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UNIVERSIDAD DE BUENOS AIRES

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Departamento de F́ısica

Localización y Transporte en Cadenas Periódicas deMapas Caóticos

Trabajo de Tesis para optar por el t́ıtulo de Doctor

de la Universidad de Buenos Aires en el área Ciencias F́ısicas

Junio de 2009

por Lic. Leonardo Ermann

Director de Tesis: Prof. Marcos Saraceno

Director Asistente: Dr. Gabriel Carlo

Lugar de Trabajo: Departamento de F́ısica,

Laboratorio Tandar, CNEA, Argentina

Resumen

La descripción adecuada de las propiedades espectrales de propagadores

cuánticos, correspondientes a sistemas caóticos en el ĺımite clásico, sigue sien-

do un problema abierto. Las motivaciones no son sólo de carácter fundamen-

tal, sino que también se deben a las potenciales aplicaciones en sistemas com-

plejos. Justamente en esta tesis se estudian los fenómenos de transporte en

una cadena de mapas caóticos acoplados a través de sus propiedades espec-

trales. Este sistema modela una cadena de cavidades donde la no-linealidad

y la mecánica cuántica tienen un rol primordial, y puede tomarse como una

representación sencilla de sistemas f́ısicos de interés como los nanotubos,

condensados de Bose-Einstein, motores moleculares y circuitos cuánticos.

Las propiedades espectrales de la evolución interna de cada celda se rela-

cionan con la corriente asintótica de la cadena en forma directa, y por lo

tanto son esenciales para el análisis del transporte. De esta manera la tesis

se dedica tanto al estudio de una descripción espectral sencilla de mapas

caóticos, como al análisis del transporte en cadena de mapas.

Los sistemas que se tratan son los mapas lineales a trozos en el toro,

como el mapa del panadero por ejemplo, que son caóticos en todo el espacio

de fases, pero a la vez lo suficientemente simples como para presentar, enten-

der y desarrollar nuevas herramientas. Las aproximaciones a los autoestados

propuestas se basan tanto en propiedades particulares de estos mapas (una

sencilla factorización utilizando técnicas de información cuántica), como en

caracteŕısticas totalmente generales a sistemas caóticos (funciones de cica-

triz localizadas sobre las órbitas periódicas y sus variedades). También se

analizan estos mapas con aperturas que no conservan probabilidades, dadas

por regiones de escape en espacio de fases. Se estudia la localización de las

resonancias en una nueva representación, y se las compara con el conjunto

invariante clásico de estructura fractal.

La ruptura de simetŕıa de paridad sobre la cadena unidimensional de

mapas conectados deriva en un comportamiento tipo ratchet. Por último,

se desarrolla un estudio detallado del origen de la corriente y de su valor

asintótico en función del parámetro de asimetŕıa del sistema, del estado ini-

cial y del valor de ~.

Palabras clave: Caos Cuántico, Mecánica semiclásica, Información Cuánti-

ca, Fenómenos de Transporte, Funciones de Cicatriz, Sistemas Abiertos.

III

“Localization and Transport in Periodic Chains of Chaotic Maps”

Abstract

An accurate description of the spectral properties of quantum propaga-

tors, which correspond to chaotic systems in the classical limit, remains an

open problem. The motivations are not only of fundamental nature, but also

due to potential applications in complex systems. Indeed, in this thesis we

study the transport phenomena in a chain of coupled chaotic maps using its

spectral properties. This system models a cavity chain where nonlinearity

and quantum mechanics have a fundamental role, and can represent physical

systems of interest in a simplified way like nanotubes, Bose-Einstein conden-

sates, molecular motors and quantum circuits. The spectral properties of the

internal evolution of each cell are directly related to the asymptotic current

of the chain, and therefore are central to the analysis of transport. The thesis

is dedicated to both the study of spectral properties of chaotic maps, and

the analysis of the transport in chain of coupled maps.

The systems under analysis are the linear maps divided in regions, e.g.

the baker’s map, which are chaotic in the entire phase space, and simple

enough to be presented, to understand and to enable the development of new

tools. The approaches to the spectrum of those systems are based both on

particular properties of this map, i.e. its simple factorization using quantum

information tools, and completely general characteristics of chaotic systems,

such as scar functions localized on the periodic orbits and its manifolds. The

case of open maps which do not preserve probabilities are also analyzed. We

study resonances localization in a new representation, and we compare them

with the classical invariant set which has fractal structure.

The transport analysis is performed for unidimensional lattices of maps

with coupling between first neighbors. This model behaves like a quantum

ratchet by breaking the parity symmetry. Finally, we carry out a detailed

study of the current as a function of the asymmetry parameter, the initial

conditions, and the value of ~.

keywords: Quantum Chaos, Semiclassics, Quantum Information, Ratchet,

Scar Functions, Open Systems.

V

a Ana y Lara

Índice general

1. Introducción 1

1.1. Estructura de la tesis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

I Propiedades espectrales 7

2. Panadero Esencial 9

2.1. El Panadero clásico y sus invariantes . . . . . . . . . . . . . . 9

2.2. Mapa del panadero Cuántico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

2.2.1. Familia cuántica de mapas del panadero en qubits . . 15

2.2.2. Cuantización de iteraciones del mapa . . . . . . . . . . 19

2.2.3. Generalización del mapa del panadero cuántico . . . . 22

2.3. Propiedades espectrales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.3.1. El caso particular D = 2n: Panadero en qubits . . . . 30

2.3.2. Matriz de overlaps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

2.3.3. El espectro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

2.4. Resumen de resultados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

3. Funciones de cicatriz 39

3.1. Construcción de las funciones de cicatriz . . . . . . . . . . . . 40

3.1.1. Modos en órbitas periódicas . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.1.2. Funciones cicatriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

3.2. Resultados Numéricos de la base . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.2.1. Base de funciones cicatriz . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Aproximación de cicatrices con MOP homocĺınicas . . . . . . 51


4. Mapas abiertos en espacio de fases 57

4.1. El mapa clásico abierto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

4.1.1. Mapa del panadero abierto . . . . . . . . . . . . . . . 59

4.2. Resonancias Cuánticas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4.2.1. Distribución en espacio de fases . . . . . . . . . . . . . 63

4.3. Reversión temporal en resonancias . . . . . . . . . . . . . . . 69

IX

ÍNDICE GENERAL

4.4. Circuito cuántico del mapa del panadero abierto . . . . . . . 71


II Transporte en cadenas de mapas 77

5. El Multibaker 79

5.1. El Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

5.1.1. El mapa del panadero asimétrico . . . . . . . . . . . . 81

5.1.2. El mapa multibaker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

5.1.3. Evolución temporal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

5.1.4. Probabilidad y corriente gruesa . . . . . . . . . . . . . 85

5.1.5. Ruptura de simetŕıas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

5.2. Origen de la corriente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

5.2.1. Corriente Asintótica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91


6. Corriente asintótica vs. Espectro 95

6.1. Espectro en función vs. momento de la cadena . . . . . . . . 98

6.1.1. Autoestados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98

6.1.2. Estad́ıstica de niveles . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

6.1.3. Acoplamiento entre espectro y el estado inicial . . . . 102

6.2. Estudio de la corriente gruesa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104


7. Conclusiones 111

7.1. Problemas abiertos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

A. Circuitos cuánticos 117

B. Factorización de la transformada de Fourier discreta con

ángulos de Floquet 119

C. Representación de Husimi en el toro 123

D. MOP: exacto vs. semiclásico 125

X

ÍNDICE GENERAL

E. Mapa del panadero centrado 129

F. Paridad en el panadero asimétrico cuántico 131

Publicaciones 135

Agradecimientos 137

Bibliograf́ıa 139

XI

1Introducción

Un nuevo paradigma surgió en mecánica clásica luego de que Henri

Poincaré proclamara que no es posible predecir el movimiento a tiempos

largos para un problema tan simple como el de algunas part́ıculas inter-

actuando en forma gravitatoria. Este sorprendente hallazgo ocurrido en el

siglo XIX, presentaba una de las primeras evidencias en contra del determi-

nismo de Newton que llevaba doscientos años de hegemońıa. Si se contaba

con las condiciones iniciales del sistema y las fuerzas involucradas (o equiva-

lentemente el Hamiltoniano), la predicción de la dinámica era sencillamente

calculable. Sin embargo, para evoluciones lo suficientemente complejas, la

sensibilidad ante variaciones en las condiciones iniciales pod́ıa crecer expo-

nencialmente, destruyendo aśı cualquier información finita disponible en el

sistema inicialmente.

El estudio detallado de sistemas caóticos se desarrolló luego de que tan-

to la teoŕıa de la relatividad como la mecánica cuántica se encargaran de

derribar a la mecánica Newtoniana en los primeros años del siglo XX. Jus-

tamente Albert Einstein, uno de los “padres” de ambas teoŕıas, fue uno

de los primeros en notar la incompatibilidad entre el caos y la mecánica

cuántica en 1917 [1]. Por ejemplo, la imposibilidad de definir trayectorias en

mecánica cuántica debido al principio de incertidumbre de Heisenberg, o una

“distancia” constante entre distintos estados iniciales (|〈ψt|φt〉| = |〈ψ0|φ0〉|)generada por la evolución unitaria, atentan contra la definición de caos en

mecánica cuántica.

1

CAṔITULO 1. INTRODUCCIÓN

El término de caos cuántico hace referencia por lo tanto a los sistemas

cúanticos que poseen un ĺımite clásico caótico. El principio de equivalencia

entre mecánica cuántica y clásica para estos sistemas complejos es altamente

no trivial. En lugar de considerar la evolución temporal del sistema, una

de las principales ĺıneas de investigación desarrolladas es el estudio de las

distribuciones estad́ısticas de los niveles de enerǵıa y de los autoestados.

Los primeros pasos en la dirección de una descripción semiclásica de la

mecánica cuántica fueron dados para sistemas integrables unidimensionales

por Wentzel, Kramers y Brillouin (WKB [2]), y luego generalizados para un

número mayor de grados de libertad por Van Vleck [3].

La reformulación de la mecánica cuántica a través de integrales de caminos

desarrollada por Feynman [4] fue la base para que Gutzwiller propusiera la

celebrada fórmula de trazas [5]. En esta aproximación semiclásica se obtiene

al propagador cuántico del sistema (o equivalentemente al espectro), a partir

de una suma sobre los invariantes clásicos del sistema caótico dados por sus

órbitas periódicas y propiedades (estabilidad, peŕıodo, multiplicidad, etc.).

Finalmente las ideas de Poincaré del carácter fundamental de la órbitas

periódicas en los sistemas caóticos se vieron reflejadas en la aproximación

semiclásica de Gutzwiller1.

Dos trabajos fundamentales de propiedades espectrales en caos cuántico

se desarrollaron en 1984. Por un lado tenemos la conjetura de Bohigas, Gia-

nnoni y Schmit [7] que afirma que la estad́ıstica de niveles de los sistemas

cuánticos “caóticos” está descripta por la de las distribuciones de la teoŕıa

de matrices aleatorias (RMT [8]). Esta afirmación, basada en los trabajos

originales de Dyson y Wigner en f́ısica nuclear conecta (como conjetura) las

fluctuaciones del espectro de un sistema (con un Hamiltoniano complejo de

muchos cuerpos) con el de un sistema sencillo de dos grados de libertad,

pero cuya dinámica clásica es caótica. El segundo trabajo del mismo año

trata sobre los autofunciones para evoluciones caóticos. La presencia de au-

toestados de sistemas cuánticos localizados sobre órbitas periódicas cortas y

1Cita de Henri Poincaré traducida por M. Baranger: “they (the periodic orbits) are theonly breach through we might try to penetrate into a stronghold hitherto reputed unassail-able” [6]

2

sus variedades fueron señaladas por Heller (cicatrices [9]). Este fenómeno se

entiende a partir de localizaciones “accidentales” en contraposición al teo-

rema de Schnirelman que asegura una distribución uniforme sobre una capa

de enerǵıa de acuerdo con un ensamble microcanónico [10, 11]. Las cicatri-

ces fueron estudiadas posteriormente en varios sistemas caóticos, donde se

desarrollaron teoŕıas lineales y no lineales [12, 13, 14, 15, 16, 17, 18]. En esta

dirección, y explotando este fenómeno, se construyeron funciones de cicatriz

localizadas sobre las órbitas periódicas cortas y sus variedades, con larga

vida media y por lo tanto pequeñas dispersiones en enerǵıas [15, 16].

A más de medio siglo de consolidada la mecánica cuántica surgieron

las ramas de la información y computación cuántica a principios de los ’90s

[19]. La idea de Feynman, a principios de los ’80s, que formulaba las posibles

ventajas de la mecánica cuántica para resolver problemas, se vio plasmada en

el problema de factorización propuesto por Schor [20]. A partir de ese punto,

impulsado por el creciente control cuántico en los experimentos, avanzó la

teoŕıa brindando nuevos desarrollos tales como la criptograf́ıa cuántica y las

simulaciones.

La convergencia entre el caos cuántico y la computación e información

cuántica se dio naturalmente, por un lado debido a la complejidad de los sis-

temas en los que se desarrollan experimentalmente estas últimas, y por otro

con el objetivo de estudiar evoluciones caóticas en computadores cuánticas

[21, 22, 23, 24].

El propósito de esta tesis es estudiar propiedades de transporte en una

cadena de mapas caóticos acoplados. Las motivaciones del trabajo no son

sólo de carácter fundamental, ya que existen implementaciones de sistemas

similares (Hamiltonianos y mapas) en diversos experimentos (por ejemplo

en condensados de Bose-Einstein, redes ópticas, puntos cuánticos y otros

sistemas mesoscópicos y nano aparatos [25, 26, 27, 28, 29, 30, 31]). El

conocimiento de las propiedades espectrales de cada mapa (o celda) será fun-

damental en la descripción del sistema general. Con este objetivo en mente

3


estudiaremos en primer lugar las versiones cuánticas de mapas caóticos en

el toro, y más adelante analizaremos el fenómeno de transporte en cadenas

de estos mapas conectados entre primeros vecinos en forma sencilla.

Si bien se conocen ciertas propiedades estad́ısticas sobre el espectro y

los autoestados de sistemas cuánticos “caóticos”, sigue siendo un proble-

ma abierto la descripción adecuada y el entendimiento de los mismos. Con

este fin tomaremos como sistema paradigmático al mapa del panadero, una

transformación lineal a trozos caótica en todo el espacio de fases. En muchos

casos el estudio de este tipo de mapas puede considerarse como el primer pa-

so para la comprensión de sistemas más complicados, ya que su simplicidad

permite una descripción simbólica completa, donde los invariantes clásicos

aparecen en forma natural y con una parametrización sencilla (variedades

paralelas a los ejes q y p, exponente de Lyapunov constante en todo el espacio

de fases, ı́ndice de Maslov nulo, etc). Las armas con las que contaremos para

facilitar la descripción de la cuantización del mapa estarán basadas en la

mecánica semiclásica, las herramientas brindadas por información cuántica

y las distribuciones cuánticas en espacio de fases.

Luego, estudiaremos una cadena unidimensional acoplada de estos ma-

pas, un modelo donde es posible estudiar la evolución de un gas de Lorentz

fuera del equilibrio presentado por Gaspard a principios de los ’90s [32] y

cuantizado por Wojcik y Dorfman [33] una década más adelante. Este mode-

lo puede ser adaptado a la idea de Feynman donde un potencial asimétrico

sin ninguna fuerza neta aplicada genera una corriente de probabilidades en

alguna dirección, conocido como efecto ratchet [34]. Trataremos de obtener

la condiciones para las cuales existe una corriente neta en función de los

parámetros del sistema y las condiciones iniciales, y estudiaremos su com-

portamiento en el ĺımite clásico (~ → 0). Las propiedades espectrales delmapa de cada celda son primordiales en este estudio, y por lo tanto su ade-

cuada descripción serán los cimientos en los que nos basaremos para realizar

el estudio tanto anaĺıtico como numérico.

Por último queremos mencionar que los experimentos de fenómenos de

transporte (ratchet por ejemplo) en sistemas que no pierden la coherencia

4

1.1. ESTRUCTURA DE LA TESIS

cuántica se desarrollaron notablemente en los últimos años impulsados por

los experimentos. Creemos que será fundamental la conjunción de ramas de

la f́ısica como caos cuántico, información cuántica, control cuántico, materia

condensada y f́ısica estad́ıstica para explotar el gran número de potenciales

aplicaciones tecnológicas que presentan estos sistemas en el futuro próximo.

1.1 Estructura de la tesis

La tesis se divide en dos grandes partes: la primera se centra en el estu-

dio de propiedades espectrales de versiones cuánticas de mapas en el toro,

mientras que la segunda se focaliza en las propiedades de transporte de una

cadena de estos mapas, y en su relación con los invariantes cuánticos (auto-

valores y autoestados).

En los Caṕıtulos 2 y 3 se proponen conjuntos de estados para los cuales

la descripción del mapa del panadero cuántico se simplifica. En ambos ca-

sos estos estados son buenas aproximaciones de los autoestados del sistema

(medidos cuantitativamente por la participación inversa promedio). La cons-

trucción del Caṕıtulo 2 es radicalmente distinta de la del Caṕıtulo 3, ya que

la primera se basa en una descomposición de este mapa en particular mo-

tivada por elementos de información cuántica, mientras que la segunda se

centra en métodos semiclásicos accesibles a sistemas caóticos generales.

En el Caṕıtulo 2 introduciremos al mapa del panadero clásico y a su

notación simbólica. Luego estudiaremos las distintas maneras en las que el

mapa puede ser cuantizado, y definiremos generalizaciones alternativas a

las familias ya conocidas. Propondremos una factorización con un término

común a todas las cuantizaciones (panadero esencial), y otro particular a

cada caso. Comprobaremos numéricamente que los autoestados del panadero

esencial son una buena base del mapa total e ilustraremos su construcción

anaĺıtica a través de la dinámica simbólica para valores particulares de ~

(1/2π~ = D = 2l).

En el Caṕıtulo 3 adaptaremos la formulación de funciones cicatrices de

5


Vergini [15, 16] al mapa del panadero cuántico. Generaremos y estudiaremos

las propiedades de los modos en órbitas periódicas (MOP), y de las fun-

ciones de cicatriz. Estos elementos, constrúıdos sobre las órbitas periódicas

cortas de la versión clásica del mapa, serán usados como base del propagador

cuántico. Por último en este caṕıtulo propondremos a los modos en órbitas

periódicas homocĺınicas como alternativas a las funciones de cicatriz, evi-

tando de esta manera la costosa evolución temporal (exacta o semiclásica).

En el Caṕıtulo 4 abordaremos el estudio de las propiedades espectrales

de mapas cuánticos abiertos que no preservan probabilidad, constituidos por

proyecciones en espacio de fases. Desarrollaremos una representación en es-

pacio de fases para las resonancias que contempla a los autoestados tanto

por derecha como por izquierda y en la que se ve reflejado el conjunto in-

variante clásico (fractal). Aplicaremos estas herramientas a dos versiones de

mapas lineales a trozos, con estructuras particularmente simples, con el fin

de entender las distribuciones de las resonancias en espacio de fases, y para

los que existe una descripción en términos de circuitos cuánticos.

En el Caṕıtulo 5 introduciremos el modelo de cadena de mapas del

panadero en sus versiones clásica y cuántica. Definiremos la corriente y estu-

diaremos su origen para la versión cuántica en espacio de fases, apreciando

los notorios efectos de interferencia y difracción.

En el Caṕıtulo 6 relacionaremos el valor de la corriente asintótica con el

espectro del mapa y el acoplamiento con el estado inicial. Haremos un estudio

detallado de los autoestados del mapa y la estad́ıstica de niveles en función

del momento de la cadena. Finalmente realizaremos un análisis detallado de

la corriente para distintos valores de ~, el parámetro de asimetŕıa del mapa,

y el estado inicial.

6

Parte I

Propiedades espectrales

7

2Panadero Esencial

El sistema paradigmático que utilizaremos a lo largo de esta tesis será el

mapa del panadero. Este conocido mapa es muy utilizado en la literatura

de caos tanto clásico como cuántico, debido a que es uno de los sistemas

caóticos más simples que se pueden encontrar. En este caṕıtulo introducire-

mos su dinámica clásica y todos los elementos necesarios para una descrip-

ción semiclásica adecuada. Luego, presentaremos distintas manera de cuan-

tizar el mapa, y las factorizaremos en un elemento dependiente de cada

cuantización, y otro común a todas ellas. Este mapa común, denominado

panadero esencial, nos permitirá aproximar las propiedades espectrales de

cualquier cuantización en forma sencilla (de manera anaĺıtica para algunos

valores particulares de ~).

Los resultados de este caṕıtulo son particulares al mapa del panadero,

ya que dependen fuertemente de su representación en función de circuitos

cuánticos. En los próximos caṕıtulos presentaremos otros formalismos que

permiten una generalización inmediata a cualquier mapa o sistema dinámico.

2.1 El Panadero clásico y sus invariantes

El mapa del panadero es una transformación lineal a trozos definida en

un toro unitario (T2 = [0, 1) × [0, 1)), un espacio de fases cuadrado (q, p ∈[0, 1)), con condiciones periódicas de contorno. La transformación actúa de

9

CAṔITULO 2. PANADERO ESENCIAL

la siguiente manera (q′, p′) = B(q, p), con{q′ = 2q − ⌊2q⌋p′ = (p+ ⌊2q⌋)/2

�

�

�

�2.1

donde ⌊x⌋ representa la parte entera de x.Este mapa puede ser representado geométricamente en espacio de fases

como un estiramiento al doble en la dirección q, una contracción a la mitad

en la dirección p, y un corte que coloca la mitad de q > 1 en p > 1/2, de

manera tal que la transformación preserva área y es invertible (ver Fig. 2.1).

La acción geométrica del mapa permite visualizar fácilmente que existe un

exponente de Lyapunov uniforme λL = ln(2), y que las variedades estables

y inestables de las órbita periódicas son ĺıneas paralelas al eje de momento

(q = cte) y al de posición (p = cte) respectivamente.

Figura 2.1: Representación geométrica de la acción del mapa del panaderoen espacio de fases. El eje horizontal representa a q, y el vertical a p conq, p ∈ [0, 1).

Una de las grandes ventajas de este mapa es que sus órbitas periódicas

pueden ser descriptas en forma sencilla, debido a que existe una dinámica

simbólica completa a través de desplazamientos de Bernoulli. La construc-

ción expĺıcita de esta dinámica se logra reescribiendo a q y p en repre-

sentación binaria, dada por

q = 0.ǫ0ǫ1 . . . =

∞∑

k=0

ǫk2−k−1 p = 0.ǫ−1ǫ−2 . . . =

∞∑

k=1

ǫ−k2−k

�

�

�

�2.2

10

2.1. EL PANADERO CLÁSICO Y SUS INVARIANTES

donde ǫi ∈ 0, 1 es el iésimo bit. De esta manera un punto perteneciente alespacio de fases es representado por una tira infinita de bits, con un punto

separando al momento de la posición

(p, q) = . . . ǫ−2ǫ−1 • ǫ0ǫ1ǫ2ǫ3 . . .�

�

�

�2.3

La acción del mapa en esta representación viene dada por el corrimiento del

punto un lugar hacia la derecha, ya que ⌊2q⌋ = ǫ0

(p, q)B−→ (p′, q′) = . . . ǫ−2ǫ−1ǫ0 • ǫ1ǫ2ǫ3 . . .

�

�

�

�2.4

Esta representación permite encontrar las órbitas periódicas (OP) en

forma directa. Por ejemplo, una tira infinita de ceros (o de unos) es invariante

respecto a la aplicación del mapa, y por lo tanto es un punto fijo. Por

otro lado podemos notar que estos son los únicos puntos fijos, ya que la

representación binaria es completa. Cabe aclarar que el caso del punto fijo

en el panadero es singular, ya que las tiras infinitas de ceros y de unos

representan al mismo punto en el toro. La generalización del punto fijo a

una órbita periódica cualquiera es trivial. Si se quieren hallar las OP de

peŕıodo Lν , es necesario identificar las tiras binarias infinitas invariantes

ante Lν corrimientos del punto. Esto puede ser representado por una tira

de Lν números binarios, ν, que etiqueta los primeros Lν bits de q. Las

OP primitivas de peŕıodo Lν serán definidas como las OP que no pueden

escribirse como repeticiones de OP de peŕıodos menores. Por ejemplo, para

el caso de peŕıodo Lν = 2 existe sólo una órbita periódica primitiva ν = 01,

ya que ν = 10 es otro punto de la misma trayectoria, y tanto ν = 00 como

ν = 11 representan al punto fijo.

De esta manera, las coordenadas de las OP en notación decimal vienen

dadas por

q = .ννν . . . =ν

2Lν − 1 p = .ν†ν†ν† . . . =

ν†

2Lν − 1�

�

�

�2.5

donde ν† simboliza el intercambio en el orden de los bits de ν, y ν representa

el valor entero de la tira binaria ν.

11


Otro invariante clásico que caracteriza a un sistema caótico viene dado

por el crecimiento del número de OP a medida que su peŕıodo es mayor. En

los sistemas caóticos este crecimiento es exponencial y viene cuantificado

por la entroṕıa topológica #(OP ) = eST . En el caso del mapa del panadero,

a través de la dinámica simbólica, podemos ver que el número de puntos

periódicos crece como 2Lν , y por lo tanto la cantidad de órbitas periódi-

cas lo hace como 2Lν/Lν , dando como resultado una entroṕıa topológica

ST = ln(2).

Es muy importante notar que este mapa posee dos simetŕıas: inversión

temporal (T ), invirtiendo la dirección del flujo temporal e intercambiando

p ⇆ q; y paridad (R), intercambiado q → 1 − q, p → 1 − p, y aplicando unNO lógico que intercambia los śımbolos binarios (0 ⇆ 1). Estas simetŕıas

no sólo serán relevantes a la hora de la cuantización del mapa, sino que

también permiten etiquetar las OP. Ambas simetŕıas actúan sobre una órbita

periódica ν como Tν = ν† (intercambiando el orden de los bits), y Rν = ν̄

(intercambiando 0 ⇆ 1 en cada bit). Las OP autosimétricas respecto a T (o

R) son simbolizadas con σT = 0 (o σR = 0), mientras que las que no lo son

poseen σT = 1 (o σR = 1). Representando los Lν puntos de la trayectoria

de una órbita periódica en espacio de fases, puede verse que si σT = 0 los

puntos son simétricos respecto a la reflexión en la ĺınea p = q, mientras

que si σR = 0, lo son respecto al punto (q, p) = (1/2, 1/2) (ver Fig. 2.2).

En caso contrario siempre se puede encontrar un par de OP conectadas por

estas simetŕıas (este es el caso más común para una OP de peŕıodo grande

tomada al azar).

Por último, mencionaremos que todas las OP tienen ı́ndices de Maslov

nulos, y que sus acciones, Sν , pueden obtenerse en forma sencilla a través

de la función generatriz mixta W (p′, q). Los detalles de la acción de ν en el

mapa del panadero pueden verse en [35]. El valor de la acción finalmente es

Sν =

Lν−1∑

j=0

qjǫ0(qj) =

Lν−1∑

j=0

(qj2

+pj4

+1

4

)ǫ0(qj)

�

�

�

�2.6

12

2.2. MAPA DEL PANADERO CUÁNTICO

0 0.25 0.5 0.75 1q

0

0.25

0.5

0.75

1

p0101001011000101110011

Figura 2.2: órbitas periódicas del mapa del panadero para Lν ≤ 4. Todasestas OP son autosimétricas respecto a T . Las OP autosimétricas respectoa R son representadas por triángulos, mientras que las OP que se conectana través de esta simetŕıa son ilustradas con ćırculos rellenos y cuadradosvaćıos (del mismo color).

donde qj y pj con j = 0, . . . , Lν − 1 respresentan los Lν puntos de la trayec-toria de la órbita periódica ν.

2.2 Mapa del panadero Cuántico

Antes de realizar la cuantización del mapa es importante definir el espa-

cio de Hilbert en el que se va a llevar a cabo. Imponiendo las condiciones de

contorno del toro se obtienen las siguientes restricciones sobre las funciones

de onda en representación de coordenadas y de momentos

ψ(q + 1) = e2πiηψ(q) ψ̃(p+ 1) = e−2πiκψ̃(p)�

�

�

�2.7

donde η y κ son dos números enteros entre 0 ≤ η, κ < 1 que definen losángulos de Floquet 2πη y 2πκ respectivamente.

13


El cambio de base entre ambas funciones de onda viene dado por la

transformada de Fourier

ψ̃(p) =1√2π~

∫e−

ipq~ ψ(q)dq

�

�

�

�2.8

La solución de la Ec. 2.7 sólo existe para espacios de Hilbert con dimensión

finita y entera (D), que satisfacen la siguiente relación con la constante de

Planck efectiva ~

D =1

2π~

�

�

�

�2.9

Las bases de posición y momento del espacio de Hilbert pueden ser con-

sideradas como las columnas y filas respectivamente, de una grilla de D×Dpuntos en el toro, con un pequeño corrimiento dado por los ángulos de

Floquet

|qj〉 =∣∣∣∣j + κ

D

〉|pk〉 =

∣∣∣∣k + η

D

〉�

�

�

�2.10

donde j, k = 0, 1, . . . ,D − 1. De esta manera las bases de posiciones sonortonormales (〈qj|qk〉 = 〈pj |pk〉 = δj,k), mutuamente no sesgadas (|〈qj |pk〉| =1/√D), y el cambio de base entre ellas viene dado por la transformada de

Fourier discreta con condiciones de contorno dependiendo de los ángulos de

Floquet

〈pk|qj〉 =1√De−i

2πD

(j+κ)(k+η) ≡(F η,κD

)j,k

�

�

�

�2.11

Una vez definido el espacio de Hilbert, la cuantización del mapa se puede

llevar a cabo a través de un operador unitario que describa su dinámica

clásica. En este caso podemos notar que la iteración del mapa estira al

doble en la dirección q y contrae a la mitad en la dirección p colocando las

regiones de q < 1/2 y q ≥ 1/2 en p < 1/2 y p ≥ 1/2 respectivamente. Es-ta misma dinámica puede ser representada en el caso cuántico a través del

cambio de bases entre posición y momento. Esta cuantización fue realizada

por primer vez por Balazs y Voros [36] para dimensiones pares del espacio

de Hilbert. En su representación mixta (de posición a momentos) la versión

cuántico del mapa actúa transformando la primer y segunda mitad de posi-

ción independientemente por medio de transformadas de Fourier discretas

14


de dimensiones D/2. La representación de posición del mapa del panadero

se consigue aplicando una antitransformada de Fourier en todo el espacio de

Hilbert

Bη,κpos =(F η,κD

)−1

F η,κD2

0

0 F η,κD2

�

�

�

�2.12

Las simetŕıas del mapa clásico T y R pueden ser recuperadas eligiendo η =

κ = 1/2 [37], como veremos con más detalle en el próximo caṕıtulo.

2.2.1. Familia cuántica de mapas del panadero en qubits

En mecánica cuántica, cualquier espacio de Hilbert D-dimensional, tal

que D = D1D2, puede ser respresentado como producto tensorial de dos

espacios de Hilbert de dimensiones D1 y D2 respectivamente HD = HD1 ⊗HD2. El mapa del panadero cuántico se define en un espacio de Hilbert par.Por lo tanto, el espacio puede obtenerse como producto de dos subsistemas

HD = H2 ⊗HD/2. Considerando al subsistema de dimensión 2 como el mássignificativo (el que separa a los elementos de la base posición en j < D/2

y j ≥ D/2), el mapa puede escribirse como

B = F η,κD† ·(I2 ⊗ F η,κD

2

)�

�

�

�2.13

donde I2 es la identidad en el espacio de Hilbert H2. Justamente, estosespacios de dimensión 2 que pueden pensarse como subsistemas de un espa-

cio más grandes son denominados qubits (o bits cuánticos) en información

cuántica [19].

De esta manera puede verse que el mapa del panadero cuántico (Ec.

2.12) tiene una representación natural a través de circuitos cuánticos (ver

apéndice A). La representación circuital del mapa se ilustra en la Fig. 2.3.

Esta cuantización del mapa del panadero, conocida como la cuantización

de Balazs-Voros-Saraceno (BVS), sólo requiere que D sea par. Un espacio de

Hilbert de dimensión D = 2N puede ser interpretado como producto de N

subsistemas de dimensión 2 (qubits). Para ese tipo de espacios particulares

15


Fη,κD2 F

η,κD

-1

2

2D

Figura 2.3: El mapa del panadero cuántico de Balazs-Voros-Saraceno enrepresentación de circuitos cuánticos. La ĺınea delgada representa un qubit,mientras que la ĺınea gruesa representa un subsistema de dimensión D/2.

Schack y Caves propusieron un conjunto de mapas del panadero cuántico que

convergen al mapa clásico en el ĺımite semiclásico (~ → 0 o equivalentementeD → ∞) [38, 39]. Ellos conectaron la representación binaria del panaderoclásico con la estructura de qubits, a través de la transformada de Fourier

parcial, definida como

f̂η,κn ≡ 1̂2n ⊗ F̂ η,κ2N−n , n = 1, . . . , N�

�

�

�2.14

donde 1̂2n es la identidad en los primeros n qubits, y F̂η,κ2N−n

es la trans-

formada de Fourier en los restantes N − n qubits. Este operador puederepresentarse en forma directa a través de circuitos cuánticos como ilustra

la Fig. 2.4

Fη,κ

2N-nN-n qubits

n qubits

Figura 2.4: Representación circuital de la transformada de Fourier parcialactuando sobre los N − n qubits menos significativos.

De esta manera, se definen N mapas del panadero cuántico, con n =

16


1, . . . , N , como (ver [38])

B̂(N,n) ≡ f̂n−1 ◦ Ŝn ◦ f̂−1n�

�

�

�2.15

donde la dependencia en los ángulos de Floquet η y κ queda impĺıcita. El

operador shift (Ŝn) actúa ćıclicamente en los primeros n qubits, llevando el

qubit más significativo al puesto n de importancia y subiendo la importancia

del resto de los qubits en un lugar. Por ejemplo Ŝn actúa sobre N qubits de

la siguiente manera

Ŝn|x1〉|x2〉 . . . |xn〉|xn+1〉 . . . |xN 〉 = |x2〉 . . . |xn〉|x1〉|xn+1〉 . . . |xN 〉�

�

�

�2.16

BN ,nBBVS

x nx n-1

x n+1

x N

x 1x 2

x 1

x N

Figura 2.5: Representación circuital de B̂(N,n) en función del mapa delpanadero de BVS

Esta familia de mapas cuánticos puede reescribirse como

B̂(N,n) =(1̂2n−1 ⊗ B̂N−n+1,1

)◦ Ŝn.

�

�

�

�2.17

donde la acción de B̂(N,n) es equivalente a un corrimiento ćıclico de los n

qubits más significativos, seguido de la aplicación del mapa BBV S a los

N − n + 1 qubits menos significativos. Esta equivalencia se muestra en lasFigs. 2.5 y 2.6.

Es importante notar que todos estos mapas tienen una implementación

eficiente a través de operaciones de un qubit, y compuertas dos qubits

(swaps y fases controladas), incluso para ángulos de Floquet arbitrarios (ver

apéndices A y B).

17


Figura 2.6: Circuitos cuánticos de los cuatro miembros de la familia delpanadero para cuatro qubits para η = κ = 0. H es el operador Hadamarddefinido como el cambio de base de los autoestados de σz a los de σz (ver[19]).

El panadero cuántico BVS está incluido en esta familia para el caso

de n = 1, B̂N,1 ≡ B̂BV S , ya que Ŝ1 es el operador identidad. En el otroextremo, se encuentra el mapa B̂N,N , un mapa particular de esta familia,

cuyo ĺımite semiclásico no converge exactamente al mapa del panadero. Este

mapa aparece reiteradamente en distintos contextos. En la literatura de

caminatas cuánticas es denominado many coins (“varias monedas”), y es

utilizado para estudiar el comportamiento de un caminante cuántico con N

monedas independientes [40]. En el contexto de grafos cuánticos el mapa

representa un grafo de De Brujin con fases complejas en sus lados [41].

Por otro lado Nonnenmacher observó que, reemplazando la transformada

de Fourier por la transformada de Walsh-Hadamard en la cuantización del

panadero de Balazs y Voros, se obteńıa B̂N,N (un “modelo de juguete” para

el mapa del panadero) [42]. Este esquema permite pensar a los miembros

intermedios de esta familia de mapas como cuantizaciones intermedias entre

Fourier y Walsh-Hadamard. Las propiedades de B̂N,N serán tratadas en las

18


siguientes secciones.

2.2.2. Cuantización de iteraciones del mapa

Siguiendo la construcción de la familia de mapas del panadero cuánti-

co de Schack y Caves, podemos dar una interpretación “semiclásicamente”

alternativa. Esta nueva interpretación permitirá, por un lado observar fácil-

mente la equivalencia entre los distintos miembros de la familia en el ĺımite

semiclásico (h = 1N → 0), y por otro generalizar en forma directa la defini-ción de esta familia para una mayor variedad de espacios de Hilbert.

La nueva interpretación se basa en que el esquema de cuantización uti-

lizado por Balazs y Voros [36] en el mapa original puede ser utilizado tam-

bién para cuantizar sus iteraciones. Denominaremos B(T ) al mapa unitario

que corresponde a la cuantización de la T–iteración del mapa del panadero

clásico. Asumiremos que la dimensión del espacio de Hilbert D es divivisible

por 2T , ya que la aplicación de la T–ésima iteración del mapa divide los

segmentos de q ó p en 2T intervalos iguales. Por otro lado, es importante

notar que para que el ĺımite semiclásico tenga sentido, debemos pedir que

hallan muchos estados cuánticos en cada intervalo de q ó p, y por lo tanto

D/2T → ∞. La Fig. 2.7 muestra un ejemplo de las regiones donde existendiscontinuidades en dos iteraciones del mapa clásico, enviando las cuatro

tiras verticales (de posición) a las cuatro tiras horizontales (de momentos).

��

��

��

��

��

��

��

��

H4

H2

H3

H1

��

��

��

��

��

��

��

V1 2 3 4V V V

B2

Figura 2.7: Representación de dos iteraciones del mapa del panadero enespacio de fases separados en cuatro regiones.

El procedimiento para la cuantización del mapa iterado es idéntico al de

la sección anterior. El mapa B(2) puede ser cuantizado en la representación

19


mixta (de posición a momentos) como

Bη,κ (2)mix =

F η,κD4

0 0 0

0 0 F η,κD4

0 F η,κD4

0 0

0 0 0 F η,κD4

�

�

�

�2.18

La cuantización de T iteraciones del mapa y su dinámica semicuántica,

una dinámica intermedia entre la propagación semiclásica y la cuántica, es

estudiada por Saraceno y Voros en [35]. La representación mixta de B(T )

puede ser expresada en forma compacta a través de tiras finitas de bits en

su dinámica simbólica binaria correspondiente

〈m|BTmix|n〉 = δµ†ν ⊗ F ηκD/2T�

�

�

�2.19

ν = ν(qn), µ = µ(pm)�

�

�

�2.20

donde ν(q0) = (ǫ0 . . . ǫT−1) = y ν†(q0) = (ǫT−1 . . . ǫ0).

La estructura de B(T ) puede ser escrita fácilmente como producto tenso-

rial, y por lo tanto permite una representación simple a través de circuitos

cuánticos. La representación mixta de B(T ) consta de un intercambio en

el orden de los T qubits mas significativos, que se puede llevar a cabo a

través de T2 (T−1

2 ) compuertas de intercambio de qubits (swaps), y de una

transformada de Fourier discreta en el subespacio restante (ver Fig. 2.8).

Es importante notar que, si bien en el ĺımite semiclásico son equivalentes,

existen diferencias entre las matrices obtenidas por la cuantización de la T -

iteración del mapa clásico y la aplicación de T veces del mapa cuántico de

una iteración (B(T ) 6=(B(1)

)T). De hecho, en general cuantización y propa-

gación son operaciones cuya conmutatividad se justifica sólo en el ĺımite

semiclásico D/2T → ∞.Sin embargo, usando el hecho de que B(T+T

′) y BTBT′representan ma-

trices distintas con el mismo ĺımite semiclásico, podemos generar nuevas

cuantizaciones de la primer iteración del mapa del panadero que incluye

la construcción de Schack y Caves. La generalización de las familias del

20


D/8F

D/4F

D/16F

D/2F

Figura 2.8: Circuitos cuánticos de la representación mixta de B(T ) paraT = 1, 2, 3, 4.

panadero cuántico viene dada por

B̂D,2n−1 ≡ B̂(n−1)†B̂(n) n = 1, ...N�

�

�

�2.21

donde el único requisito para la dimensión del espacio de Hilbert D es que

sea divisible por 2N . En el caso en que D = 2N puede verse fácilmente que

este producto de dos cuantizaciones semicuánticas del mapa es equivalente

a la cuantización de Schack y Caves (B̂D,2n−1 ≡ B̂(N,n) de la Ec. 2.15) (verel ejemplo de B̂(N,4) ≡ B̂2N ,24−1 ≡ B̂(3)†B̂(4) en la Fig.2.9). El mapa BVSes recuperado nuevamente con n = 1 (B̂D,1), pero en este caso incluye a

cualquier dimensión de Hilbert par.

En esta nueva visión de la cuantización queda claro que todos los miem-

bros de la familia convergen al mapa del panadero clásico mientras n se man-

tenga fijo y D/2n → ∞. Si en cambio, estudiamos el caso en que 2n ∼ D,debemos esperar grandes efectos cuánticos que no desaparecen en el ĺımite

semiclásico. En este contexto se entiende el resultado de [43] en cual se

muestra que el mapa particular B(N,N) no converge exactamente al mapa

del panadero en el ĺımite semiclásico, ya que D → ∞ con D/2N = 1 fijo.

21


1x2x3x4x5x

Nx

1x2x3x4x5x

Nx

BBVSN-42 N-32F F

-1

Figura 2.9: Equivalencia del mapa del panadero cuántico entre la construc-ción semicuántica y la de Schack y Caves.

Sin embargo, como veremos en la sección 2.3, este mapa “extremo” será la

herramienta fundamental que utilizaremos para aproximar las propiedades

espectrales de cualquier mapa del panadero cuántico.

Por otro lado podemos destacar que el producto de cuantizaciones de it-

eraciones permite construir una infinidad de variantes del mapa del panadero

cuántico. Por ejemplo, los mapas B(3)B(1)†B(1)† y B(2)B(3)†B(2) generan ma-

trices distintas, pero con el mismo ĺımite semiclásico.

2.2.3. Generalización del mapa del panadero cuántico

En la sección anterior presentamos una generalización de la familia de

mapas del panadero de Schack y Caves (Ec. 2.15) por medio de propagación

semicuántica. En esta sección presentaremos una construcción alternativa

para dimensiones de espacios de Hilbert pares arbitrarias.

Para el caso deD = 2DαDβ, el espacio de Hilbert en el que actúa el mapa

puede ser interpretado como el producto de tres subespacios HD = H2 ⊗HDα ⊗HDβ . En este contexto conviene etiquetar los estados en coordenadascomo

|j〉 → |ǫjβjα〉 = |ǫ〉 ⊗ |jβ〉 ⊗ |jα〉�

�

�

�2.22

donde j = ǫDαDβ + jβDα + jα y ǫ = 0, 1; con 0 ≤ jβ < Dβ; 0 ≤ jα < Dα,y de esta manera H2 es el subespacio mas significativo, y Hα el de menorpeso.

22


Las familias de mapas del panadero cuántico se definen entonces como

B̂D,Dβ =(1̂Dβ ⊗ B̂

)◦ Ŝ2,Dβ

�

�

�

�2.23

donde B̂ es el mapa BVS en un espacio de Hilbert de dimensión 2Dα con

dependencia impĺıcita en los ángulos de Floquet. El corrimiento (shift) Ŝ2,Dβentre un qubit y el subespacio β es un caso particular del shift definido como

ŜD1,D2 =

D−1∑

j=0

|D1j − ⌊j/D2⌋ (D − 1)〉〈j|�

�

�

�2.24

donde ⌊x⌋ es la parte entera de x. Este operador es una permutación de losestados j ∈ HD que intercambia el orden de importancia de los subespaciosD1 y D2.

El mapa B̂D,Dβ tiene una representación muy simple en términos de cir-

cuitos cuánticos (ver Fig. 2.10) que generaliza los circuitos en qubits de la

Fig. 2.9. La familia de mapas de Schack y Caves es recuperada para espacios

Dα y Dβ generados por qubits.

BBVSD βα

2

D

Figura 2.10: Circuitos cuánticos de la familia de panaderos cuántica. Cadaĺınea representa un subespacio, donde el más significativo se encuentra abajo.

El aporte más importante de nuestra construcción es la factorización de

esta familia de mapas (Ec. 2.23 y Fig. 2.10) en dos operadores unitarios (ker-

nels), utilizando la descomposición de la transformada de Fourier discreta

(ver Fig. B.2 en Apéndice B).

Denominaremos panadero esencial al primer factor del producto, una

generalización obvia del mapa de “varias monedas” de la Fig. 2.6, que es

23


D βjβdim =

εdim = 2

=dim αj D α

D α D αF -1F

-12F

Figura 2.11: Representación circuital de la familia de mapas del panaderocuánticos definida en Ec. 2.23.

común a todos los elementos de la familia. Lo definimos como

B̂ = e−i2πηκ Ŝ ◦(F̂ †2 ⊗ 1̂DαDβ

) ��

�

�2.25a

= e−i2πηκ(1̂DαDβ ⊗ F̂ †2

)◦ Ŝ

�

�

�

�2.25b

donde

Ŝ ≡ Ŝ2,D/2�

�

�

�2.26

es el operador de corrimiento (shift) también utilizado en [44, 45, 46].

La representación en coordenadas de B̂ es una matriz compleja cuadrada

de dimensión 2DαDβ × 2DαDβ

B̂ = e−i2πηκ

a . . . 0 b . . . 0

c . . . 0 d . . . 0...

. . ....

.... . .

...

0 . . . a 0 . . . b

0 . . . c 0 . . . d

�

�

�

�2.27

dada por los elementos de matriz de la anti–transformada de Fourier de

dimensión 2

F̂ †2 =

(a b

c d

)=eiπηκ√

2

(1 eiπκ

eiπη eiπ(η+κ+1)

)�

�

�

�2.28

El segundo factor de la figura 2.11 contiene todas las particularidades

24


de cada miembro de la familia. Este operador por un lado actúa como una

identidad en el subespacio Hβ, y por otro genera efectos de difracción enel subespacio restante debido a la interacción entre el qubit y el subespacio

Hα. Por esta razón denominaremos este mapa como kernel de difracción.Los elementos de matriz del operador en representación de coordenadas son

〈ǫ′, j′α, j′β |K̂D,Dβ |ǫ, jα, jβ〉 = δǫ,ǫ′δjβ ,j′β〈ǫ, j′α|K̂|ǫ, jα〉

�

�

�

�2.29

donde

〈ǫ, j′α|K̂|ǫ, jα〉 = eiπ

DαΦ sin (πDαγ)

Dα sin (πγ)

�

�

�

�2.30a

con

Φ = (j′α − jα)(Dα + 2κ− 1) + (ǫ− η)(1

2− κ)(Dα − 1)

�

�

�

�2.30b

γ =1

Dα

(j′α − jα +

ǫ− η2

)�

�

�

�2.30c

El kernel de difracción es diagonal en el subespacio Hβ, y “casi diago-nal” en el subespacio Hα con una estructura similar a la de un patrón dedifracción de óptica clásica. De esta manera, cuando Dα = 1, el operador es

equivalente a la identidad en H.De esta manera la generalización del mapa del panadero cuántico puede

ser reescrita como producto de estos dos operadores (definidos en Ecs. 2.25a,

2.29 y 2.30) como

B̂D,Dβ = (1̂Dβ ⊗ K̂) ◦ B̂�

�

�

�2.31

donde B̂D,1 ≡ B̂ es BBV S; y B̂D,D/2 ≡ B̂ es el mapa del panadero cuánticoesencial (MPCE). Cabe aclarar que existe una descomposición similar para

el caso de qubits en [47].

El módulo de los elementos de matriz de ambos operadores en coorde-

nadas es representado en la figura 2.12 para Dα = 5 y Dβ = 3.

Por último es importante notar que los miembros de la familia (excep-

tuando el mapa BVS), incluso para condiciones de contorno antiperiódicas

(η = κ = 0,5), no respetan la simetŕıa original de reversión temporal T̂ . En

cambio para estas condiciones, la familia posee la simetŕıa de paridad, ya que

25


Figura 2.12: Módulo de los elementos de matriz del kernel de difracción(izquierda) y del panadero esencial (derecha) en la base de coordenadaspara D = 2DαDβ con Dα = 5, Dβ = 3 donde los ángulos de Floquet sonη = κ = 0,5.

cualquier miembro conmuta con el operador paridad (R̂). Utilizaremos esta

última simetŕıa en muchos casos para reescribir la representación matricial

del mapa cuántico en dos bloques independientes con paridad definida (B+

y B−) y de esta manera optimizar los cálculos (ver Apéndice F).

2.3 Propiedades espectrales

Como vimos en la sección anterior, el kernel de difracción es casi di-

agonal en la base de coordenadas. Basados en este hecho, estudiaremos si

las propiedades espectrales del cualquier mapa de la familia BD,Dβ pueden

ser descriptas a través del espectro del miembro más simple dentro de la

familia, B ≡ B̂D,D/2. En la figura 2.13 puede verse la comparación entre losespectros de paridad positiva de distintos valores de Dα y Dβ con D = 48.

En esta figura los agujeros y fluctuaciones en las autofases de las distintas

cuantizaciones del mapa son similares a simple vista. Esta estructura común,

que puede verse mejor a través del espectro suavizado (Fig. 2.13), será la

base de la conjetura de la aproximación espectral del panadero cuántico por

la de su panadero esencial.

Observando la similitud de las autofases de las distintas cuantizaciones

26

2.3. PROPIEDADES ESPECTRALES

Figura 2.13: Comparación del espectro (autofases representadas por lineasverticales) y el espectro suavizado (curvas) con paridad positiva del mapadel panadero BD,Dβ con D = 48 para distintos valores de Dα y Dβ. Losvalores de (Dα,Dβ) se muestran en la derecha, donde los casos extremos deB y BBV S son mostrados arriba y abajo respectivamente.

nos podemos preguntar qué pasa con sus atoestados. Una medida cuanti-

tativa de la separación entre las autofunciones está dada por la relación de

participación inversa (“participation ratio”) promedio. La relación de par-

ticipación (PR, del inglés) entre un estado |ψ〉 y una dada base ortonormal{|ϕr〉; r = 0, . . . ,D − 1} se define como PR =

(∑r |〈ϕr|ψ〉|4

)−1, y es una

27


medida aproximada de cuántos elementos de una base son necesarios para

representar un dado estado. PR ∈ [1,D]. En los casos extremos el PR tomalos valores esperados, es igual a 1 cuando el estado es igual a un elemento

de la base, e igual a D cuando el estado es una superposición equipesada de

todos los elementos de la base. Por lo tanto el PR promedio (〈PR〉) sobretodos los estados que forman una segunda base da una medida de como un

a base aproxima a la otra.

〈PR〉 = 1D

D−1∑

α=0

(D−1∑

i=0

|〈ϕi|Φα〉|4)−1

�

�

�

�2.32

con 〈PR〉 ∈ [1,D], siendo igual a 1 para bases idénticas e igual a D parabases mutuamente no sesgadas, como las bases de coordenadas y momentos

por ejemplo.

Esta cantidad es graficada en la figura 2.14 para los autoestados del

panadero cuántico BVS BBV S (|Φα〉) usando varias bases y en función de ladimensión del espacio de Hilbert.

El 〈PR〉 en la base de coordenadas crece como D/2, tal como predice lateoŕıa de matrices aleatorias para estados arbitrarios en bases aleatorias [8].

Se puede ver que en la base de autoestados del operador shift (definido en

la Ec. 2.26), utilizada por Lakshminarayan en [45], el 〈PR〉 decrece signi-ficativamente. Por otro lado en esta base pueden verse grandes fluctuaciones

en función de D que pueden asociarse a las órbitas periódicas del mapa y a

propiedades relacionadas con teoŕıa de números. La base de autoestados del

shift “mejora” cuando la simetŕıa de paridad, que poseen los autoestados del

panadero, es impuesta. Esto fue realizado en [44] a través de los proyectores

de paridad P± ≡ (1 ±R), donde R|j〉 = |D − 1 − j〉 en la base de coorde-nadas. La base del shift simetrizada siempre tiene un 〈PR〉 menor o igual ala del shift, y mucho más suave en D. Sin embargo, en la figura 2.14 también

puede verse la gran mejora que se obtiene en describir a los autoestados del

mapa del panadero a través de los correspondientes al panadero esencial,

apoyada en los bajos valores del 〈PR〉 en función de D. Por ejemplo, para elcaso de dimensión D = 140 un autoestado del panadero BV S puede cons-

28


0 100 200 300 400 500D

0

50

100

150

200

coordenadasshiftshift simetrizadopanadero esencial

Figura 2.14: PR promedio como función de la dimensión del espacio deHilbert para el mapa del panadero cuántico BBV S en varias bases: autoes-tados de coordenadas, autoestados del shift y su simetrización con respectoa paridad, y la base del panadero esencial.

truirse con 5 autoestados del panadero esencial en promedio, en lugar de los

70 estados necesarios en coordenadas. Es importante aclarar que además de

tener un valor de PR en promedio muy bajo, en general existe un pequeño

número de autoestados del panadero BV S con valores del PR cercanos a 1

en la base del panadero esencial.

Queremos notar que los cálculos de 〈PR〉 que se muestran fueron re-alizados con condiciones de contorno antiperiódicas (η = κ = 0,5). Para

condiciones arbitrarias de ángulos de Floquet los resultados obtenidos son

similares, haciéndose más notoria la mejora del panadero esencial con respec-

to tanto al shift como al shift simetrizado, ya que estos últimos no tienen a

los ángulos de Floquet como variables de la base.

29


2.3.1. El caso particular D = 2n: Panadero en qubits

Para el caso en que el espacio de Hilbert es generado por qubits, D = 2N ,

el mapa del panadero esencial toma la forma del “modelo de juguete” estu-

diado en [42, 48] y puede ser diagonalizado en forma exacta anaĺıticamente.

La diagonalización puede ilustrarse a través de una variación un poco

más general dada por el operador Û =(û⊗ 1̂2N−1

)◦ Ŝ = Ŝ ◦

(1̂2N−1 ⊗ û

)

donde Ŝ es el operador shift definido en la ecuación 2.26, y û una operación

unitaria en un qubit. La matriz unitaria û puede ser diagonalizada como

u = A

(eiθ0 0

0 eiθ1

)A†

�

�

�

�2.33

donde A es una matriz unitaria de dimensión 2×2. Por lo tanto la matriz Upuede ser reescrita como U = A⊗NU0A

†⊗N con U0 en la base de coordenadas

dado por

〈j1|U0|j0〉 = exp(iθ0 + i

⌊j0

2N−1

⌋(θ1 − θ0)

)×

×δ(j1 − 2j0 +

⌊j0

2N−1

⌋(2N − 1)

)�

�

�

�2.34

donde ⌊x⌋ es la parte entera de x.Este operador puede simplificarse notablemente al etiquetar a los estados

con una tira de bits |j〉 → |ν〉 ≡ |a0 . . . aN−1〉 con j =∑N−1

i=0 ai2N−1−i. En

esta representación

U0|a0 . . . aN−2aN−1〉 = eia0θ1+i(1−a0)θ0 |a1 . . . aN−1a0〉�

�

�

�2.35

Esta es una permutación que tendrá ciclos cuyos peŕıodos Tν dependerán

de la estructura binaria de ν. Por lo tanto tendremos

UTν0 |ν〉 = eiΦν |ν〉�

�

�

�2.36

donde Φν = N0θ0+N1θ1; Tν es el peŕıodo primitivo de la tira binaria ν; y N0

y N1 son el numero de 0’s y 1’s respectivamente en la tira binaria primitiva.

30


Es importante notar que N0 +N1 = Tν , y por lo tanto Tν debe dividir a N .

Los autovalores de U0 son entonces las ráıces de la unidad más un corri-

miento

λν,k = eiΦν+2πk

Tν

�

�

�

�2.37

y sus correspondientes autoestados son

|Ψ̃kν〉 =1√Tν

Tν−1∑

m=0

eiεmSm|ν0〉�

�

�

�2.38a

donde

εm = m

(θ0 −

Φν + 2πk

Tν

)+ (θ1 − θ0)

m−1∑

i=0

ai�

�

�

�2.38b

Por ejemplo, las órbitas primitivas para N = 4 son 0, 1, 01, 0011, 0001 y

0111, o sea 2 puntos fijos, un ciclo de peŕıodo 2, y 3 ciclos de peŕıodo 4.

De esta manera los autoestados del operador original U son

|Ψkν〉 = A⊗N |Ψ̃kν〉�

�

�

�2.39

Cuando u = e−i2πηκF† (η,κ)2 sus autovalores y autofunciones se pueden

obtener expĺıcitamente como

ϑ0,1 = eiθ0,1 = ± exp

(iπ

2(η + κ− 2ηκ) ∓ iω

) ��

�

�2.40

|ψ0,1〉 =1√2

[2 ∓

√2 cos

(π2(η + κ) ∓ ω

)]− 12 ×

×[eiπκ|0〉 + (±

√2ei

π2(η+κ)∓iω − 1)|1〉

] ��

�

�2.41

donde ω ∈ [0, π/4] esta definido como

sin (ω) =1√2

sin(π

2(η + κ)

) ��

�

�2.42

Estas expresiones por lo tanto proveen las propiedades espectrales para

el mapa del panadero esencial en el caso en que D = 2N para ángulos de

31


Floquet arbitrarios.

Existen valores de η, κ en los cuales la matriz F† (η,κ)2 tiene peŕıodos cor-

tos, por ejemplo(F

† (0,0)2

)2= 1 y

(F

† (0,5,0,5)2

)4= 1, produciendo que la

periodicidad del mapa del panadero esencial completo sea 2N y 4N respecti-

vamente. Esta corta periodicidad implica que el espectro de la ecuación 2.37

sea altamente degenerado para valores grandes de N . Por lo tanto las auto-

funciones de la Ec. 2.38 no estarán uńıvocamente determinadas y cualquier

superposición lineal entre ellas dará otra autofunción posible. Este caso fue

estudiado en [48] dando como resultado la creación de estados con estructura

fractal en el limite de N grandes. Por otro lado podemos notar que esta posi-

bilidad de degeneraciones en el espectro no existe para valores arbitrarios

de η y κ.

Cuando las condiciones de contorno son antisimétricas los autoestados

de −iF † (0,5,0,5)2 de la Ec. 2.41 toman la forma sencilla de H|0〉 y H|1〉 dondeH es el operador de Hadamard (ver apéndice A), y por lo tanto A = H,

θ0 = π/2 y θ1 = 0. En este caso la expresión de los autoestados del panadero

esencial con sus respectivos autovalores para 3 qubits está dada por

|Ψ00〉 = H⊗3|000〉 −→ λ0,0 = 1

|Ψ01〉 = H⊗3|111〉 −→ λ1,0 = −i

|Ψk001

〉 = H⊗3

√3

(|001〉 + eiπ 1−4k6 |010〉 + eiπ 1−4k3 |001〉

)−→ λ001,k = eiπ

4k−16

|Ψk011

〉 = H⊗3

√3

(|011〉 + eiπ 1−2k3 |110〉 + eiπ 1−8k6 |101〉

)−→ λ011,k = eiπ

2k−13

con k = 0, 1, 2.

El rol del producto tensorial de compuertas Hadamard se debe a que el

mismo diagonaliza F† (0,5,0,5)2 en este caso particular. Otros valores de (η, κ)

llevarán a otras compuertas de un qubit con una estructura más complicada

en general, dados por la ecuación 2.41.

32


2.3.2. Matriz de overlaps

El 〈PR〉 es una medida global aproximada de la similitud entre dosbases dadas. Un análisis más detallado entre ambas bases puede realizarse

a través de la matriz de overlaps, definida por Mβα = |〈Ψβ |Φα〉|, donde ennuestro caso |Φα〉 son los autoestados de BBV S y |Ψβ〉 los de B. Ambas basesposeen D elementos ordenados por autofase creciente entre 0 y 2π. Si las

propiedades espectrales de ambas bases son similares, la matriz Mβα debe

ser casi diagonal, proporcionando aśı información no sólo de los autoestados

(como en el caso de 〈PR〉), sino también de sus autofases.

Figura 2.15: Matriz de overlaps entre bases BBV S y B, (M)β,α = |〈Ψβ |Φα〉|con ángulos de Floquet dados por η = κ = 0,5 para D = 30 (izquierda) yD = 32 (derecha). Los autoestados de ambas bases están ordenadas autofasecreciente entre 0 y 2π

En la Fig. 2.15 se muestran las matrices de overlaps para D = 30 y

D = 32 (generado por 5 qubits). En este último, en los casos en que hay

degeneraciones en B, los estados fueron elegidos siguiendo las ecuaciones

2.39 y 2.38. Para el caso de D = 30 no hay degeneraciones y todos los

autoestados de B quedan uńıvocamente determinados. La figura 2.15 mues-

tra claramente que en ambos casos el producto |Φα〉 toma valores grandes(∼ 0,9) en un elemento por fila o columna generalmente, habiendo algunos

33


casos donde hay dos elementos con valores significativos. También pueden

verse algunos cruces en el orden entre autofases en ambos casos.

La comparación entre las autofunciones de BBV S y B puede hacerse a

través de la representación de Husimi (ver apéndice C). En la figura 2.16 se

muestran las representaciones de Husimis para tres autoestados de ambas

bases con D = 32. Una de las diferencias más notorias entre ambas bases

es que los autoestados de BBV S tienen la simetŕıa de reversión temporal,

reflejada por una simetŕıa sobre la diagonal p = q en la Husimi, mientras

que los autoestados de B no la tienen.

Figura 2.16: Representación de Husimi para tres autoestados de BBV S (ar-riba) |Φα〉, y de B (|Ψβ〉) (abajo) para un espacio de Hilbert con D = 25.

Es importante notar que los autoestados de B para dimensión D = 2N

(el caso de la Fig. 2.16 por ejemplo) pueden ser constrúıdos anaĺıticamente.

O sea, es notable que con este procedimiento es posible aproximar un au-

toestado de un mapa caótico por una construcción anaĺıtica. En los casos en

que D 6= 2N es inevitable la diagonalización numérica.

34


2.3.3. El espectro

El espectro de los miembros de la familia del mapa del panadero cuántico

(con excepciones del panadero esencial) pueden ser descriptos estad́ıstica-

mente por la teoŕıa de matrices aleatorias (repulsión de niveles, etc. [8]). En

general el espectro del panadero esencial también es “caótico”. Sin embar-

go, para algunas dimensiones del espacio de Hilbert y valores especiales de

ángulos de Floquet, el panadero esencial tiene peŕıodo muy corto volviéndose

altamente degenerado y regular. Si bien en estos casos especiales la construc-

ción tiene la ventaja de ser anaĺıtica, es donde existen mayores diferencias

en el espectro entre el panadero esencial y otro miembro de la familia. Por

ejemplo, el espectro del panadero esencial en qubits suele presentar degen-

eraciones.

Con el objetivo de mejorar la aproximación espectral del mapa del pa-

nadero en estos casos, propondremos romper estas degeneraciones con co-

rrecciones que tengan en cuenta el kernel de difracción. Este procedimiento

es similar al utilizado en teoŕıa de perturbaciones independiente del tiempo,

donde las correcciones a primer orden en los autovalores se obtienen a partir

de los autoestados a orden cero. Por lo tanto la aproximación a primer

orden depende del elemento diagonal del kernel de difracción en la base de

autoestados del panadero esencial

λ(1)j = λ

(0)j 〈Ψj|KD,Dα |Ψj〉

�

�

�

�2.44

Los elementos diagonales del kernel de difracción en la ecuación 2.44

son cercanos al circulo unidad, cuyos módulos t́ıpicos son ∼ 0,9 para losvalores estudiados (D < 1000). Podemos imponer unitariedad y de esta

manera considerar sólo correcciones a las autofases. Como mencionamos

anteriormente, esta corrección es fundamental especialmente para los casos

altamente degenerados de espacios de Hilbert generados por qubits. Usando

las ecuaciones 2.29, 2.30 y 2.38 la expresión expĺıcita de la aproximación a

35


primer orden es

λ(1)ν,k =

1

T

T−1∑

l,m=0

eiξ(l,m)〈ν0|S†lA†⊗NKD,DαA⊗NSm|ν0〉�

�

�

�2.45

donde

ξ(l,m) = θ0(m−l)+(θ1−θ0)

m−1∑

i=0

ai −l−1∑

j=0

aj

+φν + 2πk

T(l−m+1)

�

�

�

�2.46

En la figura 2.17 se comparan el espectro y la densidad espectral suaviza-

da del mapa del panadero BV S y sus aproximaciones para el caso de qubits

D = 32 y para D = 30. Las aproximaciones del espectro están dadas por

los autoestados del operador shift, los del panadero esencial y su corrección

a primer orden. En el caso de D = 30, el espectro del panadero esencial con

la corrección a primer orden mejora la aproximación, rompiendo la regulari-

dad. Se ve claramente con la densidad espectral suavizada cómo los agujeros

y las quasi-degeneraciones son reproducidos en gran medida. En el caso de

qubits la aproximación mejora con la corrección pero no alcanza a ser “tan

buena” como en el caso anterior. Esto se debe a que la corrección rompe las

degeneraciones, pero no es suficiente como para reconstruir la estructura del

espectro.

2.4 Resumen de resultados

En este caṕıtulo hemos analizado las distintas posibilidades para la de-

scripción cuántica de la dinámica del panadero clásico. Hemos encontrado

que todas ellas se pueden factorizar en un panadero “esencial” con carac-

teŕısticas espectrales especiales, y un kernel de difracción que contiene los

efectos particulares a cada cuantización. Este panadero esencial, en el ca-

so particular de dimensión D = 2n permite una diagonalización exacta en

términos de estados construidos en base a elementos clásicos. En este sentido

constituye uno de los pocos casos en los cuales un mapa caótico posee una

descripción exacta de sus propiedades espectrales.

36

2.4. RESUMEN DE RESULTADOS

S

EB

EBpert

B

-π -π/2 0 π/2 π

S

EB

EBpert

B

-π -π/2 0 π/2 π

Figura 2.17: Autofases del operador shift (S), el panadero esencial (EB),la corrección a primer orden del panadero esencial dada por el elementodiagonal del kernel de difracción (EBpert), y el mapa del panadeo de BV S(B) para dimensiones D = 32 (arriba) y D = 30 (abajo). La curva de ĺıneacontinua representa la densidad espectral suavizada en cada caso.

37

3Funciones de cicatriz

En este caṕıtulo presentaremos un conjunto de funciones de cicatriz

(scars) como punto de partida para una descripción adecuada del mapa

del panadero cuántico. Este procedimiento se basa en la construcción de

funciones de onda localizadas en las cercańıas de las órbitas periódicas del

sistema. Las mismas se pueden construir semiclásicamente y sirven como

base para el estudio de sistemas caóticos. La construcción semiclásica de

estas funciones de cicatriz fueron realizadas para el billar del estadio por

Vergini [15, 16, 49], y recientemente para el mapa del gato [50]. En esta base

de cicatrices, se pueden calcular tanto los elementos de matriz del Hamilto-

niano como los overlaps entre elementos en forma semiclásica en función de

los invariantes clásicos del sistema.

A diferencia del caṕıtulo anterior, en el cual se aproximaban los auto-

valores y autovectores del panadero cuántico a través de una factorización

espećıfica de este mapa, este procedimiento es totalmente general y se puede

aplicar a cualquier sistema caótico. En este contexto el mapa del panadero

tiene la gran ventaja de ser uno de los sistemas caóticos más “sencillos” que

se pueden encontrar, donde los invariantes clásicos son simples y fáciles de

calcular.

39

CAṔITULO 3. FUNCIONES DE CICATRIZ

3.1 Construcción de las funciones de cicatriz

La construcción de los estados de modos en las órbitas periódicas1 para el

mapa del panadero cuántico (sección 2.2) se basa en los invariantes clásicos

obtenidos en la sección 2.1. Utilizaremos la dinámica simbólica en repre-

sentación binaria para encontrar y etiquetar las órbitas periódicas. Algunas

de las grandes ventajas de este mapa son que su exponente de Lyapunov es

pequeño en comparación con otros sistemas (ln 2), que no posee ı́ndices de

Maslov y que las variedades estables e inestables de todas las órbitas periódi-

cas son ĺıneas paralelas a las direcciones de momento y posición respectiva-

mente. Dentro de todas las cuantizaciones posibles del mapa del panadero

elegiremos la más simétrica dada por condiciones de contorno periódicas an-

tisimétricas en el mapa BV S [36, 37, 35], con Ĝ ≡ F̂ 1/2,1/2D (de la ecuación2.11):

B̂ = Ĝ†D

(ĜD/2 0

0 ĜD/2

)�

�

�

�3.1

〈j|ĜD |k〉 =1√D

exp

{−i2π

D

(j +

1

2

)(k +

1

2

)}�

�

�

�3.2

En un espacio de Hilbert D-dimensional con D = 1/(2π~). Este mapa tiene

las dos simetŕıas del mapa clásico: paridad y reversión temporal. Los oper-

adores cuánticos reflejan estas simetŕıas como

[B̂, R̂

]= 0

�

�

�

�3.3

(ĜB̂Ĝ−1

)∗= B̂−1

�

�

�

�3.4

donde el operador paridad es representado por R̂ = −Ĝ2, y el de reversióntemporal por el operador antiunitario T̂ = K̂Ĝ, donde K̂ es el operador

complejo conjugado.

El espectro del mapa del panadero cuántico esta caracterizado por D

autofases y autoestados B̂|ψj〉 = eiϕj |ψj〉, con simetŕıa de paridad definida1Estos modos son la versión a tiempo discreto (en mapas) de los estados tubos constru-

idos por Vergini y Carlo para flujos Hamiltonianos [15, 16].

40

3.1. CONSTRUCCIÓN DE LAS FUNCIONES DE CICATRIZ

(R̂|ψj〉 = ±|ψj〉), y que satisfacen la condición de la simetŕıa de reversióntemporal Ĝ|ψi〉 = |ψi〉∗.

3.1.1. Modos en órbitas periódicas

El primer paso en nuestra construcción es la definición de los modos

en las órbitas periódicas (MOP), dada por una superposición de paquetes

coherentes localizados en los puntos de una órbita periódica.

Los estados coherentes que utilizaremos están definidos en la ecuación

C.2 del Apéndice C, y tienen las siguientes propiedades con respecto a las

dos simetŕıas

R̂|q, p〉 = |1 − q, 1 − p〉�

�

�

�3.5

T̂ |q, p〉 = |p, q〉�

�

�

�3.6

sin ninguna fase adicional.

Consideremos ahora un conjunto de paquetes coherentes centrado en

las trayectorias de una órbita periódica ν, |qi, pi〉 con i = 0, · · · , L − 1.Estos estados pueden considerarse quasi-ortogonales cuando su separación

en espacio de fases es mucho mayor que el ancho de cada paquete dado

por ∼√

~. Esta condición es estrictamente cierta para los puntos de las

órbitas periódicas en el ĺımite semiclásico (D → ∞), ya que son aislados, yaproximadamente satisfecha para los valores de D y L que utilizaremos. Por

lo tanto consideraremos

〈qj+1, pj+1|qj , pj〉 ≃ δj+1,j�

�

�

�3.7

B̂j j+1 ≡ 〈qj+1, pj+1|B̂|qj , pj〉 ≃ei2πDSj√cosh λ

donde qL ≡ q0, pL ≡ p0; λ es el exponente de Lyapunov, y donde la acciónSj es la fase adquirida por el estado coherente en un paso del mapa, y viene

dada (para esta definición de estados coherentes) por

Sj ≡ Sqj ,pj = [2qj ](qj2

+pj4

+1

4

)�

�

�

�3.8

41


La matriz B̂j k (de L × L) en la ecuación 3.7 es ćıclica en el ĺımitesemiclásico, y por lo tanto puede diagonalizarse con la transformada de

Fourier discreta. Los autovalores de esta matriz vienen dados por

〈φkν|B̂|φkν〉 ≃ei2πA

kν

√coshλ

�

�

�

�3.9

donde

Akν =DSν + k

L.

�

�

�

�3.10

La fase de los autovalores es expresada en función de la acción clásica de

la órbita Sν =∑L−1

j=0 Sj y el ı́ndice k, un parametro del tipo de Bohr-

Sommerfeld, que toma valores entre k = 0, . . . , L−1. De esta manera puedengenerarse L estados por cada órbita periódica, con L quasi-autovalores com-

plejos cuyas fases son equiespaciadas con un corrimiento respecto del origen

dado por la acción de la órbita periódica DSν/L.

Los autoestados de esa matriz son entonces los modos en las órbitas

periódicas (MOP):

|φkν〉 =1√L

L−1∑

j=0

exp

(−i2π(DSν + k)j

L+ iθj

)|qj , pj〉

�

�

�

�3.11

donde θj = 2πD∑j−1

l=0 Sl.

Estos estados están etiquetados por la representación binaria de la órbita

periódica primitiva, y por el ı́ndice k (k = 0 · · ·L− 1). Suponiendo que lospaquetes coherentes cumplen la condición de la ecuación 3.7, los estados

MOP pueden considerarse ortogonales.

El hecho de que los autovalores de la ecuación 3.8 sean complejos dentro

del ćırculo unitario (con módulos menores a uno) refleja la inestabilidad de

la órbita. Estos estados igualmente pueden considerarse como resonancias

de larga vida con un ancho aproximado de λ (exponente de Lyapunov) en

el ćırculo unitario. Por otro lado podemos notar que este ancho es clásico,

en el sentido de que es independiente de D. Las resonancias tienen muchas

componentes de los autoestados reales del sistema, del orden de λD/2π, que

es un número grande en el ĺımite semiclásico.

42


Existen dos maneras de tratar des simetŕıas T y R en mapas cuánticos.

Una de ellas consiste en usar un espacio de fases reducido por las simetŕıas

y considerar solamente los puntos periódicos en ese espacio reducido. La

segunda es en cambio simetrizar los órbitas de manera de generar siempre

funciones de onda con la simetŕıa apropiada. Elegimos esta segunda v́ıa

debido a la simplicidad de la visualización de las distintas órbitas.

R y T pueden clasificarse con σR y σT igual a 0 cuando son invariantes

respecto a esas simetŕıas, e igual a 1 cuando no lo son. La acción Sν es

invariante respecto a estas simetŕıas, y por lo tanto las fases centrales de

los MOP son degeneradas en Sν con un subespacio asociado de dimensión

2σT 2σR . De esta manera es posible construir MOP con las mismas simetŕıas

que los autoestados en este subespacio. En esta construcción las órbitas

centrales (σR = σT = 0) con ν = ν† = ν generan L estados MOP, que

automáticamente tienen ambas simetŕıas. Las órbitas con σR = 0 y σT = 1,

o con σR = 1 y σT = 0 generan 2L estados, mientras que las no simétricas

con σR = 1 y σT = 1 llevan a 4L estados. Estos son algunos ejemplos que

ilustran las distintas posibilidades

|Φ̃k01〉 ≡ |φk01〉�

�

�

�3.12

|Φ̃k,R=±001 〉 ≡(1 ±R)√

2|φk001〉

�

�

�

�3.13

|Φ̃k,T=±001011 〉 ≡(1 ± T )√

2|φk001011〉

�

�

�

�3.14

|Φ̃k,T=±,R=±0001011 〉 ≡(1 ± T )√

2

(1 ±R)√2

|φk0001011〉�

�

�

�3.15

donde k = 0, . . . , L− 1.

En la figura 3.1 se muestran las representación de Husimi de dos MOP,

simetrizadas en paridad, correspondiente a las órbitas ν = 001 y ν = 00101.

La parte de abajo de la figura muestra la distribución de módulos al cuadrado

del producto de estos estados con las autofunciones del mapa del panadero

cuántico, ordenadas por autofase creciente. La ĺınea central roja en estos

gráficos es la fase central, asociada a la cuantización de Bohr–Sommerfeld,

en la ecuación 3.10. Debe quedar claro que esta construcción puede ser

43


−1 −0.5 0 0.5 1θ/π

0

0.1

0.2

0.3

−1 −0.5 0 0.5 1θ/π

0

0.1

0.2

Figura 3.1: Arriba: representación de Husimi de los MOP sobre las órbitas001 |Φ̃1,R=−001 〉 (izquierda) y sobre la 00101 |Φ̃3,R=+00101 〉 (derecha), para unadimensión del espacio de Hilbert D = 120 en el espacio de fases cuadra-do q, p ∈ [0, 1). Abajo: módulo al cuadrado del producto de estos estados|〈ψj |Φ̃1,R=−001 〉|2 (izquierda), y |〈ψj |Φ̃

3,R=+00101 〉|2 (derecha) con los autoestados

del mapa del panadero |ψj〉 con j = 1, . . . ,D, ordenados por su respectivaautofase. La ĺınea roja representa la fase central asociada a cada MOP (Ak=1001y Ak=300101.

justificada para una dada órbita en el ĺımite D → ∞, ya que los puntosperiódicos se encuentran aislados. Sin embargo, si queremos usar estos quasi-

modos como base para una dimensión D fija, podemos preguntarnos cuan

válida sigue siendo la aproximación (la ecuación 3.7). En ese caso, en lugar

de diagonalizar utilizando la transformada de Fourier, debemos considerar

el problema de autovalores generalizado:

det[〈qi, pi|B̂|qj , pj〉 − λ〈qi, pi|qj .pj〉

]= 0

�

�

�

�3.16

44


En el apéndice D analizamos esta aproximación.

3.1.2. Funciones cicatriz

En la sección anterior observamos que los MOP poseen una distribución

tipo paquete en quasi-enerǵıas con un ancho λ constante. En esta sección

veremos como pueden construirse estados con un ancho menor en quasi-

enerǵıas, a través de la transformada de Fourier de los MOP evolucionados

un cierto tiempo [15, 16, 12, 13, 14, 18]. Estos estados son denominados fun-

ciones cicatriz, ya que imitan las cicatrices observadas en los autoestados.

Consideremos el siguiente operador que depende del parametro temporal

t y la fase ε

P̂t(ε) =

∞∑

l=−∞

e−iεle−l2

2t2 B̂l�

�

�

�3.17

La ventana gaussian

· 2018. 4. 30. · universidad de buenos aires facultad de ciencias exactas y naturales...

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