2016-03-01__hsr-baustat_3_vo_2_miv

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HSR Hochschule für Technik Rapperswil - Fakultät für BauingenieurwesenModul: Baustatik_3, FS 2016Vorlesung Nr. 2, 01.03.2016: Notizen Dozent: Prof. Dr. Ivan Markovic

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1. PRINZIP DER VIRTUELLEN VERSCHIEBUNGEN AM ELASTISCHEN

TRAGWERK

1.1. Einleitung

Beachten: Virtuelle Grössen werden mit einem Strich oben geschrieben, bspw. virtuelle Verdrehung

ist: dj !

Auf diesen einfachen Balken wirkt: wirkliche Belastung: Q, q, …

Als Folge davon, entstehen: wirkliche Schnittkräfte M, N, Q (Abb. 8.2), sowie wirkliche Durchbiegungen y i

(Abb. 8.1).

Balken ist im Gleichgewicht => auf jedem Teilchen mit Länge ds herrscht Gleichgewicht.

Wir geben dem Balken eine virtuelle Verschiebung: Punkt i wird nach i1 verschoben.

Dadurch ändern sich:

- Biegelinie des ganzen Trägers => Krümmung ändert sich um dj (Abb. 8.3)

- Schiebung ändert sich um g ds (Abb. 9.1)

- Länge ändert sich um ds (Abb. 9.2)

- Verdrehung änder sich um d j T (Abb. 9.3)


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1.2. Virtuelle Arbeit innerer Kräfte

Virtuelle Arbeit innerer Kräfte am Teilchen ds beträgt:

(- Virtuelle Arbeit innerer Kräfte = Wirkliche Schnittkraft x Virtuelle Verschiebung)

Beachten: Virtuelle Arbeit innerer Kräfte ist per Definition negativ! => siehe dazu Vorlesung 1,

Beispiel mit der Feder!

Die gesamte virtuelle Arbeit am ganzen Träger beträgt:

= virtuelle Formänderungs-Arbeit der wirklichen Schnittkräfte bei einer virtuellen Verschiebung.

1.3. Virtuelle Arbeit äusserer Kräfte

Virtuelle Arbeit äusserer Kräfte = (Wirkliche äussere Kräfte F, M, MT) x (virtuelle Verschiebungen d, j, jT)

1.4. Gesamte virtuelle Arbeit

Fazit : VIRTUELLE ARBEIT = WIRKLICHE KRÄFTE x VIRTUELLE VERSCHIEBUNGEN

1.5. Praktische Anwendung

a) Gesucht wird: Reaktion oder Schnittkraft

b) Hilfsgrösse: Virtuelle Verschiebung für Kräfte bzw. virtuelle Verdrehung für Momente, dort, wo die

Kraft / das Moment unbekannt ist

c) Durch Angabe der virtuellen Verschiebung entsteht Mechanismus

d) Unbekannte Reaktion bzw. Schnittkraft wird aus Wa + Wi = Aa + Ai = 0 berechnet. Dabei sind u.a.

geometrische Bedingungen im Mechanismus zu beachten.


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2. PRINZIP DER VIRTUELLEN BELASTUNGEN AM ELASTISCHEN TRAGWERK2.1. Einleitung

Gemäss Prinzip der virtuellen Verschiebungen gilt:

VIRTUELLE ARBEIT = WIRKLICHE KRÄFTE x VIRTUELLE VERSCHIEBUNGEN

Analog gil t:

VIRTUELLE ARBEIT = VIRTUELLE KRÄFTE x WIRKLICHE VERSCHIEBUNGEN

Gesamte virtuelle Arbeit:

Das ist das Prinzip der virtuellen Belastungen bzw. der virtuellen Kräfte.

W i : Arbeit der virtuellen Schnittgrössen (= inneren Kräfte) bei der Entstehung wirklicher Formänderungen.

W a : Arbeit der virtuellen äusseren Kräfte auf wirklichen Verschiebungen.

Es gilt: W a + W i = A a + A i = 0.


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2.2. Ersatz der Formänderungen durch Schnittgrössen

Es gilt:

Formänderungen dj, g ds, , djT können wir mit entsprechenden Schnittkräften ersetzten (siehe dazu

Vorlesung 1) , dies ergibt:

2.3. Praktische Anwendung

Falls nur eine einzige virtuelle Kraft F = 1 auf das System wirkt, gilt:

Darin ist:

F : wirkliche Verschiebung des Angriffspunktes der virtuellen Kraft F = 1 in Richtung dieser Kraft infolge

wirklichen Belastung, welche die wirklichen Schnittkräfte M, Q, N und MT verursacht

M, Q, N und MT sind die virtuellen Schnittkräfte, welche die virtuelle Kraft F = 1 verursacht.

Falls nur ein einziges virtuelles Moment M = 1 auf das System wirkt, gilt

Bemerkungen:

- Anteil der Querkraft kann vernachlässigt werden!

- Anteil der Normalkraft (ausser bei Systemen die Zugglieder mit kleinen QS-Flächen enthalten) kann

vernachlässigt werden!

Es bleibt also in allen Fällen wo MT = 0 nur:

bzw. .


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