· 2019-09-28 · escuela politÉcnica nacional anÁlisis de fourier y ecuaciones en derivadas...

ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL

ANÁLISIS DE FOURIER Y ECUACIONES EN DERIVADAS PARCIALES

HOJA DE EJERCICIOS NO. 1FUNCIONES

Semestre 2019-A Departamento de Formación Básica

Ejercicios CP: 1, 3, 6, 10.b, 11.a, 12.a, 12.c, 13, (4), (10)

1. Sea a > 0. Demostrar que todo intervalo de la forma [−a, a] ó ]− a, a[ es un conjunto simétrico. £Quéocurre con los intervalos de la forma [−a, a[ o ]− a, a]?

2. Sean A, B ⊆ R dos conjuntos simétricos. Demostrar que A ∪ B y A ∩ B son conjuntos simétricos. De-mostrar que Ac es un conjunto simétrico.

3. De las siguientes funciones, indique cual son pares:

a)f : [0, 3] −→ R

x 7−→ x2

b)f : ]− 3, 3] −→ R

x 7−→ sen x2 + x4

c)f : ]− a, a[ −→ R

x 7−→ cos x csc x, a > 0

d)f : [−10, 10] −→ R

x 7−→ e|x| + e−|x|

e−x2

e)f : ]− π + kπ, π + kπ[ −→ R

x 7−→ [sen x]3 − cos x3e|x|

4. De las siguientes funciones analizar la paridad de cada una.

a)sinh : R −→ R

x 7−→ ex − e−x

2

b)cosh : R −→ R

x 7−→ ex + e−x

2

c)tanh : R −→ R

x 7−→ sinh xcosh x

5. Demostrar o refutar los siguientes enunciados:

a) La suma de dos funciones pares es par.

b) La resta de una función impar de una par es una función par.

c) El cociente de dos funciones impares es par

6. Sea a > 0 y f : [−a, a] → R una función. Demostrar que:

a) Si f es una función par, continua en [−a, a], entonces:ˆ a

−af (x)dx = 2

ˆ a

0f (x)dx

Dr. Esteban Guevara, PHD Página 1 de 4

b) Si f es una función impar, continua en [−a, a], entonces:ˆ a

−af (x)dx = 0

7. Si f : [−a, a] → R con a > 0 es impar y si b ∈ [−a, a]. £Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?

a)´ b−b f (x) dx = 0

b)´ 0−b f (x) dx = 0

c)´ b

0 f (x) dx = 12

´ a−b f (x) dx

d)´ a−a f (x) dx = 2

´ b−a f (x) dx

8. Si n ∈ N y a > 0. Sean f : [−a, a] → R , i ∈ 1, 2, ..., n funciones continuas:

a) Si fi es impar para todo i ∈ 1, 2, ..., n probar que:ˆ a

−a

n

∑i=1

fi (x) dx =n

∑i=1

ˆ a

−afi (x) dx = 0

b) Si fi es par para todo i ∈ 1, 2, ..., n probar que:ˆ a

−a

n

∑i=1

fi (x) dx = 2n

∑i=1

ˆ a

0fi (x) dx

9. Sea f : R → R una función periódica de periodo T. Demostrar que para todo n ∈ N, f es periódica deperiodo nT

10. Sea f : R → R una función de periodo T. Mostrar que las funciones:

a)f1 : R −→ R

x 7−→ f (x + a)

b)f2 : R −→ R

x 7−→ f (xb)

c)f3 : R −→ R

x 7−→ f( x

c

)con a, b, c ∈ R, c = 0, tienen periodos T, T

b y Tc respectivamente.

11. Analizar la periodicidad de las funciones:

a)f : R −→ R

x 7−→ sen( x

2

)cos (3x)

b)f : R −→ R

x 7−→ (sen (x))2 cos3 (x)

12. Analizar la continuidad de las siguientes funciones:

a)H : R −→ R

x 7−→

0, si x < 01, si x ≥ 0

b)f : R −→ R

x 7−→ ⌊x⌋

c)

H : R −→ R

x 7−→

0, 2 + 4k ≤ x ≤ −1 + 4ka, −1 + 4k < x ≤ 1 + 4k0, 1 + 4k < x ≤ 2 + 4k


13. Sean a b ∈ R, a = 0:f : R −→ R

x 7−→

1−bxx2+1 x < 1−2 x = 1

sen(a(x−1))x2−1 x > 1

a) Determinar los valores de a y b para los cuales existe lımx→1 f (x)

b) Determinar para que valores de a y b la función es continua en 1

EJERCICIOS ADICIONALES

14. Sean f y g funciones continuas a trozos en intervalo [a, b] y suponga que f1 se identifica con f y g1 seidentifica con g. Pruebe que: ˆ b

af1(x)g1(x) dx =

ˆ b

af (x)g(x) dx.

15. Sea f una función diferenciable en el intervalo [−a, a]. Muestre que f ′ es impar cuando f es par e imparcuando f es par.

16. Demuestre que toda función real f , definida en un intervalo de la forma [−a, a] para a ∈ R, puede serexpresada como la suma de una función par y una impar (A cada uno de estos sumandos se los conocecomo la parte par y la parte impar de f ). [Hint: 2 f (x) = f (x) + f (−x) + f (x)− f (−x).]

17. Analizar si las siguientes funciones son continuas a trozos.

a)

f (x) =

|x| − ⌊|x|⌋ , si |x| ≤ 2,

x2, si |x| > 2.

b)

f (x) =

−5 − x, si x < −π,

⌊cos x⌋, si |x| ≤ π,

x2, si x > π.

c)

f (x) =

x = 0, si x ≤ 0,

sen 1x , si x > 0.

d)

f (x) =

x = 0, si x ≤ 0,

x sen πx si x > 0

e)f (x) = ⌊sen x⌋para todo x ∈ R

f )

f (x) =1

n + 1para x ∈

]1

2n+1 ,12n

], n = 0, 1, 2, . . .

18. Sea f una función integrable definida en el intervalo [−a, a] y sea

F(x) =ˆ x

0f (t) dt, si − a ≤ x ≤ a.

Muestre que F es impar cuando f es par y F es par cuando f es impar.


19. Halle las partes par e impar de la función definida por

f (x) =a0

2+

n

∑k=1

(ak cos kx + bk sen kx)

donde a0, ak, bk son constantes y n ∈ N ∖ 0.

AGRADECIMIENTOS

La presente hoja de ejercicios fue propuesta enteramente por el matemático Diego Vargas a quien agra-decemos su colaboración. Los ejercicios adicionales fueron elaborados durante el periodo 2018-B por losmatemáticos Carlos Ajila y Leonardo Montoya.




HOJA DE EJERCICIOS NO. 2NÚMEROS COMPLEJOS


Ejercicios CP: 1, 3a, 5, 6a, 7, 10, 14, 15, 18, 19, (21)

1. Calcular:2 + 5i3 + 4i

.

Respuesta: 2+5i3+4i =

2625 +

725 i.

2. Calcular:(5 − 3i)(1 + i)

zdonde z = 1 − 2i.

Respuesta: (5−3i)(1+i)z = 12

5 − 1415 i.

3. Demuestre que las siguientes potencias de números complejos son iguales a 1:

i2344 , i−4.

4. Sean z1, z2 ∈ C dos números complejos de módulo 1. Demuestre que:

|z1 + z2| = 2 si y solo si z1 = z2.

5. Sean z1, z2 ∈ C, con z1 = 0, z2 = 0. Muestre que si |z1 + z2| = |z1 − z2| entonces el cociente z1z2

es unimaginario puro, es decir:

Rez1

z2= 0.

6. Utilice la fórmula de Moivre para demostrar:

sen (3x) = 3 cos2 (x) sen x − sen3 (x).

cos (3x) = cos3 (x)− 3 cos (x) sen2 (x).

7. Obtenga la forma polar o trigonométrica del número:

z =√

3 + i.

Respuesta: z = 2(cos (π/6) + i sen (π/6)).

8. Verifique que la forma polar del número:z = −4i,

está dada por: z = 4(cos ( 3π2 ) + i sen ( 3π

2 )).

9. Muestre que:

Re(

zz + w

)+ Re

(w

z + w

)= 1

para todo z, w ∈ C.

10. Dado el número complejo:

z =1 + i√

2

a) Calcule z2.


b) Encuentre las ocho soluciones de la ecuación z8 = 1.

c) Grafique estas soluciones en el plano complejo.

Respuesta: Professor Gilbert Strang’s Lecture: Complex Numbers Part Imaginary, but Really Simple

11. a) Escriba z = −2 + 3i en coordenadas polares.

b) Escriba z = 3ei π6 en coordenadas rectangulares.

c) Dibuje y etiquete el triángulo que relaciona las coordenadas rectangulares con las polares.

d) Calcule 1−2+3i en forma polar.

e) Encuentre la raíz cúbica de 1.

Respuesta: MIT OpenCourseWare: Complex Numbers and Euler’s Formula

12. Dado el número complejo:z = −1 + i/2

a) Encuentre el conjugado z.

b) Encuentre zz.

c) Encuentre z + z

d) Grafique cada resultado en el plano complejo.

Respuesta: Professor Gilbert Strang’s Lecture: Complex Numbers Part Imaginary, but Really Simple

13. Calcular el valor de: cos(3i).Respuesta: cos(3i) = cosh(3) ≈ 10, 06.

14. Calcular |z|, si

z =4i

−3 − 4i.

Respuesta: |z| = 45 .

15. Calcule la potencia del siguiente numero complejo:(12+

12

i)10

.

Respuesta:( 1

2 +12 i)10

= i32

16. Reduzca la siguiente fracción:(1 − i)10

(1 + i)3

Respuesta: (1−i)10

(1+i)3 = 8 − 8i

17. Dada la funciónf : −→

z 7−→ sen(z),

con z = x + yi, x, y ∈ R, determinar la parte real y la parte imaginaria de f (z).Respuesta: Re( f (z)) = sen(x) cosh(y) y Im( f (z)) = cos(x) sinh(y)

18. (Prueba 1, 2018-B) Encuentre la parte real e imaginaria del número:(4 − 4i2 + 2i

)7

+

(4 + 4i2 − 2i

)7

.

Respuesta: Re(z) = Im(z) = 0.


https://youtu.be/Jkv-55ndVYY?t=533

https://www.youtube.com/watch?v=sn3orkHWqUQ

https://youtu.be/Jkv-55ndVYY?t=1198

19. Hallar las soluciones de la ecuación:x5 + 1 = 0.

Respuesta: cos(π/5)+ i sen(π/5);− cos(2π/5)+ i sen(2π/5);−1;− cos(2π/5)− i sen(2π/5); cos(π)/5−i sen(π/5).

20. Sea z ∈ C. Probar que z ∈ R si y solo si z = z.

21. Sean z1 = r1eiθ1 , z2 = r2eiθ2 dos números complejos en su forma polar. Demostrar que:

z1 + z2 = r3eiθ3 ,

donder3 =

√r2

1 + r22 + 2r1r2 cos(θ1 − θ2)

y además

tan(θ3) =r1 sen(θ1) + r2 sen(θ2)

r1 cos(θ1) + r2 cos(θ2).


22. a) Demuestre que para todo número complejo z = 1 y para todo n ∈ N∗ se verifica la identidadn

∑k=0

zk =1 − zn+1

1 − z.

b) Usando el inciso anterior, demuestre la siguiente identidad trigonométrica, válida para 0 < θ < 2π

y para todo n ∈ N∗:

n

∑k=0

cos(kθ) =12+

sen((

n +12

)θ

)2 sen

(θ

2

) .

AGRADECIMIENTOS

Parte de la presente hoja de ejercicios se elaboró durante el periodo 2018-B gracias al valioso aporte delos matemáticos Carlos Ajila y Leonardo Montoya. Para la presente versión se incluyeron los aportes delmatemático Diego Vargas, y los ingenieros Edwin Bone y Jéssica Montenegro.




HOJA DE EJERCICIOS NO. 3SUCESIONES Y SERIES


Ejercicios CP: 1, 2a, 4, 5a, 5c, 5f, 7, (9b)

1. Verificar que si la sucesión xn converge hacia límite xn → 2, entonces la sucesión 2xn−13 converge

hacia el límite 2xn−13 → 1.

2. Determinar si las siguientes sucesiones, son convergentes o divergentes:

a)

(1+i)n

n

b) n

n+3i −in

n+1

3. Estudie la convergencia de cada una de las siguientes series. Si la serie es convergente, calcule su suma.

a)∞

∑n=1

2n + n2 + n2n+1n(n + 1)

.

b)∞

∑n=2

log((1 + 1/n)n(1 + n))log(nn) log((n + 1)n+1)

, donde log es la función logaritmo natural.

Respuesta: a) Convergente, serie telescópica y geométrica de suma S = 1. b) Convergente, serie telescó-pica de suma S = 1

2 log(2) .

4. (Prueba 1, 2018-B) Determine si la serie:∞

∑n=1

3n2 + 3n + 2

es convergente o divergente y si converge calcule su suma.Respuesta: a) Serie convergente (telescópica) de suma S = 1.

5. Determine si las series que se presentan a continuación son convergentes o divergentes.

a)∞

∑n=1

(n!)2

2n2

b)∞

∑n=1

3nn!nn

c)∞

∑n=1

(n1/n − 1)n

d)∞

∑i=2

ilog(i)

e)∞

∑i=1

1i2 + 1

f )∞

∑i=1

2i

i2

g)∞

∑i=1

(−1)n n3

3n

Respuesta: g) Cristigo: Como saber si una serie converge: Prueba del Cociente


https://youtu.be/DYe3j-TtG7s?t=191

6. Demuestre que para a = e, la serie :

∑mϵN

1m!

(ma

)n

es divergente.

7. Determine la expansión de McLaurin de las siguientes funciones:

a)sen : R −→ R

x 7−→ sen(x),

b)cos : R −→ R

x 7−→ cos(x),

c)ez : −→

z 7−→ ez .

y a partir de ellas verifique la fórmula de Euler, es decir, que para todo y ∈ R se satisface la relación:eiy = cos(y) + i sen(y).

8. Asuma que la siguiente expresión es verdadera:∞

∑n=1

cos(nx)n2 =

x2

4− πx

2+

π2

6si 0 ≤ x ≤ 2π,

(en el próximo capítulo, sobre series de Fourier, demostraremos esta expresión) y que la serie anteriorpuede integrarse término a término. Demuestre que

∞

∑n=1

1n2 =

π2

6y

∞

∑n=1

(−1)n+1

(2n − 1)3 =π3

32.

9. Verifique los siguientes desarrollos en serie de Taylor alrededor del punto x0 = 0, para los valores de xindicados.

a) sen3(x) =34

∞

∑n=1

(−1)n+1 32n − 1(2n + 1)!

x2n+1, para todo x ∈ R;

b) log√

1 + x1 − x

=∞

∑n=0

x2n+1

2n + 1, para |x| < 1; y

c)x

1 + x − 2x2 =13

∞

∑n=1

[1 − (−2)n]xn, para |x| < 1/2.

Para ello, puede asumir conocidos los desarrollos en serie de Taylor de sen(x) y cos(x) para x ∈ R ylog(1 − x) y 1/(1 − x) si |x| < 1.


10. Las siguientes sucesiónes definidas mediante su enésimo término xn como:

a) xn = 1n

b) xn = n+1n

c) xn = 2nn3+1

son todas convergentes y de límite L. Por tanto, para cada número ϵ positivo (fijo), existe otro númeroN ∈ Z+, tal que: |xn − L| < ϵ, si n ≥ N con n ∈ Z+. Determinar en cada caso el valor de N quecorresponde a los siguientes valores de ϵ: ϵ = 1; 0, 1; 0, 01.

11. Sea f : [0, 1] → R una función creciente y acotada. Para cada n ∈ N∗ se define

sn =1n

n−1

∑k=0

f(

kn

)y tn =

1n

n

∑k=1

f(

kn

).


a) Demostrar que, para todo n ∈ N∗,

sn ≤ˆ 1

0f (x) dx ≤ tn y 0 ≤

ˆ 1

0f (x) dx − sn ≤ f (1)− f (0)

n.

b) Demuestre que las sucesiones (sn) y (tn) ambas convergen y que

lımn→∞

sn = lımn→∞

tn =

ˆ 1

0f (x) dx.

12. Sea (an)n∈N una sucesión de números reales no negativos. Utilice el criterio de comparación para mos-trar que:

a) Si ∑ an converge, demuestre que la serie∞

∑n=1

√an

n

converge.

b) Si ∑ an diverge, demuestre que la serie∞

∑n=1

an

1 + an

también diverge.

13. Determine si la siguiente serie es convergente o divergente.∞

∑n=1

(1n− e−n2

)Respuesta: Serie convergente. Hint: Utilice el criterio de la integral.

14. a) Para cada n ∈ N∗ y cada x ∈ R, se define

fn(x) = nxe−nx2.

Demuestre que

lımn→∞

ˆ 1

0fn(x) dx =

ˆ 1

0lım

n→∞fn(x) dx.

b) Para cada n ∈ N∗ y cada x ∈ R, se define

fn(x) =sen(nx)

n2 .

Demuestre que existef (x) = lım

n→∞fn(x)

para todo x ∈ R, que fn y f son derivables en 0 para todo n ∈ N∗ y que

lımn→∞

f ′n(0) = f ′(0).

c) Qué conclusión puede obtener de los dos incisos anteriores?

AGRADECIMIENTOS

Parte de la presente hoja de ejercicios se elaboró durante el periodo 2018-B gracias al valioso aporte delos matemáticos Carlos Ajila y Leonardo Montoya. Para la presente versión se incluyeron los aportes delmatemático Diego Vargas, y los ingenieros Edwin Bone y Jéssica Montenegro.




HOJA DE EJERCICIOS NO. 4SERIES DE FOURIER


Ejercicios CP: 5, 8 // 12, 14, 16, (11a)

1. Dadas dos funciones f y g de I ⊆ R en R periódicas de periodo p > 0. Demostrar que el producto deestas funciones o cualquier combinación lineal de ellas, es también una función periódica de periodo p.

2. Si la función f : I ⊆ R → R es una función periódica de periodo p > 0, mostrar que para todo númeroentero n se cumple que:

f (x) = f (nx + p).

para todo x ∈ I. f y g de I ⊆ R en R periódicas de periodo p > 0.

3. Sea f una función continua por tramos, periódica de período 2p con p ∈ N. Muestre queˆ a+2p

af (x) dx =

ˆ b+2p

bf (x) dx.

4. Las funciones f : I ⊆ R → R y g : I ⊆ R → R con f (x) = sen(mπx/L) y g(x) cos(mπx/L) consti-tuyen una familia de funciones mutuamente ortogonales sobre el intervalo I = [−L, L]. Verificar (porintegración directa) las siguientes relaciones de ortogonalidad:

ˆ L

−Lcos

(mπxL

)cos

(nπxL

)dx =

L si m = n,

0 si m = n;ˆ L

−Lcos

(mπxL

)sen

(nπxL

)dx = 0 para todo m, n;

ˆ L

−Lsen

(mπxL

)sen

(nπxL

)dx =

L si m = n,

0 si m = n.

5. Dada la función f : [0, 2π[→ R con f (x) = x, determine la descomposición en series de Fourier de:

a) La extensión impar de f , dada por:

fimpar : ]− 2π, 2π[ −→ R

x 7−→ x

b) La extensión par de f , dada por:

fpar : ]− 2π, 2π[ −→ R

x 7−→ |x|

c) La función f .

Esboce en todos los casos la función y su respectiva extensión periódica.

6. Dada la función:f : (−π, π) −→ R

x 7−→ eax

con a = 0, determine la expansión en series de Fourier de:


a) La función f .

b) La extensión impar de f : (0, π) → R.

c) La extensión par de f : (0, π) → R.

7. A partir de la función f : [0, 2π[→ R definida por f (x) = π−x2 , determine la representación en series de

Fourier de:

a) La función f .

b) La extensión impar de f .

c) La extensión par de f

8. (Prueba 1, Examen 1, 2018-B) Encuentre la expansión en series de Fourier de la función que se muestraen la figura 1.

II I I6 7 8 9 10

1

Figura 1: Ejercicio 8

Utilice:´

x cos(kx)dx = x sen(kx)k + cos(kx)

k2 + C, donde k, C ∈ R

9. Descomponer en una serie de Fourier de cosenos la función f :]0, π[→ R definida por:

f (x) =

1 si 0 < x ≤ h

0 si h < x < π,

donde 0 < h < π.

10. Dada la función f : [0, π] → R con f (x) = 1, y x ∈ [0, π]:

a) Determine la expansión en series de Fourier de f .

b) Descomponer f en una serie de (Fourier en términos de) senos.

c) Descomponer f en una serie de (Fourier de) cosenos.

11. (Prueba 1, 2018-B) En cada uno de los siguientes casos, la serie de Fourier correspondiente convergehacia f (x) en todos los puntos en donde la función f es continua. Realice el gráfico para cada caso ydetermine:

a) La serie de Fourier de senos de la función:

f : ]0, π[ −→ R

x 7−→ f (x) = cos(x).

b) La serie de Fourier de cosenos de la función:

f : ]0, π[ −→ R

x 7−→ f (x) = | cos(x)|.


12. (Examen 1, 2018-B) A partir del desarrollo en series de Fourier de cosenos de la función f definida por:

f : [0, π] −→ R

x 7−→ x2,

calcule la suma de la serie:∞

∑n=1

(−1)n

n2 .

Hint: Halle el desarrollo en series de Fourier de cosenos de f (es decir, de la extensión par de f ), y luegoevalúe f (x = 0).

13. (Examen Final, 2018-B) Hallar el desarrollo en series de Fourier de la función que se muestra en lafigura:

1

2

1 2 3 4 5 6x

y

14. (Examen Remedial, 2018-B) Considere la función f , definida por:

f (x) =

√x, si 0 < x < 1,

−√

2 − x, si 1 < x < 2

y que se muestra en la figura. Determine los coeficientes a0, am y bm de la respresentación en Series deFourier de la extensión periódica de:

a) La función f utilizando CAMBIO DE INTERVALO.

b) La EXTESIÓN PAR de f .

c) La EXTESIÓN IMPAR de f .

d) La serie de Fourier de COSENOS de f : [0, 1] → R

En cada caso esboce la (extensión periódica de la) función y determine su período. Importante: Planteelas integrales asociadas a cada problema y no las resuelva.


15. En este ejercicio probaremos la convergencia y hallaremos la suma de la serie∞

∑n=0

1n2 .

a) Encuentre la expansión en serie de Fourier de la función

f : [0, 2] −→ R

x 7−→ x2 .

b) Redefina la función f de tal manera que sea períodica con período 2.

c) Utilice el teorema de convergencia de series de Fourier para calcular el valor al que converge laserie para x = 0.

d) Concluya el valor de la suma∞

∑n=0

1n2 .

16. (Examen Remedial, 2018-B) Los coeficientes de la Serie de Fourier de la función f , definida por:

f (x) =

0, si − L < x < 0,

L, si 0 < x < L

son: a0 = L, am = 0 y bm =

0, si m par,2Lmπ , si m impar

. Determine una aproximación de:

∞

∑n=1

12n − 1

sen(2n − 1)π

Lx


17. Sea p ∈ N, pruebe que las funciones

1, cos(

πxp

), sen

(πxp

), cos

(2πx

p

), sen

(2πx

p

), . . .

son ortogonales en el intervalo [−p, p].

18. Sea f : [−π, π] → R una función par continua a trozos con desarrollo en serie de Fourier

a0

2+

∞

∑k=1

[ak cos(kx) + bk sen(kx)].

Asuma que

f(π

2+ x)+ f

(π

2− x)= 0, 0 < π < x.

Demuestre quea2k = 0, k = 1, 2, . . .

y encuentre una expresión para a2k+1, con k = 0, 2, . . . .

19. Sea f : [−π, π] → R una función continua a trozos con desarrollo en serie de Fourier

f (x) =a0

2+

∞

∑k=1

[ak cos(kx) + bk sen(kx)], −π < x < π.

Demuestre que1π

ˆ π

−π| f (x)|2 dx =

a20

2+

∞

∑k=1

(a2k + b2

k).

Esta igualdad se conoce como la identidad de Parseval.


20. Sea f : [−π, π] → R una función continua a trozos. Demuestre que las sucesiones ak y bk, queaparecen en el desarrollo en serie de Fourier

f (x) =a0

2+

∞

∑k=1

[ak cos(kx) + bk sen(kx)], −π < x < π,

ambas convergen hacia 0.

AGRADECIMIENTOS

Parte de la presente hoja de ejercicios se elaboró durante el periodo 2018-B gracias al valioso aporte delos matemáticos Carlos Ajila y Leonardo Montoya.




HOJA DE EJERCICIOS NO. 5INTEGRALES DE FOURIER


Ejercicios CP: 9, 10, 11, 14, (7)

1. Dada la función f definida por:

f (x) =

x, si 0 < x < 2,

0, si x > 2,

determine:

a) La representación en integrales de Fourier de f .

b) La representación en integrales de Fourier seno de f .

c) La representación en integrales de Fourier coseno de f .

d) Estime la integral impropia:ˆ ∞

0

(2 sen(2w)

w+

cos(2w)− 1w2

)cos(wx)dw

Respuesta:

a) La representación en integrales de Fourier de la función está dada por:

f (x) =ˆ ∞

0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)]dw

de donde:

A(w) =1π

ˆ ∞

−∞f (v) cos(wv)dv

B(w) =1π

ˆ ∞

−∞f (v) sen(wv)dv

por tanto, la función A(w) se determina por:

A(w) =1π

ˆ ∞

−∞f (v) cos(wv)dv =

1π

ˆ 2

0f (v) cos(wv)dv =

1π

ˆ 2

0v cos(wv)dv

de donde la integral es igual a:ˆ 2

0x cos(wx)dx =

cos(wx)w2

∣∣∣20+ x

sen(wx)w

∣∣∣20=

2 sen(2w)

w+

cos(2w)− 1w2 (1)

Finalmente,

A(w) =1π

[2 sen(2w)

w+

cos(2w)− 1w2

].

Por otro lado B(w) se determina por:

B(w) =1π

ˆ ∞

−∞f (v) sen(wv)dv =

1π

ˆ 2

0f (v) sen(wv)dv =

1π

ˆ 2

0v sen(wv)dv

de donde la integral es igual a:ˆ 2

0x sen(wx)dx =

sen(wx)w2

∣∣∣20− x cos(wx)

w

∣∣∣20=

sen(2w)

w2 − 2 cos(2w)

w(2)


Finalmente,

B(w) =1π

[sen(2w)

w2 − 2 cos(2w)

w

].

Por tanto, la representación en integrales de Fourier de f (x) está dada por:

f (x) =1π

ˆ ∞

0

[(2 sen(2w)

w+

cos(2w)− 1w2

)cos(wx) +

(sen(2w)

w2 − 2 cos(2w)

w

)sen(wx)

]dw.

b) Determinar la representación en integrales de Fourier seno de f significa (en este caso, dado que fno es impar) obtener la representación en integrales de Fourier de la extensión impar de f , la cualestá dada por:

F(x) =

x, si − 2 < x < 2,

0, si |x| > 2,

Como F(v) es impar y cos(wv) es par en el intervalo ]− 2, 2[, entonces:

A(w) =1π

ˆ ∞

−∞F(v) cos(wv)dv =

1π

ˆ 2

−2F(v) cos(wv)dv = 0.

Por otro lado,

B(w) =1π

ˆ ∞

−∞F(v) sen(wv)dv =

1π

ˆ 2

−2F(v) sen(wv)dv.

como F(v) y sen(wv) son impares,

B(w) =1π

ˆ 2

−2F(v) sen(wv)dv =

2π

ˆ 2

0F(v) sen(wv)dv =

2π

ˆ 2

0v sen(wv)dv.

En donde podemos utilizar el resultado obtenido en el literal anterior para la integral (2) es decir:

B(w) =2π

ˆ 2

0v sen(wv)dv =

2π

(sen(2w)

w2 − 2 cos(2w)

w

)Finalmente,

F(x) =ˆ ∞

0B(w) sen(wx)dw

F(x) =2π

ˆ ∞

0

(sen(2w)

w2 − 2 cos(2w)

w

)sen(wx)dw

c) Determinar la representación en integrales de Fourier coseno de f significa (en este caso, ya que fno es par) obtener la representación en integrales de Fourier de la extensión par de f dada por:

G(x) =

x, si 0 < x < 2,

−x, si − 2 < x < 0,

0, si |x| > 2,

Como G(v) es par y sen(wv) es impar en el intervalo ]− 2, 2[, entonces:

B(w) =1π

ˆ ∞

−∞G(v) sen(wv)dv =

1π

ˆ 2

−2G(v) sen(wv)dv = 0.

Además como G(v) y cos(wv) son pares

A(w) =1π

ˆ ∞

−∞G(v) cos(wv)dv =

1π

ˆ 2

−2G(v) cos(wv)dv =

2π

ˆ 2

0G(v) cos(wv)dv.

de donde,

A(w) =2π

ˆ 2

0G(v) cos(wv)dv =

2π

ˆ 2

0v cos(wv)dv.


En donde podemos utilizar el resultado obtenido en el literal anterior para la integral (1) es decir:

A(w) =2π

ˆ 2

0v cos(wv)dv =

2π

(2 sen(2w)

w+

cos(2w)− 1w2

)Finalmente,

G(x) =ˆ ∞

0A(w) cos(wx)dw

G(x) =2π

ˆ ∞

0

(2 sen(2w)

w+

cos(2w)− 1w2

)cos(wx)dw

d) La integral impropia ˆ ∞

0

(2 sen(2w)

w+

cos(2w)− 1w2

)cos(wx)dw

puede estimarse a partir de la representación en integrales de Fourier de G(x) obtenida en el úl-timo literal. Por el teorema de convergiencia y existencia de la integral de Fourier, la integral va aconverger a x en [0, 2], a G(2+)+G(2−)

2 en x = 2 y a 0 para x > 2 entonces,

ˆ ∞

0

(2 sen(2w)

w+

cos(2w)− 1w2

)cos(wx)dw =

π2 x, si 0 < x < 2,π2 , si x = 2,

0, si x > 2.

2. Determine la representación en integrales de Fourier de la función definida por:

f (x) =

e−x si x > 0,

0 si x < 0.


f (x) =

e−x si x > 0,

ex si x < 0.


f (x) =

1 − |x| si |x| ≤ 1,

0 de otro modo.


f (x) =

0 si x < 0,12 si x = 0,

e−x si x > 0.

6. (Examen Remedial, 2018-B) Determine la representación en Integrales de Fourier de:

f (x) =

0 si |x| > 0,

1 si |x| < 0.

y a partir de ella encuentre una estimación para:ˆ ∞

0

cos (wx) sen (w)

wdw


7. Demostrar que:

1π

ˆ ∞

0

sen(w)

wcos(wx) dw =

12 si 0 ≤ x < 1,14 si x = 1,

0 si x > 1.

8. Demostrar que:

1π

ˆ ∞

0

sen(wπ)

1 − w2 sen(wx) dw =

12 sen(x) si x < π

0 si x > π.

9. (Examen 1, 2018-B) Determine la representación en integral de Fourier de la función:

f (x) =

0, si − ∞ < x ≤ −π,

−1, si − π < x ≤ 0,

1, si 0 < x ≤ π,

0, si π < x ≤ ∞,

y a partir de esta, evalúe la integral impropia:ˆ ∞

0

1 − cos(wπ)

wsen(wx)dw.

(2.5pt)

10. (Examen 1, 2018-B) Utilice la representación en integral de Fourier de senos de la función:

f (x) = e−x sen(x), x > 0

para evaluar la integral impropia: ˆ ∞

0

w sen(π2 w)

w4 + 4dw.

11. Represente mediante una integral de Fourier del tipo

1π

ˆ ∞

0A(w) cos(wx) dw

la función:

f (x) =

x si 0 < x < 1,

2 − x si 1 < x < 2,

0 si x > 2.

12. Demuestre la siguiente identidad:

ˆ ∞

0

sen(πw) sen(wx)1 − w2 =

π2 sen(x) si 0 ≤ x ≤ π

0 si x > π.

13. a) Utilizando las representación en serie de Fourier de coseno y seno de la función f (x) = e−kx, conx > 0 y k > 0, demuestre que:

ˆ ∞

0

cos(wx)k2 + w2 dw =

π

2ke−kx y

ˆ ∞

0

w sen(wx)k2 + w2 dw =

π

2e−kx, x > 0, k > 0.

Estas integrales se conocen como integrales de Laplace.

b) Usando el inciso anterior, encuentre la representación de la función f (x) = 1/(1 + x2), definidapara x > 0, en serie de Fourier de coseno.


14. El objetivo de este ejercicio es calcular el valor de la integral:

I =ˆ ∞

0

t3 sen(t)t4 + 4

dt.

Para ello, realice lo siguiente:

a) Considere la función f :]0,+∞[→ R definida para cada x > 0 por:

f (x) = e−x cos(x).

Demuestre que la extensión impar de f es absolutamente integrable, continua por tramos en cadaintervalo acotado y que admite derivadas laterales en cada punto.

b) Del inciso anterior concluya que f puede ser representada por una integral de Fourier de senos.Calcule esta representación.

c) Usando el inciso anterior, calcule el valor de la integral I.


15. Sea f : R → R una función par con representación en integral de Fourier de coseno

f (x) =ˆ ∞

0A(w)cos(wx) dw, donde A(w) =

2π

ˆ ∞

0f (v) cos(wv) dv.

a) Demuestre que, para todo a > 0 y para todo x > 0, se verifica la identidad de cambio de escala:

f (ax) =1a

ˆ ∞

0A(w

a

)cos(wx) dw.

b) Demuestre que para todo x > 0 se verifica

x f (x) = −ˆ ∞

0A′(w) sen(wx) dw,

donde A′ es la primera derivada de la función A.

c) Demuestre que para todo x > 0 se verifica

x2 f (x) = −ˆ ∞

0A′′(w) cos(wx) dw,

donde A′′ es la segunda derivada de la función A.

d) Proponga fórmulas similares para la transformada de Fourier de senos de una función impar f ydemuéstrelas.

16. Considere las funciones f , g :]0,+∞[→ R y g :]0,+∞[→ R definidas por

f (x) =

1 si 0 < x < 1,

0 si x > 1,y g(x) =

x2 si 0 < x < 1,

0 si x > 1,

a) Represente a f mediante una integral de Fourier de cosenos.

b) Sin calcular ninguna integral, y utilizando la representación de f como integral de Fourier de cose-nos, encuentre la representación de g como integral de Fourier de cosenos.

c) Compruebe el resultado anterior calculando mediante definición la representación de g como inte-gral de Fourier de cosenos.

17. Sea f : R → R una función absolutamente integrable, derivable con continuidad, con representacióncomo integral de Fourier

f (x) =ˆ ∞

0[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw, x ∈ R.


a) Si f ′ también admite una representación como integral de Fourier, demuestre que

f ′(x) =ˆ ∞

0w[B(w) cos(wx)− A(w) sen(wx)] dw.

b) Asuma que f es dos veces derivable con continuidad y que f ′′ admite una representación comointegral de Fourier. Demuestre que

f ′′(x) = −ˆ ∞

0w2[A(w) cos(wx) + B(w) sen(wx)] dw

AGRADECIMIENTOS

Parte de la presente hoja de ejercicios se elaboró durante el periodo 2018-B gracias al valioso aporte deCarlos Ajila y Leonardo Montoya.




HOJA DE EJERCICIOS NO. 6TRANSFORMADA DE FOURIER


Ejercicios CP: 1, 2, 4, 9 // 10, 11, 13, (19)

1. Determinar la transformada de Fourier de la función f : [−1, 1] → R con f (x) = x.

Respuesta: F ( f ) = −i√

2π

[ sen w−w cos ww2

]2. Determinar la transformada de Fourier de la función:

f (t) =

1, si |t| < a,

0, si |t| > a.

Respuesta: F ( f ) = 1√2π

2 sen(wa)w

3. Determinar la transformada de Fourier de la función:

f (t) =

−1, si − 1 < t < 0,

1, si 0 < t < 1,

0, si |t| > 1.

Respuesta: A partir de la definición de transformada de Fourier:

F ( f (t)) =1√2π

ˆ ∞

−∞f (t)e−iwtdt,

F ( f (t)) =1√2π

[ˆ −1

−∞f (t)e−iwtdt +

ˆ 0

−1f (t)e−iwtdt +

ˆ 1

0f (t)e−iwtdt +

ˆ ∞

1f (t)e−iwtdt

],

F ( f (t)) =1√2π

[ˆ −1

−∞(0)e−iwtdt +

ˆ 0

−1(−1)e−iwtdt +

ˆ 1

0(1)e−iwtdt +

ˆ ∞

1(0)e−iwtdt

],

F ( f (t)) =1√2π

[−ˆ 0

−1e−iwtdt +

ˆ 1

0e−iwtdt

],

F ( f (t)) =1√2π

[− e−iwt

(−iw)

∣∣∣0−1

+e−iwt

(−iw)

∣∣∣10

]=

1√2π

[2

iw+

2 sen ww

].

4. Halle la transformada de Fourier de la función definida por:

f (x) =

ex si |x| < a

0 si |x| > a.

Respuesta: f (w) =e2a − e2aiw

√2π(1 − wi)ea(1+wi)

.

5. Halle la transformada de Fourier de la función definida por:

f (x) =

0 si x < 0

e−ax si x > 0.

Respuesta: f (w) =a − iw√

2π(a2 + w2)


6. Determinar la transformada de Fourier seno de f (x) = e−|x| y a partir de la transformada seno inversa(de fs(w)) evaluar la integral impropia:

ˆ ∞

0

x sen(mx)1 + x2 dx, m > 0

Respuesta: fs(w) =√

2π

w1+w2 ,

´ ∞0

x sen(mx)1+x2 dw = π

2 e−m.

7. Determinar la transformada de Fourier de:

f (t) =

e−(1+i)t, si t > 0,

0, si t < 0.

y a partir de este resultado, demostrar que:

F−1(

1√2π

11 + i(w + 1)

)=

e−(1+i)t, si t > 0,

0, si t < 0,

1/2, si t = 0,


[1

1+i(w+1)

].

8. Determine:F−1

( 1 + iw6 − w2 + 5iw

)Hint: Separe en fracciones parciales y utilice la tabla de transformadas inversas.

9. (Examen Remedial, 2018-B) Sea f : I ⊆ R → R una función continua por tramos y absolutamenteintegrable en I, y es tal que lım|t|→∞ f (t) = 0 y f ′(t) es también continua por tramos en I. A partir de ladefinición de transformada de Fourier demuestre que:

F

f ′(t)= iwF f (t) .

10. Determinar la transformada de Fourier del pulso triangular:

f (t) =

2t, si 0 < t < 1,

3 − t, si 1 < t < 3,

0, en otros casos.


[2−3e−iw+e−3iw

(iw)2

].

a) A partir de la definición de transformada de Fourier.

b) A partir de la transformada de Fourier de la segunda derivada de f (t).Para esto considere los siguientes resultados, definiciones y siga el siguiente procedimiento: Hallela primera derivada de f (t) y exprese el resultado a través de la función escalón unitario definidacomo:

u(t − a) =

1, si t > a,

0, si t < a.

donde a ∈ R . Derive f ′(t) y exprese dicho resultado a través de la “función” impulso δ(t), teniendoen cuenta que:

u′(t − a) = δ(t − a), a ∈ R.

La función impulso se define como:

δ(t − a) =

∞, si t = a,

0, si t = a,a ∈ R.


Finalmente, halle la transformada de Fourier de f ”(t). Utilice el hecho de que para esta función esválida la propiedad:

F ( f ′′) = (iw)2F ( f ),

y que la transformada de Fourier de la función impulso está definida como:

F (δ(t − a)) =1√2π

e−aiw

para determinar F ( f ).Observación: Una función del tipo impulso rectangular, puede expresarse a través de una combi-nación de funciones escalón unitario. Considere por ejemplo, la función:

g(t) =

2, si 2 < t < 3,

0, en en otros casos.

Esta puede expresarse como:g(t) = 2 [u(t − 2)− u(t − 3)] .

Respuesta:

a) A partir de la definición de transformada de Fourier:

F ( f (t)) =1√2π

ˆ ∞

−∞f (t)e−iwtdt,

F ( f (t)) =1√2π

[ˆ 0

−∞f (t)e−iwtdt +

ˆ 1

0f (t)e−iwtdt +

ˆ 3

1f (t)e−iwtdt +

ˆ ∞

3f (t)e−iwtdt

],

F ( f (t)) =1√2π

[ˆ 0

−∞(0)e−iwtdt +

ˆ 1

0(2t)e−iwtdt +

ˆ 3

1(3 − t)e−iwtdt +

ˆ ∞

3(0)e−iwtdt

],

F ( f (t)) =1√2π

[ˆ 1

0(2t)e−iwtdt +

ˆ 3

1(3 − t)e−iwtdt

],

F ( f (t)) =1√2π

[2 − 3e−iw + e−3iw

(iw)2

].

b) La primera derivada de f (t) está dada por:

f ′(t) =

2, si 0 < t < 1,

−1, si 1 < t < 3,

0, en otros casos.

La cual puede escribirse como una combinación lineal de funciones escalón unitario u(t) como:

f ′(t) = 2[u(t)− u(t − 1)] + (−1)[u(t − 1)− u(t − 3)],

Simplificando, la última expresión tenemos:

f ′(t) = 2u(t)− 3u(t − 1) + u(t − 3).

Derivando la expresión anterior tenemos que:

f ′′(t) = 2u′(t)− 3u′(t − 1) + u′(t − 3).

y como, u′(t − a) = δ(t − a), entonces:

f ′′(t) = 2δ(t)− 3δ(t − 1) + δ(t − 3).


Aplicando la transformada de Fourier a la última ecuación tenemos:

F ( f ′′(t)) = 2F (δ(t))− 3F (δ(t − 1)) +F (δ(t − 3)).

y como la transformada de la función impulso se define por:

F (δ(t − a)) =1√2π

e−aiw

entonces:F ( f ′′(t)) =

1√2π

[2 − 3e−iw + e−3iw

].

Además, haciendo uso de la propiedad: F ( f ′′) = (iw)2F ( f ), tenemos que:

(iw)2F ( f ) =1√2π

[2 − 3e−iw + e−3iw

].

de donde, finalmente,

F ( f ) =1√2π

[2 − 3e−iw + e−3iw

(iw)2

].

11. (Examen Remedial, 2018-B) Determine la transformada de Fourier de la función:

f (t) =

5, si 3 ≤ t ≤ 11,

0, en otro caso .

a) A partir de la definición de transformada de Fourier.

b) A partir de la transformada de Fourier de la primera derivada de f (t).


[e−3iw−e−11iw

iw

].

12. Dados a, b > 0, se define la función pulso rectangular de altura b por:

f (x) =

0 si x < −a,

b si − a < x < a,

0 si a < x.

Halle su transformada de Fourier a partir de la definición y a partir de la transformada de f ′.Respuesta: Calcularemos primero la transformada de la función de pulso rectangular unitario f1(x),esto es cuando b = 1, es decir f1(x) = f (x)|b=1. De la definición de transformada de Fourier tenemos

f1(w) =1√2π

ˆ ∞

−∞f1(x)e−iwx dx

=1√2π

ˆ a

−ae−iwx dx

= − 1iw

√2π

(e−iwa − eiwa

)= − 1

iw√

2π

(eiwa − eiwa

)=

1iw

√2π

2i sen(wa)

=2 sen(wa)

w√

2π

Notemos ahora que cualquier función pulso rectangular de altura b es de la forma b f1. Luego, utilizandola linealidad de la transformada de Fourier, tenemos:

F [b f1(x)] = bF [ f1(x)] = b2 sen(wa)

w√

2π=

2b sen(wa)w√

2π.


Por otro lado, f (x) puede ser expresado a través de la función escalón unitario como:

f (x) = b[u(x + a)− u(x − a)]

Cuya derivada está dada por:f ′(x) = b[δ(x + a)− δ(x − a)]

Aplicando la transformada de Fourier sobre la última expresión tenemos:

F ( f ′(x)) = b[F (δ(x + a))−F (δ(x − a))]

de donde:F ( f ′(x)) = − b√

2π

(e−iwa − eiwa

)F ( f ′(x)) =

b√2π

2i sen(wa)

además como F ( f ′(x)) = iwF ( f (x)), tenemos que:

F ( f (x)) =2b

w√

2πsen(wa)

13. (Prueba 2, 2018-B) Determine la transformada de Fourier de la función definida por:

f (t) =

0, si t < −2,

−t − 2, si − 2 ≤ t < −1,

t, si − 1 ≤ t ≤ 1,

2 − t, si 1 < t ≤ 2,

0, si t > 2,

A partir de:

a) La definición de transformada de Fourier.

b) La transformada de Fourier de la segunda derivada de f (t).

14. Evalúe, para cada x ∈ R la integral

g(x) =ˆ ∞

−∞

sen(y)y

sen(x − y)x − y

dy

Respuesta: g(x) =

π sen(x)

x si x = 0,

π si x = 0.


15. Demostrar que la transformada de Fourier de la función f (x) = e−x2

2 es auto recíproca, Es decir, que la

transformada de Fourier de e−x2

2 está dada por e−w2

2 , y viceversa.

16. La función f : R → definida porf (x) = eix2

para cada x ∈ R se conoce como función de Fresnel. Asumiendo su existencia, encuentre la transformadade Fourier de la función de Fresnel.

Respuesta: F ( f )(w) =1 + i

2e−w2/4.

17. Dadas dos variables aleatorias continuas independientes X e Y, con funciones de densidad fX y fY, se


sabe que la función de densidad fX+Y de la variable aleatoria X + Y está dada por

fX+Y(x) = ( fX ∗ fY)(x),

para todo x ∈ R. La función de densidad de una variable aleatoria que sigue una distribución normalX ∼ N (µ, σ2) está dada por

fµ,σ(x) =1√2πσ

e−(x−µ)2

2σ2 .

Sean X, Y variables aleatorias independientes tales que X ∼ N (µ1, σ21 ) y Y ∼ N (µ2, σ2

2 ). Demuestre queX + Y ∼ N (µ1 + µ2, σ2

1 + σ22 ).

18. Usando la definición de transformada de Fourier, pruebe las siguientes propiedades. Recuerde que lassiguientes notaciones son equivalentes: F ( f ) = F ( f (t)) = F ( f (t))(w) = F ( f )(w) = f (w)

a) F ( f (t − t0)) = F ( f )e−iwt0

b) F ( f (t)eiw0t) = f (w − w0)

c) F ( f (αt)) = 1|α| f

(wα

)d) F (F ( f )) = f (−w)

19. Pruebe que F (e−|t|) = 1√2π

21+w2 . Luego utilice las propiedades de la transformada de Fourier (del ejer-

cicio anterior) para determinar: F (e−|at|) y finalmente, utilice este resultado para determinar F (e|3t|).Respuesta: F (e|at|) = 1√

2π

2|a|a2+w2 , F (e|3t|) = 1√

2π6

w2+9

20. Determinar F (e−atu(at)). Respuesta: F (e−atu(at)) = 1√2π

a|a|(a+wi)

AGRADECIMIENTOS





HOJA DE EJERCICIOS NO. 7CONCEPTOS BÁSICOS DE EDP’S


1. Teorema Fundamental: Si u1, u2, ..., un, son n funciones de Ω ⊆ Rn en R, son soluciones (linealmenteindependientes) de una EDP (de orden n) lineal y homogénea en Ω, entonces la combinación lineal deellas u, con:

u(x) = c1u1(x) + c2u2(x), ...,+cnun(x),

donde c1, c2, ...cn ∈ R, y x = (x1, x2, ..., xn) ∈ Ω ⊆ Rn también es solución (de esa EDP en Ω).Pruebe el teorema fundamental (por sustitución de u(x) donde x = (x1, x2) ∈ Ω ⊆ R2.) para una EDPde segundo orden (lineal y homogénea).

2. Verifique para cada uno de los siguientes casos (y para un valor de c ∈ R adecuado) que la funciónu : Ω ⊆ R2 → R con:

a) u(x, t) = x2 + t2,

b) u(x, t) = cos(4t) sen(2x),

c) u(x, t) = sen(kct) cos(kx),

d) u(x, t) = sen(at) sen(bx),

satisface la ecuación de la onda unidimensional:

∂2u∂t2 = c2 ∂2u

∂x2 .

3. Verifique que u : Ω ⊆ R2 → R con u(x, t) = v(x + ct) + w(x + ct) donde v y w son funciones al menosdos veces diferenciales y c ∈ R, satisface la ecuación de la onda en una dimensión.

4. Verifique para cada uno de los siguientes casos (y para un valor de c ∈ R adecuado) que la funciónu : Ω ⊆ R2 → R con:

a) u(x, t) = e−t sen(x),

b) u(x, t) = e−w2c2t cos(wx),

c) u(x, t) = e−9t sen(wx),

satisface la ecuación del calor unidimensional:

∂u∂t

= c2 ∂2u∂x2 .

5. Verifique para cada uno de los siguientes casos que la función u : Ω ⊆ R2 → R con:

a) u(x, y) = x2 − y2.

b) u(x, y) = ex cos y.

c) u(x, y) = ex sen y.

d) u(x, y) = ln(x2 + y2).

satisface la ecuación de Laplace en dos dimensiones:

∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 = 0.


6. Verifique que la función u : Ω ⊆ R2 → R con u(x, y) = a log10(x2 + y2) + b, con a, b ∈ R, satisfacela ecuación de Laplace en dos dimensiones. Determine a y b tales que satisfagan las condiciones defrontera: u = 110 en el circulo x2 + y2 = 1 y u = 0 en el circulo x2 + y2 = 100.Respuesta: a = −55, b = 110.




HOJA DE EJERCICIOS NO. 8ECUACIÓN DE LA ONDA UNIDIMENSIONAL


Ejercicios CP: 1, 7, 10

1. El siguiente problema describe las vibraciones transversales u(x, t) de una cuerda elástica de longitudL = π fija en ambos extremos, la cual ha sido desplazada de su posición de equilibrio levantándola ensu centro y luego soltada al tiempo t = 0 (su velocidad inicial es cero):

utt = 9uxx t > 0, 0 < x < π

u(0, t) = 0, u(π, t) = 0 t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x) ut(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π.

donde

f (x) =

x, 0 ≤ x ≤ π/2.

π − x, π/2 ≤ x ≤ π

Utilice el método de separación de variables para encontrar una expresión que describa las vibracionestransversales u(x, t) en todo punto x ∈ [0, π] de la cuerda y para todo tiempo t.Respuesta: Buscamos una solución de la forma:

u(x, t) = X(x)T(t) (1)

la cual al derivarutt = X(x)T′′(t)

uxx = X′′(x)T(t)

y reemplazar utt y uxx en nuestra EDP: utt = 9uxx, tenemos:

X(x)T′′(t) = 9X′′(x)T(t)

que se puede reescribir como:T′′(t)9T(t)

=X′′(x)X(x)

.

El lhs de la ecuación depende solamente de t y el rhs solamente de x, esto es posible si ambos son iguala una constante k (arbitraria), es decir:

T′′(t)9T(t)

=X′′(x)X(x)

= k.

de donde podemos obtener las EDO’s:

X′′(x)− kX(x) = 0 (2)

T′′(t)− 9kT(t) = 0. (3)

con las condiciones de frontera:

u(0, t) = X(0)T(t) = 0, X(0) = 0

u(π, t) = X(π)T(t) = 0, X(π) = 0


Como k es una constante arbitraria, esta puede ser positiva, negativa o incluso cero, y por tanto estolas soluciones de las ecuaciones (2) y (3) serán diferentes. Se puede demostrar que para valores de k > 0o k = 0 las soluciones de las ecuaciones (2) y (3) corresponden a la solución trivial u(x, t) = 0.

Para k < 0 y tomando k = −γ2 tenemos la ecuación:

X′′(x) + γ2X(x) = 0 (4)

con las condiciones de frontera que obtuvimos previamente:

X(0) = 0, X(π) = 0

Para resolverla, buscamos una solución de la forma:

X(x) = emx, (5)

que derivando y reemplazando X′(x) y X′′(x) en (4) tenemos:

m2emx + γ2emx = 0

emx(m2 + γ2) = 0

de donde:m = ±iγ.

Reemplazando m en (5),X(x) = e±iγx. (6)

Se puede verificar que la solución general de (4) está dada por:

X(x) = A cos(γx) + B sen(γx). (7)

Las constantes A y B se determinan a partir de las condiciones X(0) = 0 y X(π) = 0.

X(0) = A cos(γ0) + B sen(γ0) = 0, A = 0. (8)

X(π) = B sen(γπ) = 0. (9)

El sen(γπ) es 0 si el argumento γπ es igual a nπ para todo n = 0, 1, 2, 3, ... es decir:

γπ = nπ

y por tanto,γn = n, n = 0, 1, 2, 3, ...

Como X(x) = B sen(γx) y existen un infinito número de valores de γ, existen también un infinitonúmero de soluciones para la ecuación (4) (denotadas por el subíndice n), es decir:

Xn(x) = Bn sen(γnx)

reemplazando γn = n, tenemos:Xn(x) = Bn sen(nx). (10)

Como habíamos considerado k = −γ2, la ecuación (3) se convierte en:

T′′(t) + 9n2T(t) = 0. (11)

cuya resolucón es similar a la ecuación (4). Se puede verificar que la solución a (11) está dada por:

Tn(t) = Cn cos(3nt) + Dn cos(3nt) (12)

para n = 0, 1, 2, 3, .... Reemplazando las ecuaciones (10) y (12) en (1), tenemos:

un(x, t) = Bn sen(nx) [Cn cos(3nt) + Dn cos(3nt)] (13)


Por el teorema fundamental de superposición, la solución general está dada por:

u(x, t) =∞

∑n=1

cnun(x, t) =∞

∑n=1

cn[Bn sen(nx) [Cn cos(3nt) + Dn cos(3nt)]

](14)

o simplemente por:

u(x, t) =∞

∑n=1

sen(nx) [A∗n cos(3nt) + B∗

n cos(3nt)] (15)

donde, para determinar los coeficientes A∗n y B∗

n utilizamos las condiciones iniciales: u(x, 0) = f (x) yut(x, 0) = 0, y se puede demostrar que estas están dadas por:

A∗n =

2π

ˆ π

0f (x) sen(nx)dx =

2π

ˆ π/2

0x sen(nx)dx +

2π

ˆ π

π/2(π − x) sen(nx)dx =

4πn2 sen(

nπ

2)

B∗n =

2nπ

ˆ π

0ut(x, 0) sen(nx)dx = 0

por tanto:

u(x, t) =∞

∑n=1,3,5,...

4πn2 sen(

nπ

2) sen(nx) cos(3nt)

o

u(x, t) =4π

∞

∑k=1

(−1)2k−1

(2k − 1)2 sen((2k − 1)π

2

)sen((2k − 1)x) cos(3(2k − 1)t).

2. Resuelva el problema de la onda unidimensional:utt = 4uxx t > 0, 0 < x < 5,

u(0, t) = 0, u(5, t) = 0 t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x) ut(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ 5.

con f (x) = 4 sen(πx)− sen(2πx)− 3 sen(5πx).Respuesta: u(x, t) = 4 cos(2πt) sen(πx)− cos(4πt) sen(2πx)− 3 cos(10πt) sen(5πx).

3. Resuelva el problema de la onda unidimensional:utt = 4uxx t > 0, 0 < x < 5

u(0, t) = 0, u(5, t) = 0 t ≥ 0,

u(x, 0) = 0 ut(x, 0) = 4 0 ≤ x ≤ 5.

Respuesta: u(x, t) =∞

∑n=1

802(2n − 1)2π2 sen

2(2n − 1)πt5

sen(2n − 1)πx

5.

4. (Prueba 2, 2018-B) Considere una cuerda elástica de longitud L = 2π y c = 2 fija en ambos extremos, lacual ha sido desplazada de su posición de equilibrio y luego soltada. Si al tiempo t = 0, la posición dela cuerda puede ser descrita por la función:

f (x) = sen( x

2

)+

13

sen(

3x2

)+

15

sen(

5x2

),

y si la cuerda parte del reposo:

a) Plantee la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales que describen este proble-ma (asumiendo que la masa de la cuerda es despreciable, y que no existen fuerzas externas o derozamiento).

b) Utilice el método de separación de variables para encontrar una expresión que describa las vibra-ciones transversales u(x, t) que experimenta la cuerda, para todo t ≥ 0 y para 0 ≤ x ≤ L.


c) Determine explicítamente los términos no nulos de la serie infinita que define a u(x, t). Hint: Loscoeficientes de la serie pueden ser determinados directamente de las condiciones iniciales sin usarlas relaciones:

An =2L

ˆ L

0u(x, 0) sen(

nπxL

)dx, Bn =2

λnL

ˆ L

0ut(x, 0) sen(

nπxL

)dx, n = 1, 2, 3, ...

con λn = nπcL .

5. Encuentre una expresión que describa la vibración de una cuerda de longitud L fija en sus extremos queha sido sacada de su posición de equilibrio. Considere que la velocidad de todos sus puntos es cero altiempo t = 0 y que en ese mismo instante la cuerda tiene la forma de un triángulo con vértice en elpunto (h, a).

Respuesta: u(x, t) =∞

∑n=1

2L2ha(L − a)n2π2 sen

nπaL

sennπx

Lcos

nπctL

.

6. Resuelva la ecuación de la onda sujeta a las condiciones:

u(0, t) = 0; u(L, t) = 0;

u(x, 0) = 0;∂u∂t

(x, 0) = sen(x).

Respuesta: u(x, t) =2L sen L

c

∞

∑n=1

(−1)n

L2 − π2n2 sennπx

Lsen

nπctL

.

7. Hallar la función u(x, t), con x ∈ [0, L] y t > 0, que resuelve la ecuación de la onda unidimensional:

∂2u∂t2 = c2 ∂2u

∂x2

y satisface las condiciones de frontera e iniciales:u(0, t) = u(L, t) = 0,

u(x, 0) = x(L − x),

ut(x, 0) = 0.

Respuesta: Usando el método de separación de variables tenemos que la solución para este problemade valores de frontera está dada por

u(x, t) =∞

∑n=1

[sen

(nπxL

)(An sen

(ncπt

L

)+ Bn cos

(ncπt

L

))]donde

An =2

ncπ

ˆ L

00 · sen

(nπxL

)dx = 0 y Bn =

2L

ˆ L

0x(L − x) · sen

(nπxL

)dx.

Calculando Bn tenemos

Bn =2L· Lˆ L

0x sen

(nπxL

)dx − 2

L·ˆ L

0x2 sen

(nπxL

)dx,

= 2

(− xL

nπcos

(nπxL

) ∣∣L0 +

Lnπ

ˆ L

0cos

(nπxL

)dx

)− 2

L·ˆ L

0x2 sen

(nπxL

)dx,

= 2(− L2

nπcos(nπ) + 0

)− 2

L·ˆ L

0x2 sen

(nπxL

)dx,

=2L2

nπ(−1)n+1 − 2

L

(− x2L

nπcos

(nπxL

) ∣∣L0 +

2Lnπ

ˆ L

0x cos

(nπxL

)dx

),


=2L2

nπ(−1)n+1 − 2

L

[− L3

nπ(−1)n +

2Lnπ

(xLnπ

sen(nπx

L

) ∣∣L0 − L

nπ

ˆ L

0sen

(nπxL

)dx

)],

=2L2

nπ(−1)n+1 +

2L2

nπ(−1)n +

4nπ

(L2

n2π2 cos(nπx

L

) ∣∣L0

),

=4L2

n3π3 [(−1)n − 1].

De donde la función buscada es

u(x, t) =∞

∑n=1

[sen

(nπxL

)( 4L2

n3π3 [(−1)n − 1] cos(

ncπtL

))]u(x, t) =

4L2

π3

∞

∑n=1

[(−1)n − 1]n3 cos

(ncπt

L

)sen

(nπxL

).

8. Hallar la función u(x, t), con x ∈ [0, L] y t > 0, que resuelve la ecuación de la onda unidimensional:

∂2u∂t2 = c2 ∂2u

∂x2

y satisface las condiciones de frontera:

u(0, t) = u(2, t) = 0,

u(x, 0) =N

∑j=1

Aj sen(

jπx2

),

ut(x, 0) =N

∑j=1

Bj sen(

jπx2

).

Respuesta: u(x, t) =N

∑j=1

[2

ncπBn sen

(ncπt

2

)+ An cos

(ncπt

L

)]sen

(nπx2

).

9. Sean a, b ∈ R, f , g : I → R con I = [0, L] dos funciones y u : Ω → R donde Ω = [0, L] × [0,+∞[,donde L > 0. Considere el siguiente problema de valor en la frontera, asociado a la ecuación de la ondaunidimensional:

(P1)

∂2u∂t2 = c2 ∂2u

∂x2 (x, t) ∈ Ω,

u(0, t) = a t ≥ 0,

u(L, t) = b t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x) x ∈ [0, L],∂u∂t

(x, 0) = g(x) x ∈ [0, L].

a) (Examen Remedial, 2018-B) Demuestre que toda solución u del problema (P1) puede escribirse enla forma:

u(x, t) = w(x, t) + a +b − a

Lx, (x, t) ∈ Ω,

donde w : Ω → R es solución del problema (con condiciones de frontera homogéneas):

(P2)

∂2w∂t2 = c2 ∂2w

∂x2 (x, t) ∈ Ω,

w(0, t) = w(L, t) = 0 t ≥ 0,

w(x, 0) = f (x)− a − b − aL

x x ∈ [0, L],∂w∂t

(x, 0) = g(x) x ∈ [0, L].

b) Sea Ω = [0, π]× [0,+∞[. Use el inciso anterior para resolver el siguiente problema de valor en la


frontera:

∂2u∂t2 =

∂2u∂x2 (x, t) ∈ Ω,

u(0, t) = −3 t ≥ 0,

u(L, t) = 8 t ≥ 0,

u(x, 0) = sen(17x) x ∈ [0, π],∂u∂t

(x, 0) = 0 x ∈ [0, π].

Respuesta: u(x, t) = sen(17x) cos(17t)− 3 +11π

x +∞

∑k=1

2(3 + 8(−1)k)

kπsen(kx) cos(kt).

10. El objetivo de este ejercicio es el de resolver la ecuación de la onda unidimensional:

∂2u∂t2 = c2 ∂2u

∂x2 , 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0,

con condiciones de Neumann homogéneas:

∂u∂x

(0, t) =∂u∂x

(L, t) = 0, t ≥ 0,

y con condiciones iniciales:

u(x, 0) = f (x),∂u∂t

(x, 0) = 0, 0 ≤ x ≤ L,

donde f : [0, L] → R es una función conocida no nula. Nótese que a diferencia del problema usual, las

condiciones de frontera se encuentran sobre la derivada parcial∂u∂x

en lugar de sobre la función u. Para

esto, usaremos el método de separación de variables: Asumiremos que existen funciones X : [0, L] → R

y T : [0,+∞[→ R tales que, para todo (x, t) se cumple que:

u(x, t) = X(x)T(t).

a) Demuestre que existe una constante λ ∈ R tal que las funciones X y T son soluciones de las si-guientes ecuaciones diferenciales ordinarias con restricciones:

c2X′′(x)− λX(x) = 0, 0 ≤ x ≤ L,

X′(0) = X′(L) = 0,y

T′′(t)− λT(t) = 0, t ≥ 0,

T′(0) = 0.

b) Suponiendo que λ = 0, demuestre que X y T son funciones constantes.

c) Demuestre que no es posible que λ > 0.

d) Demuestre que si λ < 0, entonces existe k ∈ Z+ tal que

λ = − c2k2π2

L2 X(x) = C cos(

kπxL

)y T(t) = D cos

(ckπt

L

)para todo x ∈ [0, L] y t ≥ 0, donde C y D son constantes.

e) Demuestre que la solución u del problema de Neumann puede escribirse en la forma:

u(x, t) =a0

2+

∞

∑k=1

ak cos(

kπxL

)cos

(ckπt

L

),

donde para todo k ∈ N se tiene que:

ak =2L

ˆ L

0f (x) cos

(kπx

L

)dx.

f ) Use los incisos anteriores para resolver el siguiente problema de Neumann asociado a la ecuación


de la onda:

∂2u∂t2 = 4

∂2u∂x2 (x, t) ∈ [0, π]× [0,+∞[,

∂u∂x

(0, t) =∂u∂x

(π, t) = 0 t ≥ 0,

u(x, 0) = cos3(x) 0 ≤ x ≤ π,∂u∂t

(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π.

Respuesta:

a) Sustituyendo en la ecuación∂2u∂t2 = c2 ∂2u

∂x2

la solución u = XT se tiene queXT′′ = c2X′′T,

de donde, dividiendo para u = XT, se tiene que

T′′

T= c2 X′′

X.

El lado izquierdo de esta igualdad es una función que depende solamente de la variable t, mientrasque el derecho depende solamente de la variable x, por ende ambos términos deben ser iguales auna constante λ ∈ R, así

T′′

T= c2 X′′

X= λ.

Ahora, como T no puede ser idénticamente nula, se tiene que 0 =∂u∂x

(0, t) = X′(0)T(t), de donde

X′(0) = 0 y similarmente X′(L) = 0. De igual manera se tiene que T′(0) = 0. Con esto, se tienenlas siguientes EDOs con restricciones:

c2X′′(x)− λX(x) = 0, 0 ≤ x ≤ L,

X′(0) = X′(L) = 0,y

T′′(t)− λT(t) = 0, t ≥ 0,

T′(0) = 0.

b) Supongamos que λ = 0. Entonces se tiene que X′′ = 0 y que T′′ = 0. De la primera ecuación setiene que

X(x) = c1 + c2x,

de donde, X′(x) = c2 y dado que X′(0) = X′(L) = 0, se sigue que c2 = 0, por ende X(x) = c1,es decir, X es una función constante. Con el mismo razonamiento se tiene que T es también unafunción constante.

c) Supongamos que λ > 0, entonces se tiene que c2X′′ − λX = 0, de donde

X(x) = c1e√

λc x + c2e−

√λ

c x,

de donde

X′(x) =√

λ

c

(c1e

√λ

c x − c2e−√

λc x)

.

Dado que X′(0) = X′(L) = 0 se tiene que

c1 − c2 = 0 y c1e√

λc L − c2e−

√λ

c L = 0,

lo que implica que c1 = c2 = 0. Por ende X = 0 y así u = 0, lo que no es posible ya que f es nonula.

d) Supongamos que λ < 0. Entonces, la solución general de la EDO c2X′′ − λX = 0 es

X(x) = c1 cos

(√−λ

cx

)+ c2 sen

(√−λ

cx

),


de donde

X′(x) =√−λ

c

(−c1 sen

(√−λ

cx

)+ c2 cos

(√−λ

cx

)),

y como X′(0) = 0, se tiene que

0 = X′(0) =√−λ

cc2,

con lo cual c2 = 0. Así

X(x) = c1 cos

(√−λ

cx

)y X′(x) = −

√−λ

cc1 sen

(√−λ

cx

).

Ahora, necesitamos que c1 = 0 en orden de tener u = 0, por ende, de la condición

0 = X′(L) = −√−λ

cc1 sen

(√−λ

cL

),

se tiene que sen

(√−λ

cL

)= 0, lo que sucede solamente si existe k ∈ Z+ tal que

√−λ

cL = kπ,

de donde tenemos que, escribiendo C = c1,

λ = − c2k2π2

L2 y X(x) = C cos(

kπxL

).

Con este valor de λ, procedemos a resolver la EDO T′′ − λT = 0 con la condición inicial T′(0) = 0.La solución general de esta EDO es

T(t) = c1 cos(

ckπtL

)+ c2 sen

(ckπt

L

),

de donde, por la condición T′(0) = 0, se tiene que c2 = 0, así, escribiendo D = c1, se tiene que

T(t) = D cos(

ckπtL

).

e) Por los incisos b) y d) se tiene que la solución u se puede escribir en la forma

u(x, t) = A +∞

∑k=1

Ak cos(

kπxL

)cos

(ckπt

L

).

Escribiendo a0 = 2A y ak = Ak, se tiene que

u(x, t) =a0

2+

∞

∑k=1

ak cos(

kπxL

)cos

(ckπt

L

).

Ahora, como u(x, 0) = f (x), se tiene que

f (x) =a0

2+

∞

∑k=1

ak cos(

kπxL

),

por ende, los coeficientes ak son los coeficientes del desarrollo en serie de Fourier de coseno de fen el intervalo [0, L], y por ende

ak =2L

ˆ L

0f (x) cos

(kπx

L

)dx.

Para calcular los coeficientes de Fourier, considere la siguiente identidad trigonométrica: cos(3x) =

4 cos3(x)− 3 cos(x).


11. Sean f , g : [0, L] → R dos funciones. Considere el siguiente problema de valor en la frontera asociado ala ecuación de la onda:

(P)

∂2u∂t2 = c2 ∂2u

∂x2 (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,

u(0, t) = u(L, t) = 0 t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x) 0 ≤ x ≤ π,∂u∂t

(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ π.

a) Demuestre que toda solución u de (P) puede escribirse en la forma

u(x, t) = u1(x, t) + u2(x, t), (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,

donde u1 y u2 son soluciones de los problemas

(P1)

∂2u1

∂t2 = c2 ∂2u1

∂x2 (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,

u1(0, t) = u1(L, t) = 0 t ≥ 0,

u1(x, 0) = f (x) 0 ≤ x ≤ π,∂u1

∂t(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π

y

(P2)

∂2u2

∂t2 = c2 ∂2u2

∂x2 (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,

u2(0, t) = u2(L, t) = 0 t ≥ 0,

u2(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ π,∂u2

∂t(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ π,

respectivamente.

b) Use el resultado precedente para resolver el siguiente problema:

∂2u∂t2 =

∂2u∂x2 (x, t) ∈ [0, L]× [0,+∞[,

u(0, t) = u(L, t) = 0 t ≥ 0,

u(x, 0) = x(L − x) 0 ≤ x ≤ π,∂u∂t

(x, 0) = g(x) 0 ≤ x ≤ π,

donde

g(x) =

0 si x ∈ [0, L/3[∪]2L/3, L],

1 si x ∈ [L/3, 2L/3].

Respuesta:

u(x, t) =2Lπ2

∞

∑k=1

sen(

kπxL

) [2L

π(2k + 1)3 cos(

kπtL

)+

cos((2k + 1)π/3)− cos(2(2k + 1)π/3)(2k + 1)2 sen

(kπt

L

)].

AGRADECIMIENTOS





HOJA DE EJERCICIOS NO. 9ECUACIÓN DEL CALOR UNIDIMENSIONAL


Ejercicios CP: 1, 5, 8

1. El calentamiento de una barra metálica de longitud L está modelado por el siguiente problema:ut = c2uxx, t > 0, 0 < x < L,

u(0, t) = u(L, t) = 0, t ≥ 0,

u(x, 0) = x(L − x) 0 ≤ x ≤ L.

Determine la temperatura de la barra u(x, t) en todo punto x de la barra y todo instante t.

Respuesta: u(x, t) =8L2

π3

∞

∑n=0

1(2n + 1)3 e−

(2n+1)2π2tc2 L2 sen

((2n + 1)πx

L

).

2. Resuelva el problema: ut = uxx, t > 0, 0 < x < π,

u(0, t) = u(π, t) = 0, t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x) 0 ≤ x ≤ π,

donde

f (x) =

x si 0 ≤ x ≤ π/2,

π − x si π/2 ≤ x ≤ π.

Respuesta: u(x, t) =4π

∞

∑n=0

1(2n + 1)2 e−(2n+1)2t sen((2n + 1)x).

3. Considere una varilla metálica de longitud L que ha sido sumergida en agua a una temperatura de 100grados C, y luego de un tiempo retirada y al tiempo t = 0, sus extremos han sido colocados en dosrecipientes con hielo a 0 grados C. Encuentre una expresión que describa la conducción de calor que seproduce en la varilla.Respuesta: Si llamamos u(x, t) la distribución de temperatura en la varilla, entonces:

u(x, t) =200π

∞

∑n=1

1n(1 − cos(nπ)) e−

kn2π2

L2 t sen(nπx

L

)4. Resuelva el problema de conducción de calor:

ut = 3uxx t > 0, 0 < x < π

u(0, t) = 0, u(π, t) = 0 t ≥ 0,

u(x, 0) = sen(x) cos(4x) 0 ≤ x ≤ π.

Respuesta:

u(x, t) =12(e−75t sen(5x) + e−27t sen(3x))

5. Resuelva el problema de conducción de calor con extremos aislados (y sin fuentes de calor):ut = kuxx t > 0, 0 < x < L

ux(0, t) = 0, ux(L, t) = 0 t ≥ 0,

u(x, 0) = f (x) 0 ≤ x ≤ L.


Respuesta: Tomando u(x, t) = X(x)T(t) se obtienen las EDO’s:

X′′ − αX = 0 (1)

T′ − αkT = 0 (2)

donde α ∈ R. Resolviendo (1) (para α < 0, y con α = −γ2) tenemos:

X(x) = A cos(γx) + B sen(γx) (3)

de donde A y B se determinan a partir de las condiciones de frontera ux(0, t) = 0, ux(L, t) = 0:

ux(0, t) = X′(0)T(t) = 0 X′(0) = 0,

ux(L, t) = X′(L)T(t) = 0 X′(L) = 0.

Derivando (3):X′(x) = −Aγ sen(γx) + Bγ cos(γx)

y evaluando las condiciones X′(0) = 0 y X′(L) = 0, tenemos:

X′(0) = −Bγ = 0, B = 0

X′(L) = −Aγ sen(γL) = 0, sen(γL) = 0

γn =nπ

L, n = 0, 1, 2...

y por tanto,

Xn(x) = An cos(nπ

Lx)

, n = 0, 1, 2, ... (4)

Nota: Es importante remarcar que el número n, en este caso, corre desde cero en lugar que desde 1(como en algunos problemas de la onda unidimensional), esto es, porque en dichos casos para n = 0 lasolución asociada a n = 0 era Xn=0 = 0. Sin embargo, en este caso para n = 0, tenemos X0 = 1.

Resolviendo (2) con α = −γ2 = − n2π2

L2 tenemos:

Tn(t) = e−kn2π2

L2 t, n = 0, 1, 2... (5)

donde T0 = 0, T0 = 1. A partir de (4) y (5), tenemos que:

un(x, t) = An cos(nπ

Lx)

e−kn2π2

L2 t, n = 0, 1, 2...

De donde la solución general de nuestro problema se forma de la combinación lineal de estas soluciones,es decir:

u(x, t) =∞

∑n=0

Cn An cos(nπ

Lx)

e−kn2π2

L2 t

que llamando cn = Cn An,

u(x, t) =∞

∑n=0

cn cos(nπ

Lx)

e−kn2π2

L2 t

que también puede ser escrito como:

u(x, t) =a0

2+

∞

∑n=1

cn cos(nπ

Lx)

e−kn2π2

L2 t

de donde,

cn =2L

ˆ L

0f (x) cos

(nπ

Lx)

dx n = 0, 1, 2...

y a0 = 2c0


6. Resuelva el problema de conducción de calor:ut = uxx t > 0, 0 < x < π/2

u(0, t) = 0, ux(π/2, t) = 0 t ≥ 0,

u(x, 0) = x(π − x) 0 ≤ x ≤ π/2.

Respuesta:

u(x, t) =8π

∞

∑n=1

1(2n − 1)3 e−(2n−1)2t sen((2n − 1)x)

7. Resolver el problema de conducción de calor:ut − uxx = 0 t > 0, 0 < x < 1

ux(0, t) = 0, ux(1, t) = 2 t ≥ 0,

u(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ 1.

Hint: Considere u(x, t) = w(x, t) + v(x).Respuesta:

u(x, t) = 2t + x2 − 13− 4

π2

∞

∑n=1

(−1)n

n2 e−n2π2t cos (nπx) dx

8. En el siguiente problema encuentre la solución u(x, t) de la ecuación de calor unidimensional, la cualsatisface las condiciones de frontera e iniciales:

ut − uxx = 0, t > 0, 0 < x < L

u(0, t) = k0, t ≥ 0, k0 ∈ R

u(L, t) = k1, t ≥ 0, k1 ∈ R

u(x, 0) = g(x), 0 ≤ x ≤ L

Respuesta: u(x, t) = k0 + (k1 − k0)xL+

(∞

∑n=1

bne−n2π2t

L2 sen(nπx

L

))con:

bn =1L

ˆ L

−L

(g(x)− (k0 + (k1 − k0)

xL

)sen

(nπxL

)dx

9. Resuelva el problema del calor:ut = c2uxx, t > 0, 0 < x < L,

ux(0, t) = ux(L, t) = 0, t ≥ 0,

u(x, 0) = k sen(πx

L

)0 ≤ x ≤ L,

donde k ∈ R es una constante.

Respuesta: u(x, t) =2kπ

(1 − 2

∞

∑n=1

14n2 − 1

e−4n2π2t

L2c2 cos(

2nπxL

)).

10. Una barra metálica de 100 centímetros de longitud, con difusividad térmica de 0,01 cm2/s se calienta demodo tal que su extremo izquierdo se mantiene a una temperatura de 100 C, mientras que su extremoderecho se mantiene a 0 C. La temperatura en el instante en que la barra empieza a calentarse está dada,para cada punto x de la barra por:

f (x) = 100 cos( πx

200

),

en donde se considera que x es la distancia, medida en centímetros, desde el extremo izquierdo de labarra. Halle la temperatura de la barra en todo punto y en todo instante de tiempo.

Respuesta: u(x, t) = 100 − x +200π

∞

∑n=1

1n(4n2 − 1)

e−c2n2π2t2

L2 sen(nπx

100

).


11. Resuelva el siguiente problema:ut = uxx, t > 0, 0 < x < 1,

ux(0, t) = 0, ux(1, t) = 6, t ≥ 0,

u(x, 0) = 3x2 0 ≤ x ≤ 1,

a) Usando el método de separación de variables.

b) Buscando una solución de la forma u(x, t) = X(x) + T(t).

c) Las dos soluciones obtenidas, son la misma?

Respuesta: u(x, t) = 3x2 + 6t.

12. (Examen 2, 2018-B) Considere una varilla metálica de longitud L = π, constante c = 2, aislada en susbordes (es decir, sin flujo de calor en los extremos de la varilla) y cuyo perfil de temperatura al tiempot = 0 está descrito por la función:

f (x) = cos(3x) +23

cos(4x) +35

cos(5x)

Si u(x, t) es la temperatura de la varilla:

a) Plantee la ecuación diferencial y las condiciones de frontera e iniciales que describen este problema.

b) Utilice el método de separación de variables para determinar las EDO’s asociadas. Llame k a laconstante arbitraria.

c) Muestre que para k = 0 la solución es constante, que para k > 0 la solución es trivial y que parak < 0 es no-trivial y para este último caso, encuentre una expresión que describa la temperatura dela varilla u(x, t) para todo x ∈ [0, π] y t ≥ 0.

d) Determine explícitamente los coeficientes de la serie infinita que define a u(x, t). (1.5pt)

13. (Examen Final, 2018-B) Considere una varilla metálica de longitud L = 1, c = 1 y cuyos extremos iz-quierdo y derecho se encuentran (a todo tiempo) a las temperaturas constantes T1 y T2, respectivamente.La distribución de temperatura a lo largo de la varilla al tiempo t = 0 está descrita por la función:

f (x) =T2

Lx + T1, 0 ≤ x ≤ L

Si u(x, t) es la temperatura de la varilla en cualquier punto y para todo tiempo:


b) Utilice argumentos físicos para transformar este problema con condiciones de frontera no-homogéneasen uno con condiciones homogéneas. Hint: Considere que u(x, t) puede expresarse como la sumade una distribución transiente w(x, t) y una estacionaria v(x), es decir:

u(x, t) = w(x, t) + v(x), 0 ≤ x ≤ L, t ≥ 0

donde w(x, t) es la solución de un problema con condiciones homogéneas. Determine explícita-mente v(x) y plantee la ecuación diferencial y condiciones iniciales y/o de frontera para w(x, t).

c) Utilice el método de separación de variables para resolver el problema encontrado en el literalanterior y encuentre una expresión para w(x, t) para todo x ∈ [0, L] y t ≥ 0.

d) Determine explícitamente los coeficientes de la serie infinita que define a w(x, t).

e) Finalmente, construya la solución u(x, t) del problema original. (3pt)

14. (Examen Remedial, 2018-B) Las ecuaciones diferenciales ordinarias asociadas a un cierto problema deconducción de calor son:

X′′(x)− kX(x) = 0, X′(0) = 0, X′(π) = 0

T′(t)− 4kT(t) = 0.


a) Muestre que para k = 0, la solución u(x, t) es constante.

b) Muestre que para k > 0, la solución u(x, t) es trivial.

c) Muestre que para k < 0, la solución u(x, t) es no-trivial.


15. Encontrar la solución u(x, t) de la ecuación unidimensional de calor dado las condiciones de frontera einiciales:

ut = uxx (x, t) ∈]0, π[×]0, ∞[

u(0, t) = 0 t ∈]0, ∞[

u(π, t) = 0 t ∈]0, ∞[

u(x, 0) = f (x) f (0) = f (π) = 0

Respuesta: u(x, t) =2π

∞

∑k=1

(ˆ π

0f (r) sen(kr) dr

)sen(kx)e−k2t

AGRADECIMIENTOS





HOJA DE EJERCICIOS NO. 10ECUACIÓN DE LAPLACE (EN DOS DIMENSIONES)


Ejercicios CP: 1a, 5, (9)

1. Resuelva el siguiente problema de Dirichlet en el rectángulo:

(P)

uxx + uyy = 0, 0 < x < L1, 0 < y < L2

u(x, 0) = f1(x), u(x, L2) = f2(x), 0 ≤ x ≤ L1,

u(0, y) = g1(y), u(L1, y) = g2(y), 0 ≤ y ≤ L2.

para cada uno de los siguientes casos:

a) f1(x) = f2(x) = g2(y) = 0,

b) f1(x) = f2(x) = g1(y) = 0,

c) f2(x) = g1(y) = g2(y) = 0,

d) f1(x) = g1(y) = g2(y) = 0.

Posteriormente construya la solución general del problema (P) la cual está dada por:

u(x, y) = u1(x, y) + u2(x, y) + u3(x, y) + u4(x, y)

donde, u1 es la solución del literal a), u2 es la solución del literal b), u3 es la solución del literal c), y u4 esla solución del literal d).Respuesta: El procedimiento es similar para todos los literales, consideremos por ejemplo: a) f1(x) =

f2(x) = g2(y) = 0. Consideremos:u(x, y) = X(x)Y(y)

de donde derivando y reemplazando en la EDP, tenemos:

X′′(x)− kX(x) = 0, (1)

Y′′(y) + kY(y) = 0, (2)

con k ∈ R. A partir de las condiciones de frontera y como f1(x) = f2(x) = g2(y) = 0, tenemos que:

u(x, 0) = X(x)Y(0) = 0 Y(0) = 0, (3)

u(x, L2) = X(x)Y(L2) = 0 Y(L2) = 0, (4)

u(L1, y) = X(L1)Y(y) = 0 X(L1) = 0. (5)

Con esta información resulta conveniente resolver la ecuación (2). Tomado k = γ2, y Y(y) = emy, sepuede demostrar que la solución de (2) está dada por:

Y(y) = A cos(γy) + B sen(γy) A, B ∈ R (6)

en donde, utilizando las condiciones (3) y (4) tenemos:

Y(0) = A = 0

Y(L2) = B sen(γL2) = 0

Suponiendo B distinto de cero en la última expresión, entonces

sen(γL2) = 0


de donde:γn =

nπ

L2n = 1, 2, ... (7)

y por tanto:

Yn(y) = Bn sen(nπ

L2y) n = 1, 2, ... (8)

Por otro lado, debemos también resolver la ecuación:

X′′(x)−(

nπ

L2

)2

X(x) = 0, (9)

cuya solución está dada por:Xn(x) = Cne

nπL2

x+ Dne−

nπL2

x (10)

de donde resulta complicado obtener un resultado q satisfaga la condición (5), ya que:

Xn(L1) = CnenπL2

L1 + Dne−nπL2

L1 = 0. (11)

En estos casos (se puede demostrar) es conveniente tomar una solucón de la forma:

Xn(x) = Cn cosh(

nπ

L2(x − L1)

)+ Dn sinh

(nπ

L2(x − L1)

)que con la condición (5): Cn = 0 y por tanto:

Xn(x) = Dn sinh(

nπ

L2(x − L1)

). (12)

(NOTA: Se puede tomar una solución de esta forma para en para el litera c), sin embargo, no es la únicaalternativa. Se recomienda verificar que su solución satisfaga las condiciones iniciales.)

Por tanto, con (8) y (12):

un(x, y) = Dn sinh(

nπ

L2(x − L1)

)∗ Bn sen

(nπ

L2y)

n = 1, 2, ...

y por tanto la solución general se forma de la superposici’on de estas soluciones como:

u(x, y) =∞

∑n=1

C∗n sinh

(nπ

L2(x − L1)

)sen

(nπ

L2y)

. (13)

Para determinar los coeficientes C∗n, utilizamos la condición u(0, y) = g1(y):

u(0, y) =∞

∑n=1

C∗n sinh

(nπ

L2(−L1)

)sen

(nπ

L2y)= g1(y). (14)

de donde (se puede demostrar que):

C∗n =

2

L2 sinh(−nπL1

L2

) ˆ L2

0g1(y) sen

(nπ

L2y)

dy.

De forma similar para los otros literales.Finalmente, la solución al problema (P) está dada por:

u(x, y) = u1(x, y) + u2(x, y) + u3(x, y) + u4(x, y).

2. Resuelva la siguiente ecuación:uxx + uyy = 0, 0 < x < 3, 0 < y < 2

u(x, 0) = 0, u(x, 2) = 0, 0 ≤ x ≤ 3,

u(0, y) = 0, u(3, y) = f (y), 0 ≤ y ≤ 2.


con:

f (y) =

y, 0 ≤ y ≤ 1

2 − y, 1 ≤ y ≤ 2.

Respuesta:

u(x, y) =∞

∑n=1

cn sinh(nπx

2

)sen

(nπy2

), cn =

8 sen(nπ/2)n2π2 sinh(3nπ/2)

3. Encuentre una expresión para el potencial en el interior de una lámina metálica rectángular de 20cm debase, y 40cm de altura, en cuyo lado superior se aplica un potencial de 110V y donde los otros ladosestán conectados a tierra.Respuesta:

u(x, y) =440π

∞

∑n=1

1(2n − 1) sinh(2(2n − 1)π)

sen((2n − 1)πx

20

)sinh

((2n − 1)πy

20

)4. Encuentre el potencial en el cuadrado 0 ≤ x ≤ 2, 0 ≤ y ≤ 2 en cuyo lado superior se aplica un potencial

de 1000 sen(πx2 ) y cuyos otros lados están conectados a tierra.

Respuesta:

u(x, y) =1000

sinh(π)sen(πx/2) sen(πy/2)

5. Una membrana rectangular de base a y altura b tiene sus bordes inferior y laterales fijos, mientras suborde superior tiene un movimiento (en el eje z), descrito por la función

u0 sen(π

ax)

,

donde u0 es una constante. Halle y resuelva el problema de valores de frontera que describe el compor-tamiento estacionario de la membrana.Respuesta: El movimiento de esta membrana está en realidad descrito por la ecuación de la onda bidi-mensional:

utt = c2(uxx + uyy)

sin embargo, el comportamiento estacionario (es decir, cuando no cambia tiempo ut = 0) está descritopor la ecuación de Laplace:

uxx + uyy = 0

con las condiciones: u(0, y) = 0 0 ≤ y ≤ b,

u(x, 0) = 0 0 ≤ x ≤ a,

u(a, y) = 0 0 ≤ y ≤ b,

u(x, b) = u0 sen(

πa x)

0 ≤ x ≤ a.

Usando el método de separación de variables buscamos soluciones de la forma

u(x, y) = X(x)Y(y),

por lo tanto la ecuación de Laplace se transforma en

X′′

X= −Y′′

Y= k,

de donde obtenemos el problema para X(x):X′′ − kX = 0

X(0) = X(a) = 0


y para Y(y): Y′′ + kY = 0

Y(0) = 0.

Para k = 0, la solución está dada por:X(x) = c1x + c2,

que usando las condiciones de frontera se obtiene que:

X(0) = 0, c2 = 0,

X(a) = c1a = 0, c1 = 0,

por tanto, X(x) = 0 lo cual implica que u(x, t) = 0. Como buscamos soluciones no triviales, descartamoseste caso. Ahora, si k > 0, con k = γ2, tenemos:

X(x) = A senh(γx) + B cosh(γx),

que con las condiciones de frontera, tenemos que:

X(0) = 0, B = 0,

X(a) = A senh(γa) = 0, A = 0,

por lo que de nuevo obtenemos X(x) = 0 es decir, u(x, t) = 0. Finalmente, para k < 0 y con k = −γ2,tenemos:

X(x) = A sen(γx) + B cos(γx),

y utilizando las condiciones de frontera:

X(0) = 0, B = 0,

X(a) = A sen(γa) = 0, γ =nπ

a, n = 1, 2, 3, ...

es decir,Xn(x) = An sen

(nπ

ax)

, n = 1, 2, 3, ...

Resolviendo el problema para Y(y) obtenemos:

Y(y) = C senh(nπ

ay)+ D cosh

(nπ

ay)

,

la condición inicial nos lleva a:Yn(y) = Cn senh

(nπ

ay)

.

Así, gracias al teorema fundamental de superposición tenemos:

u(x, y) =∞

∑n=1

an sen(nπ

ax)

senh(nπ

ay)

.

De la condición inicial que dicta el movimiento del borde superior de la membrana se obtiene:

u(x, b) =∞

∑n=1

an sen(nπ

ax)

senh(nπ

ab)= u0 sen

(π

ax)

,

gracias a la ortogonalidad de las funciones sen(nπ

ax)

vemos que an debe ser nulo para todo n exceptopara n = 1, es decir:

a1 =u0

senh( nπ

a b)

por lo tanto la solución al problema es:

u(x, y) =u0

senh( nπ

a b) sen

(π

ax)

senh(π

ay)

.


6. Encuentre una expresión para la temperatura del estado estable de una lámina rectangular π × π cuyosbordes (salvo uno) están aislados, de acuerdo a las siguientes condiciones:

ux(0, y) = ux(π, y) = u(x, π) = 0, u(x, 0) = f (x).

Respuesta: u(x, y) =a0

2π(π − y) +

∞

∑n=1

ansen(n(π − y)) cos(nx)

sinh(nπ), con an =

2π

ˆ π

0f (x) cos(nx) dx.

7. (Examen 2, 2018-B) Considere una lámina rectangular metálica de base L y altura M. Los bordes inferiory derecho de la lámina se mantienen a una temperatura constante de 0 grados C, el borde superior semantiene aislado (no hay flujo de temperatura) y la temperatura del borde izquierdo puede ser descritapor la función:

f (y) = u0 sen(

7π

2My)

, 0 ≤ y ≤ M, u0 ∈ R.

Si u es la temperatura en el interior de la lámina, determine la temperatura en el estado estacionario dela lámina u(x, y). Para esto:


b) Utilice el método de separación de variables para encontrar las EDO’s asociadas al problema, yresuélvalas (puede asumir directamente la positividad o negatividad de la constante arbitraria queaparece en ellas). Hint: Para la EDO correspondiente a X(x) puede considerarse una solución de laforma X(x) = C cosh(ρz) + D sinh(ρx). Aplique la respectiva condición inicial y exprese la cons-tante C en función de la otra constante (y de la tanh(ρx)).

c) Encuentre una expresión que describa la temperatura en el interior de la lámina, para todo x ∈ [0, L]y y ∈ [0, M] y determine explícitamente los coeficientes de la serie infinita que define a u(x, y).

8. (Examen Final, 2018-B) Considere una lámina rectangular metálica de base B y altura H. Los bordesinferior e izquierdo de la lámina se mantienen a una temperatura constante de 0 grados C, el bordesuperior se mantiene aislado (no hay flujo de temperatura) y la temperatura del borde derecho puedeser descrita por la función:

f (y) = a0 sen(

7π

2Hy)

, 0 ≤ y ≤ H, a0 ∈ R.

Si u es la temperatura en el interior de la lámina, determine la temperatura en el estado estacionario dela lámina u(x, y). Para esto:


b) Utilice el método de separación de variables para encontrar las EDO’s asociadas al problema, yresuélvalas (puede asumir directamente la positividad o negatividad de la constante arbitraria queaparece en ellas).

c) Encuentre una expresión que describa la temperatura en el interior de la lámina, para todo x ∈ [0, B]y y ∈ [0, H] y determine explícitamente los coeficientes de la serie infinita que define a u(x, y).


9. Encuentre una expresión para la temperatura acotada de estado estable de la lámina infinita R =

]0, L[×]0,+∞[, tal que los bordes verticales se mantienen a una temperatura de 0 grados y el bordehorizontal a una temperatura de 100 grados.

Respuesta: u(x, y) =400π

∞

∑m=0

12m + 1

e−(2m+1)πy

L sen((2m + 1)πx

L

).

10. Resuelva la ecuación de Laplace en tres dimensiones:

∂2u∂x2 +

∂2u∂y2 +

∂2u∂z2 = 0


en el cubo 0 < x < π, 0 < y < π, 0 < z < π, sujeta a las condiciones:

u(x, y, 0) = f (x, y) para 0 < x, y < π

y tal que u tome el valor 0 en las caras restantes del cubo.Respuesta:

u(x, y) =∞

∑m=1

∞

∑m=1

Amn(tanh(π√

m2 + n2) cosh(√

m2 + n2z)− sinh(√

m2 + n2z)) sen(mx) sen(ny),

donde

Amn =4

π2 tanh(π√

m2 + n2)

ˆ π

0

ˆ π

0f (x, y) sen(mx) sen(ny) dxdy.

11. Ecuación de Laplace en el disco. El objetivo de este ejercicio es el de resolver el problema:∆u = 0, x2 + y2 < 1,

u(x, y) = f (θ), x2 + y2 = 1,

donde x = cos(θ) y y = sen(θ). Para ello, seguimos el siguiente procedimiento:

a) Utilizando la regla de la cadena y el cambio de variable x = r cos θ, y = r sen θ, demostrar que:

∆u =∂2u∂r2 +

1r

∂u∂r

+1r2

∂2u∂θ2 .

b) Aplicando el método de separación de variables, suponer que u(r, θ) = R(r)Θ(θ) y deducir queexiste λ ∈ R tal que:

r2R′′ + rR′ − λR = 0 y Θ′′ + λΘ = 0

con condiciones Θ(0) = Θ(2π).

c) Demostrar que:Θn(θ) = An cos(nθ) + Bn sen(nθ), n = 0, 1, 2, . . .

y que además λ = λn = n2 son las soluciones del problema:Θ′′ + λΘ = 0,

Θ(0) = Θ(2π) = 0.

d) Resolver la EDO:r2R′′ + rR′ − n2R = 0

y, vía un argumento de continuidad, deducir que:

Rn(r) = rn, n = 0, 1, 2, . . .

son las soluciones posibles para esta EDO.

e) Demostrar que:

un(r, θ) =A0

2+

∞

∑n=1

[Anrn cos(nθ) + Bnrn sen(nθ)],

donde

An =1π

ˆ π

−πf (s) cos(ns) ds y Bn =

1π

ˆ π

−πf (s) sen(ns) ds

f ) Demostrar que:

u(r, θ) =1π

ˆ π

−πf (s)

[12+

∞

∑n=1

cos(s(n − θ))

]ds.

g) Considere z = r cos(s − θ) + ir sen(s − θ). Use la fórmula de De Moivre y estudie la suma de la


serie geométrica:12+

∞

∑n=1

zn

para demostrar que:

12+

∞

∑n=1

cos(s(n − θ)) =1 − r2

2(1 − 2r cos(s − θ) + r2).

h) Concluya que:

u(r, θ) =1 − r2

2π

ˆ π

−π

f (s)(1 − 2r cos(s − θ) + r2 ds

es la solución al problema.

AGRADECIMIENTOS





HOJA DE EJERCICIOS NO. 11ECUACIÓN DE LA ONDA (EN DOS DIMENSIONES)


Ejercicios CP: 1, 2a, (5c)

1. CASO GENERAL: Resuelva la ecuación de la onda en dos dimensiones:utt = c2 (uxx + uyy

), (x, y) ∈ R, t > 0

u(x, y, t)|∂R = 0, t ≥ 0

u(x, y, 0) = f (x, y), ut(x, y, 0) = g(x, y), (x, y) ∈ R

en un rectángulo R de base b y altura h.

2. Encuentre la deflección u(x, y, t) de una membrana cuadrada de lado π y c2 = 1 para una velocidadinicial 0 y una deflexión inicial:

a) f (x, y) = 0, 1 sen (4x) sen (4y)

b) f (x, y) = 0, 01 sen (x) sen (y)

c) f (x, y) = 0, 1xy(π − x)(π − y)

Nota: Para el literal c) resuelva completamente el ejercicio paso a paso, para los literales a) y b) utilicelos resultados encontrados en el ejercicio 1.

3. Describa la deflección u(x, y, t) de una membrana (elástica, homogénea y flexible) rectangular de base by altura h cuyos bordes se encuentran fijos, si inicialmente la forma de la membrana puede ser descritapor la función:

f (x, y) = xy(x2 − 1)(y2 − 1)

y si la membrana parte del reposo. La tensión de la membrana es constante e igual a 10 y su densidades 3.

4. Describa la deflección de una membrana de lados a y b y con c2 = 1 para una deflección inicial:

f (x, y) = sen(

6πxa

)sen

(2πy

b

)5. Represente las siguientes funciones por una Serie de Fourier Doble:

a) f (x, y) = 1 en [0, 1]× [0, 1],

b) f (x, y) = x en [0, 1]× [0, 1],

c) f (x, y) = y en [0, 1]× [0, 1],

d) f (x, y) = xy en [0, a]× [0, b], a, b ∈ R,

e) f (x, y) = xy(a − x)(b − y) en [0, a]× [0, b], a, b ∈ R

Nota: De forma vaga: Si f (x, y) y sus derivadas son continuas en R = (0, a)× (0, b), a, b ∈ R la repre-sentación de f (x, y) por Series de Fourier Dobles está dada por:

f (x, y) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

cnm sen(nπx

a

)sen

(mπyb

)en donde se deben determinar los coeficientes cnm.


6. (Examen 2, 2018-B) Considere una membrana (elástica, homogénea y flexible) rectangular de base L yaltura H, fija en sus bordes y de constante c = 1. Si se encuentra en reposo en la posición:

f (x, y) = x2 + y2

y luego se suelta:


b) Utilice el método de separación de variables para determinar las 3 EDO’s asociadas al problema ysus respectivas condiciones iniciales.

c) Determine las tres constantes arbitrarias asociadas a las EDO’s del literal b)

7. (Examen Remedial, 2018-B) La solución al problema:utt = c2 (uxx + uyy

), 0 < x < 2, 0 < y < 3,

u(x, y, t)|∂R = 0, t ≥ 0,

u(x, y, 0) = x2 + y2, ut(x, y, 0) = 0, (x, y) ∈ R = (0, 2)× (0, 3).

está dada por:

u(x, y, t) =∞

∑n=1

∞

∑m=1

[Anm cos (λnmt) + Bnm sen (λnmt)] sen(nπx

2

)sen

(mπy3

).

Determine explícitamente y paso a paso los coeficientes Anm y Bnm.


· 2019-09-28 · escuela politÉcnica nacional anÁlisis de fourier y ecuaciones en derivadas...

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