2021 - ordinaria matemÁticas ii

21
Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade 2021 - ordinaria CΓ³digo: 20 MATEMÁTICAS II O exame consta de 8 preguntas de 2 puntos, das que pode responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como queira. 1. NΓΊmeros e Álxebra: Sexa = οΏ½ οΏ½ a matriz de dimensiΓ³n 3Γ—3 definida por = οΏ½ 1 se = 2, (βˆ’1) (βˆ’ 1) se β‰  2. Explique se e + son ou non invertibles e calcule as inversas cando existan. (Nota: Γ© o elemento de que estΓ‘ na fila e na columna , e Γ© a matriz identidade.) 2. NΓΊmeros e Álxebra: Discuta, segundo os valores do parΓ‘metro , o sistema οΏ½ + 2 = , + 3 = 1, + ( + 2) + ( + 1) = + 1. 3. AnΓ‘lise: De entre tΓ³dolos rectΓ‘ngulos situados no primeiro cuadrante que teΓ±en dous lados sobre os eixes de coordenadas e un vΓ©rtice sobre a recta +2 =4, determine os vΓ©rtices do que ten maior Γ‘rea. 4. AnΓ‘lise: Dada a funciΓ³n ()= οΏ½ 2 βˆ’βˆ’ 1 se ≀ 0, βˆ’ 2 βˆ’βˆ’ 1 se > 0, calcule a Γ‘rea da rexiΓ³n encerrada pola grΓ‘fica de e as rectas =4βˆ’ 7 e =1. 5. XeometrΓ­a: a) ObteΓ±a a ecuaciΓ³n implΓ­cita do plano que pasa polos puntos (1,0,0), (0,2,0) e (0,0,3). b) Calcule o punto simΓ©trico de (10, βˆ’5,5) con respecto ao plano :6 +3 +2βˆ’ 6=0. 6. XeometrΓ­a: a) Ache o valor de se o plano : + + =0 Γ© paralelo Γ‘ recta : οΏ½ =1+ , =1+ , =2+ , βˆˆβ„. b) Estude a posiciΓ³n relativa dos planos 1 : 2 + + + = 0 e 2 :(βˆ’ 1) + + 3 = 0 en funciΓ³n do parΓ‘metro . 7. EstatΓ­stica e Probabilidade: a) Sexan e dous sucesos dun mesmo espazo mostral. Calcule () sabendo que ()=2(), (∩) = 0.1 e (βˆͺ) = 0.8. b) Diga se os sucesos e son ou non independentes, se se sabe que () = 0.6, () = 0.3 e ( Μ… βˆͺ οΏ½ ) = 0.82. 8. EstatΓ­stica e Probabilidade: O portador dunha certa enfermidade ten un 10% de probabilidades de contaxiala a quen non estivo exposto a ela. Se entra en contacto con 8 persoas que non estiveron expostas, calcule: a) A probabilidade de que contaxie a un mΓ‘ximo de 2 persoas. b) A probabilidade de que contaxie a 2 persoas polo menos.

Upload: others

Post on 25-Jun-2022

1 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II O exame consta de 8 preguntas de 2 puntos, das que pode responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como queira. 1. Números e Álxebra:

Sexa 𝐴𝐴 = οΏ½π‘Žπ‘Žπ‘–π‘–π‘–π‘–οΏ½ a matriz de dimensiΓ³n 3 Γ— 3 definida por π‘Žπ‘Žπ‘–π‘–π‘–π‘– = οΏ½1 se 𝑖𝑖 = 2,(βˆ’1)𝑖𝑖(𝑖𝑖 βˆ’ 1) se 𝑖𝑖 β‰  2. Explique se 𝐴𝐴 e

𝐴𝐴 + 𝐼𝐼 son ou non invertibles e calcule as inversas cando existan. (Nota: π‘Žπ‘Žπ‘–π‘–π‘–π‘– Γ© o elemento de 𝐴𝐴 que estΓ‘ na fila 𝑖𝑖 e na columna 𝑗𝑗, e 𝐼𝐼 Γ© a matriz identidade.) 2. NΓΊmeros e Álxebra:

Discuta, segundo os valores do parΓ‘metro π‘šπ‘š, o sistema οΏ½π‘₯π‘₯ + 2𝑦𝑦 = π‘šπ‘š,

π‘šπ‘šπ‘¦π‘¦ + 3𝑧𝑧 = 1,π‘₯π‘₯ + (π‘šπ‘š + 2)𝑦𝑦 + (π‘šπ‘š + 1)𝑧𝑧 = π‘šπ‘š + 1.

3. AnΓ‘lise: De entre tΓ³dolos rectΓ‘ngulos situados no primeiro cuadrante que teΓ±en dous lados sobre os eixes de coordenadas e un vΓ©rtice sobre a recta π‘₯π‘₯ + 2𝑦𝑦 = 4, determine os vΓ©rtices do que ten maior Γ‘rea. 4. AnΓ‘lise:

Dada a funciΓ³n 𝑓𝑓(π‘₯π‘₯) = οΏ½π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 se π‘₯π‘₯ ≀ 0,βˆ’π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 se π‘₯π‘₯ > 0,

calcule a Γ‘rea da rexiΓ³n encerrada pola grΓ‘fica de 𝑓𝑓 e as

rectas 𝑦𝑦 = 4π‘₯π‘₯ βˆ’ 7 e 𝑦𝑦 = 1. 5. XeometrΓ­a: a) ObteΓ±a a ecuaciΓ³n implΓ­cita do plano πœ‹πœ‹ que pasa polos puntos 𝐴𝐴(1,0,0), 𝐡𝐡(0,2,0) e 𝐢𝐢(0,0,3). b) Calcule o punto simΓ©trico de 𝑃𝑃(10,βˆ’5,5) con respecto ao plano πœ‹πœ‹: 6π‘₯π‘₯ + 3𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 βˆ’ 6 = 0. 6. XeometrΓ­a:

a) Ache o valor de π‘Žπ‘Ž se o plano πœ‹πœ‹:π‘Žπ‘Žπ‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 0 Γ© paralelo Γ‘ recta π‘Ÿπ‘Ÿ: οΏ½π‘₯π‘₯ = 1 + πœ†πœ†,𝑦𝑦 = 1 + πœ†πœ†,𝑧𝑧 = 2 + πœ†πœ†,

πœ†πœ† ∈ ℝ.

b) Estude a posiciΓ³n relativa dos planos πœ‹πœ‹1: 2π‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦 + π‘šπ‘šπ‘§π‘§ + π‘šπ‘š = 0 e πœ‹πœ‹2: (π‘šπ‘š βˆ’ 1)π‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 0 en funciΓ³n do parΓ‘metro π‘šπ‘š. 7. EstatΓ­stica e Probabilidade: a) Sexan 𝐴𝐴 e 𝐡𝐡 dous sucesos dun mesmo espazo mostral. Calcule 𝑃𝑃(𝐴𝐴) sabendo que 𝑃𝑃(𝐡𝐡) = 2𝑃𝑃(𝐴𝐴), 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐡𝐡) = 0.1 e 𝑃𝑃(𝐴𝐴 βˆͺ 𝐡𝐡) = 0.8. b) Diga se os sucesos 𝐴𝐴 e 𝐡𝐡 son ou non independentes, se se sabe que

𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 0.6, 𝑃𝑃(𝐡𝐡) = 0.3 e 𝑃𝑃(�̅�𝐴 βˆͺ 𝐡𝐡�) = 0.82. 8. EstatΓ­stica e Probabilidade: O portador dunha certa enfermidade ten un 10% de probabilidades de contaxiala a quen non estivo exposto a ela. Se entra en contacto con 8 persoas que non estiveron expostas, calcule: a) A probabilidade de que contaxie a un mΓ‘ximo de 2 persoas. b) A probabilidade de que contaxie a 2 persoas polo menos.

Page 2: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera. 1. Números y Álgebra:

Sea 𝐴𝐴 = οΏ½π‘Žπ‘Žπ‘–π‘–π‘–π‘–οΏ½ la matriz de dimensiΓ³n 3 Γ— 3 definida por π‘Žπ‘Žπ‘–π‘–π‘–π‘– = οΏ½1 si 𝑖𝑖 = 2,(βˆ’1)𝑖𝑖(𝑖𝑖 βˆ’ 1) si 𝑖𝑖 β‰  2. Explique si 𝐴𝐴 y

𝐴𝐴 + 𝐼𝐼 son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan. (Nota: π‘Žπ‘Žπ‘–π‘–π‘–π‘– es el elemento de 𝐴𝐴 que estΓ‘ en la fila 𝑖𝑖 y en la columna 𝑗𝑗, e 𝐼𝐼 es la matriz identidad.) 2. NΓΊmeros y Álgebra:

Discuta, segΓΊn los valores del parΓ‘metro π‘šπ‘š, el sistema οΏ½π‘₯π‘₯ + 2𝑦𝑦 = π‘šπ‘š,

π‘šπ‘šπ‘¦π‘¦ + 3𝑧𝑧 = 1,π‘₯π‘₯ + (π‘šπ‘š + 2)𝑦𝑦 + (π‘šπ‘š + 1)𝑧𝑧 = π‘šπ‘š + 1.

3. AnΓ‘lisis: De entre todos los rectΓ‘ngulos situados en el primer cuadrante que tienen dos lados sobre los ejes de coordenadas y un vΓ©rtice sobre la recta π‘₯π‘₯ + 2𝑦𝑦 = 4, determine los vΓ©rtices del que tiene mayor Γ‘rea. 4. AnΓ‘lisis:

Dada la funciΓ³n 𝑓𝑓(π‘₯π‘₯) = οΏ½π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 si π‘₯π‘₯ ≀ 0,βˆ’π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 si π‘₯π‘₯ > 0,

calcule el Γ‘rea de la regiΓ³n encerrada por la grΓ‘fica de 𝑓𝑓

y las rectas 𝑦𝑦 = 4π‘₯π‘₯ βˆ’ 7 e 𝑦𝑦 = 1. 5. GeometrΓ­a: a) Obtenga la ecuaciΓ³n implΓ­cita del plano πœ‹πœ‹ que pasa por los puntos 𝐴𝐴(1,0,0), 𝐡𝐡(0,2,0) y 𝐢𝐢(0,0,3). b) Calcule el punto simΓ©trico de 𝑃𝑃(10,βˆ’5,5) con respecto al plano πœ‹πœ‹: 6π‘₯π‘₯ + 3𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 βˆ’ 6 = 0. 6. GeometrΓ­a:

a) Halle el valor de π‘Žπ‘Ž si el plano πœ‹πœ‹:π‘Žπ‘Žπ‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 0 es paralelo a la recta π‘Ÿπ‘Ÿ: οΏ½π‘₯π‘₯ = 1 + πœ†πœ†,𝑦𝑦 = 1 + πœ†πœ†,𝑧𝑧 = 2 + πœ†πœ†,

πœ†πœ† ∈ ℝ.

b) Estudie la posiciΓ³n relativa de los planos πœ‹πœ‹1: 2π‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦 + π‘šπ‘šπ‘§π‘§ + π‘šπ‘š = 0 y πœ‹πœ‹2: (π‘šπ‘š βˆ’ 1)π‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 0 en funciΓ³n del parΓ‘metro π‘šπ‘š. 7. EstadΓ­stica y Probabilidad: a) Sean 𝐴𝐴 y 𝐡𝐡 dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcule 𝑃𝑃(𝐴𝐴) sabiendo que 𝑃𝑃(𝐡𝐡) = 2𝑃𝑃(𝐴𝐴), 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐡𝐡) = 0.1 y 𝑃𝑃(𝐴𝐴 βˆͺ 𝐡𝐡) = 0.8. b) Diga si los sucesos 𝐴𝐴 y 𝐡𝐡 son o no independientes, si se sabe que

𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 0.6, 𝑃𝑃(𝐡𝐡) = 0.3 y 𝑃𝑃(�̅�𝐴 βˆͺ 𝐡𝐡�) = 0.82. 8. EstadΓ­stica y Probabilidad: El portador de una cierta enfermedad tiene un 10% de probabilidades de contagiarla a quien no estuvo expuesto a ella. Si entra en contacto con 8 personas que no estuvieron expuestas, calcule: a) La probabilidad de que contagie a un mΓ‘ximo de 2 personas. b) La probabilidad de que contagie a 2 personas por lo menos.

Page 3: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 1. π‘Žπ‘Ž11 = π‘Žπ‘Ž12 = π‘Žπ‘Ž13 = 0. Ao ter unha fila de ceros, a matriz 𝑨𝑨 non ten inversa. π‘Žπ‘Ž21 = π‘Žπ‘Ž22 = π‘Žπ‘Ž23 = 1, π‘Žπ‘Ž31 = βˆ’2, π‘Žπ‘Ž32 = 2 e π‘Žπ‘Ž33 = βˆ’2.

𝐴𝐴 = �0 0 01 1 1

βˆ’2 2 βˆ’2οΏ½ ⟹ 𝐴𝐴 + 𝐼𝐼 = οΏ½

1 0 01 2 1

βˆ’2 2 βˆ’1οΏ½.

det(𝐴𝐴 + 𝐼𝐼) = βˆ’2 βˆ’ 2 = βˆ’4 β‰  0, polo que a matriz 𝑨𝑨 + 𝑰𝑰 si que ten inversa.

(𝑨𝑨 + 𝑰𝑰)βˆ’πŸπŸ = βˆ’14οΏ½βˆ’4 βˆ’1 6

0 βˆ’1 βˆ’20 βˆ’1 2

�𝑇𝑇

= βˆ’πŸπŸπŸ’πŸ’οΏ½βˆ’πŸ’πŸ’ 𝟎𝟎 πŸŽπŸŽβˆ’πŸπŸ βˆ’πŸπŸ βˆ’πŸπŸπŸ”πŸ” βˆ’πŸπŸ 𝟐𝟐

� = �𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎

𝟏𝟏/πŸ’πŸ’ 𝟏𝟏/πŸ’πŸ’ 𝟏𝟏/πŸ’πŸ’βˆ’πŸ‘πŸ‘/𝟐𝟐 𝟏𝟏/𝟐𝟐 βˆ’πŸπŸ/𝟐𝟐

οΏ½.

Page 4: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 2.

οΏ½1 2 00 π‘šπ‘š 31 π‘šπ‘š + 2 π‘šπ‘š + 1

οΏ½π‘šπ‘š1

π‘šπ‘š + 1�𝐹𝐹3 βˆ’ 𝐹𝐹1⟢ οΏ½

1 2 00 π‘šπ‘š 30 π‘šπ‘š π‘šπ‘š + 1

οΏ½π‘šπ‘š11�𝐹𝐹3 βˆ’ 𝐹𝐹2⟢ οΏ½

1 2 00 π‘šπ‘š 30 0 π‘šπ‘š βˆ’ 2

οΏ½π‘šπ‘š10οΏ½.

Sistema triangular equivalente:

οΏ½π‘₯π‘₯ + 2𝑦𝑦 = π‘šπ‘š,

π‘šπ‘šπ‘¦π‘¦ + 3𝑧𝑧 = 1,(π‘šπ‘šβˆ’ 2)𝑧𝑧 = 0.

DiscusiΓ³n:

β€’ Se π’Žπ’Ž ∈ ℝ βˆ– {𝟎𝟎,𝟐𝟐}, entΓ³n o sistema Γ© compatible determinado, xa que a sΓΊa ΓΊnica soluciΓ³n

Γ© 𝑧𝑧 = 0, 𝑦𝑦 = 1π‘šπ‘š

, π‘₯π‘₯ = π‘šπ‘š βˆ’ 2𝑦𝑦.

β€’ Se π’Žπ’Ž = 𝟎𝟎, temos οΏ½π‘₯π‘₯ + 2𝑦𝑦 = 0,

3𝑧𝑧 = 1,βˆ’2𝑧𝑧 = 0.

O sistema Γ© incompatible, porque as dΓΊas ΓΊltimas ecuaciΓ³ns non se poden cumprir Γ‘ vez.

β€’ Se π’Žπ’Ž = 𝟐𝟐, temos οΏ½π‘₯π‘₯ + 2𝑦𝑦 = 2,

2𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 1,0 = 0.

O sistema Γ© compatible indeterminado, xa que ten as seguintes infinitas soluciΓ³ns:

�𝑧𝑧 = πœ†πœ†, 𝑦𝑦 =1 βˆ’ 3πœ†πœ†

2, π‘₯π‘₯ = 2 βˆ’ (1 βˆ’ 3πœ†πœ†) = 1 + 3πœ†πœ†οΏ½ , πœ†πœ† ∈ ℝ.

Page 5: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II SOLUCIΓ“N ALTERNATIVA:

𝐴𝐴 = οΏ½1 2 00 π‘šπ‘š 31 π‘šπ‘š + 2 π‘šπ‘š + 1

οΏ½, π΄π΄βˆ— = οΏ½1 2 00 π‘šπ‘š 31 π‘šπ‘š + 2 π‘šπ‘š + 1

οΏ½π‘šπ‘š1

π‘šπ‘š + 1οΏ½, rank𝐴𝐴 ≀ rankπ΄π΄βˆ— ≀ 3 βˆ€π‘šπ‘š ∈ ℝ.

Como οΏ½2 0π‘šπ‘š 3οΏ½ = 6 β‰  0, Γ© seguro que rank𝐴𝐴 β‰₯ 2 βˆ€π‘šπ‘š ∈ ℝ e que [rank𝐴𝐴 = 2 ⇔ det𝐴𝐴 = 0].

det𝐴𝐴 = οΏ½1 2 00 π‘šπ‘š 31 π‘šπ‘š + 2 π‘šπ‘š + 1

οΏ½ = π‘šπ‘š(π‘šπ‘š + 1) + 6 βˆ’ 3(π‘šπ‘š + 2) = π‘šπ‘š2 + π‘šπ‘š + 6 βˆ’ 3π‘šπ‘š βˆ’ 6 = π‘šπ‘š2 βˆ’ 2π‘šπ‘š

= π‘šπ‘š(π‘šπ‘šβˆ’ 2) = 0 βŸΊπ‘šπ‘š ∈ {0,2}. DiscusiΓ³n:

β€’ Caso π’Žπ’Ž ∈ ℝ βˆ– {𝟎𝟎,𝟐𝟐}: rank𝐴𝐴 = rankπ΄π΄βˆ— = 3 = n.o de incΓ³gnitas, polo que o sistema Γ© compatible determinado.

β€’ Caso π’Žπ’Ž = 𝟎𝟎: rank𝐴𝐴 = 2 e π΄π΄βˆ— = οΏ½1 2 00 0 31 2 1

οΏ½011οΏ½. Ao ser οΏ½

1 0 00 3 11 1 1

οΏ½ = 3 βˆ’ 1 = 2 β‰  0, tense

que rankπ΄π΄βˆ— = 3 > rank𝐴𝐴, situaciΓ³n na que o sistema Γ© incompatible.

β€’ Caso π’Žπ’Ž = 𝟐𝟐: rank𝐴𝐴 = 2 e π΄π΄βˆ— = οΏ½1 2 00 2 31 4 3

οΏ½213οΏ½. Ao ser οΏ½

1 0 20 3 11 3 3

οΏ½ = 9 βˆ’ 6 βˆ’ 3 = 0, tense

que rankπ΄π΄βˆ— = 2 = rank𝐴𝐴 < 3 = n.o de incΓ³gnitas, situaciΓ³n na que o sistema Γ© compatible indeterminado.

Page 6: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 3.

Corte da recta π‘₯π‘₯ + 2𝑦𝑦 = 4 co eixe de abscisas:

π‘₯π‘₯ + 2𝑦𝑦 = 4 ⇔ 𝑦𝑦 =4 βˆ’ π‘₯π‘₯

2.

4 βˆ’ π‘₯π‘₯2

= 0 ⇔ π‘₯π‘₯ = 4. AsΓ­ pois, hai que achar o mΓ‘ximo de 𝐴𝐴(π‘₯π‘₯) = π‘₯π‘₯ οΏ½4βˆ’π‘₯π‘₯

2οΏ½, π‘₯π‘₯ ∈ (0,4).

𝐴𝐴(π‘₯π‘₯) =12

(4π‘₯π‘₯ βˆ’ π‘₯π‘₯2), 𝐴𝐴′(π‘₯π‘₯) =12

(4 βˆ’ 2π‘₯π‘₯) = 2 βˆ’ π‘₯π‘₯ = 0 ⇔ π‘₯π‘₯ = 2. Hai mΓ‘ximo en π‘₯π‘₯ = 2 porque 𝐴𝐴′′(2) = βˆ’1 < 0 (ou porque 𝑦𝑦 = 𝐴𝐴(π‘₯π‘₯) Γ© a ecuaciΓ³n dunha parΓ‘bola cΓ³ncava con vΓ©rtice en π‘₯π‘₯ = 2). Posto que 4βˆ’2

2= 1, os vΓ©rtices pedidos son

𝑨𝑨(𝟎𝟎,𝟎𝟎),𝑩𝑩(𝟎𝟎,𝟏𝟏),π‘ͺπ‘ͺ(𝟐𝟐,𝟏𝟏),𝑫𝑫(𝟐𝟐,𝟎𝟎).

NOTA: como Γ© frecuente facer, neste exercicio sobreentendemos que o vΓ©rtice que ten que estar sobre a recta π‘Ÿπ‘Ÿ: π‘₯π‘₯ + 2𝑦𝑦 = 4 Γ© o 𝐢𝐢 (ver debuxo, arriba), que vai escorregando sobre π‘Ÿπ‘Ÿ. Certamente, tamΓ©n se poderΓ­an engadir ao estudo os casos nos que

β€’ Γ© o punto 𝐡𝐡(0,2), fixo, o que estΓ‘ sobre π‘Ÿπ‘Ÿ, e β€’ Γ© o punto 𝐷𝐷(4,0), fixo, o que estΓ‘ sobre π‘Ÿπ‘Ÿ,

e, entΓ³n, non hai rectΓ‘ngulo de Γ‘rea mΓ‘xima. En efecto, consideremos por exemplo o primeiro destes dous casos. EntΓ³n, a funciΓ³n pasa a ser 𝐴𝐴(π‘₯π‘₯) = 2π‘₯π‘₯, con π‘₯π‘₯ ∈ (0,∞) ou, dependendo de interpretaciΓ³ns, π‘₯π‘₯ ∈ (0,∞) βˆ– {4}. Tanto cun dominio coma co outro, esa funciΓ³n non ten mΓ‘ximo. Esta aproximaciΓ³n ao problema tamΓ©n se considerarΓ‘ vΓ‘lida.

Page 7: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 4.

𝑦𝑦 = π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1, 𝑦𝑦′ = 2π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 = 0 ⇔ π‘₯π‘₯ =12

, 𝑦𝑦′′ = 2 > 0.

Logo 𝑦𝑦 = π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 Γ© unha parΓ‘bola convexa con vΓ©rtice en π‘₯π‘₯ = 12.

𝑦𝑦 = βˆ’π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1, 𝑦𝑦′ = βˆ’2π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 = 0 ⇔ π‘₯π‘₯ = βˆ’12

, 𝑦𝑦′′ = βˆ’2 < 0.

Logo 𝑦𝑦 = βˆ’π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 Γ© unha parΓ‘bola cΓ³ncava con vΓ©rtice en π‘₯π‘₯ = βˆ’12.

π‘₯π‘₯ 𝑦𝑦 = π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 π‘₯π‘₯ 𝑦𝑦 = βˆ’π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 π‘₯π‘₯ 𝑦𝑦 = 4π‘₯π‘₯ βˆ’ 7 0 βˆ’1 0 βˆ’1 0 βˆ’7

βˆ’1 1 1 βˆ’3 1 βˆ’3 βˆ’2 5 2 βˆ’7 2 1

Como vemos, ao buscar puntos para a representaciΓ³n grΓ‘fica xa poden saΓ­r os puntos de corte. Se non, procΓ©dese como segue.

β€’ Corte de 𝑦𝑦 = 1 con 𝑦𝑦 = π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1: π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 = 1 ⇔ π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 2 = 0 ⇔

π‘₯π‘₯ =1 Β± √1 + 8

2=

1 Β± 32

⇔ π‘₯π‘₯ ∈ {βˆ’1,2}.

SΓ³ nos interesa π‘₯π‘₯ = βˆ’1. β€’ Corte de 𝑦𝑦 = 1 con 𝑦𝑦 = 4π‘₯π‘₯ βˆ’ 7:

4π‘₯π‘₯ βˆ’ 7 = 1 ⇔ 4π‘₯π‘₯ = 8 ⇔ π‘₯π‘₯ = 2. β€’ Corte de 𝑦𝑦 = 4π‘₯π‘₯ βˆ’ 7 con 𝑦𝑦 = βˆ’π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1:

βˆ’π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 = 4π‘₯π‘₯ βˆ’ 7 ⇔ π‘₯π‘₯2 + 5π‘₯π‘₯ βˆ’ 6 = 0 ⇔

π‘₯π‘₯ =βˆ’5 Β± √25 + 24

2=βˆ’5 Β± 7

2⇔ π‘₯π‘₯ ∈ {βˆ’6,1}.

SΓ³ nos interesa π‘₯π‘₯ = 1.

A Γ‘rea pedida Γ©

𝑨𝑨 = οΏ½ [1 βˆ’ (π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1)] 𝑑𝑑π‘₯π‘₯ + οΏ½ [1 βˆ’ (βˆ’π‘₯π‘₯2 βˆ’ π‘₯π‘₯ βˆ’ 1)] 𝑑𝑑π‘₯π‘₯ + οΏ½ Γ‘rea dun triΓ‘ngulode base 1 e altura 4

οΏ½ =1

0

0

βˆ’1

οΏ½ (βˆ’π‘₯π‘₯2 + π‘₯π‘₯ + 2) 𝑑𝑑π‘₯π‘₯ + οΏ½ (π‘₯π‘₯2 + π‘₯π‘₯ + 2) 𝑑𝑑π‘₯π‘₯ +1 βˆ™ 4

2=

1

0

0

βˆ’1

οΏ½βˆ’π‘₯π‘₯3

3+π‘₯π‘₯2

2+ 2π‘₯π‘₯οΏ½

βˆ’1

0

+ οΏ½π‘₯π‘₯3

3+π‘₯π‘₯2

2+ 2π‘₯π‘₯οΏ½

0

1

+ 2 = βˆ’οΏ½13

+12βˆ’ 2οΏ½ + οΏ½

13

+12

+ 2οΏ½ + 2 = πŸ”πŸ”.

Page 8: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 5. 5.a) Plano πœ‹πœ‹ que pasa por 𝐴𝐴(1,0,0),𝐡𝐡(0,2,0) e 𝐢𝐢(0,0,3):

πœ‹πœ‹ pasa por 𝐴𝐴(1,0,0) e estΓ‘ xerado por 𝐴𝐴𝐡𝐡�����⃗ (βˆ’1,2,0) e 𝐴𝐴𝐢𝐢�����⃗ (βˆ’1,0,3). Logo πœ‹πœ‹: οΏ½π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 𝑦𝑦 π‘§π‘§βˆ’1 2 0βˆ’1 0 3

οΏ½ = 0.

οΏ½π‘₯π‘₯ βˆ’ 1 𝑦𝑦 π‘§π‘§βˆ’1 2 0βˆ’1 0 3

οΏ½ = 6(π‘₯π‘₯ βˆ’ 1) + 2𝑧𝑧 + 3𝑦𝑦 = 6π‘₯π‘₯ + 3𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 βˆ’ 6 β‡’ 𝝅𝝅:πŸ”πŸ”πŸ”πŸ” + πŸ‘πŸ‘πŸ‘πŸ‘ + 𝟐𝟐𝟐𝟐 βˆ’ πŸ”πŸ” = 𝟎𝟎.

5.b) Punto simΓ©trico de 𝑃𝑃(10,βˆ’5,5) con respecto ao plano πœ‹πœ‹: 6π‘₯π‘₯ + 3𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 βˆ’ 6 = 0:

β€’ EcuaciΓ³ns paramΓ©tricas da recta π‘Ÿπ‘Ÿ que pasa por 𝑃𝑃(10,βˆ’5,5) e Γ© perpendicular a πœ‹πœ‹:

π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿ = 𝑛𝑛�⃗ πœ‹πœ‹(6,3,2), co cal π‘Ÿπ‘Ÿ: οΏ½π‘₯π‘₯ = 10 + 6πœ†πœ†,𝑦𝑦 = βˆ’5 + 3πœ†πœ†,𝑧𝑧 = 5 + 2πœ†πœ†,

πœ†πœ† ∈ ℝ.

β€’ Corte de π‘Ÿπ‘Ÿ con πœ‹πœ‹: 6(10 + 6πœ†πœ†) + 3(βˆ’5 + 3πœ†πœ†) + 2(5 + 2πœ†πœ†) βˆ’ 6 = 60 + 36πœ†πœ† βˆ’ 15 + 9πœ†πœ† + 10 + 4πœ†πœ† βˆ’ 6

= 49πœ†πœ† + 49 = 0 ⇔ πœ†πœ† = βˆ’1. Logo o punto de corte Γ© 𝑄𝑄(10 βˆ’ 6,βˆ’5 βˆ’ 3,5 βˆ’ 2) = 𝑄𝑄(4,βˆ’8,3).

β€’ Punto simΓ©trico pedido: se chamamos 𝑃𝑃′(π‘₯π‘₯β€²,𝑦𝑦′, 𝑧𝑧′) ao punto, 10 + π‘₯π‘₯β€²

2= 4 ⇔ 10 + π‘₯π‘₯β€² = 8 ⇔ π‘₯π‘₯β€² = βˆ’2,

βˆ’5 + 𝑦𝑦′2

= βˆ’8 ⇔ βˆ’5 + 𝑦𝑦′ = βˆ’16 ⇔ 𝑦𝑦′ = βˆ’11,

5 + 𝑧𝑧′2

= 3 ⇔ 5 + 𝑧𝑧′ = 6 ⇔ 𝑧𝑧′ = 1.

Tense logo 𝑷𝑷′(βˆ’πŸπŸ,βˆ’πŸπŸπŸπŸ,𝟏𝟏).

Page 9: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 6.

6.a) Como πœ‹πœ‹:π‘Žπ‘Žπ‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 0 Γ© paralelo a π‘Ÿπ‘Ÿ: οΏ½π‘₯π‘₯ = 1 + πœ†πœ†,𝑦𝑦 = 1 + πœ†πœ†,𝑧𝑧 = 2 + πœ†πœ†,

πœ†πœ† ∈ ℝ, 𝑛𝑛�⃗ πœ‹πœ‹(π‘Žπ‘Ž, 1,1) debe ser perpendicular

a π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿ(1,1,1): 𝑛𝑛�⃗ πœ‹πœ‹ βˆ™ π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿ = π‘Žπ‘Ž + 1 + 1 = π‘Žπ‘Ž + 2 = 0 ⇔ 𝒂𝒂 = βˆ’πŸπŸ.

6.b) PosiciΓ³n relativa dos planos πœ‹πœ‹1: 2π‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦 + π‘šπ‘šπ‘§π‘§ + π‘šπ‘š = 0 e πœ‹πœ‹2: (π‘šπ‘š βˆ’ 1)π‘₯π‘₯ + 𝑦𝑦 + 3𝑧𝑧 = 0.

οΏ½2

π‘šπ‘šβˆ’ 1=

11

=π‘šπ‘š3οΏ½ ⇔ π‘šπ‘š = 3.

Como non son o mesmo plano cando π‘šπ‘š = 3,

β€’ Se π’Žπ’Ž = πŸ‘πŸ‘, son paralelos (non coincidentes), β€’ Se π’Žπ’Ž ∈ ℝ βˆ– {πŸ‘πŸ‘}, son secantes (cΓ³rtanse nunha recta).

Page 10: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 7. 7.a) 𝑃𝑃(𝐡𝐡) = 2𝑃𝑃(𝐴𝐴), 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐡𝐡) = 0.1 e 𝑃𝑃(𝐴𝐴 βˆͺ 𝐡𝐡) = 0.8.

𝑃𝑃(𝐴𝐴 βˆͺ 𝐡𝐡) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 𝑃𝑃(𝐡𝐡) βˆ’ 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐡𝐡),

0.8 = 𝑃𝑃(𝐴𝐴) + 2𝑃𝑃(𝐴𝐴) βˆ’ 0.1 ⇔ 0.8 = 3𝑃𝑃(𝐴𝐴) βˆ’ 0.1 ⇔ 3𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 0.9 ⇔ 𝑷𝑷(𝑨𝑨) = 𝟎𝟎.πŸ‘πŸ‘. 7.b) 𝑃𝑃(𝐴𝐴) = 0.6, 𝑃𝑃(𝐡𝐡) = 0.3 e 𝑃𝑃(�̅�𝐴 βˆͺ 𝐡𝐡�) = 0.82.

0.82 = 𝑃𝑃(�̅�𝐴 βˆͺ 𝐡𝐡�) = 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐡𝐡�������) = 1 βˆ’ 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐡𝐡) β‡’ 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐡𝐡) = 1 βˆ’ 0.82 = 0.18. Como 𝑃𝑃(𝐴𝐴)𝑃𝑃(𝐡𝐡) = 0.6 βˆ™ 0.3 = 0.18 = 𝑃𝑃(𝐴𝐴 ∩ 𝐡𝐡), os sucesos 𝑨𝑨 e 𝑩𝑩 son independentes.

Page 11: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - ordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 8. 𝑋𝑋 = β€œn.α΅’ de persoas contaxiadas, de entre as 8”. 𝑋𝑋 β†’ 𝐡𝐡(𝑛𝑛,𝑝𝑝), con 𝑛𝑛 = 8 e 𝑝𝑝 = 0.1 (logo π‘žπ‘ž = 1 βˆ’ 𝑝𝑝 = 0.9). 8.a)

𝑷𝑷(𝑿𝑿 ≀ 𝟐𝟐) = 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 0) + 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 1) + 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 2) =

οΏ½80οΏ½

(0.1)0(0.9)8 + οΏ½81οΏ½

(0.1)1(0.9)7 + οΏ½82οΏ½

(0.1)2(0.9)6 =

(0.9)8 + 8(0.1)(0.9)7 + 28(0.1)2(0.9)6 = 𝟎𝟎.πŸ—πŸ—πŸ”πŸ”πŸπŸπŸ—πŸ—.

8.b)

𝑷𝑷(𝑿𝑿 β‰₯ 𝟐𝟐) = 1 βˆ’ 𝑃𝑃(𝑋𝑋 < 2) = 1 βˆ’ {𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 0) + 𝑃𝑃(𝑋𝑋 = 1)} = 1 βˆ’ (0.9)8 βˆ’ 8(0.1)(0.9)7= 𝟎𝟎.πŸπŸπŸπŸπŸ”πŸ”πŸ—πŸ—.

Page 12: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II O exame consta de 8 preguntas de 2 puntos, das que pode responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como queira. 1. NΓΊmeros e Álxebra: Despexe 𝑋𝑋 na ecuaciΓ³n matricial 𝐡𝐡(𝑋𝑋 βˆ’ 𝐼𝐼) = 𝐴𝐴, onde 𝐼𝐼 Γ© a matriz identidade e 𝐴𝐴 e 𝐡𝐡 son matrices cadradas, con 𝐡𝐡 invertible. Logo, calcule 𝑋𝑋 se

𝐴𝐴 = �0 0 01 1 1

βˆ’2 2 βˆ’2οΏ½ e 𝐡𝐡 = οΏ½

1 0 00 1/2 00 0 1/3

οΏ½.

2. Números e Álxebra:

Discuta, segundo os valores do parΓ‘metro π‘šπ‘š, o seguinte sistema: οΏ½π‘šπ‘šπ‘šπ‘š + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2π‘šπ‘š,π‘šπ‘šπ‘šπ‘š + (π‘šπ‘š + 1)𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1,π‘šπ‘šπ‘šπ‘š + (π‘šπ‘š + 1)𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = π‘šπ‘š + 1.

3. AnΓ‘lise: a) Enuncie o teorema de Bolzano. b) ObteΓ±a os valores de π‘Žπ‘Ž, 𝑏𝑏 e 𝑐𝑐 que fan que 𝑓𝑓(π‘šπ‘š) = π‘Žπ‘Žπ‘šπ‘š3 + π‘π‘π‘šπ‘š2 βˆ’ 3π‘šπ‘š + 𝑐𝑐 cumpra 𝑓𝑓(0) = 1 e teΓ±a extremos relativos en π‘šπ‘š = Β±1. Dicir logo se os extremos son mΓ‘ximos ou mΓ­nimos. 4. AnΓ‘lise: a) Enuncie o teorema de Rolle.

b) Calcule a Γ‘rea da rexiΓ³n encerrada polas grΓ‘ficas de 𝑓𝑓(π‘šπ‘š) = π‘šπ‘š + 6 e 𝑔𝑔(π‘šπ‘š) = οΏ½βˆ’2π‘šπ‘š se π‘šπ‘š < 0,π‘šπ‘š2 se π‘šπ‘š β‰₯ 0.

5. XeometrΓ­a:

a) ObteΓ±a a ecuaciΓ³n implΓ­cita do plano πœ‹πœ‹ con ecuaciΓ³ns paramΓ©tricas πœ‹πœ‹: οΏ½π‘šπ‘š = 1 βˆ’ πœ†πœ†,𝑦𝑦 = 2 + πœ‡πœ‡,𝑧𝑧 = 1 + πœ†πœ† + 2πœ‡πœ‡,

πœ†πœ†, πœ‡πœ‡ ∈ ℝ.

b) Calcule o valor de π‘šπ‘š para que os seguintes puntos sexan coplanarios: 𝐴𝐴(0,π‘šπ‘š, 0), 𝐡𝐡(0,2,2), 𝐢𝐢(1,4,3) e 𝐷𝐷(2,0,2). ObteΓ±a a ecuaciΓ³n implΓ­cita do plano πœ‹πœ‹ que os contΓ©n. 6. XeometrΓ­a: Calcule o punto simΓ©trico de 𝑃𝑃(1,1,2) con respecto ao plano πœ‹πœ‹: 2π‘šπ‘š βˆ’ 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 3 = 0. 7. EstatΓ­stica e Probabilidade: Nunha determinada cidade, o 8% da poboaciΓ³n practica ioga, o 20% ten mascota e o 3% practica ioga e ten mascota. Se nesa cidade se elixe unha persoa ao azar, calcule: a) A probabilidade de que non practique ioga e Γ‘ vez teΓ±a mascota. b) A probabilidade de que teΓ±a mascota sabendo que practica ioga. 8. EstatΓ­stica e Probabilidade: O grosor das pranchas de aceiro que se producen nunha certa fΓ‘brica segue unha distribuciΓ³n normal de media 8 mm e desviaciΓ³n tΓ­pica 0.5 mm. Calcule a probabilidade de que unha prancha elixida ao azar teΓ±a un grosor comprendido entre 7.6 mm e 8.2 mm.

Page 13: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que puede responder un MÁXIMO DE 5, combinadas como quiera. 1. NΓΊmeros y Álgebra: Despeje 𝑋𝑋 en la ecuaciΓ³n matricial 𝐡𝐡(𝑋𝑋 βˆ’ 𝐼𝐼) = 𝐴𝐴, donde 𝐼𝐼 es la matriz identidad y 𝐴𝐴 y 𝐡𝐡 son matrices cuadradas, con 𝐡𝐡 invertible. Luego, calcule 𝑋𝑋 si

𝐴𝐴 = �0 0 01 1 1

βˆ’2 2 βˆ’2οΏ½ y 𝐡𝐡 = οΏ½

1 0 00 1/2 00 0 1/3

οΏ½.

2. Números y Álgebra:

Discuta, segΓΊn los valores del parΓ‘metro π‘šπ‘š, el siguiente sistema: οΏ½π‘šπ‘šπ‘šπ‘š + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2π‘šπ‘š,π‘šπ‘šπ‘šπ‘š + (π‘šπ‘š + 1)𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 1,π‘šπ‘šπ‘šπ‘š + (π‘šπ‘š + 1)𝑦𝑦 + 2𝑧𝑧 = π‘šπ‘š + 1.

3. AnΓ‘lisis: a) Enuncie el teorema de Bolzano. b) Obtenga los valores de π‘Žπ‘Ž, 𝑏𝑏 y 𝑐𝑐 que hacen que 𝑓𝑓(π‘šπ‘š) = π‘Žπ‘Žπ‘šπ‘š3 + π‘π‘π‘šπ‘š2 βˆ’ 3π‘šπ‘š + 𝑐𝑐 cumpla 𝑓𝑓(0) = 1 y tenga extremos relativos en π‘šπ‘š = Β±1. Decir luego si los extremos son mΓ‘ximos o mΓ­nimos. 4. AnΓ‘lisis: a) Enuncie el teorema de Rolle.

b) Calcule el Γ‘rea de la regiΓ³n encerrada por las grΓ‘ficas de 𝑓𝑓(π‘šπ‘š) = π‘šπ‘š + 6 y 𝑔𝑔(π‘šπ‘š) = οΏ½βˆ’2π‘šπ‘š si π‘šπ‘š < 0,π‘šπ‘š2 si π‘šπ‘š β‰₯ 0.

5. GeometrΓ­a:

a) Obtenga la ecuaciΓ³n implΓ­cita del plano πœ‹πœ‹ con ecuaciones paramΓ©tricas πœ‹πœ‹: οΏ½π‘šπ‘š = 1 βˆ’ πœ†πœ†,𝑦𝑦 = 2 + πœ‡πœ‡,𝑧𝑧 = 1 + πœ†πœ† + 2πœ‡πœ‡,

πœ†πœ†, πœ‡πœ‡ ∈ ℝ.

b) Calcule el valor de π‘šπ‘š para que los siguientes puntos sean coplanarios: 𝐴𝐴(0,π‘šπ‘š, 0), 𝐡𝐡(0,2,2), 𝐢𝐢(1,4,3) y 𝐷𝐷(2,0,2). Obtenga la ecuaciΓ³n implΓ­cita del plano πœ‹πœ‹ que los contiene. 6. GeometrΓ­a: Calcule el punto simΓ©trico de 𝑃𝑃(1,1,2) con respecto al plano πœ‹πœ‹: 2π‘šπ‘š βˆ’ 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 3 = 0. 7. EstadΓ­stica y Probabilidad: En una determinada ciudad, el 8% de la poblaciΓ³n practica yoga, el 20% tiene mascota y el 3% practica yoga y tiene mascota. Si en esa ciudad se elige una persona al azar, calcule: a) La probabilidad de que no practique yoga y a la vez tenga mascota. b) La probabilidad de que tenga mascota sabiendo que practica yoga. 8. EstadΓ­stica y Probabilidad: El grosor de las planchas de acero que se producen en una cierta fΓ‘brica sigue una distribuciΓ³n normal de media 8 mm y desviaciΓ³n tΓ­pica 0.5 mm. Calcule la probabilidad de que una plancha elegida al azar tenga un grosor comprendido entre 7.6 mm y 8.2 mm.

Page 14: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 1.

𝐡𝐡(𝑋𝑋 βˆ’ 𝐼𝐼) = 𝐴𝐴 ⇔ 𝑋𝑋 βˆ’ 𝐼𝐼 = π΅π΅βˆ’1𝐴𝐴 ⇔ 𝑿𝑿 = 𝑰𝑰 + π‘©π‘©βˆ’πŸπŸπ‘¨π‘¨.

Se 𝐴𝐴 = �0 0 01 1 1

βˆ’2 2 βˆ’2οΏ½ e 𝐡𝐡 = οΏ½

1 0 00 1/2 00 0 1/3

οΏ½,

π΅π΅βˆ’1𝐴𝐴 = οΏ½1 0 00 2 00 0 3

οΏ½οΏ½0 0 01 1 1

βˆ’2 2 βˆ’2οΏ½ = οΏ½

0 0 02 2 2

βˆ’6 6 βˆ’6οΏ½.

𝑿𝑿 = 𝐼𝐼 + π΅π΅βˆ’1𝐴𝐴 = οΏ½1 0 00 1 00 0 1

οΏ½ + οΏ½0 0 02 2 2

βˆ’6 6 βˆ’6οΏ½ = οΏ½

𝟏𝟏 𝟎𝟎 𝟎𝟎𝟐𝟐 πŸ‘πŸ‘ 𝟐𝟐

βˆ’πŸ”πŸ” πŸ”πŸ” βˆ’πŸ“πŸ“οΏ½.

Page 15: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 2.

οΏ½π‘šπ‘š 1 1π‘šπ‘š π‘šπ‘š + 1 1π‘šπ‘š π‘šπ‘š + 1 2

οΏ½2π‘šπ‘š

1π‘šπ‘š + 1

�𝐹𝐹2 βˆ’ 𝐹𝐹1⟢

𝐹𝐹3 βˆ’ 𝐹𝐹1οΏ½π‘šπ‘š 1 10 π‘šπ‘š 00 π‘šπ‘š 1

οΏ½2π‘šπ‘š

1 βˆ’ 2π‘šπ‘š1 βˆ’π‘šπ‘š

�𝐹𝐹3 βˆ’ 𝐹𝐹2⟢ οΏ½

π‘šπ‘š 1 10 π‘šπ‘š 00 0 1

οΏ½2π‘šπ‘š

1 βˆ’ 2π‘šπ‘šπ‘šπ‘šοΏ½.

Sistema triangular equivalente:

οΏ½π‘šπ‘šπ‘šπ‘š + 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 = 2π‘šπ‘š,

π‘šπ‘šπ‘¦π‘¦ = 1 βˆ’ 2π‘šπ‘š,𝑧𝑧 = π‘šπ‘š.

DiscusiΓ³n:

β€’ Se π’Žπ’Ž ∈ ℝ βˆ– {𝟎𝟎}, entΓ³n o sistema Γ© compatible determinado, xa que a sΓΊa ΓΊnica soluciΓ³n Γ©

𝑧𝑧 = π‘šπ‘š, 𝑦𝑦 =1 βˆ’ 2π‘šπ‘šπ‘šπ‘š

, π‘šπ‘š =2π‘šπ‘š βˆ’ 𝑦𝑦 βˆ’ 𝑧𝑧

π‘šπ‘š.

β€’ Se π’Žπ’Ž = 𝟎𝟎, o sistema Γ© incompatible, porque a segunda ecuaciΓ³n queda 0 = 1.

SOLUCIΓ“N ALTERNATIVA:

𝐴𝐴 = οΏ½π‘šπ‘š 1 1π‘šπ‘š π‘šπ‘š + 1 1π‘šπ‘š π‘šπ‘š + 1 2

οΏ½, π΄π΄βˆ— = οΏ½π‘šπ‘š 1 1π‘šπ‘š π‘šπ‘š + 1 1π‘šπ‘š π‘šπ‘š + 1 2

οΏ½2π‘šπ‘š

1π‘šπ‘š + 1

οΏ½, rank𝐴𝐴 ≀ rankπ΄π΄βˆ— ≀ 3 βˆ€π‘šπ‘š ∈ ℝ.

Como οΏ½ 1 1π‘šπ‘š + 1 1οΏ½ = 1 βˆ’π‘šπ‘š βˆ’ 1 = βˆ’π‘šπ‘š e οΏ½ 1 1

π‘šπ‘š + 1 2οΏ½ = 2 βˆ’π‘šπ‘š βˆ’ 1 = 1 βˆ’π‘šπ‘š non se anulan Γ‘ vez, Γ©

seguro que rank𝐴𝐴 β‰₯ 2 βˆ€π‘šπ‘š ∈ ℝ e que [rank𝐴𝐴 = 2 ⇔ det𝐴𝐴 = 0].

det𝐴𝐴 = οΏ½π‘šπ‘š 1 1π‘šπ‘š π‘šπ‘š + 1 1π‘šπ‘š π‘šπ‘š + 1 2

οΏ½ = 2π‘šπ‘š2 + 2π‘šπ‘š + π‘šπ‘š + π‘šπ‘š2 + π‘šπ‘š βˆ’π‘šπ‘š2 βˆ’π‘šπ‘š βˆ’ 2π‘šπ‘š βˆ’π‘šπ‘š2 βˆ’π‘šπ‘š = π‘šπ‘š2 = 0

βŸΊπ‘šπ‘š = 0. DiscusiΓ³n:

β€’ Caso π’Žπ’Ž ∈ ℝ βˆ– {𝟎𝟎}: rank𝐴𝐴 = rankπ΄π΄βˆ— = 3 = n.o de incΓ³gnitas, polo que o sistema Γ© compatible determinado.

β€’ Caso π’Žπ’Ž = 𝟎𝟎: rank𝐴𝐴 = 2 e π΄π΄βˆ— = οΏ½0 1 10 1 10 1 2

οΏ½011οΏ½. Ao ser οΏ½

1 1 01 1 11 2 1

οΏ½ = 1 + 1 βˆ’ 1 βˆ’ 2 = βˆ’1 β‰ 

0, tense que rankπ΄π΄βˆ— = 3 > rank𝐴𝐴, situaciΓ³n na que o sistema Γ© incompatible.

Page 16: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 3. 3.a) Teorema de Bolzano: Se 𝑓𝑓: [π‘Žπ‘Ž, 𝑏𝑏] βŸΆβ„ Γ© continua en [π‘Žπ‘Ž, 𝑏𝑏] e 𝑓𝑓(π‘Žπ‘Ž)𝑓𝑓(𝑏𝑏) < 0, entΓ³n existe polo menos un punto 𝑐𝑐 ∈ (π‘Žπ‘Ž, 𝑏𝑏) tal que 𝑓𝑓(𝑐𝑐) = 0. 3.b) 𝑓𝑓(π‘šπ‘š) = π‘Žπ‘Žπ‘šπ‘š3 + π‘π‘π‘šπ‘š2 βˆ’ 3π‘šπ‘š + 𝑐𝑐, 𝑓𝑓(0) = 1, e 𝑓𝑓 ten extremos relativos en π‘šπ‘š = Β±1.

β€’ 𝑓𝑓(0) = 1 ⇔ 𝒄𝒄 = 𝟏𝟏.

β€’

𝑓𝑓′(π‘šπ‘š) = 3π‘Žπ‘Žπ‘šπ‘š2 + 2π‘π‘π‘šπ‘š βˆ’ 3, 𝑓𝑓′(βˆ’1) = 0 ⇔ 3π‘Žπ‘Ž βˆ’ 2𝑏𝑏 βˆ’ 3 = 0, 𝑓𝑓′(1) = 0 ⇔ 3π‘Žπ‘Ž + 2𝑏𝑏 βˆ’ 3 = 0.

οΏ½3π‘Žπ‘Ž βˆ’ 2𝑏𝑏 βˆ’ 3 = 03π‘Žπ‘Ž + 2𝑏𝑏 βˆ’ 3 = 0οΏ½ β‡’ 6π‘Žπ‘Ž βˆ’ 6 = 0 ⇔ 𝒂𝒂 = 𝟏𝟏,

3 + 2𝑏𝑏 βˆ’ 3 = 0 ⇔ 2𝑏𝑏 = 0 ⇔ 𝒃𝒃 = 𝟎𝟎.

β€’

𝑓𝑓′(π‘šπ‘š) = 3π‘šπ‘š2 βˆ’ 3, 𝑓𝑓′′(π‘šπ‘š) = 6π‘šπ‘š.

[𝑓𝑓′(βˆ’1) = 0, 𝑓𝑓′′(βˆ’1) = βˆ’6 < 0] β‡’ 𝐦𝐦Ñ𝐱𝐱𝐱𝐱𝐦𝐦𝐱𝐱 𝐞𝐞𝐞𝐞 𝒙𝒙 = βˆ’πŸπŸ,

[𝑓𝑓′(1) = 0, 𝑓𝑓′′(1) = 6 > 0] β‡’ 𝐦𝐦í𝐞𝐞𝐱𝐱𝐦𝐦𝐱𝐱 𝐞𝐞𝐞𝐞 𝒙𝒙 = βˆ’πŸπŸ.

Page 17: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 4. 4.a) Teorema de Rolle: Se 𝑓𝑓: [π‘Žπ‘Ž, 𝑏𝑏] βŸΆβ„ Γ© continua en [π‘Žπ‘Ž, 𝑏𝑏], derivable en (π‘Žπ‘Ž, 𝑏𝑏) e 𝑓𝑓(π‘Žπ‘Ž) = 𝑓𝑓(𝑏𝑏), entΓ³n existe polo menos un punto 𝑐𝑐 ∈ (π‘Žπ‘Ž, 𝑏𝑏) tal que 𝑓𝑓′(𝑐𝑐) = 0. 4.b)

β€’ π‘šπ‘š2 = π‘šπ‘š + 6 ⇔ π‘šπ‘š2 βˆ’ π‘šπ‘š βˆ’ 6 = 0 ⇔ π‘šπ‘š = 1±√1+242

= 1Β±52⇔ π‘šπ‘š ∈ {βˆ’2,3}.

SΓ³ nos interesa π‘šπ‘š = 3.

β€’ βˆ’2π‘šπ‘š = π‘šπ‘š + 6 ⇔ 3π‘šπ‘š = βˆ’6 ⇔ π‘šπ‘š = βˆ’2.

𝐴𝐴 = � Ñrea dun triÑngulode base 6 e altura 2

οΏ½ + οΏ½ (π‘šπ‘š + 6 βˆ’ π‘šπ‘š2) π‘‘π‘‘π‘šπ‘š.3

0

οΏ½ (βˆ’π‘šπ‘š2 + π‘šπ‘š + 6) π‘‘π‘‘π‘šπ‘š = οΏ½βˆ’π‘šπ‘š3

3+π‘šπ‘š2

2+ 6π‘šπ‘šοΏ½

0

3

= βˆ’9 +92

+ 18 =βˆ’18 + 9 + 36

2

3

0=

272

.

𝑨𝑨 = 6 +272

=12 + 27

2=πŸ‘πŸ‘πŸ‘πŸ‘πŸπŸ

= πŸπŸπŸ‘πŸ‘.πŸ“πŸ“.

Page 18: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 5.

5.a) EcuaciΓ³n implΓ­cita de πœ‹πœ‹: οΏ½π‘šπ‘š = 1 βˆ’ πœ†πœ†,𝑦𝑦 = 2 + πœ‡πœ‡,𝑧𝑧 = 1 + πœ†πœ† + 2πœ‡πœ‡,

πœ†πœ†, πœ‡πœ‡ ∈ ℝ.

πœ‹πœ‹ pasa por 𝑃𝑃(1,2,1) e estΓ‘ xerado por 𝑒𝑒�⃗ (βˆ’1,0,1) e �⃗�𝑣(0,1,2). Logo πœ‹πœ‹: οΏ½π‘šπ‘š βˆ’ 1 𝑦𝑦 βˆ’ 2 𝑧𝑧 βˆ’ 1βˆ’1 0 1

0 1 2οΏ½ = 0.

οΏ½π‘šπ‘š βˆ’ 1 𝑦𝑦 βˆ’ 2 𝑧𝑧 βˆ’ 1βˆ’1 0 1

0 1 2οΏ½ = βˆ’π‘§π‘§ + 1 βˆ’ π‘šπ‘š + 1 + 2𝑦𝑦 βˆ’ 4 = βˆ’π‘šπ‘š + 2𝑦𝑦 βˆ’ 𝑧𝑧 βˆ’ 2.

πœ‹πœ‹:βˆ’π’™π’™ + 𝟐𝟐𝟐𝟐 βˆ’ 𝒛𝒛 βˆ’ 𝟐𝟐 = 𝟎𝟎. 5.b) Valor de π‘šπ‘š para que 𝐴𝐴(0,π‘šπ‘š, 0), 𝐡𝐡(0,2,2), 𝐢𝐢(1,4,3) e 𝐷𝐷(2,0,2) sexan coplanarios. EcuaciΓ³n implΓ­cita do plano πœ‹πœ‹ que os contΓ©n. 𝐡𝐡𝐢𝐢�����⃗ (1,2,1) e 𝐡𝐡𝐷𝐷������⃗ (2,βˆ’2,0) son linealmente independentes, polo que os puntos 𝐡𝐡,𝐢𝐢 e 𝐷𝐷 determinan o

plano que pasa por 𝐡𝐡 e estΓ‘ xerado por 𝐡𝐡𝐢𝐢�����⃗ e 𝐡𝐡𝐷𝐷������⃗ . Logo πœ‹πœ‹: οΏ½π‘šπ‘š 𝑦𝑦 βˆ’ 2 𝑧𝑧 βˆ’ 21 2 12 βˆ’2 0

οΏ½ = 0.

οΏ½π‘šπ‘š 𝑦𝑦 βˆ’ 2 𝑧𝑧 βˆ’ 21 2 12 βˆ’2 0

οΏ½ = 2𝑦𝑦 βˆ’ 4 βˆ’ 2𝑧𝑧 + 4 βˆ’ 4𝑧𝑧 + 8 βˆ’ 2π‘šπ‘š = 2π‘šπ‘š + 2𝑦𝑦 βˆ’ 6𝑧𝑧 + 8,

de onde 𝝅𝝅:𝒙𝒙 + 𝟐𝟐 βˆ’ πŸ‘πŸ‘π’›π’› + πŸ’πŸ’ = 𝟎𝟎. Finalmente, 𝐴𝐴 ∈ πœ‹πœ‹ ⇔ π‘šπ‘š + 4 = 0 β‡”π’Žπ’Ž = βˆ’πŸ’πŸ’. 5.b) SOLUCIΓ“N ALTERNATIVA: 𝐡𝐡𝐴𝐴�����⃗ (0,π‘šπ‘š βˆ’ 2,βˆ’2),𝐡𝐡𝐢𝐢�����⃗ (1,2,1),𝐡𝐡𝐷𝐷������⃗ (2,βˆ’2,0). Ao ser 𝐡𝐡𝐢𝐢�����⃗ e 𝐡𝐡𝐷𝐷������⃗ linealmente independentes, a condiciΓ³n para ser coplanarios Γ© rank𝑀𝑀 = 2, sendo 𝑀𝑀 =�𝐡𝐡𝐴𝐴�����⃗ |𝐡𝐡𝐢𝐢�����⃗ |𝐡𝐡𝐷𝐷������⃗ οΏ½.

𝑀𝑀 = οΏ½0 1 2

π‘šπ‘š βˆ’ 2 2 βˆ’2βˆ’2 1 0

οΏ½. Como οΏ½1 22 βˆ’2οΏ½ = βˆ’2 βˆ’ 4 = βˆ’6 β‰  0, Γ© seguro que rank𝑀𝑀 β‰₯ 2 βˆ€π‘šπ‘š ∈ ℝ e

que [rank𝑀𝑀 = 2 ⇔ det𝑀𝑀 = 0].

det𝑀𝑀 = οΏ½0 1 2

π‘šπ‘š βˆ’ 2 2 βˆ’2βˆ’2 1 0

οΏ½ = 4 + 2π‘šπ‘š βˆ’ 4 + 8 = 2π‘šπ‘š + 8 = 0 βŸΊπ’Žπ’Ž = βˆ’πŸ’πŸ’.

Por ΓΊltimo, haberΓ­a que calcular a ecuaciΓ³n que contΓ©n aos catro puntos, por exemplo como se fixo arriba.

Page 19: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 6. Punto simΓ©trico de 𝑃𝑃(1,1,2) con respecto ao plano πœ‹πœ‹: 2π‘šπ‘š βˆ’ 𝑦𝑦 + 𝑧𝑧 + 3 = 0.

β€’ EcuaciΓ³ns paramΓ©tricas da recta π‘Ÿπ‘Ÿ que pasa por 𝑃𝑃(1,1,2) e Γ© perpendicular a πœ‹πœ‹:

π‘‘π‘‘π‘Ÿπ‘Ÿ = 𝑛𝑛�⃗ πœ‹πœ‹(2,βˆ’1,1), co cal π‘Ÿπ‘Ÿ: οΏ½π‘šπ‘š = 1 + 2πœ†πœ†,𝑦𝑦 = 1 βˆ’ πœ†πœ†,𝑧𝑧 = 2 + πœ†πœ†,

πœ†πœ† ∈ ℝ.

β€’ Corte de π‘Ÿπ‘Ÿ con πœ‹πœ‹:

2(1 + 2πœ†πœ†) βˆ’ (1 βˆ’ πœ†πœ†) + 2 + πœ†πœ† + 3 = 2 + 4πœ†πœ† βˆ’ 1 + πœ†πœ† + 5 + πœ†πœ† = 6πœ†πœ† + 6 = 0 ⇔ πœ†πœ† = βˆ’1. Logo o punto de corte Γ© 𝑄𝑄(1 βˆ’ 2,1 + 1,2 βˆ’ 1) = 𝑄𝑄(βˆ’1,2,1).

β€’ Punto simΓ©trico pedido: se chamamos 𝑃𝑃′(π‘šπ‘šβ€²,𝑦𝑦′, 𝑧𝑧′) ao punto,

1 + π‘šπ‘šβ€²2

= βˆ’1 ⇔ 1 + π‘šπ‘šβ€² = βˆ’2 ⇔ π‘šπ‘šβ€² = βˆ’3,

1 + 𝑦𝑦′2

= 2 ⇔ 1 + 𝑦𝑦′ = 4 ⇔ 𝑦𝑦′ = 3,

2 + 𝑧𝑧′2

= 1 ⇔ 2 + 𝑧𝑧′ = 2 ⇔ 𝑧𝑧′ = 0.

Tense logo 𝑷𝑷′(βˆ’πŸ‘πŸ‘,πŸ‘πŸ‘,𝟎𝟎).

Page 20: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 7. 𝐼𝐼 = β€œpracticar ioga”, 𝑀𝑀 = β€œter mascota”.

𝑃𝑃(𝐼𝐼) = 0.08, 𝑃𝑃(𝑀𝑀) = 0.20, 𝑃𝑃(𝐼𝐼 ∩ 𝑀𝑀) = 0.03. 𝑀𝑀 𝑀𝑀�

𝐼𝐼 100 βˆ™ 0.03 = 3 100 βˆ™ 0.08 = 8 𝐼𝐼 Μ… 17

100 βˆ™ 0.20 = 20 100 7.a) Pola tΓ‘boa de continxencia:

𝑷𝑷(𝑰𝑰� ∩ 𝑴𝑴) =17

100= 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏.

7.a) SOLUCIΓ“N ALTERNATIVA:

𝑃𝑃(𝑀𝑀) = 𝑃𝑃(𝐼𝐼 ∩ 𝑀𝑀) + 𝑃𝑃(𝐼𝐼 Μ… ∩ 𝑀𝑀) ⇔ 0.20 = 0.03 + 𝑃𝑃(𝐼𝐼 Μ… ∩ 𝑀𝑀) ⇔ 𝑷𝑷(𝑰𝑰� βˆ©π‘΄π‘΄) = 𝟎𝟎.𝟏𝟏𝟏𝟏. 7.b) Pola tΓ‘boa de continxencia:

𝑷𝑷(𝑴𝑴|𝑰𝑰) =38

= 𝟎𝟎.πŸ‘πŸ‘πŸπŸπŸ“πŸ“. 7.b) SOLUCIΓ“N ALTERNATIVA:

𝑷𝑷(𝑴𝑴|𝑰𝑰) =𝑃𝑃(𝑀𝑀 ∩ 𝐼𝐼)𝑃𝑃(𝐼𝐼)

=0.030.08

= 𝟎𝟎.πŸ‘πŸ‘πŸπŸπŸ“πŸ“.

Page 21: 2021 - ordinaria MATEMÁTICAS II

Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade

2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20

MATEMÁTICAS II 8. 𝑋𝑋 = β€œgrosor en mm dunha prancha de aceiro”.

𝑋𝑋 β†’ 𝑁𝑁(8,0.5) β‡’ 𝑍𝑍 =𝑋𝑋 βˆ’ 8

0.5β†’ 𝑁𝑁(0,1).

𝑷𝑷(𝟏𝟏.πŸ”πŸ” ≀ 𝑿𝑿 ≀ πŸ–πŸ–.𝟐𝟐) = 𝑃𝑃 οΏ½βˆ’0.40.5

≀ 𝑍𝑍 ≀0.20.5

οΏ½ = 𝑃𝑃(βˆ’0.8 ≀ 𝑍𝑍 ≀ 0.4) = 𝑃𝑃(𝑍𝑍 ≀ 0.4) βˆ’ 𝑃𝑃(𝑍𝑍 ≀ βˆ’0.8)

= 𝑃𝑃(𝑍𝑍 ≀ 0.4) βˆ’ 𝑃𝑃(𝑍𝑍 β‰₯ 0.8) = 𝑃𝑃(𝑍𝑍 ≀ 0.4) βˆ’ {1 βˆ’ 𝑃𝑃(𝑍𝑍 ≀ 0.8)} = 𝑃𝑃(𝑍𝑍 ≀ 0.4) + 𝑃𝑃(𝑍𝑍 ≀ 0.8) βˆ’ 1 =

0.6554 + 0.7881 βˆ’ 1 = 𝟎𝟎.πŸ’πŸ’πŸ’πŸ’πŸ‘πŸ‘πŸ“πŸ“.