2021 - ordinaria matemΓticas ii
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Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade
2021 - ordinaria CΓ³digo: 20
MATEMΓTICAS II O exame consta de 8 preguntas de 2 puntos, das que pode responder un MΓXIMO DE 5, combinadas como queira. 1. NΓΊmeros e Γlxebra:
Sexa π΄π΄ = οΏ½πππππποΏ½ a matriz de dimensiΓ³n 3 Γ 3 definida por ππππππ = οΏ½1 se ππ = 2,(β1)ππ(ππ β 1) se ππ β 2. Explique se π΄π΄ e
π΄π΄ + πΌπΌ son ou non invertibles e calcule as inversas cando existan. (Nota: ππππππ Γ© o elemento de π΄π΄ que estΓ‘ na fila ππ e na columna ππ, e πΌπΌ Γ© a matriz identidade.) 2. NΓΊmeros e Γlxebra:
Discuta, segundo os valores do parΓ‘metro ππ, o sistema οΏ½π₯π₯ + 2π¦π¦ = ππ,
πππ¦π¦ + 3π§π§ = 1,π₯π₯ + (ππ + 2)π¦π¦ + (ππ + 1)π§π§ = ππ + 1.
3. AnΓ‘lise: De entre tΓ³dolos rectΓ‘ngulos situados no primeiro cuadrante que teΓ±en dous lados sobre os eixes de coordenadas e un vΓ©rtice sobre a recta π₯π₯ + 2π¦π¦ = 4, determine os vΓ©rtices do que ten maior Γ‘rea. 4. AnΓ‘lise:
Dada a funciΓ³n ππ(π₯π₯) = οΏ½π₯π₯2 β π₯π₯ β 1 se π₯π₯ β€ 0,βπ₯π₯2 β π₯π₯ β 1 se π₯π₯ > 0,
calcule a Γ‘rea da rexiΓ³n encerrada pola grΓ‘fica de ππ e as
rectas π¦π¦ = 4π₯π₯ β 7 e π¦π¦ = 1. 5. XeometrΓa: a) ObteΓ±a a ecuaciΓ³n implΓcita do plano ππ que pasa polos puntos π΄π΄(1,0,0), π΅π΅(0,2,0) e πΆπΆ(0,0,3). b) Calcule o punto simΓ©trico de ππ(10,β5,5) con respecto ao plano ππ: 6π₯π₯ + 3π¦π¦ + 2π§π§ β 6 = 0. 6. XeometrΓa:
a) Ache o valor de ππ se o plano ππ:πππ₯π₯ + π¦π¦ + π§π§ = 0 Γ© paralelo Γ‘ recta ππ: οΏ½π₯π₯ = 1 + ππ,π¦π¦ = 1 + ππ,π§π§ = 2 + ππ,
ππ β β.
b) Estude a posiciΓ³n relativa dos planos ππ1: 2π₯π₯ + π¦π¦ + πππ§π§ + ππ = 0 e ππ2: (ππ β 1)π₯π₯ + π¦π¦ + 3π§π§ = 0 en funciΓ³n do parΓ‘metro ππ. 7. EstatΓstica e Probabilidade: a) Sexan π΄π΄ e π΅π΅ dous sucesos dun mesmo espazo mostral. Calcule ππ(π΄π΄) sabendo que ππ(π΅π΅) = 2ππ(π΄π΄), ππ(π΄π΄ β© π΅π΅) = 0.1 e ππ(π΄π΄ βͺ π΅π΅) = 0.8. b) Diga se os sucesos π΄π΄ e π΅π΅ son ou non independentes, se se sabe que
ππ(π΄π΄) = 0.6, ππ(π΅π΅) = 0.3 e ππ(οΏ½Μ οΏ½π΄ βͺ π΅π΅οΏ½) = 0.82. 8. EstatΓstica e Probabilidade: O portador dunha certa enfermidade ten un 10% de probabilidades de contaxiala a quen non estivo exposto a ela. Se entra en contacto con 8 persoas que non estiveron expostas, calcule: a) A probabilidade de que contaxie a un mΓ‘ximo de 2 persoas. b) A probabilidade de que contaxie a 2 persoas polo menos.
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MATEMΓTICAS II El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que puede responder un MΓXIMO DE 5, combinadas como quiera. 1. NΓΊmeros y Γlgebra:
Sea π΄π΄ = οΏ½πππππποΏ½ la matriz de dimensiΓ³n 3 Γ 3 definida por ππππππ = οΏ½1 si ππ = 2,(β1)ππ(ππ β 1) si ππ β 2. Explique si π΄π΄ y
π΄π΄ + πΌπΌ son o no invertibles y calcule las inversas cuando existan. (Nota: ππππππ es el elemento de π΄π΄ que estΓ‘ en la fila ππ y en la columna ππ, e πΌπΌ es la matriz identidad.) 2. NΓΊmeros y Γlgebra:
Discuta, segΓΊn los valores del parΓ‘metro ππ, el sistema οΏ½π₯π₯ + 2π¦π¦ = ππ,
πππ¦π¦ + 3π§π§ = 1,π₯π₯ + (ππ + 2)π¦π¦ + (ππ + 1)π§π§ = ππ + 1.
3. AnΓ‘lisis: De entre todos los rectΓ‘ngulos situados en el primer cuadrante que tienen dos lados sobre los ejes de coordenadas y un vΓ©rtice sobre la recta π₯π₯ + 2π¦π¦ = 4, determine los vΓ©rtices del que tiene mayor Γ‘rea. 4. AnΓ‘lisis:
Dada la funciΓ³n ππ(π₯π₯) = οΏ½π₯π₯2 β π₯π₯ β 1 si π₯π₯ β€ 0,βπ₯π₯2 β π₯π₯ β 1 si π₯π₯ > 0,
calcule el Γ‘rea de la regiΓ³n encerrada por la grΓ‘fica de ππ
y las rectas π¦π¦ = 4π₯π₯ β 7 e π¦π¦ = 1. 5. GeometrΓa: a) Obtenga la ecuaciΓ³n implΓcita del plano ππ que pasa por los puntos π΄π΄(1,0,0), π΅π΅(0,2,0) y πΆπΆ(0,0,3). b) Calcule el punto simΓ©trico de ππ(10,β5,5) con respecto al plano ππ: 6π₯π₯ + 3π¦π¦ + 2π§π§ β 6 = 0. 6. GeometrΓa:
a) Halle el valor de ππ si el plano ππ:πππ₯π₯ + π¦π¦ + π§π§ = 0 es paralelo a la recta ππ: οΏ½π₯π₯ = 1 + ππ,π¦π¦ = 1 + ππ,π§π§ = 2 + ππ,
ππ β β.
b) Estudie la posiciΓ³n relativa de los planos ππ1: 2π₯π₯ + π¦π¦ + πππ§π§ + ππ = 0 y ππ2: (ππ β 1)π₯π₯ + π¦π¦ + 3π§π§ = 0 en funciΓ³n del parΓ‘metro ππ. 7. EstadΓstica y Probabilidad: a) Sean π΄π΄ y π΅π΅ dos sucesos de un mismo espacio muestral. Calcule ππ(π΄π΄) sabiendo que ππ(π΅π΅) = 2ππ(π΄π΄), ππ(π΄π΄ β© π΅π΅) = 0.1 y ππ(π΄π΄ βͺ π΅π΅) = 0.8. b) Diga si los sucesos π΄π΄ y π΅π΅ son o no independientes, si se sabe que
ππ(π΄π΄) = 0.6, ππ(π΅π΅) = 0.3 y ππ(οΏ½Μ οΏ½π΄ βͺ π΅π΅οΏ½) = 0.82. 8. EstadΓstica y Probabilidad: El portador de una cierta enfermedad tiene un 10% de probabilidades de contagiarla a quien no estuvo expuesto a ella. Si entra en contacto con 8 personas que no estuvieron expuestas, calcule: a) La probabilidad de que contagie a un mΓ‘ximo de 2 personas. b) La probabilidad de que contagie a 2 personas por lo menos.
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MATEMΓTICAS II 1. ππ11 = ππ12 = ππ13 = 0. Ao ter unha fila de ceros, a matriz π¨π¨ non ten inversa. ππ21 = ππ22 = ππ23 = 1, ππ31 = β2, ππ32 = 2 e ππ33 = β2.
π΄π΄ = οΏ½0 0 01 1 1
β2 2 β2οΏ½ βΉ π΄π΄ + πΌπΌ = οΏ½
1 0 01 2 1
β2 2 β1οΏ½.
det(π΄π΄ + πΌπΌ) = β2 β 2 = β4 β 0, polo que a matriz π¨π¨ + π°π° si que ten inversa.
(π¨π¨ + π°π°)βππ = β14οΏ½β4 β1 6
0 β1 β20 β1 2
οΏ½ππ
= βπππποΏ½βππ ππ ππβππ βππ βππππ βππ ππ
οΏ½ = οΏ½ππ ππ ππ
ππ/ππ ππ/ππ ππ/ππβππ/ππ ππ/ππ βππ/ππ
οΏ½.
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MATEMΓTICAS II 2.
οΏ½1 2 00 ππ 31 ππ + 2 ππ + 1
οΏ½ππ1
ππ + 1οΏ½πΉπΉ3 β πΉπΉ1βΆ οΏ½
1 2 00 ππ 30 ππ ππ + 1
οΏ½ππ11οΏ½πΉπΉ3 β πΉπΉ2βΆ οΏ½
1 2 00 ππ 30 0 ππ β 2
οΏ½ππ10οΏ½.
Sistema triangular equivalente:
οΏ½π₯π₯ + 2π¦π¦ = ππ,
πππ¦π¦ + 3π§π§ = 1,(ππβ 2)π§π§ = 0.
DiscusiΓ³n:
β’ Se ππ β β β {ππ,ππ}, entΓ³n o sistema Γ© compatible determinado, xa que a sΓΊa ΓΊnica soluciΓ³n
Γ© π§π§ = 0, π¦π¦ = 1ππ
, π₯π₯ = ππ β 2π¦π¦.
β’ Se ππ = ππ, temos οΏ½π₯π₯ + 2π¦π¦ = 0,
3π§π§ = 1,β2π§π§ = 0.
O sistema Γ© incompatible, porque as dΓΊas ΓΊltimas ecuaciΓ³ns non se poden cumprir Γ‘ vez.
β’ Se ππ = ππ, temos οΏ½π₯π₯ + 2π¦π¦ = 2,
2π¦π¦ + 3π§π§ = 1,0 = 0.
O sistema Γ© compatible indeterminado, xa que ten as seguintes infinitas soluciΓ³ns:
οΏ½π§π§ = ππ, π¦π¦ =1 β 3ππ
2, π₯π₯ = 2 β (1 β 3ππ) = 1 + 3πποΏ½ , ππ β β.
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MATEMΓTICAS II SOLUCIΓN ALTERNATIVA:
π΄π΄ = οΏ½1 2 00 ππ 31 ππ + 2 ππ + 1
οΏ½, π΄π΄β = οΏ½1 2 00 ππ 31 ππ + 2 ππ + 1
οΏ½ππ1
ππ + 1οΏ½, rankπ΄π΄ β€ rankπ΄π΄β β€ 3 βππ β β.
Como οΏ½2 0ππ 3οΏ½ = 6 β 0, Γ© seguro que rankπ΄π΄ β₯ 2 βππ β β e que [rankπ΄π΄ = 2 β detπ΄π΄ = 0].
detπ΄π΄ = οΏ½1 2 00 ππ 31 ππ + 2 ππ + 1
οΏ½ = ππ(ππ + 1) + 6 β 3(ππ + 2) = ππ2 + ππ + 6 β 3ππ β 6 = ππ2 β 2ππ
= ππ(ππβ 2) = 0 βΊππ β {0,2}. DiscusiΓ³n:
β’ Caso ππ β β β {ππ,ππ}: rankπ΄π΄ = rankπ΄π΄β = 3 = n.o de incΓ³gnitas, polo que o sistema Γ© compatible determinado.
β’ Caso ππ = ππ: rankπ΄π΄ = 2 e π΄π΄β = οΏ½1 2 00 0 31 2 1
οΏ½011οΏ½. Ao ser οΏ½
1 0 00 3 11 1 1
οΏ½ = 3 β 1 = 2 β 0, tense
que rankπ΄π΄β = 3 > rankπ΄π΄, situaciΓ³n na que o sistema Γ© incompatible.
β’ Caso ππ = ππ: rankπ΄π΄ = 2 e π΄π΄β = οΏ½1 2 00 2 31 4 3
οΏ½213οΏ½. Ao ser οΏ½
1 0 20 3 11 3 3
οΏ½ = 9 β 6 β 3 = 0, tense
que rankπ΄π΄β = 2 = rankπ΄π΄ < 3 = n.o de incΓ³gnitas, situaciΓ³n na que o sistema Γ© compatible indeterminado.
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MATEMΓTICAS II 3.
Corte da recta π₯π₯ + 2π¦π¦ = 4 co eixe de abscisas:
π₯π₯ + 2π¦π¦ = 4 β π¦π¦ =4 β π₯π₯
2.
4 β π₯π₯2
= 0 β π₯π₯ = 4. AsΓ pois, hai que achar o mΓ‘ximo de π΄π΄(π₯π₯) = π₯π₯ οΏ½4βπ₯π₯
2οΏ½, π₯π₯ β (0,4).
π΄π΄(π₯π₯) =12
(4π₯π₯ β π₯π₯2), π΄π΄β²(π₯π₯) =12
(4 β 2π₯π₯) = 2 β π₯π₯ = 0 β π₯π₯ = 2. Hai mΓ‘ximo en π₯π₯ = 2 porque π΄π΄β²β²(2) = β1 < 0 (ou porque π¦π¦ = π΄π΄(π₯π₯) Γ© a ecuaciΓ³n dunha parΓ‘bola cΓ³ncava con vΓ©rtice en π₯π₯ = 2). Posto que 4β2
2= 1, os vΓ©rtices pedidos son
π¨π¨(ππ,ππ),π©π©(ππ,ππ),πͺπͺ(ππ,ππ),π«π«(ππ,ππ).
NOTA: como Γ© frecuente facer, neste exercicio sobreentendemos que o vΓ©rtice que ten que estar sobre a recta ππ: π₯π₯ + 2π¦π¦ = 4 Γ© o πΆπΆ (ver debuxo, arriba), que vai escorregando sobre ππ. Certamente, tamΓ©n se poderΓan engadir ao estudo os casos nos que
β’ Γ© o punto π΅π΅(0,2), fixo, o que estΓ‘ sobre ππ, e β’ Γ© o punto π·π·(4,0), fixo, o que estΓ‘ sobre ππ,
e, entΓ³n, non hai rectΓ‘ngulo de Γ‘rea mΓ‘xima. En efecto, consideremos por exemplo o primeiro destes dous casos. EntΓ³n, a funciΓ³n pasa a ser π΄π΄(π₯π₯) = 2π₯π₯, con π₯π₯ β (0,β) ou, dependendo de interpretaciΓ³ns, π₯π₯ β (0,β) β {4}. Tanto cun dominio coma co outro, esa funciΓ³n non ten mΓ‘ximo. Esta aproximaciΓ³n ao problema tamΓ©n se considerarΓ‘ vΓ‘lida.
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MATEMΓTICAS II 4.
π¦π¦ = π₯π₯2 β π₯π₯ β 1, π¦π¦β² = 2π₯π₯ β 1 = 0 β π₯π₯ =12
, π¦π¦β²β² = 2 > 0.
Logo π¦π¦ = π₯π₯2 β π₯π₯ β 1 Γ© unha parΓ‘bola convexa con vΓ©rtice en π₯π₯ = 12.
π¦π¦ = βπ₯π₯2 β π₯π₯ β 1, π¦π¦β² = β2π₯π₯ β 1 = 0 β π₯π₯ = β12
, π¦π¦β²β² = β2 < 0.
Logo π¦π¦ = βπ₯π₯2 β π₯π₯ β 1 Γ© unha parΓ‘bola cΓ³ncava con vΓ©rtice en π₯π₯ = β12.
π₯π₯ π¦π¦ = π₯π₯2 β π₯π₯ β 1 π₯π₯ π¦π¦ = βπ₯π₯2 β π₯π₯ β 1 π₯π₯ π¦π¦ = 4π₯π₯ β 7 0 β1 0 β1 0 β7
β1 1 1 β3 1 β3 β2 5 2 β7 2 1
Como vemos, ao buscar puntos para a representaciΓ³n grΓ‘fica xa poden saΓr os puntos de corte. Se non, procΓ©dese como segue.
β’ Corte de π¦π¦ = 1 con π¦π¦ = π₯π₯2 β π₯π₯ β 1: π₯π₯2 β π₯π₯ β 1 = 1 β π₯π₯2 β π₯π₯ β 2 = 0 β
π₯π₯ =1 Β± β1 + 8
2=
1 Β± 32
β π₯π₯ β {β1,2}.
SΓ³ nos interesa π₯π₯ = β1. β’ Corte de π¦π¦ = 1 con π¦π¦ = 4π₯π₯ β 7:
4π₯π₯ β 7 = 1 β 4π₯π₯ = 8 β π₯π₯ = 2. β’ Corte de π¦π¦ = 4π₯π₯ β 7 con π¦π¦ = βπ₯π₯2 β π₯π₯ β 1:
βπ₯π₯2 β π₯π₯ β 1 = 4π₯π₯ β 7 β π₯π₯2 + 5π₯π₯ β 6 = 0 β
π₯π₯ =β5 Β± β25 + 24
2=β5 Β± 7
2β π₯π₯ β {β6,1}.
SΓ³ nos interesa π₯π₯ = 1.
A Γ‘rea pedida Γ©
π¨π¨ = οΏ½ [1 β (π₯π₯2 β π₯π₯ β 1)] πππ₯π₯ + οΏ½ [1 β (βπ₯π₯2 β π₯π₯ β 1)] πππ₯π₯ + οΏ½ Γ‘rea dun triΓ‘ngulode base 1 e altura 4
οΏ½ =1
0
0
β1
οΏ½ (βπ₯π₯2 + π₯π₯ + 2) πππ₯π₯ + οΏ½ (π₯π₯2 + π₯π₯ + 2) πππ₯π₯ +1 β 4
2=
1
0
0
β1
οΏ½βπ₯π₯3
3+π₯π₯2
2+ 2π₯π₯οΏ½
β1
0
+ οΏ½π₯π₯3
3+π₯π₯2
2+ 2π₯π₯οΏ½
0
1
+ 2 = βοΏ½13
+12β 2οΏ½ + οΏ½
13
+12
+ 2οΏ½ + 2 = ππ.
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MATEMΓTICAS II 5. 5.a) Plano ππ que pasa por π΄π΄(1,0,0),π΅π΅(0,2,0) e πΆπΆ(0,0,3):
ππ pasa por π΄π΄(1,0,0) e estΓ‘ xerado por π΄π΄π΅π΅οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (β1,2,0) e π΄π΄πΆπΆοΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (β1,0,3). Logo ππ: οΏ½π₯π₯ β 1 π¦π¦ π§π§β1 2 0β1 0 3
οΏ½ = 0.
οΏ½π₯π₯ β 1 π¦π¦ π§π§β1 2 0β1 0 3
οΏ½ = 6(π₯π₯ β 1) + 2π§π§ + 3π¦π¦ = 6π₯π₯ + 3π¦π¦ + 2π§π§ β 6 β π π :ππππ + ππππ + ππππ β ππ = ππ.
5.b) Punto simΓ©trico de ππ(10,β5,5) con respecto ao plano ππ: 6π₯π₯ + 3π¦π¦ + 2π§π§ β 6 = 0:
β’ EcuaciΓ³ns paramΓ©tricas da recta ππ que pasa por ππ(10,β5,5) e Γ© perpendicular a ππ:
ππππ = πποΏ½β ππ(6,3,2), co cal ππ: οΏ½π₯π₯ = 10 + 6ππ,π¦π¦ = β5 + 3ππ,π§π§ = 5 + 2ππ,
ππ β β.
β’ Corte de ππ con ππ: 6(10 + 6ππ) + 3(β5 + 3ππ) + 2(5 + 2ππ) β 6 = 60 + 36ππ β 15 + 9ππ + 10 + 4ππ β 6
= 49ππ + 49 = 0 β ππ = β1. Logo o punto de corte Γ© ππ(10 β 6,β5 β 3,5 β 2) = ππ(4,β8,3).
β’ Punto simΓ©trico pedido: se chamamos ππβ²(π₯π₯β²,π¦π¦β², π§π§β²) ao punto, 10 + π₯π₯β²
2= 4 β 10 + π₯π₯β² = 8 β π₯π₯β² = β2,
β5 + π¦π¦β²2
= β8 β β5 + π¦π¦β² = β16 β π¦π¦β² = β11,
5 + π§π§β²2
= 3 β 5 + π§π§β² = 6 β π§π§β² = 1.
Tense logo π·π·β²(βππ,βππππ,ππ).
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MATEMΓTICAS II 6.
6.a) Como ππ:πππ₯π₯ + π¦π¦ + π§π§ = 0 Γ© paralelo a ππ: οΏ½π₯π₯ = 1 + ππ,π¦π¦ = 1 + ππ,π§π§ = 2 + ππ,
ππ β β, πποΏ½β ππ(ππ, 1,1) debe ser perpendicular
a ππππ(1,1,1): πποΏ½β ππ β ππππ = ππ + 1 + 1 = ππ + 2 = 0 β ππ = βππ.
6.b) PosiciΓ³n relativa dos planos ππ1: 2π₯π₯ + π¦π¦ + πππ§π§ + ππ = 0 e ππ2: (ππ β 1)π₯π₯ + π¦π¦ + 3π§π§ = 0.
οΏ½2
ππβ 1=
11
=ππ3οΏ½ β ππ = 3.
Como non son o mesmo plano cando ππ = 3,
β’ Se ππ = ππ, son paralelos (non coincidentes), β’ Se ππ β β β {ππ}, son secantes (cΓ³rtanse nunha recta).
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MATEMΓTICAS II 7. 7.a) ππ(π΅π΅) = 2ππ(π΄π΄), ππ(π΄π΄ β© π΅π΅) = 0.1 e ππ(π΄π΄ βͺ π΅π΅) = 0.8.
ππ(π΄π΄ βͺ π΅π΅) = ππ(π΄π΄) + ππ(π΅π΅) β ππ(π΄π΄ β© π΅π΅),
0.8 = ππ(π΄π΄) + 2ππ(π΄π΄) β 0.1 β 0.8 = 3ππ(π΄π΄) β 0.1 β 3ππ(π΄π΄) = 0.9 β π·π·(π¨π¨) = ππ.ππ. 7.b) ππ(π΄π΄) = 0.6, ππ(π΅π΅) = 0.3 e ππ(οΏ½Μ οΏ½π΄ βͺ π΅π΅οΏ½) = 0.82.
0.82 = ππ(οΏ½Μ οΏ½π΄ βͺ π΅π΅οΏ½) = ππ(π΄π΄ β© π΅π΅οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½) = 1 β ππ(π΄π΄ β© π΅π΅) β ππ(π΄π΄ β© π΅π΅) = 1 β 0.82 = 0.18. Como ππ(π΄π΄)ππ(π΅π΅) = 0.6 β 0.3 = 0.18 = ππ(π΄π΄ β© π΅π΅), os sucesos π¨π¨ e π©π© son independentes.
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MATEMΓTICAS II 8. ππ = βn.α΅ de persoas contaxiadas, de entre as 8β. ππ β π΅π΅(ππ,ππ), con ππ = 8 e ππ = 0.1 (logo ππ = 1 β ππ = 0.9). 8.a)
π·π·(πΏπΏ β€ ππ) = ππ(ππ = 0) + ππ(ππ = 1) + ππ(ππ = 2) =
οΏ½80οΏ½
(0.1)0(0.9)8 + οΏ½81οΏ½
(0.1)1(0.9)7 + οΏ½82οΏ½
(0.1)2(0.9)6 =
(0.9)8 + 8(0.1)(0.9)7 + 28(0.1)2(0.9)6 = ππ.ππππππππ.
8.b)
π·π·(πΏπΏ β₯ ππ) = 1 β ππ(ππ < 2) = 1 β {ππ(ππ = 0) + ππ(ππ = 1)} = 1 β (0.9)8 β 8(0.1)(0.9)7= ππ.ππππππππ.
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2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20
MATEMΓTICAS II O exame consta de 8 preguntas de 2 puntos, das que pode responder un MΓXIMO DE 5, combinadas como queira. 1. NΓΊmeros e Γlxebra: Despexe ππ na ecuaciΓ³n matricial π΅π΅(ππ β πΌπΌ) = π΄π΄, onde πΌπΌ Γ© a matriz identidade e π΄π΄ e π΅π΅ son matrices cadradas, con π΅π΅ invertible. Logo, calcule ππ se
π΄π΄ = οΏ½0 0 01 1 1
β2 2 β2οΏ½ e π΅π΅ = οΏ½
1 0 00 1/2 00 0 1/3
οΏ½.
2. NΓΊmeros e Γlxebra:
Discuta, segundo os valores do parΓ‘metro ππ, o seguinte sistema: οΏ½ππππ + π¦π¦ + π§π§ = 2ππ,ππππ + (ππ + 1)π¦π¦ + π§π§ = 1,ππππ + (ππ + 1)π¦π¦ + 2π§π§ = ππ + 1.
3. AnΓ‘lise: a) Enuncie o teorema de Bolzano. b) ObteΓ±a os valores de ππ, ππ e ππ que fan que ππ(ππ) = ππππ3 + ππππ2 β 3ππ + ππ cumpra ππ(0) = 1 e teΓ±a extremos relativos en ππ = Β±1. Dicir logo se os extremos son mΓ‘ximos ou mΓnimos. 4. AnΓ‘lise: a) Enuncie o teorema de Rolle.
b) Calcule a Γ‘rea da rexiΓ³n encerrada polas grΓ‘ficas de ππ(ππ) = ππ + 6 e ππ(ππ) = οΏ½β2ππ se ππ < 0,ππ2 se ππ β₯ 0.
5. XeometrΓa:
a) ObteΓ±a a ecuaciΓ³n implΓcita do plano ππ con ecuaciΓ³ns paramΓ©tricas ππ: οΏ½ππ = 1 β ππ,π¦π¦ = 2 + ππ,π§π§ = 1 + ππ + 2ππ,
ππ, ππ β β.
b) Calcule o valor de ππ para que os seguintes puntos sexan coplanarios: π΄π΄(0,ππ, 0), π΅π΅(0,2,2), πΆπΆ(1,4,3) e π·π·(2,0,2). ObteΓ±a a ecuaciΓ³n implΓcita do plano ππ que os contΓ©n. 6. XeometrΓa: Calcule o punto simΓ©trico de ππ(1,1,2) con respecto ao plano ππ: 2ππ β π¦π¦ + π§π§ + 3 = 0. 7. EstatΓstica e Probabilidade: Nunha determinada cidade, o 8% da poboaciΓ³n practica ioga, o 20% ten mascota e o 3% practica ioga e ten mascota. Se nesa cidade se elixe unha persoa ao azar, calcule: a) A probabilidade de que non practique ioga e Γ‘ vez teΓ±a mascota. b) A probabilidade de que teΓ±a mascota sabendo que practica ioga. 8. EstatΓstica e Probabilidade: O grosor das pranchas de aceiro que se producen nunha certa fΓ‘brica segue unha distribuciΓ³n normal de media 8 mm e desviaciΓ³n tΓpica 0.5 mm. Calcule a probabilidade de que unha prancha elixida ao azar teΓ±a un grosor comprendido entre 7.6 mm e 8.2 mm.
Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade
2021 - extraordinaria CΓ³digo: 20
MATEMΓTICAS II El examen consta de 8 preguntas de 2 puntos, de las que puede responder un MΓXIMO DE 5, combinadas como quiera. 1. NΓΊmeros y Γlgebra: Despeje ππ en la ecuaciΓ³n matricial π΅π΅(ππ β πΌπΌ) = π΄π΄, donde πΌπΌ es la matriz identidad y π΄π΄ y π΅π΅ son matrices cuadradas, con π΅π΅ invertible. Luego, calcule ππ si
π΄π΄ = οΏ½0 0 01 1 1
β2 2 β2οΏ½ y π΅π΅ = οΏ½
1 0 00 1/2 00 0 1/3
οΏ½.
2. NΓΊmeros y Γlgebra:
Discuta, segΓΊn los valores del parΓ‘metro ππ, el siguiente sistema: οΏ½ππππ + π¦π¦ + π§π§ = 2ππ,ππππ + (ππ + 1)π¦π¦ + π§π§ = 1,ππππ + (ππ + 1)π¦π¦ + 2π§π§ = ππ + 1.
3. AnΓ‘lisis: a) Enuncie el teorema de Bolzano. b) Obtenga los valores de ππ, ππ y ππ que hacen que ππ(ππ) = ππππ3 + ππππ2 β 3ππ + ππ cumpla ππ(0) = 1 y tenga extremos relativos en ππ = Β±1. Decir luego si los extremos son mΓ‘ximos o mΓnimos. 4. AnΓ‘lisis: a) Enuncie el teorema de Rolle.
b) Calcule el Γ‘rea de la regiΓ³n encerrada por las grΓ‘ficas de ππ(ππ) = ππ + 6 y ππ(ππ) = οΏ½β2ππ si ππ < 0,ππ2 si ππ β₯ 0.
5. GeometrΓa:
a) Obtenga la ecuaciΓ³n implΓcita del plano ππ con ecuaciones paramΓ©tricas ππ: οΏ½ππ = 1 β ππ,π¦π¦ = 2 + ππ,π§π§ = 1 + ππ + 2ππ,
ππ, ππ β β.
b) Calcule el valor de ππ para que los siguientes puntos sean coplanarios: π΄π΄(0,ππ, 0), π΅π΅(0,2,2), πΆπΆ(1,4,3) y π·π·(2,0,2). Obtenga la ecuaciΓ³n implΓcita del plano ππ que los contiene. 6. GeometrΓa: Calcule el punto simΓ©trico de ππ(1,1,2) con respecto al plano ππ: 2ππ β π¦π¦ + π§π§ + 3 = 0. 7. EstadΓstica y Probabilidad: En una determinada ciudad, el 8% de la poblaciΓ³n practica yoga, el 20% tiene mascota y el 3% practica yoga y tiene mascota. Si en esa ciudad se elige una persona al azar, calcule: a) La probabilidad de que no practique yoga y a la vez tenga mascota. b) La probabilidad de que tenga mascota sabiendo que practica yoga. 8. EstadΓstica y Probabilidad: El grosor de las planchas de acero que se producen en una cierta fΓ‘brica sigue una distribuciΓ³n normal de media 8 mm y desviaciΓ³n tΓpica 0.5 mm. Calcule la probabilidad de que una plancha elegida al azar tenga un grosor comprendido entre 7.6 mm y 8.2 mm.
Proba de AvaliaciΓ³n do Bacharelato para o Acceso Γ‘ Universidade
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MATEMΓTICAS II 1.
π΅π΅(ππ β πΌπΌ) = π΄π΄ β ππ β πΌπΌ = π΅π΅β1π΄π΄ β πΏπΏ = π°π° + π©π©βπππ¨π¨.
Se π΄π΄ = οΏ½0 0 01 1 1
β2 2 β2οΏ½ e π΅π΅ = οΏ½
1 0 00 1/2 00 0 1/3
οΏ½,
π΅π΅β1π΄π΄ = οΏ½1 0 00 2 00 0 3
οΏ½οΏ½0 0 01 1 1
β2 2 β2οΏ½ = οΏ½
0 0 02 2 2
β6 6 β6οΏ½.
πΏπΏ = πΌπΌ + π΅π΅β1π΄π΄ = οΏ½1 0 00 1 00 0 1
οΏ½ + οΏ½0 0 02 2 2
β6 6 β6οΏ½ = οΏ½
ππ ππ ππππ ππ ππ
βππ ππ βπποΏ½.
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MATEMΓTICAS II 2.
οΏ½ππ 1 1ππ ππ + 1 1ππ ππ + 1 2
οΏ½2ππ
1ππ + 1
οΏ½πΉπΉ2 β πΉπΉ1βΆ
πΉπΉ3 β πΉπΉ1οΏ½ππ 1 10 ππ 00 ππ 1
οΏ½2ππ
1 β 2ππ1 βππ
οΏ½πΉπΉ3 β πΉπΉ2βΆ οΏ½
ππ 1 10 ππ 00 0 1
οΏ½2ππ
1 β 2πππποΏ½.
Sistema triangular equivalente:
οΏ½ππππ + π¦π¦ + π§π§ = 2ππ,
πππ¦π¦ = 1 β 2ππ,π§π§ = ππ.
DiscusiΓ³n:
β’ Se ππ β β β {ππ}, entΓ³n o sistema Γ© compatible determinado, xa que a sΓΊa ΓΊnica soluciΓ³n Γ©
π§π§ = ππ, π¦π¦ =1 β 2ππππ
, ππ =2ππ β π¦π¦ β π§π§
ππ.
β’ Se ππ = ππ, o sistema Γ© incompatible, porque a segunda ecuaciΓ³n queda 0 = 1.
SOLUCIΓN ALTERNATIVA:
π΄π΄ = οΏ½ππ 1 1ππ ππ + 1 1ππ ππ + 1 2
οΏ½, π΄π΄β = οΏ½ππ 1 1ππ ππ + 1 1ππ ππ + 1 2
οΏ½2ππ
1ππ + 1
οΏ½, rankπ΄π΄ β€ rankπ΄π΄β β€ 3 βππ β β.
Como οΏ½ 1 1ππ + 1 1οΏ½ = 1 βππ β 1 = βππ e οΏ½ 1 1
ππ + 1 2οΏ½ = 2 βππ β 1 = 1 βππ non se anulan Γ‘ vez, Γ©
seguro que rankπ΄π΄ β₯ 2 βππ β β e que [rankπ΄π΄ = 2 β detπ΄π΄ = 0].
detπ΄π΄ = οΏ½ππ 1 1ππ ππ + 1 1ππ ππ + 1 2
οΏ½ = 2ππ2 + 2ππ + ππ + ππ2 + ππ βππ2 βππ β 2ππ βππ2 βππ = ππ2 = 0
βΊππ = 0. DiscusiΓ³n:
β’ Caso ππ β β β {ππ}: rankπ΄π΄ = rankπ΄π΄β = 3 = n.o de incΓ³gnitas, polo que o sistema Γ© compatible determinado.
β’ Caso ππ = ππ: rankπ΄π΄ = 2 e π΄π΄β = οΏ½0 1 10 1 10 1 2
οΏ½011οΏ½. Ao ser οΏ½
1 1 01 1 11 2 1
οΏ½ = 1 + 1 β 1 β 2 = β1 β
0, tense que rankπ΄π΄β = 3 > rankπ΄π΄, situaciΓ³n na que o sistema Γ© incompatible.
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MATEMΓTICAS II 3. 3.a) Teorema de Bolzano: Se ππ: [ππ, ππ] βΆβ Γ© continua en [ππ, ππ] e ππ(ππ)ππ(ππ) < 0, entΓ³n existe polo menos un punto ππ β (ππ, ππ) tal que ππ(ππ) = 0. 3.b) ππ(ππ) = ππππ3 + ππππ2 β 3ππ + ππ, ππ(0) = 1, e ππ ten extremos relativos en ππ = Β±1.
β’ ππ(0) = 1 β ππ = ππ.
β’
ππβ²(ππ) = 3ππππ2 + 2ππππ β 3, ππβ²(β1) = 0 β 3ππ β 2ππ β 3 = 0, ππβ²(1) = 0 β 3ππ + 2ππ β 3 = 0.
οΏ½3ππ β 2ππ β 3 = 03ππ + 2ππ β 3 = 0οΏ½ β 6ππ β 6 = 0 β ππ = ππ,
3 + 2ππ β 3 = 0 β 2ππ = 0 β ππ = ππ.
β’
ππβ²(ππ) = 3ππ2 β 3, ππβ²β²(ππ) = 6ππ.
[ππβ²(β1) = 0, ππβ²β²(β1) = β6 < 0] β π¦π¦Γ‘π±π±π±π±π¦π¦π±π± ππππ ππ = βππ,
[ππβ²(1) = 0, ππβ²β²(1) = 6 > 0] β π¦π¦Γπππ±π±π¦π¦π±π± ππππ ππ = βππ.
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MATEMΓTICAS II 4. 4.a) Teorema de Rolle: Se ππ: [ππ, ππ] βΆβ Γ© continua en [ππ, ππ], derivable en (ππ, ππ) e ππ(ππ) = ππ(ππ), entΓ³n existe polo menos un punto ππ β (ππ, ππ) tal que ππβ²(ππ) = 0. 4.b)
β’ ππ2 = ππ + 6 β ππ2 β ππ β 6 = 0 β ππ = 1Β±β1+242
= 1Β±52β ππ β {β2,3}.
SΓ³ nos interesa ππ = 3.
β’ β2ππ = ππ + 6 β 3ππ = β6 β ππ = β2.
π΄π΄ = οΏ½ Γ‘rea dun triΓ‘ngulode base 6 e altura 2
οΏ½ + οΏ½ (ππ + 6 β ππ2) ππππ.3
0
οΏ½ (βππ2 + ππ + 6) ππππ = οΏ½βππ3
3+ππ2
2+ 6πποΏ½
0
3
= β9 +92
+ 18 =β18 + 9 + 36
2
3
0=
272
.
π¨π¨ = 6 +272
=12 + 27
2=ππππππ
= ππππ.ππ.
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MATEMΓTICAS II 5.
5.a) EcuaciΓ³n implΓcita de ππ: οΏ½ππ = 1 β ππ,π¦π¦ = 2 + ππ,π§π§ = 1 + ππ + 2ππ,
ππ, ππ β β.
ππ pasa por ππ(1,2,1) e estΓ‘ xerado por π’π’οΏ½β (β1,0,1) e οΏ½βοΏ½π£(0,1,2). Logo ππ: οΏ½ππ β 1 π¦π¦ β 2 π§π§ β 1β1 0 1
0 1 2οΏ½ = 0.
οΏ½ππ β 1 π¦π¦ β 2 π§π§ β 1β1 0 1
0 1 2οΏ½ = βπ§π§ + 1 β ππ + 1 + 2π¦π¦ β 4 = βππ + 2π¦π¦ β π§π§ β 2.
ππ:βππ + ππππ β ππ β ππ = ππ. 5.b) Valor de ππ para que π΄π΄(0,ππ, 0), π΅π΅(0,2,2), πΆπΆ(1,4,3) e π·π·(2,0,2) sexan coplanarios. EcuaciΓ³n implΓcita do plano ππ que os contΓ©n. π΅π΅πΆπΆοΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (1,2,1) e π΅π΅π·π·οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (2,β2,0) son linealmente independentes, polo que os puntos π΅π΅,πΆπΆ e π·π· determinan o
plano que pasa por π΅π΅ e estΓ‘ xerado por π΅π΅πΆπΆοΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β e π΅π΅π·π·οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β . Logo ππ: οΏ½ππ π¦π¦ β 2 π§π§ β 21 2 12 β2 0
οΏ½ = 0.
οΏ½ππ π¦π¦ β 2 π§π§ β 21 2 12 β2 0
οΏ½ = 2π¦π¦ β 4 β 2π§π§ + 4 β 4π§π§ + 8 β 2ππ = 2ππ + 2π¦π¦ β 6π§π§ + 8,
de onde π π :ππ + ππ β ππππ + ππ = ππ. Finalmente, π΄π΄ β ππ β ππ + 4 = 0 βππ = βππ. 5.b) SOLUCIΓN ALTERNATIVA: π΅π΅π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (0,ππ β 2,β2),π΅π΅πΆπΆοΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (1,2,1),π΅π΅π·π·οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β (2,β2,0). Ao ser π΅π΅πΆπΆοΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β e π΅π΅π·π·οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β linealmente independentes, a condiciΓ³n para ser coplanarios Γ© rankππ = 2, sendo ππ =οΏ½π΅π΅π΄π΄οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β |π΅π΅πΆπΆοΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β |π΅π΅π·π·οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½οΏ½β οΏ½.
ππ = οΏ½0 1 2
ππ β 2 2 β2β2 1 0
οΏ½. Como οΏ½1 22 β2οΏ½ = β2 β 4 = β6 β 0, Γ© seguro que rankππ β₯ 2 βππ β β e
que [rankππ = 2 β detππ = 0].
detππ = οΏ½0 1 2
ππ β 2 2 β2β2 1 0
οΏ½ = 4 + 2ππ β 4 + 8 = 2ππ + 8 = 0 βΊππ = βππ.
Por ΓΊltimo, haberΓa que calcular a ecuaciΓ³n que contΓ©n aos catro puntos, por exemplo como se fixo arriba.
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MATEMΓTICAS II 6. Punto simΓ©trico de ππ(1,1,2) con respecto ao plano ππ: 2ππ β π¦π¦ + π§π§ + 3 = 0.
β’ EcuaciΓ³ns paramΓ©tricas da recta ππ que pasa por ππ(1,1,2) e Γ© perpendicular a ππ:
ππππ = πποΏ½β ππ(2,β1,1), co cal ππ: οΏ½ππ = 1 + 2ππ,π¦π¦ = 1 β ππ,π§π§ = 2 + ππ,
ππ β β.
β’ Corte de ππ con ππ:
2(1 + 2ππ) β (1 β ππ) + 2 + ππ + 3 = 2 + 4ππ β 1 + ππ + 5 + ππ = 6ππ + 6 = 0 β ππ = β1. Logo o punto de corte Γ© ππ(1 β 2,1 + 1,2 β 1) = ππ(β1,2,1).
β’ Punto simΓ©trico pedido: se chamamos ππβ²(ππβ²,π¦π¦β², π§π§β²) ao punto,
1 + ππβ²2
= β1 β 1 + ππβ² = β2 β ππβ² = β3,
1 + π¦π¦β²2
= 2 β 1 + π¦π¦β² = 4 β π¦π¦β² = 3,
2 + π§π§β²2
= 1 β 2 + π§π§β² = 2 β π§π§β² = 0.
Tense logo π·π·β²(βππ,ππ,ππ).
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MATEMΓTICAS II 7. πΌπΌ = βpracticar iogaβ, ππ = βter mascotaβ.
ππ(πΌπΌ) = 0.08, ππ(ππ) = 0.20, ππ(πΌπΌ β© ππ) = 0.03. ππ πποΏ½
πΌπΌ 100 β 0.03 = 3 100 β 0.08 = 8 πΌπΌ Μ 17
100 β 0.20 = 20 100 7.a) Pola tΓ‘boa de continxencia:
π·π·(π°π°οΏ½ β© π΄π΄) =17
100= ππ.ππππ.
7.a) SOLUCIΓN ALTERNATIVA:
ππ(ππ) = ππ(πΌπΌ β© ππ) + ππ(πΌπΌ Μ β© ππ) β 0.20 = 0.03 + ππ(πΌπΌ Μ β© ππ) β π·π·(π°π°οΏ½ β©π΄π΄) = ππ.ππππ. 7.b) Pola tΓ‘boa de continxencia:
π·π·(π΄π΄|π°π°) =38
= ππ.ππππππ. 7.b) SOLUCIΓN ALTERNATIVA:
π·π·(π΄π΄|π°π°) =ππ(ππ β© πΌπΌ)ππ(πΌπΌ)
=0.030.08
= ππ.ππππππ.
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MATEMΓTICAS II 8. ππ = βgrosor en mm dunha prancha de aceiroβ.
ππ β ππ(8,0.5) β ππ =ππ β 8
0.5β ππ(0,1).
π·π·(ππ.ππ β€ πΏπΏ β€ ππ.ππ) = ππ οΏ½β0.40.5
β€ ππ β€0.20.5
οΏ½ = ππ(β0.8 β€ ππ β€ 0.4) = ππ(ππ β€ 0.4) β ππ(ππ β€ β0.8)
= ππ(ππ β€ 0.4) β ππ(ππ β₯ 0.8) = ππ(ππ β€ 0.4) β {1 β ππ(ππ β€ 0.8)} = ππ(ππ β€ 0.4) + ππ(ππ β€ 0.8) β 1 =
0.6554 + 0.7881 β 1 = ππ.ππππππππ.