2020yd y1Ł ÜØ · 2020. 3. 3. · ˇ@)Ý
TRANSCRIPT
2020학년도 수학성취도 측정시험(2020학년도 수시모집, 정시모집 및 글로벌인재특별전형 합격자 대상)
2020년 2월 11일, 고사시간 90분
• 답안지는 깨끗한 글씨로 바르게 작성하되, 단답형은 답만 쓰고, 서술형은 풀이과정과 답을 명시하시오.• 1번부터 11번까지는 단답형이고, 12번부터 16번까지는 서술형이다.• 총 배점은 100점이고, 각 문항의 배점은 기본문제(1–6번) 각 3점, 발전문제(7–13번) 각 7점, 심화문제(14번–16번) 각 11점이다.
2020년 1번 limx→1
(1
x− 1− 1
x2 − x
)= .
[풀이] 1번 답: 1
limx→1
(1
x− 1− 1
x2 − x
)= lim
x→1
x− 1
x2 − x= lim
x→1
1
x= 1
[채점 기준] 답을 1이라고 맞게 쓴 경우만 정답 처리함.
[채점 소감] 극한의정의만알면간단히풀수있는기본문제이며몇몇의학생이 1x까지만구하고
답을 안내서 틀린 경우가 있었으므로 문제가 무엇을 요구하는지 잘 읽는 연습이 필요해보인다.
2020년 2번 sin 15◦ =
√A−√B
4일 때, A+B = 이다. (단, A,B는 자연수)
[풀이] 2번 답: 8
sin 15◦ = sin(45◦ − 30◦) = sin 45◦ cos 30◦ − cos 45◦ sin 30◦ =
√6−√2
4
따라서 A = 6, B = 2, A+B = 8
[채점 기준] 답을 8이라고 맞게 쓴 경우만 정답 처리함.
[채점 소감] 삼각함수 단원의 사인함수 덧셈정리공식을 알면 쉽게 풀 수 있는 기본예제다. 삼각함수의 함숫값을 알지 못하는 각을 잘 알고 있는 특수각의 합으로 쪼개어 나타내는 것이 핵심아이디어다.
2020년 3번 두 벡터 −→a = (−1, 2)와−→b = (2, 3)이 이루는 각을 θ라 할 때, cos θ =
이다.
[풀이] 3번 답: 4√65
65
cos θ =~a ·~b|~a||~b|
=4√
5√13
=4√65
65
[채점 기준] 유리화를 하지 않은 경우도 맞게 처리함.
[채점 소감] 평면벡터의 내적 단원에 나오는 기초 개념인 두 평면벡터 사이의 각도와 코사인사이의 관계를 알고있으면 쉽게 풀 수 있다.
1
2
2020년 4번 함수 f(x) = x3 − 3x+ 1 의 x = 1에서 접선의 식은
y = 이다.
[풀이] 4번 답: −1f ′(x) = 3x2 − 3 이므로 f ′(1) = 0, f(1) = −1 이다.따라서 x = 1에서의 접선은 y = −1이다.
[채점 기준] y = −1 도 정답으로 인정함.
[채점 소감] 학생들이 미분계수의 정의는 알고 있으나 계산실수에 의해 틀린 경우가 종종 있으므로 실수하지 않고 계산하는 것에 대한 연습이 필요해보인다.
2020년 5번
∫ e
1ln√x dx = .
[풀이] 5번답: 12 ∫ e
1ln√xdx =
1
2
∫ e
1lnxdx =
1
2(x lnx
∣∣∣e1−∫ e
1x× 1
xdx) =
1
2
[채점 기준] 답을 12이라고 맞게 쓴 경우만 정답 처리함.
[채점 소감] 부분적분법의 기본예제다.
2020년 6번 좌표공간에서 두 점 (1, 0,−1)과 (2, 4,−8)을 지나는 직선과 yz평면의 교점은
이다.
[풀이] 6번답: (0, −4, 6)주어진 문제에서의 직선은 t (2, 4, −8) + (1 − t) (1, 0, −1) 이며 yz평면과의 교점은 x좌표가 0이므로 t = −1일때 yz평면과 만난다.따라서 교점은 t = −1을 대입한 (0, −4, 6)이다.
[채점 기준] 답을 정확히 (0, −4, 6)라고 쓴 경우에만 정답 처리함.
[채점 소감] 이 문제는 학생들의 계산 실수가 굉장히 많았던 문제이다. 또한 (−4, 6)을 답이라고쓴 학생도 종종 보인 문제여서 학생들의 표현에 대한 보완이 필요해보인다.
3
발전문제
2020년 7번 삼차방정식 x3 − 3x + 1 = 0의 세 근 α1, α2, α3에 대하여 α−11 + α−12 + α−13 =
이다.
[풀이] 7번 답: 3근과 계수와의 관계에 의해
α1α2 + α1α3 + α2α3 = −3, α1α2α3 = −1
그런데 α−11 + α−12 + α−13 을 통분하여 계산하면
α−11 + α−12 + α−13 =α1α2 + α1α3 + α2α3
α1α2α3=−3−1
= 3
[채점 기준] 답을 3이라고 맞게 쓴 경우만 정답 처리함.
[채점 소감] 근과 계수와의 관계를 이용하여 접근할 때 학생들이 생각보다 부호에 대해서 잘 못알고 있는 경우가 많았다. 다시 한 번 점검이 필요해보인다.
2020년 8번 좌표공간에서 평면 x + y + z =
√3k
n와 구 x2 + y2 + z2 = 1 의 교선의 길이를
L(n, k) 라 할 때,
limn→∞
n−1∑k=1
1
nL(n, k) =
이다. (단 n과 k는 자연수이다.)
[풀이] 8번 답: π2
2
주어진 평면과 원점 사이의 거리는 kn이며 구와 평면의 교선은 반지름이
√1− k2
n2인 원이다.
따라서 교선의 길이는
L(n, k) = 2π
√1− k2
n2
그러므로
limn→∞
n−1∑k=1
1
n2π
√1− k2
n2=
∫ 1
02π√
1− x2dx =π2
2
[채점 기준] 답을 π2
2 이라고 맞게 적은 경우만 정답 처리함.
[채점 소감] 정적분의 정의와 치환적분법을 활용하면 어렵지 않게 풀 수 있다.
4
2020년 9번 일반항이
an =√9n2 − 2n−
[√9n2 − 2n
]인 수열 {an}에 대하여, lim
n→∞an = 이다. (단, [x] 는 x보다 크지 않은 최대 정수이
다.)
[풀이] 9번답: 23
3n− 1 ≤√9n2 − 2n < 3n이므로 an =
√9n2 − 2n− (3n− 1)이다.
limn→∞
an = limn→∞
(√9n2 − 2n+ (3n− 1))(
√9n2 − 2n− (3n− 1))√
9n2 − 2n+ (3n− 1)
= limn→∞
4n− 1√9n2 − 2n+ (3n− 1)
=2
3
[채점 기준] 답을 23으로 맞게 적은 경우만 정답 처리함.
[채점 소감] 수열의 극한과 분모의 유리화에 대한 기본 개념들을 알고 있으면 풀 수 있는 문제다.
2020년 10번 두국가에서각각다섯명씩,총열명의대표들이모여회의를하려고한다.이때
열 명의 대표가 원탁에 앉는 경우의 수는 이다. 단, 같은 국가의 대표는 구별하지않는다.
[풀이] 10번 답: 26두 국가를 각각 A,B라 하면 원순열을 생각하고 있기 때문에 처음을 A로 배치한다고 가정해도일반성을 잃지 않는다.
A (1) A (2) A (3) A (4) A (5)
다음과 같이 배치하면 (1), (2), (3), (4), (5)에 B를 배치하면 되고 B국가의 대표는 5명이므로
x1 + x2 + x3 + x4 + x5 = 5, xi ≥ 0 i = 1, 2, 3, 4, 5
의 식을 풀면 된다. 이제 위의 식의 해에 대해서 생각해보면 x1 = x2 = x3 = x4 = x5 = 1인경우 이외의 경우는 원순열의 특성상 5가지의 해가 한 가지의 같은 배치가 되므로 답은
5+5−1C5 − 1
5+ 1 = 26
[채점 기준] 답을 26이라고 맞게 쓴 경우만 정답 처리함.
[채점 소감] 이 문제는 경우를 잘 나누어 세기만 하여도 풀 수 있는 문제인데 그렇게 접근한 많은학생들이 각 경우를 셀 때 놓치거나 중복하여 세는 실수를 범하여 답과는 근접하지만 답은 아닌수들이 답안지에 많이 보인 문제이다. 또한 두 국가의 다섯 명의 대표를 잘못 이해하여 다섯 국가의 두명의 대표라고 이해하고 풀은 경우도 더러 있었기에 경우의 수 문제를 풀때는 꼼꼼하게생각하는 것이 중요하다.
5
2020년 11번 삼차함수 f(x)가
limx→1
sin(x3 − 2x2 + x)
ef(x) − e=
3
e
를 만족할 때, f(−1) + f(3) = 이다.
[풀이] 11번 답: 143
분자의 극한 값이 0이므로 분모의 극한값도 0이어야 한다.즉, lim
x→1(ef(x) − e) = 0 이므로 f(1) = 1이다.
그러므로
limx→1
sin(x3 − 2x2 + x)
ef(x) − e= lim
x→1
sin(x3−2x2+x)f(x)−1ef(x)−ef(x)−1
=3
e
위 식의 분모가 e로 수렴하므로 분자도 수렴해야 하며 그 값은 3이어야 한다. 따라서
limx→1
sin(x3 − 2x2 + x)
f(x)− 1= 3
이며그러므로삼차함수f(x)는 f(x) = (x−1)2[a(x−1)+ 13 ]+1을만족한다. (단, a 6= 0)따라서
f(−1) + f(3) = 143
[채점 기준] 답을 143 이라고 맞게 쓴 경우만 정답 처리함.
[채점 소감] 함수의 극한과 연속, 미분계수 단원의 기본개념들을 알고 있으면 풀 수 있는 문제다.분수식의극한값이존재할때분모의극한값이 0이면분자의극한값도 0이되는것,삼각함수의극한의 성질을 알고 있어야 한다.
6
2020년 12번 중심이
(1
2, 0
)이고 반지름
1
2인 작은 원이 고정된 큰 원 x2+ y2 = 1에 내접하며
아래의 그림과 같이 미끄러지지 않고 굴러가고 있을 때, 작은 원 위의 점 P가 어떻게 움직이는지그 자취를 알아보려 한다. 점 P가 내접점인 (1, 0)에서 시작하여 움직인다고 하자. 작은 원의
중심이
(1
2cos θ,
1
2sin θ
)가 되었을 때, P의 좌표를 구하시오.
[풀이] 큰 원 내부에 접한 작은 원이 미끄러지지 않고 이동했을 때의 중심의 좌표가(12 cos θ,
12 sin θ
)일 때, 점 P가 처음에 위치한 곳을 A, 작은 원이 큰 원과 접하는 점을 Q, 그리고
작은 원의 중심을 O′라고 하자. 또한 ∠QOP = α라고 하자.문제의주어진조건에의해 ∠AOQ = θ이다.또한작은원이미끄러지지않으면서움직이므로
QA_
= QP_임을 안다. 따라서 중심각과 호의 길이의 관계에 의해 ∠QO′P = 2θ임을 얻는다.
또한 삼각형 O′OP는 O′O,O′P의 길이가 같은 이등변삼각형이고, ∠QO′P는 삼각형 O′OP의 외각이므로 ∠QO′P = 2α이다. 따라서 α = θ이고, 점 P는 직선 OA위에 놓인 점이다. 즉 점P는 언제나 x축 위를 움직인다.
O A
P
O′
Q
R
θα
2α = 2θ
이 사실을 토대로 움직이는 점 P의 좌표를 구하면, y좌표는 언제나 0이고 x좌표는 OP =2 ·OO′ cos θ = cos θ임을 얻는다. 따라서 P (cos θ, 0)이다.
[채점 기준]
• ∠QO′P = 2θ임을 이용하여 점 P의 좌표를 올바르게 계산한 경우 7점,• ∠QO′P = 2θ인 것은 잘 설명하였지만, 점 P의 좌표를 계산할 때 사소한 계산 실수를 한경우 5점,• ∠QO′P = 2θ인 것에 대한 설명은 없었지만 답은 맞은 경우 2점,• ∠QO′P = 2θ인 것 외에 P에 대한 다른 정보가 없는 경우, 또는 점 P의 좌표를 잘못계산한 경우 0점.
[채점 소감] 작은 원이 움직일 때 한 점이 이동하는 자취를 찾는 문제이다. 사용되는 지식은 중학교 수준의 기하로 충분하지만, 직접 증명을 하려면 생각보다 까다로운 논증이 필요하다. 그래서
7
학생들의 풀이 중 논리적인 설명이 부족한 답안이 많이 있었다. 특히 점 P의 좌표를 구할 때삼각형 OO′P를 이용하려면, 간단한 논증을 통해 점 P가 x축 위에 놓여 있다는 결론을 통해답을 도출하는 것이 필요한데, 이것을 설명하지 않고 답을 구한 경우가 상당수 있었다.이러한 논증기하적인 문제를 훈련하는 좋은 방법은 ‘직관이 틀리게 된다면’ 모순이 생긴다는
것을 통해 보일 수 있다. 위의 풀이와 같이 ‘의도적으로’ 사실이 아닌 그림을 그림으로써 편견을벗어버리고 오직 논리를 통해 우리가 원하는 결과를 얻는 이러한 훈련은, 답만을 찾아내는 수학에서 벗어나 정답에 도달하는 논리적인 사고의 과정을 더 중요시여기는 대학수학에 적응하는 데좋은 훈련이 될 것이다. 또한 큰 원의 반지름과 작은 원의 반지름을 일반적으로 r1, r2로 두고 점P의 자취를 계산하는 것도 기하적인 사고력을 기르는 데 도움이 될 만한 훈련이 될 것이다.
인상적인 다른 풀이로는 작은 원의 중심에 대한 점 P의 상대 좌표의 개념을 이용한 경우가있었다. 작은 원이 시계 반대방향으로 굴러갈 때, 작은 원의 중심을 기준으로 생각하면 시계방향으로 자전하는 형태가 된다. 또한 자전속도를 생각하면 x축과 평행하면서 점 O′를 지나는 직선을 기준으로 점 P는 시계방향으로 θ만큼 회전하게 된다. 따라서 점 O′에 대한 점 P의 상대 좌표는
(12 cos(−θ),
12 sin(−θ)
)=(12 cos θ,−
12 sin θ
)이고, 따라서 점 P의 실제 좌표는(
12 cos θ,
12 sin θ
)+(12 cos θ,−
12 sin θ
)= (cos θ, 0)임을 얻을 수 있다.
8
2020년 13번 1에서 n까지의 자연수의 집합을 N이라 하자. 일대일 대응함수 f : N → N에
대하여,g(n) = (1− f(1))2(2− f(2))2 · · · (n− f(n))2
라 할 때, n이 홀수이면 g(n)은 홀수가 아님을 보이시오.
[풀이](풀이1) 귀류법을 사용하여 증명한다. 결과를 부정하여 n이 홀수일 때, g(n)이 홀수라고 가정
한다. g(n)이홀수가되기위해서는곱해져있는모든인수가홀수여야한다.따라서 i가홀수이면f(i)는 짝수가 되어야 하고, i가 짝수이면 f(i)는 홀수가 되어야 한다. n이 홀수이기 때문에 N에서홀수의개수는 n+1
2 이고짝수의개수는n−12 으로홀수의개수가하나더많다. f가일대일대
응 함수이기 때문에 홀수의 함수값으로 이뤄진 짝수집합 {f(1), f(3), ..., f(n)}은 서로 다른 n+12
개의 원소를 가진 n이하의 자연수로 이뤄진 집합이 된다. 하지만 n이하의 짝수는 n−12 개이므로
모순이 발생한다. 따라서 g(n)은 홀수가 아니다.(풀이2) 대우명제 ‘g(n)이 홀수이면 n이 짝수이다’를 보임으로 본래 명제를 증명한다. g(n)이
홀수이면 각각의 인수는 모두 홀수이다. 따라서 i가 홀수이면 f(i)는 짝수가 되어야 하고, i가짝수이면 f(i)는 홀수가 되어야 한다. f가 일대일 대응함수이므로 치역의 원소 개수는 n개이고,n이하의 짝수 개수와 홀수 개수가 같게 된다. 이 경우는 오직 n이 짝수일 때에 성립한다.
(풀이3) 귀류법을 사용하여 증명한다. 결과를 부정하여 n이 홀수일 때, g(n)이 홀수라고 가정한다. g(n)이 홀수가 되기 위해서는 곱해져 있는 모든 인수가 홀수여야 한다. 홀수를 홀수 번더하게 되면 그 결과는 홀수이다. f는 일대일 대응함수이므로
∑ni=1 i =
∑ni=1 f(i)이다. 따라서
0 =∑n
i=1 (i− f(i))이고 n이 홀수이므로 0이 홀수라는 모순을 얻는다. 따라서 g(n)은 홀수가아니다.
[채점 기준]g(n)이 홀수이기 위해 모든 인수가 홀수가 되어야 함을 보인 경우 2점 부여. ’비둘기집 원리’,
짝수와 홀수의 개수를 직접 비교하는 경우, 또는 n이 홀수일 때 N의 홀수 개수가 짝수 개수보다 하나가 더 많다는 것 등을 통해 일대일 대응함수 f의 성질을 이용하여 적어도 하나의 인수(i− f(i))가 짝수가 되어 모순이 발생하는 것 또는 N의 짝수 개수와 홀수 개수가 달라지는 모순등을 보이는 경우 5점 부여.
[채점 소감]n에대한귀납법을통해증명을시도한경우,그때마다 f가새로이정의되기때문에 n = 2k−1
일 때 잘 성립하더라도 n = 2k+1일 때는 같은 함수가 아니게 되어 적용이 불가합니다. 이 경우0점을 부여하였습니다. 또한, 적당히 사례를 들어 n이 홀수일 때 g(n)이 짝수가 되는 것을 보인경우 0점을 부여하였습니다. 또한 임의의 n에 대해 일대일 대응함수 f의 모든 경우를 보인 것이아니라 특정한 일대일 대응함수 f를 들어 g(n)이 짝수가 되는 것을 보인 경우 0점을 부여하였습니다. 많은 경우 귀류법을 잘 시도하였으나, 모순을 일으키는 지점에서 ’어떤 i에 대해 i-f(i)가 짝수가 된다’는 것을 증명없이 사용한 사례가 많았습니다. 이 경우 증명하려는 내용을 단순히다른 말로 다시 표현한 것에 불과하기 때문에 높은 점수를 부여할 수 없었습니다.
9
2019년 14번√3이 무리수임을 이용하여 tan 1◦가 무리수임을 보이시오.
[풀이]tan1◦가 유리수라고 가정하자.
tan2◦=tan(1+1)◦ =2 · tan 1◦
1− (tan 1◦)2이므로
(tan1◦ 6= ±1. ∵ 0 < θ < 45◦ ⇒ 0 < tan θ < 1)tan2◦도 유리수임을 알 수있다.
tan 3◦ =tan 1◦ + tan 2◦
1− tan 1◦ · tan 2◦이므로, 마찬가지로 tan3◦도 유리수임을 알 수 있다.
같은 방식으로, 귀납적으로 1≤ n ≤60인 n에 대해 tann◦는 tan1◦의 사칙연산으로 표현됨을 알수 있고, 유리수는 0으로 나누는 것을 제외한 사칙연산에 대해 닫혀있으므로 tann◦ 또한 유리수이다.하지만 n = 60일 때, tan60◦ =
√3이므로 무리수이다.
이는 모순이므로, tan1◦는 유리수가 아닌 무리수임을 알 수 있다.
[채점 기준]∗ 꼭 n = 60인 경우에 대해 판단하는 것이 아니라 n = 15, 30 등의 경우에 연관지어도 위와 같은논리적 흐름을 통해 오류 없이 제대로 증명한 경우는 모두 만점(11점) 처리하였다.∗ n = 90의 경우 tann◦는 정의되지 않으므로, 일반적인 자연수 n에 대해 tann◦가 유리수라고서술한 경우 -3점. (n의 범위를 tann◦가 정의되는 영역으로 적절히 제한한 경우에는 감점하지않았다. n을 2의 자승이나, 90 미만의 자연수 등으로 제한하는 경우가 대표적이었다.)∗ tan의 덧셈정리를 알고있는 것으로 간주하여 ”사칙연산”이라는 표현 없이 단순히 ”tan1◦로표현된다” 로 서술한 경우는 감점하지 않았다.∗ 증명의 흐름은 옳으나 서술 시 논리가 빈약한 경우 -5점. (무리수임을 모이는 데에 유리화를하지 않은 경우도 포함)
[채점 소감] 문제를 해결한 많은 학생들이 대체로 옳은 서술을 하였기에, 배점을 나누기보다는만점에서 감점하는 방식을 택했다. 단순한 계산 문제가 아닌 증명 문제이므로, 증명의 방향을올바르게아는지에대한여부를확인하였다.이에따라증명에논리가부족한경우가 5점감점이된 것이며, 유리수의 사칙연산에 대한 언급 등의 오류는 3점 감점으로 결론지었다.증명 문제는 주어진 조건을 활용하여 논리적인 전개를 통해 결론을 이끌어 내는 것이 핵심이다.아직 익숙하지 않은 학생들은 가정에서 결론까지 이르는 논리 과정을 비약 없이 질서정연하게서술하는 방법을 익히는 것이 필요할 것이다.문제 해석을 잘못하여
√3이 무리수임을 증명하는 방식을(3p2 = q2를 만족하는 0이 아닌 정수쌍
p, q가 없음을 이용하는 방식) 사용하는 학생이 많이 보였고, 무리수는 a +√b(a, b는 유리수)
꼴로 표현된다는 오개념을(반례: 2의 세제곱근) 가진 학생도 상당수 존재했다.
10
2019년 15번 좌표평면에서 점 P는 원 x2 + y2 = 1 위의 움직이는 점이고,
점 Q는 원 (x − 6)2 + y2 = 1 위의 움직이는 점이다. 선분 PQ의 2 : 1 내분점을 R이라 하자.점 R이 나타내는 영역의 넓이를 구하시오.
[풀이]P점을 (cos θ, sin θ), Q점을 (6 + cosφ, sinφ)라 하자 (0 ≤ θ, φ ≤ 2π). 그렇다면 PQ의 2:1
내분점 R은 (4 +
cos θ + 2 cosφ
3,sin θ + 2 sinφ
3
).
R을 (x, y)라고 하면 x = 4 +cos θ + 2 cosφ
3, y =
sin θ + 2 sinφ
3. 그러므로
9((x− 4)2 + y2) = (cos2 θ + 4 cos θ cosφ+ 4 cos2 φ) + (sin2 θ + 4 sin θ sinφ+ 4 sin2 φ)
= 5 + 4(cos θ cosφ+ sin θ sinφ)
= 5 + 4 cos(φ− θ).이때 −2π ≤ φ− θ ≤ 2π 이므로 −1 ≤ cos(φ− θ) ≤ 1. 따라서
1 ≤ 9((x− 4)2 + y2) ≤ 9,
이고 R의 자취는 중심이 (4, 0)이고 반지름이 1인 원에서 반지름이 1/3인 원을 빼준 부분이다.
넓이는 π − π
9=
8π
9이다.
[채점 기준] 아주 엄밀한 풀이가 아니어도 전반적으로 잘 설명이 된 경우 (이를 테면, 그림으로설명한 경우)에는 최대한 점수를 주려고 하였습니다. 다만 답은 맞았으나 논리적 비약이 있는경우최대 2점까지감점된부분이있습니다.벡터를이용한풀이의경우같은맥락이면같은채점기준을 적용했습니다.
(1) 내분점의 공식을 제대로 구한 경우 +2점(2) 전체 원이 π인 것까지 구한 경우 +4점
(3)π
9를 빼줘야 하는 것까지 구한 경우 +5점
(4) 1:2 내분점으로 풀었을 경우 -2점(5) 풀이는 맞았으나 답이 틀린 경우 -2점(6) 원의 넓이를 구할 때 π를 곱해주지 않은 경우 -1점
[채점 소감] 중간에 빠지는 부분이 있는 것을 찾지 못해 π를 오답으로 제었시한 경우가 많았습니다. 그럼에도 엄밀하고 훌륭한 풀이가 많았다고 생각합니다. 어떻게 풀어야 하는 지는 아는것 같지만, 엄밀성이 떨어지는 풀이들이 많이 보였습니다. 풀이의 엄밀성을 추구하는 자세가필요합니다. 한편, 원의 넓이를 구할 때 원주율을 곱하지 않은 풀이가 많았습니다.
11
2019년 16번 함수 f1(x)가 닫힌 구간 [0, 1]에서 정의된 연속함수일 때, 자연수 n에 대하여
fn+1(x) =
∫ x
0fn(t) dt
로 정의하자. 구간 [0, 1]에 있는 임의의 x에 대하여,
limn→∞
fn(x) = 0
임을 보이시오.
[풀이]f1은 닫힌 구간에서 정의된 연속함수이므로 최대 최소 정리에 의해 최댓값과 최솟값을 가진
다. 즉, 어떤 양의 실수 M이 존재해서 모든 0 ≤ x ≤ 1에 대해 |f1(x)| ≤ M을 만족한다. 이제,귀납적으로 모든 양의 정수 n에 대해
|fn(x)| ≤Mxn−1
(n− 1)!(1)
이 성립함을 보이겠다.n = 1인경우는위의논증에의해바로성립.다음으로 n = k인경우를가정하면,즉 0 ≤ x ≤ 1
에 대해 |fk(x)| ≤ Mxk−1
(k−1)!임을 가정하면,
|fk+1(x)| =∣∣∣∣∫ x
0fk(t)dt
∣∣∣∣≤∫ x
0|fk(t)|dt
≤∫ x
0
Mtk−1
(k − 1)!dt =
[Mtk
k!
]x0
=Mxk
k!.
즉, n = k + 1일 때도 증명된다. 그러므로 수학적 귀납법에 의해 (1)이 성립한다. 따라서,
limn→∞
|fn(x)| ≤ limn→∞
Mxn−1
(n− 1)!≤ lim
n→∞
M
(n− 1)!= 0
이 되어 증명이 끝난다.
[채점 기준] 모범답안의 논리대로 결론을 이끌었으면 11점.(1)과 비슷한 근사식을 만들었지만, 문제의 결론을 내릴 수 없는 식을 이용하여 푼 경우 4점.
대표적 예시로 |fn(x)| ≤ Mxn−1과 같이 더 약한 부등식이 있는데, 이 관계식으로는 x = 1인경우를 증명할 수 없음.
[채점 소감] 약한 관계식을 이용할 경우 문제가 완벽하게 해결될 수 없게 구성되어있다. 이 점을주의해야 한다.