· 2019-05-11 · © Бар’яхтар В. Г., Довгий С. О., Божинова Ф. Я.,...

ХарківВидавництво «Ранок» 2018

Підручник для 10 класу закладів загальної середньої освіти

За редакцією В. Г. Бар’яхтара, С. О. Довгого

ІЗИКАРІвень стАндАРтуЗа навчальною програмою авторського колективу під керівництвом Локтєва В. М.10

Ф

© Бар’яхтарВ.Г.,ДовгийС.О.,БожиноваФ.Я.,КірюхінаО.О.,2018

©ХорошенкоВ.Д.,ілюстрації,2018ISBN ©ТОВВидавництво«Ранок»,2018

УДК [37.016:53](075.3) Ф50

Ф50 Фізика(рівеньстандарту,занавчальноюпрограмоюавторськогоколек-тивупідкерівництвомЛоктєваВ.М.):підруч.для10кл.закл.загал.серед.освіти/[В.Г.Бар’яхтар,С.О.Довгий,Ф.Я.Божинова,О.О.Кірюхіна];заред.В.Г.Бар’яхтара,С.О.Довгого.—Харків:Вид-во«Ранок»,2018.:іл.,фот.

ISBNУДК [37.016:53](075.3)

Підручникствореноавторськимколективомускладі:В.Г.Бар’яхтар,С.О.Довгий,Ф.Я.Божинова,О.О.Кірюхіна

А в т о р и й в и д а в н и ц т в о в и с л о в л ю ю т ь щ и р у п о д я к у:М. М. Кірюхіну,президентуСпілкинауковихіінженернихоб’єднаньУкраїни,

кандидатуфізико-математичнихнаук;

І. С. Чернецькому,завідувачувідділуствореннянавчально-тематичнихсистемзнаньНаціональногоцентру«МалаакадеміянаукУкраїни»,кандидатупедагогічнихнаук,

заствореннявідеороликівдемонстраційнихіфронтальнихекспериментів

Методичний апарат підручника успішно пройшов експериментальну перевірку в Національному центрі «Мала академія наук України»

Інтернет-підтримка

Електронніматеріалидопідручникарозміщенонасайтіinteractive.ranok.com.ua

http://interactive.ranok.com.ua/course/pdrychniki/fzika-rven-standarty-za-navchalnoyu-programoyu-avtorskogo-kolektivy-pd-kervnitstvom-loktva-v-m-pdrychnik-dlya-10-klasy-zakladv-zagalno-seredno-osvti

3

ЗМІСТ

Передмова. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

Вступ§1. Зародженняйрозвитокфізикиякнауки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7§2. Методинауковогопізнання.Фізичнівеличинитаїхвимірювання.

Невизначеностівимірювань. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12§3. Скалярнітавекторнівеличини . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

Розділ. I. МеханікаЧастина 1. Кінематика

§4. Основназадачамеханіки.Абеткакінематики . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24§5. Швидкістьруху.Середнятамиттєвашвидкості.Законидодавання

переміщеньішвидкостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30§6. Рівноприскоренийпрямолінійнийрух.Прискорення . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37§7. Вільнепадіннятакриволінійнийрухпіддієюнезмінної

силитяжіння. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44§8. Рівномірнийрухматеріальноїточкипоколу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Лабораторная робота № 1.Визначенняприскореннятілавході

рівноприскореногопрямолінійногоруху. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Лабораторная робота № 2.Вивченнярухутілапоколу. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

ПідбиваємопідсумкирозділуI.Частина1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59ЗавданнядлясамоперевіркидорозділуI.Частина1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60

Частина 2. Динаміка і закони збереження§9. Інерціальнісистемивідліку.ПершийзаконНьютона. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62§10. Сила.Маса.ДругийтатретійзакониНьютона . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68§11. Гравітаційнеполе.Силатяжіння.Першакосмічнашвидкість . . . . . . . . . . . . . . 74§12. Силапружності.Вагатіла . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79§13. Силатертя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84§14. Рівновагатіл.Моментсили . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89§15. Механічнаробота.Кінетичнаенергія.Потужність . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92§16. Потенціальнаенергія.Законзбереженнямеханічноїенергії . . . . . . . . . . . . . . . . 97§17. Імпульстіла.Реактивнийрух.Пружнетанепружнезіткнення. . . . . . . . . . . . . 102§18. Рухрідинитагазу.Підіймальнасилакрила . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 Лабораторная робота № 3.Дослідженнярухузв’язанихтіл . . . . . . . . . . . . . . 111 Лабораторная робота № 4.Визначенняцентрамасплоскоїпластини

двомаспособами. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

ПідбиваємопідсумкирозділуI.Частина2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113ЗавданнядлясамоперевіркидорозділуI.Частина2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114

Частина. 3. Механічні коливання і хвилі§19.Видимеханічнихколивань. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116§20.Математичнийіпружинниймаятники.Енергіяколивань . . . . . . . . . . . . . . . . . 121§21.Резонанс . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127§22.Механічніхвилі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131§23.Звуковіхвилі. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 Лабораторная робота № 5.Дослідженняколиваньнитяногомаятника . . . . . 145

ПідбиваємопідсумкирозділуI.Частина3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146ЗавданнядлясамоперевіркидорозділуI.Частина3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147Енциклопедичнасторінка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148Орієнтовнітемипроектів.Темирефератівіповідомлень.Темиекспериментальнихдосліджень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

4

ЗМІСТ

Розділ II. Елементи спеціальної теорії відносності§24. Постулатитеоріївідносності.Релятивістськийзакондодавання

швидкостей. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152§25. Наслідкипостулатівспеціальноїтеоріївідносності. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

ПідбиваємопідсумкирозділуII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

Розділ III. Молекулярна фізика і термодинамікаЧастина 1. Молекулярна фізика

§26. Основніположеннямолекулярно-кінетичноїтеоріїбудовиречовини.Масатарозміриатомівімолекул.Кількістьречовини. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162

§27. Рухівзаємодіямолекул. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166§28. Модельідеальногогазу.Основнерівняннямолекулярно-кінетичної

теоріїідеальногогазу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171§29. Термодинамічнарівновага.Температура.Температурнашкала

Кельвіна. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174§30. Рівняннястануідеальногогазу.Ізопроцеси. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178§31. Пароутвореннятаконденсація.Насиченатаненасиченапара.

Кипіння . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183§32. Вологістьповітря.Точкароси . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189§33. Поверхневийнатягрідини.Змочування.Капілярніявища . . . . . . . . . . . . . . . . 194§34. Будоватавластивостітвердихтіл.Анізотропіякристалів.

Рідкікристали. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197§35. Механічнівластивостітвердихтіл. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 201 Лабораторная робота № 6.Дослідженняізопроцесівугазах. . . . . . . . . . . . . . 206 Лабораторная робота № 7.Вимірюваннявідносноївологостіповітря. . . . . . . 207

ПідбиваємопідсумкирозділуIII.Частина1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 208ЗавданнядлясамоперевіркидорозділуIII.Частина1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209

Частина 2. Основи термодинаміки§36. Внутрішняенергія.Способизмінивнутрішньоїенергії . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210§37. Роботавтермодинаміці. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214§38. Першийзаконтермодинаміки.Адіабатнийпроцес. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 217§39. Принципдіїтепловихдвигунів.Холодильнамашина. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223

ПідбиваємопідсумкирозділуIII.Частина2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 230ЗавданнядлясамоперевіркидорозділуIII.Частина2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 231Орієнтовнітемипроектів.Темирефератівіповідомлень.Темиекспериментальнихдосліджень. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232

Розділ IV. Електричне поле§40. Абеткаелектростатики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 234§41. Електричнеполе . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 237§42. Роботазпереміщеннязарядувелектростатичномуполі.

Потенціальнаенергіявзаємодіїточковихзарядів. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242§43. Потенціалелектростатичногополя.Різницяпотенціалів. . . . . . . . . . . . . . . . . . 246§44. Провідникивелектростатичномуполі . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250§45. Діелектрикивелектростатичномуполі.Поляризаціядіелектриків . . . . . . . . . 255§46. Електроємність.Конденсатори.Енергіязарядженогоконденсатора. . . . . . . . . 259

ПідбиваємопідсумкирозділуIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264ЗавданнядлясамоперевіркидорозділуIV. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Енциклопедичнасторінка. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 266Орієнтовнітемипроектів.Темирефератівіповідомлень.

Темиекспериментальнихдосліджень . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

Відповідідовправізавданьдлясамоперевірки. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 269

Алфавітнийпокажчик . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 271

5

Дорогі друзі!

Ви вивчаєте фізику вже четвертий рік. Сподіваємося, ви зумілиоцінити достоїнства цієї дивовижної науки про природу, більш того —намагаєтесь,використовуючинабутізнання,усвідомлюватийпояснюва-типроцеси, щовідбуваються навколо.

Цього навчального року на вас знову чекає зустріч із механікою,механічнимрухом,алевженабільшвисокомурівні.Видізнаєтесьпроте,щопояснюютьзакониІ.Ньютонаічимкласичнамеханікавідрізняєтьсявід«релятивістськоїмеханіки»А.Ейнштейна,якоїшвидкостімаєнабу-ти ракета-носій, щоб вивести супутник на орбіту, чому супутники обер-таються навколо Землі й не губляться в космічному просторі та багатоіншого.

Усі параграфи підручника завершуються рубриками: «Підбиваємо підсумки», «Контрольні запитання», «Вправа».

Урубриці«Підбиваємо підсумки» подановідомостіпроосновніпо-няття та явища, з якими ви ознайомилися в параграфі. Отже, ви маєтеможливість іщераз звернутиувагуна головне.

«Контрольні запитання» допоможуть з’ясувати, чи зрозуміли вививченийматеріал.Якщовизможетевідповістинакожнезапитання,товсе гаразд, якщожні, зновузверніться дотекступараграфа.

Виявити свою компетентність і застосувати набуті знання напрактиці допоможе матеріал рубрики «Вправа». Завдання цієї рубри-ки диференційовані за рівнями складності — від доволі простих, щопотребують лише уважності, до творчих, розв’язуючи які слід виявитикмітливість і наполегливість. Номер кожного завдання має свій колір(у порядку підвищення складності: синій, зелений, оранжевий, черво-ний,фіолетовий).

Середзавданьєтакі,щослугуютьдляповторенняматеріалу,якийви вже вивчали в курсах природознавства, математики або на поперед-ніх урокахфізики.

Длятих,хтопрагнезнатибільшепроперспективирозвиткуринкупраці та вже замислюється над вибором майбутньої професії, призначе-на рубрика«Професії майбутнього».

6

ПЕРЕДМОВА

Рубрика«Фізика у цифрах»слугуємістком,щопов’язуєновітнідо-сягнення техніки знавчальнимматеріаломпараграфів.

Чимало цікавого та корисного ви дізнаєтеся завдяки інтернет-підтримці. Це відеоролики, що показують у дії той чи інший фізичнийдослід або процес; інформація, яка допоможе вам у виконанні завдань;тренувальні тестові завдання зкомп’ютерноюперевіркою.

Фізика—наука насампередекспериментальна,тому впідручникунаявні експериментальні завдання та лабораторні роботи. Обов’язкововиконуйте їх —івибудетекраще розумітийлюбити фізику.

Матеріали, запропоновані наприкінці кожного розділу в рубриках«Підбиваємо підсумки розділу» і«Завдання для самоперевірки»,допомо-жуть систематизувати отримані знання, будуть корисними під час по-вторення вивченогота вході підготовки до контрольних робіт.

Для тих, хто хоче більше дізнатися про розвиток фізичної наукий техніки в Україні та світі, знайдеться чимало цікавого й корисноговрубриках«Фізика і техніка в Україні» та«Енциклопедична сторінка».

Зверніть увагу на те, що в підручнику використано позначки, якідопоможутьваморієнтуватисявподаномуматеріалі:

Підбиваємопідсумки Завданнянаповторення

Контрольні запитання Експериментальнезавдання

Вправа Інтернет-підтримка

Цікавої подорожі світом фізики, нехай вам щастить!

7

§ 1. Зародження й розвиток фізики як науки

ВСТУП

§ 1. ЗаРоджЕння й РоЗВиТок фІЗики як наУки

Ще зовсім недавно люди навіть не могли мріяти про можливості, які мають зараз. Досягнення в таких галузях, як робототехніка, штучний інтелект, нанотехнології, 3D-друк, генетика, біотехнологія, сьогодні швидко взаємодоповнюються. Розумні си-стеми, що вже створені або тільки створюються: будинки, фабрики, ферми або навіть міста — допоможуть вирішувати різні проблеми людства. Зрозуміло, що все зазна-чене не може не впливати на формування світогляду сучасної людини. Разом із тим слід завжди пам’ятати, що нові відкриття — це не тільки прогрес, але й величезна відповідальність.

У сучасному світі — бурхливому, суперечливому й одночасно взаємозалежному — важливим є усвідомлення того, що світ пізна ваний, що випадковість не тільки плутає і порушує наші плани, але й створює нові можливості; що існують незмінні орієн-тири-інваріанти; що в міру розвитку знань відбувається руйнування старих «рамок» наших уявлень. Передбачаємо ваше запитання: а до чого тут природничі науки? Спо-діваємося, наприкінці 11 класу ви самі зможете на нього відповісти. А зараз лише зазначимо, що всі ці висновки випливають із істин, відкритих природничими науками, оскільки їх закономірності та принципи мають глобальний характер і тому виходять за межі власне наук.

1 які етапи пройшла фізика під час свого розвиткуІсторіяфізики—цедовжелезнаісторіявідкриттів.Ізкожнимізних

поглиблюється наше розуміння природи. За будь-яким відкриттям — кон-кретна людина, а частіше група людей, чиїми зусиллями фізика як наукапідіймалася на новий щабель розвитку. Ви вже знаєте багато імен людей,чия діяльність сприяла прогресу фізичної науки. Спробуємо систематизу-ватизнанняпродослідниківприродийпершовідкривачівневідомоготапро-стежимо, як накопичувалися фізичні знання.

Розділ I. МЕХАНІКА. Частина 1

З давніх часів до кінця XVI ст. Перед-історія фізики — це період накопиченняфізичнихзнань,закладаннянауковихуяв-леньпровластивостінавколишньогосвіту.Величезний вплив на формування фізич-них понять і закономірностей здійснилимислителі Стародавньої Греції: Аристо-тель,Архімед,АристархСамоський,Демо-кріт, Левкіпп, Піфагор, Птолемей, Евклід.

Із кінця XIX/початку XX ст. Зв’язоквластивостей простору-часу з енергією таімпульсом матеріальних тіл був установ-лений А. Ейнштейном у загальній теоріївідносності.УченийузагальниврезультатиІ. Ньютона щодо гравітаційної взаємодіїтіл для випадку руху із великими швид-костями. Фундамент квантової механіки на по-чатку XX ст. заклали М. Планк, А. Ейн-штейн, Н. Бор, М. Борн. Із відкриттям А. Беккерелем радіоак-тивностіпочавсярозвитокядерноїфізики,

Сучасна фізика

Висунення ідеї геліоцентричної (від грец. helios — Сонце) будови світу. Теоретич-не пояснення цієї ідеї з’явилося майже через 2000 років по тому.

бл. 460 — бл. 370 рр. до н. е.

384–322 рр. до н.е.бл. 310 —

бл. 230 рр. до н. е.

Джеймс Максвелл

Створення теорії електромагніт-ного поля, яка пояснювала всі відомі на той час факти й дозволя-ла передбачати нові явища.

1831–1879

1871–1937

Аристарх Самоський

який сприяв появі нових видівенергії—атомноїенергіїтаенер-гіїядерногосинтезу.Відкриття,зробленівходідослідженьядер-них реакцій, започаткували фі-зику елементарних частинок. СучасніуявленняпроВеликийвибух, чорні діри, розширенняВсесвіту із прискоренням, протемну енергію пов’язані з пра-цями Е. Хаббла, Р. Оппенгей-мера, Х. Снайдера, Дж. Уілера,С. Гокінґа та ін.

Ернест Резерфорд

Установлення структури атома як системи, що складається з малого за розмірами ядра, яке має позитивний заряд, та електронів, заряджених негативно. Е. Резерфорд вважається «батьком» ядерної фізики.

Висунення ідеї ато-марної будови матерії. Експериментально цю ідею було підтверджено тільки на початку XX ст.

Становлення фізики

Демокріт

Узагальнення та систематизація знань у царині природничих наук. Роботи Аристотеля до XVI ст. вважалися «безумов-ною істиною». Уявлення філосо-фа про звукові хвилі збереглись і в сучасній фізиці.

Аристотель

8

Уведення поняття цент ра тяжіння, побудова тео рії рівноваги важеля, визна-чення моменту сил, від-криття законів плавання тіл. Здобутки вченого в інженерії — основа для багатьох сучасних меха-нізмів.

Початок XVII ст. — 80 рр. XVII ст. Роз-виток фізики як науки пов’язують із ім’ямҐ. Ґалілея, експерименти якого заклалифундамент класичної механіки. Розвитокремесел і судноплавства стимулював дослі-дження, що спираються на експеримент.У цей період створюють барометр (Е. Торрі-челлі),формулюютьгазовийзакон(Р.Бойль,Е. Маріотт), відкривають закон заломленнясвітла(В.Снелліус,Р.Декарт),розмежовуютьелектричні та магнітні явища (У. Гільберт).

Кінець XVII ст. — кінець XIX/початок XX ст. Період починається по-будовоюІ.Ньютономпершоїфізичної(механічної)картинисвітуйпродов-жуєтьсябурхливимрозвиткомгалузіфізики,пов’язаноїзвикористаннямтеплових двигунів (Дж. Ватт, С. Карно). Вивчення електричних і магніт-них явищ (Ш. Кулон, А. Ампер, Г. Ерстед, М. Фарадей) завершуєтьсястворенням Дж. Максвеллом рівнянь електромагнітного поля, які сталитеоретичною основою для сучасної електротехніки та радіозв’язку.

287–212 рр. до н. е.

Архімед

Ґалілео ҐалілейІсаак Ньютон

Альберт Ейнштейн

Нільс Бор

Відкриття принципу відносності в механі-ці, обґрунтування ге-ліоцентричної будо-ви світу, створення телескопу, відкриття в астрономії, винахід термометра та ін.

Розуміння будови Соняч-ної системи, формулюван-ня загальних уявлень про будову Всесвіту й основ-них законів механіки, які визначили розвиток фізи-ки на 300 років наперед.

Створець квантової теорії планетарного атома, розроблення фізичних ідей квантової механіки.

Один із засновників сучас-ної теоретичної фізики; за словами самого вченого, справжня мета його до-сліджень «завжди поляга-ла в тому, щоб домогтися спрощення теоретичної фізики та її об'єднання в цілісну систему».

1564–1642

1642–1727

1879–1955 1885–1962

класична фізика

формування фізики

як науки

9

10

ВСТУП

2 які питання турбують сучасних фізиків Практично кожного дня з’являється нова

інформація та нові знання про світ, що нас ото-чує,причомуїхоб’ємнастількизначний,щоінодівони застарівають раніше, ніж ми встигаємо проних дізнатися (рис. 1.1).

Незважаючи на великий обсяг накопиче-них знань, сучасна фізика ще дуже далека відпоясненнявсіхявищприроди.Надумкубритан-ського фізика Стівена Гокінґа, «прогрес полягаєне в заміні неправильної теорії на правильну,а в заміні неправильної теорії на неправильну,але вже уточнену».

Багато десятиліть учені намагаються ство-рититеорію,якапояснювалабВсесвіт,об’єднавшитеоріїфундаментальнихвзаємодій:сильної,слаб-кої,електромагнітної,гравітаційної.Певніуспіхивцьомунапрямівжедосягнуто:уфізиціелемен-тарнихчастинокствореноСтандартну модель—теорію,щооб’єднуєсильну,слабкуйелектромаг-нітну взаємодії елементарних частинок.

На сьогодні Стандартна модель добре узго-джується з експериментами, і нещодавнє від-криття бозона Хіґґса є тому яскравим підтвер-дженням. Проте фізики намагаються вийти замежі цієї моделі та дізнатися про речі, які покищопояснитинеможуть,наприклад,чомуусвітіпрактично немає античастинок й антиматерії.

1,5 року 1,5 року 1,5 року 1,5 року 1,5 року

Рис. 1.1. За даними досліджень, обсяг інформації безперервно зростає. У наш час він подвою-ється кожні півтора року. Сучасна людина за місяць отримує стільки інформації, скільки людина XVII ст. отримувала протягом життя. Щоб рухатися в ногу з часом, нам потрібно безперервно займатися самоосвітою

11

§ 1. Зародження й розвиток фізики як науки

Тому нині в Європейській організації з ядерних досліджень (ЦЕРН) в Же-неві активно проводять експерименти з дослідження процесів, що відбува-лися під час зародження Всесвіту. Тож чекаємо на нові відкриття!

контрольні запитання1.Якіетапирозвиткупройшлафізикаякнаука?Якіідеїрозвивалисянакож-ному з етапів? 2. Якими проблемами опікується сучасна фізика? 3. Назвітьімена відомих вам учених-фізиків. У якій галузі фізики вони працювали?4. Відкриття в яких областях фізики дозволили створити побутові пристрої?Наведіть приклади.

Вправа № 11. У тексті § 1 було названо ім’я лише одного філософа Давньої Греції, що

висунувгіпотезупроатомарнубудовуречовини.Якіщефілософитогочасувисловлювали таку ідею?

2. Чим прославився Архімед як інженер? Які його винаходи зараз можнапобачити навіть на дитячих майданчиках?

3. Уявіть, що ви SMM-менеджер освітньої установи, та напишіть перекон-ливий пост на тему «Чому дизайнерові (чи будь-якому іншому сучасномуфахівцю) необхідно вивчати фізику».

4. Унаслідокнеправильноговикористаннятехнологійзагинулиіщеможутьзагинутитисячілюдей,змінилисяіможутьзмінитисянагіршедоліміль-йонів. Наведіть приклади на підтвердження або спростування цієї тези.Проведіть іздрузямидискусіюнатему«Чиможенауково-технічнийпро-гресдовестилюдстводоглобальноїкатастрофи».Сформулюйтетазапишітьосновні результати обговорення.

5. ЧистикалисявизнеправдивоюінформацієювІнтернеті?Якщотак,тощосаме допомогло вам з’ясувати, що інформація неправдива? Сформулюйтесвої поради з цього приводу.

Фізика і техніка в УкраїніІнститут теоретичної фізики імені М. М. Боголюбова нанУ (Київ) — провідний науковий центр із фундаментальних проблем теоретичної, математич-ної та обчислювальної фізики, створений у 1966 р. Засновником інституту та його першим директором був усесвітньо відомий фізик-теоретик і математик, академік Микола Миколайович Боголюбов.

Тематика наукових досліджень інституту охо-плює широке коло проблем астрофізики й космо-логії, фізики високих енергій, теорії ядерних си-стем, квантової теорії молекул і кристалів.

В інституті працює Науково-освітній центр для обдарованих школярів і студентів.Із 2002 р. директором інституту є видатний учений в галузі теоретичної фізики,

зокрема теорії та моделювання плазмових процесів, академік Анатолій Глібович Загородній.

12

ВСТУП

§ 2. МЕТоди наУкоВого ПІЗнання. фІЗичнІ ВЕличини Та їх ВиМІРюВання. нЕВиЗначЕноСТІ ВиМІРюВань

Чим відрізняється мова фізики (та й будь-якої іншої точної науки) від звичайної мови? Мова фізики інтернаціональна: вона створювалася найкращими умами всіх народів, її од-нозначно розуміють у будь-якому куточку нашої планети. Мова фізики об’єктивна: кожне її поняття має один зміст, який може змінитися (найчастіше — розширитися) тільки завдяки дослідам.

Як і методи наукового пізнання, мова фізики народилася із практики. Про методи фізичних досліджень і деякі поняття мови фізики ви згадаєте в цьому параграфі.

1 Що таке фізичне дослідження та які його методиЗгадаємо, із чого починається дослідницька робота вчених. Перш за

все — це спостереження за певним явищем (тілом або матеріалом) і мірку-вання над його сутністю.

Спостереження — це сприйняття природи з метою одержання первинних даних для подальшого аналізу.

Аледалеконезавждиспостереженняведутьдоправильноговисновку.Тому, щоб спростувати або довести власні висновки, учений проводить фі-зичне дослідження.

фізичне дослідження — це цілеспрямоване вивчення явищ і властивостей природи засобами фізики.

Методи фізичних досліджень

Експериментальний метод Теоретичний метод

Експеримент — дослідження фізич-ного явища в умовах, які перебуваютьпід контролем ученого.

У своїй основі фізика є експеримен-тальною наукою: більшість її законівґрунтуються на фактах, установленихдослідним шляхом

Аналіз отриманих у результаті екс-периментів даних, формулюваннязаконів природи, пояснення певнихявищ і властивостей на основі цихзаконів, а головне — передбаченняй теоретичне обґрунтування (із широким використанням матема-тики) нових явищ і властивостей

Які спостереження, теоретичні й експериментальні дослідження ви могли бпровести, щоб дослідити світіння звичайної лампи розжарення.

Теоретичні дослідження проводять не з конкретним фізичним тілом,азйогоідеалізованиманалогом—фізичною моделлю,якамаєвраховуватиневеликукількістьдеякихосновнихвластивостейдосліджуваноготіла.Так,вивчаючирухавтомобіля,миінколивикористовуємойогофізичнумодель—матеріальну точку (рис.2.1,а).Цюмодельзастосовують,якщорозміритіланеєсуттєвимидлятеоретичногоопису,тобтовмоделі«матеріальнаточка»

13

враховують тільки масу тіла, а його форму тарозміри до уваги не беруть. А от якщо необ-хідно визначити, як на рух автомобіля впли-ває опір повітря, доцільно застосовувати вжеіншу фізичну модель — вона має враховуватиі форму, і розміри автомобіля (рис. 2.1, б),але не буде враховувати, наприклад, скількипальноговитрачаєавтомобіль.Чимбільшеоб-рановідповіднихпараметрівдлядослідженняфізичної системи «автомобіль», тим кращеможна передбачити його «поведінку».

Чому ми ніколи не зможемо врахувати всіпараметри системи «автомобіль»?

2 як виміряти фізичну величину Описуючи, наприклад, рух автомобіля,

миобов’язкововикористовуємопевнікількісні характеристики:швидкість,прискорення,часруху, силу тяги, потужність тощо. Із поперед-нього курсу фізики ви знаєте, що кількісну міру певної властивості тіла, певного фізич-ного процесу або явища називають фізичною величиною.

Значення фізичної величини встановлю-ють у ході вимірювання.

Вимірювання бувають прямі та непрямі.У разі прямих вимірювань величину по-

рівнюють із її одиницею (метром, секундою,кілограмом,амперомтощо)задопомогоювимі-рювального приладу, проградуйованого у від-повідних одиницях (рис. 2.2).

Назвіть кілька фізичних величин, значенняякихвизнаходилизадопомогоюпрямихви-мірювань. У яких одиницях вимірюють цівеличини? якими приладами?

Уразінепрямих вимірюваньвеличинуоб-числюютьзарезультатамипрямихвимірюваньінших величин, пов’язаних із вимірюваною ве-личиною певною функціональною залежністю.Так, щоб обчислити середню густину ρ тіла,потрібно за допомогою терезів виміряти йогомасуm,задопомогою,наприклад,мензуркиви-мірятиоб’ємV,апотіммасуподілитинаоб’єм:

ρ = m

V.

Рис. 2.1. Визначаючи швидкість і час руху автомобіля, можна застосовувати фізичну модель «матеріальна точка» (а); визнача-ючи аеродинамічні властивості автомобіля, цю фізичну модель застосовувати не можна (б)

Рис. 2.2. Сучасні прилади для прямого вимірювання темпе-ратури (а); маси (б); швидкості руху (в)

а

б

в

б

§ 2. Методи наукового пізнання. Фізичні величини та їх вимірювання....

а

14

ВСТУП

3 Побудова системи одиницьЗавданнявибудуватисистемуодиницьна

науковій основі було поставлено перед фран-цузькимивчениминаприкінціXVIIIст.,післяВеликої французької революції. У результатіз’явиласяметричнасистемаодиниць.У1960р.було створено Міжнародну систему одиниць СІ,яка згодом стала у світі домінуючою.

Історично одиниці фізичних величинпов’язували з певними природними тіламиабо процесами. Так, 1 метр пов’язаний із роз-мірами планети Земля, 1 кілограм — із пев-ним об’ємом води, 1 секунда — із добовимобертанням Землі. Потім для кожної одиницістворювався еталон — засіб (або комплекс за-собів) для відтворення та зберігання одиниці фізичної величини. Основні еталони зберіга-лися (і зберігаються зараз) у Міжнародномубюро мір і ваг (м. Севр, Франція).

Зараздедалібільшепоширюютьсяметодипобудовисистемиодиниць,якіґрунтуютьсянаособливостях випромінювання та поширенняелектромагнітниххвильінафундаментальнихфізичних константах.

Розглянемо основні етапи побудови си-стеми одиниць на прикладіметраікілограма.

Нагадаємо, що для зручності записи ве-ликих і малих значень фізичних величин ви-користовують кратні та частинні одиниці.

Кратні одиниці є більшими за основні оди-ниці в 10, 100, 1000 і більше разів. Частинні одиниці є меншими за основні одиниці в 10, 100, 1000 і більше разів.

Основні одиниці СІ

� кілограм (1 кг, 1kg) одиницямаси

� метр (1 м, 1m) одиницядовжини

� секунда (1 с, 1s) одиницячасу

� ампер (1 А, 1А) одиницясили струму

� моль (1 моль,1mol) одиниця кількості речовини

� кельвін (1 К,1K) одиницятемператури

� кандела (1 кд,1kd) одиницясили світла

1 метр — довжина 1/10 000 000 частини чверті меридіана Землі, який про-ходить через Париж (Франція)

Спеціальний відрізок, калібрований за довжиною. Довжину цього відрізка визначено як 1 метр

Платиново-іридієвий циліндр, діаметр і висота якого 39 мм. Масу цього зразка визначено як 1 кілограм

1 метр дорівнює шляху, який проходить світло у вакуумі за інтервал часу 1/299 792 458 се кунди

Поки залишається платино-во-іридієвий циліндр, але планується пов’язати 1 кілограм зі сталою Планка або з числом Авогадро

1 кілограм — маса 1 літра чистої води за температури 4 °С і атмосферного тиску 760 мм рт. ст.

Використовувався в 1899–1960 рр.

Створений у 1899 р.

15


Назви кратних і частинних одиницьмістять певні префікси. Наприклад, кілометр(1000м,або103м)—кратнаодиницядовжини,міліметр(0,001м,або10–3м)—частиннаоди-ниця довжини (див. табл. 1).

4 як виміряти фізичну величинуУ ході вимірювання будь-якої фізичної

величини зазвичай виконують три послі-довніоперації:1)вибір,перевіркатавстанов-лення приладу (приладів); 2) зняття показівприладів; 3) обчислення шуканої величиниза результатами вимірювань, оцінюванняпохибки.

Наприклад, слід виміряти на місцевостівідстань близько 50 м. Зрозуміло, що дляцього не треба брати учнівську лінійку —зручнішескористатисярулеткою.Усіприладимаютьпевнуточність,томуслідознайомитисяз будовою рулетки та встановити її точність.Відстань у 50 м, як правило, не потрібно ви-значатизточністюдоміліметра,томурулеткаможе й не містити відповідних поділок.

А от якщо для полагодження лаборатор-ногокрананеобхідновизначитирозмірдрібноїшайби, доцільно скористатися штангенцирку-лем (див. рис. 2.3).

Але навіть за допомогою надточногоприладу не можна здійснити вимірюванняабсолютно точно. Завжди є похибки (невизна-ченості) вимірювань — відхилення значення виміряної величини від її істинного значення.

Модуль різниці між виміряним xвим( ) та іс-тинним (x) значеннями вимірюваної вели-чини називають абсолютною похибкою ви-мірювання ∆ x :

∆ x x x= −вим

Відношення абсолютної похибки до виміря-ного значення вимірюваної величини назива-ють відносною похибкою вимірювання εx :

εxx

x= ∆

вим

, або у відсотках: εxx

x= ⋅∆

вим

100 %

Таблиця 1

Префікси для утворення назв кратних

і частинних одиниць

Пре-фікс

Позна-чення

Множ-ник

атто- а 10–18

фемто- ф 10–15

піко- п 10–12

нано- н 10–9

мікро- мк 10–6

мілі- мл 10–3

санти- с 10-2

кіло- к 103

мега- М 106

гіга- Г 109

тера- Т 1012

пета- п 1015

екса- е 1018

Рис. 2.3. Штангенциркуль. Точність вимірювання зображе-ним приладом — соті частки міліметра

16

ВСТУП

Похибки в ході вимірювань фізичних величин бувають випадкові тасистематичні.

Випадкові похибки Систематичні похибки

Випадкові похибки пов’язані з процесом вимі-рювання. Вимірюючи рулеткою відстань, неможливопрокласти рулетку ідеально рівно; вимірюючимасу тіла на важільних терезах, неможливоуникнути тертя й т. д. Щоб покращити результати, вимірюванняпроводять кілька разів і визначають середнє значення вимірюваної величини:

x xx x x

NN

вим сер= =+ + +1 2 ...

,

де x1, x2, … xN— результати кожного з N ви-мірювань. У даному разі випадкову абсолютну похибку ∆xвипможна обчислити за формулою:

∆ xx x x x x x

NN

випвим вим вим=

+− + − + −1 2 ...

Якщо вимірювання проводилися один раз,то випадкова похибка дорівнює половині ціни поділки шкали приладу

Систематичні похибки пов’я-зані насамперед із вибором при-ладу. Неможливо знайти рулеткуз ідеально точним розбиттямшкали, абсолютно точні гирі,ідеальнорівноплечіважелітощо.Систематичні похибки визнача-ються якістю приладу — йогокласом точності, тому їх частоназивають похибками приладу. У процесі експлуатації точ-ність приладів може зменшу-ватися, тому їх необхідно пері-одично перевіряти в Бюро міріваг(вУкраїнівідповіднауста-нова розташована в Харкові). Абсолютні похибки деякихприладів, що використовуютьушколі,наведеновтабл.2.Якщови користуєтесь іншими прила-дами, то вважайте, що похибкаприладу дорівнює половині ціни поділки шкали цього приладу

Абсолютна похибка прямого вимірювання(∆x)враховуєяксистематичнупохибку,зумовленуприладом(∆xприл),таківипадковупохибку(∆xвип),зумовленупроцесомвимірювання:

∆ ∆ ∆x x x= +прил вип

Таблиця 2. Абсолютні похибки деяких фізичних приладів

Фізичний прилад

Ціна поділки шкали приладу

Абсолютна похибка приладу

Лінійка учнівська 1 мм ±1 мм

Стрічка вимірювальна 0,5 см ±0,5 см

Штангенциркуль 0,1 мм ±0,05 мм

Циліндр вимірювальний 1 мл ±1 мл

Секундомір 0,2 с ±1 с за 30 хв

Динамометр навчальний 0,1 Н ±0,05 Н

Термометр лабораторний 1°С ±1°С

Амперметр шкільний 0,1 А ±0,05 А

Вольтметр шкільний 0,2 В ±0,1 В

17

5 як визначити похибки непрямих вимірювань

Багато фізичних величин неможливо ви-міряти безпосередньо. Їх непряме вимірю-вання має два етапи: 1) методом прямихвимірювань знаходять значення певнихвеличин,наприкладx,у;2)завідповідноюформулоюобчислюютьшуканувеличинуf.Як у такому випадку визначити абсо-лютну ∆ f і відносну εf похибки? Відпо-відь на це дає теорія ймовірностей.

yy Відноснупохибкувизначаютьзапев-ними формулами (див. табл. 3).

yy Абсолютну похибку визначають завідносною похибкою:

∆ f ff= ⋅ε вим

yy Якщо експеримент проводять, щобз’ясувати,чисправджуєтьсяпевнарівність(наприклад, X Y= ), то відносну похибкуекспериментальної перевірки рівностіX Y= можна обчислити за формулою:

ε = − ⋅X

Y1 100 %

6 як правильно записати результати Абсолютнапохибкаекспериментуви-

значаєточність,зякоюєсенсобчислювативимірювану величину.

Абсолютну похибку ∆ x округлюють до однієї значущої цифри із завищенням, а результат вимірювання xвим — до ве-личини розряду, який залишився в абсо-лютній похибці після округлення. Оста-точний результат х записують у вигляді:

x x x= ±вим ∆

Абсолютна похибка — додатна величина,тому x x x= +вим ∆ —найбільше ймовірне зна-чення,а x x x= −вим ∆ —найменше ймовірне значення вимірюваної величини (рис. 2.4).

Приклад. Нехай вимірювали приско-рення вільного падіння (g). У результатіобробки одержаних експериментальнихданих отримали:

gвим = 9,736 м/с2;∆g = 0,123 м/с2.

Таблиця 3Деякі формули для визначення

відносної похибки

Вид формули (функції)

Відносна похибка

f x y= + εfx y

x y= ∆ + ∆

+

f x y= − εfx y

x y= ∆ + ∆

−

f xy=

ε ε εf x y= +fx

y=

f xn= ε εf xn=

f xn= ε εf xn= 1

xвим–∆x xвим+∆x

2∆x

xвим

Рис. 2.4. Абсолютна похибка визначає інтервал, у якому перебуває істинне значення вимірюваної величини


18

ВСТУП

Абсолютну похибку потрібно округлити до однієї значущої цифри іззавищенням:∆g = 0,2 м/с2.

Тоді результат вимірювання округлюється до того ж розряду, що йрозряд похибки, тобто до десятих: gвим = 9,7 м/с2.

Відповідь за підсумками експерименту слід подати у вигляді:g = ±( )9 7 0 2, , м/с2.

Відповідноістинне значенняприскореннявільногопадінняміститьсяв інтервалі від 9,5 м/с2 до 9,9 м/с2 (рис. 2.5).

9,5 9,99,8 g, м

с2

Рис. 2.5. Табличне значення: gтабл=9,8м/с2 належить до інтервалу [9,5;9,9] м/с2, тому мож-на сказати, що результат експерименту (gвим=9,7м/с2) збігся з табличним у межах похибки вимірювань

! Підбиваємо підсумки

yy Фізичне дослідження — це цілеспрямоване вивчення явищ і власти-востейприродизасобамифізики.Існуютьдваметодифізичнихдосліджень:теоретичні й експериментальні. В основі будь-якого теоретичного дослі-дження лежить ідеалізований об’єкт — фізична модель.

yy Фізичнавеличинаєкількісноюміроюпевноївластивостітіла,певногофізичного процесу або явища. Виміряти фізичну величину означає порів-няти її з однорідною величиною, взятою за одиницю.

yy У ході будь-якого вимірювання обов’язково є похибки: випадкові,пов’язанізпроцесомвимірювання,ісистематичні,пов’язанізвиборомпри-ладу для вимірювання.

yy Абсолютна похибка експерименту визначає інтервал, у якому перебу-ває істинне значення вимірюваної величини, й обчислюється за формулою:∆ ∆ ∆x x x= +вип прил . Відносна похибка характеризує якість вимірювання, до-рівнюєвідношеннюабсолютноїпохибкидосередньогозначеннявимірюваної

величини і подається у відсотках: εxx

x= ⋅∆

вим100 %.

контрольні запитання1.Назвітьосновніметодифізичнихдосліджень.Наведітьприклади.2.Наве-діть приклади фізичних моделей. Чому фізична модель — це ідеалізованийоб’єкт? 3. Назвіть основні одиниці СІ та величини, для вимірювання якихвони слугують. 4. Які види похибок вимірювань ви знаєте? 5. Як визначитивипадкову похибку вимірювання? 6. Чим визначається абсолютна система-тична похибка? 7. Що називають відносною похибкою вимірювання? 8. Якправильно округлити й записати результати вимірювань?

Вправа № 21. Щоб довести закон збереження механічної енергії, провели експеримент.

Булоотримано,щосередняенергіясистемитілдовзаємодіїдорівнює225Дж,апіслявзаємодії—243Дж.Оцінітьвідноснупохибкуексперименту.

19

§ 3. Скалярні та векторні величини

2. Визначаючи діаметр дроту за допомогою штангенциркуля, вимірюванняпроводили чотири рази. Було одержано такі результати: d1 2 2= , мм;d2 2 1= , мм; d3 2 0= , мм; d4 2 0= , мм.1)Обчислітьсереднєзначеннядіаметрадроту, випадкову похибку вимірювання, абсолютну та відносну похибкивимірювання. 2) Округліть одержані результати й запишіть результат ви-мірювання.

3. Щоб визначити швидкість руху візка, провели експеримент. Пройденийшлях вимірювали рулеткою, а час — секундоміром із відносною система-тичноюпохибкою1%.Вимірюванняпроводилип’ятьразів.Показрулеткищоразубувнезміннимідорівнював1м.Уходівимірюваннячасуодержанотакі результати: t1 5 6= , с; t2 5 8= , с; t t3 4 5 3= = , с; t5 5 5= , с. Обчислітьвиміряне значення швидкості руху візка, відносну й абсолютну похибкивимірювання швидкості руху. Запишіть результат вимірювання.

§ 3. СкаляРнІ Та ВЕкТоРнІ ВЕличини

До розуміння того, що для описування природи потрібно ви-користовувати мову математики, учені прийшли давно. Власне, математика була створена для того, щоб описувати природу стис-лою й доступною мовою. Так з’явилася векторна алгебра, необ-хідна для теоретичних досліджень величин, що мають напрямок. Для визначення миттєвої швидкості, роботи змінної сили, об’єму тіл неправильної форми та ін. було створено диференціальне та інтегральне числення. Для наочнішого описання фізичних проце-сів навчилися будувати графіки функцій, а для швидкої обробки результатів експерименту придумали методи наближених обчис-лень. Згадаємо скалярні та векторні величини, без яких вам не обійтися в ході вивчення курсу фізики 10 класу.

1 Скалярні та векторні величиниФізичнівеличини,яківикористовуютьуфізицідлякількісноїхарак-

теристикифізичнихявищіоб’єктів,поділяютьсянадвавеликікласи:ска-лярні величини і векторні величини.

Доскалярних величин,абоскалярів(відлатин.scalaris—східчастий),належатьвеличини, які визначаються тількизначенням. Наприклад, масатіла—скалярнавеличина,іякщомиговоримо,щомасатіладорівнюєдвомкілограмам( m = 2 кг),топовністювизначаємоцювеличину. Додати дві ска-лярні фізичні величини означає додати їхні значення, подані в однакових одиницях.Зрозуміло,щододаватиможнатількиоднорідніскаляри(наприк-лад, не можна додавати масу до часу, а густину до роботи тощо).

Для визначення векторних величин важливо знати не тільки їх зна-чення,алейнапрямки.Вектор(відлатин.vector—носій)—це напрямлений відрізок, тобто відрізок, що має і довжину, і напрямок.Довжинунапрямле-ного відрізка називають модулем вектора. Позначають векторні величинилітерамигрецькоготалатинськогоалфавітів,надякимипоставленострілки,або напівжирними літерами.

Л. Д. Ландау (1908–1968), лауреат Нобелівської премії з фізики

20

ВСТУП

Наприклад,швидкістьзаписуютьтак:

v або v;модульвекторашвидкостівідповіднопознача-ють як v.

Правила додавання (віднімання) векто-рів відрізняються від правил додавання (від-німання) скалярних величин.

Суму двох векторів визначають за пра-вилом паралелограма або правилом трикут-ника (рис. 3.1, 3.2).

Яквизначитисумукількохвекторів,по-казанонарис.3.3,яквизначитирізницюдвохвекторів, показано на рис. 3.4.

У результаті множення векторної ве-личини

a на скалярну величину k виходитьвектор

c (рис. 3.5).Зверніть увагу! У фізиці модулі вектор-

ної та скалярної величин мають — крім чис-лових значень — ще й одиниці, в яких вонивимірюються. Одиниця їх добутку визнача-ється як добуток одиниці векторної величинина одиницю скалярної.

Наприклад, потрібно знайти перемі-щення літака, який протягом 0,5 год летитьна північ зі швидкістю 500 км/год. Векторпереміщення:

s vt= . Оскільки t > 0 , то век-тор переміщення

s буде напрямлений у тойсамий бік, що й вектор швидкості

v , а мо-дуль вектора переміщення дорівнюватиме:s vt= = ⋅ =500 0 5 250км/год год км, .

a

a

b

b

ca

b= +

Рис. 3.2. Визначення суми двох векторів

a і

b за правилом трикутника:

c a b= +

a

b

c

d = a b c+ +

Рис. 3.3. Визначення суми трьох векторів

a ,

b і

c :

d = a b c+ +

Рис. 3.4. Два способи визначення різниці двох векторів: а — до векто ра

a додають вектор, протилежний вектору

b :

c a b= + −( ), тобто

c a b= − ; б — вектори

a і

b розміщують так, щоб вони виходили з однієї точки, вектор

c , що з’єднує кінець вектора

b із кінцем вектора

a , і є вектор різниці векторів

a і

b , тобто

c a b= −

a

b

a

b

a

b

ca

b=

−

ca

b=

−

a

a

b

b

ca

b=

+

Рис. 3.1. Визначення суми двох векторів

a і

b за правилом паралелограма:

c a b= +

Рис. 3.5. Визначення добутку векто-ра

a на скаляр k: модуль вектора

c дорівнює добутку модуля скаляра і модуля вектора

a , тобто c k a=

a

c ka=

a

c ka=

Якщо k < 0, вектори

c і

a напрямлені протилежно

Якщо k > 0, вектори

c і

a співнапрямлені

а б

21

§ 3. Скалярні та векторні величини

2 як знайти проекції вектора на осі координат

Із векторами здійснювати математичні опе-рації набагато складніше, ніж зі скалярами,томувходірозв’язуваннязадачвідвекторнихфізичних величин переходять до їхніх проек-цій на о сі координат.

Нехай вектор

a лежить у площині XОY(рис. 3.6). Опустимо з точки А (початок век-тора

a )іточкиВ(кінецьвектора

a )перпенди-куляринавісьОX.Основицихперпендикуля-рів—точкиА1іВ1—цепроекції точокА іВна вісь ОX, а відрізок А1В1 — проекцієя век-тора

a на вісь ОX.Проекціювекторапознача-ютьтієюсамоюлітерою,щойвектор,іззазна-ченнямунижньомуіндексіосі,наприклад: ax .Якщо із кінців вектора

a побудувати перпен-дикуляридоосіОY,дістанемовідрізокА2В2—проекцію вектора

a на вісь ОY ( ay ).Проекціявектора—величинаскалярна,

аїїзнакзалежитьвіднапрямківвекторайосікоординат. Проекція вектора на вісь коорди-нат вважається додатною, якщо від проекціїпочатку вектора до проекції його кінця требарухатися в напрямку осі координат; проекціявекторавважаєтьсявід’ємною,якщовідпроек-ції початку вектора до проекції кінця векторатребарухатисяпротинапрямкуосікоординат(див. рис. 3.6).

У загальному випадку проекцію векторавизначають звичайними геометричними ме-тодами (рис. 3.7, а). На практиці часто дово-диться мати справу з випадками, коли векторпаралельнийосікоординатабоперпендикуляр-ний до неї. Якщо вектор паралельний осі ко-ординат,айогонапрямокзбігаєтьсязнапрям-ком осі, то його проекція на цю вісь додатнайдорівнюємодулювектора(рис.3.7,б).Якщонапрямок вектора протилежний напрямку осікоординат, то його проекція на цю вісь дорів-нює модулю вектора, взятому з протилежнимзнаком (рис. 3.7, в). Якщо ж вектор перпенди-кулярний до осі координат, то його проекціяна цю вісь дорівнює нулю (рис. 3.7, г).

Дуже важливою властивістю проекційєте,щопроекція суми двох векторів(рис.3.8)

Рис. 3.6. Визначення проекцій вектора на осі координат: ax — проекція вектора

a на вісь ОX, ax > 0 ; ay — проекція векто-ра

a на вісь ОY, ay < 0

XO

YA2

ay

ax

B2

A1 B1

a

B

A

Рис. 3.7. Визначення проекцій вектора на осі координат

XO

Y

b y=

bs

inα

α

αbx=bcosα

b

a

ax=a

b

bx=–b

c

d

cx=0 dx=0

Рис. 3.8. Проекція суми векторів дорівнює сумі проекцій векторів, що додаються: якщо

c a b= + , то c a bx x x= +

a

cx=ax+bx

ax bx

c a b= +

O

O O

O

X

X X

X

а

б

г

в

b

22

ВСТУП

або кількох векторів на координатну вісь дорівнює алгебраїчній сумі проекцій цих векторів на дану вісь. Саме ця властивість дозволяє замінювати в рів-нянні векторні величини їх проекціями — скалярними величинами і далірозв’язувати одержане рівняння звичайними алгебраїчними методами.

! Підбиваємо підсумки

yy За своїми геометричними властивостями фізичні величини поділя-ються на скалярні та векторні.

yy Додатидвіскалярнівеличиниозначаєдодатиїхнізначення.Додаватиможна скалярні величини, подані в одних одиницях.

yy Векторні величини мають значення (модуль) і напрямок.

yy Суму векторів визначають за правилом паралелограма або правиломтрикутника.

контрольні запитання1.Якіфізичнівеличининазиваютьскалярними?векторними?Наведітьпри-клади.2.Якзнайтисумувекторів?різницювекторів?добутоквекторатаска-ляра? 3. Як знайти проекції вектора на о сі координат?

Вправа № 31. Чи можна додавати площу й об’єм? вектор імпульсу й енергію? вектор

швидкості та вектор сили? енергію та роботу? Чому?2. Перенесітьузошитрис.1.Длякожноговипадкузнайдітьсумутарізницю

двох векторів.3. Перенесітьузошитрис.2.Длякожноговипадкузнайдітьсумутрьохвек-

торів.

б

a

b

в

a

bа

a

b

Рис. 1 б

a

b

c

а

a

b

c

Рис. 2

4. Визначте проекції векторів на о сі координат (рис. 3).

a

b

c

d

y, м

x, м10

1

0

y

x30°

45°

60°

F1

F2

F3

F1=F3=5HF2=4H

Рис. 3

Розділ I. МЕХАНІКАРозділ I. МЕХАНІКА

МЕхАНІЧНІ КОЛиВАННЯ І хВиЛІ

ДиНАМІКА І ЗАКОНи ЗБЕРЕжЕННЯ

КІНЕМАТиКА

24


Рис. 4.1. На перехресті не відбулося жодної дорож-ньо-транспортної пригоди, оскільки всі учасники руху правильно розв’язали основну задачу механіки

ЧАСТиНА 1. кІнЕМаТика

§ 4. оСноВна Задача МЕханІки. аБЕТка кІнЕМаТики

Уявіть, що сталася аварійна ситуація, і на одній колії опинилися два поїзди: товарний рухається зі швидкістю 50 км/год, а позаду нього, на відстані 1 км, їде експрес зі швидкістю 70 км/год. Машиніст експреса починає гальмувати. Чи є неминучою ката-строфа? Скільки часу потрібно експресу для зупинки? Який шлях подолає за цій час товарний поїзд? Яку найменшу відстань має подолати експрес до зупинки? Від чого це залежіть? Згадаємо, що на ці та багато інших подібних запитань відповідає розділ фізики, який називають «Механіка».

1 Що вивчає механіка

Механіка — наука про механічний рух матеріальних тіл і про взаємодії, які при цьому відбуваються між тілами.

Основна задача механіки — пізнати закони механічного руху тіл, вза-ємодій між тілами, передбачати поведінку тіл на основі законів механіки,визначатимеханічнийстантіла(координатиташвидкістьруху)вбудь-якиймомент часу (див., наприклад, рис. 4.1).

Механіка у своєму складі має кілька розділів, зокрема кінематику —розділ механіки, який вивчає рух тіл і при цьому не розглядає причин, якими цей рух викликаний.Інакшекажучи,кінематиканевідповідаєназапитанняна зразок: «Чому потрібно саме 2 км, щоб зупинити експрес?», — вона за-ймаєтьсятількиописаннямруху.Аотпричинизмінирухутілрозглядаютьу розділі механіки, який називається динаміка.

Наякізапитаннязпоставленихнапочаткупараграфуможевідповістикіне-матика? динаміка?

2 Складові системи відліку

Механічний рух — зміна з часом положення тіла (або частин тіла) в просторі відносно інших тіл.Тіло,відносноякогорозглядаютьрухусіхіншихтіл,проякійдеться

в певній задачі, називають тілом відліку. Щоб визначити положення тілав просторі в даний момент часу, з тілом відліку пов’язують систему коор-динат,якузадаютьзадопомогоюоднієї,двохаботрьохкоординатнихосей(відповідно одновимірну, двовимірну або тривимірну систему координат),і прилад для відліку часу (годинник, секундомір тощо).

25

§ 4. Основна задача механіки. Абетка кінематики

Тіло відліку, пов’язані з ним система координат і прилад для відліку часу утво-рюють систему відліку (див. рис. 4.2).

Доки не обрано систему відліку, неможливо стверджувати, рухаєтьсятілочиперебуваєвстаніспокою.Наприклад,люди,щосидятьвтролейбусі,нерухаютьсявідноснооднеодного,алеразомізтролейбусомвонирухаютьсявідносно полотна дороги.

Розгляньтерис.4.2.Назвітьтілаабочастинитіл,якіздійснюютьмеханічнийрух. Відносно яких тіл ви розглядали ці рухи?

3 коли розмірами тіла можна знехтувати Будь-яке фізичне тіло складається з величезної кількості частинок.

Наприклад, в 1 см3 заліза міститься понад 1023 атомів. Це в багато разівбільше, ніж кількість людей на Землі (7,6·109, або 7,6 млрд осіб). А щобвизначити розташування тіла в просторі, потрібно, суворо кажучи, визна-чити розташування кожної його точки. Тож як розв’язати основну задачумеханіки? З попереднього курсу фізики ви знаєте, що, описуючи рух тіла,розміри якого набагато менші від відстані, яку воно долає, тіло замінюютьйогофізичноюмоделлю—матеріальною точкою.Матеріальнаточканемаєрозмірів, а її маса дорівнює масі тіла.

X,м

Y,м0

1

1

Рис. 4.2. Складові системи відліку: тіло відліку, система координат і прилад для відліку часу

Система координатПрямокутну (декартову) тривимірну систему координат зада-ють за допомогою трьох взаємно перпендикулярних коорди-натних осей (ОX, ОY, ОZ), що перетинаються в одній точці — в початку відліку. Вздовж осей відкладають відстані в обраній шкалі довжин, наприклад у метрах.

Тіло відлікуОбираючи тіло відліку, виходять із мір-кувань зручності. Так, розглядаючи рух тролейбуса між двома зупинками, за тіло відліку доцільно взяти тіло, неру-хоме відносно Землі, наприклад дерево. А от якщо розглядати рух пасажира, що йде по салону тролейбуса, за тіло відліку зручно обрати тіло, нерухоме відно сно тролейбуса, наприклад водія.

1

Прилад для відліку часуЗміна положення тіла відбуваєть-ся не миттєво, тому для дослі-дження механічного руху необхід-ний прилад для відліку часу.

Z,м

26


Матеріальна точка — це фізична модель тіла, розмірами якого в умовах даної задачі можна знехтувати.

Тесаметіловумоваходнієїзадачіможнавважатиматеріальноюточ-кою,авумовахіншої—неможна(див.рис.4.3).Далі, якщо не буде спеці-альних застережень, розглядаючи рух тіла та визначаючи його координати, вважатимемо дане тіло матеріальною точкою.

Переміщення

s

Астероїд Беннуа б

Діаметр — 560 м

Шлях l

Траєкторія

Венера

Бенну

Марс

Сонце

Земля

8 вересня 2016 р.на астероїд Бенну

стартувала амери-канська міжпланетна

станція. Забір ґрунтуочікується у 2019 р.,

повернення на Землю — у 2023 р.

Рис. 4.3. Досліджуючи рух астероїда Бенну по орбіті, розміром астероїда можна знехтувати та вважати його матеріальною точкою (а); плануючи спуск на астероїд робота, розмірами астерої-да нехтувати не можна (б)

Уявну лінію, в кожній точці якої послідовно перебувала матеріальна точка під час руху, називають траєкторією руху. Наприклад, траєкторієюруху астероїда Бенну є еліпс (жовта лінія на рис. 4.3, а).

Якщо визначити довжину ділянки траєкторії, яку описав астероїд, на-приклад,затриземнихмісяці,знайдемошляхl,якийподолавастероїдзацейчас( l ≈ 262 млнкм)(оранжево-жовталініянарис.4.3,а).Шлях—це фізична величина, яка дорівнює довжині траєкторії або довжині її певної ділянки.

4 Переміщення. Проекція переміщенняЗ’єднаємо напрямленим відрізком (вектором) положення астероїда на

моментпочаткуспостереженнязйогоположеннямнаприкінціспостереження(див.рис.4.3).Цейвектор—переміщенняастероїдазаданийінтервалчасу.


s — це векторна величина, яку графічно подають у вигляді напрямленого відрізку прямої, який з’єднує початкове та кінцеве положення матеріальної точки.

Переміщеннявважаютьзаданим,якщовідомінапрямокімодуль пере-міщення. Модуль переміщення s — це довжина вектора переміщення. Оди-ниця модуля переміщення в СІ — метр:

s[ ] = 1 м (m)*.

* Тут ідалі вдужкахнаведено міжнародні позначення одиниць СІ.

27


Вектор переміщення в загальному ви-падку не збігається з траєкторією руху тіла:шлях, пройдений тілом, зазвичай більший,ніж модуль переміщення (див. рис. 4.3, 4.5).Шляхімодульпереміщеннявиявляютьсярів-ними тільки коли тіло рухається вздовж пря-мої в незмінному напрямку.

Наведіть приклади руху тіл, коли: а) шляхдорівнює модулю переміщення; б) шлях єбільшим за модуль переміщення; в) модульпереміщення дорівнює нулю.

Якщо відомі переміщення та початковікоординати тіла, то можна визначити поло-ження тіла в будь-який момент часу, тобторозв’язати основну задачу механіки.Однакзаформулами,записанимиувекторномувигляді,здійснювати обчислення доволі складно, аджевцьомувипадкудоводитьсяпостійноврахову-ватинапрямкивекторів.Томудлярозв’язаннязадач використовують проекції вектора пере-міщення на о сі координат (рис. 4.4).

5 У чому полягає відносність механічного руху

Траєкторія, шлях, переміщення, а отже, швид-кість руху тіла залежать від вибору системи відліку — в цьому полягає відносність механіч-ного руху.

Переконайтеся у відносності механічногоруху:розгляньтерухточкиAналопатігвинтагелікоптерапідчасйоговертикальногозльоту,прийнявши, що за час спостереження гвинтгелікоптера зробив три оберти (рис. 4.5).

Система відліку «Гелікоптер»: yy траєкторія руху точки А — коло;

yy шлях l — три довжини кола:l R= ⋅3 2π ;

yy модуль переміщення s=0.

Система відліку «Земля»: yy траєкторія руху точки А — гвинтова лінія;

yy шлях l — довжина гвинтової лінії;

yy модуль переміщення s — висота, на яку піднявся гелі-коптер: s=h.

Рис. 4.5. Траєкторія, шлях і переміщення гелікоптера в різних системах відліку

s

A

A

A

Рис. 4.4. Координатний метод знаходження положення тіла

Координати тіла, проекції переміщення

yy Убудь-якиймоментчасукоординати тіла можна ви-значити за формулами:

x x sx= +0 ; y y sy= +0

X0 x

y

x0

y0

sy

sx

Y

s

yy s sx = , якщо напрямокпереміщення збігаєтьсяз напрямком осі координат

X0 xx0 sx

s

yy s sx = − , якщо напрямокпереміщення протилежнийнапрямку осі координат

X0 xx0 sx

s

28


6 Згадуємо види механічного рухуВизнаєте,щоза характером рухурозрізняютьрівномірний інерівно-

мірнийрухи,за формою траєкторії — прямолінійнийікриволінійний рухи.Уважно розгляньте таблицю та дайте означення деяких механічних

рухів: рівномірного прямолінійного, рівномірного криволінійного, нерівно-мірного прямолінійного, нерівномірного криволінійного. Наведіть власніприкладитакихрухів.(Червоніточкивтаблиціпоказуютьположеннятілачерез деякі рівні інтервали часу.)

Нерівномірний рух — рух, під час якого матеріальна точка за рівні інтервали часу долає різний шлях

Прямолінійний рухТраєкторія руху —пряма лінія

Криволінійний рух Траєкторія руху — крива лінія

1234

5

1 23

4

5

687

9

Рівномірний рух — рух, під час якого матеріальна точка за будь-які рівніінтервали часу долає однаковий шлях

Прямолінійний рух Траєкторія руху — пряма лінія

Криволінійний рух Траєкторія руху — крива лінія

1

1

5

5

22

6

6

3

3

7

7

4

4

Нам здається очевидним, що час руху тіла не залежитьвідвиборуСВ.Тобто інтервал часу між двома даними по-діями в усіх системах відліку має те саме значення. Цетвердження — одна з найважливіших аксіом класичноїмеханіки. І це дійсно так, але тільки тоді, коли швид-кістьрухутілаєнабагатоменшоюзашвидкістьпоширен-ня світла (рух саме з такими швидкостями розглядаютьукласичній механіці).

Якщо швидкість руху тіла порівнянна зі швидкістюпоширеннясвітла,точасдляцьоготіласповільнюється.

29


Підбиваємо підсумки

y Механіка — наука про механічний рух матеріальних тіл і про взаємодії,якіприцьомувідбуваютьсяміжтілами.Основназадачамеханіки—пізнатизаконирухутавзаємодіїматеріальнихтіл,наосновіцихзаконівпередбачатиповедінку тіл та визначати механічний стан тіл у будь-який момент часу.y Механічнийрух—зміназчасомположеннятіла (абочастинтіла)впро-сторівідносноіншихтіл.Розв’язуючизадачупромеханічнийрух,обов’язковослід обрати систему відліку: тіло відліку, пов’язані з ним систему координатіприладдлявідлікучасу.y Матеріальнаточка—цефізичнамодельтіла,розмірамиякоговумовахда-ноїзадачіможназнехтувати.Масаматеріальноїточкизбігаєтьсязмасоютіла. Лінію руху матеріальної точки в просторі називають траєкторією. Координатиматеріальноїточкиудвовимірнійсистемікоординатобчислю-ють за формулами: x x sx= +0 ; y y sy= +0 .y Шляхl —цефізичнавеличина,щочисельнодорівнюєдовжинітраєкторіїматеріальної точки за даний інтервал часу.yПереміщення

s —цевекторнавеличина,якуграфічноподаютьувиглядінапрямленоговідрізкапрямої,проведеногоізпочатковогоположеннямате-ріальної точки до її кінцевого положення.yОдиниця шляху та модуля переміщення в СІ — метр (м).y Траєкторія руху, шлях і переміщення тіла залежать від вибору системивідліку — в цьому полягає відносність механічного руху.

контрольні запитання1.Щовивчаємеханіка?2.Якоюєосновназадачамеханіки?3.Дайтеозначеннямеханічного руху. 4. Наведіть приклади різних механічних рухів. 5. Назвітьскладові системи відліку. 6. Які види систем координат ви знаєте? 7. У якихвипадках тіло, що рухається, можна розглядати як матеріальну точку? На-ведіть приклад. 8. Опишіть шлях і переміщення за планом характеристикифізичної величини (див. форзац підручника). 9. У чому полягає відносністьмеханічногоруху?Наведітьприклад.10.Чияпрофесійнадіяльністьпов’язаназ темою параграфа?

Вправа № 41. Якусистемукоординат(одновимірну,двовимірну,тривимірну)виоберете,

описуючитакірухи:підйомліфта;рухчовнапоповерхніводи;бігфутбо-лістанаполі;політметелика;катаннянароликах;спускзгориналижах?

2. Зараз ви сидите за столом, читаєте підручник. Назвіть декілька тіл від-ліку,відносноякихвирухаєтесь.Уякомунапрямкувідбуваєтьсяцейрух?

3. З яким тілом потрібно пов’язати систему відліку, щоб ваші шлях і пере-міщеннявбудь-якиймоментчасудорівнювалинулю?Чизручноюбудецясистема відліку для опису вашого руху?

4. Автомобіль рухається на повороті дороги, який являє собою чверть дугиколарадіуса20м.Визначтешляхімодульпереміщенняавтомобілязачасповороту.

5. Ізповітряноїкулі,щолетитьгоризонтально,впавневеликийважкийпред-мет. Якою буде траєкторія руху цього предмета відносно кулі? відноснолюдини, яка спостерігає за рухом кулі, сидячи на галявині?

30


6. Траєкторія руху точки на ободі колеса велосипедавідносно землі є циклоїдою (див. рисунок). Вважають,що властивості циклоїди першим дослідив Ґ. Ґалілей.Скористайтеся додатковими джерелами інформації тадізнайтеся про «механічні» властивості цієї лінії.

Експериментальне завданняСкориставшисьмобільнимпристроємівідповідноюпро-грамою,прокладітьтраєкторіюрухувідвибраноговамибудинкудошколи.Визначтешлях,якийвиприцьомудолаєте, напрямок і модуль переміщення.

§ 5. ШВидкІСТь РУхУ. СЕРЕдня Та МиТТєВа ШВидкоСТІ. Закони додаВання ПЕРЕМІЩЕнь І ШВидкоСТЕй

Чи перепливали ви річку зі швидкою течією? Дуже важко пе-репливти її так, щоб потрапити на протилежний берег прямо навпроти місця запливу. А хтось намагався піднятися ескала-тором, що рухається вниз? Теж складно. Набагато швидше під-нятися, якщо рухатися в бік руху ескалатора. У кожному з на-ведених прикладів людина бере участь водночас у двох рухах. Як при цьому розрахувати швидкість її руху, ви довідаєтесь із цього параграфа. Але спочатку згадаємо, що таке швидкість.

1 Згадуємо рівномірний прямолінійний рух тілаНайпростішийвидмеханічногоруху—рівномірний прямолінійний рух.

Рівномірний прямолінійний рух — це такий механічний рух, під час якого тіло за будь-які рівні інтервали часу здійснює однакові переміщення.

З означення рівномірного прямолінійного руху випливає:

yy для опису цього руху достатньо скористатись одновимірною системоюкоординат, адже траєкторія руху — пряма;

yy відношення переміщення

s до інтервалу часу t, за який це перемі-щення відбулося, для такого руху є незмінною величиною, адже за рівніінтервали часу тіло здійснює однакові переміщення.

Векторну фізичну величину, яка дорівнює відношенню переміщення

s до інтервалу часу t, за який це переміщення відбулося, називають швидкістю рівномірного прямолінійного руху тіла:

vs

t=

Напрямок вектора швидкості руху збігається з напрямком перемі-щення тіла, а модуль і проекцію швидкості визначають за формулами:

vs

t= ; vx

s

tx=

31

§ 5. Швидкість руху... Закони додавання переміщень і швидкостей

Одиниця швидкості руху в СІ— метр за секунду:v[ ] = 1 м/с (m/s).

Із формули для визначення швидкості рухутіла можна знайти переміщення тіла за будь-якийінтервал часу:

s vt=

Останню формулу будемо за-писувати для проекцій:s v tx x= або для модулів:s vt= .Оскількивданомуви-падкушвидкістьрухутіланезмінюється з часом, то пере-міщення, яке здійснює тіло,прямо пропорційне часу:

s t ; s tx .Для розв’язання основної за-дачі механіки — визначеннямеханічного стану тілав будь-який момент часу —запишемо рівняння коорди-нати. Оскільки x x sx= +0 , аs v tx x= , то для рівномірного прямолінійного руху рів-няння координати має ви-гляд:

x x v tx= +0 ,

де x0 — початкова коорди-ната; vx —проекціяшвидко-сті руху тіла; t — час спосте-реження.

Для описання руху зручно використовуватиграфіки (рис. 5.1) — вони так само повно описуютьрухтіл,яківідповідніформулиабословеснийопис.

Розгляньте рис. 5.1. З якою швидкістю рухаєтьсяавтомобіль? велосипед? Яким буде їх переміщенняза4сспостереження?Визначтекоординатуавтомо-білячерез8сспостереження.Наякійвідстаніодинвід одного перебуватимуть автомобіль і велосипедчерез4сспостереження?

2 яку швидкість показує спідометрВи вже знаєте, що для характеристики нерів-

номірного руху викристовують фізичні величини:середня шляхова швидкість, середня векторна швид-кість, миттєва швидкість (див. таблицю на с. 32).

0

sx, м

vx>0

vx<0

vx=0

vx>0

vx<0

vx=0

x, м

O t t, с

t, с

t, с

vx, м/с

sx=S=vxt

0

–5

2

2

5

2

2

20

–80

–40

t, с

vx, м/с

vx>0

vx<0

vx=0

Рис. 5.1. Графіки рівномір-ного прямолінійного руху. Велосипед і автомобіль рухаються вздовж осі ОХ: велосипед — у напрямку осі ОХ, автомобіль — у протилежному напрямку. Турист сидить на узбіччі

Графік координати — відрі-зок прямої, що починається в точці ( t = 0 ; x x= 0 ), де x0 — початкова координата

Графік проекції переміщен-ня — відрізок прямої, що проходить через початок координат, оскільки s tx

Переміщення чисельно до-рівнює площі прямокутника під графіком залежності v tx ( )

Графік проекції швидкості — відрізок прямої, паралельної осі часу, адже швидкість руху не змінюється з часом

0

x0

32


Далі, говорячи про швидкість руху тіла, матимемо на увазі його мит-тєву швидкість.

Під час прямолінійного рівномірного руху миттєва швидкість увесьчасзалишаєтьсянезмінноютазбігаєтьсяізсередньоюшвидкістюрухутіла.У будь-якому іншому випадку миттєва швидкість руху тіла змінюється:за напрямком — під час криволінійного рівномірного руху; за значенням, інколи — за напрямком (напрямок може змінюватися на протилежний) —підчаспрямолінійногонерівномірногоруху;за напрямком і значенням вод-ночас — під час криволінійного нерівномірного руху.

Якушвидкістьрухупоказуєспідометр:середнювекторну?середнюшляхову?миттєву?

3 як визначити швидкість руху тіла відносно різних систем відлікуРозглянеморухтілаврізнихсистемахвідліку(СВ).Нехайтакимтілом

буде собака, який рухається рівномірно прямолінійно по плоту, що пливерічкою (рис. 5.2). Очевидно, що швидкість руху плоту дорівнює швидкостітечіїрічки.Зарухомсобакистежатьдваспостерігачі,одинізяких(рибалка)

Середня шляхова швидкість Середня векторна швидкість

Скалярна фізична величина

Дорівнює відношенню всього шляху lдо інтервалу часу t, за який цей шляхподолано

vl

tсерУвесь шлях

Увесь час спостереження=

Не має напрямку

Знання середньої швидкості не до-зволяє описати весь рух. Наприклад,зміркуваньбезпекивмістахУкраїнивстановлено середню швидкість рухутранспортних засобів 50 км/год. Зро-зуміло,щотакеобмеженнястосуєтьсясередньоїшвидкості,виміряноїзама-лийінтервалчасу.Аджеякщолюдиназа кермом 30 хв мчить зі швидкістю80 км/год, а наступні 30 хв «повзе»зі швидкістю 20 км/год, її середняшвидкість не перевищує 50 км/год,разом із цим рух автомобіля наврядчи можна вважати безпечним.

Векторна фізична величина

Дорівнює відношенню переміщення

s до інтервалу часу t, за який це пере-міщення здійснено

vs

tсерУсе переміщення

Увесь час спостереження=

Напрямок збігається з напрямком пе-

реміщення:

v sсер ↑↑

l s>

Шлях l


s

Характеристика середньої шляхової, середньої векторної,

33

Миттєва швидкість

Векторна фізична величина

Швидкість руху в даний момент часу, в данійточці; середня векторна швидкість, виміряназанескінченномалийінтервалчасу

vs

t= ∆

∆ ∆

s —переміщенняза дуже малий інтервалчасу ∆ ∆t t →( )0

Напрямокзбігаєтьсязнапрямкомпереміщення

вданиймоментчасу:

v s↑↑ ∆

Чим менше інтервал часу, за який вимірю-ється середня швидкість руху, тим більше їїзначення наближається до значення миттєвоїшвидкості (нарисункахнижче —вточці А)

vсер 1м

с

м

с= =15

53

10 15 20 25 30

s1=15мt1=5cx,м

А

vсер 2м

с

м

с= =5

22 5,

10 15 20 25 30

s2=5мt2=2cx,м

А

Часміжпослідовнимиположеннямитіла—1с.

перебуває на березі, другий(господар собаки) — на плоту.Обидва спостерігачі вимірюютьпереміщення собаки та час йогоруху. Час руху собаки для обохспостерігачів однаковий, а отпереміщення відрізнятимуться.Припустимо, що за якийсь час tсобака перебіг на інший крайплоту.


s1, яке здій-снивсобакавідносноплоту(іякевиміряв господар собаки), дорів-нює за модулем ширині плотуі напрямлене перпендикулярнодо течії річки.


s , здійсненесобакою відносно берега (і якевиміряв рибалка), дорівнює замодулем довжині відрізка ОАі напрямлене під певним кутомдо течії річки.

Власнеплітзацейчасзміс-тився за течією і здійснив пере-міщення

s2 відносно берега.Зрис.5.2бачимо:

s s s= +2 1 .Пов’яжемо з берегом систему ко-ординат XOY — отримаємо неру-хому систему відліку. Із плотомпов’яжемо систему координатX′O′Y′ — отримаємо рухому си-стему відліку.

Y Y′

X′XO′O

A

s

s1

s2

Рис. 5.2. До виведення закону додавання переміщень і швидкостей


s соба-ки відносно берега дорівнює векторній сумі переміщення

s1 собаки відносно пло-ту й переміщення

s2 плоту відносно бере-га:

s s s= +1 2


s2 плоту відносно берега


s1 собаки відносно плоту


миттєвої швидкостей

34


Тепер можна сформулювати закон додавання переміщень:


s тіла в нерухомій системі відліку дорівнює геометричній сумі переміщення

s1 тіла в рухомій системі відліку та переміщення

s2 рухомої системи відліку відносно нерухомої:

s s s= +1 2

Поділивши обидві частини рівняння на час руху, маємо:

s

t

s

t

s

t= =1 2 .

Відповідно до означення швидкості руху тіла:

s t v/ = — швидкість руху

тіла в нерухомій СВ;

s t v1 1/ = — швидкість руху тіла в рухомій СВ;

s t v2 2/ = — швидкість руху рухомої СВ відносно нерухомої СВ. Тобто

v v v= +1 2. Отже, формулюємо закон додавання швидкостей:

Швидкість

v руху тіла в нерухомій системі відліку дорівнює геометричній сумі швидкості

v1 руху тіла в рухомій системі відліку та швидкості

v2 руху рухомої системи відліку відносно нерухомої:

v v v= +1 2

Зверніть увагу! Оскільки рух і спокій є відносними, то в наведеномувищеприкладіякнерухомуСВможнабулообратийСВ,пов’язанузплотом.У такому разі СВ, пов’язана з берегом, була б рухомою, а напрямок її рухубув би протилежним напрямку течії.

4 Учимося розв’язувати задачіЗадача. Рибалка перепливає річку на човні, утримуючи його перпен-

дикулярно до напрямку течії. Швидкість v1 руху човна відносно води —4м/с,швидкість v2 течіїрічки—3м/с,ширинаlрічки—400м.Визначте:1)заякийчасtчовенперепливерічку;2)заякийчасt1човенперепливбирічку, якби не було течії; 3) модуль переміщення s і модуль швидкості v рухучовнавідносноберега;4)наякійвідстаніs2униззатечієювідвихідноїточки човен досягне протилежного берега.

Аналіз фізичної проблеми.ЯкнерухомувізьмемоСВ,пов’язануізЗем-лею, як рухому — СВ, пов’язану з водою. Виконаємо пояснювальний

фізика в цифрах � 1600км/год — швидкість обертання Землінавколосвоєїосі.Зтакоюшвидкістюрухаєть-ся кожен предмет, розташований на екваторі.

� Понад110000км/год—швидкістьрухуЗемлінавколоСонця, аотже,йусіхнас.

� 2млнкм/год—швидкість,зякоюСонцеіСо-нячнасистема(аотже,усіми)летятьукосміч-номупросторі.

Тожзякоюшвидкістюмирухаємось?Єдиноївід-повідінемає—всезалежитьвідсистемивідліку!

35

рисунок, на якому зобразимо вектори швидкості: руху човна відносно бе-рега

v( ) , руху човна відносно води

v1( ) , течії річки

v2( ) .

Дано:v1 4= м/сv2 3= м/сl = 400 м

Розв’язання1) У СВ, пов’язаній із водою, човен рухався

зішвидкістю vs

t11= іприцьомуподолаввід-

стань, яка дорівнює ширині річки: s=l.

Отже,часрухучовна: t lv

=1

; t = =400

4100

м

м сс

/.

2) Бачимо, що час руху човна не залежитьвід швидкості течії річки, тому, якби небуло течії, переїзд через річку зайняв бистільки ж часу: t1= t = 100 с.

t — ?t1 — ?s — ?v — ?s2 — ?

3)Модульшвидкості v рухучовнавідносноберегазнайдемозатеоремоюПіфагора:

v v v= +12

22 ; v = + =4 3 52 2 (м/с).

Човен рухається рівномірно, тому переміщення s човна відносно берега:

s vt= ; s = ⋅ =5 100 500мс

с м.

4) Знаючи час t руху човна та швидкість v2 течії річки, визначимо відстань s2,

на яку човен знесло вниз за течією: s v t2 2= ; s2 3 100 300= ⋅ =мс

с м.

Відповідь: t=t1=1 хв 40 с; s =500 м; v =5 м/с ; s2 =300 м.


yy Рівномірнийпрямолінійнийрух—цемеханічнийрух,підчасякоготілоза будь-які рівні інтервали часу здійснює однакові переміщення.

yy Швидкість

v рівномірного прямолінійного руху — векторна фізичнавеличина,якадорівнюєвідношеннюпереміщення

s тіладочасуt,заякийце переміщення відбулося:

v s t= / .

yy У випадку рівномірного прямолінійного руху:y— графік залежності v tx ( ) — відрізок прямої, паралельної осі часу;y—проекціюпереміщеннятіламожнаобчислитизаформулою: s v tx x= ;гра-фікзалежностіsx(t)—відрізокпрямої,якийпочинаєтьсявпочаткукоординат;y— рівняння координати має вигляд: x x v tx= +0 .

yy Якщорухтіланеєрівномірним,дляйогоописувикористовуютьпоняття:y— середня векторна швидкість руху тіла:

v s tсер = / ;

y— середня шляхова швидкість руху тіла: v l tсер = / ;

y— миттєва швидкість

v руху тіла — середня векторна швидкість за не-скінченномалийінтервалчасу;швидкістьрухувданиймоментчасу;швид-кість руху в даній точці: v s t t= →( )∆ ∆ ∆

/ 0 .

yy Швидкість

v рухутілавнерухомійСВдорівнюєгеометричнійсумішвид-кості

v1 руху тіла в рухомій СВ і швидкості

v2 рухомої СВ відносно неру-хомої СВ:

v v v= +1 2 .

v1

v2

v

α

α


36


контрольні запитання1.Якийрухназиваютьрівномірнимпрямолінійним?2.Дайтехарактеристикушвидкості рівномірного прямолінійного руху. 3. Як визначити переміщеннята координату тіла, що рухається рівномірно прямолінійно? 4. Який виглядмаютьграфікизалежності v tx ( ) ; s tx ( ) ; x t( ) увипадкупрямолінійногорівно-мірногоруху?5.Дайтеозначеннясередньоївекторноїшвидкостіруху,серед-ньоїшляховоїшвидкостіруху,миттєвоїшвидкостіруху.6.Сформулюйтеза-кон додавання переміщень і закон додавання швидкостей.

Вправа № 51. Моторнийчовенрухаєтьсязішвидкістю10м/свідносноводи.Швидкість

течії річки — 1 м/с. Визначте швидкість руху моторного човна відносноберега річки під час його руху за течією; проти течії.

2. Крилатанасінинанабуваєнезмінноїшвидкостіпадіння0,3м/спрактичновідразупісляпочаткупадіннязверхівкидерева.Наякійвідстанівідпри-кореневої частини стовбура впаде насінина, якщо швидкість вітру спря-мована горизонтально та дорівнює 1 м/с, а висота дерева становить 50 м?Яким є переміщення насінини відносно поверхні Землі?

3. Кіньрухаєтьсяареноюциркуподузіколарадіуса6м,описуючиприцьомутраєкторію, що являє собою половину кола. Першу чверть кола кінь долаєза10с,адругучверть—за20с.Визначтесереднюшляховутасереднювек-торнушвидкостірухуконянакожнійділянцітраєкторіїтапротягомвсьогочасуруху.

4. Запишіть рівняння руху для кожного транспортного засобу на рисунку.Визначтечасімісцезустрічівантажівкитавелосипедиста,легковогоавто-мобіля та велосипедиста. Де і коли легковий автомобіль обжене ванта-жівку? Побудуйте графіки залежності v tx ( ) і x(t) для кожного тіла.

–100 100 X, м0

v1=5м/сv2=72км/год

v3=90км/год

5. Літак має долетіти до міста, розташованого на відстані 600 км на північ.Із заходу дме вітер зі швидкістю 40 км/год. Літак летить зі швидкістю300км/годвідносноповітря.Якимкурсоммаєлетітилітак?Скількичасутриватиме рейс?

6. Перед відправленням потяга йшов дощ.Вітру не було, і краплі дощу падали вер-тикально. Коли потяг рушив, пасажирипомітили, що дощ став косим, хоча по-годазалишаласябезвітряною.Пояснітьцеявище. Визначте швидкість падіння крапель, якщо під час руху потягазі швидкістю 40 км/год пасажирам здається, що краплі падають під ку-том 45° до вертикалі.

7. Дізнайтеся про «рекордсменів швидкості» в сучасній техніці та в живійприроді. Підготуйте повідомлення або презентацію.

37

§ 6. РІВноПРиСкоРЕний ПРяМолІнІйний РУх. ПРиСкоРЕння

Існують автомобілі — драгстери, які мають потужність більшу, ніж літак «Боїнг». Уявляєте, яку швидкість драгстер може розвинути за дуже короткий час? Ось показники од-ного з драгстерів: за 0,5 с він розвинув швидкість 32 м/с, за 1,0 с — 51 м/с, за 3,8 с — 143 м/с! Яку відстань, на вашу думку, подолав драгстер за 3,8 с, якщо припустити, що кожного з розглянутих інтервалів часу він рухався рівноприскорено?

1 Згадуємо рівноприскорений прямолінійний рух тілаЯкщо тіло рухається нерівномірно, швидкість його руху безперервно

змінюється. Напростішим із нерівномірних рухів є рівноприскорений пря-молінійний рух.

Прямолінійний рух, під час якого швид-кість руху тіла за будь-які рівні інтервали часу змінюється однаково, називають рів-ноприскореним прямолінійним рухом:

∆∆

v

t= const

Із курсу фізики 9 класу ви знаєте, щорівноприскорений прямолінійний рух — церух із незмінним прискоренням.

Прискорення

a — це векторна фізична величина, яка характеризує швидкість зміни швидкості руху тіла й дорівнює від-ношенню зміни швидкості руху тіла до ін-тервалу часу, за який ця зміна відбулася:

av v

t=

− 0 ,

де

v0 —початковашвидкістьрухутіла(вмо-мент початку відліку часу);

v — швидкістьруху тіла через деякий інтервал часу t.

Ми використовуватимемо дану фор-мулу, записану в проекціях на вісь коорди-нат, наприклад на вісь OX:

ax

v v

t

x x=− 0

Одиниця прискорення в СІ — метр на секунду в квадраті:a[ ] = =

1 1 1м с

с

м

с

m

s

/2 2

.

yy Напрямок прискорення руху тіла збігається з напрямком рівнодійної сил, які діють на тіло (див. рис. 6.1).

Рис. 6.1. Збільшення або зменшення швидкості руху тіла не залежить від вибору напрямку осі ОХ, а зале-жить від напрямку дії сили

XO

a1

v1

XO

a2

v2

Якщо прискорення напрям-лене в бік руху тіла, швид-кість руху тіла збільшується

(рівнодійна

F «підштовхує»та розганяє тіло).

F

F

Якщо прискорення напрямле-не протилежно до руху тіла,швидкість руху тіла зменшу-

ється(рівнодійна

F «заважає»руховітасповільнюєйого).

XO

a1

v1

F

XO

a2

v2

F

38


yy Якщо прискорення дорівнює нулю, швид-кістьрухутіланезмінюєтьсяанізазначенням,

ані за напрямком:

v v

tv v

−= ⇒ =0 0 0 , тобто

тіло рухається рівномірно прямолінійно. Та-кимчином,рівномірнийпрямолінійнийрух—цеокремийвипадокрівноприскореногопрямо-лінійного руху.

yy У разі рівноприскореного руху приско-реннязалишаєтьсянезмінним,томуграфік про-екції прискорення (графік залежності a tx ( ) ) —відрізок прямої, паралельної осі часу (рис.6.2).

tt

ax

О

ax > 0

ax < 0

ax = 0

a

a

X

X

O

O

Рис. 6.2. Графік залежності a tx ( ) для рівноприскореного прямолі-нійного руху

Рис. 6.3. Графіки залежності v tx ( ) для рівноприскореного прямолінійного руху. Тіло 1 весь час набирає швидкості, оскільки

a v1 1↑↑ . Тіло 2 спочатку сповільнює свій рух:

a v2 2↑↓ (ділянка AB), потім зупиняється (точка B), після чого набирає швидкості

a v2 2↑↑( ) , рухаючись у протилежному напрямку (ділянка BC)

2 Швидкість рівноприскореного прямолінійного руху

Для рівноприскореного прямолінійного руху рівняння проекції швидкості має вигляд:

v v a tx x x= +0

Якщо задано рівняння проекції швидкості руху тіла, то задано й по-чаткову швидкість

v0( ), й прискорення

a( ) руху цього тіла.Наприклад,рівнянняпроекціїшвидкостірухумаєвигляд: v tx = − +5 3 .

Цеозначає: v x0 5= − м/с (початковашвидкістьрухудорівнює5м/с,а їїна-прямок протилежний напрямку осі OX); ax = 3 м/с2 (прискорення руху до-рівнює 3 м/с2, а його напрямок збігається з напрямком осі OX).

Залежність v v a tx x x= +0 є лінійною, тому графік проекції швидко-сті—графікзалежності v tx ( ) —цевідрізокпрямої,нахиленоїпідпевнимкутом до осі часу (рис. 6.3, 6.4).

A

1vx

v0x

B

C

O

XO

a1

v1

XO

a2

v2

XO

a2

v2

2Якщо проекція прискорення є від’ємною ax <( )0 , графік проекції швидкості опускається

Початкова швидкість (швидкість на момент початку відліку часу) Якщо проекція прискорен-

ня є додатною ax >( )0 , графік проекції швидкості підіймається

Точка розвороту — час, коли напрямок руху тіла змінився на протилежний

39

§ 6. Рівноприскорений прямолінійний рух. Прискорення

Чимбільшимєприскореннярухутіла,тим більше кутα нахилу графіка проекціїшвидкості до осі часу (див. рис. 6.4).

3 Переміщення під час рівноприскореного прямолінійного руху

Ви вже знаєте про геометричний зміст про-екції переміщення: переміщення тіла чи-сельно дорівнює площі фігури під графіком залежності проекції швидкості руху тіла від часу. Ми доводили це твердження длярівномірногоруху.Розглянемоприкладрів-ноприскореного руху:

Рис. 6.4. Болід рухається з більшим прискоренням, ніж автомобіль, тому α α1 2> . Прискорення руху велосипедиста дорівнює нулю

t, с0

1 2

α1

α2

3 4 5

20

15

10

5

vx,мс

1 Розіб’ємо весь час руху тіла на неве-ликі інтервали часу ∆ t. 2 Припустимо, що протягом кожного

інтервалу часу швидкість руху тіла залишалася незмінною. Загальне пере-міщення під час такого уявного руху до-рівнює сумі площ смужок завширшки ∆ t, які разом утворюють східчасту фігуру.

4 У результаті нескінченного зменшен-ня інтервалів часу (∆ t → 0) східчас-

та фігура «перетвориться» на трапецію, а переміщення чисельно дорівнюватиме площі цієї трапеції.

3 Якщо зменшити інтервали часу ∆ t, то переміщення, як і раніше, до-

рівнюватиме площі східчастої фігури, яка поступово набуває вигляду трапеції.

0 tt

vx

vx

v0x

S=sx

tt0 ∆t∆t∆t∆t∆t

vx

v0x

Бачимо, що в разі рівноприскореного руху проекція переміщення чи-сельно дорівнює площі трапеції (формулу для визначення площі трапеціїви знаєте з курсу геометрії):

s tx

v vx x=+ 0

2

tt0 ∆t

v0x

vx

tt0 ∆t∆t∆t∆t∆t

vx

v0x

40


Взявши до уваги, що v v a tx x x= +0 , отримаєморівняння залежності проекції переміщення від часу для рівноприскореного прямолінійного руху:

s v t tx xax= +0

2

2

Під час рівноприскореного прямоліній-ного руху початкова швидкість

v0( ) і приско-рення

a( ) руху тіла не змінюються, тому за-лежність проекції переміщення sx від часу tєквадратичною,аграфікцієїзалежності—па-рабола(рис.6.5),вершинаякоївідповідаєточцірозвороту(див.щерозв’язаннязадачі2уп.4).

У багатьох задачах не йдеться про часруху тіла й не потрібно його визначати. У та-кихвипадкахдлярозрахункуневідомихвели-чин використовують формулу:

sx

v v

a

x x

x

=−2

02

2

Отримайтеостаннюформулусамостійно,ско-

риставшисьформулою s tx

v vx x=+ 0

2йозна-

ченням прискорення.

Координатутілавбудь-якиймоментчасуможнавизначитизаформулою x x sx= +0 ,томудля рівноприскореного прямолінійного рухурівняння координати має вигляд:

s x v t tx xax= + +0 0

2

2

Тобто залежність x t( ) , як і залежністьs tx ( ) , є квадратичною, а графік цієї залеж-ності — парабола (рис. 6.6).

Рис. 6.5. У разі рівноприскореного прямолінійного руху графік залеж-ності sx(t) — парабола, яка прохо-дить через початок координат

t

sxax>0

О

ax<0

Точка розвороту

Точка розвороту

Вітки параболи напрям-лені вниз, якщо ax < 0

Вітки параболи напрям-лені вгору, якщо ax>0

Рис. 6.6. У разі рівноприскоре-ного прямолінійного руху графік залежності x(t) — парабола

t

x

x0

ax>0

Оax<0

x0 —початковакоордината(координата тіла в моментпочаткуспостереження)

Диспетчер автономного транспорту конструює, планує і координує рух автономних

транспортних засобів, здійснює моніторинг їх руху

Зараз більшість ДТП відбуваються через людські похибки. Застосування автономного транспорту (керування яким ав-томатизовано та здійснюється без водія) може знизити кіль-кість аварій, зменшити затори, зекономити пальне.

Знання фізики допоможе диспетчерові спланувати рух автотранспорту з автопілотами, обрати найкращий комп’ютерний алгоритм, забезпечити безпечність руху тощо.

ПРОФЕСІї МАйБУТНьОГО

41


4 Учимося розв’язувати задачіЗадача 1. Гальмо легкового автомобіля

єсправним,якщонасухомуасфальтізашвид-кості 28 м/с гальмівний шлях автомобілястановить 49 м. Визначте час гальмування таприскорення руху автомобіля.

v0 28= м/сs = 49 мv = 0

Розв’язанняНа пояснювальному рисунку спря-муємовісьОXунапрямкурухуав-томобіля. Автомобіль гальмує,тому

a v↑↓ 0 .t — ?a — ?

XO

a

s

v0

Оскільки в задачі подано v0 , v і s, для визна-чення часу гальмування найзручнішою є фор-

мула s tx

v vx x=+ 0

2(1), а для визначення приско-

рення — формула sx

v v

ax x

x

=−2

02

2 (2).

Конкретизуємо ці формули (перейдемо від про-екцій до модулів):y напрямок переміщення та напрямок початко-вої швидкості збігаються з напрямком осі ОX,тому v vx0 0= , s sx = ;y кінцева швидкість дорівнює нулю: vx = 0;

y напрямок прискорення протилежний на-прямку осі ОХ, тому a ax = − .

Отже, із формули (1): s t t tv v s

v= = ⇒ =

+0

2 220 0

0

;

із формули (2): s av

a

v

s= ⇒ =

−−

02

02

2 2.

Перевіримо одиниці, знайдемо значення шука-них величин:

t[ ] = =мм с

с/

, t = =⋅2 4928

3 5, (с);

a[ ] = =м с

мм

с

2 2

2

/, a = =

⋅28

2 49

2

8 (м/с2).

Відповідь: t = 3 5, с; a = 8 м/с2.

Задача 2. На рис. 1 подано графік за-лежності v tx ( ) для руху тіла вздовж осі ОХ.1) Опишіть характер руху тіла. 2) Запишітьрівняння залежності s tx ( ) . 3) Побудуйте гра-фік залежності s tx ( ) .

1. Уважно прочитайте умову задачі. З’ясуйте, які тіла бе-руть участь у русі, яким є ха-рактер руху тіл, які парамет ри руху відомі.

2. Запишіть коротку умову задачі. У разі необхідності пе-реведіть значення фізичних величин в одиниці СІ.

3. Виконайте пояснювальний рисунок, на якому познач те вісь координат, напрямки швидкості руху, переміщення, початкової швидкості та при-скорення руху тіла.

4. Із формул, що описують пря-молінійний рівнопри скорений рух, виберіть ті, які найбільше відповідають умові задачі.

axv v

tx x=

− 0 ;v v a tx x x= +0 ;

s v tx xa tx= +0

2

2;

sxv v

ax x

x

=−2

02

2;

s txv vx x=

+0

2.

Обрані формули конкрети-зуйте для задачі.

5. Розв’яжіть задачу в загаль-ному вигляді.

6. Перевірте одиницю, знайдіть значення шуканої величини.

7. Проаналізуйте результат.

8. Запишіть відповідь.

Алгоритм розв’язування задач із кінематики

42


Розв’язання1) Графік залежності v tx ( ) — відрізок прямої, а тіловесьчасрухалосявздовжосіОХ,томурухтілаєрівно-прискореним прямолінійним. Перші 2 с швидкістьрухутілазменшуваласявід20м/сдо0,потімтілороз-вернулосяіще4сприскорювалосвійрух,рухаючисьу протилежному напрямку.2) Для рівноприскореного прямолінійного руху:

s v t tx xxa

= +02

2.

Початкова швидкість руху тіла: v x0 20= м/с.

Проекціяприскорення: axx xv v

t= = = −

− −0 0 20

210

м с

см

с2

/.

Отже, s t tx = −20 5 2 .3)Графікзалежності s tx ( ) —парабола,вершинаякоївідповідає точці розвороту. Таким чином, точка A

зкоординатами t = 2 с, s t tx = − = ⋅ − ⋅ =20 5 20 2 5 2 202 2 мє вершиною параболи. Ця парабола проходить черезточкуОзкоординатами( t = 0 , sx = 0 )ісиметричнуїйвідносно прямої t = 2 с точку В з координатами( t = 4 с, sx = 0 ). Наприкінці спостереження: t = 6 с,

s t tx = − = ⋅ − ⋅ = −20 5 20 6 5 6 602 2 м (точка С).За чотирма точками (О, A, B, C) можемо побудуватипараболу (рис. 2).


yy Рівноприскорений прямолінійний рух — це рух, під час якого тілорухається прямолінійною траєкторією з незмінним прискоренням.

yy Прискорення

a —векторнафізичнавеличина,якахарактеризуєшвид-кість зміни швидкості руху тіла й дорівнює відношенню зміни швидкості

до інтервалу часу, за який ця зміна відбулася:

av v

t=

− 0 .

yy Для рівноприскореного прямолінійного руху тіла:— прискорення тіла не змінюється з часом, графік проекції приско-

рення (графік залежності a tx ( ) ) — пряма, паралельна осі часу;— швидкість руху змінюється лінійно: v v a tx x x= +0 , графік залеж-

ності v tx ( ) — відрізок прямої, нахиленої під певним кутом до осі часу;— проекція переміщення чисельно дорівнює площі фігури під графі-

компроекціїшвидкостіруху: s txx xv v

=+ 0

2—уцьомуполягаєгеометричний

зміст переміщення;—рівнянняпроекціїпереміщеннямаєвигляд: s v t tx x

xa= +0

2

2—цеква-

дратичнафункція,томуграфікзалежності s tx ( ) —парабола,вершинаякоївідповідає точці розвороту;

— координату тіла визначають із рівняння x x v t txxa

= + +0 02

2; графік

координати — парабола.

t, с0

A

O B

C

2 4 6

20sx,м

–40

–60

–20

Рис. 2

t, с0

2 4 6

20

–20

vx ,м

с

Рис. 1

43


контрольні запитання1.Якийрухназиваютьрівноприскоренимпрямолінійним?2.Охарактеризуйтеприскоренняякфізичнувеличину.3.Якрухаєтьсятіло,якщонапрямокйогоприскорення: а) збігається з напрямком руху? б) протилежний напрямкуруху? в) якщо прискорення тіла дорівнює нулю? 4. Запишіть рівняння за-лежності v tx ( ) длярівноприскореногопрямолінійногоруху.Якийвиглядмаєграфікцієїзалежності? 5.Задопомогоюякихформулможнаобчислитипро-екцію переміщення? Виведіть ці формули. 6. Доведіть, що графіком залеж-ності s tx ( ) є парабола. Як напрямлені її вітки? Якому моменту руху відпо-відає вершина? 7. Запишіть рівняння координати для рівноприскореногопрямолінійного руху. Назвіть фізичні величини, які пов’язує це рівняння.

Вправа № 6 Рух тіл вважайте рівноприскореним прямолінійним.1. Рівняння проекції швидкості руху мотоцикла v tx = −20 4 (усі величини

задано в одиницях СІ). Визначте: 1) прискорення та початкову швидкість руху мотоцикла; 2) час, через який мотоцикл зупиниться.2. Велосипедистка, що рухалася зі швидкістю 2,5 м/с, починає розганятися

і, рухаючись із прискоренням 0,5 м/с2, сягає швидкості 5 м/с. 1) Яким є переміщення велосипедистки за час розгону? 2) Скільки часу розганялася велосипедистка? 3) Запишіть рівняння проекції швидкості руху та проекції переміщення. 4)Якоюбулашвидкістьрухувелосипедисткичерез2спісляпочаткуроз-

гону? Через який інтервал часу швидкість її руху становила 4 м/с? 5)Побудуйтеграфікизалежностівідчасупроекціїшвидкостітапроекції

переміщеннявелосипедистки.Покажітьнаграфіку v tx ( ) переміщенняве-лосипедистки за 3 с розгону.

6)Черезякийчаспісляпочаткурозгонувелосипедисткаподолаєвідстань14 м, якщо рухатиметься з незмінним прискоренням?

3. На рис. 1 подано графік залежності v tx ( ) дляруху тіла вздовж осі ОХ.

1) Опишіть характер руху тіла. 2) Запишіть рівняння залежності s tx ( ) . 3) Побудуйте графік залежності s tx ( ) .4. Потяг, що рухається зі швидкістю 25 м/с, по-

чинає гальмувати й зупиняється через 2 км. 1) Скільки часу тривало гальмування? 2) Яким було прискорення руху потяга? 3) Якою була середня швидкість руху потяга

під час гальмування? 4) Яким було переміщення по-

тягазаперші4сгальмування?за останні 10 с гальмування?

5. Визначте час і координату зу-стрічімотоциклістаіпішохода(рис. 2).

6. Складіть задачу за даними,поданими на початку § 6,і розв’яжіть її.

t, с0

5 10 15

6

12

–6

–12

–18

Рис. 1

vx ,м

с

v0м

v0п

a0м

0 50 x, м–50

aм=2 м/с2; v0м=22 м/с v0п=2 м/с

Рис. 2

44


§ 7. ВІльнЕ ПадІння Та кРиВолІнІйний РУх ПІд дІєю нЕЗМІнної Сили ТяжІння

«Людина — гарматне ядро» — цирковий номер із та-кою назвою вперше був показаний 1877 р. у Лондоні. 16-річну повітряну гімнастку помістили в дуло «гар-мати», здійснили постріл, і дівчина, пролетівши над головами захоплених глядачів, опустилася на страху-вальну сітку. Сучасні аналогічні «гармати» — це вели-чезні пневматичні пістолети. Як вони працюють, про-понуємо вам дізнатися самостійно, а зараз розглянемо, на які закони спираються творці подібних атракціонів.

Якщо трубкушвидкоперевернути,топершоювпаде на дносталевакулька, потім —корок, аостаннім—пташинеперо

Якщо з трубки відкача-ти повітря, усі три тілавпадуть на дно трубкиодночасно

Допомпи

Рис. 7.1. Демонстрація вільного падіння тіл в трубці Ньютона

1 Згадуємо вільне падінняАристотельстверджував:чимтіловажче,

тим швидше воно падає на Землю. Проте вамвідомо, що так буде, якщо рух відбувати-меться в повітрі, а от в разі відсутності по-вітря всі тіла — незалежно від їхньої маси,об’єму, форми — падають на Землю однаково(рис. 7.1).

Падіння тіл у безповітряному просторі, тобто падіння лише під дією сили тяжіння, назива-ють вільним падінням.

Уразівільногопадіннявсітілападаютьна Землю з однаковим прискоренням — при-скоренням вільного падіння

g( ) .

yy Векторприскореннявільногопадінняза-вжди напрямлений вертикально вниз.

yy Прискорення вільного падіння впершевиміряв нідерландський математик, астрономі фізик Крістіан Гюйґенс (1629–1695) у 1656 р.Поблизу поверхні Землі,тобтонаневеликій(по-рівнянозрадіусомЗемлі)відстані,воноєпрак-тичнонезмінниміприблизнодорівнює9,8м/с2.

2 Вільне падіння яких тіл розглядатимемо

Характер реального руху тіла в полі тяжінняЗемлієдоситьскладним(рис.7.2), ійогоопи-суваннявиходитьзамежішкільноїпрограми.Тому приймемо низку спрощень.

yy Систему відліку, пов’язану з точкою наповерхні Землі, вважатимемо інерціальною(про інерціальні системи ви згадаєте в § 9).

45

§ 7. Вільне падіння та криволінійний рух під дією незмінної сили тяжіння

yy Розглядатимемо рух тіл, розташованихпоблизу поверхні Землі. Тоді кривизною по-верхніЗемлітазміноюприскореннявільногопадіння можна знехтувати, а прискорення вільного падіння вважати незмінним:g ≈ 9 8, м/с2.

Розв’язуючи задачі, вважатимемо, щоg = 10 м/с2,якщо не зазначено інше.

yy Опором повітря будемо нехтувати. Цеспрощення не спричинить серйозного викрив-лення результатів тільки тоді, коли тіла до-сить важкі, невеликі за розмірами, а швид-кість їхнього руху досить мала.Саметакітіларозглядатимемо далі.

Візмітькнигу,аркушпаперу,гумку,олівецьізясуйте,якрухповітрявпливаєнападінняцих тіл.

3.Руховітіл заважаєопірповітря

2.Земля обертається

1.Зізбільшеннямвисоти

g зменшується

Рис. 7.2. Фактори, які ускладню-ють описання падіння тіл

3 як рухається тіло, кинуте вертикальноСпостерігаючи за рухом невеликих важких тіл, які кинуті верти-

кальновнизабовертикальновгоруабоякіпадаютьбезпочатковоїшвидко-сті,бачимо,щотраєкторіяїхньогоруху—відрізокпрямої.Дотогожцітіларухаються з незмінним прискоренням.

Рух тіла, кинутого вертикально вгору або вниз, — це рівноприскорений пря-молінійний рух із прискоренням, що дорівнює прискоренню вільного падіння:

a g= .

Згадаємоформули,якіопису-ють рівноприскорений прямоліній-ний рух, врахуємо, що, описуючирух тіла по вертикалі, векторишвидкості, прискорення та перемі-щення традиційно проектують навісьOY,йотримаємонизкуформул,якимиописуютьвільнепадіннятіл(див. таблицю).

Задача 1.Ізгелікоптера,якийвисить над озером на висоті 45 м,скинули невеликий важкий пред-мет. 1) Через який інтервал часупредметупадевозеро?2)Якоюбудешвидкість руху предмета в моментторканняводи?3)Визначтеспіввід-ношення переміщень предмета забудь-які рівні інтервали часу ∆ t.

Формули для розрахунку кінематичних характеристик

вільного падіння

РівноприскоренийрухуздовжосіOX

Вільне падінняуздовж осі OY

Проекція швидкості руху

v v a tx x x= +0 v v g ty y y= +0

Проекція переміщення

s v tx xa tx= +0

2

2

s tx

v vx x=+ 0

2

sx

v v

ax x

x

=−2

02

2

s h v ty y y

g ty= = +0

2

2

s h ty y

v vy y= =+ 0

2

s hy y

v v

gy y

y

= =−2

02

2

Рівняння координати

x x v t txax= + +0 0

2

2y y v t ty

gy= + +0 02

2

46


Аналіз фізичної проблеми.Виконаємопояснювальнийрисунок(рис.1).Спрямуємо вісь OY вертикально вниз. Початок координат нехай збігаєтьсяз положенням тіла в момент початку падіння. Швидкість руху тіла в цеймомент дорівнює нулю.

Дано:v0 0=s h= = 45 мg = 10 м/с2

Пошук математичної моделі, розв’язанняЗапишемо рівняння: проекції переміщення;проекції швидкості руху тіла:

s h v ty y y

g ty= = +0

2

2; v v g ty y y= +0 .

Конкретизуємо ці рівняння (перейдемо відпроекцій до модулів). Із рис. 1 бачимо:

sy=s=h; g gy = ; v y0 0= .

t — ?v — ?s1:s2:s3...—?

Отже, маємо: h tgt hg

= ⇒ =2

22

; v gty = .

Перевіримо одиниці, знайдемо значення шуканих величин:

t[ ] = = =⋅м

м с

м см

с/ 2

2

, t = =⋅2 4510

3 (с); v = ⋅ =10 3 30м

с

мс

с2

.

Длявідповідіназапитання3скористаємосягеометричнимзміс-томпереміщення(рис.2).Вільнепадіннятілєрівноприскоренимпрямолінійним рухом, тому графік залежності v ty ( ) — це відрі-зокпрямої,якийпочинаєтьсявточці (t = 0, vy = 0).Бачимо,щозапершийінтервалчасу ∆t переміщеннятілачи-сельнодорівнюєплощіS0одноготрикутника(площафігурипідграфіком): s S1 01= ;задругийінтервалчасу ∆t —площітрьохтрикутників: s S2 03= ; за третій інтервал часу ∆t — площіп’яті трикутників: s S3 05= і т. д.

Відповідь: t = 3 с; v = 30 м/с;s1 :s2 :s3 :s4…=1 :3 :5 :7….

Під час вільного падіння без початкової швидкості переміщення тіла за рівні послідовні інтервали часу відносяться як непарні числа:

s1 : s2 : s3 : s4 …= 1 : 3 : 5 : 7… .Цявластивість стосується будь-якого рівноприскореного прямолінійного

руху тіла. Наприклад, якщо за першу секунду тіло подолало 5 м, за другувоноподолає 3 5 15⋅ = м, затретю— 5 5 25⋅ = м,зачетверту —7⋅5=35 м іт.д.

4 Що падає швидшеУявімо, що з моста в горизонтальному напрямку кинули камінець

і в ту саму мить випустили з руки другий камінець. Який камінець упадеуводушвидше?Ніякий!Обидвакамінця,якщоїмнічогонезавадить,упа-дуть у воду одночасно.

Скориставшись спеціальним пристроєм і відеокамерою мобільного те-лефону, можемо легко підтвердити це твердження (рис. 7.3).

Отже, рухові тіла у вертикальному напрямку не «заважає» йогорух у горизонтальному напрямку та навпаки. Тут ми зустрілися з про-явом принципу незалежності руху, відповідно до якого будь-який склад-ний рух можна розглядати як «суму» двох (або більше) простих рухів.

0

v0=0

Y

О

45м

g

Рис. 1

s

Рис. 2

∆t ∆t ∆t∆t ∆t

vy

t

47


5 Рух тіл, кинутих горизонтально або під кутом до горизонту

Скориставшисьпринципомнезалежностіруху,розглянемо рух тіла, якому поблизу поверхніземлі надано певної початкової швидкості.Вважатимемо, що опір повітря нехтовно ма-лий, тобто рух відбувається лише під дієюсили тяжіння з прискоренням

g . Такий рухзручно розглядати як результат «додавання»двох незалежних рухів (рис. 7.4):

1) горизонтального — рівномірногоуздовж осі OX (оскільки gx = 0 ), який опису-ється рівняннями:

v vx x= 0 ; x x v tx= +0 0 ;2) вертикального — рівноприскореного

(з прискоренням

g ) уздовж осі OY, який опи-сується рівняннями:

v v g ty y y= +0 ; y y v t ty

gy= + +0 02

2.

yy Модуль і напрямок швидкості руху тілав довільній точці траєкторії визначаємо, ско-риставшисьтеоремоюПіфагоратаозначенням

тангенса (рис. 7.5): v v vx y= +2 2 ; tg α =v

v

y

x

.

yy Якщо з рівняння x x v tx= +0 0 знайти tі підставити одержаний вираз у рівняння

y y v t ty

gy= + +0 02

2,отримаєморівняннятраєк-

торії руху тіла, яке має вигляд квадратичної

функції: y x Ax Bx C( ) = + +2 .

vx vx vx vx vx vx

vx

vy

v0

v0

vy

vy

vyv

Горизонтальний рух —швидкістьрухунезміню-ється

Вертикальний рух — рів-ноприскорений рух з при-скоренням

g

Складний рух

Рис. 7.3. Кулька 1, яка вільно падає без початкової швид-кості, і кулька 2, кинута горизонтально, весь час перебува-ють на однаковій висоті й на Землю падають одночасно

11

22

Y

Xα

O

vy

vx

v

Рис. 7.5. До визначення швидко-сті руху тіла

Штовхач надає кульці 2 горизонтальної швид-кості. У той самий час кулька 1 звільняєтьсяі починає падати вертикально

Спусковий гачок

Рис. 7.4. Складення вертикаль-ного і горизонтального рухів тіла. Положення тіла подано через рівні інтервали часу

48


Дано:

v0 15= мс

h = 20 м

g = 10м

с2

Розв’язанняОберемосистемувідліку:пов’яжемопочаток координат з місцем, демотоцикл з’їхав з дороги, вісьOY спрямуємо вертикально вниз,вісь ОХ — у напрямку початковоїшвидкості руху мотоцикла (див.рисунок).

t—?l —?

Вобраній системівідліку:

рух уздовжосіОХ—рівномірний:v vx x= 0 ; x x v tx= +0 0 (1)

рухуздовжосіОY—рівноприскорений:

v v g ty y y= +0 ; y y v ty

g ty= + +0 0

2

2 (2)

Ізрисункабачимо:

v vx0 0= ; x0 0= ; x l= v y0 0= ; y0 0= ; y h= ,

тому рівняння1 і2набуваютьвигляду:

v vx = 0 ; l v t= 0 v gty = ; h gt=2

2

Зверніть увагу! Виділені формули справедливі для описання руху будь-якого го-ризонтально кинутого тіла.1)Визначимо часпадіннямотоцикла: h gt= ⇒

2

2t h

g= 2

; t = =⋅2 2010

2 (с).

2)Обчислимодальністьпольоту: l v t l= = ⋅ =0 15 2 30;мс

с м.

Проаналізуємо результат. Очевидно, що в реальної ситуації дальність польотубудеменшою,аджеруховізаважаєопірповітря.Протезрозуміло,ценеозначає,що падіннябудебезпечнішим.Будьте обережними і пильними на дорогах!

Відповідь: t = 2 с; l = 30 м.

Y

X

O

l

h

g

Fтяж

vy

v

v0

v0

Рис. 7.6. Траєкторії руху тіл, кинутих горизонтально або під кутом до горизонту, є параболічни-ми, і їх кривизна залежить від початкової швидкості руху тіл

Такимчином,траєкторіярухутіла,якомупоблизуповерхніземліна-дано певної початкової швидкості, є параболічною (рис. 7.6).

6 Рух тіла, кинутого горизонтальноЗадача 2. Мотоцикліст, що рухався гірською дорогою зі швидкістю

15м/с,незагальмувавпередповоротом,ійогомотоциклупавзвисоти20мусніговийнамет.1)Скількичасупадавмотоцикл?2)Якоюєгоризонтальнадальність польоту мотоцикла? Як, на вашу думку, зміниться ця дальністьу реальній ситуації? Опором повітря знехтувати.

49


7 Рух тіла, кинутого під кутом до горизонтуПрочитавши про рекорди швидкості по-

льоту спортивних снарядів, учениця вирішилаз’ясувати, якої швидкості вона надає футболь-ному м’ячу. Для цього дівчинка вдарила пом’ячу, спрямувавши його під кутом 45° до гори-зонту(див.рис.7.8).М’ячупавназемлюнавід-стані 50 м від учениці. Виконавши розрахунки,дівчинкавирішила,щовонанадалам’ячушвид-кості 25 м/с, а м’яч піднявся на висоту другогоповерху школи. Чи не помилилася учениця?

Ознайомтеся з розв’язком цієї задачі в за-гальному вигляді (див. нижче). Скориставшисьотриманими формулами, оцініть розрахункидівчинки, а після уроків виконайте експеримен-тальне завдання наприкінці § 7.

Задача 3. Футболістка ударив по м’ячу надавши йому швидкості v0 ,напрямленої під кутомα до горизонту. Визначте дальність польоту та най-більшу висоту підйому м’яча.

Дано:v0αg

Розв’язання1) Виконаємо пояснювальнийрисунок (рис.1):початок координат пов’яжемоз точкою на поверхні Землі, дем’яч відірвався від бутси фут-болістки; вісь OY спрямуємовертикально вгору; вісь ОХ —горизонтально.

L —?hmax —?

Вобраній системівідліку:

рух уздовжосіОХ—рівномірний:

v vx x= 0 , x x v tx= +0 0 , (1)

де x0 0= , v vx0 0= cosα

рух уздовжосіОY—рівноприскорений:

v v g ty y y= +0 , y y v ty

g ty= + +0 0

2

2, (2)

де y0 0= , v vy0 0= sinα , g gy = − ,

тому рівняння (1) і (2) набуваютьвигляду:

v vx = 0 cosα , x v t= ⋅0 cosα v v gty = −0 sinα , y v t gt= ⋅ −0

2

2sinα

Часt1рухум’ячадоверхньоїточкитраєкторії(точкиА)знайдемозумови v ty 1 0( ) = :

v gt tv

g0 1 10 0sinsin

αα

− = ⇒ = .

Координатаyм’яча вточці А—це максимальнависотапідйому м’яча:

h yAmax = == ⋅ −v tgt

0 112

2sinα .

Після підстановки t1 отримуємо формули для визначення максимальної висоти

підйому тазагального часруху м’ча: hv

gmaxsin

= 02 2

2

α; t t

v

g= =2 1

2 0 sin α.

Y A

hmax

Xl

O α

vA

v0

v y0

v x0

g

Рис. 1

Рис. 7.8. За напрямком і дальністю польоту м’яча ви можете визначити, якої швидкості ви надали м’ячу під час удару або кидка

50


Дальність L польоту дорівнює координаті х тіла наприкінці руху x L=( ) :

x v t vv

g= ⋅ = ⋅0 0

2 0cos cossin

α αα

.Оскільки 2 2cos sin sinα α α⋅ = ,то Lv

g= 0

2 2sin α.

Зверніть увагу!Зостанньоїформуливипливає:

yy якщокинути тіло підкутомα,апотімпідку-том 90° − α ,тодальністьпольотунезміниться,тобто тіло попаде в ту саму точку, рухаючисьрізними траєкторіями (рис. 2);

yy максимальна дальність польоту тіла досяга-ється, якщо α = °45 sin2 1α =( ) .


yy Падіння тіл у безповітряному просторі, тобто падіння лише під дієюсили тяжіння, називають вільним падінням.

yy У разі вільного падіння всі тіла падають на Землю з однаковимприскоренням — прискоренням вільного падіння

g( ) . Вектор прискореннявільного падіння завжди напрямлений вертикально вниз; за модулемg = 9 8, м/с2.

yy Рух тіла, кинутого вертикально вгору або вниз, — це рівноприскоре-ний прямолінійний рух із прискоренням, що дорівнює прискоренню віль-ного падіння:

a g= .

yy Траєкторія руху тіла, кинутого горизонтально або під кутом до гори-зонту,—параболічна.Такірухирозглядаютьякрезультатскладаннядвохпростихрухів:горизонтального—рівномірногоуздовжосіOX івертикаль-ного — рівноприскореного (з прискоренням

g ) уздовж осі OY. При цьомурівняння залежностей швидкості та координати від часу мають вигляд:

v vx x= 0 , x x v tx= +0 0 ; v v g ty y y= +0 , y y v ty

g ty= + +0 0

2

2.

контрольні запитання1. Який рух називають вільним падінням тіл? Яким є характер цього руху?2. Як напрямлено прискорення вільного падіння та чому воно дорівнює?3. Запишіть у загальному вигляді рівняння руху тіла під дією сили тяжіння.4.Якийвиглядматимутьрівнянняруху,якщотілокинутовертикально?гори-зонтально? під кутом до горизонту? 5. Якою є траєкторія руху тіла, кинутоговертикально?горизонтально?підкутомдогоризонту?Наведітьприклади.6.Яквизначитимодульінапрямокшвидкостірухутілавбудь-якійточцітраєкторії?

Вправа № 7 Опором повітря нехтувати.1. Металеву кульку підняли на висоту 1,8 м над підлогою і відпустили.

На якій висоті прискорення вільного падіння кульки буде найбільшим:а)нависоті1,8м;б)нависоті1м;в)умоментударуобпідлогу?Наякійвисоті із зазначених буде найбільшою швидкість руху кульки? Визначтецю швидкість.

Рис. 2

51


2. Стрілу випустили з лука вертикально вгору зі швидкістю 10 м/с. Відомо,щочерез2свонавжепадалавнизізтієюсамоюшвидкістю.Визначтемак-симальну висоту польоту, шлях і переміщення стріли протягом цих 2 с.

3. Струмінь води з брандспойта, спрямований під кутом 60° до горизонту,сягнув висоти 15 м (рис. 1).

1) Знайдіть: а) швидкість витікання води; а) час польоту частинок стру-меня, б) дальність польоту частинок струменя.

2)Якоюбудедальністьструменя,якщоспрямуватийогопідкутом30°догоризонту?

3) Чому струмінь води розширюється?4. З гелікоптера, який перебував на висоті 45 м і рухався зі швидкістю

10 м/с, упав невеликий важкий предмет. Через який інтервал часу пред-мет упаде на землю? Якою буде швидкість руху предмета у цей момент?Розв’яжіть задачу для випадків, коли гелікоптер: 1) піднімається вгору;2) опускається вниз; 3) рухається горизонтально.

5. КабінкаоглядовогоколесавХаркові(рис.2)піднімаєтьсянависоту55м,час одного оберту становить 15 хв. Визначте швидкість руху відвідувачацього атракціону.

Рис. 1 Рис. 2

Експериментальне завданняОцініть швидкість руху, якої ви надаєте м’ячу під час удару ногою; під часгоризонтального кидка; під час вертикального кидка. Які вимірювання вамнеобхіднодляцьоговиконати?Уразінеобхідностіскористайтесяприкладамирозв’язання задач у § 7.

Фізика і техніка в Україніархип Михайлович люлька (1908–1984) — видатний український

радянський конструктор авіаційних двигунів. Народився в с. Саварка Київської губернії, навчався в Київському політехнічному інституті.

Працюючи в харківському авіаційному інституті, А. М. Люлька створив конструкцію першого в СРСР двоконтурного турбореактив-ного двигуна. Першим розробив турбореактивні двигуни для надзву-кової авіації. Згодом на літаках із двигунами конструкції А. М. Люльки

було встановлено десятки світових рекордів. Під його керівництвом створено до-слідно-конструкторське бюро, яке зараз носить його ім’я. З 1968 р. — академік АН СРСР. На алеї видатних учених у Київській політехніці встановлено пам’ятник А. Люльці.

52


§ 8. РІВноМІРний РУх МаТЕРІальної Точки По колУ

У давнину воїни користувалися пращею — простою, але дуже цікавою за принципом дії зброєю для мета-ння каменів, кульок тощо: у мотузок (або смужку шкіри) вкладали «снаряд», розкручували мотузок по коловій траекторії і в певний момент часу відпускали один кі-нець — «снаряд» прямував до цілі. А чому випущений із пращі камінь не продовжує рухатися по колу, а по-водиться так, ніби його кинули в певному напрямку з дуже великою швидкістю? Про це та інші особливості руху по колу — у цьому параграфі.

Рис. 8.1. Розбиваючи траєкторію руху тіла на дедалі менші ділянки ∆l , бачимо, що вектор швидкості все більше наближається до дотичної (а, б). У даній точці миттєва швидкість напрям-лена вздовж дотичної до траєкторії руху тіла (в)

∆l

∆s� ��

v

v

vа

v

б

vA

vB

vC

vDA

B C

D

в

1 які особливості криволінійного рухуРухпоколу—цекриволінійнийрух,абудь-якийкриволінійнийрух

набагато складніший за прямолінійний.

yy По-перше, у разі криволінійного руху змінюються щонайменше двікоординати тіла.

yy По-друге,безперервнозмінюєтьсянапрямоквекторамиттєвоїшвидко-сті:цейвекторзавждизбігаєтьсяздотичноюдотраєкторіїрухутілавточці,що розглядається, й напрямлений у бік руху тіла (рис. 8.1, 8.2).

yy По-третє, криволінійний рух — це завжди рух із прискоренням: на-віть якщо модуль швидкості залишається незмінним, напрямок швидкостібезперервно змінюється.

Чому камінь, який воїн випускає з пращі, не продовжує рухатися по колу?Якою буде траєкторія руху каменя?

2 Що таке лінійна швидкість

Скалярну фізичну величину, яка характеризує криволінійний рух і дорівнює середній шляховій швидкості, виміряній за нескінченно малий інтервал часу, називають лінійною швидкістю руху тіла:

vl

t= ∆

∆, якщо ∆ t → 0

Оскількидлядужемалихінтервалівчасумодульпереміщення(∆s)на-ближаєтьсядодовжиниділянкитраєкторії(∆l)(див.рис.8.1),лінійна швид-кість у даній точці дорівнює модулю миттєвої швидкості.

53

§ 8. Рівномірний рух матеріальної точки по колу

Самелінійнушвидкістьмаютьнаувазі,коли,наприклад,характери-зуютьрухавтомобілянаповороті,йдетьсяпрошвидкістьпольотуштучнихсупутників Землі, описують рух частинки в прискорювачі тощо.

Ізчасомлінійнашвидкістьможезмінюватися,аможезалишатисяне-змінною.Залежновідцьогоуфізицірозглядаютьнерівномірний криволіній-ний рух (рух зі змінною лінійною швидкістю) і рівномірний криволінійний рух (рух із незмінною лінійною швидкістю).

У разі рівномірного криволінійного руху за будь-які рівні інтервали часу тіло долає од-наковий шлях, тому лінійну швидкість руху тіла можна визначити за формулою:

vl

t= ,

де l — шлях, пройдений тілом; t — час руху.Описувати криволінійний рух досить

складно, адже різних форм криволінійнихтраєкторій — безліч. Однак практично будь-яку складну криволінійну траєкторію можнаподати як сукупність дуг різних радіусів, акриволінійнийрухрозглядатиякрухпоколу(рис. 8.3). Розглянемо найпростіший вид кри-волінійного руху — рівномірний рух по колу.

3 які фізичні величини характеризують рівномірний рух по колу

Рівномірний рух тіла по колу — це такий криволінійний рух, при якому траєкторією руху тіла є коло, а лінійна швидкість руху не змінюється з часом.

Ізкурсуфізики8класувизнаєте,щорівномірнийрухпоколу—цепе-ріодичнийрух,аотже,вінхарактеризуєтьсятакимифізичнимивеличинами,якперіод ічастота.

Період обертанняТ—фізичнавеличина,якадорівнюєінтервалучасу,

заякийтілоздійснюєодиноберт: Tt

N= (N—кількістьобертів,здійснених

тіломзаінтервалчасуt).Одиниця періоду обертання в СІ —секунда:[T]=c.

Рис. 8.2. Швидкості руху іскор феєрверка, бризок з-під коліс автомобіля, металевих ошурок напрямлені по дотичній до кола. Саме в цьому напрямку частинки продовжують свій рух після відриву

r2

r1

v1

v2

Рис. 8.3. У кожній точці колової траєкторії швидкість руху напрямлена уздовж дотичної до кола, тобто перпендикулярно до радіуса

54


Обертова частотаn—фізичнавеличина,якачисельнодорівнюєкіль-

костіобертівзаодиницючасу: nN

t= .Одиниця обертової частоти в СІ—

оберт за секунду: [n]=об/с.

Період і обертова частота є взаємно оберненими величинами: Tn

= 1

Знаючиперіодобертаннятарадіускола,поякомурухаєтьсятіло,легковизначитилінійну швидкість v рухутіла.Дійсно,зачасодногооберту (t = T)тілодолаєвідстань,якадорівнюєдовжинікола:l = 2πr.Оскільки v l t= / ,маємо:

vr

T= 2π

(1)

Дляхарактеристикирухутілапоколуокрімлінійноїшвидкостічастовикористовують кутову швидкість.

кутова швидкість — це фізична величина, яка чисельно дорівнює куту повороту радіуса за одиницю часу:

ω ϕ=t

,

де ω — кутова швидкість; ϕ — кут поворотурадіуса за інтервал часу t (рис. 8.4).

Одиниця кутової швидкості в СІ —

радіан за секунду: ω[ ] = ( )−1 1рад

сs .

Зачас,щодорівнюєодномуперіоду(t = T),радіус виконує один оберт ϕ π=( )2 , тому ку-товушвидкістьможнаобчислитизаформулою:

ω π= 2

T (2)

Ізформул(1)і(2)випливає,щокутоваталінійнашвидкостіпов’язаніспіввідношенням:

v r= ω

4 чому в разі рівномірного руху тіла по колу прискорення називають доцентровим

Нагадаємо,щобудь-якийкриволінійнийрух—цезавждирухізприскорен-ням, оскільки напрямок миттєвої швидкості безперервно змінюється.

Визначимонапрямокприскореннятілапідчасйогорівномірногоруху

по колу. За означенням

av

t= ∆

∆, тому напрямки векторів прискорення та

зміни швидкості збігаються

a v↑↑ ∆( ) . Визначимо напрямок вектора змінишвидкості ∆

v (рис.8.5,а).Бачимо,щовектор ∆

v напрямленийусерединукола.Таксамонапрямленийівекторприскорення

a .Доведемо,щовектор

a

ϕAO

r

B

v

Рис. 8.4. Рівномірний рух тіла по колу: r — радіус кола;

v — вектор миттєвої швидкості в точці B; ϕ — кут повороту радіуса

55

§ 8. Рівномірний рух матеріальної точки по колу

напрямленийбезпосередньодоцентракола,тобтовздовжрадіуса.Оскількимиттєвашвидкість

v рухутіланапрямленаподотичній,адотичнаперпен-дикулярна до радіуса r , потрібно довести, що

a v⊥ .Доведення здійснимо методом від супротивного. Припустимо, що век-

торприскорення

a неєперпендикулярнимдовекторамиттєвоїшвидкості

v (рис. 8.5, б). Однак у такому випадку швидкість руху тіла буде збільшува-тися, якщо ax > 0 , і зменшуватися, якщо ax < 0 , — отже, йдеться про не-рівномірний рух, тоді як ми розглядаємо рівномірний рух. Таким чином,наше припущення було хибним. Отже,

a v⊥ .У разі рівномірного руху тіла по колу:

yy вектор прискорення напрямлений до цент ра кола — саме тому прискорення тілапідчасйогорухупоколуназиваютьдоцентро-вим прискоренням

aдц (рис. 8.6);

yy модуль доцентрового прискорення обчис-люють за формулами:

av

rдц =2 *

; a rдц = ω2

де v — лінійна швидкість; r — радіус кола;ω — кутова швидкість.


yy Уразікриволінійногорухувектормиттєвоїшвидкостізбігаєтьсяздо-тичною до траєкторії руху тіла, напрямок миттєвої швидкості безперервнозмінюється, тому криволінійний рух — це завжди рух із прискоренням.Криволінійний рух, під час якого траєкторією руху тіла є коло, а лінійнашвидкість не змінюється з часом, називають рівномірним рухом по колу.

yy У разі рівномірного руху:— миттєва швидкість перпендикулярна до радіуса кола; за модулем

дорівнює лінійній швидкості й обчислюється за формулами: v lt

= ; v rT

= 2π ,де T — період обертання; r — радіус кола;

* Cпробуйте довести цю формулу самостійно або скористатися додатковими джерела-ми інформації.

A

O

v0

r

a v⊥

a v⊥∆

vO

A

X

ax

a v⊥

a

Рис. 8.5. Визначення напрямку прискорення рівномірного руху тіла по колу

A

O

B

vB

vA

a a aB Aдц дц дц

a a aB Aдц дц дц

Рис. 8.6. У випадку рівномірного руху по колу прискорення руху тіла в даній точці завжди напрямлене до центра кола (є перпендикулярним до миттє-вої швидкості)

Перенесемовектор

v паралельно самомусобі так, щоб він ви-ходив із точки А, ізнайдемо різницювекторів

v v−( )0 —вектор зміни швид-кості ∆

v( ) а б

56


— кутова швидкістьω чисельно дорівнює кутуϕ повороту радіуса за

одиницю часу t, обчислюється за формулами ω ϕ=t

; ω π= 2T

і пов’язана з лі-нійною швидкістю v співвідношенням v r= ω ;

—прискоренняєдоцентровим

aдц( ) ,тобтонапрямленедоцентракола;

його модуль обчислюють за формулами: a vrдц =

2

; a rдц = ω2 .

контрольні запитання1. Чи може тіло рухатися криволінійною траєкторією без прискорення? До-ведітьвашетвердження.2.Якуразікриволінійногорухунапрямленийвек-тормиттєвоїшвидкості?3. Якіфізичнівеличинихарактеризуютьрухтілапоколу?Дайтеїхніхарактеристики.4.Якимспіввідношеннямпов’язанікутоваталінійнашвидкостіруху?Виведітьцеспіввідношення.5.Доведіть,щовразірівномірного руху по колу прискорення напрямлене до центра цього кола.6. За якими формулами визначають доцентрове прискорення?

Вправа № 81. Для чого поверх коліс велосипеда надівають щитки?2. На рис. 1 показано траєкторію автомобіля, який рухається з незмінною

швидкістю.Уякійіззазначенихточоктраєкторіїдоцентровеприскоренняавтомобіля найбільше? найменше?

А

Б

ВРис. 1

3. Автомобіль рухається зі швидкістю 36 км/годпо опуклому мосту з радіусом кривизни 30 м.Чомудорівнюєікудинапрямленеприскоренняруху автомобіля?

4. Хлопчик і дівчинка рівномірно рухаються поколах різного радіуса: r r2 11 5= , (рис. 2).У скільки разів швидкість руху хлопчикаповинна бути більшою за швидкість рухудівчинки, щоб вони весь час перебували наодномурадіусі?Уякомуспіввідношеннібудутьприскорення їх руху?

5. Точка на ободі колеса велосипеда рухаєтьсязприскоренням100м/с2,радіусколеса—0,4м.Яка швидкість велосипеда? Скільки обертів захвилинуздійснюєколесо?Вважайте,що π2 10= .

6. Хвилинна стрілка годинника втричі довша за секундну. У скільки разівбільше прискорення руху кінця секундної стрілки?

7. З якою швидкістю має летіти літак над екватором Землі, щоб для людейу літаку Сонце не змінювало свого положення на небосхилі?

Експериментальне завданняВизначте доцентрове прискорення, лінійну та кутову швидкості руху точкина диску мікрохвильової печі (іграшкового автомобіля, міксера тощо). Яківимірювання вам необхідно здійснити, щоб виконати це завдання?

А

r1

r2

А’

B

B’

Рис. 2

57

лаБоРаТоРна РоБоТа № 1

Тема. Визначення прискорення тіла в ході рівноприскореного прямолінійного руху. Мета: визначити прискорення руху кульки, яка скочується похилим жолобом. обладнання: металевий або дерев’яний жолоб, кулька, штатив із муфтою та лапкою, се-

кундомір, вимірювальна стрічка, металевий циліндр або інший предмет для припинення руху кульки по жолобу.

ВкаЗІВки до РоБоТи

Підготовка до експерименту1. Закріпіть жолоб у лапці штати-

ва. Опустіть лапку, розташував-ши жолоб під невеликим кутомдо горизонту (див. рисунок).

2. У нижній частині жолоба розташуйте металевий циліндр.3. У верхній частині жолоба зробіть позначку.

ЕкспериментРезультати вимірювань і обчислень відразу заносьте до таблиці.1. Виміряйте відстань s від позначки до циліндра (ця відстань дорівнює

модулю переміщення кульки вздовж жолоба).2. Розташуйте кульку навпроти позначки та виміряйте час t1, за який

скочується кулька (до моменту її удару об металевий циліндр).3. Повторіть дослід ще тричі.

опрацювання результатів експерименту1. Обчисліть середній час руху кульки: t t t t tсер = + + +( )1 2 3 4 4/ .

2. Обчисліть середнє значення прискорення кульки: a s tсер сер2= 2 / .

3. Обчисліть абсолютну та відносну похибки вимірювання (див. п. 4 § 2):

1) часу: ∆ =− + − + − + −

tt t t t t t t t

серсер сер сер сер1 2 3 4

4; εt t t= ∆ сер сер/ ;

2) модуля переміщення: ∆ = ∆ + ∆s s sприл вип ; εs s s= ∆ / ;

3) модуля прискорення: ε ε εa s t= + 2 ; ∆ = ⋅a aaε сер.4. Округліть результатитазапишітьрезультатвимірюванняприскорення.

Номердо-

сліду

Перемі-щеннякульки

s, м

Час рухукульки

Приско-рення

кулькиaсер, м/с2

Похибка вимірю-вання прискорення

Результатвимірюванняприскорення

a a a= ± ∆сер , м/с2відносна

εa , %абсолютна

∆ a , м/с2ti, с tсер, с

аналіз експерименту та його результатівПроаналізуйтеексперименттайогорезультати.Зробітьвисновок,уякому

зазначте: 1) величину, яку ви вимірювали; 2) результат вимірювання; 3) при-чини похибки; 4) вимірювання якої величини дає найбільшу похибку.

+ Творче завданняПодумайте,відякихчинниківзалежитьприскорення,зякимтілоскочується

похилоюплощиною.Запишітьпланпроведеннявідповідногоексперименту,проведітьйого та зробіть висновок щодо правильності вашого припущення.

58


лаБоРаТоРна РоБоТа № 2

Тема. Вивчення руху тіла по колу. Мета: визначити характеристики рівномірного руху кульки по колу: період обер-

тання, обертову частоту, лінійну швидкість, доцентрове прискорення й мо-дуль рівнодійної сил, які надають кульці цього прискорення.

обладнання: штатив із муфтою та лапкою, нитка завдовжки 50–60 см, аркуш паперу, цир-куль, терези з важками, секундомір, кулька, лінійка, динамометр.

ВкаЗІВки до РоБоТи

Підготовка до експерименту Нарисуйте на аркуші концентричні кола радіусами 8, 10, 11 см.

Експеримент Результати вимірювань і обчислень відразу заносьте до таблиці.1. Виміряйте масу кульки.2. Зберіть установку (див. рису-

нок).3. Розкрутіть маятник так, щоб

траєкторія руху кульки якомо-га точніше повторювала одне зкіл, зображених на папері. Ви-міряйте інтервал часу t, за якийкулька здійснить 10 повних обертів.

4. Виміряйте модуль рівнодійної

Fвимір, зрівноваживши її силою

Fпруж пружності пружини динамометра (див. рисунок).

5. Провідіть аналогічний дослід для решти кіл.

опрацювання результатів експерименту1. Визначте період обертання T, обертову частоту n, лінійну швидкість v

руху кульки: Tt

N= ; n

N

t= ; v

R

T=

2π.

2. Визначте модуль доцентрового прискорення кульки: aR

Tдоц =

4 2

2

π.

3. Визначте модуль рівнодійної

F сил, які надають кульці, що рухаєть-ся, доцентрового прискорення: F ma= доц .

4. Порівняйтевимірянейобчисленезначеннярівнодійноїсил,визначтевід-носнупохибкуекспериментальноїперевіркирівностіF=Fвим(див.п.5§2).

Масакулькиm, кг

РадіусколаR, м

Часрухуt, с

Кіль-кістьобер-тів N

Рівно-дійна

Fвимір , Н

Періодобер-тання

T, с

Обер-това

частотаn, с–1

Лінійнашвид-кість v, м/с

Доцен-тровепри-скорення aдоц, м/с2

Рівно-дійнаF, Н

аналіз результатів експериментуПроаналізуйте експеримент і його результати. Сформулюйте висновок,

у якому зазначте: 1) фізичні величини, які ви визначали; 2) точність проведе-ного експерименту та причини похибки.

Fпруж

Fвимір

59

Лабораторна робота № 2ПІдБиВаєМо ПІдСУМки РоЗдІлУ I «МЕханІка». Частина 1. Кінематика

1. Вивчаючи кінематику, визгадалипромеханічний рухтаосновні фізичні ве-личини, які характеризують рівномірний прямолінійний і рівноприскорений прямолінійний рухи.

2. Ви поглибили свої знання про рух тіла під дією сили тяжіння.

a g= ≈ 10 м/с2

v v g ty y y= +0

y y v tyyg t

= + +0 0

2

2

l v t= 0

hgt=

2

2

v v g t= +02 2 2

ПРяМолІнІйний РУх

Траєкторія руху — пряма. Швидкість і прискорення напрямлені вздовж траєкторії руху тіла

рівномірний

Рух тіла, кинутого вертикально

рівномірний

Рух тіла, кинутого горизонтально або під кутом α до горизонту

Прискореннярухуa=0

Прискоренняруху

ax

v v

tx x=

−0

t

ax

0

Швидкість руху

vx

s

tx=

Швидкість рухуv v a tx x x= +0

Переміщеннятілаs v tx x=

Переміщеннятіла

s v tx x

a tx= +0

2

2

t

vx

0

v x1 0>v x2 0=v x3 0<

1

23

t

sx

0

v x1

0>

v x2 0=

vx3 0<

1

2

3

t

ax

0

1

2

a x1 0>

a x2 0<

t

vx

0

1

2

a x10>

ax2 0<

v0х

t

x

0

v x1

0>v x2 0=

vx3 0<

1

2

3

x0

Координататілаx x v tx= +0

Координататіла

x x v txa tx= + +0 0

2

2

t

sx

0

1

2 a x2 0<

t

х

х0

0

1

2

a x1

0>

a x2 0<

a x1

0>

Y

О

g

v1

v2

lv

g= 0

2 2sin α

hv

gmax

sin= 0

2 2

2

α

v v vx y= +2 2

v0

l

h

g

3. Ви вивчили рівномірний рух тіла по колу.

Період обертання:T=t/N; [T]=c (секунда)Кутова швидкість:ω=2π/T; [ω]=рад/с (с–1)Лінійна швидкість:v=2πr/T=ωr; [v]=м/сДоцентрове прискорення:aдц=v2/r=ω2r; [aдц]=м/с2

Прискорення

aдц на-прямлене до центракола; швидкість

v —подотичнійдокола

Рівномірний рух по колу

v2

v1

a2

a1

O X

v

v0

l

g hmax

v

r

v

aдц

60

Розділ I. МЕХАНІКА. Частина 1ЗаВдання для СаМоПЕРЕВІРки до РоЗдІлУ I «МЕханІка». Частина 1. Кінематика

Завдання 1–4 містять тільки одну правильну відповідь.1. (1 бал) Ученицю можна вважати матеріальною точкою, коли вона:

а)робитьзарядку;б)снідає;в)чиститьзуби;г)йдедошколи.2. (1 бал)Тіло,кинутепідкутомдогоризонту,рухаєтьсялишепіддієюсили

тяжіння. Прискорення руху тіла:а)найбільшевмоментпочаткуруху;б)однаковевбудь-якиймоментруху;в)найменшевнайвищійточцітраєкторії;г)збільшуєтьсяпідчаспідйому.

3. (1 бал) Автомобіль рухається прямолінійноютрасою. Яка ділянка графіка (рис. 1) відпові-дає руху з найбільшим прискоренням, якщовісь ОХ напрямлена вздовж траси?а)AB;б)BC;в)CD; г)DE.

4. (2 бали) Малюк катається на каруселі, руха-ючиськоломрадіуса5м.Якимибудутьшлях lімодульпереміщенняsмалюка,колидискка-руселі виконає один повний оберт?а) l=0,s=0;б) l=31,4м,s=0;в) l=0,s=5м;г) l=31,4м,s=5м.

5. (2 бали) Пасажирський потяг завдовжки 280 м рухається зі швидкі-стю 72 км/год. По сусідній колії в тому самому напрямку рухається зішвидкістю 36 км/год товарний потяг завдовжки 700 м. Протягом якогоінтервалу часу пасажирський потяг пройде вздовж товарного потяга?

6. (3 бали) За графіком проекції швидкості руху автомобіля (див. рис. 1),визначте переміщення та середню шляхову швидкість руху автомобіляза перші 5 с спостереження.

7. (3 бали) Рух тіла задано рівнянням x t t= + −0 5 5 2 2, (м). Визначте перемі-щеннятілазаперші2сруху;швидкістьрухутілачерез3с.Вважайте,щов обраній системі відліку тіло рухалося вздовж осі ОХ.

8. (3 бали) Із точки А, розташованій на висоті 2,75 м над поверхнею землі,вертикально вгору кинули м’яч зі швидкістю 5 м/с. Коли м’яч досяг най-вищої точки свого підйому, із точки А із тією самою швидкістю кинуливгору другий м’яч. Визначте час і місце зіткнення м’ячів.

9. (4 бали)Каскадерперестрибуєзодногодахунаінший. Якою має бути найменша швидкістьрухукаскадера,якщовідстаньміждахамиста-новить4,9м?Якоїнайбільшоївисотисягнеприцьому каскадер?

10. (4 бали)ТілорухаєтьсявздовжосіОХ ізпочат-ковою швидкістю 4 м/с. Скориставшись графі-ком x(t) (рис. 2): 1) запишіть рівняння коорди-нати; 2) побудуйте графік залежності v tx ( ) .

Звірте ваші відповіді з наведеними в кінці підручника. Позначте завдання, виконані правильно, і полічіть суму балів. Поділіть цю суму на два. Одержа-ний результат відповідатиме рівню ваших навчальних досягнень.

Тренувальні тестові завдання з комп’ютерною перевіркою ви знай-детенаелектронномуосвітньомуресурсі«Інтерактивненавчання».

t, c

246

1

A

B C

D E

3 5 70

Рис. 1

vx,м

с

t, c

x, м

2

–13

0

Рис. 2

· 2019-05-11 · © Бар’яхтар В. Г., Довгий С. О., Божинова Ф. Я.,...

Documents