2.1.1 向量的概念

• 老鼠由 A 向东方向以每秒 6 米的速度逃窜 ,而猫由 B 向西北方向每秒 10 米的速度追 . 问猫能否抓到老鼠 ?

◆ 速度是既有大小又有方向的量。

B

A

◆ 结论：猫不能追上老鼠。 猫的速度再快也没用，因为方向错了。

想一想：位移和距离这两个量有什么不同？

o B

A

2000米1500米

位移既有大小又有方向

距离只有大小没有方向

既有大小又有方向的量叫 现实生活中还有哪些量既有大小又有方向？

哪些量只有大小没有方向？

距离、身高、质量、时间、面积等

位移、力、速度、加速度、电场强度等

向量

数量

向 量一 :向量定义

注意：数量与向量的区别

1 、数量只有大小，是一个代数量，可以进行代数运算、比较大小；

2 、向量不仅有大小还有方向 ，具有双重性， 不能比较大小。

有向线段——具有一定方向的线段．

有向线段的三要素：起点、方向、长度

A

B

以 A 为起点、 B 为终点的有向线段记作 AB

二 :表示方法： ① 几何表示法：有向线段．

（ 3 ）模的概念：

向量 的大小即向量 的长度称为向量的模 .

AB AB

记作： | | AB

② 字母表示法：

用 、 、 等小写字母表示；或用表示有向线段的起点和终点字母表示，如 .AB

abc

思考：向量 AB与向量 BA是不是同一向量？为什么？

长度为 0 的向量应该叫做什么向量？如何表示？它是否有方向？

问题 1 ：

答：应该叫做零向量。表示为 0 。

它的方向是不确定的。

探 究

问题 2 ： 长度等于 1 个单位长度的向量应该叫做什么向量？

答：应该叫做单位向量。

•问：有几个单位向量？单位向量的大小是否相等？

答：有无数个单位向量，单位向量大小相等 .

平面直角坐标系内，起点在原点的单位向量，它们终点的轨迹是什么图形？

如图，轨迹是以 O为圆心，半径为 1 的圆。

（单位圆） o

答：

思考：

问题 3 ： 如图，这组向量之间，存在着什么关系？

答：平行关系。

平行向量也叫共线向量

a

b c

平行向量：方向相同或相反的非零向量。

规定 :零向量与任一向量平行

(1) 把平行于直线 的所有单位向量的起点平移到直线 上的点 P ；

ll

是直线 上与点 P的距离为 1的两个点；l

(2) 把平行于直线 的所有向量的起点平移到直线 上的点 P ；

ll

是直线 l

对于下列各种情况，各向量的终点的集合分别是什么图形？

思考：

•问题 4

若两个向量相等，那么它们必须具备什么条件？相等向量： 长度相等且方向相同的向量。

若向量 a 与 b 相等，记作： a ＝ b 。规定 :(1) 零向量与零向量相等。

Ａ 3

Ｂ 3

Ａ１

Ｂ１

Ａ 2

Ｂ 2 A1B1=A2B2=A3B3

下图中的向量是否是相等向量 ?

•说明：任意二个非零相等向量可用同一条有向线段表示，与有向线段的起点无关。

思考 ：相等向量一定是平行向量吗 ?

平行向量一定是相等向量吗 ?不是 .

是

例 1 ．判断下列命题真假或给出问题的答案： （ 1 ）平行向量的方向一定相同．

（ 2 ）不相等的向量一定不平行．

（ 3 ）与零向量相等的向量是什么向量？

（ 4 ）存在与任何向量都平行的向量吗？

×

×

零向量

零向量

（ 5 ）若两个向量在同一直线上，则这两个向量一定是什么向量？

（ 6 ）两个非零向量相等的条件是什么？

（ 7 ）共线向量一定在同一直线上．

平行向量（共线向量）

模相等且方向相同

×

例 1 ．判断下列命题真假或给出问题的答案：

11 个

例 2 ．如图设 O 是正六边形 ABCDEF 的中心，写出图中 与向量 OA 相等的向量。

OA = DO = CB

变式一：与向量 OA长度相等的向量 有多少个？

变式二：是否存在与向量 OA长度相等，方向 相反的向量？

存在，为 FE

CB 、 DO 、FE

变式三：与向量 OA长度相等的共线向量有哪些？

aaa )（a

与 长度相等 , 方向相反的向量 叫 的相反向量 . 记为

a

a a

3 4 5 ,AB

AB

AB AB

例 ：在 方格纸中有一个向量 以图中的格点为

起点和终点作向量，其中与 相等的向量有多少个？

与 长度相等的共线向量有多少个？ ( 除外）

��������������

��������������

����������������������������

A

B

相等的有 7个长度相等的有15 个

例 4 ： D 、 E 、 F 依次是等边△ ABC的边 AB 、 BC 、 CA 的中点，在以 A 、B 、 C 、 D 、 E 、 F 为起点或终点的向量中，(1) 找出与向量 DE相等的向量；

(2) 找出与向量 DF 共线的向量．

A

B C

D

E

F

AF 和 FC

BE,EB,EC,CE,BC,CB,FD

7. 相等向量 :8. 相反向量 :

仅对向量的大小明确规定，而没有对向量的方向明确规定

仅对向量的方向明确规定，而没有对向量的大小明确规定

对向量的大小和方向都明确规定

1. 向量的概念 :2. 向量的表示 :3. 零向量 :4. 单位向量 :

5. 平行向量 :6. 共线向量 :

小结

注意：数学中的向量与物理中的矢量是

有区别的．在数学中我们研究的是仅由大小和方向确定，而与起点位置无关的向量，也称为自由向量．