CinemticadeManipuladores

Dr.AlejandroAcevesLpez

CinemticadeRobotsUn robot industrial se puede modelar como una cadenaarticulada abierta compuesta de cuerpos rgidos (eslabones)conectados en serie por articulaciones (de revolucin oprismticas) movidas por actuadores. Un extremo est fijo en labase mientras que el otro est libre y unido a una herramienta.

La cinemtica trata del estudio analtico del movimiento(posicin, velocidad, aceleracin) del robot con respecto a unsistema coordenado fijo como una funcin del tiempo sinconsiderar las fuerzas/momentos que originaron dichomovimiento.

Un manipulador robtico consta de una secuencia de cuerpos rgidos,llamados eslabones (vnculos) o elementos conectados mediantearticulaciones rotacionales o prismticas. La base del robot se considera elelemento 0.

Cadaparejaarticulacineslabnseleconocecomogradodelibertad.

Un robot con n grados de libertad, tiene n pares de articulacioneseslabones. La base del robot no se considera parte del robot.

Las articulacioneseslabones se enumeran desde la base del robot y hastala mueca.

Para cada par articulacineslabn se establece un sistema coordenadointermedio que se fija al eslabn y que se mueve conforme el eslabn semueva.

En la base del robot se establece el sistema coordenado de referencia {0} yen la mueca del robot se establece el sistema coordenado mvil {n}.

Los elementos/vnculos i e i1 estn conectados por la articulacin i.

Problema de cinemtica directa: Para un manipuladorparticular, dado un vector con los valores articulares (q1(t), q2(t), qn(t))T y los parmetros geomtricos de los n elementos(eslabones), determinar la posicin y orientacin del efectorfinal con respecto a un sistema coordenado fijo de referencia.

Problema de cinemtica inversa: Dada una posicin yorientacin deseada del rgano efector y conocidos losparmetros geomtricos de los eslabones con respecto a unsistema coordenado de referencia, saber si el robot puedealcanzar dicha posicin y orientacin. Y en caso de ser posible,conocer cuantas configuraciones diferentes del robot lo puedenlograr.

En 1955, los investigadores Denavit y Hartenberg propusieron un enfoquesistemtico y generalizado que utiliza matrices de transformacinhomognea 4 x 4 para describir la relacin espacial (traslacin/rotacin)entre dos elementos mecnicos adyacentes.

CinemticaporlametodologadeDenavitHartenberg (DH)

Mediante transformaciones secuenciales se puede expresar la posicin yorientacin del efector final con respecto a un sistema de coordenadas dereferencia fijo en la base del robot.

En la literatura existen reportadas dos metodologas:

1. El mtodo de DH (Anlisis por eslabones).2. El mtodo de DH modificado (Anlisis por articulaciones).

MetodologadeDenavitHartenberg Modificada(DHm)

Eje i-1 Eje i

ai1

Distanciadelvnculo

Eje i-1 Eje i

ai1

ai

diDesplazamientoentrevnculos

Eje i-1 Eje i

ai1

ai

i1

di

Torsindelvnculo

Eje i-1 Eje i

ai1

ai

i1

idi

nguloarticular

Eje i-1 Eje i

ai1

ai

i1

idi

1iz

1iy

1ix

iziy

ix

Sedefinendossistemascoordenados Ejemplo1.Considere dos vnculos con la geometra mostrada en la figura que se conectanen serie. Calcule la longitud del vnculo ai, la torsin del vnculo i y eldesplazamiento del vnculo di.

Solucin: ai=7pulg;i=45 y di=2.5pulg.

DefinicindetramasenlametodologadeDHm DefinicindetramasenlametodologadeDHm

DefinicindeparmetrosenlametodologadeDHm Ejercicio1.ObtengalosparmetrosdeDenavitHartenberg delsiguientemanipulador.

Ejercicio1.

i i id 1i 1ia 1 1 1 0d 0 0 0 0a 2 2 2 0d 1 0 1 1a L 3 3 3 0d 2 0 2 2a L

Solucin:

Ejercicio2.ObtengalosparmetrosdeDenavitHartenberg delsiguientemanipulador.Considresequelosvaloresarticulares{1,2,3}soncero.

1x

1y

1z 3z

3y

3x

2z2y

2x

0 0 1 1 1

1 1 1 2 2 22 2

2 2 2 3 3 3 3

0; 0; ; 0;; ; ; 0;

0; ; ; ;

a da L da L d L

L3

Solucin:

Ejercicio3.ObtengalosparmetrosdeDenavitHartenberg delsiguientemanipulador.

Ejercicio3.Solucin:

i i id 1i 1ia 1 1 1 0d 0 0 0 0a 2 2 0 2d 1 90 1 0a 3 3 3 2d L 2 0 2 0a

Transformacintotal:i1iT

Ejercicio:ObtenerestamatrizconlaSymbolic toolbox deMatlab

ProgramaenMATLAB

function T=MatrizTransformacion(alfai_1,ai_1,qi,di)% La funcin regresa en T la expresin simblica de la matriz.T=[cos(qi) ,-sin(qi) ,0 , ai_1;sin(qi)*cos(alfai_1),cos(qi)*cos(alfai_1),-sin(alfai_1),-di*sin(alfai_1);sin(qi)*sin(alfai_1),cos(qi)*sin(alfai_1), cos(alfai_1), di*cos(alfai_1);

0 ,0 ,0 , 1];T=simplify(T);

Ejercicio4.Escribirlasexpresionesdelastransformacioneshomogneasparacadavnculo.

>> T01=MatrizTransformacion(0,0,sym(q1'),0)T01 =[ cos(q1), -sin(q1), 0, 0][ sin(q1), cos(q1), 0, 0][ 0, 0, 1, 0][ 0, 0, 0, 1]>> T12=MatrizTransformacion(sym(pi)/2,0,0,sym('d2'))T12 =[ 1, 0, 0, 0][ 0, 0, -1, -d2][ 0, 1, 0, 0][ 0, 0, 0, 1]>> T23=MatrizTransformacion(0,0,sym('q3'),sym('L2'))T23 =[ cos(q3), -sin(q3), 0, 0][ sin(q3), cos(q3), 0, 0][ 0, 0, 1, L2][ 0, 0, 0, 1]

Ejercicio5. PUMA560

1

2

3

4

6

5

% Este programa muestra las matrices de transformacin para el % PUMA 560 que estn reportadas en la notas y en el libro.%% El nombre de este programa es:%% CinematricaPUMA560.m%T01=MatrizTransformacion( 0, 0, 0,sym('t1'))T12=MatrizTransformacion(-sym(pi)/2, 0, 0,sym('t2'))T23=MatrizTransformacion( 0,sym('a2'),sym('d3'),sym('t3'))T34=MatrizTransformacion(-sym(pi)/2,sym('a3'),sym('d4'),sym('t4'))T45=MatrizTransformacion( sym(pi)/2, 0, 0,sym('t5'))T56=MatrizTransformacion(-sym(pi)/2, 0, 0,sym('t6'))T46=simplify(T45*T56)T36=simplify(T34*T46)T13=simplify(T12*T23)T05=T01*T13*T34*T45collect(T01*T13*T36,[sin(sym('t1')), cos(sym('t1'))])

11 12 130 0

21 22 230 6 66

31 32 33 [0,0,0] 10 0 0 1

x

y O

z

r r r Pr r r P R P

Tr r r P

0 606

0 0 0 66 6

0 0 6 06 6

1 1

1 [0,0,0] 1 1O

O

P PT

P R P P

P R P P

11 1 23 4 5 6 4 6 23 5 6 1 4 5 6 4 6

21 1 23 4 5 6 4 6 23 5 6 1 4 5 6 4 6

31 23 4 5 6 4 6 23 5 6

12 1 23 4 5 6 4 6 23 5 6 1 4 6 4 5 6

22 1 23 4 5 6 4 6 23 5 6

r c c c c c s s s s c s s c c c s

r s c c c c s s s s c c s c c c s

r s c c c s s c s c

r c c c c s s c s s s s c c s c s

r s c c c s s c s s s

1 4 6 4 5 6

32 23 4 5 6 4 6 23 5 6

13 1 23 4 5 23 5 1 4 5

23 1 23 4 5 23 5 1 4 5

33 23 4 5 23 5

1 2 2 3 23 4 23 3 1

1 2 2 3 23 4 23 3 1

3 23 2 2 4 23

x

y

z

c c c s c s

r s c c s s c c s s

r c c c s s c s s s

r s c c s s c c s sr s c s c cP c a c a c d s d s

P s a c a c d s d cP a s a s d c

Ejercicio6. Yasukawa Motoman L3

Elrobotsemuestraenlaposicin

(0,90,90,90,0).

Solucin:

Recordarqueelrobotestenlaposicin(0,90,90,90,0).

Entonces:

11 12 130 0

21 22 230 5 55

31 32 33 [0,0,0] 10 0 0 1

x

y O

z

r r r Pr r r P R P

Tr r r P

0 5

05

0 0 0 55 5

0 0 5 05 5

1 1

1 [0,0,0] 1 1O

O

P PT

P R P P

P R P P

% Este programa muestra las matrices de transformacin para el % Yasukawa Motoman L-3 que estn reportadas en la notas.%% El nombre de este programa es:%% CinematicaYasukawaMotomanL3.mT01=MatrizTransformacion( 0, 0,0,sym('t1'))T12=MatrizTransformacion(-sym(pi)/2, 0,0,sym('t2'))T23=MatrizTransformacion( 0,sym('L2'),0,sym('t3'))T34=MatrizTransformacion( 0,sym('L3'),0,sym('t4'))T45=MatrizTransformacion( sym(pi)/2, 0,0,sym('t5'))

T05=T01*simplify(T12*T23*T34)*T45

1 234 5 1 5 1 234 5 1 5 1 234 1 2 2 3 230 1 234 5 1 5 1 234 5 1 5 1 234 1 2 2 3 23

5234 5 234 5 234 2 2 3 23

0 0 0 1

c c c s s c c s s c c s c L c L cs c c c s s c s c c s s s L c L c

Ts c s s c L s L s

234 2 3 4

234 2 3 4

cos

sin

c

s

Donde:

L2

L1

Ejercicio7.UtilizandolametodologadeDHescribirlamatrizdetransformacintotaldelaherramientahastalabase.

RelacindeespaciosUn robot de n GDL tiene n variables articulares formando un vectorcolumna definido en el espacio articular.

En general cada articulacin es accionada por un actuador, sinembargo, no siempre es el caso. Por ejemplo, dos motores accionanuna flecha, un actuador lineal acciona una articulacin rotacional. Estil entonces conocer la relacin entre la posicin del actuador y laposicin de la articulacin.

EspaciodeactuadorLosmotoresyservomotoresseutilizanenROBOTICAparaproducirmovimientodepiezasyarticulacionesmecnicas.

Servomotores

SSC32ServoControllerhttp://www.lynxmotion.com/p395ssc32servocontroller.aspxhttp://www.robodacta.mx/index.php?dispatch=products.view&product_id=29885

ServomotoresPorejemplo,siqueremosqueelservo0recibaunasealPWMde1500ms,sepodraenviarlasecuenciadebytessiguientes:

enhexadecimal:0x84,0x00,0x70,0x2Eendecimal: 132, 0, 112, 46

ServomotoresEn el caso ms sencillo, la relacin Espacio de actuador vs.Espacio articular es una funcin lineal que se puede conocer si serealizar una tabla y usar ajuste de curva (Ej. Mnimos cuadrados).

Valoractuador(x) q1 [] q2 [] qn []0x0000x001

0xFFF

i i i iq f x m x b

MotoresdeCD

SimpleHighPowerMotorController18v25

MotoresdeCDProtocolocompactoElpaquetedeprotocolodecomandoscompactoessimplemente:

Porejemplo,siqueremosestablecerlavelocidaddelmotora3200(altavelocidad)haciaeladelante,podraenviarlasecuenciadebytessiguientes:

Hexagonaldelanotacin:0x85,0x00,0x64Notacindecimal:133,0,100

El0x85byteeselcomandoAjustedelmotorhaciaadelante,ylosdosltimosbytescontienenlavelocidad.

ActuadoresDynamixel

GoalPositionItisapositionvalueofdestination.0to1023(0x3FF)isavailable. Theunitis0.29degree.IfGoalPositionisoutoftherange,AngleLimitErrorBit(Bit1)ofStatusPacketisreturnedas1andAlarmistriggeredassetinAlarmLED/Shutdown.