201527 trabajo col1
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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
SISTEMAS DINAMICOS – 201527
TEMA
TRABAJO COLABORATIVO 1
PRESENTADO POR
PRESENTADO A
DIEGO FERNANDO SENDOYA
UNAD
UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA
ABRIL de 2013
INTRODUCCION
En años recientes, los sistemas de control han asumido un papel cada vez más
importante en el desarrollo y avance de la civilización moderna y la tecnología.
Los sistemas de control se encuentran en gran cantidad en todos los sectores
de la industria:
Tales como control de calidad de los productos manufacturados, líneas de
ensamble automático, control de máquinas-herramienta, tecnología espacial y
sistemas de armas, control por computadora, sistemas de transporte, sistemas
de potencia, robótica y muchos otros, el modelado matemático permite obtener
una función de transferencia que nos permiteRepresenta el comportamiento
dinámico del proceso Y nos indica cómo cambia la salida de un proceso ante
un cambio en la entrada.
Ejercicio 1: Encuentre la función de transferencia para la siguiente
ecuación diferencial:
Solución:
Aplicando la definición de la transformada de Laplace para derivadas se tiene:
Donde
Se tiene:
Por otro lado tenemos:
Igualando las expresiones:
Factorizando C(s) y R(s), se tiene:
Lo cual la función de transferencia es:
Ejercicio 2: Encuentre la respuesta rampa para un sistema cuya función de
transferencia es:
La función de transferencia obedece a la ganancia del sistema por lo qua para
obtener la respuesta al impulse solo debemos multiplicar la función de
transferencia de la planta por la función de transferencia de la entrada
Solución:
1. Tenemos que la función rampa tiene una función de transferencia
Entonces multiplicamos G(S)*R(S)
H(S) = * = =
Ahora hallamos los polos
Entonces decimos que S=0, S=-4, S=-8
Aplicamos transformada inversa mediante la expansión de fracciones parciales
Para S=0
1=A(S+8)*S+B(S+4)*S+C(S+4)(S+8)=A(0+8)*0+B(0+4)*0+C(0+4)(0+8)=A(0)+B
(0)+C(32)=C 32
C=1/32
Hacemos lo mismo para hallar B Y C reemplazando los valores arbitrarios
B=1/32
A=-1/16
Entonces nos queda de la siguiente forma:
Aplicamos formulas de transformada inversa y tenemos:
Ejercicio 3: Si es la impedancia de un condensador de y es la
impedancia de una resistencia de encuentre la función de transferencia
si estos componentes se utilizan con a) un amplificador
operacional
Inversor, y b) un amplificador operacional no inversor, como se muestra en las figuras a) y b), respectivamente.
Solución a
Como
En términos de la transformada de Laplace se tiene:
Solución b
Ejercicio 4: Encuentre la función de transferencia linealizada G(s) = V(s) ⁄ I(s),
para la red eléctrica mostrada a continuación. La red contiene una resistencia
no lineal cuya relación voltaje-corriente está dada por La fuente de
corriente i (t) es un generador de pequeña señal.
La condición de equilibrio i (t) = 0, se hacen los cálculos en base a la fuente de
corriente de 2A, par hallar un equivalente linealizado.
Podría decir que toda la corriente circulara a través de la resistencia, por lo que
se asume que los 2Amps circulan por esta resistencia no lineal:
Linealizado el voltaje, se linealiza la exponencial de la ecuación diferencial
utilizando la serie de Taylor, depreciando las derivadas superiores:
Ejercicio 5: Encuentre la representación en espacio de estados de la red
eléctrica mostrada a continuación. La salida es .
Ecuación 1:
Ecuación 2:
En la ecuación 2
En la ecuación 1
2. Actividad Práctica: La segunda actividad está compuesta de una serie de Ejercicios que deberán ser desarrollados utilizando una herramienta de software Como SCILAB o MATLAB®. El SCILAB se puede descargar de la siguiente dirección: http://www.scilab.org/ El manual del mismo se puede encontrar en: http://www.lawebdelprogramador.com/cursos/comentar.php?id=2546
Ejercicio 1: Considere las siguientes funciones de transferencia
Represente G1(S) como una división de polinomios y exprese G2(S) como un conjunto de factores del numerador (ceros) divididos entre un conjunto de factores del denominador (polos).
G1(S) = >> num=[20 380 2480 6480 5760 0]; >> den= [2 75 988 5325 9450 0 ]; >> [z,p,k] = tf2zp(num,den) z = 0 -8.0000 -6.0000 -3.0000 -2.0000 p = 0 -15.0000 -10.0000
-9.0000 -3.5000 k = 10 >> printsys(num,den); num/den = 20 s^5 + 380 s^4 + 2480 s^3 + 6480 s^2 + 5760 s ----------------------------------------------- 2 s^5 + 75 s^4 + 988 s^3 + 5325 s^2 + 9450 s >> x=deconv(num,den ) x = 10
G2(S)
>> den= [1 32 363 2092 5052 4320 0 ];
>> num=[1 17 99 223 140 0];
>> [z,p,k] = tf2zp(num,den)
z =
0
-7.0000
-5.0000
-4.0000
-1.0000
p =
0
-16.7851
-5.5591 + 5.1669i
-5.5591 - 5.1669i
-2.0483 + 0.5221i
-2.0483 - 0.5221i
k = 1
Ejercicio 2: Realice la expansión en fracciones parciales de las siguientes funciones de transferencia:
>> num=[5 10]; >> den=[1 8 15 0]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r = -1.5000 0.8333 0.6667 p = -5 -3 0 k = []
>> num=[5 10]; >> den=[1 6 9 0]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r = -1.1111 1.6667 1.1111 p = -3 -3 0 k = [] >>
>> num=[5 10]; >> den=[1 6 34 0]; >> [r,p,k]=residue(num,den) r = -0.1471 - 0.4118i -0.1471 + 0.4118i 0.2941 p = -3.0000 + 5.0000i -3.0000 - 5.0000i 0 k =
[] >>
Ejercicio 3: Encuentre la transformada de Laplace de la siguiente función:
>> syms st; >> f = 0.0075-0.00034*exp(-2.5*t)*cos(22*t)+0.087*exp(-2.5*t)*sin(22*t)-0.0072*exp(-8*t); >> F=laplace(f,t,s) F = 3/(400*s) - 9/(1250*(s + 8)) - (17*(s + 5/2))/(50000*((s + 5/2)^2 + 484)) + 957/(500*((s + 5/2)^2 + 484)) >> simplify(F) ans =
(- 8*s^3 + 394386*s^2 + 3150455*s + 5883000)/(50000*s*(s + 8)*(4*s^2 + 20*s + 1961)) >> pretty(ans) 3 2 - 8 s + 394386 s + 3150455 s + 5883000 ---------------------------------------- 2 50000 s (s + 8) (4 s + 20 s + 1961)
>> syms s; >> f=2*s^3+30*s^2+138*s+210/s^4+18*s^3+180*s^2+800*s; >> ilaplace(f) ans = 35*t^3 + 938*dirac(t, 1) + 210*dirac(t, 2) + 20*dirac(t, 3) >> pretty(ans) 3 35 t + 938 dirac(t, 1) + 210 dirac(t, 2) + 20 dirac(t, 3)
>>
Solución:
%represnetacione en espacio de estado a=[0 1 0 0 0 0 0 ((-1-1)/1) 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 ((-1-1)/1) 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 ((-1-1)/1)]
b=[0 1 0 0 0 0]
c=[0 0 0 1 0 0] d=0
sys=ss(a,b,c,d)
[num,den]=ss2tf(a,b,c,d)
ft=tf(num,den)
a = 0 1 0 0 0 0 0 -2 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 -2 0 -1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 -1 0 -2 b = 0 1 0 0 0 0 c = 0 0 0 1 0 0 d = 0 sys = a = x1 x2 x3 x4 x5 x6 x1 0 1 0 0 0 0 x2 0 -2 0 -1 0 0 x3 0 0 0 1 0 0 x4 0 -1 0 -2 0 -1 x5 0 0 0 0 0 1 x6 0 0 0 -1 0 -2 b = u1 x1 0 x2 1 x3 0
x4 0 x5 0 x6 0 c = x1 x2 x3 x4 x5 x6 y1 0 0 0 1 0 0 d = u1 y1 0 Continuous-time state-space model.
num = 0 0 -1.0000 -2.0000 0.0000 0 0 den = 1.0000 6.0000 10.0000 4.0000 0 0 0 ft = -s^4 - 2 s^3 + 4.441e-16 s^2 ---------------------------- s^6 + 6 s^5 + 10 s^4 + 4 s^3
Continuous-time transfer function.
Conclusiones
• El comportamiento dinámico de los procesos en la naturaleza puede
representarse de manera aproximada por el siguiente modelo general de
comportamiento dinámico lineal: La transformada de Laplace es una
herramienta matemática muy útil para el análisis de sistemas dinámicos
lineales.
• En el estudio de los procesos es necesario considerar modelos
dinámicos, es decir, modelos de comportamiento variable respecto al
tiempo.
• Esto trae como consecuencia el uso de ecuaciones diferenciales
respecto al tiempo para representar matemáticamente el
comportamiento de un proceso. Y es aquí donde aplicamos la
herramienta de la transformada de la place.
BIBLIOGRAFIAS
Introducción a MATLAB
www.vc.ehu.es/depsi/jg/imatlab.pdf
Tutoriales de Control para Matlab www.ib.cnea.gov.ar/~instyctl/Tutorial_Matlab_esp/conver.html