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Cálculo Aplicado I
Humberto José Bortolossi
Departamento de Matemática Aplicada
Universidade Federal Fluminense
Parte 17
5 de julho de 2013
Parte 17 Cálculo Aplicado I 1
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Limites
Parte 17 Cálculo Aplicado I 2
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Limites
limx→4
x + 1x − 2
=52.
Se limx→p
f (x) = 5 e limx→p
g(x) = 2, então limx→p
f (x)g(x)
=52
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 3
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Limites
limx→4
x + 1x − 2
=52.
Se limx→p
f (x) = 5 e limx→p
g(x) = 2, então limx→p
f (x)g(x)
=52
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 4
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Limites
limx→4
x + 1x − 2
=52.
Se limx→p
f (x) = 5 e limx→p
g(x) = 2, então limx→p
f (x)g(x)
=52
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 5
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Limites
limx→2+
x + 1x − 2
= +∞.
Se limx→p+
f (x) = L > 0 e limx→p+
g(x) = 0+, então limx→p+
f (x)g(x)
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 6
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Limites
limx→2+
x + 1x − 2
= +∞.
Se limx→p+
f (x) = L > 0 e limx→p+
g(x) = 0+, então limx→p+
f (x)g(x)
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 7
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Limites
limx→2+
x + 1x − 2
= +∞.
Se limx→p+
f (x) = L > 0 e limx→p+
g(x) = 0+, então limx→p+
f (x)g(x)
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 8
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Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 9
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Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 10
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Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 11
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Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 12
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Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 13
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Limites indeterminados (a priori)
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
(indeterminação a priori)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 14
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 15
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 16
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x + 1x − 2
= limx→+∞
x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
1 +1x
1− 2x
= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 17
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
7 x + 1x − 2
= limx→+∞
7 x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
7 +1x
1− 2x
= 7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 18
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
7 x + 1x − 2
= limx→+∞
7 x + 1x
x − 2x
= limx→+∞
7 +1x
1− 2x
= 7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 19
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x2 + 1x − 2
= limx→+∞
x2 + 1x
x − 2x
= limx→+∞
x +1x
1− 2x
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 20
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→+∞
f (x) = +∞ e limx→+∞
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→+∞
x2 + 1x − 2
= limx→+∞
x2 + 1x
x − 2x
= limx→+∞
x +1x
1− 2x
= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 21
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 22
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 23
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 24
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x
= 1. (limite fundamental)
Parte 17 Cálculo Aplicado I 25
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(2 x)x
= limx→0
[2
sen(2 x)2 x
]= 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 26
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(2 x)x
= limx→0
[2
sen(2 x)2 x
]= 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 27
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(2 x)x
= limx→0
[2
sen(2 x)2 x
]= 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 28
![Page 29: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/29.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x3 = lim
x→0
[sen(x)
x· 1
x2
]= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 29
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x3 = lim
x→0
[sen(x)
x· 1
x2
]= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 30
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x)
= ? .
limx→0
sen(x)x3 = lim
x→0
[sen(x)
x· 1
x2
]= +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 31
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 32
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 33
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 34
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→+∞
[(x + 7)− (x − 5)] = limx→+∞
12 = 12.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 35
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x2 − x
]= lim
x→∞x · (x − 1) = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 36
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x2 − x
]= lim
x→∞x · (x − 1) = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 37
![Page 38: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/38.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x2 − x
]= lim
x→∞x · (x − 1) = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 38
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x − x2
]= lim
x→∞x · (1− x) = −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 39
![Page 40: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/40.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x − x2
]= lim
x→∞x · (1− x) = −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 40
![Page 41: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/41.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x)− g(x)] = ? .
limx→∞
[x − x2
]= lim
x→∞x · (1− x) = −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 41
![Page 42: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/42.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 42
![Page 43: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/43.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 43
![Page 44: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/44.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 44
![Page 45: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/45.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x]= lim
x→∞1 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 45
![Page 46: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/46.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[2x· x]= lim
x→∞2 = 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 46
![Page 47: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/47.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[2x· x]= lim
x→∞2 = 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 47
![Page 48: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/48.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[2x· x]= lim
x→∞2 = 2.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 48
![Page 49: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/49.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x2]= lim
x→∞x = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 49
![Page 50: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/50.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x2]= lim
x→∞x = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 50
![Page 51: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/51.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
[f (x) · g(x)] = ? .
limx→∞
[1x· x2]= lim
x→∞x = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 51
![Page 52: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/52.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
1x
)x
= e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 52
![Page 53: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/53.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
1x
)x
= e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 53
![Page 54: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/54.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
1x
)x
= e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 54
![Page 55: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/55.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u
= limu→∞
[(1 +
1u
)u]7
= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 55
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u
= limu→∞
[(1 +
1u
)u]7
= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 56
![Page 57: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/57.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u
= limu→∞
[(1 +
1u
)u]7
= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 57
![Page 58: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/58.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 1 e limx→p
g(x) = +∞, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→∞
(1 +
7x
)x(x=7 u)= lim
u→∞
(1 +
77 u
)7 u
= limu→∞
[(1 +
1u
)u]7
= e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 58
![Page 59: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/59.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2
= limx→0
1
e1
x2 ·x2= lim
x→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 59
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2
= limx→0
1
e1
x2 ·x2= lim
x→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 60
![Page 61: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/61.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2
= limx→0
1
e1
x2 ·x2= lim
x→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 61
![Page 62: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/62.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2
= limx→0
1
e1
x2 ·x2= lim
x→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 62
![Page 63: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/63.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x2
)x2
= limx→0
1
e1
x2 ·x2= lim
x→0
1e=
1e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 63
![Page 64: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/64.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2
= limx→0
1
e7
x2 ·x2= lim
x→0
1e7 =
1e7 .
Parte 17 Cálculo Aplicado I 64
![Page 65: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/65.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2
= limx→0
1
e7
x2 ·x2= lim
x→0
1e7 =
1e7 .
Parte 17 Cálculo Aplicado I 65
![Page 66: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/66.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2
= limx→0
1
e7
x2 ·x2= lim
x→0
1e7 =
1e7 .
Parte 17 Cálculo Aplicado I 66
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e7
x2
)x2
= limx→0
1
e7
x2 ·x2= lim
x→0
1e7 =
1e7 .
Parte 17 Cálculo Aplicado I 67
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2
= limx→0
1
e1
x4 ·(−x2)= lim
x→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 68
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2
= limx→0
1
e1
x4 ·(−x2)= lim
x→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 69
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2
= limx→0
1
e1
x4 ·(−x2)= lim
x→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 70
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2
= limx→0
1
e1
x4 ·(−x2)= lim
x→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 71
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(1
e1
x4
)−x2
= limx→0
1
e1
x4 ·(−x2)= lim
x→0
1
e−1
x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 72
![Page 73: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/73.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2 ·x2= lim
x→0e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 73
![Page 74: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/74.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2 ·x2= lim
x→0e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 74
![Page 75: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/75.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2 ·x2= lim
x→0e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 75
![Page 76: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/76.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2 ·x2= lim
x→0e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 76
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x2)x2
= limx→0
e1
x2 ·x2= lim
x→0e1 = e.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 77
![Page 78: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/78.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2 ·x2= lim
x→0e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 78
![Page 79: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/79.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2 ·x2= lim
x→0e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 79
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2 ·x2= lim
x→0e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 80
![Page 81: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/81.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
7x2)x2
= limx→0
e7
x2 ·x2= lim
x→0e7 = e7.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 81
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Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4 ·x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 82
![Page 83: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/83.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4 ·x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 83
![Page 84: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/84.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4 ·x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 84
![Page 85: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/85.jpg)
Limites indeterminados (a priori)
Se limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = 0, então limx→p
f (x)g(x) = ? .
limx→0
(e
1x4)x2
= limx→0
e1
x4 ·x2= lim
x→0e
1x2 = +∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 85
![Page 86: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/86.jpg)
A regra de L’Hôpital
Parte 17 Cálculo Aplicado I 86
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A regra de L’Hôpital
Suponha que f e g sejam funções diferenciáveis (deriváveis)e que g′(x) 6= 0 em uma vizinhança do ponto p. Suponhatambém que
limx→p
f (x) = 0 e limx→p
g(x) = 0
ou que
limx→p
f (x) = +∞ (ou −∞) e limx→p
g(x) = +∞ (ou −∞).
Então
limx→p
f (x)g(x)
= limx→p
f ′(x)g′(x)
se o limite do lado direito existir (ou se ele é −∞ ou +∞).
Teorema
Parte 17 Cálculo Aplicado I 87
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Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 88
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Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 89
![Page 90: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/90.jpg)
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 90
![Page 91: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/91.jpg)
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 91
![Page 92: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/92.jpg)
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 92
![Page 93: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/93.jpg)
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 93
![Page 94: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/94.jpg)
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 94
![Page 95: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/95.jpg)
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 95
![Page 96: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/96.jpg)
Exemplo
Encontre limx→1
ln(x)x − 1
.
Solução. Uma vez que
limx→1
ln(x) = 0 e limx→1
(x − 1) = 0,
podemos aplicar a regra de L’Hôpital:
limx→1
ln(x)x − 1
= limx→1
ddx
[ln(x)]
ddx
[x − 1]= lim
x→1
1/x1
= limx→1
1x= 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 96
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A regra de L’Hôpital
A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igualao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,desde que as condições dadas estejam satisfeitas. É importanteverificar que as condições com respeito aos limites de f e g antes deusar a regra de L’Hôpital.
A regra de L’Hôpital também é válida para limites laterais ou para limitesno infinito, isto é, “x → p” pode ser trocado por qualquer dos símbolos aseguir: x → p+, x → p−, x → +∞, x → −∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 97
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Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 98
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Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 99
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Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 100
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Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 101
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Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 102
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Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 103
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Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 104
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Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 105
![Page 106: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/106.jpg)
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 106
![Page 107: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/107.jpg)
Exemplo
Encontre limx→∞
ex
x2 .
Solução. Temos que limx→∞ ex = ∞ e limx→∞ x2 = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x.
Uma vez que ex → ∞ e 2x → ∞ quando x → ∞, podemos aplicar a regrade L’Hôpital mais uma vez:
limx→∞
ex
x2 = limx→∞
ex
2 x= lim
x→∞
ex
2=∞.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 107
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Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 108
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Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 109
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Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 110
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Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 111
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Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 112
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Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 113
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Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 114
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Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 115
![Page 116: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/116.jpg)
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 116
![Page 117: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/117.jpg)
Exemplo
Encontre limx→∞
ln(x)3√
x.
Solução. Temos que limx→∞ ln(x) = ∞ e limx→∞3√
x = ∞. Logo, podemosaplicar a regra de L’Hôpital:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3.
Note que 1/x → 0 e x−2/3/3 → 0 quando x → ∞ mas, ao invés de aplicarnovamente a regra de L’Hôpital, vamos simplificar a expressão e calcular olimite diretamente:
limx→∞
ln(x)3√
x= lim
x→∞
1x
13
x−2/3= lim
x→∞
33√
x= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 117
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Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 118
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Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 119
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Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 120
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Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 121
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Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 122
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Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 123
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Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 124
![Page 125: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/125.jpg)
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 125
![Page 126: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/126.jpg)
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 126
![Page 127: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/127.jpg)
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 127
![Page 128: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/128.jpg)
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 128
![Page 129: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/129.jpg)
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 129
![Page 130: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/130.jpg)
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 130
![Page 131: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/131.jpg)
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 131
![Page 132: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/132.jpg)
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 132
![Page 133: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/133.jpg)
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 133
![Page 134: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/134.jpg)
Exemplo
Encontre limx→0
tg(x)− xx3 .
Solução. Temos que tg(x)− x → 0 e x3 → 0 quando x → 0. Logo, podemos aplicar a regrade L’Hôpital:
limx→0
tg(x)− xx3 = lim
x→0
sec2(x)− 13 x2 .
Note que sec2(x) − 1 → 0 e 3 x2 → 0 quando x → 0. Assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital mais uma vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
.
Mas 2 sec2(x) tg(x) → 0 e 6 x → 0 quando x → 0, assim, podemos aplicar a regra deL’Hôpital outra vez:
limx→0
sec2(x)− 13 x2 = lim
x→0
2 sec(x) sec(x) tg(x)6 x
= limx→0
2 sec2(x) tg(x)6 x
= limx→0
4 sec2(x) tg2(x) + 2 sec4(x)6
=26
=13.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 134
![Page 135: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/135.jpg)
Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 135
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Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 136
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Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 137
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Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 138
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Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 139
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Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 140
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Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 141
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Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 142
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Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 143
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Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 144
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Cuidado!
Encontre limx→π−
sen(x)1− cos(x)
.
Solução. Se tentarmos usar cegamente a regra de L’Hôpital, sem verificarsuas hipóteses, podemos obter um resultado completamente errado:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
= limx→π−
cos(x)sen(x)
= −∞.
O uso da regra de L’Hôpital está errado aqui, uma vez que 1 − cos(x) → 2−
quando x → π−. O limite pode ser calculado diretamente:
limx→π−
sen(x)1− cos(x)
=sen(π)
1− cos(π)=
01− (−1)
= 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 145
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Produtos indeterminados
Parte 17 Cálculo Aplicado I 146
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Produtos indeterminados
Para usar a regra de L’Hôpital para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x) · g(x)]
com limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = +∞ (ou −∞), basta reescrevê-lo em
limx→p
[f (x) · g(x)] = limx→p
f (x)1/g(x)
ou limx→p
[f (x) · g(x)] = limx→p
g(x)1/f (x)
.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 147
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Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 148
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Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 149
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Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 150
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Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 151
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Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 152
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Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 153
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Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 154
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Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 155
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Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 156
![Page 157: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/157.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 157
![Page 158: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/158.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(x ln(x)).
Solução. Temos que limx→0+ x = 0 e limx→0+ ln(x) = −∞. Para usar a regrade L’Hôpital, vamos reescrever o limite na forma:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
.
Note que, no limite da direita, ln(x) → −∞ e 1/x → +∞ quando x → 0+.Usando então a regra de L’Hôpital, vemos que
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
ln(x)1x
= limx→0+
1x
− 1x2
= limx→0+
(−x) = 0.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 158
![Page 159: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/159.jpg)
Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 159
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Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 160
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Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 161
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Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 162
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Observação
No exemplo anterior, também podemos reescrever o limite na forma
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
.
Mas, ao usar a regra de L’Hôpital, obtemos um limite mais complicadodo que o limite inicial:
limx→0+
(x ln(x)) = limx→0+
x1
ln(x)
= limx→0+
1
− 1x (ln(x))2
= limx→0+
(−x (ln(x))2).
Parte 17 Cálculo Aplicado I 163
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Diferenças indeterminadas
Parte 17 Cálculo Aplicado I 164
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Diferenças indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)− g(x)]
com
limx→p
f (x) = +∞ e limx→p
g(x) = +∞,
é necessário converter a diferença em um quociente(usando um denominador comum ou racionalização)
oucolocar algum fator comum em evidência.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 165
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Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 166
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Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 167
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Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 168
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Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 169
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Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 170
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Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 171
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Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 172
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Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 173
![Page 174: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/174.jpg)
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 174
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Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 175
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Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 176
![Page 177: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/177.jpg)
Exemplo
Calcule limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)].
Solução. Temos que limx→(π/2)− sec(x) = ∞ e limx→(π/2)− tg(x) = ∞. Paracalcular o limite, usaremos um denominador comum:
limx→(π/2)−
[sec(x)− tg(x)] = limx→(π/2)−
[1
cos(x)− sen(x)
cos(x)
]= lim
x→(π/2)−
1− sen(x)cos(x)
(∗)= lim
x→(π/2)−
− cos(x)− sen(x)
=−0−1
= 0.
Em (∗) usamos a regra de L’Hôpital, o que é permitido, já que 1− sen(x)→ 0e cos(x)→ 0 quando x → (π/2)−.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 177
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Potências indeterminadas
Parte 17 Cálculo Aplicado I 178
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Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 179
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Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 180
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Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 181
![Page 182: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/182.jpg)
Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 182
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Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 183
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Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 184
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Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 185
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Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 186
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Potências indeterminadas
Para estudar um limite na forma
limx→p
[f (x)]g(x)
com
1. limx→p f (x) = 0 e limx→p g(x) = 0,
2. limx→p f (x) =∞ e limx→p g(x) = 0 ou
3. limx→p f (x) = 1 e limx→p g(x) =∞ (ou −∞),
basta reescrevê-lofazendo uma mudança de base:
limx→p
[f (x)]g(x) = limx→p
eln[[f (x)]g(x)] = limx→p
eg(x)·ln[f (x)] = elimx→p[g(x)·ln[f (x)]].
Parte 17 Cálculo Aplicado I 187
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Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 188
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Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 189
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Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 190
![Page 191: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/191.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 191
![Page 192: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/192.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 192
![Page 193: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/193.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 193
![Page 194: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/194.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 194
![Page 195: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/195.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 195
![Page 196: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/196.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 196
![Page 197: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/197.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 197
![Page 198: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/198.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 198
![Page 199: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/199.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 199
![Page 200: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/200.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 200
![Page 201: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/201.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
xx .
Solução. Temos que limx→0+ x = 0. Para calcular o limite, faremos umamudança de base:
limx→0+
xx = limx→0+
eln[xx ] = limx→0+
ex ·ln(x) = elimx→0+ [x ·ln(x)].
Agora, para calcular, limx→0+ [x · ln(x)] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[x · ln(x)] = limx→0+
ln(x)1/x
= limx→0+
1/x−1/x2 = lim
x→0+(−x) = 0.
Assim,lim
x→0+xx = elimx→0+ [x ·ln(x)] = e0 = 1.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 201
![Page 202: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/202.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 202
![Page 203: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/203.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 203
![Page 204: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/204.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 204
![Page 205: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/205.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 205
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Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 206
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Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 207
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Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 208
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Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 209
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Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 210
![Page 211: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/211.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 211
![Page 212: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/212.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 212
![Page 213: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/213.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 213
![Page 214: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/214.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 214
![Page 215: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/215.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 215
![Page 216: · 2017-10-04 · A regra de L’Hôpital A regra de L’Hôpital diz que o limite de uma função quociente é igual ao limite do quociente das derivadas do numerador e do denominador,](https://reader033.vdocuments.pub/reader033/viewer/2022041620/5e3e86fcc2555069b7126baf/html5/thumbnails/216.jpg)
Exemplo
Calcule limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x).
Solução. Temos que limx→0+(1+sen(4 x)) = 1 e limx→0+ cotg(x) =∞. Para calcular o limite,faremos uma mudança de base:
limx→0+
(1 + sen(4 x))cotg(x) = limx→0+
eln[(1+sen(4 x))cotg(x)]
= limx→0+
ecotg(x)·ln(1+sen(4 x))
= elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))].
Agora, para calcular, limx→0+ [cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] usaremos a regra de L’Hôpital:
limx→0+
[cotg(x) · ln(1 + sen(4 x))] = limx→0+
ln(1 + sen(4 x))tg(x)
= limx→0+
4 cos(4 x)1 + sen(4 x)
sec2(x)= 4.
Assim, limx→0+(1 + sen(4 x))cotg(x) = elimx→0+ [cotg(x)·ln(1+sen(4 x))] = e4.
Parte 17 Cálculo Aplicado I 216