Banginė optika – Šviesos difrakcija

Šviesai sutinkant didelių matmenų objektus kontūrus, ekrane, esančiame už objekto, susidaro ryškus šešėlis.

Kontrastingų šešėlių susidarymas tenkina geometrinės optikos dėsnius, kurios pagrindinis teiginys yra: optiškai vienalytėse aplinkose šviesa sklinda tiesiai.

Tačiau geometrinė optika negalioja objektams, kurių dydis yra šviesos bangos ilgioeilės.

Šviesa, sutikusi tokių matmenų objektus pagal savotiškus dėsnius užlinksta už jų.

Šis reiškinys vadinamas šviesos difrakcija (lot. Difractic – sulaužytas).

Kitaip tariant šviesos difrakcija vadiname jos bangų užlinkimą sutikus kliūtį, t.y. jų nuokrypį nuo tiesaus sklidimo.

Todėl vietoje griežto geometrinio kliūties šešėlio gaunamas interferencinis vaizdas. Šio vaizdo pobūdis priklauso nuo kliūties matmenų ir formos.

Banginė optika – Šviesos difrakcija

Jei banga ateina į platų plyšį, ji praeina pro plyšį, sudarydama šešėlį.

Jei banga ateina į plyšį, kurio dydis yra bangos ilgio eilės, plyšys spinduliuoja sferines bangas.

Banginė optika – Šviesos difrakcija

Tačiau ekrane už plyšio mes gauname ne tik užlinkusią šviesą, bet ir jos intensyvumoperiodinį pasiskirstymą.

arba:

Šį, vadinamų difrakcinių maksimumų ir minimumų susidarymą aiškina Heigenso-Frenelio-Fraunhoferio teorija.

Banginė optika – Heigenso-Frenelio principas

K. Heigensas 1678 m. suformulavo principą: kiekvienas taškas, kurį banga pasiekiatam tikru laiko momentu, yra elementariųjų bangų šaltinis, o visų tokių bangųgaubtinė vėlesniu laiko momentu yra bangos paviršius.

Heigenso principas paaiškino bangų užlinkimą, tačiau negalėjo paaiškinti susidariusiųdifrakcinių maksimumų ir minimumų susidarymą.

Ši principą 1815 m., pasinaudojęs koherentiškumo ir interferencijos sąvokomis,papildė O. Frenelis.

Heigenso ir Frenelio principas formuluojamas taip: kiekvienas sklindančios bangospaviršiaus taškas yra antrinių koherentinių bangų šaltinis.

http://en.wikipedia.org/wiki/Huygens-Fresnel_principle

Banginė optika – Šviesos difrakcija

Frenelio teorija remiasi tuo, kad kiekvienas bangos fronto elementarus paviršius spinduliuoja elementariaskoherentines bangas.

Todėl taškinį šviesos šaltinį galima nagrinėti kaip antrinių koherentinių šaltinių sistemą – mažų tą šaltinį gaubiančio uždaro paviršiaus plotelių dS sistemą.

Į aplinkos tašką P ateinančių antrinių bangų amplitudė dA proporcinga dS ploteliui ir priklauso nuo kampo α tarp plotelio normalės n ir taško padėties vektoriaus r.

čia a – dydis, proporcingas pirminių bangų amplitudei plotelyje dS.

Persiklojusios taške P , šios bangos interferuoja.

Norint teoriškai nustatyti interferencijos rezultatą bet kuriame taške P , patogiausia naudotis Frenelio zonų metodu.

Banginė optika – Šviesos difrakcija

Tarkime, kad sferinė banga sklinda iš taškinio šaltinio S vienalytėje aplinkoje.

Jos frontas – sfera.

Norėdami nustatyti suminę svyravimo amplitudętaške P , išskaidykime (mintyse) bangos paviršiųį žiedines zonas.

Gretimų zonų atstumas iki nagrinėjamo taško P skiriasi atstumu λ/2 .

Todėl iš šių zonų sklindančių ir taške P persiklojančių bangų fazės yra priešingos.

Suminio svyravimo amplitudė tada bus lygi:

Elementarios bangos amplitudė mažėja didėjant kampui , todėl:

Atstojamoji amplitudė taške P lygi tolydžiai mažėjančių amplitudžių sumos eilutei:

jei: tai:

Šviesos difrakcija – Frenelio difrakcija kliūtyje

Tarkime, kad sferinė banga sutinka neskaidrų diską, kuris uždengia m Frenelio zonų.

Ekrane gaunamas disko difrakcinis vaizdas – šviesių ir tamsių koncentriškų žiedųsistema. Ekrano centre taške P visada yra šiek tiek šviesu.

Šios šviesos amplitudė Ap lygi pusei amplitudės bangų, atėjusių į šį tašką iš pirmos neuždengtos artimiausios kliūčiai Frenelio zonos, t.y:

Šviesos difrakcija – Frenelio difrakcija plyšyje

Tarkime, kad sferinės bangos kelyje yra diafragma su apvalia r spindulio skylute. Jei ekranas E lygiagretus su diafragma, tai jame gaunama šviesių ir tamsių koncentriškų žiedų sistema. Šviesu ar tamsu ekrano centre (taške P ), priklauso nuo to, koks Frenelio zonųskaičius – lyginis ar nelyginis – telpa skylutėje. Suminio svyravimo amplitudę galima nustatyti Frenelio zonų metodu:

jei plyšyje telpa lyginis zonų skaičius:

jei plyšyje telpa nelyginis zonų skaičius:

Šviesos difrakcija – Fraunhoferio difrakcija plyšyje

Fraunhoferio difrakcija vadinama plokščiosios bangos difrakcija.

Fraunhoferio difrakcija vyksta, kai plyšio matmenys yra daug mažesni, nei pirmosiosFrenelio zonos matmenys.

Fraunhoferio difrakcijos rezultatas ekrano taške P skaičiuojamas pagal kraštinių spindulių optinių kelių skirtumą:

Jeigu optinis kelių skirtumas lygus lyginiam pusbangių skaičiui gausime lyginį Freneliozonų skaičių - minimumą.

Jeigu optinis kelių skirtumas lygus nelyginiam pusbangių skaičiui gausime lyginį Freneliozonų skaičių - maksimumą.

sinb

,...3,2,1,0,2

2sin mmb

,...3,2,1,0,2)12(sin mmb

Difrakcija tiesinėje gardelėje

Tiesine difrakcine gardele vadiname stiklo ar kvarco plokštelę, turinčią daug lygiagrečių, vienodai vienas nuo kito nutolusių ir vienodos formos bei pločio b rėžių,kurie atskirti pločio a šviesai neskaidriais tarpeliais.Apšviesta d.g. rėžiuose patiria difrakciją, visi rėžiai patampa atskirų koherentinių bangų šaltiniais, nutolusiais per atstumą, vadinamą d.g. konstanta:

Koherentinių šaltinių šviesa, pasiekusi ekraną, jame interferuoja. Interferencijos rezultatas priklauso nuo per gardelės konstantą nutolusių spindulių optiniųkelių skirtumo. Kuris išreiškiamas:

Maksimumai gaunasi, kai:

Minimumai gaunasi, kai:

bad

sind

,2)12(sin md

,2

2sin md

Spektro eilė difrakcinėje gardelėje

Spektro eile - vadinamas difrakcinės gardelės maksimumo numeris.

Fraunhoferio difrakcija tiesinėje gardelėje

Difrakcinių maksimumų padėtis d.g. priklauso nuo bangos ilgio.

D.g. apšvietus balta šviesa, maksimumai išskleidžiama į spektrą (išskyrus centrinį).Todėl difrakcinė gardelė naudojama kaip spektrinis įtaisas.

Kiekvieno bangos ilgio šviesa išsiskleidžia į atskirus pasikartojančius maksimumus,apibūdinamus bangos ilgiu ir spektro eile.

Difrakcija erdvinėje gardelėje ir jos taikymas kristalografijoje

Šviesa gali difraguoti ne tik vienmatėje, bet ir dvimatėje ir erdvinėje gardelėje.Plačiausiai praktiškai taikoma rentgeno spindulių difrakcija kristaluose.

Jos teoriją sukūre H. Bregas ir L. Bregas 1912 m, o eksperimentiškai patvirtino 1913 m. M. Lauė, V. Fridrichas ir Knipingas.

Rentgeno spinduliams (λ~10-10 m.) kristalas yra natūrali erdvinė difrakcinė gardelė.

Maksimumai susidaro, kai tenkinamasąlyga:

mdBDCB sin2

Banginė optika – Šviesos dispersija ir refrakcija

Bangų dispersija vadiname jų fazinio greičio priklausomumą nuo bangos dažnio.

Vakuume šviesos greitis nuo dažnio nepriklauso.Tačiau medžiagoje šviesos greitis išreiškiamas:

Todėl šviesos dispersija galime apibrėžti kaip lūžiorodiklio priklausomybe nuo bangos dažnio:

Dėl šios priežasties balta šviesa prizmėje išsiskaido į spektrą.

Šį reiškinį pirmas aptiko 1666 m. I. Niutonas

Trumpesnės bangos sklinda mažesniu greičiu negu ilgesnės ir dėl to daugiau lūžta.

Šiuo atveju, kai: vyksta normali dispersija,

Priešingu atveju, kai: - anomali dispersija.

n

cv

fn

0ddn

0ddn

Šviesos dispersija – elektroninė Lorenco teorija

Šviesos dispersijos teorijos tikslas – gauti priklausomybę:

Iš Maksvelio teorijos žinome, kad elektromagnetinių bangų greitis vakuume:

o medžiagoje: . Kadangi žinoma:

Seka, kad šviesos lūžio rodikis: arba

Šviesai skaidrios medžiagos yra dielektrikai, dažniausiai paramagnetikai (=1), todėl lūžio rodiklį galime išreikšti dielektrikų fizikoje žinoma formule:

Kadangi dielektrinis jautris yra lygus: , čia - poliarizuotumas

tai:

fn

12n

E

P

0

E

Pn

0

2 1

00

1

c

c

v 00

1

n

cv

n 2n

P

Šviesos dispersija – elektroninė Lorenco teorija

Kadangi šviesos dažnis yra apie 1015 Hz, ji medžiagoje sukelia tik elektroninę poliarizaciją.

Elektrinis laukas, paveikęs elektroną, pastumia jį nuo pusiausvyros padėties per atstumą x, dėl to susikuria dipolis:

Jeigu E veikia dielektriko sritį, jos poliarizuotumas bus:

Lūžio rodiklis bus lygus:

E

Pn

0

2 1

expe

exnpnP e 00

E

exnn

0

02 1

Šviesos dispersija – elektroninė Lorenco teorija

Šviesos bangos elektrinio lauko stipris svyruoja:

Jis elektroną veikia jėga: , tačiau elektronas yra surištas su

atomu kvazitampriąja jėga (išreiškiama Huko dėsniu):

Šiai sistemai pritaikykime II Niutono dėsnį ir įstatykime jėgų išraiškas:

atitinkamai pažymėję ir sukėlę:

, čia: .

Šios diferencialinės lygties sprendinys:

tEE m cos

teEF mE cos

kxFT

tm

eEx

m

k

m

FF

m

F

dt

xd mTE cos2

2

tEm

ex

dt

xdm cos2

02

2

m

k20

)(

cos22

0

m

teEx m

Šviesos dispersija – elektroninė Lorenco teorija

Įstatę ir į lūžio rodiklio išraišką.:

gauname:

Sudėtingesnei molekulei:

Gavome šviesos lūžio rodiklio priklausomybėsdielektrikui išraišką:

Skiriamos kelios šios priklausomybės interpretacijos:

1. Dažniams, stipriai besiskiriantiems nuo 0,2. Dažniams, artėjant link 0 iš kairės ir dešinės,3. Atkarpa AB.

i im

enn

)(1

220

2

0

02

)(1

2200

202

m

enn

)(

cos22

0

m

teEx m

E

exnn

0

02 1

tEE m cos

Šviesos dispersija – fazinis ir grupinis greičiai

Kiekviena reali šviesos banga yra tam tikro skaičiaus skirtingo dažnio bangųsuperpozicijos rezultatas, todėl ji dar vadinama bangų grupe, arba paketu.

Paprasčiausia bangų grupė gaunama sudėjus dvi ašies Ox teigiama kryptimi sklindančias plokščiąsias vienodos amplitudės bangas, kuriųdažniai ω ir bangų skaičiai k vienas nuo kito labai mažai skiriasi.

Tai primena mušimus mechaninių svyravimų sudėties skyriuje.

Šviesos dispersija – fazinis ir grupinis greičiai

Jei priimsime, kad viena iš dviejų bangų aprašoma lygtimi:

O kita, kurios dažnis ir bangos skaičius nuo pirmos skiriasi per ir k:

Tokių, dviejų bangų, kurių dažnis ir banginis skaičius nedaug skiriasi, superpozicijosrezultatas yra:

kxtEE m cos1

xkktEE m cos2

kxtxk

tE

xkktkxtEEEE

m

m

cos22

cos2

coscos21

Šviesos dispersija – fazinis ir grupinis greičiai

Pirmasis harmoninis daugiklis aprašo moduliuotos amplitudės svyravimą:

Erdvės taškuose, tenkinančiuose lygybę:gauname amplitudės maksimumus,vadinamus grupės centrais.

Išreiškus grupės centro koordinatę, gauname:

t.y. jos tiesinę padėties priklausomybę nuo laiko. Tai reiškia, kad grupės centras juda pastoviu greičiu, vadinamu grupiniu greičiu.

Bangų grupės centro koordinatės išvestinė laiko atžvilgiu lygi šio grupės centro sklidimo greičiui:

arba kampinio dažnio išvestinei bangos skaičiaus atžvilgiu.

xk

tEE mg 22cos2

,...2,1,0,22

mmxk

t C

k

mt

kxC

2

dk

d

kkdt

dxc

k

Cg

lim

0

Šviesos dispersija – fazinis ir grupinis greičiai

Raudona – dvi atskiros, skirtingų dažnių bangos.Mėlyna – jų superpozicijos rezultatas

Juodas taškas virš mėlyno – grupinis greitis (žiurėti pilnam ekrane)

Išreikškime grupinį greitį kitaip. Kampinį dažnį galime išreikšti:

įstatome į: sandaugos išvestinė lygi:

, kadangi: ,

greičio išraiška supaprastėja:

Jei dispersijos nėra: , grupinis greitis lygus faziniam greičiui:

Grupinis greitis yra mažesnis už fazinį, jei: (normali dispersija).

Ir didesnis už fazinį, jei: (anomali dispersija).

Šviesos dispersija – fazinis ir grupinis greičiai

VkV

22dk

dcg

dk

d

d

dVkV

dk

dVkV

dk

Vkd

dk

dcg

kkdk

d

2

2

d

dVVcg

0ddV Vcg

0ddV

0ddV

Šviesos dispersija – fazinis ir grupinis greičiai