1

OLASILIK

• Populasyon hakkında bilgi sahibi olmak amacı ile

alınan örneklerden elde edilen bilgiler bire bir doğru

olmayıp hepsi mutlaka bir hata payı taşımaktadır.

• Bu hata payının ortaya çıkmasının sebebi seçilen

örneklerin Ģansa bağlı olarak farklılıklar göstermesi

ve bunun sonucunda her deneyde farklı sonuçlarla

karĢılaĢılmasıdır.

• Olasılık, herhangi bir deneyin sonucunda ortaya

çıkan olayların belirsizliğinin incelenmesi anlamına

gelir.

2

• Olasılık bir diğer ifadeyle bir olayın meydanagelme şansının sayısal ifadesidir.

• 17 yy.’da şans oyunlarıyla birlikte kullanılmayabaşlanan olasılık, uygulamalı matematiğin bir dalıolarak gelişim göstermiş ve istatistiksel yorumlamadaönemli uygulama alanı bulmuştur.

Örnekler:

• Madeni paranın atılması sonucu tura gelmeolasılığı,

• Bir deste iskambil kağıdından çekilen 2 kağıdın enaz birinin papaz olma olasılığı,

• Nişanlı olan bir çiftin evlenme olasılığı.???

3

Temel Tanımlar ve Kavramlar-I• Tekrarlanabilir Deney: Sonucu kesin olarakkestirilemeyen bir tek çıktı (Ģans değiĢkeni)oluĢturan eylem, gözlem ya da süreçtir.

Örnek: madeni para atılması, içinde 5 sarı 7 lacivertbilye bulunan torbadan bir top çekilmesi.

Basit Olay

Tek bir deneyde tek bir sonuç veren olaylara basit

olay denir.

Örneğin 52 lik bir desteden as çekilmesi

Madeni bir para ile atış yapıldığında tura gelmesi

4

BileĢik Olay

İki veya daha fazla olayın birlikte veya birbiri ardınca

meydana gelmesine denir.

İki zarın birlikte atılması durumunda 4 görülmesi

52 lik bir desteden çekilen asın aynı zamanda karo

olması

5

•Örnek Uzayı: Bir deneyin sonucunda elde edilen

tüm mümkün basit olaylarının oluĢturduğu

kümedir. Genellikle S ile tanımlanır.

Örnek: Hilesiz bir zarın atılması sonucu elde edilen

örnek uzayı;

x: zarın üst yüzünde gelen sayı

• S = { x; x = 1,2,3,4,5,6 }

6

• Eşit Olasılıklı Olaylar: Bir örnek

uzayındaki tüm basit olayların ortaya

çıkma olasılığı eĢit ise bu olaylara eĢit

olasılıklı olaylar denir.

• Örnek: Bir deste iskambil kağıdından bir

adet kağıt çekilmesi.

7

• BağdaĢmaz Olay

Bir olayın ortaya çıkması diğer bir olayın ortaya

çıkmasını engelliyorsa yani iki olay birlikte

meydana gelemiyorsa bağdaşmaz olaydır.

Örneğin bir sınavdan ya geçilir ya da kalınır.

• BağdaĢır olay:Bir olayın ortaya çıkması başka bir

olayın ortaya çıkmasını engellemiyorsa iki veya

daha çok olay birlikte meydana gelebiliyorsa

bağdaşır olaydır.

• Zarın atılması sonucu 1 ve tek sayı gelmesi.

Çünkü aynı anda gerçekleşebilirler.

• 52 lik desteden çekilen kartın maça olması kız

olmasını engellemez.

8

• Bağımsız olay: Bir olayın ortaya çıkması

başka bir olayın ortaya çıkmasından ilişkisiz ise

( ( ). ( )P A B P A P B

Ailede birinci çocuğun erkek olması ikincisinin de

erkek olacağı anlamına gelmez.

• Bağımlı olay: Bir olayın ortaya çıkması başka bir

olayın ortaya çıkmasını etkiliyorsa

• 52 lik bir desteden iadesiz arka arkaya iki kart

çekiliyor. Kart sayısı önce 52 sonra 51.

• 6 beyaz, 8 kırmızı top var. 3 top çekiliyor İade

edilirse bağımsız, iade edilmezse bağımlı

olaydır.

9

Olasılığın Ġki Temel Kuralı;

1) Tüm basit olayların olasılıkları 0 ile 1arasındadır.

2) Bir örnek uzayındaki tüm basit olaylarınortaya çıkma olasılıklarının toplamı 1’e eĢittir.

DĠKKAT!!!!

Hiç bir olayın OLASILIĞI 1’den büyük

olamaz!!!!

• Bir A olayın ortaya çıkma olasılığı; P(A) şeklindegösterilir.

10

Olasılığın Limitleri

Kesin bir olayın olasılığı 1’dir.

Ġmkansız bir olayın olasılığı 0’dır.

Bir A olayı için 0 P(A) 1.

11

Tanımlar

A ve B olayları, eğer birlikte meydanagelemiyorlarsa, ayrıktır (birbirini engelleyenolaylardır).

12

Birbirini Bütünleyen (Tümleyen) Olaylar

ATüm basit olaylar A veya içerisinde yer alır.

A ve ayrık olaylardır.A

A Olayının Venn Diyagramı Gösterimi

13

Olasılığın GeliĢim AĢamaları

• Klasik (A Priori) Olasılık

• Frekans (A Posteriori) Olasılığı

• Aksiyom Olasılığı

NOT:Bu sıralama olasılık teorisinin tarihsel gelişimini tanımlamaktadır.

14

Klasik Olasılık

• Bir olayın aynı şartlar altında meydana gelebilecek

bütün olanaklı sonuçlarını “elverişli” ve “elverişsiz”

şeklinde iki gruba ayırıp birinci gruptakilerin sayısını “a”

ve ikinci gruptakilerin sayısını “b” ile gösterelim. Bütün

bu sonuçlar aynı derecede olası olup karşılıklı olarak

birinin meydana gelmesi diğerinin meydana gelmesini

imkansız kılarsa “elverişli sonucun ortaya çıkması

olasılığı” a/a+b dir. “Elverişsiz sonucun ortaya çıkması

olasılığı b/a+b dir.

15

Örnek: Bir kapta 5 sarı, 5 lacivert ve 5 adetyeşil bilye bulunmaktadır. Çekilen bir bilyeninsarı olma olasılığı nedir?

A: Çekilen bir bilyenin sarı olması

n(S): Örnek uzayı eleman sayısı = 15

n(A): Örnek uzayındaki A elemanı sayısı = 5

3

1

15

5

)(

)()(

Sn

AnAP

Klasik olasılık TÜMDENGELİME dayanan çıkarımlar

yaparak olasılığı bulur.

16

Klasik Olasılık Niçin Yetersizdir?

• Örnek uzayının eleman sayısı sonsuz olduğu

durumlarda,

• Eşit olasılıklı olay varsayımı yapılamadığı

durumlarda ,

– Tümdengelim çıkarımları yapılamadığında

klasik olasılık ile hesaplama yapılamayacağından

yetersizdir.

17

Ne Yapılabilir?

•Araştırılan anakütle üzerinde tekrarlı

deneyler gerçekleştirilerek sonuçlar analiz

edilmek üzere kayıt edilmelidir.

18

Frekans Olasılığı

• Araştırılan anakütle üzerinde n adet deney

uygulanır. Yapılan bu deneylerde ilgilenilen A olayı

n(A) defa gözlenmiş ise A olayının göreli frekansı

(yaklaşık olasılığı):

P(A) = n(A) / n

olarak bulunur.

19

Örnek:

Kusursuz ve dengeli bir parayı 100 defa havaya

fırlattığımız zaman 50 defa yazı gelmesi beklenir.

Oysa bir deneme yapıldığında 50 defa yazı gelmesi

zordur. Ancak örnek sayısı giderek arttırıldığında

elde edilen yazı sayısının deney sayısına oranının

0.50 ye yaklaştığı görülür.

Bir prosedür (deney) tekrarlandıkça, frekans

olasılığı gerçek olasılığa yaklaşma eğilimi gösterir.

Büyük Sayılar Kanunu:

20

Frekans Olasılığının Kararlılık Özelliği

• Gerçekleştirilen deney sayısı arttıkça P(A)

olasılık değerindeki değişkenlik azalacak ve

giderek bir sabit değere yaklaşacaktır. Bu duruma

kararlılık özelliği adı verilir.

• Bir olayın olasılığı deneyin tekrarlama sayısı

sonsuza yaklaşırken o olayın göreli frekansının

alacağı limit değer olarak tanımlanır.

p = P(A) = lim n(A) / n

n

21

Frekans Olasılığı Niçin Yetersizdir?

• Olasılığın kararlılık değerine ulaştığı deneme

sayısı kaçtır?

• Sonsuz adet deneme yapmak mümkün değildir.

• Aynı deney iki defa aynı tekrar sayısı ile

gerçekleştirildiğinde elde edilen olasılıklardan

hangisi olayın olasılığı olarak kabul görecektir?

22

Aksiyom Olasılığı

• Olasılığın matematiksel teorisini tanımlar.

• Bu teorinin oluşturduğu ideal modeller

yaşadığımız dünyanın problemlerini çözmede

kullanılır.

• Olasılığın iki genel tipinin sahip olduğu önemli

ortak nokta: Her ikisinin de, benzer koşullarda

(teorik olarak aynı koşullarda) uygulanan deneylere

gereksinim duymasıdır.

• Bununla birlikte benzer koĢullarda tekrarlı

olarak uygulanamayan durumlarda olasılıkların

hesaplanmasında AKSĠYOM OLASILIĞI yardımcı

olur.

23

Benzer KoĢullarda Tekrarlı Olarak

Uygulanamayan Durumlara Örnekler:

• Türkiye’nin 1 hafta içinde Kuzay Irağa sınır ötesi operasyon düzenleme olasılığı nedir?

• Çok hoşlandığınız bir arkadaşınızla çıkma olasılığı nedir?

• Fenerbahçe - Galatasaray maçının 6-0 bitmesi olasılığı nedir?

24

Aksiyomlar

• Bir olayın olasılığı 0 ile 1 arasındadır. Örneğin bir

para atıldığında yazı gelme olasılığı 0.5 dir.

• Bir örnek uzayındaki tüm sonuçların olasılıklarının

toplamı 1 e eşittir.

25

• Aksiyom 1:

– P(A) örnek uzayı S’deki her A olayı için P(A)0

olan bir gerçel sayıdır.

• Aksiyom 2:

– P(S)=1 { P()=0 }

• Aksiyom 3:

– Eğer S1,S2, ...Olaylarının her biri S’deki ayrık

olaylar ise,diğer bir deyişle SiSj= tüm ij için

ise,

P(S1S2 ...)=P(S1)+P(S2)+...

26

Sadece Aksiyomlar Yeterli mi?

HAYIR

• Bu aksiyomların ve onlara bağlı teoremlerin

faydalı bir model geliştirilmesinde bize yardımcı

olabilmesi için, S örnek uzayındaki her bir A olayı

için olasılığın hesaplanmasında kullanılacak bir

FONKSİYONA ya da bir KURALA gereksinim

vardır .

27

• Bu fonksiyonlar İlgilenilen anakütlenintanımladığı ÖRNEK UZAYINA Göre farklılıkGösterir.

Sık karşılaşılan üç farklı örnek uzayı;

• Sonlu elemanlı kesikli örnek uzayı(sayılabilir sonlu)

• Genel kesikli örnek uzayı (sayılabilir sonsuz)

• Sürekli örnek uzayı (sayılamaz sonsuz)

olarak ifade edilir.

28

• x : herhangi bir gün içinde yağmur yağması

x = 0 ( yağmur yağmaz )

x = 1 ( yağmur yağar )

Örnek Uzayı;

S = { x / 0, 1 }

veya

S = { x / Yağmursuz , Yağmurlu }

olarak belirlenir ve sayılabilir sonlu bir örnek

uzayıdır.

29

• x : bir zar için 6 gelinceye kadar yapılan atış sayısı

Örnek Uzayı;

S = { x / 1,2,3,……….. }

olarak belirlenir ve sayılabilir sonsuz bir örnek

uzayıdır. (kesikli Ģans değiĢkeni)

• x : öğrencilerin boyları

Örnek Uzayı;

S = { x / 150 < x < 200 }

olarak belirlenir ve sayılamaz sonsuz bir örnek

uzayıdır. (sürekli Ģans değiĢkeni)

30

Bazı Temel Olasılık Aksiyomları

1. P ( S ) = 1

2. P ( ) = 0

3. A olayının tümleyeni olarak gösterilir.A

)AP(1)AP(

31

Örnek Uzayı ve Olay Sayısının Büyük

Olduğu Durumlar

Örnek uzayı ve olay sayısının büyük olduğu

durumlarda kullanılan sayma yöntemleri;

– Permütasyon

– Kombinasyon

32

Permütasyon

• Sıraya konulacak n adet nesne olsun ve her biri

sadece bir kez kullanılmak üzere kaç farklı

sıralama yapılabilir?

............

n nesnenin mümkün sıralamalarının sayısı:

n(n-1)(n-2)...(2)(1)=n! nPn = n!

n n-1 2n-2 1

33

• n tane nesne arasından seçilmiş x tane nesnenin

permütasyon sayısı …..olarak ifade edilir.

• Toplam n tane nesne arasından x tane nesne

seçilir ve bunlar sıraya konulursa ortaya çıkabilecek

sıralamaların sayısıdır ve şu şekilde hesaplanır:

• Kullanıldığı durumlar

– Ġadesiz örnekleme

– Örneğe çıkıĢ sırası önemli

xn P

!!

xn

nPxn

34

Örnek: 8 atletin katıldığı 100 metre yarıĢmasındailk üç dereceye girenler kaç farklı Ģekildebelirlenir ?

3366*7*8)!38(

!838

P

Örnek: 2,3,5,6,7 ve 9 sayılarını kullanarak 4 basamaklı

rakamları birbirinden farklı kaç sayı oluşturulur?

3603*4*5*6)!46(

!646

P

6 5 4 3 =360

35

Kombinasyon

• n adet nesne arasından seçilen x tanesinin

kombinasyon sayısı ile gösterilir. Sıralama

önemli olmaksızın tüm durumların sayısı olarak

ifade edilir. Bu sayı şu şekilde hesaplanır:

xnC

!!

!

xxn

nC

xn

• Kullanıldığı durumlar;

– Ġadesiz örnekleme

– Örneğe çıkıĢ sırası önemsiz

36

Örnek: Beş kişilik bir topluluktan üç kişilik bir

komisyon kaç farklı şekilde seçilir ?

102*3*2

2*3*4*5

!3)!35(

!535

C

Örnek: 10 erkek ve 5 kadın arasından 2 erkek ve 1

kadın üye içeren bir kurul kaç farklı şekilde

oluşturulur?

( 10 erkek arasından 2 erkek )

( 5 kadın arasından 1 kadın )

Çarpım kuralı uygulanarak 45 * 5 =225 farklı şekilde

oluşturulur.

452

9*10

!2)!210(

!10210

C

5!1)!15(

!515

C

Örnek: 10 işletme ve 8 iktisat öğrencisiarasından 5 kişilik bir komisyon oluşturulacaktır.Rasgele bir seçim yapıldığında komisyondaçoğunlukla işletme öğrencisi olma olasılığı nedir?

5 işletme 0 iktisat,

4 işletme 1 iktisat,

3 işletme 2 iktisat

62,08568

5292

518

28310

518

18410

518

08510 C

CC

C

CC

C

CC

Örnek: Ali ve Veli isimli iki arkadaş zar atarak oyun

oynuyorlar. Oyuna Ali başlıyor. Zar 1 veya 2 gelirse

oyunu kazanıyor. 3,4 veya 5 gelirse oyuna devam

etme hakkını kazanıyor. 6 gelirse zar atma sırası

Veliye geçiyor. Ali’nin bu oyunu kazanma olasılığı

bulunuz.

Ali’nin oyunu kazanma olasılığı p olsun,

3

2

6

31

63

6

2

6

3

6

2

6

2

6

3

6

3

6

2

6

3

6

2

0

0

kazanma atistaucuncu kazanma atista ikincikazanma atistailk

i

i

p

39

Örnek Uzayı ve Olay Sayısını Belirleyen

Sayma Yöntemleri

• Klasik olasılığın diğer bir ifade ile eşit olasılıklı

olayların geçerli olduğu durumlarda:

– Örnek uzayının eleman sayısı,

– İlgilenilen olayın eleman sayısının

belirlenmesi gereklidir.

Kullanılan iki temel prensip;

1) Toplama Yöntemi

2) Çarpma Yöntemi

40

Toplama Yöntemi

• Bir A olayı m farklı Ģekilde, baĢka bir B olayı da

n farklı Ģekilde oluĢabilen ayrık olaylar ise;

A veya B olayı n + m farklı şekilde oluşabilir.

Örnek: İstanbul’dan İzmir’e 2 farklı tren seferi,4 farklı havayolu firması, 40 farklı otobüs firması ve1 adet denizyolu firması ile gidilebildiğine göreİstanbul’dan İzmir’e kaç farklı şekilde gidilir?

2 + 4 + 40 + 1 = 47

41

Çarpma Yöntemi

• Bir A olayı m farklı şekilde, başka bir B olayı da n

farklı şekilde oluşabilen ve aynı anda oluĢmaları

mümkün olaylar ise;

A ve B olayı n * m farklı şekilde oluşabilir.

Örnek: Bir iskambil destesinden çekilen iki kartınbirinin Kupa diğerinin Maça olması kaç farklışekilde gerçekleşebilir?

13 * 13 =169

NOT: Çarpma yöntemi bağımsız olaylar için kullanılır.

42

k farklı sonuç veren bir deney r kez

tekrar edilirse ortaya çıkan tüm

durumların sayısı;

kr

olarak hesaplanır.

Örnek: Bir zarı 3 kez attığımızda ortayaçıkabilecek tüm mümkün durumların sayısı sayısı;

63 = 216 adettir.

• Örnek uzayının eleman sayısı 216’dır.

43

• Bağımlı olayda çarpma kuralı:

Bağımlı iki olaydan A2 olayı A1 olayından sonra ortaya

çıktığında olayların birlikte gerçekleşme olasılığıdır.

1 2 1 2 1( ) ( ). ( )P AveA P A P A A

A2 nin şartlı olasılığı

• 8 boş 2 ikramiyeli bilet var. Bir kişi 2 bilet almış her iki

biletinde ikramiye kazanma olasılığı nedir?

• 1.bilet: P(A1)=2/10

Geriye 8 boş ve 1 ikramiyeli bilet kaldı.

2 1

1( )

9P A A

1 2 1 2 1

2 1 1( ) ( ). ( ) .

10 9 45P AveA P A P A A

44

•Örnek

•Bir işyerinde görev almak üzere aynı nitelikleri

taşıyan 10 kişi başvurmuştur. Adayların 6sı erkek 4 ü

kadın olup bunlar arasından iadesiz çekimle 2

memur alınacaktır.

•a. Her ikisinin de kadın olma olasılığı:4 3 2

( E)= .10 9 15

P K ve

•b.Her ikisinin de erkek olması:

6 5 5( E)= .

10 9 15P K ve

•c.Birincisinin erkek ikincisinin kadın olma

olasılığı:

1 2 1 2 1( ) ( ). ( )P AveA P A P A A

45

6 4 4( ve K)= .

10 9 15P E

•d.Birincisinin kadın ikincisinin erkek olma olasılığı:

4 6 4( ve E)= .

10 9 15P K

Çekim iadesiz olduğundan ikinci memur 9 aday

arasından çekilmektedir.

1 2 1 2 1( ) ( ). ( )P AveA P A P A A

46

• Bağımsız olayda çarpma kuralı:

Birbirinden bağımsız A1 ve A2 olaylarının birlikte gerçekleşmesi

olasılığı bu olayların basit olasılıklarının çarpımına eşittir.

1 2 1 2( ) ( ). ( )P AveA P A P A

• Aynı anda atılan iki zarın ikisinin de 2 gelmesi

1 2 1 2

1 1 1( ) ( ). ( ) .

6 6 36P AveA P A P A

Alinin 25 yıl sonra hayatta olması olasılığının 0.60, kardeşli

Hasan’ın 25 yıl sonra hayatta olması olması olasılığının

0.50 olduğunu varsayarsak 25 yıl sonra ikisinin de hayatta

olma olasılığı nedir.

1 2 1 2( ) ( ). ( ) 0.60.(0.50) 0.30P AveA P A P A

P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B )

47

• BağdaĢır olayda toplama kuralı:

İki olay bağdaşır olduğunda A1 olayının veya A2 olayının

ortaya çıkması, ya A1 olayının ya A2 olayının ya da A1 ve A2

olaylarının her ikisinin birlikte gerçekleşmesi anlamına gelir.

1 2 1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )P AveyaA P A P A P AveA

• 52 lik bir desteden bir kız veya bir maça

çekme olasılığı nedir?

1 2 1 2 1 2

4 13 1( ) ( ) ( ) ( )

52 52 52P AveyaA P A P A P AveA

1 2 1 2 1 2P(A U A ) P(A ) P(A )-P(A A )

1 2 1 2 1 2P(A U A ) P(A ) P(A )-P(A A )

48

•Örnek

A nın 20 yıl daha yaşaması olasılığının 0.65 ve

kardeşi B’nin 20 yıl daha yaşamsı olasılığının 0.80

olduğunu varsayıldığında bu iki kardeşten birinin

veya diğerinin 20 yıl daha yaşaması olasılığı nedir?

•P(A)=0.65

•P(B)=0.80

Bu durumda P(A ve B)=(0.65).(0.80)=0.52.

P(A veya B)=P(A)+P(B)-P(A ve B)=

=0.65+0.80-0.52=0.93

P ( A ∩ B ) = P ( A ) . P ( B )

49

• BağdaĢmaz olaylarda toplama kuralı:

• A1 ve A2 bağdaşmaz olaylar ise A1 veya A2

olayının ortaya çıkması olasılığı

1 2 1 2( ) ( ) ( )P AveyaA P A P A

• Bir zarın 2 veya 6 gelmesi olasılığı nedir?

1 2 1 2

1 1 2 1( ) ( ) ( )

6 6 6 3P AveyaA P A P A

50

Örnek: Ali ve Can isimli iki avcının bir hedefi vurma olasılıklarısırasıyla 0,65 ve 0,40 olarak verilmiştir. İki avcı hedefe birlikteateş ettiğinde hedefin vurulma olasılığı nedir?

A = Ali’nin hedefi vurması P ( A ) = 0,65

C = Can’ın hedefi vurması P ( C ) = 0,40

P ( A U C ) = ?

P( A U C ) = P ( A )+ P ( C ) – P ( A ∩ C )

Ali ile Can’nın hedefi vurmaları birbirinden bağımsız olduğundan önce ;

P ( A ∩ C ) = P ( A ) . P ( C ) = 0,65 * 0,40 = 0,26 bulunur.

P( A U C ) = 0,65 + 0,40 – 0,26 = 0,79

51

Ağaç Diyagramı

• Her birinin sonucunun

sonlu sayıda olduğu

birden fazla deneyin tüm

mümkün sonuçlarını

görsel bir şekilde ortaya

koymak için kullanılır.

52

Örnek: Ali ile Can masa tenisi oynamaktadırlar. 3 set

kazananın galip geleceği maçın ortaya çıkabilecek tüm

mümkün sonuçlarını gösteren ağaç diyagramını oluşturunuz.A

A

CA

C

C

C

A

C

A

A

C

C

AA

CA

C

A

C

CC

C

C

A

A

A

A

A

C

A

C

C

A

A

CC

A

Olası Durumlar;

AAA,CCC

AACA,CCAC

ACAA,CACC

ACCC,CAAA

ACACA,CACAC

AACCA,CCAAC

AACCC,CCAAA

ACACC,CACAA

ACCAA,CAACC

ACCAC,CAACA

2

0

A

D

E

T

53

ġartlı(KoĢullu) Olasılık

A ve B gibi iki olaydan B olayının gerçekleĢtiği

bilindiği durumda A olayının gerçekleĢmesi

olasılığına A olayının Ģartlı olasılığı denir .

P( A / B ) ile gösterilir.

A’nın gerçekleştiği bilindiğinde B’nin ortaya çıkma

olasılığı;

)(

)()/(

BP

BAPBAP

)(

)()/(

AP

ABPABP

54

• Bir öğrencinin iktisat dersinde başarılı olma

olasılığı P(A1)=0.25. Aynı öğrencinin hem iktisat

hem Matematikte başarılı olma olasılığı P(A1 ve

A2)=0.15. Öğrencinin İktisatta başarılı olması

şartıyla Matematikte de başarılı olma olasılığı

nedir?

( ) 0.15 / 0.25P A B

( ) ( ve B)( / )

( ) ( )

P A B P AP A B

P B P B

55

1B 2B

3B4B

5BA

ġartlı Olasılıkların Bilindiği Durumlarda Tek

Bir Olayın Olasılığının Bulunması

Aşağıdaki şekilde A olayının birbiriyle ayrık olan

5 farklı olayın birleşiminden meydana geldiği görülür.

56

A olayı her bir B olayı ile kesişimleri cinsinden ifade

edildiğinde;(birbirini engelleyen olayların

birleşiminin olasılığı toplama kuralına göre)

)(....)()()( 521 BAPBAPBAPAP

)()./()( iii BPBAPBAP

)()/()()/(

)()/()()/()()/()(

5544

332211

BPBAPBPBAP

BPBAPBPBAPBPBAPAP

57

Örnek: Bir ilaç üç fabrika tarafından üretilmektedir.1. Fabrikanın üretimi 2. ve 3. fabrikaların üretiminin 2 katıdır.Ayrıca 1. ve 2. fabrikalar % 2, 3. fabrika % 4 oranındabozuk ilaç üretmektedir. Üretilen tüm ilaçlar aynı depodasaklandığına göre bu depodan rast gele seçilen bir ilacınbozuk olma olasılığı nedir.

A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı P ( A ) = ?

Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi

P(B1) = P(B2) + P(B3)

P(B1) + P(B2) + P(B3) = 1 olduğundan;

P(B1) = 0,50 P(B2) = P(B3) = 0,25 olarak elde edilir.

)()/()()/()()/()( 332211 BPBAPBPBAPBPBAPAP

P(A)=(0.02)(0.5)+(0.02)(0.25)+(0.04)(0.25)=0,025

Depodan seçilen 1000 ürünün 25 tanesinin hatalıdır.

• P(B1)=0.50

• P(B2)=0.25

• P(B3)=0.25

58

Bayes Teoremi

•Çeşitli nedenlerin aynı sonucu verebildiği

durumlarda, bazen sonuç bilindiği halde bunun hangi

nedenden meydana geldiği bilinmeyebilir.

•Sonucun hangi olasılıkla hangi nedenden ortaya

çıktığı araĢtırılmak istendiğinde Bayes

teoreminden yararlanılır. Yani sonuç belli iken

geriye doğru analiz yapma imkanı sağlar.

k

iii

iii

i

BPBAP

BPBAP

AP

BAPABP

1

)()/(

)()/(

)(

)()/(

59

•Ele alınan örnekte depodan rast gele seçilen bir

ilacın bozuk çıkması halinde 1.fabrikadan

gelmesinin olasılığı araĢtırıldığında Bayes

Teoremine ihtiyaç duyulmaktadır.

60

))P(BP(A/B))P(BP(A/B))P(BP(A/B

))P(BP(A/B/A)P(B

332211

111

40,05)(0.04)(0.25)(0.02)(0.2)(0.02)(0.5

)(0.02)(0.5/A)P(B1

Depodan rasgele seçilen bir ilacın bozuk olduğu

bilindiğine göre 1 nci fabrikadan gelmiş olma

olasılığı;

A = Seçilen ilacın bozuk olma olasılığı P ( A ) =

Bi= Seçilen ilacın i nci fabrikada üretilmesi P ( B1 ) ; P ( B2); P ( B3)

P(B1) + P(B2) + P(B3) = 1 olduğundan;

P(B1) = 0,50 P(B2) = P(B3) = 0,25

•Örnek

61

Örnek:

3 mavi, 2 kırmızı ve 5 yeşil torba bulunmaktadır.

Mavi torbaların her birinde 15 bilya(7si beyaz ve 8 i

siyah), kırmızı torbaların her birinde 11 bilya(7si

beyaz ve 4 ü siyah) yeşil torbaların herbirinde 20

bilya(11 i beyaz ve 9 u siyah) bulunduğu

bilinmektedir. Bu torbaların birinden bir bilya çekilmiş

ve siyah renkte olduğu görülmüştür. Bu bilyanın mavi

renkte bir torbadan çekilmesi olasılığı nedir.

62

•S:siyah bilya çekilmesi olayını

•P(M):bir bilyanın mavi torbadan çekilmesi olasılığı =3/10

•P(K): bir bilyanın kırmızı torbadan çekilmesi olasılığı=2/10

•P(Y) : bir bilyanın yeşil torbadan çekilmesi olasılığı=5/10

( ) :P S M •Mavi torbadan çekilen bir bilyanın siyah

renkli olması olasılığı=8/15

( ) :P S K •Kırmızı torbadan çekilen bir bilyanın

siyah renkli olması olasılığı=4/11

( ):P SY •Yeşil torbadan çekilen bir bilyanın siyah

renkli olması olasılığı=9/20

( ) :P M S •Siyah renkli bir bilyanın mavi torbadan

çekilmiĢ olması olasılığı nedir?

63

(3 /10).(8 /15)( )

(3 /10).(8 /15) (2 /10).(4 /11) (5 /10).(9 / 20)P M S

( ) 0.3496P M S

( ). ( )( )

( ). ( ) ( ). ( ) ( ). ( )

P M P S MP M S

P M P S M P K P S K P Y P S Y

Çekilen siyah bilyanın mavi renkli bir torbadan

çekilmiş olması olayı %34.96dır.