ordem de resolução será: primeiro a multiplicação e a divisão, depois a adição e a subtração. Então, se você tem: 3+ 2× 5= ?, não poderá somar antes de multiplicar.

Para separar e organizar as expressões numéricas, definindo o que deve ser resolvido primeiro, é comum utilizar símbolos matemáticos. Os mais conhecidos são os parênteses (...), os colchetes [...] e as chaves {...}, e devem ser utilizados nessa ordem. A resolução fica então: primeiro os parênteses, depois os colchetes e, por fim, as chaves.

Observe no exemplo a seguir o que deve ser calculado primeiro:

15 + [ 22 - ( 7 + 6 ) + 3 ]

Para resolver a expressão, é preciso começar pelo que se encontra entre parênteses (7 + 6) = 13 e, em seguida, dentro dos colchetes [22 - 13 + 3]= 12. No final, executamos as soma resultante 15 + 12 = 27. O resultado da expressão é 27.


11

Confira um outro exemplo:

2 - {-11 + [17- (-12 + 10) - 3]} 2 - { -11 + [17 - (-2) -3]}

2- {-11+ [16]} 2- {5}

-3

`

Atenção

Você deve atentar para os sinais, positivo e negativo, ao multiplicar e dividir. Sendo que menos com menos será positivo (-2) x (-2) = +4, e menos com mais será negativo (-2) x (+2) = -4. Observe, também, que o sinal de multiplicação poderá aparecer como asterisco (-2)*(-2) ou ainda não aparecer (-2)(-2).

Vamos praticar?

Atividade 1

1) Resolva as expressões a seguir:

a) 20 + 3 (–4) –2 (–5) =

b) 20 + [3 – 5 × 2 + (3 – 5) ×2] =

c) 20 – [(8 – 3) + 4] – 1 =

d) 123 – [90 – (38 + 50) – 1] =

e) 10 + [– 8 –(– 1 + 2)] =

f) {[(8 × 4 + 3) ÷ 7 + (3 + 15 ÷ 5) × 3] × 2 – (19 – 7) ÷ 6} × 2 + 12 =

g) {[(6 × 4 × 7) ÷ 3 + 9] ÷ 5} × 13 =

h) [9 + (585 – 15 × 6)] ÷ 56 =

2) Escreva a expressão numérica que representa cada situação abaixo e as resolva:

a) Um milionário, antes de morrer, deixou escrito no testamento: “Dos três milhões que tenho no banco, deixo 1 milhão e 800 mil para instituições de caridade e o restante para ser repartido igualmente entre meus três filhos”. Quanto recebeu cada filho?


12

b) Gaspar comprou uma bicicleta pagando um total de R$ 960,00, sendo R$ 336,00 de entrada e o restante em 8 prestações mensais iguais. Qual o valor de cada prestação?

c) Em cada mão humana há 27 ossos e, em cada pé, 26. Quantos ossos há, ao todo, nas mãos e nos pés humanos?

d) João tem 26 tickets de vale-refeição e André tem o triplo. Quantos tickets de vale-refeição têm os dois juntos?

e) Dois operários, Paulo e Pedro, cobram juntos R$ 385,00 por um trabalho a ser realizado em 5 dias. Paulo ganha R$ 32,00 por dia de trabalho. Quanto ganha Pedro pelo trabalho?

Tópico 2: PotenciaçãoPotência é uma operação matemática que pode ser lida como um numeral qualquer “a” elevado a outro numeral qualquer “n”, sendo este número chamado de expoente. Essa operação (an) representa a multiplicação do número “a” por ele mesmo um total de “n” vezes. Veja na prática:

23Lê-se dois elevado à terceira potência ou dois elevado à potência 3 (ou, ainda, dois ao cubo). Isso significa multiplicar o número dois por ele mesmo três vezes. Matematicamente, temos: 23 = 2 × 2 × 2 = 8

54Lê-se cinco elevado à quarta potência ou, ainda, cinco elevado à potência 4. O que representa multiplicar o número 5 por ele mesmo quatro vezes. Matematicamente, temos: 54 = 5 × 5 × 5 × 5 = 625

`Atenção

Em uma expressão matemática, a operação de potência deve ser executada primeiramente, antes das operações de multiplicação e divisão.

Vamos praticar?

Atividade 2

1) Calcule o valor numérico das potências apresentadas abaixo:

a) 16=

b) 25=

c) 47=


13

d) 120=

e) 131=

2) Resolva as expressões numéricas a seguir:

a) 25 × 5 + 32 – 63 ÷ 25 =

b) 40 - { 3 × [ ( 23 + 12 ) + ( 13 + 22 × 3 ) ] × 5 } =

c) { 25 – [ 5 + ( 3 × 7 ) ] } ÷ 35 + 32 - (82 - 60 ) × 5 =

d) { [ ( 23 × 22 + 3) ÷ 7 + ( 3 + 15 ÷ 5 ) × 3 ] × 2 - ( 19 - 7 ) ÷ 6 } × 2 + 22 × 3 =

e) { [ ( 32 × 22 × 7 ) ÷ 3 + 6 ] ÷ 5 } × 3 × 22

f) { [ ( 22 × 42 × 5 ) ÷ 4 + 10 ] ÷ 3 } × 3 × 22 =

'

Dica

Sempre que você se deparar com um expoente negativo, deverá fazer a

inversão da fração. Por exemplo: 3² = 9, mas 3− 2 =1

32 =19

Tópico 3: Razão e ProporçãoQuando foi a última vez que você viu alguém utilizando porcentagem? Seja como desconto em uma loja ou na proporção de fertilizante em uma plantação, os conceitos da matemática aparecem em nossa vida praticamente todos os dias. Entre eles estão a razão e a proporção, que estudaremos neste tópico. Mas, antes de pensarmos neles, vamos compreender as grandezas. Você sabe o que é uma grandeza?

Grandeza é tudo aquilo que pode ser medido, contado e ter suas medidas

aumentadas e diminuídas. São exemplos de grandezas o comprimento, o

peso e o tempo. Observe ao seu redor: o que pode ser medido? Quantas

grandezas diferentes você consegue identificar?

Além de aparecerem sozinhas, é comum fazermos relações entre duas ou mais grandezas. Pense em como se expressa a velocidade de um carro. Quais são as grandezas relacionadas? Se você pensou em distância e tempo, parabéns! O quilômetro é uma grandeza de distância e a hora, de tempo.


14

O painel do carro apresenta diversas grandezas. Quantas você consegue identificar? Fonte: Shutterstock

1. O que é Razão?

A relação entre grandezas é conhecida como razão, palavra que vem do latim ratio e significa “divisão”. Nada mais é do que uma das várias maneiras que temos para fazer comparações em matemática. Uma razão é dada pela divisão de dois valores numéricos “a” e “b” (“b” diferente de zero), e deve ser lida: “a” (ascendente) está para “b” (consequente).

= =/ :a

aab

b b

Por exemplo, a razão de 2 para 10 é 2

10 , ou ainda, se simplificarmos,

15 .

2. Razão entre Duas Grandezas

Como vimos, a razão é a divisão entre duas grandezas – sempre a primeira em relação à segunda. Por exemplo, se, em um mapa, um comprimento de 8 m está representado por 16 cm, qual é a escala utilizada para fazer o mapa?

rep. no mapa

comp. original

16 cm

8 m=

16 cm

800 cm=

1

50=

Quando tratamos de grandezas de mesma espécie (no caso, comprimento), devemos apresentar a unidade de referência, mas o valor que expressa a razão entre as grandezas será


15

apenas uma representação matemática numérica. Assim, temos que a escala é de

1

50 (um

para cinquenta), o que significa que 1 cm no mapa está para 50 cm na realidade.

3. Razão Inversa

Duas razões são inversas entre si quando o ascendente de uma delas é o consequente da outra. Isso implica que o produto entre as duas razões será igual a 1. Por exemplo:

As razões 2

3 e

3

2 são inversas, pois

x

2

3

3

21=

4. Razão Equivalente

A equivalência entre razões é dada quando os termos de uma razão (tanto ascendente quanto descendente diferentes de zero) são múltiplos dos termos de outra razão. Veja no exemplo:

As razões 4

7 e

12

21 são equivalentes, pois

12

21x

4

7

4 x 3

7 x 33= =

Atividade 3

Vamos praticar? Observe a resolução da primeira questão e indique a razão nas demais.

1) Em uma seleção de concurso público, houve 1.200 candidatos inscritos e foram aprovados 240. Qual é a razão de candidatos aprovados?

candidatos aprovados

total de candidatos

1

5

240

1200= =

Assim, podemos dizer que a razão é de 1 candidado aprovado a cada 5 inscritos.

2) João tem 24 anos e Pedro tem 60 anos. Qual é a razão entre as idades de João e Pedro?

3) Um saco de fertilizante para flores apresenta peso líquido de 180 g e peso bruto de 210 g. Qual a razão entre o peso líquido e o peso bruto?

4) Na temporada de 2013 do Campeonato Brasileiro de futebol, foram marcados 936 gols, e o artilheiro do campeonato, Éderson (jogador do Atlético Paranaense), marcou 21 gols. Qual é a razão entre os gols do artilheiro e os gols do campeonato?

5) No ano de 2003, a produção brasileira de tilápias foi estimada em 84.416 toneladas distribuídas por 30.639 hectares. Qual é a razão da produção brasileira de tilápias por hectare?

6) Antônio possui uma pequena propriedade de 75 hectares onde planta soja e, na colheita de 2014, produziu 7.284 sacas. Qual é a razão de produção de sacas por hectare?


16

7) Um fazendeiro plantou 5.000 pés de eucalipto e, desses, 150 não cresceram, enquanto seu vizinho plantou 6.500 pés da mesma espécie e, desses, 189 não cresceram. Quem apresentou a menor perda?

Atividade 4

Nas situações as seguir, partimos das razões para descobrir um dos valores. Observe a resolução da primeira e resolva as demais.

1) A razão entre a sombra de uma árvore e a sua altura é de 2

3. Sabendo que a árvore tem

12 m de altura, qual é o tamanho da sombra?

sombra

altura

2

3=

?

12= Como 12 = 3 x 4, temos que:

2

3x 4

8

12=

Assim, podemos dizer que a sombra da árvore tem 8 metros.

2) A razão entre a quantia que gasto e a quantia que recebo como salário por mês é de 5

6. O

que resta, coloco em caderneta de poupança. Se neste mês meu salário foi de R$ 2.400,00, qual será a quantia que aplicarei na caderneta de poupança?

3) A distância entre uma fazenda e a cidade em um dado mapa com escala de 1:3.000 é de 9 cm. Qual é a distância real entre a fazenda e a cidade?

Tópico 4: ProporçãoAgora que conhecemos melhor o conceito de razão, fica mais fácil entender a proporção, afinal, ela é dada pela igualdade entre duas razões. Assim, dizemos que há proporção quando a razão entre os dois primeiros números é igual à razão entre os dois últimos.

=a

b

c

d

Em uma proporção, os termos “a” e “d” são conhecidos como extremos, e os termos “b” e “c” são conhecidos como meios. Ao ler, dizemos:

“a” está para “b” assim como “c” está para “d”.

gVocê sabia que existe uma razão, encontrada na natureza, que é considerada a mais agradável proporção entre duas medidas? Ela é chama de razão áurea! Saiba mais sobre ela acessando o AVA.


17

As sementes do girassol crescem sempre na mesma proporção, seguindo a sequência de Fibonacci. Fonte: Shutterstock

1. Propriedade Fundamental das Proporções

Em uma proporção, a propriedade fundamental diz que o produto dos meios é igual ao produto dos extremos.

=a

ba x d = b x c

c

d⇔

Por exemplo, a expressão =4

6

20

30 é uma proporção, pois 4 x 30 = 120 e 6 x 20 = 120.

2. Outras Propriedades das Proporções

A partir da proporção =a

b

c

d, podemos observar ainda outras propriedades:

a) A razão entre as somas (ou diferença) dos antecedentes e a soma (ou diferença) dos consequentes:

=a ± c

b ± d

a

b ou =

a ± c

b ± d

c

d

b) A razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e seus antecedentes:

=a ± b

a

c ± d

c


18

c) A razão entre a soma (ou diferença) dos termos de uma razão e seus consequentes:

=a ± b

b

c ± d

d

d) A razão entre o produto dos antecedentes e o produto dos consequentes está para o quadrado dos antecedentes e o quadrado de seus respectivos consequentes:

=a x c

b x d

a²

b²

3. Encontrando o Termo Desconhecido

Como consequência da propriedade fundamental de uma proporção, é sempre possível encontrar o valor de um termo desconhecido: a quarta proporcional. Por exemplo, na expressão

=8

12

6

x

aplicando a propriedade fundamental, temos que

8 * x = 6 * 12

8x = 72

x = 72

8

x = 9

dComentário do autor

Observe que a propriedade fundamental é a base para o entendimento da regra três, que veremos adiante.

4. Proporções Múltiplas

Chamamos de proporções múltiplas qualquer proporção que envolva a igualdade de três ou mais razões. Esse tipo ainda pode ser chamado de “série de razões iguais”.

a

b= ...

c

d= =

m

n

Observe que cada uma das razões é igual a um mesmo número “k”, isto é:

a

b= k,

c

d= k,...

m

n= k


19

Esse valor de “k” é conhecido por coeficiente de proporcionalidade. A partir dele, podemos afirmar que a soma dos antecedentes está para a soma dos consequentes assim como qualquer antecedente está para seu consequente. Veja no exemplo a seguir:

1

5=

1 + 3 + 5

5 + 15 + 25

3

15= =

5

25

1

5ou

3

15ou

5

25⇒

O coeficiente de proporcionalidade dessa proporção é 1

5, pois todas as razões são iguais a

1

5.

Fonte: Shutterstock

Atividade 5

Observe a resolução do primeiro exercício e resolva os demais.

1) Se eu digo que 10 está para 8 assim como 25 está para x, qual é o valor do número x?

10

8=

25

x

10x = 8 x 25

10x = 200

x = 200

10

x = 20

2) Determine dois números sabendo que sua soma é 54 e a razão entre eles é 1

2.

3) Determine dois números sabendo que a diferença entre eles é 12 e a razão é 6

5.


20

4) Sabendo-se que a razão entre dois números é 6

4 e a soma deles é 20, quais são os números?

5) Dois números “a” e “b” diferem entre si em 18 unidades e “a” está para “b” assim como 825 está para 627. Qual é o valor de “a” e o de “b”?

6) Relativamente aos tempos de serviço de dois funcionários, sabe-se que sua soma é 5 anos

e 10 meses e que estão entre si na razão 3

2. Nessas condições, qual é a diferença positiva

entre os tempos de serviço desses funcionários?

7) Determine os valores de “x”, “y” e “z” sabendo que x + y + z = 80 e x =

y =

z

2 4 14.

8) Determine os valores de “x”, “y” e “z” sabendo que x + y + z = 90 e x =

y =

z

8 5 2.

9) Determine o valor de “x”, “y” e “z” sabendo que x + y + z = 420 e x =

y =

z

9 11 15.

10)Três herdeiros de um grande fazendeiro receberão uma propriedade de 1.800 hectares dividida proporcionalmente em 3, 4 e 5 partes. Sabendo que o mais velho dos três irá receber a maior parte, qual será o tamanho da área que lhe caberá?

11)As demissões de três homens (x, y e z) implicaram o pagamento de uma verba rescisória na importância total de R$ 36.000,00, que deveria ser repartida por eles de modo que fossem diretamente proporcionais ao número de meses trabalhados. Quanto deve receber cada um desses três homens (x, y, z) se, respectivamente, trabalharam 50, 70 e 60 meses?

12)Determine quais das expressões a seguir podem ser consideradas uma proporção:

a) 2 =

11

13 60

b) 2 =

120

4 240

c) 21 =

189

7 63

d) 6

= 38

11 66

e) 2 =

45

3 65

13) Calcule o valor do termo desconhecido.

a) 2 =

4

3 x


21

b) 10 =

x

75 100

c) 12

= 36

x 60

d) 12

= 36

x 60

e) 2x

= 6

15 5

Tópico 5: Grandezas ProporcionaisQuando uma variação em uma grandeza provoca uma variação em outra grandeza, dizemos que elas são proporcionais, pois estão relacionadas. Elas podem ser classificadas em grandezas diretamente proporcionais ou grandezas inversamente proporcionais de acordo com o tipo de relação estabelecida entre elas.

g Saiba mais sobre proporcionalidade assistindo ao vídeo disponível no AVA.

1. Grandezas diretamente Proporcionais

Podemos dizer que duas grandezas são diretamente proporcionais sempre que uma alteração em uma delas apresentar variação de mesma razão na outra grandeza. Isso quer dizer que, se aumentarmos (ou diminuirmos) o valor de uma, o valor da outra também irá aumentar (ou diminuir). Veja um exemplo:

Uma empresa de produção de frangos possui três filiais no Estado de Mato Grosso do Sul e está fazendo acompanhamento da produção anual e do número de funcionários de cada uma delas. Para tanto, gerou da seguinte tabela de dados.

Filial A Filial B Filial C

Funcionários 120 180 300

Produção de frangos (em toneladas) 720 1.080 1.800

720 = 1080 = 1800 = 6120 180 300

As razões acima são ditas diretamente proporcionais, pois os termos correspondentes são iguais.


22

Quanto mais funcionários, mais se produz. Fonte: Shutterstock

2. Grandezas inversamente Proporcionais

Duas grandezas serão inversamente proporcionais sempre que a variação apresentada em uma delas implicar variação contrária na outra grandeza. Isto é, se aumentarmos (ou diminuirmos) uma delas em determinada razão, a outra grandeza irá diminuir (ou aumentar). Vamos ver um exemplo?

Uma empresa de entregas leva 8 horas para percorrer uma determinada distância em velocidade média de 50 km/h. Sabendo que é possível aumentar a velocidade média para 100 km/h, o tempo necessário para percorrer a mesma distância seria reduzido para 4 horas.

Observe que, quando a grandeza velocidade aumentou, a grandeza tempo diminuiu.

Atividade 6

1) Vamos praticar? Observe como foi resolvido o primeiro problema e calcule os demais.

Uma torneira derrama uniformemente em um tanque 4 litros de água por minuto. Quantos litros de água a torneira derrama em 1 hora?

4 litros

1 min=

x litros

1 hora

4 litros

1 min=

x litros

60 min

1x = 4 x 60

x = =240

1

240 litros


23

2) Um produtor rural percorre a distância de 120 km para vender sua produção de leite para um laticínio. Com seu veículo viajando a 30 km/h, ele leva 4 horas para percorrer o caminho. Caso ele dobrasse a velocidade (viajando a 60 km/h), quanto tempo levaria?

3) Para construir um aviário, foram contratados 3 pedreiros que conseguem terminar o serviço em 120 dias. Para que a obra seja entregue em 90 dias, quantos pedreiros serão necessários?

4) Três funcionários arquivaram um total de 382 documentos em quantidades inversamente proporcionais às suas respectivas idades: 28, 32 e 36 anos. Nessas condições, quantos foram os documentos arquivados pelo funcionário mais velho?

5) Para executar a tarefa de manutenção de 111 microcomputadores, 3 técnicos judiciários dividiram o total de microcomputadores entre si na razão inversa de suas respectivas idades: 24, 30 e 36 anos. Assim sendo, quanto recebeu o técnico de 30 anos?

Tópico 6: A Regra de TrêsAté agora, revisamos um pouco da matemática básica e os conceitos de razão, proporção e grandezas proporcionais. Neste tópico, veremos um processo matemático bastante comum: a regra de três. Essa técnica é amplamente utilizada para resolver problemas nos quais figuram grandezas que são direta ou inversamente proporcionais das quais conhecemos apenas alguns valores.

Existem dois tipos de regra de três: a simples, que é aquela que envolve

apenas duas grandezas, e a composta, que é aquela que envolve mais de

duas grandezas.

1. Regra de Três Simples

Regra de três é um daqueles recursos matemáticos que utilizamos cotidianamente e são bastante úteis para resolver diversas situações. A regra de três simples envolve problemas com quatro valores, sendo que, desses, apenas três são conhecidos.

Para resolver, seguimos o mesmo processo que vimos anteriormente para encontrar o termo desconhecido. O primeiro passo é dispor os dados em razões que agrupem as grandezas. Após o arranjo, é necessário determinar se as grandezas são direta ou inversamente proporcionais entre si e, então, aplicar o conceito já conhecido para encontrar a quarta proporcional. Confira no exemplo a seguir como funciona:

Se 30 sacas de soja custam em média R$ 2.100, quanto irão custar 45 sacas de soja?


24

Podemos adotar um conjunto de passos visando à resolução do problema: o primeiro deles seria dispor as informações de acordo com sua grandeza.

Grandeza – saca de soja Grandeza – preço

30 2.100

45 x

Com as informações arranjadas, podemos analisar a proporcionalidade das grandezas. Se a quantidade de sacas aumentar, o que deverá acontecer com o preço? Para uma quantidade maior de sacas, temos um preço maior, ou seja, as grandezas estão variando no mesmo sentido.

Grandeza – saca de soja Grandeza – preço

ꜛ30 2100

ꜛ45 x

Podemos escrever, então, a proporção formada pelas razões das grandezas e resolver encontrando o valor desconhecido. Confira:

30

45=

2100

x=> => x = 315030x = 45 x 2100 => x =

94500

30

Por fim, podemos responder ao que foi questionado: o preço de 45 sacas de soja será R$ 3.150.

É importante observar que, em problemas que envolvam regra de três,

as quantidades de uma mesma grandeza devem estar sempre na mesma

unidade de medida, evitando assim equívocos.

'

Dica

Nos exemplos apresentados aqui, usamos setas ao lado das grandezas, o que é um artifício bastante útil, mas lembre-se de padronizar como você irá utilizá-las. Aqui, padronizamos que a seta para cima indica crescimento e a seta para baixo indica redução.


25

2. Regra de Três Simples Inversa

Uma regra de três simples é inversa se suas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, essas grandezas variam em sentidos contrários – enquanto uma aumenta, a outra diminui. Veja na prática como funciona:

Se 3 pedreiros constroem uma granja em 10 dias, em quantos dias 5 pedreiros fazem a mesma granja?

O primeiro passo, como vimos, é dispor as informações de acordo com sua grandeza e analisar a proporcionalidade. Observe que a quantidade de dias diminuirá se aumentarmos o número de pedreiros trabalhando na obra, o que torna essas grandezas inversamente proporcionais.

Grandeza – pedreiros Grandeza – dias

ꜛ3 10

ꜜ5 x

Para escrevermos a proporção formada pela razão das grandezas, devemos inverter a ordem de uma das razões para que ambas se tornem diretamente proporcionais (com as setas na mesma direção). Nesse caso, inverteremos a grandeza “dias”. Confira:

3

5=> 5x = 3 x 10 => =

x

10

x =

30 = 6

5

Respondendo à questão, para construir a mesma granja, 5 pedreiros levarão 6 dias.


Exemplos são ótimos para compreender melhor o conteúdo. Acesse o AVA e confira outro caso de aplicação da regra de três inversa.

Atividade 7

Para exercitar seus conhecimentos sobre regra de três simples, resolva as questões a seguir.

1) Levo 2h30min para percorrer 15 km. Se eu tiver que percorrer 54 km, quanto tempo levarei?

2) Viajando a 60 km/h, faço o percurso entre duas cidades em 2 horas. Trafegando a 80km/h, qual seria o tempo estimado de viagem?


26

3) 7 litros de leite geram 1,5 kg de manteiga. Quantos litros de leite serão necessários para se obter 9 kg de manteiga?

4) Paguei R$ 6,00 por 1,250 kg de fertilizante. Quanto pagaria por 0,750 kg desse mesmo fertilizante?

5) 6 máquinas colhem uma plantação de soja em 5 dias. Quantas máquinas idênticas serão necessárias para colher essa mesma plantação em 3 dias?

6) (TRT-21ª REGIÃO-2003-FCC) Um determinado serviço é realizado por uma única máquina em 12 horas de funcionamento ininterrupto e, em 15 horas, por outra máquina nas mesmas condições. Se funcionarem simultaneamente, em quanto tempo realizarão esse mesmo serviço?

7) Um automóvel percorre 380 km em 5 horas. Quantos quilômetros serão percorridos em 7 horas mantendo-se a mesma velocidade média?

8) Um automóvel gasta 24 litros de gasolina para percorrer 192 km. Quantos litros de gasolina serão gastos para percorrer 120 km?

9) Uma máquina varredeira limpa uma área de 5.100 m² em 3 horas de trabalho. Nas mesmas condições, em quanto tempo limpará uma área de 11.900 m²?

10) Um produtor pagou R$ 960,00 por um rolo de arame farpado e R$ 768,00 por outro de mesma qualidade. Qual é o comprimento de cada uma das peças sabendo-se que a primeira tem 12 m a mais do que a segunda?

11) Em um acampamento, 3 peões dispõem de alimento para 60 dias. Se mais 9 peões chegarem ao acampamento, por quanto tempo eles permanecerão abastecidos?

12) Um laticínio engarrafa 3.000 litros leite em 6 horas. Quantas horas serão necessárias para engarrafar 4.800 litros de leite?

3. Regra de Três Composta

Até o momento, vimos situações que abrangiam duas grandezas, como trabalhadores e dias ou distância e horas. Porém, quando temos mais de duas grandezas envolvidas, precisamos seguir outro processo: a regra de três composta. Neste caso, uma das grandezas apresenta apenas um valor conhecido, enquanto que as demais apresentam os dois. Para resolver, utilizamos um método semelhante ao da regra de três simples. Observe no exemplo a seguir.

Trabalhando 8 horas por dia durante 12 dias, 30 operários produzem 1.000 unidades de determinado implemento agrícola. Quantos dias serão necessários para que 48 operários, trabalhando 6 horas por dia, produzam 1.200 unidades desse mesmo implemento agrícola?


27

Assim como nos outros casos que vimos até agora, o primeiro passo é dispor as informações de acordo com sua grandeza.

Horas Dias Funcionários Produção

8 12 30 1.000

6 x 48 1.200

Com as informações arranjadas, podemos analisar a proporcionalidade das grandezas. Nesse caso, devemos analisá-las duas a duas, sempre considerando a grandeza que possui o valor desconhecido.

Dias Horas

ꜛ12 8

ꜜx 6

Se o número de horas por dia de trabalho diminui, devemos trabalhar um número maior de dias para realizar o mesmo trabalho. Ou seja, essas grandezas são inversamente proporcionais.

Dias Operários

ꜜ12 30

ꜛx 48

Se o número de operários aumenta, podemos diminuir o número de dias para realizar o trabalho. Ou seja, essas duas grandezas são inversamente proporcionais.

Dias Produção

ꜛ12 1.000

ꜛx 1.200

Quando o número de unidades a serem produzidas aumenta, precisamos de mais dias para essa produção. Por isso, as grandezas “produção” e “dias” são diretamente proporcionais.


28

O passo seguinte é reorganizar os dados fazendo a inversão dos pares identificados como inversamente proporcionais quando comparados à grandeza que tem o valor desconhecido (nesse caso, “dias”).

Horas Dias Funcionários Produção

8 12 48 1.000

6 x 30 1.200

Para resolver, consideramos que a razão que apresenta o valor desconhecido é igual ao produto das demais razões (após a inversão, conforme fizemos anteriormente). Observe:

12

x=

12

x=

6

8x

48

30x

1000

1200

6

8

x

288000x = 12 x 288000

x =

3456000 = 12

288000

48

30

x

x x

1000

1200

Chegamos, assim, ao resultado: serão necessários 12 dias para que os 48 funcionários trabalhando 6 horas por dia produzam 1.200 unidades.

Atividade 8

Hora de exercitar! Observe como foi resolvido o primeiro problema e solucione os demais.

1) Para esvaziar um compartimento com 700 m3 de capacidade, 3 ralos levaram 7 horas para fazê-lo. Se o compartimento tivesse 500 m3 de capacidade, ao utilizarmos 5 ralos, quantas horas seriam necessárias para esvaziá-lo?

Primeiro, vamos atribuir uma letra para cada grandeza:M: a capacidade em metros cúbicos do compartimento;R: a quantidade de ralos;H: a duração da operação de esvaziamento em horas.


29

A representação para a análise do problema, obtida segundo os dados do enunciado, é a seguinte:

M R H

700 3 7

500 5 x

Vamos determinar se as grandezas são diretamente ou inversamente proporcionais em relação à grandeza H. Para isso, utilizaremos setas com a mesma orientação para indicar grandezas diretamente proporcionais e com orientação inversa para indicar o oposto.

Vamos considerar que a orientação da grandeza H seja para baixo:

M R H↓700 3 7

500 5 x

Agora, vejamos se H e M são diretamente proporcionais ou não. Sabemos que, ao diminuirmos a capacidade do compartimento, também iremos diminuir o tempo necessário para esvaziá-lo, então, logicamente, as duas grandezas são diretamente proporcionais. A seta de M terá a mesma orientação da seta de H, que é para baixo:

M↓ R H↓700 3 7

500 5 x

Vamos analisar, agora, se R e H são diretamente ou inversamente proporcionais. Ao aumentarmos a quantidade de ralos, automaticamente iremos diminuir o tempo necessário para esvaziar o compartimento – isso indica que as duas grandezas são inversamente proporcionais. A seta de R será orientada para cima, direção oposta à da seta de H:

M↓ R↑ H↓700 3 7

500 5 x

Em seguida, devemos deixar todas as grandezas com a mesma orientação. Nesse caso, somente a grandeza R possui orientação oposta à da grandeza H e, por isso, somente ela será invertida:

M↓ R↓ H↓700 5 7

500 3 x

Por fim, podemos montar a proporção e resolvê-la:

7

xx ==

700 x 5

500 x 3=> x = 3=>

7 x 500 x 3

700 x 5

Portanto, com 5 ralos poderíamos esvaziar 500 m3 em 3 horas.


30

2) Um aterro foi feito em 18 dias por 10 máquinas trabalhando 8 horas por dia. Em quantos dias 12 máquinas, trabalhando 6 horas por dia, farão outro aterro nas mesmas condições?

3) Em uma granja, em 60 dias, 3.000 frangos consumiram 12.900 kg de ração. Quantos quilos de ração seriam consumidos em 55 dias por 2.400 frangos?

4) Um frigorífico fornece refeições a seus 45 funcionários gastando R$ 16.200,00 durante 100 dias. Quanto gastaria para fornecer refeições a 60 funcionários durante um mês (30 dias)?

5) Em 6 dias, 8 marceneiros fazem 40 caixas de madeira. Quantos marceneiros serão necessários para fabricar 70 caixas em 14 dias?

6) Um andarilho percorre 60 km em 2 dias andando 12 horas por dia. Quantos dias levará para percorrer 200 km andando 10 horas por dia?

7) Um muro de 4 m de comprimento, 3 m de largura e 5 m de altura foi feito por 10 operários em 20 dias. Quantos dias serão necessários para 12 operários fazerem um muro de 6 m de comprimento por 1,5 m de largura e 6 m de altura?

8) (ENEM 2009) Uma cooperativa de colheita propôs a um fazendeiro um contrato de trabalho nos seguintes termos: a cooperativa forneceria 12 trabalhadores e 4 máquinas, em um regime de trabalho de 6 horas diárias, capazes de colher 20 hectares de milho por dia, ao custo de R$ 10,00 por trabalhador por dia de trabalho, e R$ 1.000,00 pelo aluguel diário de cada máquina. O fazendeiro argumentou que fecharia contrato se a cooperativa colhesse 180 hectares de milho em 6 dias, com gasto inferior a R$ 25.000,00. Para atender às exigências do fazendeiro e supondo que o ritmo dos trabalhadores e das máquinas seja constante, a cooperativa deveria:

a) manter sua proposta.

b) oferecer 4 máquinas a mais.

c) oferecer 6 trabalhadores a mais.

d) aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.

e) reduzir em R$ 400,00 o valor do aluguel diário de uma máquina.

9) Uma empresa, para construir o sistema de drenagem de uma rua que possui 120 metros de comprimento, precisa escavar um buraco de 5 metros de profundidade e 2 metros de largura, e, para tanto, utiliza 10 operários trabalhando 7 horas por dia, que demoram 2 meses para realizar a obra. Se aumentar o número de operários em 40 e o turno de trabalho for de 10 horas, em quanto tem tempo será construído o sistema de drenagem de outra rua com largura e profundidade duas vezes maiores?

10)A produção de 400 hectares onde trabalham 50 homens sustenta 5 famílias. Quantas famílias poderão ser sustentadas, nas mesmas condições, com 600 hectares e 60 homens trabalhando?


31

11)São necessários 1.064 quilos de feno para alimentar 14 cavalos durante 12 dias. Que quantidade de feno seria necessária para a alimentação de 6 cavalos durante 60 dias?

4. Regra de Três e Taxa Percentual

É bastante comum em nosso dia a dia ouvirmos expressões como “desconto de até 50% na liquidação de final de ano”, “a inflação registrada em 2012 foi de 5,84%”. Elas envolvem um tipo especial de razão chamada de “percentagem”. Quando uma razão é apresentada com o consequente 100, ela é chamada de “razão centesimal”. Outra forma de representarmos as razões centesimais é adotar o símbolo “%” (que é lido como “por cento”) em vez da razão.


Você pode escrever (e dizer) porcentagem ou percentagem, pois a palavra tem origem no latim per centum, que significa “por cento” ou “cada centena”.

O conceito de porcentagem se dá quando fazemos a comparação entre duas razões diretas sendo que, em uma delas, o consequente é igual a 100 e, em outra, temos um termo desconhecido. Observe no exemplo:

30% de 120 é o mesmo que escrever a proporção 30

100=

x

120, e,

aplicando a propriedade fundamental de proporção, temos que: 30 × 120 = 100x => x = 360 / 100 = 36

Da mesma forma, para calcular quanto é 16% de 80, você pode escrever a proporção 16 / 80 = x / 100, chegando a 20. Agora, digamos que você queira saber de qual valor 18 representa 9%? Isso é o mesmo que escrever a proporção 18 / x = 9 / 100. Resolvendo, temos que: 18 × 100 = 9x => x = 1800/9 = 200.

Fonte: Shutterstock


32

Até agora, vimos a regra de três simples e a composta, conhecemos as diferenças entre as grandezas direta e inversamente proporcionais, e ainda conseguimos aplicar esse conceito à porcentagem, que será muito útil nos próximos momentos. A seguir, veremos algumas unidades de medida.

Atividade 9

Vamos praticar? Resolva as questões sobre porcentagem apresentadas a seguir.

1) Das 20 moedas que possuo em meu bolso, apenas 15% delas são moedas de um real. Quantas moedas de um real eu possuo em meu bolso?

2) Um produto tem preço de 250 reais à vista. A prazo, em 5 parcelas mensais iguais, seu preço sofre acréscimo de 16%. Qual é o valor de cada parcela?

3) (OBMEP/2006) Um trabalho de matemática tem 30 questões de aritmética e 50 de geometria. Júlia acertou 70% das questões de aritmética e 80% do total de questões. Qual é o percentual das questões de geometria que ela acertou?

4) O salário de Antônio é 90% do de Pedro. A diferença entre os salários é de R$ 500,00. Qual é o salário de Antônio?

5) (TRT24-FCC) Quanto cobrou um marceneiro para realizar a reforma de uma mesa de 2.500 × 1.100 × 740 mm sabendo-se que o valor do material empregado foi de R$ 645,00 e a mão de obra custou 45% do valor do material gasto?

Tópico 7: Unidades de Medida

A necessidade de medir surgiu há muito tempo juntamente com as civilizações. No início, as medidas eram feitas com o que estivesse mais próximo, como mãos e pés. E, como não existiam medidas padronizadas – cada um tinha a sua –, sempre havia confusão.

Com o tempo, começaram a surgir, em algumas comunidades e regiões, medidas padronizadas. Em sua maioria, eram medidas de pouca ou nenhuma precisão, que tinham como referência o corpo humano, como, por exemplo, a polegada. Em 1789, o governo republicano francês solicitou à Academia de Ciências um sistema de medida para ser padrão: o sistema métrico decimal. Ele foi aperfeiçoado e substituído, em 1960, pelo Sistema Internacional de Unidades (do francês, Système international d’unités – SI).

1. Unidade de Tempo

Durante muito tempo, a unidade de referência para o tempo foi o sol, e o intervalo entre duas passagens sucessivas do sol pelo mesmo meridiano, como Greenwich, é conhecido como dia solar.


33

Fonte: Shutterstock

Atualmente, a unidade adotada como padrão no SI é o segundo (s), o equivalente a 1/84.600 de um dia solar. Em algumas situações, devido à necessidade de medidas maiores (ou menores), podemos utilizar múltiplos dos segundos:

• o minuto (min) é equivalente a 60 s;

• a hora (h) é equivalente a 3.600 s;

• o dia (d) é equivalente a 84.600 s;

• o décimo de segundo é equivalente a 0,1 s;

• o centésimo de segundo é equivalente a 0,01 s;

• o milésimo de segundo é equivalente a 0,001 s.

`

Atenção

Ao escrevermos uma medida de tempo como 1,4 h, devemos cuidar para não substituir por 1h40min uma vez que, no Sistema Internacional, as medidas de tempo não são decimais:

4

101,4h => 1h + 0,4h = 1h + => 1h +

=> 1h + => 1h + 24min

h4

10x 60min

240

10min

Note ainda que, ao escrever as medidas de tempo, deve-se utilizar corretamente os símbolos das unidades.


34Grandeza Símbolo

Segundo s

Minuto min

Hora h

Dia d

Quadro 1: Símbolos das unidades de medida de tempo.

2. Operar Medidas de Tempo

Imagine que Seu Afonso percorre o trecho entre sua casa e o galinheiro em 15min12s e precisa de 8min27s para percorrer a distância entre o galinheiro e o armazém. Quanto tempo Seu Afonso leva para chegar ao armazém?

É comum nos depararmos com situações como essa, do Seu Afonso, na qual precisamos fazer cálculos com medidas de tempo. Nesse caso, para descobrir o tempo necessário para Seu Afonso ir de casa ao armazém, basta somarmos as medidas, colocando os termos de mesma unidade um embaixo do outro:

15 min 12s + 8 min 27s

23min 39s

Assim, seu Afonso irá levar 23min39s para ir de sua casa até o armazém.

Veja agora um outro caso: determinado medicamento deve ser ministrado a uma criança 5 vezes por dia. Qual é o intervalo entre as doses do remédio?

Para descobrirmos, dividimos o dia (24 h) pela quantidade de intervalos, que é 5.

24h

5= 4,8h => 4h + 0,8h = 4h +

4h + x 60 = 4h + min = 4h + 48min

8h

10

8

10

480

10

Observe que 0,8 hora corresponde à 48 min, logo, o medicamento deve ser administrado a cada 4h48min.

Vamos praticar? Resolva as questões propostas na atividade a seguir.


35

Atividade 10

1) Considerando que o ponteiro de minutos de um relógio que apresenta um defeito dê uma volta completa em 1min6s, qual será o tempo necessário para que esse relógio registre uma hora, ou seja, d 60 voltas no ponteiro dos minutos?

2) Um torno produz, a cada minuto, um total de 480 rotações. Quantas rotações esse tipo de torno produz por segundo? Conhecendo as condições de rotação do torno, quanto tempo dura cada uma de suas rotações?

3) Em uma prova de atletismo, um corredor percorreu o circuito com os seguintes tempos: (1ª volta) 10min55s; (2ª volta) 11min5s e (3ª volta) 11min48s. Qual o tempo total desse corredor?

4) Nos treinos do primeiro final de semana de testes da Fórmula 1 em Jerez de la Frontera, um piloto faz sua volta rápida em 1min20s419. Após algum tempo, o mesmo piloto volta à pista com alguns ajustes no motor e um novo jogo de pneus, e faz sua melhor volta no dia com tempo de 1min19s809. Em quanto o piloto diminuiu seu tempo de volta?

5) Converta as unidades de tempo:

a) Uma hora tem quantos segundos?

b) Um dia tem quantos segundos?

c) Uma semana tem quantas horas?

d) Quantos minutos são 3h45min?

e) Uma década tem quantos anos?

f) Quantos minutos são 5h5min?

g) Quantos minutos se passaram das 9h50min até às 10h35min?

h) Quantos segundos têm 35 min?

i) Quantos segundos têm 2h53min?

j) Quantos minutos têm 12 horas?

3. Unidade de Comprimento

O Sistema Internacional utiliza o metro (m) como medida base para o comprimento, e foi

instituído que a medida do metro seria equivalente a 1

10.000.000 da distância entre o Polo

Norte e a Linha do Equador, no meridiano que atravessa a cidade de Paris (França).

gO Meridiano de Paris é o equivalente ao Meridiano de Greenwich que passa pela capital francesa, onde está o observatório nacional. Saiba mais acessando o AVA!


36

Fonte: Shutterstock

Da mesma forma que precisamos de medidas que sejam maiores (ou menores) do que o segundo, também há essa necessidade com o metro. Nesse caso, podemos utilizar alguns de seus múltiplos, como:

• quilômetro (km), equivalente a 1.000 m;

• hectômetro (hm), equivalente a 100 m;

• decâmetro (dam), equivalente a 10 m;

• decímetro (dm), equivalente a 0,1 m;

• centímetro (cm), equivalente a 0,01 m;

• milímetro (mm), equivalente a 0,001 m.

d

Comentário do Autor

Existem, também, outras medidas relacionadas ao metro que não são composições decimais, mais que, entretanto, ainda são utilizadas em alguns países, como, por exemplo, a polegada (equivalente a 2,54 cm).

Como ler uma medida de comprimento

Para fazer a leitura de uma medida de comprimento, principalmente com partes decimais, é importante seguir algumas etapas:

• lembrar a ordem das medidas;


37

• localizar a parte inteira da medida (o algarismo antes da vírgula);

• posicionar todos os algarismos de acordo com a sequência das unidades.

Vejamos na prática como ler a altura de uma pessoa que mede 1,68 m. Primeiramente, devemos estabelecer a ordem das unidades. Para facilitar, nas primeiras vezes, você pode criar um quadro com as unidades de medida. Em seguida, escrevemos os algarismos encontrados, começando pela parte inteira logo abaixo da unidade descrita, e depois um algarismos abaixo de cada unidade menor. Observe:

km hm dam m dm cm mm

1, 6 8

A leitura é feita a partir da unidade inteira (um metro) e da parte decimal (sessenta e oito) acompanhada da medida do último algarismo (neste caso, centímetros), ou seja, um metro e sessenta e oito centímetros.

Convertendo medidas de comprimento

Para converter as medidas de comprimento, basta lembrar da relação entre essas unidades e organizá-las em um quadro - esse método ajuda muito.

x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10


÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10 ÷ 10

No sistema métrico, cada unidade tem um valor 10 vezes maior que a unidade à sua esquerda: 1 cm equivale à 10 mm, por exemplo. Assim, quando convertemos uma medida para uma unidade menor que a unidade fornecida, devemos multiplicar o valor por 10. E assim, sucessivamente, quantas vezes forem necessárias. Por exemplo, para escrever a medida 8,2 quilômetros (km) em metros (m), fazemos o seguinte:


A unidade quilômetro está três unidades para a esquerda da unidade metro. Para chegar do quilômetro ao metro, devemos multiplicar o valor por 10 três vezes, ou seja: 10 × 10 × 10 (que dá 1.000).

Então 8,2 × 1000 = 8200, ou seja, 8,2 km é o mesmo que 8.200 m.


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Agora, quando convertemos uma medida para uma unidade maior que a unidade dada é preciso dividir o valor numérico que a representa por 10, sucessivamente, quantas vezes forem necessárias. Por exemplo, para transformar 191cm em metros, que está duas unidades para a esquerda, devemos dividir o valor dessa medida por 100. Logo, 191 cm é igual a 1,91 m.


Vamos exercitar? Resolva as questões da atividade a seguir.

Atividade 11

1) Um quadrado apresenta perímetro (soma da medida dos lados) igual a 32 cm. Qual é a medida de cada lado?

2) Uma corda tem 8,1 m de comprimento. Quero cortá-la em 9 partes iguais. Quantos centímetros deve ter cada pedaço?

3) Desejo emoldurar um quebra-cabeça que montei. As medidas dele são 1,21 m de comprimento e 80 cm de largura. Quanto custará a moldura se o metro linear dela custar R$ 99?

4) Quantos centímetros possui um cano de 4 polegadas?

5) Faça a leitura e escreva cada uma das medidas a seguir:

a) 10,7 dam

b) 2,3 km

c) 8,09 hm

d) 10,5 mm

e) 9,89 dm

f) 7,95 m

6) Complete as igualdades a seguir representando-as na unidade de medida equivalente:

a) 10,4 km = _____ dam

b) 80 hm = _____ dm

c) 90000 mm = _____ km

d) 100,3 m = ____ hm


39

4. Unidade de Área

Você já teve que calcular a área de um terreno ou mesmo de um cômodo? No dia a dia, é comum tratarmos dessas unidades, conhecidas como medidas de superfície. A superfície é uma grandeza em duas dimensões, e a área é o número que representa essa medida.

Um dos instrumentos utilizado para medir distâncias maiores é conhecido como “trena de roda”. Fonte: Bosch.

De acordo com o Sistema Internacional de medida, a unidade-padrão para medida de área é o metro quadrado (m²). A partir dela, temos:

• quilometro quadrado (km²), que equivale a 1.000.000 m²;

• centímetro quadrado (cm²), que equivale a 0,0001 m²;

• cilímetro quadrado (mm²), que equivale a 0,000001 m².

Existem, ainda, outras medidas para representar áreas que são aceitas pelo Sistema Internacional, principalmente quando tratamos de medidas agrárias. São elas:

• are (a), equivalente a 100 m²;

• hectare (ha), equivalente a 10.000 m²;

• acre, equivalente a 4.047 m².


40 Você já ouviu falar em alqueire? Trata-se de uma unidade que apresenta medidas diferentes de acordo com a região onde você mora. Que tal você pesquisar quanto vale essa medida na sua região?

Convertendo unidade de medida de superfície

Enquanto estivermos tratando dentro do sistema decimal, o processo de conversão será muito parecido com a conversão de unidade de medida de comprimento, no entanto, o múltiplo será de 100.

x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100 x 100

km2 hm2 dam2 m2 dm2 cm2 mm2

÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100 ÷ 100

Por exemplo, para saber quanto é 7,1 dam² em metros quadrados (m²), contamos uma casa para direita, ou seja, devemos multiplicar o valor dessa medida por 100. Assim, temos que 7,1dam² é o mesmo que 710m².

d


Lembre-se de que você pode contar o número de unidades entre a medida que você tem e aquela que deseja saber e multiplicar (ou dividir) de uma só vez. Por exemplo, para converter km² em m², basta observar que as unidades estão 3 casas distantes, ou seja, multiplica-se por 1.000.000 (que é 100 x 100 x 100). Caso tenha alguma dúvida, contate o tutor pelo AVA.

É hora de treinar seus conhecimentos em unidades de área! Resolva as questões a seguir e certifique-se de tirar todas as suas dúvidas.

Atividade 12

1) O Parque Nacional da Serra da Canastra, situado em Minas Gerais, tem 71.525 ha. Quantos alqueires paulistas (24,2 mil m²) possui o parque mineiro?

2) A quantos metros quadrados correspondem 11 hectares?

3) Converta 2,42 ha em ares.


41

4) Dê a soma em m²:

a) 40dm² + 0,001m² + 3000cm² + 40000mm²

b) 35dam² + 180cm² + 8000mm²

c) 102m² + 0,1km² + 12hm²

5) Observe os anúncios de jornal abaixo e responda:

Mogi-Mirim (SP) – 2 alq. Cercado com alambrado, casarão

centenário, refor. Todos os melhoramentos R$ 500.000,00

Campinas (SP) – 15 ha formados, arborizados, 1.000 m2

de constr. Perímetro urbano. Próprio para clube, hospital.

Clínica de repouso, condomínio, etc. R$ 950.000,00

a) Quantos metros quadrados tem o sitio de Mogi-Mirim?

b) Qual o preço do metro quadrado?

c) Quantos metros quadrados tem o sítio de Campinas?

d) Qual o preço do metro quadrado?

e) Qual é a razão de preço entre os sítios de Campinas e Mogi-Mirim?

5. Unidade de Volume

As unidades de volume são caracterizadas por serem compostas por três dimensões: comprimento, largura e altura. É comum encontrar esse tipo de medida no transporte de produtos, por exemplo.

A unidade de medida padrão para o volume é chamada de metro cúbico. O metro cúbico (m³) é a referência do espaço ocupado por um sólido quadrangular que possui arestas da base com medidas de 1 metro.

Quadrangular

Sólido cuja base é um quadrado. No caso do cubo, tanto a base como as demais faces são quadrangulares.

Enquanto estivermos tratando dentro do sistema decimal, o processo de conversão será muito parecido com a conversão de unidades de medida de comprimento e de área. Aqui, no entanto, o múltiplo será de 1.000.


42

x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000 x 1000

km3 hm3 dam3 m3 dm3 cm3 mm3

÷ 1.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000 ÷ 1.000

Vamos ver um exemplo? Para escrever a medida 8,5 dam³ em metros cúbicos (m³), devemos observar que a unidade de medida de decâmetro cúbico (dam³) está uma unidade para a esquerda do metro cúbico. Logo, devemos multiplicar o valor dessa medida por 1.000. Então, 8,5 × 1000 = 8500, ou seja, 8,5 dam³ é o mesmo que 8.500 m³.

Uma relação muito utilizada para volume é a unidade de litros (L):

1 litro equivale à 1 dm³. Sabendo disso, quando litros cabem em um

metro cúbico?

Atividade 13

1) Calcule a capacidade, em litros, de uma piscina com as seguintes dimensões: 8 m de comprimento, 6 m de largura e 1,8 m de profundidade (altura).

2) Um reservatório possui volume de 3.000 m³. Qual é a capacidade desse reservatório em litros?

3) Um monumento tem a forma de um paralelepípedo retângular de dimensões 4 m x 2,5 m x 1,2 m. Qual é o volume desse monumento?

4) Uma caixa de sapatos, em forma de paralelepípedo retângular, tem as seguintes medidas: 30 cm de comprimento, 18 cm de largura e 15 cm de altura. Qual é o volume dessa caixa?

5) Um volume de 1 m³ de um líquido deve ser distribuído em recipientes de 25 cm3 de volume cada um. Quantos recipientes serão necessários?

6) Pretende-se abrir um buraco de 8,5 m de comprimento, 1,5 m de largura e 2 m de profundidade. Quantas viagens deverá fazer uma caminhonete que, no máximo, carrega 1,5 m3 de terra por viagem para transportar toda a terra removida desse buraco?

6. Unidade de MassaPara encerrar este tópico sobre unidades de medida, vamos tratar de uma que está muito presente no trabalho do técnico em agronegócio: a unidade de massa. Podemos dizer que


43

massa é o que mede a quantidade de matéria que está contida em um corpo. No Sistema Internacional de Unidades, a unidade de massa é o grama (g).

As quantidades de massa relacionadas ao grama são:

• kg (quilograma);

• hg (hectograma);

• dag (decagrama);

• dg (decigrama);

• cg (centigrama);

• mg (miligrama).

Além desses, podemos verificar em cargas de grande porte o uso de outras unidades, como a tonelada, que corresponde a 1.000 quilogramas. Por isso, a tonelada também pode ser chamada de “megagrama”.

Além da tonelada, é comum contarmos massa em arrobas. Uma arroba

equivale a quinze quilos.

Os submúltiplos do grama são encontrados com maior frequência em corpos de pequeno porte, como remédios e produtos laboratoriais. Ainda assim, é importante sabermos como realizar as conversões necessárias para facilitar certos tipos de situação que envolvam massa. Para isso, contamos com uma tabela de transformação de múltiplos e submúltiplos apresentada abaixo.

x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10

kg hg dag g dg cg mg

÷ 10 ÷ 10 ÷10 ÷10 ÷10 ÷10

Por exemplo, para escrever 10.000 g em quilogramas (kg), precisamos transformar a unidade de medida de gramas (g) em quilogramas (kg), que está três unidades para a esquerda. Para isso, divide-se o valor por 10 três vezes (10 ÷ 10 ÷ 10), ou seja, 1.000. Assim, temos que 10.000 g é o mesmo que 10 kg.

Vamos exercitar resolvendo algumas questões?


44

Atividade 14

1) Expresse em gramas:

a) 7 kg

b) 3,5 kg

c) 0,640 kg

d) 0,78 kg

e) 92,3 kg

f) 1/2 kg

g) 5,84 kg

h) 0,06 kg

i) 3/4 kg

2) Expresse em quilogramas:

a) 3 t

b) 0,5 t

c) 18,1 t

d) 4,89 t

e) 4.000 g

f) 1/4 t

g) 3.750 g

h) 12.859 g

i) 2/5 t

3) Um mamão pesa 872 gramas, um abacaxi 1,208 kg e uma melancia 7,05 kg. Qual é o peso total em quilogramas?

4) Quantos quilogramas pesa um boi de 25 arrobas?

5) Uma tonelada e meia equivale a quantos quilogramas?


45

6) Um quilograma de um produto alimentício custa R$ 84,00. Calcule o preço de:

a) 500 g

b) 750 g

c) 900 g

d) 1,2 kg

e) 2,5 kg

f) 6,4 kg

EncerramentoChegamos ao fim do primeiro tema desta unidade curricular. A partir dos tópicos que vimos aqui, você pôde conhecer e revisar assuntos da matemática essenciais para sua atuação profissional. Do mesmo modo, eles também formam uma base para que você possa avançar com mais segurança nos próximos temas. Em seguida, estudaremos a matemática financeira!

02Matemática Financeira


47

Tema 2: Matemática FinanceiraBem-vindo(a) à matemática financeira! Neste tema, estudaremos conceitos necessários para pensarmos em dinheiro, finanças, investimentos e financiamentos. Dentre eles, veremos como calcular juros, descontos e diferentes séries de pagamento.

d


Neste tema, espera-se que você desenvolva as seguintes competências:

• entender os principais conceitos da matemática financeira;

• distinguir os juros simples dos compostos, aplicando-os em situações problema;

• calcular descontos simples e compostos;

• calcular o valor da prestação, do principal e do valor futuro das séries de pagamento;

• conhecer os principais conceitos relacionados aos Sistemas de Amortização de Empréstimos e Financiamentos;

• utilizar os conceitos de matemática financeira para resolver problemas do dia a dia.

A matemática financeira é um ramo da matemática que tem a função de estudar o dinheiro e/ou seu valor no passar do tempo. A partir dela, é possível fazer análises e comparações para aplicar em suas atividades diárias, pensando em bens de consumo, investimentos ou finan-ciamentos.


48

Tópico 1: Uso da MoedaHoje, a moeda está presente em praticamente todos os momentos da vida, desde grandes negócios e cotações do chamado mercado financeiro até as ações as mais triviais. Um trabalhador pode até não precisar de moeda para desempenhar suas tarefas na fazenda, mas, se, ao final do dia, ele resolver tomar um refrigerante, ter dinheiro no bolso é fundamental para que ele possa satisfazer seu desejo.

Praticamente todas as relações materiais da sociedade exigem a presença da moeda. Para satisfazer as necessidades materiais, quaisquer que elas sejam, as pessoas são obrigadas a utilizar a unidade monetária de referência, ou moeda local.

Antigamente, nas primeiras atividades comerciais, não havia moeda. O tipo de atividade comercial utilizado era o escambo, uma simples troca de mercadoria por mercadoria ou de serviço por mercadoria e que originou todas as atividades comerciais que conhecemos hoje.

No escambo, o valor da mercadoria dependia apenas da quantidade de tempo ou do trabalho humano que foi necessário para produzi-la. Assim, se alguém cultivasse ou pescasse peixes em maior quantidade que a necessária para manter a si e a sua família, trocava esse excesso de produção com o de outra pessoa (ou grupo) que tivesse plantado e colhido outra cultura mais que o necessário, por exemplo, o arroz.

Essa forma primitiva de comércio foi dominante no início da civilização humana e ainda pode ser encontrada atualmente. Porém, ela traz certas dificuldades, visto que não há uma medida-padrão entre os elementos a serem trocados.

Com a evolução das negociações comerciais, alguns produtos passaram a ser mais procurados do que outros. Os de maior aceitação passaram a assumir a função de moeda, sendo adotados como elemento de troca por outras mercadorias e servindo como valor-padrão na avaliação dos demais – eram as chamadas “moedas-mercadorias”.

Entre as principais moedas–mercadorias, temos o gado e o sal, cuja utilização foi tão marcante que se faz presente até hoje em nosso vocabulário. As palavras “pecúnia” (dinheiro) e “pecúlio” (dinheiro acumulado) derivam do latim pecus (gado). A palavra “capital” (patrimônio) vem do latim capita (cabeça). E a palavra “salário” (salarium - remuneração geralmente efetuada em dinheiro, realizada pelo empregador por serviço desenvolvido por seu empregado) teve origem em Roma, com a utilização do sal para o pagamento de serviços prestados.

Com o passar do tempo, as moedas–mercadorias se tornaram inconvenientes para as transações comerciais, pois havia instabilidade de valor, dificuldade de fracionamento e perecibilidade, que impedia o acúmulo de patrimônio.

Perecibilidade

Propriedade de algo que é perecível, que pode estragar com o tempo, como os alimentos.


49

Quando o homem descobriu o metal, logo passou a utilizá-lo para fabricar seus utensílios e armas, que anteriormente eram feitos de pedra. Por apresentar diversas vantagens em rela-ção a outros materiais, o metal passou a ser utilizado como principal padrão de valor e meio de troca.

Inicialmente, o metal era trocado em seu estado natural, em barras ou sob a forma de objetos. Quando comercializado, já manufaturado, exigia aferição de peso e avaliação de seu grau de pureza a cada troca. Depois, ganhou peso determinado e forma definida (geralmente em discos circulares), recebendo uma marca com seu valor e também do responsável por sua emissão. Essa medida veio facilitar as negociações, dispensando as constantes pesagens e permitindo uma rápida informação da quantidade de metal disponível para a troca.

Com a evolução do dinheiro, veio a necessidade da criação de estabelecimentos responsáveis pelo depósito e pela guarda desses bens, que são os bancos. Com os bancos surgiu uma nova atividade financeira em que o próprio dinheiro é uma mercadoria.

`

Atenção

Quando tratamos de dinheiro e tempo, alguns elementos básicos devem ser levados em consideração, tais como:

• inflação → os preços não são os mesmos sempre;

• risco → investimentos envolvem risco que geram perda ou ganho de dinheiro;

• incerteza → não há como saber que tipo de investimento é mais rentável sem estudo prévio;

• utilidade → se não é útil, deve ser adquirido?

• oportunidade → sem dinheiro, as oportunidades dizem adeus.

Tópico 2: Dinheiro x TempoA matemática financeira está diretamente relacionada com a forma com que vemos e manipulamos o dinheiro e suas fases na história da humanidade.

A matemática financeira estuda a forma com que o dinheiro muda de

valor no decorrer do tempo e nos permite tirar o maior proveito desta

relação.

O dinheiro que você possui na carteira hoje possui um valor maior do que a mesma quantida-de valerá daqui a um ano. Ou seja, R$ 100,00 hoje não compram a mesma coisa que R$ 100,00 comprarão daqui a um ano. A relação entre tempo e dinheiro é de constante mudança.

Tópico 3: Juros SimplesPodemos definir juros como o rendimento que se obtém quando emprestamos “dinheiro” por um período determinado. Vamos estudar como calcular os juros simples e os compostos, começando pelo simples.


50

No regime de capitalização simples, os juros gerados a cada período serão sempre idênticos, obtidos pelo produto da taxa de juros pelo capital inicial. Esse tipo de capitalização tem uso restrito a operações de curto (ou ainda curtíssimo) prazo. Ele aparece no cálculo de algumas operações financeiras, tais como os encargos a serem pagos de algumas operações de empréstimo.

Capitalização

Podemos entender por capitalização a ação de formar um capital, ou seja, juntar dinheiro, seja para economizar ou para pagar uma dívida.

No cálculo dos juros simples, estão envolvidos os seguintes elementos:

j → “juros simples”

C → “capital inicial”

i → “taxa de juros”

n → “período da aplicação”

A fórmula para calcular os juros simples é: j = C × i × n

Por exemplo, se João tomou um empréstimo de R$ 1.000,00, pelo prazo de 2 anos, à taxa de juros de 30% ao ano, quais serão os juros pagos pelo empréstimo?

Dados do problema:

j → ?

C → 1.000

i → 30% a.a. => 0,3

n → 2 anos

Pela fórmula: j = C × i × n => j = 1000 × 0,3 × 2 = 600. Logo, os juros a serem pagos pelo empréstimo serão de R$ 600,00.

É muito importante observar que a fórmula só pode ser aplicada se o

período e a taxa de juros estiverem na mesma unidade de referência de

tempo.

Veja este outro exemplo: um capital de R$ 10.000,00 é aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% a.m., durante 4 meses. Calcule os juros e o montante da aplicação.


51

Dados do problema:

j → ?

M →?

C → 10.000

i → 2,5% a.m. → 0,025

n → 4 meses

Pela fórmula: j = C × i × n => j = 10000 × 0,025 × 4 = 1000. Logo, os juros pagos pela aplicação serão de R$ 1000,00, e o montante da aplicação será R$ 11.000,00.

1. Montante

Já vimos que o montante é a soma do capital inicial com os juros produzidos no período de aplicação. Ele é representado pela seguinte expressão matemática:

M = C + j

Como os juros são dados por j = C × i × n, então o montante pode ser reescrito como sendo:

M = C (1 + in)

Por exemplo, que montante receberá um aplicador que tenha investido R$ 20.000 durante 10 meses à taxa de 5% ao mês?

Dados do problema:

M = ?

C = 20.000,00

i = 5% a.m. = 0,05

n = 10 meses

Pela fórmula: M = C (1+in) = M = 20.000 × (1+0,05 × 4) = 30.000,00. Assim, esse investidor receberá R$ 30.000,00 da aplicação após 10 meses.

Atividade 1

Vamos praticar? Resolva as questões a seguir sobre juros simples.

1) Calcule os juros simples produzidos por R$40.000,00, aplicados à taxa de 36% a.a., durante 125 dias.


52

2) Obtenha os juros simples recebidos nas seguintes aplicações

a) C = 5000, i = 2,5% ao mês, n = 8 m

b) C = 4000, i = 4% ao trimestre, n = 1,5 a

c) C = 7000, i = 1,7% ao mês, n = 1 s

d) C = 10500, i = 3,6% ao bimestre, n = 2 t

3) Um capital de R$ 20.000,00 é aplicado a juros simples, durante 2 anos, à taxa de 2% a. m. Qual o montante obtido?

4) Qual é o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2% a.m., durante 8 meses, resulta em um montante de R$ 6.000,00?

5) Determine o capital que, aplicado a juros simples, à taxa de 2,5% a. m., durante 2 anos, resulta em um montante de R$ 16.000,00.

6) Calcule o capital que, aplicado a juros simples, durante 11 meses e à taxa de 1,5% a.m., proporciona juros de R$ 700,00.

7) O banco RST empresta R$ 2.000.000,00 a um fazendeiro pelo prazo de 120 dias, cobrando juros simples à taxa de 3% a.m. Simultaneamente, ele paga aos aplicadores dessa quantia juros simples com prazo de 120 dias, à taxa de 2% a.m.:

a) qual a diferença entre os juros recebidos e os pagos após os 120 dias?

b) qual o valor dos juros pagos aos aplicadores?

8) Roberto pretende comprar um trator usado cujo preço é R$ 12.000,00 para pagamento daqui a 4 meses. Se ele conseguir aplicar seu dinheiro a juros simples e à taxa de 2% a. m.:

a) quanto deverá aplicar no ato da compra para fazer frente ao pagamento?

b) se o preço para pagamento à vista for R$ 11.200,00, será melhor ele pagar à vista ou a prazo?

9) Macedo quer dividir seu capital de R$ 30.000,00 em duas partes, uma para ser aplicada no banco A, que paga juros simples à taxa de 1,8% a.m., e a outra no banco B, que também paga juros simples à taxa de 2,2% a. m. A aplicação no banco A será por 2 anos e no B, por 1 ano e meio. Calcule o valor aplicado em cada banco de modo que os juros sejam iguais.

10)Uma motosserra é vendida à vista por R$ 1.800,00 ou, então, por R$ 400,00 de entrada mais uma parcela de R$ 1.500,00 após 3 meses. Qual é a taxa mensal de juros simples do financiamento?


53

11)Uma roçadeira é vendida à vista por R$ 1.500,00 ou, então, com 30% de entrada mais uma parcela de R$ 1.200,00 após 3 meses. Qual é a taxa mensal de juros simples do financiamento?

3. Taxas Proporcionais e Taxas Equivalentes

Até agora, nos exemplos que vimos sobre juros simples, ocorreu de a taxa de juros e o período no qual a aplicação está sendo feita coincidirem na periodicidade, ou seja, ambos encontram-se na mesma unidade de tempo. Entretanto, esse fato nem sempre ocorre. Quando as unidades de tempo da taxa e do período da aplicação forem diferentes, será possível converter uma delas para que coincidam.

Para isso, utilizamos a proporcionalidade entre as taxas. Duas taxas são proporcionais quando seus valores apresentam uma proporção com os tempos a elas referidos, sempre reduzidos

à mesma unidade. Assim, para as taxas i’ e i’’ relacionadas aos períodos n’ e n’’, ambos

na mesma unidade, teremos que: i’

i’’=

n’

n’’

A partir daí, obtemos uma fórmula que nos permite converter uma taxa em outra proporcional:i =k

i’

k’’

Onde temos:

ik → taxa de juro proporcional

i → taxa de juro

k’ → período da proporcional

Por exemplo, para calcular a taxa de juros mensal proporcional a 36% ao ano, devemos

considerar que 1 ano possui 12 meses. Logo, i = = 0,03 = 3%k0,36

12 ao mês.

Ou ainda, imagine que você quer saber a taxa anual proporcional à 7% ao bimestre. Como

1 ano possui 6 bimestres, temos que i

6 => i = 0,07 x 6 = 0,420,07 = , isto é, 42% ao ano.

d


Nos cálculos de juros, estamos considerando que um ano possui 360 dias (o que é chamado de “ano comercial”). Essa utilização nos dá o juro simples comercial. Entretanto, podemos também utilizar o ano civil (usando o número exato de dias: 365 ou 366, se o ano for bissexto). Neste caso, o resultado é denominado juro simples exato.


54

Determinando o número exato de dias entre duas datas

Podemos obter o número exato de dias entre duas datas de três maneiras diferentes:

I. pela contagem direta dos dias em um calendário, lembrando que apenas um dos extremos deve ser incluído;

II. considerando o número exato de dias de cada mês;

III. e utilizando uma tabela para a contagem de dias.

Que tal exercitar esse conhecimento sobre a determinação do número exato de dias? Veja o exemplo:

Um empréstimo de R$ 10.000 foi realizado em 17/9 e pago em 23/11 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 72% ao ano, qual o juro total a ser pago?

Inicialmente, temos que determinar o número de dias de cada uma das datas. Para isso podemos consultar uma tabela de contagem de dias no ano.

A data 23/11 corresponde a 327 dias.

A data 17/9 corresponde a 260 dias.

Logo, o número de dias procurado é: 327 – 260 = 67, ou seja 67 dias. Assim, podemos continuar com o cálculo:

C = 10.00

n = 67

i = 72% a.a. => 0,72 =>

j = 10.000 x 0,002 x 67 = 1340

=> 0,002 a.d.0,72

360

Isto é, o juro a ser pago é de R$ 1.340,00.

Vamos praticar o que você aprendeu até aqui?

Atividade 2

1) Um empréstimo de R$ 15.000 foi realizado em 10/5 e pago em 20/6 do mesmo ano. Sabendo que a taxa foi de 10% ao ano, qual o juro total pago?

2) Qual o juro simples exato do capital R$ 3.800,00, colocado a uma taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano?

3) Qual o juro simples exato do capital R$ 5.000,00, colocado à taxa de 5% a.a., de 2 de janeiro de 2005 a 28 de maio do mesmo ano?


55

4) A quantia de R$ 1.000,00 foi aplicada a juros simples exatos do dia 8 de agosto de 2013 ao dia 2 de julho de 2014. Calcule os juros exatos obtidos à taxa de 10% ao mês.

5) Uma prestação no valor de R$ 14.500,00 venceu em 1/2/2014 sendo quitada em 15/3/2014, com taxa de 48% ao ano. Determine os juros exato (365 dias) e comercial (360 dias) pagos nessa operação.

6) Um capital de R$ 9.840 foi aplicado à taxa de 3% ao mês no período compreendido entre 15/4 e 23/7 do mesmo ano. Qual o juro recebido?

7) Qual deverá ser o capital aplicado no período de 5/6 e 30/11 do mesmo ano, à taxa de 36% ao ano, para render um juro de R$ 5.696?

8) A que taxa mensal foi aplicado um capital de R$ 6.000 que, durante 6 meses e 20 dias, rendeu R$ 1.320 de juro?

9) Um capital foi aplicado à taxa de 45% ao ano em 12/2. Em 3/5 do mesmo ano, foi efetuado o resgate no valor de R$ 107.800. Qual o valor do capital inicial?

10)Um investidor aplicou R$ 200.000 no dia 6/1/2015 à taxa de 27% ao ano. Em que data esse capital alcançará R$ 219.500?

11)Um capital inicial de R$ 16.000, à taxa de 36% ao ano, rendeu R$ 2.192 de juros. Sabendo que a aplicação foi feita no dia 15/5/1988, qual foi a data de vencimento do contrato?

Tópico 4: Juros CompostosOs juros compostos estão mais presentes no nosso cotidiano, principalmente no sistema financeiro. Esses juros são incorporados ao montante a cada período financeiro para o cálculo dos juros do período seguinte. Assim, o cálculo desse tipo de juro se dará sempre pelo montante.

1. Calculando o Montante

Imagine que você aplica um capital de R$ 100, a 3% ao mês. Quanto terá em 5 meses? Diferentemente do regime de capitalização simples, no qual os juros são capitalizados sobre o valor inicial, aqui a taxa de juros é aplicada ao montante de cada período. Observe:

Período Juro Montante

0 - 100,00

1 100 × 0,03 × 1 = 3,00 103,00

2 03 × 0,03 × 1 = 3,09 106,09

3 106,09 × 0,03 × 1 = 3,18 109,27

4 109,27 × 0,03 × 1 = 3,28 112,55

5 112,55 × 0,03 × 1 = 3,38 115,93


56

Assim, sabemos que o rendimento será de R$ 115,93. Se compararmos com rendimento do regime simples de capitalização, observaremos uma diferença de R$0,93. Veja só:

M = 100 (1 + 0,03 × 5) = 115

Por isso, no caso dos juros compostos, devemos utilizar uma fórmula específica:

M = C × (1 + i)n

Note que as informações M, C, i, n já foram vistas anteriormente. O termo (1+ i)n é conhecido como “fator de capitalização”. Confira um exemplo:

Para calcular o montante produzido por um capital de R$ 240.000, aplicados em regime de juros compostos a 6% ao ano durante 3 anos, fazemos:

Dados do problema:

M → ?

C → 240.000

i → 6% a.a. → 0,06

n → 3 anos

Pela fórmula: M = C (1+ i)n => M = 240000 × (1 + 0,06)3 => M = 240000 × (1,191016) = 285.843,84

Ou seja, a aplicação rendeu após três anos R$ 285.843,84.

'

Dica

Confira nas videoaulas desta unidade curricular algumas dicas de como calcular a potenciação na calculadora científica. Em caso de dúvida, contate o tutor a distância - ele está à sua disposição.

Para exercitar o que você acabou de ver, resolva as questões propostas na atividade a seguir.

Atividade 3

1) Calcule o montante produzido por um capital de R$ 10.000, aplicados em regime de juros compostos a 10% ao ano durante 2 anos.

2) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 8.200, por um prazo de 8 meses, no regime de juro composto, à taxa de 1,5% ao mês.

3) Calcule o montante do capital de R$ 75.000, colocado a juros compostos, à taxa de 2,75% ao mês, ao fim de 6 meses.

4) Qual o montante produzido por R$ 12.000, em regime de juros compostos, à taxa de 2% ao mês durante 40 meses?


57

5) Calcule o montante produzido por R$ 2.000, aplicados em regime de juros compostos a 5% ao mês, durante 2 meses.

6) Calcule o montante de um capital de R$6.000,00, aplicado a juros compostos, durante 1 ano, à taxa de 3,5% ao mês.

7) Aplicando hoje na caderneta de poupança a quantia de R$ 20.000,00, qual será o montante gerado ao final de 4 anos, sabendo-se que a rentabilidade mensal é de 0,5%?

8) Aplicando-se R$ 15.000,00 a uma taxa de juro composto de 1,7% a.m., quanto receberei de volta após um ano de aplicação? Qual o juro obtido nesse período?

9) Calcule o montante de uma aplicação de R$ 3.500,00 pelas seguintes taxas efetivas e prazos:

a) 4% a.m. em 18 meses

b) 8% a.t. em 18 meses

c) 12% a.a. em 18 meses

2. Cálculo do Capital

A fórmula que produz o montante nos juros compostos pode ser manipulada e reescrita para con-seguirmos descobrir qualquer uma das informações que nos seja desconhecida. Para o cálculo do capital, a manipulação é a mais simples. Temos: M = C × (1 + i)n, que podemos reescrever como: C (1 + i)n = M e, então, C = M / (1 + i)n, de modo a encontrar o capital que gerou dado montante.

Veja um exemplo prático: encontre o capital inicial que, no prazo de 4 meses, a 2% ao mês produziu um montante de R$ 5.412.

Pela fórmula: C = M / (1 + i)n => C = 5412 / (1 + 0,02)4 => C = 5412 / 1,08243 = 4999,85

Assim, sabemos que a aplicação que após quatro meses rendeu R$ 5.412 foi de R$ 5.000.

3. Calculando o Período

Existem situações em que é necessário calcular o prazo no qual ocorre a aplicação. Para isso, também é necessário que façamos alguma manipulação na fórmula do montante, da qual chegamos a: (1 + i)n = M / C. Entretanto, observe que continuamos com o período (n) como potência do fator de capitalização. Para resolver, isso podemos utilizar a operação matemática

de logaritmo. Concluímos, assim, que para encontrar o período basta fazer n =

M

Clog

log (1 + i) .

'Saiba mais sobre os logaritmos e suas propriedades assistindo ao vídeo que indicamos no AVA. Acesse e confira!


58

Para entender melhor, imagine que você precise determinar o prazo, no regime de juros compostos, no qual um empréstimo de R$ 11.000,00, à taxa de 15% ao semestre, possa ser quitado em um único pagamento de R$ 22.125,00. Para resolver, procedemos da seguinte forma:

Dados do problema:

n = ?

M = 22.125

C = 11.000

i = 15% a.s. => 0,15

Pela fórmula: n = => n = = 5 => n =

M

Clog

log (1+i)

22125

11000log

log 1,15

log 2,01136

log 1,15

Ou seja, serão necessários 5 semestres para que o empréstimo seja quitado em pagamento único no valor de R$ 22.125.

Agora resolva alguns exercícios para reforçar esse conteúdo.

Atividade 4

1) Qual é o capital que, aplicado a juros compostos durante 9 anos, à taxa de 10% a.a., produz um montante de R$ 175.000?

2) Uma empresa vende um componente eletrônico por R$ 200 a unidade, sendo o pagamento feito 2 meses após a compra. Para pagamento à vista, o preço é R$ 192. Qual é a taxa mensal de juros compostos do financiamento?

3) Um capital de R$ 7.000 foi aplicado a juros compostos durante um ano e meio, à taxa de 2,5% a.m. Calcule os juros auferidos no período.

4) Uma pessoa aplica hoje R$ 4.000 e aplicará R$ 12.000 daqui a 3 meses em um fundo que rende juros compostos à taxa de 2,6% a.m. Qual será seu montante daqui a 6 meses?

5) Um capital de R$ 3.000 foi aplicado a juros compostos, durante 10 meses, gerando um montante de R$ 3.500. Qual a taxa mensal?

6) Uma aplicação feita a juros compostos, em período de 10 meses rende de juros o mesmo valor do capital aplicado. Qual é o valor da taxa de juros mensal dessa aplicação?

7) Apliquei em um fundo de investimentos um capital que, no período de 9 meses, produziu montante equivalente ao triplo do capital aplicado. Sabendo que os juros são trimestrais, qual é a taxa da aplicação?


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8) Um eletrodoméstico é vendido à vista, sem desconto, por R$ 800 ou, então, em duas vezes: uma entrada de R$ 480 e uma parcela para dois meses após a compra no valor de R$ 500. Qual é o valor da taxa de juros mensal dessa compra?

9) Qual é o período necessário para que uma aplicação de R$ 4.500, em juros mensais compostos, à taxa de 2% a.m., gere um montante de R$ 5.700?

10)Preciso duplicar um capital visando comprar um carro. Sabendo que determinado banco paga juros compostos de 2,5% ao mês pelo capital investido, quanto tempo devo deixar meu dinheiro aplicado para que eu alcance meu objetivo?

11)Bernardete aplicou R$ 6.000 a juros compostos, durante um ano, à taxa de 24% a.a.

a) Qual o montante?

b) Qual a taxa mensal de juros da aplicação?

c) Qual a taxa semestral de juros da aplicação?

12)Gisele aplicou R$ 6.000 a juros compostos, sendo uma parte no banco A, à taxa de 2% a.m., e outra no banco B, à taxa de 1,5% a.m. O prazo das duas aplicações foi de 6 meses. Calcule quanto foi aplicado em cada banco sabendo-se que os montantes resultantes foram iguais.

13)Aplique hoje R$ 55.000 e receba após 6 meses R$ 60.000. Qual é a taxa mensal de rendimento dessa aplicação, considerando o regime de juros compostos?

3. Taxa Efetiva e Taxa Nominal

O juro só é formado no final de cada período financeiro. Entretanto, são frequentes os casos em que o período da taxa não coincide com o período da capitalização. A esse fato convencionou-se chamar de taxas nominais.

Quando a unidade de tempo coincide com o período de capitalização, tem-se o que chamamos de taxa efetiva. Por exemplo: em uma capitalização semestral a taxa de juros deve ser semestral.

4. Taxas Equivalentes e Taxas Proporcionais

Vimos, ao estudar os juros simples, que duas taxas são proporcionais quando seus valores formam uma proporção com o tempo a elas referido. Além de proporcionais, as taxas eram ainda equivalentes. Taxas equivalentes são aquelas que, em um mesmo período de tempo, com capitalização diferente, aplicadas a um mesmo capital, produzem o mesmo montante.

Por exemplo, um capital de R$ 1.000,00, empregado durante 1 ano, à taxa de juros compostos de 24% ao ano, e durante 12 meses à taxa de 2% ao mês, deve render R$ 1.240 e R$ 1.268, respectivamente. Note que, apesar das taxas serem proporcionais (24% a.a. e 2% a.m.), elas não são equivalentes, pois geram montantes diferentes.


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Para calcular uma taxa equivalente, é interessante observar que a única parte da fórmula do montante dos juros compostos que será alterada é o fator de capitalização. Portanto temos para as frações de ano, a seguinte transformação:

(1 + ia)1 = (1 + is)2 = (1 + it)

4 = (1 + ib) = (1 + im)12 = (1 + id)360

Assim, digamos que você precise saber qual é a taxa bimestral equivalente a 10% ao mês. Para isso, temos que: im= 10% a.a. = 0,1

Como: (1 + im)2 = (1 + ib) => (1 + 0,1)2 = (1 + ib) => ib = (1,21) - 1 = 0,21, isto é, 21% a.b.

Agora que você já sabe calcular juros simples, compostos e fazer as devidas conversões das taxas, exercite seus conhecimentos resolvendo as questões a seguir.

Atividade 5

1) Para uma aplicação que rende 2,20% ao mês a juros compostos, qual é a taxa equivalente diária?

2) Para uma aplicação financeira que rende juros compostos de 0,8% ao mês, qual a taxa equivalente anual?

3) Qual é a taxa diária equivalente a juros compostos:

a) 30% ao mês.

b) 18% ao ano.

c) 4,5% ao semestre.

4) Qual é a taxa para 63 dias equivalente a juros compostos a 8% ao mês?

5) Qual é a taxa semestral equivalente a juros compostos a 10% ao bimestre?

6) A taxa anual de juros compostos para aplicações em Certificados de Depósitos Bancários está em 20% ao ano. Determine a taxa equivalente para os seguintes prazos de aplicação:

a) 30 dias.

b) 90 dias.

c) 120 dias.

7) Você aplicou suas economias em determinado investimento que lhe rendeu 5,8% em 39 dias. Qual foi o ganho equivalente mensal a juros compostos que você auferiu?

8) Um fundo de investimento rende em média 0,07% ao dia por dia útil. Qual será o rendimento percentual projetado para um período de 22 dias úteis, segundo o regime de juros compostos?


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9) Uma aplicação por 165 dias rendeu 31,125% de juros. Calcule as taxas juros compostos equivalentes anual e mensal.

10)O Salt Bank remunera suas aplicações com uma taxa de 30% ao ano, no regime de juros compostos, e assume um ano de 360 dias. Determine os rendimentos para uma aplicação com os prazos:

a) 45 dias.

b) 180 dias.

c) 225 dias.

11)Uma instituição financeira oferece a um aplicador uma remuneração de 2,2%, a juros compostos, pelo prazo de 25 dias, para qualquer valor de sua aplicação. Determine as rentabilidades diária e mensal dessa aplicação?

12)Sendo 18% a inflação de determinado ano, calcule a taxa equivalente mensal.

13)A inflação de certo mês atingiu 9%. Tendo esse mês 20 dias úteis, determine a taxa de inflação por dia útil.

Tópico 5: DescontosSempre que existe uma dívida, é normal que o credor receba um título de crédito, que nada mais é do que o comprovante de que a dívida será paga. Como todo título de crédito tem uma data de vencimento, é possível que o emissor do título queira resgatá-lo antecipadamente, ou seja, pagar a dívida antes do prazo. Nesse caso, é justo que ele receba um abatimento, que é denominado de “desconto”.

1. Tipos de Títulos de Crédito

Os títulos de crédito mais comuns e mais utilizados em transações financeiras são a nota promissória, a duplicata e a letra de câmbio.

• Nota promissória: é um comprovante da aplicação de um capital com vencimento predeterminado. É um título muito utilizado entre pessoas físicas ou entre pessoa física e instituições financeiras.

• Duplicata: é um título emitido por uma pessoa jurídica contra seu cliente para o qual vendeu mercadorias a prazo ou prestou algum serviço a ser pago no futuro, segundo um contrato.

• Letra de câmbio: da mesma forma que a nota promissória, é um comprovante de uma aplicação com vencimento predeterminado; porém, é um título ao portador, emitido exclusivamente por instituições financeiras.


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2. Desconto de Título

Quando o devedor efetua o pagamento de forma antecipada, ele pode receber um desconto dos juros que incidem na dívida. Esta operação é chamada de “descontar um título”. Antes de prosseguirmos, confira alguns conceitos importantes ao trabalharmos com descontos:

• valor nominal (ou valor de face): é o valor indicado no título, importância a ser paga na data de vencimento;

• valor atual (ou valor descontado): é o líquido que foi pago (ou recebido) pelo título antes do vencimento;

• dia de vencimento: é a data fixada para o pagamento do título;

• tempo ou prazo: é o número de dias compreendido entre o dia em que se negocia o título e o seu vencimento.

O desconto será o valor a ser abatido do valor nominal do título de crédito

no momento do pagamento antecipado. Ele é calculado pela diferença

entre o valor nominal e o valor atual.

O desconto pode ser feito considerando-se como capital tanto o valor nominal, denominado de desconto comercial, ou o valor atual, denominado desconto racional. Na prática, somente o desconto comercial é utilizado. Assim, trataremos do desconto racional apenas quando falarmos de descontos compostos em que ele se faz necessário devido aos conceitos estarem ligados.

3. Desconto Comercial

Conhecido por desconto bancário (ou por fora), o desconto comercial é equivalente aos juros simples, calculado pelo valor nominal do título no período de tempo correspondente e à taxa fixada. Confira os elementos e a fórmula utilizados para calcularmos esse desconto:

d → Valor do desconto comercial

N → Valor nominal do título

i → Taxa de desconto

n → Tempo

A → Valor atual comercial (descontado)

Por definição, temos que o valor do desconto comercial é: d = N × i × n e o valor atual, ou valor descontado, é dado por A = N - d => A = N (1 - in).


O desconto comercial é aplicado apenas em períodos curtos, pois, em prazos longos, o valor do desconto pode ultrapassar o valor nominal do título.


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Para entender melhor como calcular esse desconto, confira o exemplo:

Um título de R$ 5.000 vai ser descontado à taxa de 1,8% ao mês. Faltando 36 dias para o seu vencimento, determine o valor do desconto comercial e o valor atual do título.

Dados do problema:

d → ?

N → 5.000

i → 1,8% a.m. => 0,018 a.m. => 0,0006 a.d.

n → 36 dias

Pela fórmula: d = N × i × n => d = 5000 × 0,0006 × 36 = 108

Como A = N - d => A = 5000 - 108 = 4892, logo, o valor atual será de R$ 4.892, e o valor do desconto de R$ 108.

Vamos praticar? Resolva os exercícios a seguir.

Atividade 6

1) Um título de R$ 10.000 será descontado à taxa de 2,1% ao mês. Faltando 33 dias para o seu vencimento, determine o valor do desconto comercial e o valor atual do título.

2) Determine o valor do desconto comercial de uma promissória de R$ 500,00, à taxa de 36% ao ano, resgatada 60 dias antes do vencimento.

3) Um título de R$ 350,00 foi descontado faltando 90 dias para o seu vencimento. Sabendo-se que o desconto foi de R$ 26,25, calcule a taxa de desconto e a taxa de juro efetiva.

4) Uma duplicata foi descontada 60 dias antes de vencer, e por ela foram pago R$ 2.300,00 com taxa de desconto de 42% a.a. Qual era o valor nominal da duplicata?

5) Por um título de R$ 460,00 é pago com taxa de descontos de 2,5% a.m. o valor de R$ 442,75. Assim, em quanto tempo o título foi antecipado?

6) Precisando repor seu estoque, um comerciante desconta um título no valor de R$ 65.000,00 com vencimento para 120 dias, à taxa de 2% a.m. mais taxas de administração no valor total de 3%. Qual será o valor líquido creditado pelo banco pelo título?

7) Ao pagar um título de R$ 660,00 com antecipação de 60 dias, recebo um desconto de R$ 39,60. Determine a taxa de desconto.

8) Uma duplicata no valor de R$ 860,00 foi resgatada 90 dias antes do seu vencimento por R$ 769,70. Sabendo que a taxa de desconto foi de 3,5% ao mês, determine a taxa de juro efetiva.


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9) Calcule o tempo de antecipação de uma nota promissória, sabendo que o seu valor nominal é duas vezes o valor do desconto, à taxa de 24% ao ano.

10) Um comerciante que necessitava de dinheiro descontou uma nota promissória com vencimento em 90 dias. A taxa de juros foi de 3% ao mês além de uma taxa de 1,5% de comissão pelos serviços. Ao final da operação, o comerciante recebeu pela nota o valor líquido de R$ 2.680,50. Qual era o valor de face do título?

11) Sou portador de duas promissórias: uma no valor de R$ 600,00, vencível em 150 dias, e outra no valor de R$ 400,00, vencível em 120 dias. Pretendendo descontá-las dentro de 75 dias. Qual o será o valor líquido recebido à taxa de desconto de 3,5% ao mês?

12) Um comerciante descontou dois títulos em um banco: um de R$ 6.000,00 para 90 dias, e outro de R$ 3.652,17 para 120 dias. Desejando substituí-los por um único título com vencimento para 5 meses, calcule o valor nominal deste último supondo que a taxa de desconto de 24% ao ano permaneça inalterada.

13) Um comerciante contraiu uma dívida de R$ 4.687,50 para ser paga com dois títulos de mesmo valor, vencíveis dentro de 60 e 90 dias, respectivamente. Sabendo que a taxa de desconto é de 2,5 % ao mês, calcule qual deverá ser o valor nominal de cada título.

14) Tenho três títulos, cujos valores são de R$ 3.000,00, R$ 4.000,00 e R$ 5.000,00 com vencimentos, respectivamente, para 60, 90 e 120 dias, que foram substituídos por dois outros de R$ 6.622,00 cada um, vencíveis em 150 e 210 dias. Calcule a taxa de desconto, sabendo que é a mesma para qualquer transação.

4. Descontos Compostos

O desconto composto é empregado em operações de longo prazo uma vez que a utilização de desconto simples nesses casos nos levaria a valores descontados maiores do que o próprio título.

Da mesma forma que acontece no desconto simples existem duas formas de desconto com-posto: o desconto racional (dito desconto por dentro) e o desconto comercial. Entretanto, nesse caso, não empregamos o desconto comercial.

Cálculo do valor atual

Como acontece quando tratamos de desconto simples, o desconto composto está diretamente associado ao regime de juros simples. Assim, o valor atual de um capital N disponível ao final de n períodos, à taxa i relativa a esse período, será o capital A que, a juros compostos, produz o montante N. Isso tudo nos leva às seguintes fórmulas:

N = A (1 + i)n e A = N / (1 + i)n ,

onde (1 + i)n será o fator de descapitalização.

Por exemplo, para determinar o valor atual de um título de R$ 1.000, saldado 4 meses antes do vencimento, à taxa de desconto composto de 2,5% ao mês, procedemos da seguinte forma:


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Dados do problema:

A → ?

N → 1000

i → 2,5% a.m. = 0,025

n → 4 meses

Assim, podemos fazer A = 1000 / (1 + 0,025)4 => A = 1000 / 1.10381 = 905,95, ou seja, o valor atual do título será de R$ 906.

Valor do desconto racional

O valor do desconto racional composto pode ser obtido de duas formas: aplicado à noção de desconto, que é a diferença entre o valor nominal (de face) do título e o valor atual (o pago), ou ainda por meio de um pouco de manipulação matemática obtida pelas representações matemáticas dessa noção.

d = N -N

(1 + i )ⁿ

Utilizando essa fórmula, sabemos, por exemplo, que um título que tem valor nominal de R$ 10.000 e será descontado 6 meses antes do vencimento, sob uma taxa de 5% ao mês, terá um desconto racional composto de R$ 2.538,00.

Que tal praticar um pouco? Resolva as questões a seguir sobre desconto composto.

Atividade 7

1) Um título tem valor nominal de R$ 5.000 e será descontado 3 meses antes do vencimento, sob uma taxa de 3,5% ao mês. Determine o valor do desconto racional composto.

2) O valor nominal de um título é de R$ 28.800,00 e será descontado antecipadamente no prazo de 120 dias. A taxa aplicada pela financeira é de 2,5% ao mês, de acordo com o conceito de desconto composto. Calcule o valor do desconto.

3) Determine o valor do desconto composto racional de um título no valor de R$ 50.000,00 sabendo que o seu prazo é de 5 meses e que a taxa de desconto cobrada é de 3,5% ao mês.

4) Um título de R$ 1.000,00 é descontado 3 meses antes do vencimento à taxa racional composta de 10% ao mês. Qual é o seu valor atual?

5) Resgata-se um título por R$ 1.645,41 com 4 meses de antecedência. Quais são o valor nominal do título, sendo a taxa de 60% ao ano com capitalização mensal, e o critério do desconto racional composto?


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6) Um título de valor nominal igual a R$ 2.000,00 sofre um desconto racional composto a uma taxa de 1% ao mês 2 meses antes do vencimento. Qual é o valor do desconto?

7) Um título de valor nominal igual a R$ 1.000,00 é resgatado 4 anos antes do vencimento à taxa de desconto racional composto de 10% ao ano. Calcule o valor atual do título.

8) Qual será o valor do desconto racional composto pago por um título cujo valor nominal seja de R$ 10.000,00 e que possua desconto de 3,5% a.m. e vencimento previsto para 5 meses?

5. Equivalência de Capitais

Em alguns casos, é possível substituir um título por outro com diferentes datas de vencimento. Essa situação está ligada à equivalência de capital, que pode ser usada ainda para sabermos se duas formas de pagamento são equivalentes.

Dois (ou mais) capitais são equivalentes, em determinada época, se seus

valores atuais, nessa época, forem iguais.

Confira um caso em que a equivalência de capitais está presente:

Um produtor deseja substituir um título de R$ 5.000, vencível em 3 meses, por outro com vencimento em 5 meses. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 3,5% ao mês, qual será o valor nominal comercial do novo título?

Levantando os dados do problema, temos que:

N’ = 5000

i = i’ = 3,5% a.m. = 0,035

n’ = 3 meses

n = 5 meses

Para que sejam equivalentes, A deve ser igual à A’. Como A = N (1 - in) => A = N (1 - 0,035 × 5) => A = 0,825N e ainda A’ = N’ (1 - i’ n’) => A’ = 5.000 (1 - 0,035 × 3) => A = 5.000 × 0,895 => A’ = 4.475. Como A = A’, então 0,825N = 4.475 => N = 4.475 / 0,825 = 5.424,24. Ou seja, o valor do novo título será de R$ 5.424,24.

Atividade 8

1) Um produtor deseja substituir um título de R$ 500.000, vencível em 2 anos, por outro com vencimento em 5 anos. Sabendo que esses títulos podem ser descontados à taxa de 12% ao ano, qual será o valor nominal comercial do novo título?

2) Uma pessoa, devedora de um título de valor nominal de R$ 10.000,00 com vencimento daqui a 1 ano, deseja resgatar essa dívida com dois pagamentos mensais iguais: um no


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final de 4 meses e outro no final de 8 meses. Estabelecendo a taxa de 18% ao ano com capitalizações mensais para o desconto, calcule o valor desses pagamentos

3) Um título de R$ 5.000,00 para 45 dias foi trocado por outro de R$ 6.000,00 para 90 dias, ambos capitalizados diariamente. Qual foi a taxa de desconto real utilizada para que esses títulos fossem considerados equivalentes?

4) Um título de R$ 10.000,00 para 62 dias vai ser trocado por outro de R$ 15.000,00. Qual será o prazo desse novo título se a troca for feita com desconto real à taxa de 12% ao mês com capitalizações diárias?

5) Um título de valor nominal igual a R$ 6.780,00 com vencimento para 3 anos, deverá ser substituído por 3, de mesmo valor nominal, para 1, 2 e 3 anos, respectivamente. Considerando o desconto de 24% ao ano, capitalizado semestralmente, determine o valor nominal dos novos títulos.

6) Uma empresa deve pagar 3 títulos de R$ 1.700,00 exigíveis em 2, 3 e 4 bimestres. Entretanto, a empresa pretende substituir os 3 títulos por um único de R$ 6.268,33. Qual será o prazo desse novo título empregando uma taxa de 25,2% ao ano, capitalizado bimestralmente?

7) Uma empresa devedora de 2 títulos de R$ 2.000,00, para 2 e 4 anos, respectivamente, propõe resgatar a dívida com 3 pagamentos anuais iguais, realizáveis no fim de 2, 3 e 4 anos, respectivamente. Calcule o valor desses pagamentos, sendo o desconto real de 20% ao ano, capitalizados trimestralmente.

8) Um empréstimo, cujo capital foi de R$ 2.600,00, deve ser pago no fim de 3 anos e meio com juros de 18% ao ano, capitalizado trimestralmente. Entretanto, passado um ano, o devedor propõe resgatar a dívida com um pagamento imediato de R$ 1.200,00 e o saldo em um ano. Calcule o valor desse saldo, sabendo-se que o desconto concedido é de 18% ao ano, capitalizado semestralmente.

9) Um empresário tem uma dívida R$ 2.000,00 com vencimento hoje e R$ 5.000,00 para daqui a 1 ano. Propõe-se ao credor um refinanciamento de sua dívida, que se compromete a liquidá-la em 3 parcelas semestrais iguais e consecutivas, vencendo a primeira em 6 meses. De quanto serão as parcelas, se a taxa contratada for de 20% ao ano, capitalizado semestralmente?

Tópico 6: Séries de PagamentoQuando queremos fazer um investimento, podemos depositar uma determinada quantia de dinheiro na poupança. Quando pretendemos comprar algo, podemos fazê-lo pela compra em prestações. Esses casos podem ser denominados de capitalização, para a construção de capital, e amortização, para o pagamento de uma dívida.

Uma sucessão de depósitos ou de prestações, em épocas diferentes, destinados a formar um capital ou com o intuito de liquidar uma dívida é o que chamamos de renda. A quantidade de depósitos (ou pagamentos) efetuados é denominada de termos da renda (ou número de prestações), e o intervalo em que ocorre o vencimento de dois termos consecutivos, de período da renda.


68Na compra de um telefone celular em 10 prestações mensais de R$99,

cada uma das parcelas é um termo da renda,e o período da renda é

mensal.

As rendas podem ser de dois tipos: as certas (ou anuidades), quando ocorrem com o número de termos, vencimentos e valores pré-fixados, ou ainda as aleatórias, quando algum dos elementos que compõem não pode ser predeterminado.

Quanto ao período, uma renda pode ser periódica, quando o período é sempre o mesmo, ou não periódica. Outra classificação importante está na relação com a data do vencimento do primeiro termo, que pode ser imediata, antecipada ou diferida. Confira cada uma delas a seguir.

Imediata (ou postecipada) ocorre quando o vencimento do primeiro termo se dá ao final do primeiro período a contar da data zero (data da assinatura do contrato). Assim, o último termo ocorre ao final do período n. An i

10 2 3 4 5

Antecipada ocorre quando o vencimento do primeiro termo ocorre na data zero e o vencimento do último termo ocorre no início do período n.

An i

10 2 3 4 5

Diferida ocorre quando o primeiro termo sedá ao final de algum prazo determinado (uma quantidade de períodos, a contar da data zero) e o vencimento do último termo ocorre ao final depois de n + m períodos. An i

10 2 3

0

1 2 43

Carência


Sempre que o tipo da renda não for identificado, deveremos supor que se trate de uma renda imediata, por ser esse o tipo mais comum.

1. Capitalização - Renda Imediata (ou Postecipada)

Imagine que uma pessoa deposite em uma financeira, ao fim de cada mês, durante 5 meses, a quantia de R$ 100,00. Qual será o montante da renda sabendo que a financeira rende juros de 2% ao mês, capitalizados mensalmente?


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Começamos levantando os dados do problema:

C = 100

i = 2% a.m. = 0,02

n = 5 meses

Cada depósito (C=100) representa o capital inicial, aplicado a 2% ao mês, por períodos que irão de 1 a 5 meses. Como queremos determinar o montante dos depósitos na data final, temos: M = C (1 + i)n para calcular o montante, sendo que o último depósito não apresentará rendimentos.

10 2 3

100 100 100 100 100

4 5

100 x (1 + 0,02) = 100 x 1,02100 x (1 + 0,02)2 = 100 x 1,022

100 x (1 + 0,02)3 = 100 x 1,023

100 x (1 + 0,02)4 = 100 x 1,024

Logo podemos ver que o montante da renda será dado pela soma dos montantes de cada um dos depósitos, o que pode ser escrito como

�₅ ₀,₀₂ = 100 + (100 � 1,02) + (100 � 1,02�)

+ (100 � 1,02�)

= 100 � (1,02 + 1,02� + 1,02� + 1,02�)

= 100 � 5,204 = 520,4

�₅ ₀,₀₂

�₅ ₀,₀₂

Ou seja, a renda será de R$ 520.

A partir da resolução apresentada, podemos observar que o montante da renda apresenta uma lógica para ocorrência. Dessa lógica, podemos descrever uma fórmula que facilita muito o procedimento.

Com T → valor dos depósitos periódicosn → número de períodosi → taxa de juros da operação

�� = T � —————(1 + i)� – 1

i

Onde o termo —————(1 + i)n -1

i é o fator de capitalização da renda, e, dessa forma, podemos obter o

montante de forma imediata.

Para compreender melhor, resolva os exercícios a seguir. Em caso de dúvida, você pode conversar com o tutor.


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Atividade 9

1) Uma pessoa deposita na caderneta de poupança, ao final de cada mês, durante 1 ano, a quantia de R$ 1.500. Calcule o montante da renda sabendo que a poupança paga juros compostos de 0,5% ao mês, capitalizados mensalmente.

2) Deposito em uma instituição financeira, ao final de cada mês, a importância de R$ 500 a juros de 1,6% ao mês. Quanto terei ao término de 2 anos?

3) Qual deverá ser a importância depositada em um banco, ao final de cada ano, à taxa de 7,6% ao ano, capitalizados anualmente, para que, ao fazer o décimo depósito, forme um capital de R$ 650.000?

4) Quero formar um capital de R$ 120.000 pensando em comprar uma casa sabendo que o banco do qual sou correntista possui um tipo de aplicação que me permite fazer depósitos mensais a juros de 5% ao mês. Qual será o valor que devo depositar para possuir o capital após 2,5 anos?

2. Capitalização - Renda Antecipada

Na renda antecipada, os depósitos são feitos no início do período (a tal da hora zero) em n parcelas iguais, referenciadas à taxa i de juros na mesma unidade do período. Como esse será o único diferencial, o primeiro depósito terá n períodos de juros e o último depósito terá 1 período de juro. Dessa forma, podemos representar o montante para renda antecipada como sendo:

Com T → valor dos depósitos periódicosn → número de períodosi → taxa de juros da operação

�� = T � ——————(1 + i)(n⁺¹) – 1

i

Dessa forma podemos obter o montante de forma antecipada.

3. Amortização - Renda Imediata

A amortização é utilizada para o pagamento de dívidas em prestações periódicas e constantes sobre as quais incidem a mesma taxa. Da mesma forma como procedemos com a renda imediata para a formação de um capital, podemos proceder agora na amortização de uma dívida.

Por exemplo: que dívida pode ser amortizada por 5 prestações mensais (n) de R$ 100 (T), sendo que são cobrados juros de 2% ao mês (i)? Para resolver, utilizamos a seguinte fórmula:

A� � = T � ——————(1 + i)� – 1

i (1 + i)n => A� �,�� = 100 � ———————

(1 + 0,02)� – 1

0,02 (1 + 0,02)�

Resolvendo, temos que pode ser amortizada uma dívida de R$471.


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4. Amortização - Renda Antecipada

Como a primeira prestação é paga na data zero (assinatura do contrato), o valor atual de uma renda antecipada de n termos é determinado por:

An i = T � + 1(1 + i)(n-¹) – 1i (1 + i )(n-¹) [ [

5. Amortização - Renda Diferida

As rendas diferidas são aquelas em que existe um prazo antes do pagamento da primeira prestação, chamado de “período de carência”. Para construir o valor atual da renda diferida, precisamos pensar nela como sendo duas rendas imediatas, uma que termina no prazo de carência e a outra que vai até o final do período. Assim, o valor atual da renda diferida é dado por:

m/A� � = T � – (1 + i)(m+n) – 1

i (1 + i )⁽m⁺n⁾ [ [( ( (1 + i)m – 1i (1 + i)m( (

gNo AVA, você pode acompanhar a resolução de alguns exemplos que utilizam as fórmulas vistas aqui. Acesse e confira!

Atividade 10

1) Um empréstimo, cujo principal é de R$ 20.000,00, foi realizado a juros compostos e deve ser liquidado mediante o pagamento de 12 prestações mensais, iguais e sucessivas. Determine o valor dessas prestações sabendo-se que a taxa de juros cobrada é de 12% ao ano e que a primeira prestação ocorre 30 dias após a liberação dos recursos.

2) Um principal de R$ 10.000,00 deve ser liquidado em 4 prestações semestrais, iguais e sucessivas. Determine o valor dessas prestações para uma taxa de 1,5% ao mês a juros compostos.

3) Um cliente de uma agência de automóveis adquiriu um veículo financiado em 24 prestações de R$ 1.500,00 com uma taxa de juros de 1% ao mês no regime de juros compostos. Ao final de um ano, esse cliente procurou a mesma agência para vender esse automóvel, e a ela lhe ofereceu R$ 18.000,00 para pagamento à vista. Determine quanto deve ser pago ao cliente para que a agência adquira esse veículo assumindo o restante do financiamento com a mesma taxa de 1% ao mês.

4) Uma betoneira cujo valor à vista é de R$ 30.000,00 será financiada em 20 prestações mensais e sucessivas, além de uma entrada de R$ 7.500,00 por ocasião da compra. Determine


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o valor das 20 prestações mensais sabendo que o financiamento será realizado a juros compostos de 1,25% ao mês, capitalizados mensalmente, considerando que a primeira prestação vencerá:

a) 30 dias após a data da compra.

b) no ato da compra.

5) Um financiamento, com o principal de R$ 10.000,00, deve ser liquidado em 10 prestações mensais, iguais e sucessivas, com uma taxa de 1,2% ao mês, no regime de juros compostos. Assuma os meses com 30 dias e determine o valor dessas prestações sendo que a primeira prestação deve ser paga 120 dias após a liberação dos recursos.

6) Um investidor efetuou 10 depósitos mensais de R$ 2.000,00 em uma instituição financeira e verificou que o saldo à sua disposição, imediatamente após a efetivação de seu último depósito, era de R$ 21.000,00. Determine a taxa de remuneração mensal desses depósitos no regime de juros compostos.

7) Ana Maria, pensando em pagar seus estudos, passa a poupar mensalmente um determinado valor. Sabendo que ela está agora no primeiro ano do Ensino Médio e planeja utilizar esses recursos para pagar a universidade e que os gastos estimados serão de R$ 25.000,00, quanto deverá ser poupado por Ana Maria para que no final do terceiro ano ela tenha condições de cursar uma universidade sabendo que o banco no qual ela planeja fazer as aplicações paga juros de 1,5% ao mês?

8) Determinada empresa toma empréstimos com uma instituição financeira no valor de R$ 10.000.000,00, e esse empréstimo deve ser liquidado em 10 prestações semestrais iguais e sucessivas com juros compostos de 6% ao semestre. Logo após o pagamento da 5ª prestação, a empresa manifestou o interesse em prorrogar o prazo do empréstimo de forma a pagá-lo em 12 prestações iguais e sucessivas. O banco atualiza o empréstimo com nova taxa de juros de 8% a.s. Determine o valor da nova prestação paga pela empresa.

9) Em um determinado ano civil um empresário efetuou 4 depósitos mensais, iguais e sucessivos, em um banco que remunera seus depósitos a juros compostos, com uma taxa de 1,2% ao mês. No final de dezembro desse exercício, o total acumulado por esse empresário, por esses depósitos, foi de R$ 100.000,00. Assumindo os meses com 30 dias, determine o valor desses depósitos mensais, sabendo que o primeiro depósito ocorreu ao final do mês de janeiro.

10) Um grande amigo interessou-se em comprar um carro usado na Calhambeque e Cia, ...nas seguintes condições R$ 2.000,00 de entrada e 8 prestações mensais iguais no valor ...de R$ 3.000,00. Sabendo que a taxa de juros cobra é de 2% a.m. e que comprando à vista ...o desconto seria de 10% qual o valor veículo?

11) No ano de 2010, um determinado empresário efetuou 5 depósitos mensais iguais em ...meses alternados, no Banco BANGISA, que remunera seus depósitos a juros compostos, ...com taxa de 1,8% a.m. Em dezembro desse mesmo ano, o valor acumulado pelo


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empresário em depósitos foi de R$ 100.000,00. Assumindo que cada um dos meses possua 30 dias, determine o valor dos depósitos mensais realizados. DICA: o primeiro depósito ocorreu ao final de abril, o segundo, ao final de junho, o seguinte, ao final de agosto e o último, ao final de outubro.

12) A Casas Alagoas vende um aparelho televisor em 14 parcelas mensais sem entrada. ...Sabe-se que o valor da primeira prestação irá vencer ao final do primeiro mês, e será de ...R$ 400,00, e o das demais, vencendo também ao final do mês, no valor de R$ 250,00, ...sendo que a taxa de juros cobrada na loja é de 4% a.m. Caso eu quisesse pagar o televisor ...à vista com desconto de 5%, qual seria o valor?

13) Joãozinho ganhou na loteria esportiva o valor de R$ 160.000,00 e decidiu comprar um ...sítio para morar. Empolgado pela proposta do corretor, considera a hipótese de comprar ...o sítio em 24 prestações mensais (postecipadas) no valor de R$ 8.600,00, aproveitando ...para aplicar o prêmio da loteria no banco à taxa de juros de 2% a.m. Sabendo de tudo ...isso, Joãozinho lhe pede um conselho: é melhor pagar à vista ou em prestações?

14) Um cidadão resolve que aplicará parte do seu salário todo mês, durante o próximo ano, em ...um fundo de renda fixa que paga juros de 4,3% ao mês. Após um detalhado levantamento ...do seu orçamento, decide que pode aplicar R$ 1.000,00 por mês mais as gratificações ...que recebe a cada seis meses no valor de R$ 5.000,00. Qual será o valor global que essa ...pessoa possuirá ao final do 18º mês pensando pelos termos antecipados?

Tópico 7: Sistemas de AmortizaçãoVocê já viu que amortização é o processo financeiro pelo qual uma dívida (ou obrigação) é paga por intermédio de prestações em um prazo determinado. Essas prestações são compostas por duas partes importantes: a amortização da dívida e os juros. Olhando a prestação dessa forma, podemos discriminar o que representa a devolução do valor original (principal) e o que representa os encargos da dívida.

E dentre os principais sistemas de amortização encontramos o sistema francês de amortização (conhecido como sistema Price), o sistema de amortização constante e o sistema misto de amortização. Veremos, aqui, como funcionam os dois primeiros.

1. Sistema de Amortização Francês (Tabela PRICE)

O sistema de amortização francês recebe essa denominação pelo fato de ter sido utilizado inicialmente na França, ainda no século XIX. O sistema se caracteriza por pagamentos em prestações constantes (iguais), periódicas e imediatas. É o sistema mais utilizado pelas instituições financeiras e pelo comércio em geral.

Pelo fato de os juros incidirem sobre o saldo devedor, que, por sua vez, decresce na medida em que as prestações são pagas, eles vão diminuindo, e, consequentemente, a amortização da dívida vai aumentando.


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Por exemplo, um empréstimo de R$ 200.000 pago utilizando a Tabela Price em 4 prestações mensais imediatas, a juros efetivos de 10% a.m. apresenta o seguinte esquema de amortização:

Mês Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 R$ 200.000 -- -- --

1 R$ 156.906 R$ 43.094 R$ 20.000 R$ 63.094

2 R$ 109.502 R$ 47.403 R$ 15.691 R$ 63.094

3 R$ 57.359 R$ 52.144 R$ 10.950 R$ 63.094

4 -- R$ 57.359 R$ 5.735 R$ 63.094

Observe que as prestações são valores constantes, os juros pagos reduzem e a amortização aumenta conforme acontece o pagamento das prestações.

Agora podemos aproveitar as informações do exemplo e encontrar os valores que constituem a tabela. Fique atento!

Cálculo da prestação

O sistema de amortização francês utiliza a noção de renda imediata para operar, por isso, para encontrar o valor da prestação, podemos manipular algumas fórmulas que já conhecemos, chegando à:

T = —————SD

(1 + i)n - 1—————i(1 + i)n

Lembrando sempre que SD → valor da dívidaT → valor da prestaçãon → número de prestaçõesi → taxa de juros

Se utilizarmos os dados do exemplo acima, poderemos constatar que o valor da prestação será de R$ 63.094. Calcule e veja se você chega ao mesmo resultado!

Confira no quadro a seguir como calcular outros elementos da amortização.

JurosOs juros pagos serão sempre o percentual da taxa aplicado sobre o saldo devedor da dívida.

jt= SD(t-1) × i


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Amortização

A amortização é dada pela diferença entre o valor da prestação e o valor que foi pago de juros no período em questão, sendo que os juros são sempre pagos primeiro lugar.

at = T - jt

Saldo devedor

O saldo devedor é o valor da dívida, que decresce conforme vão acontecendo os pagamentos das prestações, computado como sendo a diferença entre o saldo do período anterior e a amortização.

SDn = SD(n - 1) - an

Atividade 11

Para compreender como aplicar as fórmulas, observe a resolução do primeiro exercício e resolva os demais.

1) Uma instituição financeira faz um empréstimo de R$ 100.000 para ser pago pelo sistema Price em 4 prestações anuais à taxa de juros de 15% ao ano. Calcule o valor da prestação e monte a planilha de amortização.

Valor da prestação:

T100000 100000

35026,542,855

=(1 + 0,15)4 - 1

0,15 (1 + 0,15)4

==

2) Um financiamento no valor de R$ 200.000,00 é concedido para ser amortizado em 12 pagamentos mensais pela tabela Price. A taxa de juros contratada é de 2% ao mês. Com base nessas informações, determine:

a) o valor de cada prestação mensal;

b) o saldo devedor ao final;

c) construa a tabela de amortização.

3) Em um empréstimo no valor de R$ 100.000,00, feito em 24 prestações mensais e iguais, à taxa de 51,1069% ao ano, qual será o saldo devedor no quinto mês?

4) A BrasilSoja solicita um financiamento, no valor de R$ 12.000.000.000,00, para ser amortizado em 18 meses com carência de 12 meses de acordo com a tabela Price. Para essa operação, a taxa de juros será de 170% a.a. Sabendo-se que as prestações são mensais antecipadas e que são pagos juros no período de carência, elabore a planilha de desembolso para o financiamento.


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5) Um empréstimo no valor de R$ 420.000 foi concedido a uma empresa nas seguintes condições: taxa de juros de 5% a.m. e prazo de amortização de 5 meses. Construa a tabela de amortização e determine o valor final a ser pago pelo empréstimo.

6) Um empréstimo de R$ 160.000 é concedido a uma empresa para ser liquidado em 2 anos e meio mediante pagamentos semestrais. A taxa de juros contratada é de 24% ao ano. Construa a tabela de amortização pelo sistema Price e determine qual será o valor da 3ª parcela.

7) Uma indústria tomou emprestado R$ 2.000.000 concordando em saldar o débito em 8 pagamentos anuais postecipados a juros efetivos de 36% a.a. pela tabela Price. Determine a planilha de amortização.

2. Sistema de Amortização Constante (SAC)

O sistema de amortização constante é amplamente difundido no Brasil, sendo utilizado principalmente pelo Sistema Financeiro Habitacional, por alguns bancos comerciais em financiamentos imobiliários, além de alguns casos de empréstimos a empresas privadas por entidades governamentais.

No SAC, o valor do principal é pago em prestações com amortização iguais, por isso o nome Sistema de Amortização Constante. O valor das prestações é decrescente uma vez que os juros se reduzem com o pagamento de cada prestação.

Para calcular o valor da amortização dividimos o valor principal pelo número de prestações. Veja no exemplo.

Um produtor rural faz um empréstimo de no valor de R$ 100.000, que será amortizado em 5 prestações bimestrais à taxa de juros de 7% ao trimestre, pelo sistema de amortização constante.

Podemos iniciar construindo a tabela de amortização. No SAC, o pagamento da dívida é dado por taxas iguais, portanto: A = SD / n => 100.000 / 5 = 20.000. Os juros são calculados sobre o saldo devedor. Assim, no primeiro mês temos: j = i * SD => 0,07 * 100.000 = 7.000, no segundo 0,07 * 80.000, e assim por diante.

Mês Saldo devedor Amortização Juros Prestação

0 R$ 100.000 -- -- --

1 R$ 80.000 R$ 20.000 R$ 7.000 R$ 27.000

2 R$ 60.000 R$ 20.000 R$ 5.600 R$ 25.600

3 R$ 40.000 R$ 20.000 R$ 4.200 R$ 24.200

4 R$ 20.000 R$ 20.000 R$ 2.800 R$ 22.800

5 -- R$ 20.000 R$ 1.400 R$ 21.400

O total pago por esse empréstimo foi de R$ 112.100, o que representa juros de R$ 12.100.


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Atividade 12

1) Um empresário realiza um empréstimo no valor de R$ 50.000,00 para ser devolvido em 100 prestações mensais com juros de 1% a.m. Qual será o valor das 5 primeiras prestações?

2) Um veículo no valor de R$ 30.000,00 foi adquirido em um financiamento seguindo o SAC, para ser pago em 60 prestações com taxa de juros de 1,2% a.m.. Determine o valor da 36ª prestação e quanto será pago de juros nela.

3) (Receita Federal) Um empréstimo no valor de R$ 40.000,00 foi concedido no regime de amortizações constantes e deverá ser quitado em 40 prestações mensais. Considerando a taxa de juros de 2% ao mês, determine os valores da amortização acumulada, dos juros, da prestação e do saldo devedor correspondente ao 21º mês.

4) (Receita Federal) Um empréstimo no valor de R$ 2.000.000 é concedido à taxa de juros compostos de 10% ao ano, a ser reembolsado em 5 anos de acordo com o SAC. Determine o valor total do financiamento após a quitação por meio da construção da planilha de dados dessa operação financeira.

jAgora que você já conhece dois sistemas de amortização diferentes, que tal compará-los? Pense em dados como valor do principal, taxa de juros e número de parcelas, e aplique-os nos dois sistemas. Observe como se comporta cada um deles.

EncerramentoNeste tema de matemática financeira você tomou conhecimento sobre o dinheiro e a sua evolução no tempo. Também viu como calcular os juros em empréstimos, financiamentos ou sempre que houver algum tipo de taxa, assim como, aprendeu diferentes formas de descontar um título e conheceu algumas séries de pagamento. Por fim, viu ainda dois sistemas de amortização, a tabela PRICE e o SAC. No próximo tema, trataremos da estatística, um conteúdo essencial para o planejamento, a pesquisa e a tomada de decisão de um técnico em agronegócio.

03Estatística


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Tema 3: EstatísticaA estatística é uma ciência com raízes na história do homem. Sua origem está relacionada à necessidade de se manterem registros sobre a população, suas características e os negócios do Estado (daí o nome “estatística”). Diversos povos tinham o hábito de registrar a população, os nascimentos, os óbitos, as riquezas pessoais, as terras, os impostos etc. Na Idade Média, colhiam-se informações geralmente com finalidades tributárias ou bélicas. A partir do século XVI, de uma maneira mais sistemática, começaram a surgir as primeiras tabelas e os primeiros números relativos associados a fatos sociais. No século XVIII, o estudo foi adquirindo feições verdadeiramente científicas, e Godofredo Achenwall definiu efetivamente seus objetivos relacionando a estatística com as demais ciências. Hoje, ela é essencial para organizar as informações com as quais lidamos todos os dias.

A estatística fornece as ferramentas para coletar, organizar, resumir,

analisar e apresentar dados, bem como tratar de parâmetros extraídos

da população, tais como média ou desvio-padrão (CRESPO, 2002).

Por meio da estatística, é possível extrair informações de um conjunto de dados, os quais muitas vezes seriam incompletos isoladamente. A partir das informações, podemos encontrar algo útil sobre um problema, obtendo uma melhor compreensão da situação representada.

d


Este tema foi elaborado para que você pudesse desenvolver as seguintes competências:

• entender e aplicar os conceitos básicos de estatística;

• conhecer e calcular as medidas de tendência central e as medidas de dispersão;

• resolver situação-problema que envolva conhecimentos de estatística e probabilidade;

• utilizar conhecimentos de estatística e probabilidade como recurso para a construção de argumentação.


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Fonte: Shutterstock

Tópico 1: Conceitos da EstatísticaCrespo (2002), um dos principais autores de livros sobre estatística no Brasil, define os seguintes conceitos básicos:

Fenômeno estatístico

É qualquer evento que se pretenda analisar no qual seja possível aplicar o método estatístico. São divididos em três grupos:

• fenômenos de massa ou coletivos: são aqueles que não podem ser definidos por uma simples observação;

• fenômenos individuais: são aqueles que irão compor os fenômenos de massa;

• fenômenos de multidão: quando as características observadas para a massa não se verificam para o particular.

Dado estatístico

É um dado numérico e considerado a matéria-prima sobre a qual aplicamos os métodos estatísticos.


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População

É o conjunto total de elementos portadores de, pelo menos, uma característica comum.

Amostra

É uma parcela representativa da população que é examinada com o propósito de tirarmos conclusões sobre essa população.

Parâmetros

São valores singulares que existem na população e que servem para caracterizá-la. Para definirmos um parâmetro, devemos examinar toda a população.

Estimativa

É um valor aproximado do parâmetro e é calculado com o uso da amostra.

Atributo

Quando os dados estatísticos apresentam um caráter qualitativo, o levantamento e os estudos necessários ao tratamento desses dados são designados genericamente de “estatística de atributo”.

Estimativa

São, convencionalmente, o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno. Elas podem ser:

• variável qualitativa: quando seus valores são expressos por atributos;

• variável quantitativa: quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica. Divide-se em:

• variável discreta ou descontínua: seus valores são expressos geralmente por meio de números inteiros não negativos. Resulta, normalmente, de contagens. Por exemplo, o número de alunos presentes;

• variável contínua: resulta, normalmente, de uma mensuração. Por exemplo, em um termômetro.

Tópico 2: Coleta de DadosA escolha da fonte de obtenção dos dados está diretamente relacionada a tipo do problema, objetivos do trabalho, escala de atuação e disponibilidade de tempo e recursos (CRESPO, 2002). Existem dois tipos de fontes: as primárias e as secundárias.


82 Fontes primárias (coleta direta)

São o levantamento direto no campo por meio de mensurações diretas, de entrevistas ou de questionários aplicados a sujeitos de interesse para a pesquisa. Suas principais vantagens são: grau de detalhamento com respeito ao interesse dos quesitos levantados e maior precisão das informações obtidas..

Fontes secundárias

(coleta indireta)

Ocorrem quando os dados são publicados ou registrados por outra organização. Sua principal vantagem é a redução e agregação de informações.

Existem três formas de coleta direta:

• contínua: quando os dados são obtidos ininterruptamente, automaticamente e na vigência de um determinado período: um ano, por exemplo. É o caso dos registros de casamento, óbito, nascimento e construções civis;

• periódica: quando feita em intervalos constantes de tempo, como o recenseamento demográfico a cada dez anos;

• ocasional: quando os dados são colhidos esporadicamente, atendendo a uma conjuntura qualquer ou a uma emergência, como, por exemplo, um surto epidêmico.

1. O Instrumento de Coleta

Um dos meios mais comuns para a pesquisa estatística é a realização de questionários. Na elaboração de um instrumento de pesquisa, seja ele um questionário ou qualquer outro, é importante que uma pequena parcela dos respondentes seja consultada com o intuito de testar o instrumento, a boa aceitação e a iniciativa das respostas. Essa atividade, chamada de “pesquisa piloto”, determina a necessidade de alterações e o tempo de realização da pesquisa oficial.

'Existem três formas básicas para se apresentarem os resultados de um estudo: tabelas, quadros e gráficos. Acesse o AVA e veja alguns exemplos.

Tópico 3: Séries EstatísticasSérie estatística é todo tipo de tabela que apresenta um conjunto de dados organizados em:

1) época;

2) local;

3) espécie.

Esses elementos determinam quatro tipos fundamentais de séries estatísticas:


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Séries Temporais ou Cronológicas

São aquelas nas quais os dados são reunidos segundo o tempo, que varia, permanecendo fixos o local e a espécie. Por exemplo:

Produção de soja – Brasil 2010-2013

Anos Quantidade (em milhões de toneladas)

2010 69,0

2011 75,3

2012 66,5

2013 82,0

Fonte: USDA (nov./2013).

Séries Geográficas

São aquelas nas quais os dados são reunidos segundo o local, que varia, permanecendo fixos o tempo e a espécie. Por exemplo:

Estimativa da produção de soja para os maiores produtores mundiais em 2014

Países Quantidade (em milhões de toneladas)

EUA 88,6

Brasil 88,0

Argentina 53,5

Outros 53,4


Séries Específicas

São aquelas nas quais os dados são reunidos segundo a espécie, que varia, permanecendo fixos o tempo e o local.

Estimativa da safra dos principais cultivares brasileiros para 2014

Produtos Quantidade (em milhões de toneladas)

Arroz 11,8

Feijão 2,8

Milho 81,5

Soja 81,5

Trigo 5,5

Fonte: CONAB (dez./2013).


84Séries Compostas ou Mistas

São a combinação de dois ou mais elementos fundamentais de séries estatísticas.

Produção, area e produtividade de soja no mundo – safras de 2009-10 a 2012-13

SafraÁrea

(milhões de Ha)Produção

(milhões de t)Produtividade

(kg/ha)

2009-10 102,25 260,4 2.547

2010-11 103,18 263,9 2.558

2011-12 102,93 239,1 2.323

2012-13 108,69 267,9 2.465


Tópico 4: Medidas de Tendência CentralVamos conhecer, agora, as duas principais medidas estatísticas: de tendência central e de dispersão. As medidas de tendência central mostram um valor representativo em torno do qual os dados tendem a se agrupar com maior ou menor frequência. São utilizadas para sintetizar em um único número o conjunto de dados observados. Já as medidas de dispersão mostram o grau de afastamento dos valores observados em relação àquele valor representativo (veremos estas medidas no Tópico 5).

1. Média Aritmética Simples

A mais comum das medidas de tendência central é a média aritmética simples. Ela pode ser obtida somando-se todos os valores e dividindo a soma total pelo número de valores. Por exemplo, para saber a média das idades de 7 trabalhadores com 54, 30, 43, 27, 37, 37 e 24 anos, devemos somar todos os valores (54 + 30 + 43 + 27 + 37 + 37 + 24 = 252) e dividir pelo total de trabalhadores (252 / 7 = 36). Assim, temos que a idade média dos trabalhadores é 36 anos.

2. Mediana

A mediana é um valor central de um conjunto de valores ordenados (crescente ou decrescente). É a medida que divide esse conjunto em duas partes iguais. Para saber o elemento mediano, basta organizar os valores em ordem. Se a quantidade de valores for ímpar, a mediana será exatamente o valor central. Se o número de valores for par, deve-se fazer uma média aritmética entre os dois elementos centrais. Por exemplo, no caso das idades dos 7 trabalhadores, se colocarmos os valores em ordem, teremos:

24 27 30 37 37 43 54

ꜛelemento central


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Logo, a mediana, nesse caso, é 37. Se tivéssemos apenas 6 números, excluindo, por exemplo, o 54, teríamos que fazer a média entre os elementos centrais:

24 27 30 37 37 43

ꜛ30 + 37 / 2 = 33,5

3. Moda

Moda é o valor mais frequente da distribuição. Para identificar a moda, basta observar o elemento que mais se repete. No exemplo das idades, observamos que a moda é 37.

24 27 30 37 37 43 54

Para praticar a identificação das medidas de tendência central, resolva as questões da atividade a seguir.

Atividade 1

1) (FALCO e MEDEIROS JR., 2012) Para os dados brutos que representam a safra em alqueires, por árvore, para um conjunto de 40 pessegueiros: 11,1; 12,5; 32,4; 7,8; 21,0; 16,4; 11,2; 22,3; 4,4; 6,1; 27,5; 32,8; 18,5; 16,4; 15,1; 6,0; 10,7; 15,8; 25,0; 18,2; 12,2; 12,6; 4,7; 23,5; 14,8; 22,6; 16,0; 19,1; 7,4; 9,2; 10,0; 26,2; 3,5; 16,2; 14,5; 3,2; 8,1; 12,9; 19,1; 13,7, calcule as medidas pedidas a seguir:

a) média aritmética;

b) mediana;

c) moda.

2) (FALCO e MEDEIROS JR., 2012) Considere os seguintes dados relativos ao número de acidentes diários em um grande estacionamento durante um período de 50 dias. 0; 0; 0; 1; 1; 2; 2; 2; 2; 2; 3; 3; 3; 3; 3; 3; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 4; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 5; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 6; 7; 7; 7; 7; 7; 7; 8; 8; 8; 8; 9 e encontre as medidas de tendência central.

3) Suponha que os tempos de vida útil de 10 aparelhos de biossensoriamento sejam: 10; 29; 26; 28; 15; 23; 17; 25; 0; 20. Qual é a média de vida útil desses aparelhos?

4) As idades de 11 alunos de uma turma de matemática são respectivamente iguais a: 18; 18; 19; 20; 21; 21; 21; 22; 30; 45; 70. Quais são a mediana e a moda dos dados?


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5) (ENEM/2011) A participação dos estudantes na Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas Públicas (OBMEP) aumenta a cada ano. O quadro indica o percentual de medalhistas de ouro, por região, nas edições da OBMEP de 2005 a 2009:

Região 2005 2006 2007 2008 2009

Norte 2% 2% 1% 2% 1%

Nordeste 18% 19% 21% 15% 19%

Centro-Oeste 5% 6% 7% 8% 9%

Sudeste 55% 61% 58% 66% 60%

Sul 21% 12% 13% 9% 11%

Em relação às edições de 2005 a 2009 da OBMEP, qual é o percentual médio de medalhistas de ouro da região Nordeste?

a) 14,6%

b) 18,2%

c) 18,4%

d) 19,0%

e) 21,0%

6) (FALCO e MEDEIROS JR., 2012) Os salários por hora de sete funcionários de uma companhia são: R$ 180,00, R$ 220,00, R$ 253,00, R$ 220,00, R$ 192,00, R$ 1.200,00 e R$ 750,00. Determine a média, a moda e a mediana. O que você pode observar a partir dos resultados?

7) A pulsação de 10 estudantes após exercícios físicos foram as seguintes (em batimentos por minuto): 80; 91; 84; 86; 80; 89; 85 e 86. Determine a média, a moda e a mediana.

Tópico 5: Medidas de DispersãoAs medidas de dispersão servem para verificar o quanto os valores estão agrupados em torno das medidas de tendência central (principalmente a média), bem como a representatividade que possui a média no conjunto de dados.

1. Amplitude Total

É a diferença entre o maior e o menor valor da série (R = xmax - xmin). A utilização da amplitude total como medida de dispersão é muito limitada, pois é uma medida que depende apenas dos valores extremos.


87

2. Desvio Médio

O desvio médio apresenta quanto os valores variam no entorno da média, o quanto eles estão “afastados” da média. Para isso, somam-se todos os desvios e divide-se esse valor pelo total de elementos, conforme apresenta a expressão:

dm = n

∑ xi - x

No exemplo das idades 24, 27, 30, 37, 37, 43 e 54, o desvio de 54 para a média, que é 36, dá 18. Se calcularmos todos os desvios e fizermos a média desses valores, chegaremos ao desvio médio de 7,71.

3. Variância

A variância é a média aritmética dos quadrados dos desvios. É dada por:

σ² = n

∑ (xi - x)² �i

O símbolo σ2 indica variância e lê-se “sigma ao quadrado”, e é a média da população. Assim, para saber a variância das idades dos 7 trabalhadores, fazemos:

σ² = (24 - 36)2 + (27 - 36)2 + (30 - 36)2 + (37 - 36)2 + (37 - 36)2 + (43 - 36)2 + (54 - 36)2

7

σ² = 636

7

σ² = 90,85

4. Desvio-padrão

O desvio-padrão é a raiz quadrada da variância. Assim, o desvio-padrão populacional será:

σ = √ σ²

Logo, o desvio-padrão das idades do nosso exemplo é √ 90,85 = 9,53 .

5. Coeficiente de Variação

Por fim, para encerrarmos as medidas de dispersão, vamos ver o coeficiente de variação. Ele fornece a variação dos dados obtidos em relação à média. Quanto menor for o seu valor, mais homogêneos serão os dados. O coeficiente de variação é considerado baixo (apontando um conjunto de dados bem homogêneos) quando é menor ou igual a 25%.

Ele é dado pela fórmula: Cv = xσ

O coeficiente de variação das idades que utilizamos de exemplo até agora é de 0,26 ou 26%.


88

Atividade 2

1) Para os dados brutos que representam a safra em alqueires, por árvore, para um conjunto de 40 pessegueiros: 11,1; 12,5; 32,4; 7,8; 21,0; 16,4; 11,2; 22,3; 4,4; 6,1; 27,5; 32,8; 18,5; 16,4; 15,1; 6,0; 10,7; 15,8; 25,0; 18,2; 12,2; 12,6; 4,7; 23,5; 14,8; 22,6; 16,0; 19,1; 7,4; 9,2; 10,0; 26,2; 3,5; 16,2; 14,5; 3,2; 8,1; 12,9; 19,1; 13,7, calcule as medidas pedidas a seguir:

a) desvio médio;

b) variância;

c) desvio-padrão;

d) coeficiente de variação.

2) Suponha que os tempos de vida útil de 10 aparelhos de biossensoriamento sejam: 10; 29; 26; 28; 15; 23; 17; 25; 0; 20. Qual é a desvio-padrão da vida útil desses aparelhos?

3) As idades de 11 alunos de uma turma de matemática são respectivamente iguais a: 18; 18; 19; 20; 21; 21; 21; 22; 30; 45; 70. Quais são o desvio-padrão e o coeficiente de variação?

4) Os salários por hora de sete funcionários de uma companhia são: R$ 180,00, R$ 220,00, R$ 253,00, R$ 220,00, R$ 192,00, R$ 1.200,00 e R$ 750,00. Determine a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação, e interprete os resultados.

5) A pulsação de 10 estudantes após exercícios físicos foram as seguintes (em batimentos por minuto): 80, 91, 84, 86, 80, 89, 85 e 86. Determine a variância, o desvio-padrão e o coeficiente de variação, e interprete os resultados.

6) Os dados abaixo se referem a uma amostra de produção de peixes de um produtor durante o ano de 2014: 60; 58; 80; 78; 95; 56; 67; 59; 90; 100; 51 e 75. Com base nesses dados, determine:

a) a amplitude total;

b) a variância;

c) o desvio-padrão;

d) o coeficiente de variação.

Tópico 6: ProbabilidadeA probabilidade, no geral, está relacionada a um tipo de fenômeno em que só é possível determinar o seu resultado após o acontecimento. O exemplo mais comum é o lançamento de uma moeda. Por mais que saibamos que em uma moeda possa sair ou “cara” ou “coroa”, até que a moeda pare não podemos afirmar qual será. Esse tipo de fenômeno é chamado de “fenômeno aleatório”. São exemplos de fenômenos aleatórios:

• lançamento de um dado;


89

• número de peças defeituosas fabricadas por uma máquina;

• resultado de um jogo de roleta;

• resultado de uma extração da Mega-Sena;

• número de chamadas telefônicas que serão efetuadas em uma cidade no Dia das Mães.

Como não sabemos o resultado exato de um fenômeno desse tipo, buscamos “chances” analisando as probabilidades de um evento ocorrer.

Para estudar a probabilidade, é importante ter claros os seguintes conceitos:

• espaço amostral: é o conjunto formado por todos os resultados possíveis de um fenômeno aleatório. É simbolizado pela letra grega ômega (Ω);

• evento: é qualquer subconjunto de um espaço amostral. É simbolizado por uma letra maiúscula do nosso alfabeto.

A probabilidade de ocorrer um desses resultados ou um conjunto de resultados que satisfaçam uma condição ou exigência E é representada por p(E) e calculada por:

p(E) = número de eventos favoráveis a Enúmero total de eventos Ω

Por exemplo, no lançamento de um dado, qual é a probabilidade de o resultado ser um número par?

O total de resultados de um dado são seis números Ω=(1;2;3;4;5;6) e, destes, são resultados favoráveis os números pares E=(2;4;6). Generalizando, p(E)=(nº resultados E)/(nº total de resultados Ω)=3/6=0,5.

Assim, a probabilidade de sair um número par em um dado será de 50%.

Agora, imagine que em um grupo de jovens estudantes a probabilidade de que um desses jovens, escolhido ao acaso, tenha média acima de 7,0 é de 1/5. Nesse mesmo grupo, a probabilidade de que um jovem saiba jogar futebol é de 5/6. Qual é a probabilidade de escolhermos um jovem (ao acaso) que tenha média maior que 7,0 e saiba jogar futebol?

O fato de ter média maior que 7,0 não depende do fato de saber jogar futebol, e vice-versa. Quando isso ocorre, dizemos que os eventos são independentes. Considere, então, os eventos:

A: ter média acima de 7,0;

B: saber jogar futebol;

A e B: ter média acima de 7,0 e saber jogar futebol.

Como queremos calcular P(A e B), pense o seguinte: de todos os jovens, 1/5 tem média acima de 7,0 e 5/6 sabem jogar futebol. Ora, 5/6 de 1/5, ou seja, 5/6 × 1/5 = 1/6 sabe jogar futebol e tem média acima de 7,0. Portanto, P(A e B)=1/6.


90

Repare que, para encontrarmos P(A e B), efetuamos P(A) × P(B). Então, concluímos que, quando A e B são eventos independentes (não têm “nada a ver” um com o outro), P(A e B) = P(A) × P(B).

d


Quando A e B são eventos dependentes, a probabilidade de ocorrência de A e B é calculada por: P(A e B)=P(A)*P(B/A), onde P(B/A) é a probabilidade de B, dado que A já ocorreu. Acesse o AVA e veja um vídeo sobre o assunto!

Atividade 3

Hora de exercitar! Resolva as questões a seguir sobre probabilidade.

1) Em cidades do interior do Brasil, apesar de serem pequenas, os moradores possuem acesso a algumas comodidades, e a probabilidade de escolhermos ao acaso um morador e ele possuir aparelho de televisão em casa é de 11/12, enquanto que a probabilidade de esse habitante ser um comerciante é de 1/11. Se eu escolher aleatoriamente um habitante da cidade, qual será a probabilidade de que ele seja comerciante e possua televisor?

2) Uma escola abriu concurso para a contratação de professores. O concurso se divide em duas etapas: provas escritas e provas práticas, sendo que apenas os aprovados na prova escrita realizam a prática e apenas os aprovados na prática são efetivados. A probabilidade de um professor ser aprovado na prova escrita é de 3/8, e a probabilidade de ser aprovado na prova prática depois de ter passado na escrita é de 2/3. Calcule a probabilidade de um professor, escolhido ao acaso, ser contratado.

3) Uma fábrica situada em uma pequena cidade do interior possui 140 funcionários, e desses sabemos que metade prefere refrigerante, 60 preferem suco e que 40 tomam as duas bebidas sem preferência. Existem, ainda, 25 funcionários que não bebem suco nem refrigerante. Escolhendo ao acaso um dos funcionários, qual é a probabilidade de que:

a) ele beba suco e refrigerante?

b) ele beba suco ou refrigerante?

4) Utilize as informações apresentadas no exercício acima e calcule a probabilidade de que um novo funcionário escolhido ao acaso:

a) beba apenas refrigerante;

b) beba apenas suco;

c) não beba nenhum dos dois;

d) não beba refrigerante;

e) não beba suco.


91

Encerramento da Unidade CurricularVocê chegou ao fim da unidade curricular de Matemática Básica e Financeira! Sente-se mais preparado para as próximas unidades que tratarão de temas relacionados à matemática? Procure aplicar o que você aprendeu no seu dia a dia profissional e pessoal, e lembre-se de que, caso tenha ficado com alguma dúvida, pode revisar o conteúdo nas diferentes mídias ou ainda falar com o tutor desta unidade. Sucesso e até a próxima!

Referências

BásicasBUSSAB, W. O.; MORETTIN, P. A. Estatística básica. São Paulo: Saraiva, 2002.

FERREIRA, R. S. Matemática aplicada às ciências agrárias: análise de dados e modelos. Viçosa/MG: UFV, 1999.

QUILELLI, Paulo. Raciocínio Lógico Matemático. Rio de Janeiro: Ferreira, 2009.

ComplementaresCRESPO, Antonio Arnot. Estatística Fácil. 17. ed. São Paulo: Saraiva, 2002.


92Gabarito da apostila

Tema 1 | Atividade 1

1) a) 18

b) 9

c) 10

d) 122

e) 1

f) 100

g) 169

h) 9

2) a) Cada filho recebeu R$ 400.000,00.

b) O valor de cada prestação é R$ 78,00.

c) Há 106 ossos ao todo nas mãos e nos pés humanos.

d) Os dois juntos têm 104 tickets de vale-refeição.

e) Pedro ganha R$225,00 pelo trabalho.


1) a) 1

b) 32

c) 16.384

d)1

e) 13


93

2) a) 127,25

b) -635

c) -379/35

d) 100

e) 216

f) 360


1) Já está resolvida na própria apostila.

2) A razão entre as idades de João e Pedro é 2/5.

3) A razão entre o peso líquido e o peso bruto é 6/7.

4) A razão entre os gols do artilheiro e os gols do campeonato é 7/312.

5) A razão da produção brasileira de tilápias por hectare é aproximadamente 2,75.

6) A razão da produção de sacas por hectare é 97,12.

7) A menor perda foi a do vizinho.


Questão 1


2) R$ 400,00

3) A distância real entre a fazenda e a cidade é 27.000 cm.


94



2) Os números são 18 e 36.




6) A diferença positiva é 42-28=14 meses = 1 ano e 2 meses.

7) x = 8 , y = 16 e z = 56.

8) x = 48 , y = 30 e z = 12.

9) x = 108 , y = 132 e z = 180.

10) x = 450, y = 600 e z = 750. Portanto, a área que caberá ao irmão mais velho é 750 hectares.

11) x = 10.000, y = 14.000 e z = 12.000. Portanto, o homem x deve receber R$10.000,00, o homem y R$ 14.000,00 e o homem z R$12.000,00.

12) a) Não é proporção pois 13 × 11 ≠ 2 × 60.

b) É proporção pois 4 × 120 = 2 × 240.

c) É proporção pois 7 × 189 = 21 × 63.

d) Não é proporção pois 11 × 38 ≠ 6 × 66.

e) Não é proporção pois 3 × 45 ≠ 2 × 65.

13) a) x = 6

b) x = 40/3

c) x = 20

d) x = 20

e) x = 9


95



2) O produtor levará 2 horas para fazer a entrega.

3) Serão necessários 4 pedreiros.

4) O funcionário mais velho arquivou 112 documentos.

5) O técnico de 30 anos recebeu 36 microcomputadores.


1) Para percorrer 54km levarei 540 minutos ou 9 horas.

2) O tempo estimado de viagem é 1,5 hora ou 1 hora e 30 minutos.

3) Para se obter 9kg de manteiga, serão necessários 42 litros de leite.

4) Por 0,750kg desse mesmo fertilizante pagaria R$ 3,60.

5) Para colher a mesma plantação em 3 dias serão necessárias 10 máquinas.

6) Se funcionarem simultaneamente as máquinas farão o serviço em 400 minutos ou em 6 horas e 40 minutos.

7) Em 7 horas serão percorridos 532km.

8) Para percorrer 120km serão gastos 15 litros de gasolina.

9) Para limpar a área de 11.900m2 a máquina levará 7 horas.

10) O rolo de R$ 768,00 tem 48 metros de comprimento e o rolo de R$ 960,00 tem 60 metros de comprimento.

11) Os 12 peões estarão abastecidos por 15 dias.

12) Para engarrafar 4.800 litros de leite serão necessárias 9,6 horas ou 9 horas e 36 minutos.


96



2) Serão necessários 20 dias.

3) Serão necessários 9.460 kg de ração.

4) O frigorífico gastaria R$ 6.480,00.

5) Serão necessários 6 marceneiros.

6) O andarilho levará 8 dias.

7) Serão necessários 15 dias.

8) Alternativa D: será necessário aumentar a jornada de trabalho para 9 horas diárias.

9) O sistema de drenagem será construído em 1,4 meses ou 42 dias.

10) Poderão ser sustentadas 9 famílias.

11) Serão necessários 2.280kg de feno.


1) Possuo 3 moedas de um real em meu bolso.

2) Cada parcela é R$ 58,00.

3) Júlia acertou 64 questões no total, 21 questões de aritmética, e 43 de geometria. Portanto, Júlia acertou 86% das questões de geometria.

4) O salário de Pedro é R$ 5.000,00. Logo, o salário de Antônio é R$ 4.500,00.

5) O marceneiro cobrou R$ 935,25.


1) O tempo necessário para que esse relógio registre uma hora será de 66 minutos.

2) O torno produz 8 rotações por segundo, portanto, cada rotação desse torno dura 0,125 segundo.

3) 33min 48s.


97

4) O piloto diminuiu seu tempo de volta em 610 milésimos de segundo.

5) a) 3.600 segundos

b) 86.400 segundos.

c) 168 horas.

d) 225 minutos.

e) 10 anos.

f) 305 minutos.

g) 45 minutos.

h) 2.100 segundos.

i) 10.380 segundos.

j) 720 minutos.


1) A medida de cada lado do quadrado é 8 cm.

2) Cada pedaço deve ter 90 cm.

3) Para emoldurar o quebra-cabeça gastarei R$ 397,98.

4) 4 polegadas equivalem a 10,16cm.

5) a) 10,7 decâmetros

b) 2,3 quilômetros

c) 8,09 hectômetros

d) 10,5 milímetros

e) 9,89 decímetros

f) 7,95 metros


98

6) a) 1.040dam

b) 80.000dm

c) 0,09km

d) 1,003hm


1) 29.555,78 alqueires paulistas.

2) 110.000m2

3) 242 ares

4) a) 0,741m2

b) 3.500,028m2

c) 220.102m2

5) a) 48.400 m2.

b) O preço do metro quadrado é aproximadamente R$ 10,33.

c) 150.000m2

d) O preço do metro quadrado é aproximadamente R$ 6,33.

e) A razão de preço entre os sítios de Campinas e Mogi-Mirim é 1,9.


1) 86.400 litros.

2) 3.000.000 litros.

3) O volume do monumento é 12m3.

4) O volume da caixa é 8.100cm3.

5) 400 recipientes.

6) Serão necessárias 17 viagens para transportar toda a terra removida do buraco.


99


1) a) 7.000g

b) 3.500g

c) 640g

d) 780g

e) 92.300g

f) 500g

g) 5.840g

h) 60g

i) 750g

2) a) 3.000kg

b) 500kg

c) 18.100kg

d) 4.890kg

e) 4kg

f) 250kg

g) 3,75kg

h) 12,859kg

i) 400kg

3) O peso total em quilogramas é 9,13kg.

4) 375kg.

5) Uma tonelada e meia equivale a 1.500 quilogramas.

6) a) R$ 42,00.

b) R$ 63,00.

c) R$ 75,60.


100

d) R$ 100,80.

e) R$ 210,00.

f) R$ 537,60.

Tema 2 – Matemática Financeira


1) Os juros simples produzidos são R$ 4.930,56.

2) a) Os juros simples recebidos são R$ 1.000,00.

b) Os juros simples produzidos são R$ 960,00.

c) Os juros simples produzidos são R$ 714,00.

d) Os juros simples produzidos são R$ 1.134,00.

3) O montante será R$ 29.600,00.

4) O capital é R$ 5.172,41.

5) O capital é R$ 10.000,00.

6) O capital é R$ 4.242,42.

7) a) A diferença entre os juros recebidos e os juros pagos após os 120 dias é R$ 80.000,00.

b) O valor dos juros pagos aos aplicadores é R$ 160.000,00.

8) a) O capital que deverá ser aplicado é R$ 11.111,11.

b) Se o preço à vista for R$ 11.200,00, ainda vale a pena ele fazer o pagamento a prazo pois investiria um capital de R$ 11.111,11 que é inferior a R$ 11.200,00.

9) O valor aplicado no banco A deve ser R$ 14.350,55 e no banco B deve ser R$ 15.649,45.

10) O valor da taxa de juro simples é 0,0238a.m. ou 2,38%a.m.

11) O valor da taxa de juro simples é 0,0476a.m. ou 4,76%a.m.


101


1) O juro a ser pago é R$ 166,05.



4) O juro a ser pago é R$ 1.082,40.

5) O juro exato a ser pago é R$ 810,58. O juro comercial a ser pago é R$ 809,97.

6) O juro recebido é R$ 974,16.

7) O capital aplicado deverá ser R$ 32.000,00

8) A taxa de juro diária é i=0,0011. Portanto, a taxa de juro mensal é 0,0011?30=0,033=3,3%a.m.

9) O capital inicial é R$ 98.000,00.

10) Esse capital alcançará R$ 219.500,00 após 130 dias, ou seja, no dia 16 de maio do mesmo ano.

11) A data de vencimento do contrato foi no dia 135+137=272, ou seja, em 29 de setembro do mesmo ano.


1) O montante será de R$ 12.100,00.







8) Após um ano de aplicação receberei de volta R$ 18.360,00. O juro obtido nesse período foi R$ 18.360,00 – R$ 15.000,00=R$ 3.360,00.

9) a) M=7.070,00

b) M=5.530,00

c) M=4.148,53


102


1) O capital é R$ 74.218,58.

2) A taxa mensal de juros é 0,02 ou 2%.

3) Os juros auferidos no período foram de R$ 3.917,20 .

4) Ao final de 6 meses a pessoa terá um montante igual a R$ 17.625,60.

5) A taxa mensal de juros é 0,0155 ou 1,55%.


7) A taxa trimestral de juros é 0,4422 ou 44,22%.

8) O valor da taxa de juro simples é 0,25a.m. ou 25%a.m.

9) O período necessário é 11,94 meses.

10) Devo deixar meu dinheiro aplicado 28,13 meses.

11) a) M=7.440

b) i = 24%a.a.=0,24a.a. → 0,24/12 → 0,02 a.m.

c) i = 24%a.a.=0,24a.a. → 0,24/2 → 0,12 a.s.

12) O valor aplicado no banco A deve ser R$ 2.955,40 e no banco B deve ser R$ 3.044,60.



1) A taxa equivalente diária é 0,000725 ou 0,0725%.

2) A taxa equivalente anual é 0,1003 ou 10,03%.

3) a) A taxa equivalente diária é 0,0087 ou 0,87%.

b) A taxa equivalente diária é 0,0004598ou 0,04598%.

c) A taxa equivalente diária é 0,000244ou 0,0244%.


103

4) A taxa equivalente para 63 dias é 0,1754 ou 17,54%.

5) A taxa equivalente ao semestre é 0,331 ou 33,1%.

6) a) A taxa equivalente para 30 dias é 0,01531 ou 1,531%.

b) A taxa equivalente para 90 dias é 0,0466 ou 4,66%.

c) A taxa equivalente para 120 dias é 0,06265 ou 6,265%.

7) A taxa equivalente mensal é 0,04432 ou 4,43%.

8) A taxa equivalente para 22 dias é 0,0155 ou 1,55%.

9) Anual – a taxa equivalente anual é 0,8062 ou 80,62%.

Mensal – a taxa equivalente mensal é 0,0505 ou 5,05%.

10) a) A taxa equivalente para 45 dias é 0,0333 ou 3,33%.

b) A taxa equivalente para 180 dias é 0,1401 ou 14,01%.

c) A taxa equivalente para 225 dias é 0,1782 ou 17,82%.

11) Rentabilidade diária - a rentabilidade diária é 0,00087ou 0,087%.

Rentabilidade mensal - a rentabilidade mensal é 0,02645 ou 2,64%.

12) A taxa equivalente mensal é 0,0139 ou 1,39%.

13) A taxa de inflação por dia útil é 0,004318 ou 0,4318%.


1) O desconto comercial é R$ 231,00.

O valor atual do título é de R$ 9.769,00.

2) O desconto comercial é R$ 30,00.


104

3) Taxa de desconto é 0,00083 ao dia ou 0,083% a.d. = 2,5% a.m. = 30% a.a.

Taxa de Juro Efetiva – a taxa de juro efetiva é 0,0009 ao dia ou 0,09% a.d. = 2,7% a.m. = 32,4% a.a.

4) O valor nominal da duplicata era de R$ 2.473,17.

5) O título foi antecipado em um mês e meio.

6) O valor líquido creditado pelo banco é R$ 57.850,00.

7) A taxa de desconto é 0,001 ao dia ou 0,1% a.d.

8) A taxa de juro efetiva é 0,0391a.m.

9) O tempo de antecipação da nota promissória é 2,083 anos ou 25 meses.

10) O valor de face do título era de R$ 2.995,00.

11) O valor líquido recebido é R$ 926,50.

12) O valor nominal do título é R$ 10.000,00.

13) O valor nominal de cada título deve ser R$ 2.500,00.

14) A taxa de desconto é 0,03 a.m.


1) O desconto é R$ 490,28.

2) O desconto é R$ 2.708,62.

3) O desconto é R$ 7.901,34.

4) O valor atual é R$ 751,31.

5) O valor nominal do título é R$ 2.000,00.

6) O desconto é R$ 39,40.

7) O valor atual é R$ 683,02.

8) O desconto é R$ 1.580,27.


105

Tema 2| Atividade 8

1) O valor nominal comercial do novo título será R$ 950,00.

2) O valor de cada pagamento será R$ 4.505,50.

3) A taxa de desconto foi de 0,00317 ao dia ou 0,317%a.d.

4) O novo prazo para o título é 129,5 dias.

5) O valo nominal de cada novo título é R$ 1.320,40.

6) O prazo desse novo título é 7,32 bimestres.

7) O valor dos pagamentos será R$ 1.333,33.

8) O valor do saldo será de R$ 2.258,03.

9) As parcelas serão de R$ 2.465,93.

Tema 2| Atividade 9

1) O montante é igual a R$ 18.503,25.

2) O montante é igual a R$ 14.490,30.

3) A importância depositada deve ser R$ 45.728,70.

4) O valor que deve ser depositado é de R$ 1.806,17.


1) O valor das prestações será de R$ 1.770,73.


3) O valor a ser pago ao cliente é de R$ 19.023,75.

4) a) O valor da prestação 30 dias após a data da compra será de R$ 1.278,06.

b) O valor da prestação no ato da compra será de R$ 1.262,14.


6) A taxa será de 1% a.m.


106

7) O valor será de R$ 528,81.

8) O valor será de R$ 424.122,04.

9) O valor será de R$ 22.320,22.

10) O valor à vista será de R$ 21.581,56.

11) O valor será de R$ 19.292,84.

12) O valor à vista será de R$ 2.647,91.

13) É melhor João pagar à vista.

14) O valor será de R$ 44.146,51.


1) Já está feita na própria apostila.

2) a) O valor de cada prestação mensal será de R$ 18.656,71.

b) O saldo devedor final será e R$ 3.422,93.

c) Tabela de Amortização:

Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 200.000,00 - - -1 185.343,29 14.656,71 4.000 18.656,712 170.393,45 14.949,84 3.706,86 18.656,713 155.144,61 15.248,84 3.407,87 18.656,714 139.590,80 15.553,82 3.102,89 18.656,715 123.725,91 15.864,89 2.791,81 18.656,716 107.543,72 16.182,19 2.474,52 18.656,717 91.037,90 16.505,83 2.150,87 18.656,718 74.201,95 16.835,95 1.820,75 18.656,719 57.029,28 17.172,67 1.484,04 18.656,71

10 39.513,16 17.516,12 1.140,58 18.656,7111 21.646,71 17.866,45 790,26 18.656,7112 - 18.223,78 432,93 18.656,71


107

3) O saldo devedor no quinto mês será de R$ 85.375,00.

Mês Juros Amortização Prestação Saldo Devedor0 100.0001 3.500,00 2.727,00 6.227,00 97.273,002 3.405,00 2.823,00 6.227,00 94.450,003 3.306,00 2.922,00 6.227,00 91.528,004 3.203,00 3.024,00 6.227,00 88.505,005 3.098,00 3.130,00 6.227,00 85.375,00

4) Planilha do financiamento:

n Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 12.000.000.000,00 - - -1 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,002 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,003 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,004 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,005 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,006 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,007 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,008 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,009 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,00

10 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,0011 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,0012 12.000.000.000,00 - 1.700.000.000,00 1.700.000.000,0013 10.599.945.750,00 1.400.054.251,00 1.700.000.000,00 3.100.054.251,0014 9.001.585.813,00 1.598.359.937,00 1.501.694.314,00 3.100.054.251,0015 7.176.786.224,00 1.824.799.589,00 1.275.254.662,00 3.100.054.251,0016 5.093.467.277,00 2.083.318.947,00 1.016.735.304,00 3.100.054.251,0017 2.715.004.535,00 2.378.462.742,00 721.591.509,20 3.100.054.251,0018 - 2.715.419.559,00 384.634.692,5 3.100.054.251,00

5)

Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 420.000,00 - - -1 343.961,94 76.038,06 21.000,00 97.038,062 264.121,98 79.839,96 17.198,09 97.038,063 180.290,02 83.831,96 13.206,10 97.038,064 92.266,46 88.023,56 9.014,50 97.038,065 - 92.424,74 4.613,32 97.038,06

O valor final a ser pago pelo empréstimo é de R$ 550.222,31.


108

6) O valor da 3ª parcela será de R$ 44.387,98.

Semestre Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 160.000,00 - - -1 134.812,02 25.187,98 19.200,00 44.387,982 106.601,48 28.210,54 16.177,44 44.387,983 75.005,68 31.595,80 12.792,18 44.387,984 39.618,40 35.387,29 9.000,68 44.387,985 - 39.633,77 4.754,20 44.387,98

7)

Ano Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 2.000,00 - - -1 1.932,73 67,27 720,00 787,272 1.841,23 91,48 695,78 787,273 1.716,80 124,43 662,84 787,274 1.547,58 169,22 618,05 787,275 1.317,44 230,14 557,13 787,276 1.004,45 312,99 474,28 787,277 578,78 425,67 361,60 787,278 578,91 208,36 787,27


1)

Mês Saldo Devedor Amortização Juros Prestação0 50.000,00 - - -1 49.500,00 500,00 500,00 1.000,002 49.000,00 500,00 495,00 995,003 48.500,00 500,00 490,00 990,004 48.000,00 500,00 485,00 985,005 47.500,00 500,00 480,00 980,00


109

2) O valor da 36ª prestação será de R$ 650,00 e o seu juros será de R$ 150,00.

3) Amortização = 1.000,00

Juros = 400,00

Prestação = 1.400,00

Saldo devedor = 19.000,00

4) O valor total será de R$ 2.600.000,00.

Tema 3 – Estatística


1) a) Média artimética = 15,0175

b) Mediana = 14,65

c) Moda = 16,4 e 19,1

2) a) Média artimética = 4,52

b) Mediana = 4,5

c) Moda = 4

3) Média = 19,3

4) Mediana = 21

Moda = 21

5) Alternativa C.

6) Observe que a moda é igual a mediana.

7) Média = 85,125

Moda: 80 e 86


110

Mediana = 85,5


1) a) Desvio médio = 5,93

b) Variância = 57,37

c) Desvio-padrão = 7,57

d) Coeficiente de variação = 0,50

2) O desvio-padrão é 8,1.

3) Desvio-padrão = 15,32

Coeficiente de variação = 0,55

4) Variância = 133.424,2

Desvio-padrão = 363,27


Portanto, a variação dos dados é alta em relação à média, pois o coeficiente de variação é um valor alto.

5) Variância = 13,10

Desvio-padrão = 3,62


Portanto, a variação dos dados é baixa em relação à média, pois o coeficiente de variação é um valor baixo.

6) a) Amplitude total = 49

b) Variância = 276,05

c) Desvio-padrão = 16,61

d) Coeficiente de variação = 0,23


111


1) A probabilidade é 1/12.

2) A probabilidade é 1/4.

3) a) 40/115 = 8/23

b) 50/115 = 10/23

4) a) 30/115 = 6/23

b) 20/115 = 4/23

c) 25/115 = 5/23

d) 45/115 = 9/23

e) 55/115 = 11/23

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