2°.1 pc ejercicios

8/16/2019 2°.1 PC ejercicios

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TRABAJO

Pregunta N° 1 (8 puntos) Para del sistema de resortes mostrados en laFigura adjunta, se pide hallar:

a) (2 pts.) La epresi!n para "al"ular la matri# de rigide# glo$al del sistema.$) (2 pts.) %allar la matri# de rigide# glo$al del sistema.

") (2 pts.) Los despla#amientos u1 & u2

d) (2 pts.) Los es'uer#os σ 1 & σ 2

SOLUCION:

a) LA *R+- *ARA /AL/0LAR LA 1ATR 3 R43 4LOBAL 3L ++T1A:

n 5 678 5 6 [ 1 −1−1 1 ] 9 [ k 1 −k 1−k 1 k

1 ] 9 5 6(4)7

K 1 − K

1 0

− K 1 K

1 0

0 0 0

n 5 278 5 2 [ 1 −1−1 1 ] 9 [ k 2 −k 2−k 2 k

2 ] 9 5 2(4)7 [

0 0 0

0 K 2 − K

2

0 − K 2 K

2

]*R+O 4RAL:

5 (4)7 5 6(4) 5 2(4)7⌈

K 1 − K 1 0

−

K 1 K 1+

K 2 −

K 20 − K 2 K 2

⌉

$) 1ATR 3 R43 4LOBAL:

6


2/17

5 (4 7 [ 40 −40 0

−40 40+50 −50

0 50 50 ] 7 [

40 −40 0

−40 90 −50

0 50 50 ]

") 3+*LAA1TO+ 06 ; 02

[ F 1

F 2

0 ] 7 [

K 1 − K

1 0

− K 1 K

1+ K

2 − K

2

0 K 2

K 2

] < [U

1

U 2

U 3

] 9 [40500 ] 7

[ 40 −40 0

−40 90 −50

0 50 50 ] < [

U 1

U 2

U 3

] L04O 3 L1AR 0A FLA ; /OL01A 3 1ATR == ; LA F0RA ;3+*LAA1TO T1O+:

[4050] 7 [ 40 −40−40 90 ] 7 [U 1U 2]

/AL/0LA3O /O L 1AT LAB +AL:

U 1 7 2.> ; U 2 7 6.>

d)+F0RO+ 1/?/O+ σ 6 ; σ 2

@ 7< ∆T 7 66.C6DE /D6 / 7 G.26D2

σ 6 7 ( [−11 ] <

1

U 1−€ 0 )

2


3/17

σ 6 7 =.66C (

1

2.8−9.2 x10−2 )

+ TO1A LA 1ATR 3 HALOR *O+THO

σ 6766IIC.E2>

σ 2 7 6IG>.>2G

Pregunta N° 2: (8 puntos) *ara el sistema de resortes mostrado.

Datos:

5 6 7 6C Kmm, 5 2 7 22 Kmm, 5 = 7 62C Kmm, * 7 IC, u6 7 uI 7+e pide determinar:a) (2 pts.) La matri# rigide# ensam$lada.$) (2 pts.) 3espla#amientos en los odos 2 & =.") (2 pts.) Las 'uer#as en los empotramientos (odos 6 & I).d) (2 pts.) La 'uer#a en el resorte 2.

SOLUCION:

a) LA 1ATR 3 R43 +A1BLA3A:

n 5 678 5 6 [ 1 −1−1 1 ] 9 [ k 1 −k 1−k 1 k 1 ] 9 5 6(4)7 [ K

1 − K

1 0 0

− K 1 K

1 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0]

=


4/17


5/17

")LA+ F0RA+ L 1*OTRA1TO+ 6 ; I:

d)LA F0RA L R+ORT 2

Pregunta N° 3 (12 puntos). 3ado la siguiente pla"a triangular, de t76Cmm de espesor "onstante, /onsiderando dis"reti#a"i!n de tres elementos./al"ular:

a) (=pts.) las matri"es lo"ales K 1 , K 2 , K 3 ,

$) (2 pts.) La matri# ensam$lada K G=∑

e=1

3

K e , siendo e el nmero de su$D

elementos en Mue se ha 3is"reti#ado el sistema.

") (I pts.)Los despla#amientos: u1 , u2 , u3 , u4

d) Los es'uer#os: σ 1 , σ 2 & σ 3

e) (= pts.)l 'a"tor de seguridad "orrespondientes para los es'uer#os σ 1 ,

σ 2 & σ 3

C(6)


6/17

SOLUCION:

a)LA+ 1ATR/+ LO/AL+ K 1 , K 2 , K 3 : Typeequation here .

n 5 678 5 6 [ 1 −1−1 1 ] 9k

1 −k

1

−k 1 k

1 9 5 6(4)7 [

K 1 − K 1 0 0− K

1 K

1 0 0

0

0

0

0

0

0

0

0]n 5 278 5 2 [ 1 −1−1 1 ] 9 [ k 2 −k 2−k

2 k

2 ] 9 5 2(4)7 [

0 0 0 0

0 K 2 − K

2 0

0

0

− K 2

0

K 2

0

0

0 ]

n 5 =78 5 = [ 1 −1−1 1 ] 9 [ k 3 −k 3−k 3 k

3 ] 9 5 2(4)7 [

0 0 0 0

0 0 0 0

0

0

0

0

K 3− K

3

− K 3 K

3

] $) 1ATR +A1BLA3A: K

G=∑

e=1

3

K e

E

6>.C=

(2)

CE2.C=(=)

*A

662CE

(I)


7/17

5 (4)7 5 6(4) 5 2(4) 5 =(4) 7 [ K 1 K 1 0 0

− K 1 K

1+ K

2 − K

2 0

0

0

− K 2

0

K 2+ K

3

− K 3

− K 3

K 3

] ")LO+ 3+*LAA1TO+: u1 , u2 , u3 , u4 .

e

O3O+ 43L le

(mm)

Ae

(mm2)

(6) (2) 6 2

6 6 2 6 2 = 6=C

2 2 = 2 = = EC

= = I = I E 22C

Anali#ando las 'uer#as en "ada elemento Nnito:

( )

( )

( )

( )

( ) N

Axl y F

N P Axl y

F

N Axl y

F

N Axl y

F

N R Axl y

F

A

53.39712

88.209922

88.9922

48.1652

48.16512

33

3

22

3

22

2

11

2

11

1

==

=+=

==

==

=+=

( ) N

Axl y F 53.3971

2

33

4 ==

Ahora anali#amos las 'uer#as para todo el "uerpo:


8/17

N F F

N F F F

N F F F

N R F F

53.3971

41.24964

36.1158

148.165

3

44

3

3

2

33

2

2

1

22

1

11

==

=+=

=+=

+==

nton"es, el e"tor "arga se epresarPa de la siguiente manera

[ ] N

R

F

F

F

F

F

+

=

=

53.3971

41.24964

36.1158

148.165

4

3

2

1

1

A "ontinua"i!n pasamos a "al"ular la matri# de Rigide# 4lo$al, Mue esta determinada

por la siguiente e"ua"i!n:

−

−

=∫

0000

0000

0011

0011

1l

AE K

i

−−

+

0000

0110

0110

0000

2l

AE

−−

−

1100

1100

0000

0000

3l

AE

Reempla#ando para los alores "al"ulados & utili#ando la ta$la de "one"tiidado$tenemos:

−

−

=∫

0000

0000

0011

0011

300

10348.165

1

5 x x K

i

−−

+

0000

0110

0110

0000

300

10388.992

2

5 x x

−−

+

1100

1100

0000

0000

600

10353.3971

3

5 x x

>


9/17

Finalmente:

mm

N x K

i

−−−

−−−

=∫

86.1986.1900

86.1979.2993.90

093.958.1165.1

0065.165.1

105

La e"ua"i!n de rigide# esta determinada por la siguiente e"ua"i!n:

∫ ∫ = Q K F ii

Lo Mue "on nuestros alores "al"ulados tenemos:

+

53.3971

41.24964

36.1158

148.165 R

−−−

−−−

=

4

3

25

0

86.1986.1900

86.1979.2993.90

093.958.1165.1

0065.165.1

10

Q

Q

Q x

*ara o$tener los despla#amientos tomamos la siguiente su$matri#:

53.3971

41.24964

36.1158

−−−

−=

4

3

2

5

86.1986.190

86.1979.2993.9

093.958.11

10

Q

Q

Q

x

Resoliendo este sistema de e"ua"iones o$tenemos:

G


10/17

mm xQ

mm xQ

mm xQ

mmQ

5

4

5

3

5

2

1

10

10

10

0

−

−

−

=

=

=

=

; para o$tener la rea""i!n en el empotramiento t!manos la siguiente su$matri#:

[ ] [ ]

−=+

4

3

25

1

0

0065.165.11048.165

Q

Q

Q x R

Resoliendo o$tenemos: N R =

1

d)LO+ +F0RO+: σ 1 , σ 2 & σ 3 .

*ara "al"ular los alores de los es'uer#os por elemento, apli"amos la siguiente

e"ua"i!n:

[ ]

+

−

=

111

i

i

e

e

Q

Q

l

E σ

; o$tenemos lo siguiente:

[ ]21

5

1

5

1 07406.0103511.12

011

500

103

mm

N x

x=→

−

= − σ σ

[ ]22

5

2

5

2 1481.0106882.24

3511.1211

250

103

mm

N x

x=→

−

= − σ σ

6


11/17

[ ]23

5

3

5

3 0000098.010

6990.24

6882.2411

250

103

mm

N x

x=→

−

= − σ σ

e) L FA/TOR 3 +40R3A3 /ORR+*O3T+ *ARA LO+ +F0RO+:

σ 1

,

σ 2

&

σ 3

.

Pregunta N° 3 (12 pts.) Considere la armadura de cuatro barras mostrada en la figura .Para todos los elementos, se tiene: Ee=29.5x106 si ! "e=1 lg2.

66

lpro'esorlpro'esorlpro'esor

1. #2 ts.$ %etermine la matri& de rigide&

elemental ara cada elemento2. #2 ts.$ Ensamble la matri& de rigide&

estructural ' ara toda la armadura(. #2 ts.$ Calcular los desla&amientos

nodales.

). #) ts.$ Calcular los esfuer&os ara cadaelemento

5. #2 ts.$ Calcule las fuer&as de reacci*n.


12/17

SOLUCION:

a) 3TR1 LA 1ATR 3 R43 L1TAL *ARA /A3A L1TO:

Dta$ular los datos de las "oordenadas nodales.

Dta$la

de

"one"tiidad de elementos:

62

=

I

NODO X Y

1 02 I 03 I 304 0 30

ELEMENO NODO

(1) (2)

1 1 22 2 33 1 3

4 3 4


13/17

Dta$la de elementos "on sus longuitudes:

n

−

−

=

−

−

=

0000

0101

0010

0101

30

105.29

0000

0101

0010

0101

1

6

1

1

x

l

AE K

n

−

−

=

−

−

=

1010

0000

1010

0000

30

105.29

1010

0000

1010

0000

2

6

2

2

x

l

AE K

n

−−

−−−−−−

=

−−

−−−−−−

=

36.48.36.48.

48.64.48.64.

36.48.36.48.

48.64.48.64.

50

105.29

36.48.36.48.

48.64.48.64.

36.48.36.48.

48.64.48.64.

3

6

3

3

x

l

AE K

6=

ELEMENO! "e " #

1 I 6 0

2 = $13 C .> 0.%4 30 1 0


14/17

n

−

−

=

−

−

=

0000

0101

0010

0101

40

105.29

0000

0101

0010

0101

4

6

4

4

x

l

AE K

$) +A1BL LA 1ATR 3 R43 +TR0/T0RAL 5 *ARA TO3A LA AR1A30RA:

5 (4)7 5 6(4) 5 2(4) 5 =(4) 5 I(4) 729.5 x 10

6

600

22.6 5.76 −15 0 −7.68 −5.76 0 0

5.76 4.32 0 0 −5.76 −4.32 0 0

−15 0

0 0

−7.68

−5.76

0

0

−5.76

−4.32

0

0

15 0

0 20

0

0

0

0

0

−20

0

0

0 0 0 0

0 −20 0 0

22.685.76

−15

0

5.76 −15 024.32

0

0

0

15

0

0

0

0 ]") /AL/0LAR LO+ 3+*LAA1TO+ O3AL+.29.5 x 10

6

600

[15 0 0

0 22.68 5.76

0 5.76 24.32] [Q

3

Q5

Q6]=

[ 20000

0

−25000]+OL0/O 3 LA /0A/O+

[Q

3

Q5

Q6

]=[ 27.12 x10

−3

5.65 x10−3

−22.25 x10−3]∈¿

*OR LO TATO L H/TOR 3 3+*LAA1TO O3AL 3 TO3A LA +TR0/T0RA +:

Q=[0,0,27.12 x10−3,0,5.65 x10

−3,−22.25 x10

−3,0,0]

T ∈¿

d) /AL/0LAR LO+ +F0RO+ *ARA /A3A L1TO:

6I


15/17

2C

=62E

6C>==

I6E

26>G

DLa "one"tiidad del elemento 6 es 6D2 n "onse"uen"ia, el e"tor de despla#amiento

nodal para el elemento 6 esta dado por q=[0,0,27.12 x10−3,0]

T

σ 1=29.5 x10

6

40[−1 0 1 0 ]

[

0

0

27.12 x 10−3

0

]=20000.0 psi

Dl es'uer#o en el miem$ro 2 esta dado por:

σ 2=

29.5 x106

3 0[ 0 1 0 −1 ] [

5.65 x 10−3

−22.25 x 10−3

−27.12 x 10−3

0]=−2 1880.0 psi

Dsiguiendo pasos similares o$tenemos:

σ 3=5208.0 psi

σ 4=4167.0 psi

e) /AL/0L LA+ F0RA+ 3 RA//-:

[ R

1

R2

R4

R7

R8]=

29.5 x106

600 [22.68 5.76 −15 0 −7.68 −5.76 0 0

5.76 4.32 0 0 −5.76 −4.32 0 0

0 0

0 0

0 0

0 20 0

0 0 −15

0 0 0

−20 0 0

0 15 0

0 0 0 ][ 0

0

27.12 x 10−3

0

5.65 x 10−3

−22.25 x 10−3

0 ]DQue "ondu"e a:

R1

R2

R4

R7

R8

=[−158833.0

3126.0

2 1879.0

−4167.0

0 ]6C


16/17

6E

Fuer#as: l$

l pro'esor


17/17

6

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