electromures.netelectromures.net/content/variansok_matek/mt2/ii.pdf · 2018-09-16 · ministerul...
TRANSCRIPT
![Page 1: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/1.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 051
1. Adott a
=
a
a
aH
00
010
0ln1
)( mátrix, ahol 0.a >
5p a) Számítsd ki minden 0a > esetén a ( )( )det H a determinánst!
5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( ) , , 0.H a H b H a b a b⋅ = ⋅ ∀ >
5p c) Számítsd ki a ( ) ( ) ( ) ( )1 2 3 2008H H H H+ + + +… mátrix determinánsát!
2. A ( )2,G = ∞ halmazon értelmezzük az ( )2 6x y xy x y= − + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2, ,x y x y x y G= − − + ∀ ∈ .
5p b) Igazold, hogy ,x y G∈ , .x y G∀ ∈
5p c) Igazold, hogy a G halmaz minden eleme invertálható a „ ” műveletre nézve!
![Page 2: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/2.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 052
1. Az ( )2M halmazban adott az 1 1
2 2A
=
mátrix. Jelölje ...n
n szer
A A A A−
= ⋅ ⋅ ⋅ , ahol n ∗∈ .
5p a) Igazold, hogy 2 3A A= .
5p b) Számítsd ki a ( )10det A determinánst!
5p c) Számítsd ki a 2B A I= + mátrix inverzét, ahol 2
1 0.
0 1I
=
2. A ( ) { }0, \ 1G = ∞ halmazon értelmezzük az 3ln ,yx y x= ,x y G∀ ∈ műveletet.
5p a) Határozd meg az 8x e = egyenlet valós megoldásainak halmazát, ahol e a természetes logaritmus alapja!
5p b) Igazold, hogy x y G∈ , , .x y G∀ ∈
5p c) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív a G halmazon!
![Page 3: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/3.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 080
1. Adott a ( )1 1
1 1
1 1
a
D a a
a
= determináns, ahol a valós szám.
5p a) Számítsd ki a determinánst 1a = − esetén!
5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )21 2D a a a= − − + , bármely a valós szám esetén!
5p c) A valós számok halmazán oldd meg a ( ) 4D a = − egyenletet!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )10 110x y xy x y= − + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( )( )10 10 10x y x y= − − + , bármely ,x y ∈ esetén!
5p b) Számítsd ki: 1 110 20C C .
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az ( )1 10x x − = egyenletet!
![Page 4: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/4.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 073
1. Adott a , , ,
a b c
c a b a b c
b c a
∆ = ∈
determináns.
5p a) Számítsd ki a ∆ determináns értékét, ha 1, 0a b= − = és 1.c =
5p b) Igazold, hogy ( )( )2 2 2 , , ,a b c a b c ab ac bc a b c∆ = + + + + − − − ∀ ∈ .
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a
2 1 1
1 2 1 0
1 1 2
x
x
x
=
egyenletet!
2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3, 3x y x y x y ax y∗ = + + = + − műveleteket, ahol
a ∈ , valamint az ( ): , 6f f x x→ = + függvényt.
5p a) Számítsd ki: ( ) ( )1 2 0 3∗ ∗ .
5p b) Határozd meg azt az a egész számot, amelyre a „ ” művelet asszociatív!
5p c) Igazold, hogy 1a = esetén az f függvény morfizmus a ( ),∗ és ( ), csoportok között!
![Page 5: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/5.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 053
1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az ( )0,0O és ( ), 2 , nA n n n+ ∀ ∈ pontok.
5p a) Határozd meg az 0 1A A egyenes egyenletét!
5p b) Igazold, hogy az 0 1 2, ,A A A pontok kollineárisak!
5p c) Bizonyítsd be, hogy az 1n nOA A + háromszög területe nem függ az n természetes számtól!
2. Az [ ]X gyűrűben adott az 3 5f X X= − − polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , .x x x
5p a) Számítsd ki az 1
2f −
értéket!
5p b) Számítsd ki azt az a ∈ számot, amelyre az f polinom X a− polinommal való osztási
maradéka 5− .
5p c) Számítsd ki az 1 2 3
2 3 1
3 1 2
x x x
x x x
x x x
determinánst!
![Page 6: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/6.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 054
1. Adott az
2 3 3
2 4
4 1
x y z
x y z
mx y z
− + = − + + = − + =
egyenletrendszer, ahol m egy valós paraméter.
5p a) Igazold, hogy bármely m valós szám esetén a ( )0;3;1 számhármas megoldása az
egyenletrendszernek!
5p b) Határozd meg az m valós paramétert úgy, hogy az egyenletrendszernek egyetlen megoldása legyen!
5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 3.m ≠
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 6 6 21x y xy x y∗ = − − + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( )( )2 3 3 3x y x y∗ = − − + bármely ,x y ∈ esetén!
5p b) Oldd meg az 5 5 11x x∗ = egyenletet a valós számok halmazán!
5p c) Határozd meg az invertálható elemeket a „ ∗ ” műveletre nézve!
![Page 7: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/7.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 056
1. Adott az 2 3
1 2A
= −
mátrix.
5p a) Számítsd ki a ( )det A determinánst!
5p b) Igazold, hogy 3 7A A= , ha 3A A A A= ⋅ ⋅ .
5p c) Igazold, hogy ,A B A⋅ = ahol 226B A I= − és 2A A A= ⋅ .
2. Adottak az [ ] 4 3 2 3 2, , 1 1f g X f X X X X és g X X X∈ = + + + + = + + + polinomok.
5p a) Igazold, hogy 1f X g= ⋅ + .
5p b) Számítsd ki a g polinom valós gyökeit!
5p c) Számítsd ki az ( )f a értékét, ha a a g polinom egyik gyöke!
![Page 8: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/8.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
SUBIECTUL II (30p) – Varianta 059
1. Adottak az 3
1 1 0 1 0 0
1 0 0 és 0 1 0
0 1 0 0 0 1
A I
− − = =
mátrixok.
5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát!
5p b) Számítsd ki az 2A mátrixot, ha 2 .A A A= ⋅
5p c) Számítsd ki az 3I A+ mátrix inverzét!
2. Adott az [ ] 3 2, f X f X pX qX r∈ = − + − polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , .x x x ∈
5p a) Számítsd ki az ( ) ( )0 1f f− különbséget!
5p b) Számítsd ki az ( )( )( )1 2 31 1 1x x x− − − kifejezést , ,p q r függvényében!
5p c) Igazold, hogy a 3 2 1g X X X= + + − polinomnak nem minden gyöke valós!
![Page 9: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/9.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 063
1. Adottak az 3 3
1 1 3 1 0 0
2 2 6 , 0 1 0 és
3 3 9 0 0 1
A I B A I
− = − = = − −
mátrixok.
5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát!
5p b) Számítsd ki az 2 2A B− mátrixot, ahol 2 2 és A A A B B B= ⋅ = ⋅ .
5p c) Igazold, hogy a B mátrix inverze a 13
1
9B A I− = − mátrix!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 3 6x y xy x y= + + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( )( )3 3 3x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!
5p b) Határozd meg a semleges elemet a „ ” műveletre nézve!
5p c) Határozd meg az , 2n n∈ ≥ számot, ha 2 2 13n nC C = .
![Page 10: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/10.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 070
70 1. Adott az 0 0
0 0
a a a
A a
a
=
mátrix, ahol a ∈ . Jelölje 2A A A= ⋅ .
5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot 1a = esetén!
5p b) Számítsd ki a ( )2det A determinánst a ∈ esetén!
5p c) Igazold, hogy 23A I≠ , bármely a ∈ esetén!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )2 2 6 és 3 12x y xy x y x y xy x y∗ = − − + = − + +
műveleteket.
5p a) Igazold, hogy ( ) ( )2 3 1, .x x x∗ − = − ∀ ∈
5p b) Ha 1e a semleges elem a „ ∗ ” műveletre nézve 2e pedig a a semleges elem a „ ” műveletre
nézve, számítsd ki az 1 2 1 2e e e e∗ + összeget!
5p c) Adott az :f → , ( ) 1f x ax= + függvény. Határozd meg az a ∈ számot, ha
( ) ( ) ( )f x y f x f y∗ = , bármely ,x y ∈ esetén!
![Page 11: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/11.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 055
1. Az ( )2M négyzetes mátrixok halmazában adott az 4 6
2 3A
− = −
mátrix.
Jelölje ...n
n szer
A A A A−
= ⋅ ⋅ ⋅ , ahol .n ∗∈
5p a). Igazold, hogy 2 2A A A+ = .
5p b) Határozd meg azon ( )20
, 0
xX X
x
∈ =
M mátrixokat, amelyekre ( )det 2X A+ = .
5p c) Ha , nA A n ∗= ∀ ∈ , igazold, hogy ( )2 1
2 , 2
n n nA A nA A n ∗+
+ + + = ∀ ∈… .
2. Adott az [ ]3 2 1, f X X mX f X= + + + ∈ polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , .x x x
Jelölje 1 2 3n n n
nS x x x= + + , ahol n ∗∈ .
5p a) Számítsd ki azt az m valós számot, amelyre 1 2x = .
5p b) Igazold, hogy 3 2 1 3 0S S mS+ + + = .
5p c) Igazold, hogy bármely m∈ páros számra, az f polinomnak nincs racionális gyöke!
![Page 12: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/12.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 076
1. Adott az
0
4 2 16
2 2 6
x ay z
x y z
x y z
− − = + − = − + = −
egyenletrendszer, ahol a ∈ és A =
1 1
1 4 2
1 2 2
a− − − −
az egyenletrendszer
mátrixa.
5p a) Határozd meg azokat az a valós számokat, amelyekre az A mátrix invertálható!
5p b) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .
5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 1a = .
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 4 4 12x y xy x y= + + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( ) ( ) , bármely , ,x y z x y z x y z= ∈ esetén!
5p b) Bizonyítsd be, hogy ( 4) 4x y− = − , bármely ,x y ∈ esetén!
5p c) Számítsd ki: 1 ( 2) 3 ( 4) 5 ( 6).− − −
![Page 13: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/13.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 061
1. Adottak az 24 1 1 0
, 4 1 0 1
A I
= =
mátrixok és a ( ) ( ){ }2 és G X a a X a I aA= ∈ = + halmaz.
5p a) Igazold, hogy 2I eleme a G halmaznak!
5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )5 , ,X a X b X a b ab a b⋅ = + + ∀ ∈ .
5p c) Igazold, hogy 1
5a ≠ − esetén az ( )X a mátrix inverze az
1 5
aX
a
− +
mátrix!
2. Adottak az [ ] 3 2 25
ˆ ˆ ˆ ˆ, , 3 4 3 2 2f g X f X X X és g X X∈ = + + + = + polinomok.
5p a) Számítsd ki ( ) ( )ˆ ˆ1 0f g⋅ .
5p b) Igazold, hogy ˆ ˆ ˆ ˆ(3 3) 2 2f X g X= + ⋅ + + .
5p c) Határozd meg az f polinom 5 halmazban levő gyökeinek számát!
![Page 14: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/14.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 057
1. Az ( )2M halmazban tekintsük az ( ) 1 5 2,
10 1 4
x xA x x
x x
+ − = ∈ −
mátrixokat.
5p a) Számítsd ki az (1) ( 1)A A⋅ − szorzatot!
5p b) Igazold, hogy ( )( ) ( )( )2 21 1A x A x= + − , bármely valós x esetén, ahol ( )( ) ( )( ) ( )( )2
A x A x A x= ⋅ .
5p c) Számítsd ki az ( )1A mátrix inverzét!
2. Adott a { }2 23 , , 3 1G a b a b a b= + ∈ − = halmaz.
5p a) Vizsgáld meg, hogy 0 és 1 eleme-e a G halmaznak!
5p b) Igazold, hogy ,x y G⋅ ∈ bármely ,x y G∈ esetén!
5p c) Igazold, hogy ha x G∈ , akkor 1
.Gx
∈
![Page 15: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/15.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 064
1. Adottak az 2 4
,1 2
A
= − − 2 2 2
1 0 0 0, és
0 1 0 0I O B I A
= = = +
mátrixok. Jelölje
2
szer
és n
n
A A A B B B B−
= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅… , ahol *n ∈ .
5p a) Igazold, hogy 2
20A = .
5p b) Számítsd ki a B mátrix inverzét!
5p c) Határozd meg x ∈ számot, ha 3 2B B xA− = .
2. Adott az 4 22 1f X X= − + polinom, amelynek gyökei 1 2 3 4, , ,x x x x ∈ .
5p a) Igazold, hogy az f polinom osztható a 2 1g X= − polinommal!
5p b) Számítsd ki az S P⋅ szorzatot, ahol 1 2 3 4S x x x x= + + + és 1 2 3 4P x x x x= ⋅ ⋅ ⋅ .
5p c) Számítsd ki a 4 4 4 41 2 3 4T x x x x= + + + összeget!
![Page 16: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/16.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 090
1. Adott az 2
0
2 4 0
4 16 0
x y z
ax y z
a x y z
+ + =
+ + = + + =
egyenletrendszer, ahol a ∈ , és 2
1 1 1
2 4
4 16
A a
a
=
a rendszer mátrixa.
5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát 1a = esetén!
5p b) Határozd meg azon a valós számok halmazát, amelyekre det 0A ≠ .
5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha { }\ 2,4a ∈ .
2. Adott az 4 3f X aX bX c= + + + polinom, ahol , , .a b c ∈ .
5p a) Számítsd ki a c valós számot, ha (1) ( 1) 2009.f f+ − =
5p b) Számítsd ki az , ,a b c valós számokat, ha (0) (1) 2f f= = − , és a polinom egyik gyöke 2x = .
5p c) Számítsd ki az f polinom valós gyökeit, ha 2, 1a b= − = és 2c = − .
![Page 17: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/17.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 089
1. Adottak az 3
1 0 0 1 0 0 1 0 0
0 3 0 , 2 3 0 , 0 1 0
0 0 5 3 7 5 0 0 1
A B I
= = =
mátrixok.
Jelölje 3X X X X= ⋅ ⋅ , X ∈ 3( )M .
5p a) Számítsd ki az 1A− mátrixot!
5p b) Oldd meg az 33A X I⋅ = mátrixegyenletet, ahol ( ) .X ∈ 3M
5p c) Számítsd ki a ( )3B A− mátrixot!
2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3 7 7 14x y xy x y∗ = + + + műveletet.
5p a) Határozd meg a semleges elemt a „ ∗ ” műveletre nézve!
5p b) Oldd meg az egész számok halmazán az 1x x∗ ≤ − egyenlőtlenséget!
5p c) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!
![Page 18: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/18.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 096
1.
5p a) Számítsd ki a 2009 1 1
1 2009 1
− −
+
determinánst!
5p b) Számítsd ki az 1 2
2 1
x x
x x− determinánst, ha 1x és 2x az 2 4 2 0x x− + = egyenlet megoldásai!
5p c) Adottak az
1 1 0
1 0 0
0 0 0
A
− = −
és 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
mátrixok. Igazold, hogy 3 23A A A O+ + = , ahol
2 A A A= ⋅ és 3 2A A A= ⋅ .
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 8 8 36x y xy x y= − − + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( )( )2 4 4 4, bármely , .x y x y x y= − − + ∈ esetén!
5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az 36x x = egyenletet!
5p c) Számítsd ki 1 2 3 ... 2009 , ha a „ ” művelet asszociatív.
![Page 19: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/19.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 060
1. Adott az 0 3
1 0A
=
és az 21 0
0 1I
=
mátrix, valamint a ( ) ( ){ }2 C A X XA AX= ∈ =M halmaz.
5p a) Határozd meg az a és b valós számokat, ha 20
0
aA I
b
⋅ =
.
5p b) Igazold, hogy ,A B A⋅ = ahol 222B A I= − és 2A A A= ⋅ .
5p c) Igazold, hogy ha ( )X C A∈ , akkor létezik ,a b ∈ úgy, hogy 3
.a b
Xb a
=
2. A ( )1,1G = − halmazon értelmezzük az
1
x yx y
xy
+∗ =+ műveletet.
5p a) Oldd meg G halmazban az 4
5x x∗ = egyenletet!
5p b) Igazold, hogy ( )( ) ( )( )( )( ) ( )( )
1 1 1 1
1 1 1 1
x y x yx y
x y x y
+ + − − −∗ =
+ + + − − bármely ,x y G∈ esetén!
5p c) Igazold, hogy bármely ,x y G∈ esetén x y G∗ ∈ .
![Page 20: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/20.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 058
1. Adott a
2 5 4 0
3 1,
2
x y z
x y z
x z a
− + =− + + = − − =
a ∈ egyenletrendszer, és jelölje A az egyenletrendszer mátrixát.
5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát!
5p b) Oldd meg az egyenletrendszert 1a = esetén!
5p c) Határozd meg azt a legkisebb a természetes számot, amelyre az egyenletrendszer megoldása egy természetes számokból álló számhármas!
2. A halmazon értelmezzük a 1x y x y= + + asszociatív műveletet.
5p a) Számítsd ki a 2008 2009 értékét!
5p b) Oldd meg az halmazon az 2 3x x ≤ egyenlőtlenséget!
5p c) Adott az { }0 1 22 és 6n n nA n n C C C n∗= ∈ ≥ = + halmaz. Határozd meg az A halmaz
elemeinek számát!
![Page 21: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/21.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 081
rianta 081
1. Adott az 2
2
1 1 1
( ) 2
2
k k
k k
A k x x
x x
= − −
, { }0,1,2k ∈ mátrix, ahol 0 1x = , valamint 1x és 2x pedig az
2 2 0x x+ − = egyenlet gyökei, 1 2x x< .
5p a) Számítsd ki az (0)A mátrix determinánsát!
5p b) Számítsd ki az (1) (2)A A+ mátrixot!
5p c) Számítsd ki az ( )A k mátrix elemeinek összegét, minden { }0,1,2k ∈ esetén!
2. A ( ) { }0, \ 1G = ∞ halmazon értelmezzük az 2ln yx y x= műveletet.
5p a) Számítsd ki a 3 e számot, ahol e a természetes logaritmus alapja!
5p b) Igazold, hogy x y G∈ , bármely ,x y G∈ esetén!
5p c) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív a G halmazon!
![Page 22: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/22.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 062
1. Adott az
3 0
2 0
4 5 0
x y z
x y mz
x y z
+ + = − + = + + =
egyenletrendszer, ahol m valós paraméter és A az egyenletrendszer
mátrixa.
5p a) Számítsd ki az A mátrix determinánsát, ha 1m = .
5p b) Határozd meg az m valós paramétert, ha az egyenletrendszer mátrixának determinánsa nulla!
5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 1.m ≠ −
2. Adott az 3 23 3 1f X X X= + + + polinom, amelynek gyökei 1 2 3, , ,x x x ∈ és a 2 2 1g X X= − +
polinom, amelynek gyökei 1 2,y y ∈ .
5p a) Számítsd ki az S S ′− különbséget, ha 1 2 3 1 2 és S x x x S y y′= + + = + .
5p b) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát és hányadosát!
5p c) Számítsd ki az ( ) ( )1 2f y f y⋅ szorzatot!
![Page 23: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/23.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 066
1. Adottak az 1 2
1 0A
− =
, x y
Bz t
=
, 20 0
0 0O
=
és 21 0
0 1I
=
mátrixok, ahol , , ,x y z t ∈ .
5p a) Számítsd ki a ( )2det A determinánst, ha 2 .A A A= ⋅
5p b) Határozd meg az , , ,x y z t ∈ számokat, ha 2A B I⋅ = .
5p c) Számítsd ki az 1 2( )S B A−= − mátrixot, ha 2A B I⋅ = .
2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3x y x y∗ = + − és az ( )3 12x y xy x y= − + +
műveleteket.
5p a) Oldd meg az egész számok halmazán az 12x x = egyenletet!
5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )1 2 3 1 2 1 3∗ = ∗ .
5p c) Oldd meg az ( )( )
3 2
4 10
x y
x y
− ∗ =
− = egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .
![Page 24: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/24.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 088
1. Adott a
2 0
0
2 0
x ay z
x y z
x y z
+ + = + + = − + =
egyenleterendszer, ahol a valós szám, és 2 11 1 11 1 2
aA
= −
a rendszer mátrixa.
5p a) Számítsd ki 0a = esetén az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .
5p b) Határozd meg azokat az a valós számokat, amelyekre az A mátrix invertálható!
5p c) Oldd meg az egyenletrenszert a valós számok halmazán, ha { }\ 4a ∈ .
2. A ,p q ∈ számok esetén értelmezzük az egész számok halmazán 2x y px y∗ = + + és
2x y x y= + − műveleteket, valamint az :f → , ( ) 3f x x q= + függvényt.
5p a) Határozd meg a p egész számot úgy, hogy a „ ∗ ” művelet kommuntatív legyen!
5p b) Oldd meg az egész számok halmazán az ( ) ( ) 2 2x x x x x∗ ∗ = + egyenletet, ha 1.p =
5p c) Határozd meg a q egész számot úgy, hogy az f függvény morfizmus legyen a ( ),∗ és ( ),
csoportok között, ha 1.p =
![Page 25: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/25.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 091
1. Adott az
1 2 3
1 2 3
1 2 3
A
− = − −
mátrix. Értelmezzük a 3B aA I= + mátrixot az a ∈ rögzített szám esetén.
5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2 A A A= ⋅ .
5p b) Igazold, hogy 232B B I− = .
5p c) Számítsd ki a 1B− mátrixot!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 3 3 2x y xy x y= + + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( )( )3 1 1 1x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!
5p b) Határozd meg az x valós számot úgy, hogy teljesüljön az ( )2 5 6 1x − = − egyenlőség!
5p c) Adj példát két olyan , \a b ∈ számra, amelyekre .a b ∈
![Page 26: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/26.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 072
1. Adott a
2 3 4 5
2 0
5 4 7
x y z
x y z
x y z
αβ
− + = − + + = − + =
egyenletrendszer, ahol ,α β ∈ , A az egyenletrendszer mátrixa,
valamint
2 3 4 5
1 2 0
5 4 7
B αβ
− − = −
. Jelölje ( ),S α β a B mátrix elemeinek összegét.
5p a) Számítsd ki: ( )0,0 .S
5p b) Határozd meg az és α β valós számokat, ha az A mátrix determinánsa nulla és ( ), 2S α β = − .
5p c) Ha 0α = és 0β = , oldd meg az egyenletrendszert!
2. A polinomok [ ]X halmazában adott az 3 2 6f X mX nX= + + + és a ( ) 2 2g X X X= − − polinom.
5p a) Oldd meg a valós számok halmazán az 2 2 0x x− − = egyenletet.
5p b) Határozd meg az ,m n ∈ számokat úgy, hogy az f polinom osztható legyen a g polinommal.
5p c) Számítsd ki a ( ) ( ) ( ) ( )0 1 2008 2009P f f f f= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅… szorzatot, ha 4 és 1m n= − = .
![Page 27: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/27.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 068
1. Adott az 3 1
1 3
xA
x
− = −
mátrix, ahol x ∈ és 21 0
.0 1
I
=
Jelölje 2A A A= ⋅ .
5p a) Határozd meg azt az x valós számot, amelyre ( )det 0A = .
5p b) Igazold az ( ) ( )2 222 6 6 8A x A x x I= − − − + ⋅
egyenlőséget!
5p c) Határozd meg azt az x valós számot, amelyre 2 2A A= .
2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )2 6x y xy x y= − + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2, , .x y x y x y= − − + ∀ ∈
5p b) Igazold, hogy 2 2,x = bármely x ∈ esetén!
5p c) Számítsd ki az ( ) ( ) ( ) ( )2009 2008 2 1 0 1 2 2008 2009E = − − − −… … kifejezést, ha a
„ ” művelet asszociatív.
![Page 28: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/28.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 093
1. Az ( )2M halmazban adottak a 2
4 2 1 0,
2 4 0 1A I
= =
és 2
0 0
0 0O
=
mátrixok
5p a) Számítsd ki a 2det( )A determinánst, ahol 2A A A= ⋅ .
5p b) Igazold, hogy 3 3 14 132
13 14A
=
, ahol 3 2A A A= ⋅ .
5p c) Igazold, hogy az A mátrix teljesíti az 22 28 12A A I O− + = egyenlőséget!
2. Adott az [ ] ( )36 , 2 1 4f X f X a X a∈ = + + + + polinom.
5p a) Igazold, hogy 36, bármely b b b= ∈ esetén!
5p b) Határozd meg 6a ∈ értékét, ha ( )2 0.f =
5p c) Oldd meg a 6 halmazban az ( ) 0̂f x = egyenletet!
![Page 29: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/29.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 067
1. Adott az 2 0
, 4 0
ax ya
x y
+ =∈ + =
egyenletrendszer, 2
4 1
aA
=
az egyenletrendszer mátrixa, valamint az
20 0
0 0O
=
és az 21 0
0 1I
=
mátrix. Jelölje 2 .A A A= ⋅
5p a) Oldd meg az egyenletrendszert 1a = − esetén!
5p b) Igazold az ( ) ( )22 21 8A a A a I O− + + − = egyenlőséget!
5p c) Határozd meg az a ∈ értékét, ha az A mátrix teljesíti az 229A I= egyenlőséget!
2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 11x y x y= + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív!
5p b) Oldd meg az 6
...szor x
x x x−
= 1 egyenletet az egész számok halmazán!
5p c) Igazold, hogy ( ), kommutatív csoport!
![Page 30: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/30.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 097
1. Adottak az
0 0 1
1 0 0
0 1 0
X
=
, 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
mátrixok, és a { }{ }1 2 3nG X n , ,= ∈ halmaz, ahol
,n
n szer
X X X X n ∗
−= ⋅ ⋅ ⋅ ∈… .
5p a) Igazold, hogy 33X I= .
5p b) Számítsd ki a ( )23det I X X+ + determinánst!
5p c) Igazold, hogy ha Y G∈ , akkor 1Y G− ∈ .
2. Adott a { }2 23 , , 3 1G a b a b a b= + ∈ − = halmaz!
5p a) Igazold, hogy 2 3 G+ ∈ .
5p b) Igazold, hogy a valós számok szorzására nézve a G halmaz minden elemének van inverze a G –ben!
5p c) Igazold, hogy x y G⋅ ∈ , bármely ,x y G∈ esetén!
![Page 31: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/31.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 065
1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az : 2 4 0AB x y+ − =
és a
:3 2 0BC x y+ − =
egyenesek.
5p a) Határozd meg a B pont koordinátáit!
5p b) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái ( ) ( ) ( )4,0 , 0,2 , 1, 1A B C − . Határozd meg az ABC
háromszög C pontból húzott oldalfelezőjének az egyenletét!
5p c) Az ABC háromszög csúcsainak koordinátái ( ) ( ) ( )4,0 , 0,2 , 1, 1A B C − . Számítsd ki az ABC
háromszög területét!
2. Legyen ( )8, ,+ ⋅ a maradékosztályok gyűrűje modulo 8.
5p a) Számítsd ki a 8 gyűrűben az ˆ ˆ ˆ ˆ ˆˆ ˆ1 2 3 4 5 6 7S = + + + + + + összeget!
5p b) Számítsd ki a 8 gyűrű invertálható elemeinek a szorzatát!
5p c) Oldd meg a 8 gyűrűben a ˆ ˆˆ2 5 2
ˆ ˆ ˆ3 2 5
x y
x y
+ =
+ = egyenletrendszert!
![Page 32: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/32.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 079
1. Az ( )2M halmazban adottak az
2 1
1 2A
= −
, 5 4
3 1B
=
, 20 0
0 0O
=
és 21 0
0 1I
=
mátrixok.
5p a) Számítsd ki az A B⋅ mátrixot!
5p b) Oldd meg az A X B⋅ = mátrixegyenletet, ahol ( )2X ∈ M .
5p c) Bizonyítsd be, hogy az A mátrix teljesíti az 22 24 5A A I O− + = egyenlőséget, ahol 2A A A= ⋅ .
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 14x y x y= + − műveletet.
5p a) Oldd meg a a valós számok halmazán az 2x x = egyenletet!
5p b) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív!
5p c) Igazold, hogy ( ), kommutatív csoport!
![Page 33: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/33.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 085
1. Adott az ( )
( )
2 1
2 1 3 1
3 1
x ay z
x a y z
x ay a z
+ + = + − + = + + − =
egyenletrendszer, ahol a ∈ és
1 2
1 2 1 3
1 3
a
A a
a a
= − −
az
egyenletrendszer mátrixa.
5p a) Igazold, hogy 2det 6 5A a a= − + .
5p b) Oldd meg a det 0A = egyenletet!
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az egyenletrendszert 0a = esetén!
2. A valós számok halmazán értelmezett az 6 6 42x y xy x y∗ = − − + asszociatív művelet.
5p a) Igazold, hogy ( )( )6 6 6, bármely ,x y x y x y∗ = − − + ∈ esetén!
5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x x∗ ∗ ∗ = egyenletet!
5p c) Számítsd ki: 1 2 3 ... 2009∗ ∗ ∗ ∗ .
![Page 34: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/34.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 099
1. Adottak az 2
2 2 1 0, ,
0 2 0 1 0 6
x yA I B
= = =
mátrixok, ahol ,x y ∈ .
5p a) Határozd meg az x valós számot, ha .A B B A⋅ = ⋅
5p b) Igazold, hogy 224( )A A I= − , ahol 2A A A= ⋅ .
5p c) Határozd meg az a valós számot úgy, hogy teljesüljön az 3 224A aA A O− + = egyenlőség, ahol
3A A A A= ⋅ ⋅ .
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3x y x y= + + és ( )3 12x y xy x y∗ = − + + műveleteket.
5p a) Igazold, hogy ( )( )3 3 3x y x y∗ = − − + bármely ,x y ∈ esetén!
5p b) A valós számok halmazán oldd meg az ( ) ( )( 1 ) ( 1 ) 11x x x x+ + ∗ + = egyenletet!
5p c) Oldd meg az ( )
( ) ( )1 0
, ,1 1
x yx y
x y x y
− = ∈ + ∗ = ∗ +
egyenletrendszert!
![Page 35: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/35.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 083
1. Adott az ( )3:f →M , ( )21 2 2
0 1 4
0 0 1
x x x
f x x
+
=
függvény.
5p a) Számítsd ki az ( ) ( )0 1f f+ összeget!
5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) 31 1f f I⋅ − = , ahol 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
.
5p c) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = ⋅ , bármely x, y ∈ esetén!
2. Adott a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrű, ahol { }6ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5= .
5p a) Oldd meg a 6 gyűrűben az ˆ ˆˆ2 5 1x + = egyenletet!
5p
b) Számítsd ki a
ˆ ˆ ˆ 1 2 3
ˆ ˆ ˆ 2 3 1
ˆ ˆ ˆ 3 1 2
determinánst 6 -ban!
5p c) Oldd meg a ˆ ˆ2 4
ˆ ˆ2 5
x y
x y
+ =
+ = egyenletrendszert, ahol 6, .x y ∈
![Page 36: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/36.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 075
1. Adott az ( )24 7
2 4A
− = ∈ −
M
mátrix.
5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2 .A A A= ⋅
5p b) Igazold, hogy ( ) 12 2A I A I
−+ = − , ahol 21 00 1
I =
.
5p c) Határozd meg azokat az x valós számokat, amelyekre ( ) ( )2 2det detx A x A= .
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 , ,x y xy x ay b a b∗ = + + + ∈ műveletet.
5p a) Határozd meg a ∈ számot úgy, hogy a „ ∗ ” művelet kommutatív legyen!
5p b) Igazold, hogy 3a = és 6b = esetén a „ ∗ ” műveletre nézve van semleges elem!
5p c) Határozd meg az a és b számokat, ha ( 3) 3,x− ∗ = − bármely x ∈ esetén!
![Page 37: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/37.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 098
1. Adottak az
2 1 1
1 2 1
1 1 2
A
− − = − − − −
,
1 1 1
1 1 1
1 1 1
B
− − − = − − − − − −
és 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
mátrixok. Jelölje 2X X X= ⋅ .
5p a) Számítsd ki az AB szorzatot!
5p b) Igazold, hogy 2 2 2 2( ) ( )A B A B A B+ = − = + .
5p c) Számítsd ki az ( )2A B− mátrix inverzét!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 3 3 2x y xy x y∗ = + + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( )3 1 ( 1) 1, bármely ,x y x y x y∗ = + + − ∈ esetén!
5p b) Határozd meg azokat a valós számokat, amelyekre ( )2 2 5 1.x − ∗ = −
5p c) Számítsd ki: ( 2009) ( 2008) ... ( 1) 0 1 ... 2008 2009− ∗ − ∗ ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ , ha a „ ∗ ” művelet asszociatív!
![Page 38: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/38.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 086
1. Adottak az
0 1
1 0A
= −
és 21 0
0 1I
=
mátrixok, valamint a ( ){ }22G X X I= ∈ = −2M halmaz, ahol
2 .X X X= ⋅
5p a) Igazold, hogy A G∈ .
5p
5p
b) Igazold, hogy ( )2
21 1
2 2X I X
+ =
, bármely X G∈ esetén!
c) Igazold, hogy ha X másodrendű, valós számokból álló négyzetes mátrix, amely teljesíti az
A X X A⋅ = ⋅ összefüggést, akkor x y
Xy x
= −
alakú, ahol ,x y ∈ .
2. Adott az 4 3f X aX bX c= + + + polinom, ahol , ,a b c ∈ .
5p a) Igazold, hogy 501c = esetén (1) ( 1) 1004f f+ − = .
5p b) Számítsd ki az f polinom valós gyökeit, ha 2, 2a b= − = és 1.c = −
5p c) Igazold, hogy nincsenek olyan valós , ,a b c számok, amelyekre az f polinom osztható a 3g X X= −
polinommal.
![Page 39: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/39.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 087
1. Adottak az
2 2
1 1A
= − −
és 21 0
0 1I
=
mátrixok, valamint a ( ){ }2G X X X= ∈ =2M halmaz,
ahol 2X X X= ⋅ .
5p a) Igazold, hogy A G∈ .
5p b) Számítsd ki a ( )3 2det 2A A A− + determinánst, ahol 3A A A A= ⋅ ⋅ .
5p c) Igazold, hogy ( )22 22X I I− = , bármely X G∈ esetén!
2. A valós számok halmazán értelmezzük a ( )2009 2009 2009x y xy x y∗ = − + + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( )( )2009 2009 2009x y x y∗ = − − + , bármely ,x y ∈ esetén!
5p b) Határozd meg a semleges elemet „ ∗ ” műveletre nézve!
5p c) Számítsd ki: ( ) ( ) ( ) ( )2009 2008 ... 0 ... 2008 2009 ,− ∗ − ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ha a „ ∗ ” művelet
asszociatív.
![Page 40: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/40.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 094
1. Adott az 1
1x
xA
x
=
, mátrix, ahol x ∈ és az 2
1 0
0 1I
=
mátrix. Jelölje 2 .x x xA A A= ⋅
5p a) Határozd meg azokat az x valós számokat, amelyekre ( )det 0.xA =
5p b) Határozd meg az x valós számot, ha 22xA I= .
5p c) Igazold, hogy 2 222 (1 ) .x xA xA x I= + − ⋅
2. Adott a [ ]3 X polinomgyűrű.
5p a) Határozd meg az 3,a b ∈ értékeket, ha 1 és 2 az [ ] 23 ,f X f X a X b∈ = + + polinom
gyökei!
5p b) Számítsd ki az [ ] 3 23 , 2 2 1f X f X X X∈ = + + + polinomnak a [ ]3 , 1g X g X∈ = +
polinommal való osztási hányadosát és maradékát!
5p c) Igazold, hogy ha [ ]3f X∈ , ( )3 2ˆ ˆ ˆ2 2 1f a a X aX= + + + , akkor ( )ˆ ˆ ˆ1 2 1f a= + .
![Page 41: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/41.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 084
1. Adottak az
1 1 0 0 1 0
0 1 1 , 0 0 1
0 0 1 0 0 0
A B
= =
és 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
mátrixok.
5p a) Igazold, hogy 3A B I= + .
5p b) Igazold, hogy az A mátrix invertálható, és határozd meg az 1A− mátrixot!
5p c) Határozd meg az a valós számot, ha az ( ) 3X a I aA= + mátrix esetén ( )( ) ( )3det 2 1X a a= − .
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2x y xy x y∗ = − − + műveletet.
5p
5p
5p
a) Igazold, hogy ( )( )1 1 1,x y x y∗ = − − + bármely ,x y ∈ esetén!
b) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!
c) Számítsd ki: 1 2 2009
.2 2 2
∗ ∗ ∗…
![Page 42: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/42.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 095
1. Az ( )3M halmazban adottak az
4 2 2 2 2 2
2 4 2 , 2 2 2
2 2 4 2 2 2
A B
− − − − − = − − = − − − − − − − −
és C A B= + mátrixok.
Jelölje 2 .X X X= ⋅
5p a) Számítsd ki az A B⋅ szorzatot!
5p b) Számítsd ki a ( ) ( )det detA B⋅ szorzatot!
5p c) Igazold, hogy ( )2 2 6A B A B− = + .
2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 2x y x y∗ = + + és 2 2 2x y xy x y= + + + műveleteket.
5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2,x y x y= + + − bármely ,x y ∈ esetén!
5p b) Számítsd ki az 3x = − elem inverzét a „ ” műveletre nézve!
5p c) Oldd meg az 2 2
2 2
7
16
x y
x y
∗ =
= egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .
![Page 43: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/43.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 071
1. Adott az
1
1 2 1
0 3 1
x y
M
=
mátrix, ahol x és y valós számok. Az xOy derékszögű koordináta-
rendszerben tekintsük az ( ) ( ) ( )1,2 , 0,3 , O 0,0A B és ( )1,2nC n n+ − pontokat, ahol n ∗∈ .
5p a) Számítsd ki az M mátrix determinánsát!
5p b) Igazold, hogy az ,A B és 2C pontok kollineárisak!
5p c) Határozd meg az n nullától különböző természetes számot úgy, hogy az nAOC háromszög
területe minimális legyen!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )( )3 3 3x y x y⊥ = − − + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( ) 13 3 4,x
x + ⊥ + =
bármely x ∗∈ esetén!
5p b) Igazold, hogy 4e = semleges elem a „ ⊥ ” műveletre nézve!
5p c) Határozd meg az halmaz invertálható elemeit a „ ⊥ ” műveletre nézve!
![Page 44: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/44.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 078
1. Adott a ,a b
G a bb a
= ∈
mártixhalmaz.
5p a) Igazold, hogy bármely ,A B G∈ esetén A B G+ ∈ .
5p b) Igazold, hogy ha C G∈ az 5a = és 3b = értékekre kapott mátrix, akkor teljesül a
2210 16C C I= − egyenlőség, ahol 2C C C= ⋅ és 2
1 0
0 1I
=
.
5p c) Adj példát egy olyan D G∈ mátrixra, amelyre det 2008D = .
2. Adott az [ ] ( ) ( )2009 2009, ( ) 1 1f X f X X X∈ = + − − polinom, amelynek algebrai
alakja 2009 20082009 2008 1 0...f a X a X a X a= + + + + .
5p a) Számítsd ki az 0a értékét!
5p b) Igazold, hogy (1)f + ( 1)f − páros egész szám!
5p c) Határozd meg az f polinom valós gyökeinek számát!
![Page 45: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/45.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 092
1. Adottak az
0 0
0 0
0 0
a
A a
a
=
, ,a ∈ 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
mátrixok, és a ( ){ }G X AX XA= ∈ =3M
halmaz.
5p a) Számítsd ki a det A determinánst!
5p b) Igazold, hogy 2 2A X XA= , bármely ( ) X ∈ 3M esetén, ahol 2A A A= ⋅ .
5p c) Igazold, hogy ha , ,a b ∈ akkor az 3aI bA G+ ∈ .
2. Adott az ( )10042 20091f X X X= + + + polinom, amelynek algebrai alakja
2 20090 1 2 2009...f a a X a X a X= + + + +
5p a) Számítsd ki az ( )1f − értéket!
5p b) Igazold, hogy 0 1 2 2009...a a a a+ + + + páros egész szám!
5p c) Számítsd ki az f polinomnak az 2 1X − polinommal való osztási maradékát!
![Page 46: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/46.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 082
1. Adott a ( )1
; ; 1
1
x ab
D a b x a bx
b ax
= determináns, ahol ,a b és x valós számok.
5p a) Számítsd ki a ( )1;1;0D determinánst!
5p b) Igazold, hogy ( ); ;D a b x nem függ az x valós számtól!
5p c) Oldd meg a ( ); ; 0D a b x = egyenletet, ahol a és b pozitív valós számok!
2. Adottak az [ ],f g X∈ , 3 3f X X a= − + és 2( ) 3 2g x X X= − + polinomok, ahol a ∈ .
5p a) A valós számok halmazán oldd meg az ( ) ( )f x g x= egyenletet 2a = esetén!
5p b) Számítsd ki az f polinom gyökeit, ha a polinomnak van egy kétszeres pozitív gyöke!
5p c) Oldd meg az ( ) 3 5
2f xe g
−=
egyenletet, ha 2.a =
![Page 47: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/47.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 074
1. Az ( )2M halmazban adottak az 20 1 0 0
és 0 0 0 0
A O
= =
mátrixok.
5p a) Számítsd ki a 2det( )A determinánst, ha 2A A A= ⋅ .
5p b) Igazold, hogy ha ( )2X ∈ M és XA AX= , akkor létezik ,a b ∈ úgy, hogy 0
a bX
a
=
.
5p c) Igazold, hogy az 2Y A= egyenletnek nincs ( )2Y ∈ M megoldása!
2. Adott a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrű.
5p a) Számítsd ki az invertálható elemek számát a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrűben értelmezett szorzási műveletre
nézve!
5p b) Legyen S a ˆ ˆ ˆ2 1 5x + = egyenlet megoldásainak összege, és P az 2 ,x x= 6x ∈ egyenlet
megoldásainak szorzata. Számítsd ki az S P+ összeget!
5p c) Számítsd ki annak a valószínűségét, hogy a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrű valamely eleme megoldása legyen az
3 0̂x = egyenletnek!
![Page 48: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/48.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 100
1. Az ( )2M halmazban adottak az 2
4 8 1 0,
2 4 0 1A I
= =
és ( ) 2X a I aA= + mátrixok, ahol a ∈ .
5p a) Igazold, hogy 2 8 ,A A= ahol 2A A A= ⋅ .
5p b) Számítsd ki a ( )det X a determinánst!
5p c) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )8X a X b X a b ab⋅ = + + , bármely ,a b ∈ esetén!
2. Adott az ( ) [ ]6703 20101f X X X X= + + − ∈ polinom, amelynek algebrai alakja
20092009 1 0... .f a X a X a= + + +
5p a) Számítsd ki az (1) ( 1)f f+ − összeget!
5p b) Igazold, hogy az 0 1 2 2009...a a a a+ + + + összeg páros szám!
5p c) Számítsd ki az f polinomnak az 2 1X − polinommal való osztási maradékát!
![Page 49: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/49.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 069
1. Adottak az 1 1
, ,2
aA a
a
− = ∈
1
, , és 4
xX x y B
y
= ∈ =
mátrixok.
5p a) Határozd meg a ∈ értékét, úgy hogy ( )det 0A = .
5p b) Igazold, hogy 3a = esetén 1 2 1
3 2A− −
= − .
5p c) Oldd meg az A X B⋅ = mátrixegyenletet 3a = esetén!
2. A ( )1,1G = − halmazon értelmezzük az
1
x yx y
xy
+∗ =+
műveletet.
5p a) Számítsd ki: 1 1
2 2∗ .
5p b) Adott az ( ) ( ): 1,1 0,f − → ∞ , ( ) 1
1
xf x
x
−=+
függvény. Igazold, hogy ( ) ( ) ( ) ,f x y f x f y∗ = ⋅
bármely ,x y G∈ esetén!
5p c) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!
![Page 50: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/50.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 077
1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (2,1), (1,2)A B és ( ),nC n n− pontok, ahol .n ∈
5p a) Határozd meg a 4 2C C egyenes egyenletét!
5p b) Igazold, hogy az 1, ,n nO C C + pontok kollineárisak, bármely n ∗∈ esetén!
5p c) Számítsd ki az 3ABC háromszög területét!
2. Adottak az
2009 0 0
0 1 0
0 1
x
xA
x
=
, x ∈ , mátrixok, valamint a { } 3( )xG A x= ∈ ⊂ M halmaz.
5p
a) Igazold, hogy 3I G∈ , ahol 3
1 0 0
0 1 0 .
0 0 1
I
=
5p b) Igazold, hogy x y x yA A A +⋅ = bármely ,x y ∈ esetén!
5p c) Igazold, hogy { }xG A x= ∈ a mátrixok szorzásával csoportot alkot!
![Page 51: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/51.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
32 II. FELADAT (30p) – Varianta 032
1. Adottak az ( )2,nA n n pontok, ahol .n ∈
5p a) Határozd meg az 0 1A A egyenes egyenletét!
5p b) Számítsd ki az 0 1 2A A A háromszög területét!
5p c) Igazold, hogy bármely, páronként különböző , ,m n p ∈ számok esetén az m n pA A A háromszög területe
természetes szám! 2. Adott az ( )4 3 2 24 4 7 4 4f X mX m X mX= + + + + + polinom, ahol m ∈ .
5p a) Határozd meg az m ∈ számot, ha 1x = gyöke a polinomnak! 5p b) Határozd meg az m ∈ számot, ha a polinom gyökeinek összege 0. 5p c) Ha 5m = − , oldd meg a valós számok halmazán az ( ) 0f x = egyenletet!
![Page 52: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/52.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 003
1. Adott a 1 2 3
2 3 1
3 1 2
x x x
d x x x
x x x
= determináns, ahol 1 2 3, ,x x x ∈ az 3 2 0x x− = egyenlet megoldásai.
5p a) Számítsd ki: 1 2 3x x x+ + .
5p b) Számítsd ki: 2 2 21 2 3x x x+ + .
5p c) Számítsd ki a d determináns értékét!
2. Adottak az 4 3 228 96f X aX X bX= + − + + , 2 2 24g X X= + − és 2 2( 2 24)( 4)h X X X= + − − valós
együtthatójú polinomok.
5p a) Határozd meg a h polinom algebrai alakját!
5p b) Határozd meg az ,a b ∈ értékeket úgy, hogy az f és h polinomok egyenlők legyenek!
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a 16 2 8 28 4 8 2 96 0x x x x+ ⋅ − ⋅ − ⋅ + = egyenletet!
![Page 53: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/53.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 013
1. Adott a 2
1 1 1
( ) 1 3 9
1
D a
a a
= determináns, ahol a valós szám.
5p a) Számítsd ki a (9)D determinánst!
5p b) Oldd meg a valós számok halmazán a ( ) 0D a = egyenletet!
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a ( )3 0xD = egyenletet!
2. Adott az [ , ) ,M k= ∞ ⊂ k ∈ halmaz és értelmezzük az 2( )x y xy k x y k k∗ = − + + + műveletet,
bármely ,x y ∈ esetén.
5p a) Határozd meg a k ∈ értékét úgy, hogy 2 3 2∗ = .
5p b) 2k = esetén oldd meg az M halmazon az 6x x∗ = egyenletet!
5p c) Igazold, hogy ,x y M∗ ∈ bármely ,x y M∈ esetén!
![Page 54: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/54.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 001
1. Adott a 1 2 3
2 3 1
3 1 2
x x x
d x x x
x x x
= determináns, ahol 1 2 3, ,x x x ∈ az 3 3 2 0x x− + = egyenlet megoldásai.
5p a) Számítsd ki: 1 2 3x x x+ + .
5p b) Igazold, hogy 3 3 31 2 3 6x x x+ + = − .
5p c) Számítsd ki a d determináns értékét.
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 4 4 12x y xy x y= + + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( 4)( 4) 4x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!
5p b) Számítsd ki az x valós szám esetén az ( 4)x − értékét!
5p c) Számítsd ki a ( 2009) ( 2008) 2008 2009− − értékét, ha a „ ” művelet asszociatív!
![Page 55: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/55.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 024
1. Adott az
2 3 3
2 4
4 1
x y z
x y z
mx y z
− + = − + + = − + =
egyenletrendszer, ahol .m ∈
5p a) Határozd meg az m ∈ azon értékét, amelyre a (2,1, 1)− megoldása az egyenletrendszernek!
5p b) Oldd meg az 2
1 2 3
2 1 1 3
1 4
m m
m
−= −
− egyenletet, ahol .m ∈
5p c) Oldd meg az egyenletrendszert, ha 5.m = −
2. Adott az 3 2( 1) 3 3f X m X X= − + − + , [ ]f X∈ polinom.
5p a) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy a polinom gyökeinek összege 1 legyen!
5p b) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az 1 3x = gyöke legyen a polinomnak!
5p c) Ha 0m = bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára a [ ]X halmazon!
![Page 56: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/56.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30 p) – Varianta 019
1. Az xOy derékszögű koordináta rendszerben tekintsük az 2 31
log , log 92
nn
nA
és ( ,2 ),nB n n−
n ∗∈ pontokat.
5p a) Határozd meg a 1B és 2B pontokon átmenő egyenes egyenletét!
5p b) Igazold, hogy n nA B= , bármely n ∗∈ esetén!
5p c) Bizonyítsd be, hogy az nA pont rajta van az 1 2A A egyenesen bármely n ∗∈ esetén!
2. Az [ ]X halmazban adottak az 4 3 2 1f X X X X= + + + + és 2 1g X X= − − polinomok.
5p a) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási hányadosát és maradékát!
5p b) Igazold, hogy ha y gyöke a g polinomnak, akkor 3 2 1y y= + .
5p c) Igazold, hogy ha y gyöke a g polinomnak, akkor ( )f y nem racionális szám!
![Page 57: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/57.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 038
1. Adott az
3 2
2 5
4 4
x y z b
x y az
x y z
+ + = − + = + + =
egyenletrendszer, ahol a,b ∈ .
5p a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátrixának determinánsát!
5p b) Ha 1a = − és 2b = , oldd meg az egyenletrendszert!
5p c) Határozd meg a b valós számot, ha ( )0 0 0x ,y ,z az egyenletrendszer megoldása és 0 0 0 4x y z+ + = .
2. Adottak az 2 12 35f X X= − + és ( )20096 6g X X= − + − polinomok. A g polinom algebrai alakja
2009 20082009 2008 1 0...g a X a X a X a= + + + + , ahol 0 1 2009, ,...,a a a ∈ .
5p a) Számítsd ki az ( ) ( )5 5f g+ összeget!
5p b) Igazold, hogy az 0 1 2009...a a a+ + + szám negatív!
5p c) Számítsd ki a g polinomnak az f polinommal való osztási maradékát!
![Page 58: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/58.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 016
1. Adott az
2 3
5 2 2
( 1) 2 3 2
mx y z m
x y z
m x y z
+ + = −
− + = − + + + = −
egyenletrendszer, ahol m valós paraméter.
5p a) Határozd meg az m ∈ értékét, ha
1 1
5 2 1 12
1 2 3
m
m
− = −+
.
5p b) Határozd meg az m ∈ értékét, ha (1,2, 3)− megoldása az egyenletrendszernek.
5p c) Oldd meg az egyenletrendszert 1m = − esetén!
2. Az 3 29 9f X X X= − − + polinom gyökei 1 2 3, , .x x x ∈
5p a) Határozd meg az f polinomnak az 2 1X − polinommal való osztási maradékát és hányadosát!
5p b) Igazold, hogy 3 3 3 2 2 21 2 3 1 2 39( ) 18x x x x x x+ + = + + − .
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az (3 ) 0xf = egyenletet!
![Page 59: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/59.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 049
1. Adottak az 1
0 1aa
M
=
alakú mátrixok, ahol a ∈ .
5p a) Számítsd ki a ( )1 2det M M+ determinánst!
5p b) Számítsd ki az 2aM mátrixot, ahol 2
a a aM M M= ⋅ .
5p c) Határozd meg azokat az ( )2X ∈ M mátrixokat, melyekre teljesül az a aM X X M⋅ = ⋅ egyenlőség,
bármely a ∈ esetén.
2. A halmazon értelmezzük az 3 33x y x y∗ = + műveletet.
5p a) Számítsd ki: 0x ∗ .
5p b) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!
5p c) Igazold, hogy ha 0x ∈ és 0 1n nx x x −= ∗ , bármely n ∗∈ esetén, akkor 3x ∉ .
![Page 60: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/60.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 037
1. Az ( )3 ZM halmazban adott az
1 0 1
0 1 0
0 0 1
F
=
és az
1
0 1
0 0 1
a b
A c
=
mátrix.
5p a) Határozd meg az ,a b és c számokat úgy, hogy
2 3 4
0 2 5
0 0 2
A F
+ =
.
5p b) Igazold, hogy az 0a c= = és 1b = − értékekre az A mátrix az F mátrix inverze!
5p c) Oldd meg az
1 2 3
4 5 6
7 8 9
F X
⋅ =
egyenletet, ahol ( )3 .X ∈ M Z
2. Az halmazon értelmezzük az 2 1x y xy x y∗ = − − + műveletet.
5p a) Bizonyítsd be, hogy ( )( )1 1x y xy x y∗ = + − − , bármely x,y ∈ .
5p b) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az ( )1 0x x∗ − = egyenletet!
![Page 61: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/61.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 048
1. Az ( )3 RM halmazban adott az 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
és az
1 1 1
0 1 1
0 0 1
X
=
mátrix. Jelölje
szern
n XXXX−
⋅⋅⋅= ... bármely n ∗∈ esetén.
5p a) Számítsd ki az 2X mátrixot!
5p b) Határozd meg az X mátrix inverzét!
5p c) Határozd meg az r valós számot úgy, hogy teljesüljön az 3 233X X rX I= + + egyenlőség!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2x yx y += műveletet.
5p a) Számítsd ki: ( )2009 2009− .
5p b) Oldd meg az halmazban az 2 64x x = egyenletet!
5p c) Igazold, hogy ha ( ) 12zx y z += , akkor x y= − .
![Page 62: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/62.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 023
1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (7,4), ( , )A B a a és (3, 2)C − pontok, ahol a ∈ .
5p a) 0a = esetén számítsd ki az ABC háromszög területét!
5p b) esetén határozd meg a B és C pontokon átmenő egyenes egyenletét!
5p c) Határozd meg az a ∈ számot, ha a B, C és ( , 2)M x − pontok kollineárisak, bármely x ∈ esetén!
2. Az 4 3 2( 3) 6 4f X aX a X X= + + + + − , [ ]f X∈ polinom gyökei 1 2 3 4, , , .x x x x
5p a) Határozd meg az a ∈ értékét úgy, hogy 1 2 3 4 3x x x x+ + + = legyen!
5p b) Határozd meg az a ∈ értékét úgy, hogy a polinom osztható legyen az 2X − polinommal!
5p c) 3a = − esetén bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X halmazon!
![Page 63: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/63.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 030
1. Adott az
2
2
2
x ay a z a
x by b z b
x cy c z c
+ + = + + = + + =
egyenletrendszer, ahol , ,a b c ∈ páronként különböző számok.
5p a) Ha 0a = , 1b = és 2c = , oldd meg az egyenletrendszert!
5p b) Igazold, hogy ( )( )( )det( A ) a b b c c a= − − − , ahol A az egyenletrendszer mátrixa!
5p c) Igazold, hogy az egyenletrendszer megoldása nem függ az ,a b és c valós számoktól!
2. A valós számok halmazán értelmezzük a x y x y m∗ = + + műveletet, ahol m valós szám.
5p a) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!
5p b) Határozd meg az m számot úgy, hogy az 6e = − semleges elem legyen a „ ∗ ” műveletre nézve!
5p c) Határozd meg az m számot úgy, hogy teljesüljön a ( ) ( )3 2 3 3 2m− ∗ − ∗ ∗ = egyenlőség!
![Page 64: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/64.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 042
1. Adott az 1 1
1 1A
= −
és az 21 0
0 1I
=
mátrix.
5p a) Igazold, hogy 222A I= , ahol 2A A A= ⋅ .
5p b) Határozd meg az x valós számot úgy, hogy ( )2det 0A xI− = legyen.
5p c) Igazold, hogy 4 4A X X A⋅ = ⋅ , bármely ( )2X ∈ M esetén. ahol 4A A A A A= ⋅ ⋅ ⋅ .
2. Adott a { }2 22 2 1G a b a,b , a b= + ∈ − = halmaz.
5p a) Igazold, hogy 3 2 2 G+ ∈ .
5p b) Igazold, hogy ,x y G⋅ ∈ bármely ,x y G∈ esetén!
5p c) Igazold, hogy a G halmaz bármely elemének van inverze a G halmazban a valós számok szorzására nézve!
![Page 65: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/65.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 018
5p 1. Adott a 2 , , 1a b b
G A a b ab a b
+ = = ∈ = − − halmaz.
5p a) Vizsgáld meg, hogy az 21 0
0 1I
=
és az 20 0
0 0O
=
mátrixok elemei-e a G halmaznak!
5p b) Határozd meg a 2 ( )B ∈ M mátrixot, ha 2
a b baI bB
b a b
+ = + − −
, bármely ,a b ∈ esetén!
c) Igazold, hogy a G halmaz bármely mátrixának az inverze is a G halmaz eleme!
2. Adott az 3 2 5 14f X aX X= + − + racionális együtthatójú polinom és az 1 2 3
n n nnS x x x= + + összeg, ahol
n ∗∈ és 1 2 3, ,x x x az f polinom gyökei.
5p a) Határozd meg az a racionális számot úgy, hogy az f polinomnak az egyik gyöke 1 2x = − legyen!
5p b) Oldd meg az ( ) 0f x = egyenletet, ha 4.a = −
5p c) Igazold az 3 2 142 4 5S S S+ = + egyenlőséget, ha 4.a = −
![Page 66: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/66.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 034
1. Adott az
a cM a,b,c,d
b d∗ = ∈
halmaz és az
1 3
2 6A
=
mátrix. Jelölje tX az X mátrix
transzponáltját.
5p a) Számítsd ki az tA A⋅ mátrixszorzatot!
5p b) Igazold, hogy az M halmaz bármely a c
Xb d
=
mátrixa esetén ( ) ( )2det tX X ad bc⋅ = − .
5p c) Igazold, hogy ha az a c
X Mb d
= ∈
mátrix esetén ( )det 0tX X⋅ = , akkor a c
b d= .
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2x y xy x y= − − + műveletet.
5p a) Igazold hogy a „ ” művelet asszociatív!
5p b) Igazold, hogy bármely ( )1x,y ,∈ + ∞ esetén ( )1x y , .∈ + ∞
5p c) Határozd meg az a ∈ számot, ha teljesül az x a a= egyenlőség bármely x ∈ esetén!
![Page 67: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/67.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 009
1. Az ( )2M halmazban adottak az a b
Ac d =
, t a cA
b d =
, 21 00 1
I =
és 20 00 0
O =
mátrixok.
5p a) Számítsd ki az , , ,a b c d egész számokat, ha 2 22A I O+ = .
5p b) Számítsd ki a tB A A= − mátrix determinánsát!
5p c) Igazold, hogy ha 22tA A I+ = , akkor az tA A− mátrix determinánsa egy 4-gyel osztható szám.
2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )( )4 4 4x y x y= − − + műveletet.
5p a) Határozd meg a művelet semleges elemét!
5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x= egyenletet!
5p c) Adj példát olyan , \a b ∈ számokra, amelyek esetén .a b ∈
![Page 68: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/68.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 044
1. Adott az 2
0 0
0 0O
=
és az a b
Ac d
=
mátrix az ( )2 RM halmazban. Jelölje tA az A mátrix
transzponáltját.
5p a) Ha 4ad = és 3bc = , számítsd ki ( )det A értékét!
5p b) Számítsd ki az tA A⋅ mátrixszorzatot!
5p c) Igazold, hogy ha az tA A⋅ mátrix elemeinek összege 0, akkor ( )det 0.A =
2. Adott az [ ]4 3 22f X X aX bX c X= + + + + ∈ polinom, amelynek gyökei 1 2 3 4, , , .x x x x
5p a) Számítsd ki az 1 2 3 4x x x x+ + + összeget!
5p b) Ha 1, 2a b= − = − és 0c = , számítsd ki az f polinom gyökeit!
5p c) Ha az f polinom gyökei számtani haladványt alkotnak, igazold, hogy 1b a= − .
![Page 69: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/69.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 004
1. Az 2 ( )M halmazban tekintsük az 21 0
,0 1
I
=
4 6
2 3A
− = −
és 2( )X a I aA= + mátrixokat, a ∈ .
5p a) Számítsd ki az 3A mátrixot, ahol 3A A A A= ⋅ ⋅ .
5p b) Igazold, hogy ( ) ( ) ( )X a X b X a b ab⋅ = + + , bármely ,a b ∈ esetén!
5p c) Számítsd ki az (1) (2) (3) ... (2009)X X X X+ + + + összeget!
2. Tekintsük a ( )6 , ,+ ⋅ gyűrűt, ahol { }6ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ0, 1, 2, 3, 4, 5 .=
5p a) Oldd meg a 6 halmazon a ˆ ˆˆ2 5 1x + = egyenletet!
5p
b) Számítsd ki a 6 halmazban az
ˆ ˆ ˆ 1 2 3
ˆ ˆ ˆ 2 3 1
ˆ ˆ ˆ 3 1 2
determinánst!
5p c) Oldd meg a 6 halmazon a
ˆ ˆ2 4
ˆ ˆ2 5
x y
x y
+ =
+ = egyenleterendszert!
![Page 70: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/70.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 040
1. Adott az ( )( )
4 4 15
3 4 5 22
3 2 3 16
x y z
x a y z
x y a z
+ + = + + + = + + − =
egyenletrendszer, ahol a ∈ R .
5p a) Ha 1a = számítsd ki a rendszer mátrixának a determinánsát!
5p b) Igazold, hogy a ( )7,1,1 számhármas nem lehet a rendszer megoldása, bármely a ∈ esetén!
5p c) Határozd meg az egyenletrendszer azon ( )0 0 0, ,x y z megoldását, amelyre 0 0 3y z+ = .
2. A Z halmazon értelmezzük az 1x y x y⊥ = + + , 1x y ax by= + − műveleteket, ahol ,a b ∈ Z ,
valamint az :f →Z Z , ( ) 2f x x= + függvényt.
5p a) Igazold, hogy ( ) ( )1 1x x x⊥ − = − ⊥ = , bármely x ∈ Z esetén!
5p b) Határozd meg az ,a b ∈ Z számokat úgy, hogy a „ ” művelet asszociatív legyen!
5p c) Ha 1a b= = igazold, hogy az f függvény morfizmus a ( ),⊥ és ( ), csoportok között!
![Page 71: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/71.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 021
1. Adottak az 3
3 1 1 0 3 4 1 0 0
0 3 1 , 0 0 3 , 0 1 0
0 0 3 0 0 0 0 0 1
A B I
= = =
mátrixok, valamint az
3 3: ( ) ( ),f →M M 23( ) 3f X X X I= − + függvény, ahol 2X X X= ⋅ .
5p a) Számítsd ki: 3det( )I B+ .
5p b) Bizonyítsd be, hogy 3( )f A I B= + .
5p c) Igazold, hogy ( )3 23( ) 3 3f A I B B= + + , ahol ( )3( ) ( ) ( ) ( )f A f A f A f A= ⋅ ⋅ .
2. Az egész számok halmazán értelmezzük az 3x y x y∗ = + − és ( )( 3) 3 3x y x y= − − + műveleteket.
5p a) Oldd meg az egész számok halmazán az x x x x= ∗ egyenletet!
5p b) Határozd meg az a egész számot úgy, hogy teljesüljön az 3x a= egyenlőség bármely x egész szám esetén!
5p c) Oldd meg az ( 1) 4
( ) 1 5
x y
x y
∗ + = − =
egyenletrendszert, ahol ,x y ∈ .
![Page 72: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/72.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 014
1. Adott az 25 0
( )0 1
A
= ∈
M mátrix. Legyen ... .n
n szer
A A A A−
= ⋅ ⋅ ⋅
5p a) Számítsd ki az 2A A+ mátrixot!
5p b) Oldd meg a ( )det 2 5 125n nA = ⋅ − egyenletet, ha ismert, hogy 5 0
0 1
nnA
=
, , 2.n n∀ ∈ ≥
5p c) Határozd meg a 2 2009...B A A A= + + + mátrix transzponáltját!
2. Adott az 4 2f X mX n= + + polinom, , .m n ∈ A polinom gyökei 1 2 3 4, , ,x x x x .
5p a) Határozd meg ,m n ∈ értékeket, ha 1 0x = és
2 1x =
az f polinom gyökei!
5p b) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy a polinom gyökeire teljesüljön az 2 2 2 21 2 3 4 2x x x x+ + + =
összefüggés!
5p c) Bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X halmazon, ha 1m = és 1.n =
![Page 73: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/73.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 006
1. Az xOy derékszögű koordináta rendszerben adottak az (0,0)O és ( ,2 )nnA n pontok, .n ∈
5p a) Igazold, hogy az 1 2, ,O A A pontok kollineárisak!
5p b) Hány egyenes megy át legalább két ponton az 0 1 2, , ,O A A A pontok közül?
5p c) Számítsd ki az 1 2, ,n n nA A A+ + pontok által meghatározott háromszög területét, n ∈ .
2. Tekintsük a { }xG A x= ∈ halmazt, ahol
1 0 0
0 1 0 , .
0 1xA x
x
= ∈
5p a) Igazold, hogy ,x y x yA A A +⋅ = ahol ,x y ∈ .
5p b) A G halmaz a mátrixok szorzásával csoportot alkot. Határozd meg a ( ),G ⋅ csoport semleges elemét!
5p c) Igazold, hogy az : , ( ) xf G f x A→ = függvény csoportmorfizmus a ( ),+ és ( ),G ⋅ csoportok között!
![Page 74: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/74.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 011
1. Adottak az ( )0 0U = , ( )X x y= és 9
1
vV
v
=
mátrixok, ahol , ,v x y ∈ .
5p a) Igazold, hogy ha X V U⋅ = , akkor 2( 9) 0x v⋅ − = .
5p b) Határozd meg a v valós szám azon értékeit, amelyekre a V mátrix determinánsa zérótól különböző!
5p c) Határozd meg a
3 0
9 3 0
x y
x y
+ = + =
egyenletrendszer három különböző megoldását!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 3 33 1x y x y= + − műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( ) 1x x− = − , bármely x valós szám esetén.
5p b) Igazold, hogy a „ ” művelet asszociatív!
5p c) Számítsd ki: ( ) ( )4 3 ... 3 4.− −
![Page 75: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/75.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 041
1. Adott az
2
2 3
2
x y z
x y z
x y z a
+ + = + − = − + =
egyenletrendszer, ahol a ∈ .
5p a) Számítsd ki az egyenletrendszer mátrixának determinánsát!
5p b) Ha 0a = , oldd meg az egyenletrendszert!
5p c) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy az egyenletrendszer megoldása teljesítse az x y z= +
összefüggést!
2. Adott az [ ]f X∈ , 3 22 8f X X aX= − + − polinom.
5p a) Határozd meg az a valós számot úgy, hogy az f polinom egyik gyöke 2 legyen!
5p b) Ha 4a = , számítsd ki az f polinomnak a 2 2 4g X X= − + polinommal való osztási hányadosát és
maradékát!
5p c) Igazold, hogy ha ( )2,a ∈ +∞ , akkor az f polinom nem minden gyöke valós!
![Page 76: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/76.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 029
1. Az ( )2M halmazban az A mátrix transzponáltját jelöljük tA -vel.
5p a) Számítsd ki az 2 2tI I+ mátrixot, ahol 2
1 0
0 1I
=
.
5p b) Bizonyítsd be, hogy bármely ( )2A ∈ M és m ∈ esetén ( )t tmA mA= .
5p c) Határozd meg azokat az ( )2A ∈ M mátrixokat, amelyekre 2tA A O+ = , ahol 2
0 0
0 0O
=
.
2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )( )2 2 2x y x y∗ = − − + műveletet.
5p a) Oldd meg az x x x∗ = egyenletet, ahol x ∈ .
5p b) Igazold, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!
5p c) Határozd meg a semleges elemet a „ ∗ ” műveletre nézve!
![Page 77: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/77.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 047
1. Adott az 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
és az
2 0 0
0 1 0
0 1 1
A
=
mátrix.
5p a) Határozd meg az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .
5p b) Igazold, hogy 3 234 5 2A A A I= − + , ahol 3 2A A A= ⋅ .
5p c) Határozd meg az , ,m n p valós számokat, ha 1 23A mA nA pI− = + + , ahol 1A− az A mátrix inverze!
2. Adottak az 1 2 3, ,x x x valós számok, amelyekre teljesülnek az
1 2 3 1 2 2 3 3 11 2 3
1 1 1 12; ; 2
2x x x x x x x x x
x x x+ + = + + = + + = − egyenlőségek.
5p a) Számítsd ki az 1 2 3x x x szorzatot!
5p b) Határozd meg , ,a b c ∈ számokat úgy, hogy 1 2 3, ,x x x az 3 2 0x ax bx c+ + + = egyenlet gyökei
legyenek!
5p c) Bontsd fel az 3 22 2 4f X X X= − − + polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X
halmazban!
![Page 78: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/78.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 031
1. Adott az ( ),a b
M A a b a,bb a b
= = ∈ − − halmaz és az 2
1 0
0 1I
=
mátrix.
5p a) Számítsd ki az (1,1)A mátrix determinánsát!
5p b) Bizonyítsd be, hogy ha ,A B M∈ akkor A B M+ ∈ .
5p c) Igazold, hogy ( )( )2det 0, 0I A b− ≠ , bármely b ∈ esetén!
2. Adott a [ ]3 XZ polinomgyűrű.
5p a) Ha [ ] ( ) ( )2
3 , 2 1g X g X X∈ = + +Z , számítsd ki ( )0̂g értékét!
5p b) Ha [ ]3f X∈ Z , 3 2f X X= + , igazold, hogy ( ) 0f x = , bármely 3x ∈ esetén!
5p c) Határozd meg az összes olyan [ ]3h X∈ harmadfokú polinomot, amelyekre
( ) ( ) ( )ˆ ˆ ˆ0 1 2 0h h h= = = .
![Page 79: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/79.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30 p) – Varianta 017
1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (0,0)O és ( ,2 1)nA n n + pontok, ahol .n ∈
5p a) Határozd meg az 21 AA egyenes egyenletét!
5p b) Számítsd ki az 21 AOA háromszög területét!
5p c) Bizonyítsd be, hogy az ( ,2 1),nA n n + n ∈ pontok kollineárisak!
2. Adott az
0
( ) 0 0 0
0
a a
M A a a
a a
= = ∈
halmaz.
5p a) Igazold, hogy ( ) ( ) (2 )A a A b A ab⋅ = , bármely a és b valós szám esetén!
5p b) Igazold, hogy az
1
2A
semleges elem a mátrixok szorzására nézve az M halmazon!
5p c) Számítsd ki az (1)A M∈ elem inverzét a mátrixok M halmazon tekintett szorzására nézve!
![Page 80: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/80.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
12 II. FELADAT (30p) – Varianta 012
1. Adottak az
1 1 1
0 1 1 ,
0 0 1
A
=
3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
és
0 1 1
0 0 1
0 0 0
B
=
mátrixok. Legyen 2.X X X⋅ =
5p a) Igazold, hogy 3A I B= + .
5p b) Számítsd ki az 2 2A B+ összeget! 5p c) Határozd meg az 2A mátrix inverzét! 2. A valós számok halmazán értelmezzük az 7( ) 42x y xy x y= + + + műveletet.
5p a) Számítsd ki: 2 ( 2)− .
5p b) Igazold, hogy ( 7)( 7) 7x y x y= + + − , bármely ,x y ∈ esetén!
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x= egyenletet, ha a ismert, hogy a „ ” művelet asszociatív.
![Page 81: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/81.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 020
1. Az xOy derékszögű koordináta-rendszerben adottak az (0,0)O és az ( 2,3 2)nA n n+ − pontok, n ∈ .
5p a) Határozd meg az 1A és 2A pontokon átmenő egyenes egyenletét!
5p b) Számítsd ki az 0 1OA A háromszög területét!
5p c) Bizonyítsd be, hogy az 1 2, A A és nA pontok kollineárisak bármely ,n ∈ 3n ≥ esetén!
2. Adottak az 5 353 3 3 4 [ ]f X X X X= + + + ∈ és 3 2
53 3 2 3 [ ]g X X X X= + + + ∈ polinomok.
5p a) Számítsd ki az (0) (1)f f+ összeget!
5p b) Oldd meg a 5 halmazban az ( ) 0f x = egyenletet!
5p c) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási hányadosát!
![Page 82: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/82.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 046
1. Adottak az
2 1
4 2A
− = −
, 21 0
0 1I
=
, 20 0
0 0O
=
mátrixok, valamint a
( ) ( ){ } ( )2 2, , , ,G M x y M x y xI yA x y= = + ∈ ⊂ M halmaz.
5p a) Igazold, hogy 22A O= , ahol 2A A A= ⋅ .
5p b) Határoz meg az ( )1,1M mátrix inverzét!
5p c) Határozd meg a G halmaz invertálható mátrixait!
2. Az [ ]X halmazban adott az 3 2 1f X pX= + + polinom, ahol p ∈ . Az f gyökei 1 2 3, ,x x x .
5p a) Számítsd ki ( )f p− értékét!.
5p b) Határozd meg a p ∈ számot úgy, hogy az f polinom osztható legyen az 1X − polinommal!
5p c) Számítsd ki az 4 4 41 2 3x x x+ + összeget a p ∈ függvényében!
![Page 83: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/83.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 022
1. Adott a 2 22 , , 3 1 ( )
3
a bG a b a b
b a
= ∈ − = ⊂
M halmaz.
5p a) Igazold, hogy 21 0
0 1I G
= ∈
és 20 0
0 0O G
= ∉
.
5p b) Igazold, hogy bármely két ,A B G∈ mátrix esetén teljesül az A B B A⋅ = ⋅ egyenlőség!
5p c) Igazold, hogy a G bármely mátrixának inverze is a G halmaz eleme!
2. Adott az 3 211 7f mX X X m= + + + , [ ]f X∈ polinom.
5p a) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen a 1g X= − polinommal!
5p b) Határozd meg az m ∈ értékét úgy, hogy ( )2f ∈ legyen!
5p c) Számítsd ki az f polinom gyökeinek négyzetösszegét, ha 9.m = −
![Page 84: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/84.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 027
1. Adottak az 1 1
1 1A
=
, 1 1
1 1B
− = −
és 20 0
0 0O
=
mátrixok.
5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot, ahol 2A A A= ⋅ .
5p b) Igazold, hogy 22AB B O− = .
5p c) Igazold, hogy ha ( )2X ∈ M és 2A X B O⋅ ⋅ = , akkor az X mátrix elemeinek összege zéró.
2. Adottak az [ ]2,f g X∈ , 2 1f X= + és 1g X= + polinomok, valamint a
{ }22, ,H a bX cX a b c= + + ∈
halmaz.
5p a) Igazold, hogy 2g f= .
5p b) Határozd meg az f g+ polinomnak az f polinommal való osztási maradékát és hányadosát!
5p c) Határozd meg a H halmaz elemeinek számát!
![Page 85: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/85.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 033
1. Adott az
1
0 1 , ,
0 0 1
a c
M b a b c
= ∈
halmaz.
5p a) Ha
1 2 1
0 1 3
0 0 1
A
=
és
1 3 1
0 1 2
0 0 1
B
=
, számítsd ki az AB mátrixot!
5p b) Igazold, hogy bármely ,X Y ∈ M esetén XY ∈ M .
5p c) Igazold, hogy ha U ∈ M és VU UV= , bármely V ∈ M esetén, akkor létezik p ∈ úgy, hogy
1 0
0 1 0
0 0 1
p
U
=
.
2. Adott az ( )22 22 1f X X a= − + − polinom, ahol a ∈ .
5p a) Ha 0a = , oldd meg az ( ) 0f x = egyenletet!
5p b) Igazold, hogy ( )( )2 22 1 2 1f X X a X X a= − + + − + − .
5p c) Határozd meg azon a ∈ számokat, amelyekre az f polinom minden gyöke valós!
![Page 86: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/86.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 028
1. Adott az { }2M aI bV a,b= + ∈ halmaz, ahol 21 0
0 1I
=
és 1 1
1 1V
− = −
.
5p a) Igazold, hogy 2I M .∈
5p b) Igazold, hogy ha A M∈ és A invertálható, akkor 0a ≠ .
5p c) Ha A,B M∈ igazold, hogy AB M∈ .
2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )5 30x y xy x y∗ = − + + műveletet.
5p a) Bizonyítsd be, hogy ( )( )5 5 5x y x y∗ = − − + , bármely x, y ∈ esetén!
5p b) Határozd meg a semleges elemet a „ ∗ ” műveletre nézve!
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán az x x x x∗ ∗ = egyenletet, ha ismert, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!
![Page 87: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/87.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 035
1. Adott az ( ) tf A A A= + összefüggéssel értelmezett ( ) ( )2 2:f →R RM M függvény, ahol tA az A
mátrix transzponáltja.
5p a) Számítsd ki az 2( )f I .mátrixot!
5p b) Igazold, hogy ( )t t tA B A B+ = + , bármely ( )2,A B ∈ RM esetén!
5p
c) Határozd meg azokat az ( )2A ∈ RM mátrixokat, melyekre det 1A = és 2( )f A O= , ahol
20 0
0 0O
=
.
2. Adott az 4 3 1 0x ax ax− − + = egyenlet, melynek megoldásai 1 2 3 4, , ,x x x x , ahol a ∈ .
5p a) Határozd meg az a ∈ számot, ha 1 2 3 4 5x x x x+ + + = .
5p b) Ha 1a = , határozd meg az egyenlet valós megoldásait!
5p c) Határozd meg az a egész szám azon értékeit, amelyekre az egyenletnek legalább egy megoldása egész szám!
![Page 88: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/88.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 043
1. Adott az 0 , . .
0 0
a b c
M a d a b c d
a
= ∈
R halmaz és az 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
mátrix.
5p a) Igazold, hogy 3O M∈ .
5p b) Igazold, hogy az M halmaz két tetszőleges mátrixának a szorzata benne van az M halmazban!
5p c) Ha A M∈ és ( )det 0A = , igazold, hogy 33A O= , ahol 3A A A A= ⋅ ⋅ .
2. Adott az 4 3 2f X X aX bX c= − + + + polinom, ahol , ,a b c ∈ .
5p a) Ha 1a c= = és 1b = − határozd meg az f polinomnak az 2 1X + polinommal való osztási
maradékát és hányadosát!
5p b) Határozd meg az a, b, c számokat, ha az f polinomnak az 2 1X + -gyel való osztási maradéka
X , valamint az f polinomnak 1X − -gyel való osztási maradéka 1− .
5p c) Igazold, hogy ha 1
, ,2
a ∈ + ∞
akkor az f polinomnak nem minden gyöke való!
![Page 89: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/89.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 007
1. Adottak az 3 4
2 3A
=
, 1 2
1 1B
=
és 21 0
0 1I
=
mátrixok.
5p a) Számítsd ki a 2B mátrixot, ahol 2B B B= ⋅ .
5p b) Igazold, hogy 1 3 4
2 3A− −
= − .
5p c) Igazold, hogy 4 426C I= ⋅ , ahol 2 1C B A−= + és 4 .C C C C C= ⋅ ⋅ ⋅ .
2. Adottak az 3 2 1f X aX X= + + + és 3g X= + polinomok a 5[ ]XZ gyűrűben.
5p a) Határozd meg az 5a ∈ értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen g polinommal!
5p b) Igazold, hogy 1a = esetén 2( 1)( 1)f X X= + + .
5p c) Oldd meg a 5( , , )+ ⋅Z gyűrűben az ( ) 0f x = egyenletet, ha 1.a =
![Page 90: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/90.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 025
1. Adott az 2
1
2 1
4 1
x y z
x y az
x y a z
+ + =
+ + = + + =
egyenletrendszer, valamint az 32
1 1 1
( ) 1 2 ( )
1 4
A a a
a
= ∈
M mátrix.
5p a) Számítsd ki a det( (4))A determinánst!
5p b) Határozd meg az a ∈ azon értékeit, melyekre az ( )A a mátrix invertálható!
5p c) Ha \{1,2}a ∈ , oldd meg az egyenletrendszert!
2. Adott az 3 2 4f X aX aX= + − − , [ ]f X∈ polinom.
5p a) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy 1 2 3 2x x x+ + = − legyen, ahol 1 2 3, ,x x x az f
polinom valós gyökei!
5p b) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy az f polinom osztható legyen az 2 2X − polinommal!
5p c) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy az f polinomnak legyen egy pozitív racionális gyöke!
![Page 91: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/91.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 045
1. Az ( )2 RM halmazban adott az 21 0
0 1I
=
és az a b
Ac d
=
mátrix. Jelölje 2A A A= ⋅ .
5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot!
5p b) Igazold, hogy ( ) ( )22A a d A ad bc I= + − − .
5p c) Igazold, hogy ha 0a d+ ≠ és az ( )2M ∈ M mátrix esetén 2 2A M MA= , akkor AM MA= .
2. Adott az [ ]f X∈ , 3 22f X X aX b= − + + polinom, melynek gyökei 1 2 3, ,x x x .
5p a) Ha 1a = és 0b = , számítsd ki az 1 2 3, ,x x x gyököket!
5p b) Ha 2 2 21 2 3 2x x x+ + = igazold, hogy 1a = .
5p c) Határozd meg az a és b valós számokat, ha 2 2 21 2 3( )( )( )f X x X x X x= − − − .
![Page 92: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/92.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 008
1. Adottak az
1
2 ,
3
X
=
1
2
3
Y
= −
és 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
mátrixok. Legyen tA X Y= ⋅ és
3( )B a aA I= + , ahol a ∈ és tY az Y mátrix transzponáltja.
5p a) Igazold, hogy
1 2 3
2 4 6
3 6 9
A
− = − −
.
5p b) Számítsd ki az A mátrix determinánsát!
5p c) Igazold, hogy a ( )B a mátrix invertálható, bármely 1
\4
a ∈
esetén!
2. Adottak az 5, [ ]f g X∈ , 2(3 3 ) 2 2 3f a b X X a b= + + + + és 22 2 3 2g X X a b= + + + polinomok.
5p a) Határozd meg az 5,a b ∈ értékét úgy, hogy a két polinom egyenlő legyen!
5p b) Számítsd ki az (0) (1) (2) (3) (4)f f f f f+ + + + összeget, ha 2.a b= =
5p c) Oldd meg a 5 halmazban az ( ) 0f x = egyenletet, ha 2.a b= =
![Page 93: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/93.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 039
1. Adott az , ,a b
M a b cb c
= ∈
halmaz és az 21 0
0 1I
=
mátrix.
5p a) Igazold, hogy 2I M∈ .
5p b) Ha ,A B M∈ igazold, hogy A B M+ ∈ .
5p c) Igazold, hogy ( ) 0det AB BA− ≥ , bármely ,A B M∈ esetén!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 2 2x y xy x y∗ = − + + − műveletet.
5p a) Oldd meg a valós számok halmazán az 4 10x ∗ = egyenletet!
5p b) Határozd meg az a ∈ számot úgy, hogy teljesüljön az x a a x a∗ = ∗ = egyenlőség bármely x ∈ esetén!
5p c) Számítsd ki az 1 2 4018
2009 2009 2009∗ ∗ ∗… értékét, ha tudjuk, hogy a „ ∗ ” művelet asszociatív!
![Page 94: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/94.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 026
1. Adottak az 20 0
0 0O
=
, 21 0
0 1I
=
és az 0 1
Aa b
=
mátrixok, ahol ,a b ∈ . Legyen 2A A A.= ⋅
5p a) Számítsd ki az 2A mátrixot!
5p b) Igazold, hogy 22A aI bA= + , ahol 2A A A= ⋅ .
5p c) Ha ( )2X ∈ M és AX XA= , igazold, hogy létezik m,n ∈ úgy, hogy 2X mI nA= + .
2. Adott az 4 3 1f X aX X= + − − polinom, ahol a ∈ .
5p a) Határozd meg az a számot, ha 1x = gyöke az f polinomnak!
5p b) Ha 1a = , határozd meg az f polinom valós gyökeit!
5p c) Igazold, hogy ( ) 0f x ≠ , bármely x \∈ .
![Page 95: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/95.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 005
1. Adott az 3 1
,1 3
xA x
x
− = ∈ −
mátrix. Jelölje 2A A A= ⋅ és 21 0
.0 1
I
=
5p a) Határozd meg az x valós szám értékét, ha ( )det 0A = .
5p b) Igazold az ( ) ( )2 222 6 6 8A x A x x I= − − − + ⋅ egyenlőséget!
5p c) Határozd meg az x ∈ azon értékét, amelyre teljesül az 2 2A A= egyenlőség!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az ( )2 6x y xy x y= − + + műveletet.
5p a) Igazold, hogy ( )( )2 2 2, bármely ,x y x y x y= − − + ∈ esetén!
5p b) Igazold, hogy 2 2,x = bármely x ∈ esetén!
5p c) Számítsd ki az ( ) ( ) ( )2009 2008 1 0 1 2 2009E = − − −… … kifejezés értékét, ha a „ ”
művelet asszociatív!
![Page 96: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/96.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 050
1. Adott az , ,a b
M a b cc a
= ∈
halmaz, valamint az 21 0
0 1I
=
mátrix.
5p a) Igazold, hogy 2I M∈ .
5p b) Ha ,A B M∈ , igazold, hogy A B M+ ∈ .
5p c) Bizonyítsd be, hogy ( )det 0AB BA− ≤ , bármely ,A B M∈ esetén!
2. Adott az [ ]{ }23M f X f X aX b= ∈ = + + halmaz.
5p a) Számítsd ki ( )1f értékét, ha 1a b= = .
5p b) Határozd meg 3,a b ∈ értékét úgy, hogy ( ) ( )0 1 1.f f= =
5p c) Határozd meg az M halmaz elemeinek számát!
![Page 97: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/97.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 036
1. Adott a ,
a b b
G b a b a b
b b a
= ∈
halmaz, valamint a
1 1 1
1 1 1
1 1 1
B
=
és 3
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I
=
mátrix.
5p a) Igazold, hogy 2 3B B= , ahol 2B B B= ⋅ .
5p b) Igazold, hogy 3mI nB G+ ∈ , bármely ,m n ∈ esetén!
5p c) Igazold, hogy ha A G∈ és 23A O= , akkor 3A O= , ahol 3
0 0 0
0 0 0
0 0 0
O
=
és 2 .A A A= ⋅
2. Adott az [ ]4 212 35,f X X f X= − + ∈ polinom.
5p a) Bizonyítsd be, hogy ( )22 6 1f X= − − .
5p b) Igazold, hogy a polinomnak nincsenek egész gyökei!
5p c) Bontsd fel a polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]XR halmazon!
![Page 98: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/98.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 010
1. Adott az 22 6
( )1 3
A−
= ∈ − M mátrix. Legyen 2
0 00 0
O =
és szern
n AAAA−
⋅⋅⋅= ... , bármely n ∗∈ .
5p a) Számítsd ki az .A mátrix determinánsát!
5p b) Igazold, hogy 2 32A A O+ = .
5p c) Számítsd ki az 2 102 10A A A+ ⋅ + + ⋅ összeget!
2. Adottak az , [ ]f g X∈ , 10 10( 1) ( 2)f X X= − + − és 2 3 2g X X= − + polinomok.
5p a) Bontsd fel a g polinomot irreducibilis tényezők szorzatára az [ ]X halmazon!
5p b) Igazold, hogy az f polinom nem osztható a g polinommal!
5p c) Határozd meg az f polinomnak a g polinommal való osztási maradékát!
![Page 99: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/99.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 015
1. Az 2 ( )M halmazban adottak az 1 2
2 4A
=
, 4 2
2 1B
− = −
és 21 0
0 1I
=
mátrixok.
5p a) Igazold, hogy AB BA= .
5p b) Számítsd ki az 2 2A B+ mátrixot ha 2A A A= ⋅ és 2B B B= ⋅ .
5p c) Bizonyítsd be, hogy 4 425 ,C I= ⋅ ahol C A B= + és 4 .C C C C C= ⋅ ⋅ ⋅
2. Adottak az 4 3 2 5 6f X aX bX X= + + − + és 3 2g X X= + − racionális együtthatójú polinomok.
5p a) Határozd meg ,a b ∈ értékét úgy, hogy az f polinom osztható legyen a g polinommal!
5p b) Bontsd fel az f polinomot irreducibilis tényezők szorzatára a [ ]X halmazon, ha 3a = − és 1.b =
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a 13 23 3 3 5 6 3 0x x x x+ −− + − + ⋅ = egyenletet!
![Page 100: electromures.netelectromures.net/content/Variansok_matek/MT2/II.pdf · 2018-09-16 · Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042100/5e7bfc94838599650228728d/html5/thumbnails/100.jpg)
Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar
Probă scrisă la MATEMATICĂ Proba D – MT2
II. FELADAT (30p) – Varianta 002
1. Adott a
a b c
d c a b
b c a
= determináns, ahol , ,a b c ∈ .
5p a) Számítsd ki a d determinánst, ha 2a = , 1b = és 1.c = −
5p b) Igazold, hogy ( )2 2 21
( ) ( ) ( ) ( )2
d a b c a b b c c a= + + − + − + − , bármely , ,a b c ∈ esetén!
5p c) Oldd meg a valós számok halmazán a 8 27 125 3 (2 3 5) 0x x x x+ + − ⋅ ⋅ ⋅ = egyenletet!
2. A valós számok halmazán értelmezzük az 2 6 6 21x y xy x y= − − + műveletet.
5p a) Igazold, hogy 2( 3)( 3) 3,x y x y= − − + bármely ,x y ∈ esetén!
5p b) Oldd meg a valós számok halmazán az 11x x = egyenletet!
5p c) Számítsd ki az 1 2 3 2009… értékét, ha a „ ” művelet asszociatív!