216047342 solucionario demidovich tomo ii bypriale

8/9/2019 216047342 Solucionario Demidovich Tomo II ByPriale

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Solucio narlo de Análisis Matemático por Deminovich tomo I, lliSolucionarlo de Análisis Matemático por G.Berman, tomo I, II, IIISolucionarlo de Matemática Aplicada a la Administración y Economía porE.WEBER.Solucionarlo de Leithold 2da. Parte.Geometría Vectorial en R2Geometría Vectorial en R3

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SOLUCIONARIOSUNIVERSITARIOS


ANALISIS MATEMATICO II

S O L U C I O N A R I O D E M I D O V I C H

T O M O I I

CO

W nn - \

♦ I N T E G R A L I N D E F I N I D A

♦ I N T E G R A L D E F I N I D A

♦ I N T E G R A L I M P R O P I A

♦ A P L I C A C I O N E S

E D U A R D O E S P I N O Z A R A M O S

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INDICE

C A P Í T U L O I V

INTEGRAL INDEFINIDA

Pag.

1.1. Reglas Principales para la Integración. 1

1.2. Integración mediante la Introducción bajo el Signo de la Diferenc ial. 81.3. Métodos de Sustitución. 45

1.4. Integración por Partes. 57

1.5. Integrales Elementales que contienen un Trinomio Cuadrado. 79

1.6. Integración de Funciones Racionales. 88

1.7. Integrales de algunas Funciones Irracionales . 116

1.8. Integrales de las Diferenc iales Binómicas. 129

1.9. Integrales de Funciones Trigonom étricas. 134

1.10. Integración de Funciones Hiperbólicas. 157

1.11. Empleo de Sustitución Trigonométricas e Hiperbólicas para el

Cálculo de Integrales de la forma J R(x , Vax1 +bx + c) dx . 161’ 1.12. Integración de diversas Funciones Trascendentes. 167

1.13. Empleo de las Fórmulas de Reducción. 176

1.14. Integración de distintas Funciones. 180

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C A P Í T U L O V

LA INTEGRAL DEFINIDA

2.1. La Integral Definida como Limite de una Suma. 2182.2. Cálculo de las Integrales Definidas por Medio de Indefinidas. 2232.3. Integrales Impropias.

2342.4. Cambio de Variable en la Integral Definida. 2482.5. Integración por Partes.

2612.6. Teorema del V alor Medio.

268

C A P Í T U L O V I

. 3 1 , .

[ A PLI C A C I O N ES D E LA I N TEG R A L D EFI N ID A

3.1. Areas de las Figuras Planas.276

3.2. Longitud de Arco de una Curva.310

3.3. Volumen de Revolución.325

3.4. Area de una Superficie de Revolución. 3473.5. Momentos, Centros de Gravedad, T eorema de Guldin. 3573.6. Aplicaciones de la Integral Definida a la Resolución de problemas

de Física.377

Integra l Indefinida1

C A P Í T U L O I V

4 . I N T E G R A L I N D E F I N I D A .

4.1 . REGLAS PRINCIPALES PARA LA INTEGRAC ION.

0 F '(je) = / ( x) entonces j" f (x )dx = F(x ) + c , c constante.

( 2 ) J kf(x) dx = k j / ( x) dx , * es una constante.

@ J( /( jc)±g(x) k = F ( x ) + c y u = y W . se tiene: ^ f ( u ) d u - F ( u )

TABLA DE INTEGRACION INMEDIATA.

Sea u una función de x.

© J ^ = 1 „ | „ | +C © J ^ T = r rc ,8 ,7 )+ c


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2 Eduardo Espinoza Ram os

1031

J u 2 +a

du

y[a2 - u 2

audu = -

■= are. sen f u ' + c = -ar e. eos

- + c , a > 0

+ c, ;a > 0

10) \ eudu= eu+ cJ

12) Ieosu du = senu +c

J = ln(w+ y¡u2+a) +c , a ? í 0

J

J ln(fl)

^s zn(u)du = - c o s ( m ) + c ( l 2 ) j "

j t g u d u = — ln|cosw| + c = lnjsecMj + C! ^4) tgu.du = ln |sen m| +c

Jsec u.du = tgu + c Jcsc2u.du = -c tg u +c

Jcscu.du = lnjsec¿¿ +tgu\ +c ( l^ jc sc u.d u = Ln\c sc u-c lg u \ + c

Jsenh(M)rf«=cosh(«) + c @ Jcosh(M)¿K =senh(«)

j c s c 2h( u) .du = ct gh(u )+ c @ Jsec2h(u)du = tgh(n)

Hallar las siguientes integrales, em pleando las siguientes reglas de integración:

J

) + c

) + c

I5a 2x2dx

Desarrollo

Integral Indefinida 3

1032

1033

1034

1035

1036

(i6x2 + 8jc + 3 )dx.

Desarrollo

(6x2 + 8* + 3 )dx = 6J x2dx + 8J xdx + 3J dx + c = 2x* + 4x2 + 3x

x( x + a)( x + b)dx

Desarrollo

+ c

í<

C i ? x a + b 3 ab 2 í x( x + a) (x + b)d x= \ ( x 3 +( a+b )x 2+abx )dx = — + - — x + y * +c

(a + bx^)2dx.

Desarrollo

=I


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4 Eduardo E spinoza Ramos

1037

1038

1039

1040

I\ - n

(nx) n dx.

Desarrollo

P P j p l l í iI (nx) n dx = \ u n — = —I m" du = (nx)n+ c

í (a2,3- x 2/3)3dx.

J ( a 2/3 —x2/3 )3dx = j (a2 —

Desarrollo

3a4/3x2/3+3a2/3x4/3- x 2)dx

2 9 4 /3 5/3 9 2/3 7/3 X 3= a x — a x +—a x ----- + c5 7

J (yfx + 1) ( x - \ [ x + \)dx.

Desarrollo

J"(%/3c-H1)(x -\ fx + \)dx = jí * 3'2 +i)dx = ̂ x 5/2 +X + C= —̂ - J x + x + i

J( x 2 + \ ) ( x 2 - 2 ) j ---------------- dx

3^7

Desarrollo

J U +l)̂ _ 2)dx = ~ l ^ 2 d x = J ( * 10 /3-X 4'3- 2 x-2,3)dx

Integ ral Inde finida

= — X4y¡X ----- x 2\f x~ 6y jx + c13 7

1041 i

T x Desarrollo

.m „n \2 2« r íü d 2m+2n~1 £2=*(x 2 - 2 a: 2 + jc 2f U m- xn)2 ,f jc2"1- 2jtm+n + *2n f J— ----7i -- dxi

2x2m4~x Axm+n4~x 2xln4~x

4m +1 2m + 2n +1 4« +1

1042 4x f_ dx

yjaxDesarrollo

+ c

\f -

f(Va-Vjc)4 d _ f fl2-4ayfax + 6ax-4x \[ax + x2 ^

J \[ax J 4a x

= J [a2(axy in - 4 a + 6-Jax -4 x + x2 (ax )“1/2 ] dx

2x 3= 2a Jax - Aax + Ax^f ax - 2x 2 +— = + c

5 yfax

1043J í ! +7

Desarrollo


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1044

1045

1046

1047

Í dx jr2—10Desarrollo

¡ T T o ' Í T - -

í

dx 1

(Vio)2 2V10 ln x + Vio

C-VÍO + c

\¡4 + x2

Desarrollo

Por la fórmula 7 se tiene: | = In I x + \l x2 +4 I+ c J (x +4 )

I V8-JC2

t e - /

Desarrollo

X •---------------= o re. sen (— =■) + c , resulta de la fórmula 8.

7(272)2-* 2 2V2

J

í

■s /2 + x 2 - J 2 - X 2

•Ja-x*dx

Desarrollo

yj2 + x 2 - y ¡ 2 - x 2 JC /J 2 + X 2 y / 2 - x 2dx = f ( ^ 2 V 2 - * 2

» V^4-X4 V 4 - r4dx

= f ~ 7 = = = ~ Í * - = are. sen Ln x + y¡2 + x 2 J y í ^ x 2 J J 2 Í X 2 V2

+ c

por fórmulas 7 y 8.

Integral Indef inida 1

1048 a) 1tg2J

Desarrollo

r r

J , 8! A»fe = J< Sec! í - Í ) * . l g í - « + c .

b) I tgh2

Desarrollo

Jtgh2 xdx = J ( l - s e c ! Ax)iír = x-tgh+c.

1049 a) 1c tg" xdx.*

Desarrollo t V v *

[ c t g 2 x d x - J(csc2 x - \ ) d x C t g X - j : + C.

b) 1c tgh xdx.w

Desarrollo

J , , g

1050 ¡3xexdx

Desarrollo

Í3xejrdx= f(3e)*¿c = - ^ -J J ln(3e)


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8 Eduardo Espinoza Ramos

4.2. INTEGRACION MEDIANTE LA INTRODUCCIÓN BAJO EL SIGNO DE LA DIFERENCIAL.

Ampliaremos la tabla de integración transformando, la integral dada a la forma:

J* f(y /(x )). y/' (x)dx = J f( u)d u , donde u = y/(x)

a este tipo de transformaciones se llama introducción bajo el sigilo de la

diferencial.

, , adx 1051 ------

1054

J - J a- xDesarrollo

sea u = a - x —>du = -d x —>dx = -du

f adx f dx f du , , cI ------ = a I -------= -a I — = — aLn + aLn - aLn \------

J a - x J a - x J u a - .

f 2x + 3

J 2x+l 1052 Idx

Desarrollo------------

[ l—^ d x f (- —+— (—í— ))dx —— x + —Ln |2x + 3|J 3 + 2* J 2 2 2x + 3 2 4

f xdx

J a +bxDesarrollo

f xdx f 1 a , 1 , x a , . , .I --------= I [------- (-------- )]dx — ------ —L n \a + bx \+ c

J a + bx J b b a + bx b b

+c

11055 I — + b dx ax+ ¡5


1056

1057

1058

1059

Desarrollo

J ax + l3 J a a a + ¡i a a

\ ^ d xJ x - l

Desarrollo

2

f X + 1dx = f( x + l + —1 — )dx = — + x + 21n |x -l |+ cJ x - l J x - l X

f x2 + 5x + 7 ,I --------------dx

J x + 3Desarrollo

f x +^ X + '! dx= j*(x + 2 h —-— )dx = — + 2x +In| x + 31J x+3 J x+3 2

J x - lDesarrollo

[ x U x 2 + 1 d x = f (x3+x2+2x + 2 + - Í -J x - l J x + l

+c

)dx

í

r 4 r 3= — + — + x 2 + 2x + 3 1 n | x - l |+ c

4 3

(a + -~-)2dxX - f l

Desarrollo

r b i f 2 2ab b~ . , 2 o / 1 1 i ^I (a +------Y dx = (a- + ----------------------------+ -----T)dx - a x + 2aMn | x - a | -+ J x - a J x - a (x - f l )“ x ~ a


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10 Eduardo Esp inoza Ramos

1060

1061

1062

J X dx(jt + 1)2Desarrollo

sea u = x + 1 => du = d x , x = u - l

\ ~ T du= f ( ~— = ln | w| +—+ c = ln|* + l|+ ——+ c i (JC+ 1)2 J u2 J U u2 u x + l

f bdy

J VwDesarrollo

Sea u = 1 - y => dy = - du

J =b ~ ŷ ll2(iy=~bj u~ll2(lu = ~2bu1' 2 +c = -2 b y] l- y + c

JVa-bxdx.Desarrollo

Sea u - a - bx => dx = ~— b

f s¡ a-b xdx = fwl/2(-^-) = - - \ um du = -— u>fü+c = - — (a-bx)Ja-bx

J J b b j 3b 3b

+c

1063 dx

Desarrollo


1064

1065

1066

1067

f - ¡ J L = d x = í ( x2 + i r 1/2^ = \u~U2 — = yfu+C = J x 2+l+cJ V 7 7 T J J 2

f y /x + lnx

J X

-dx

Desarrollo

Cyfx+lnx, f . 1 ln * \ , 0 r , ln x- ----------dx= l(-pr + ----- )dx = 2 ^ x + —— + c

J X J yjx X 2

Í — J 3x2 + 5

Desarrollo

í — t — = í r f X — =—J —¡= ar ctg C^ -) + c =-^= arctg (x í^) + c

J 3x + 5 J (J3x)2+(J5 )2 S S \¡5 %/I5 V5

f dx

J 7*2+8Desarrollo

dx j* ______ dx ______ - ^ * in i V7jf —2>/2

1 x 2 -8 J (V7x)2-(2>/2)2 y¡l 4V2 J l x + 2 ^ 2

dx _ ,---------------------- ; 0 < b < a(a + b) - (a -b) x

+c

Desarrollo

dx 1 f yfa—bdxf dx = r dx 1 f __________________

J (a + b)- (a~ b)x 2 J (Ja + b)2 - ( J a -b x )2 J (Ja + bj2 -( - J a - b x )2

1 . yja+ b + sj a—bx .~ln ,----- ---- f = = - \+c

2yja-b.\¡a + b \ la + b - y/a- bx


10/199


1068

1069

1070

1071

1 . . yfa + b + y ja - b x .In |------ ----- — | +c

2yja2 - b 2 Ja + b --> J a - b x

r

x 2dx

x 2 +2Desarrollo

I x3dx ~2 F a - x

Desarrollo

f x3dx f

J

Jt2 - 5 x + 6

2 2 2/ x v f x a t o .

(* + ~ -----= - (— + — In | jc - a |) + c x~ - a 2 2

i x2 +4 dx Desarrollo

C x 2 - 5 x + 6 j f 5 x - 2 f 5x 2I — 1 ~ 7 ~ ( 1 — r ~ ; ) d x = I * 1 — 2 — + ~ i — ) d x J x + 4 J x + 4 J * +4 x + 4

f dx

J yJl + Zx2

= In | *2 + 4 1+arc.tg(—) + c

2 2

Desarrollo

2yfldx r dx f - 1 f j yl l + Sx 2 j yj l + (2y¡2x)2 2\¡2 J y¡7 + (2^/2x)2

Integra l Indefin ida 13

1072

1073

1074

= 1 Ln 12- 2x + 7 +8jc2 | +c , por la fórmula 72v 2

Í

dx

yj l - 5 x 2Desarrollo

r dx _ j* ______ dx _ 1 |* '¡5dx-------=-^=arcsen(^í) + c

J 3* -2Desarrollo

yft dx

1 , , . 5 . .y ¡3 x- y¡2 ,= - ln 3jc2 - 2 ----- r - r 'n H r ----- /x l+c

3 2>/3.V2 \¡3x + yj2o H o n r , a » q

1 , I , 2 T I ^ i„ | ' f i x= —In - 2 l - 2^ l n l ^ + V 2 +c

Í

3 - 2x , dx

5x +7 Desarrollo

f = 2 f f Ü Ü L = - i l n 15 ^ + 71+cJ 5jc2+7 SJ 5Jí! +7 5V7 7̂ 5.X _

5 5

3 ar ctg (^ x) - ^ In 15x2 + 7 | +c>/35


11/199


1075

1076

1077

1078

J3.x:+ 1

dx\ lsx2 +1

Desarrollo

( - * 2 L d x . 3 [ ' t b + ( * = 1 f i f Vm. Jy j5x2 +l J s]5x2+l J yj5x2 +l 10 J y¡5x2 +1 S J ^(y¡5x)2+1

- j \ l 5 x 2 +1 + ~ L n \ yÍ5x+y¡5x2 + 1 1+c 5 \ 5

I x + 3

-dx s ¡ J ^ 4

Desarrollo

i r ? ' dx + 3 í ------- = V-*2- 4 + 31n | x + yjx2 - 4 |+c , por la fórmula j \ x - 4 J yj x 2- 4

í x 2 - 5Desarrollo

f ^ - = i f — —ln |x 2 —5 |+ cJ a:2- 5 2 J x —5 2'

J 2jc2 +3Desarrollo

J a x + b1079

Desarrollo

Integral Indef inida

1080

1081

1082

1083

) a 2x2 +b2 ) a" x +b" J a2x2 +b2

1 , 9 o » ? i 1= — ln | a ' j r + ¿ r |+ —arc .tg(—) + c

2a a b

f jcdx

J 4 7 ^ 7 Desarrollo

(* xdx _ 1 f 2 xdx _ J_

J Va4-*4_2j^4_;c4"22

= -^arc. sen(— ) + cúT

J i « 6

Desarrollo„2 ,

f iL * L = f A


12/199


donde u = arcsen x => du =2

í

\¡\ —X

- 2 - 2 u 2du = —u 2 +c = — (arcsen x)2 +c

3 3

f arctg(~)1084 -------- é~dx

4 + x2Desarrollo

f arctg(^) j f 2arctg(^) j f x 2d x arctg2(” t C

1085l + 4x2

Desarrollo

f Jr -7 a r ct g 2 Jr d,j = 1 f j £ * i f ( arclg 2 f ) 3 - i *

J 1+ 4x 2 8 J 1+ 4* 2 Jl + 4x2

3

= -l n | l + 4jt2 I--(arc tg2 x)2 +c8 3

1086

h

dx

yj(l + x2) ln(x + Vi + x2)

Desarrollo

f ■ ^ , ____ - ¡ IM x + J u x 1 )] ----- - J y/(l + x 2) ln (x + J l + x2 ) J v l + x


1087

1088

1089

1090

donde u = ln(x + vi-+ x 2) => dudx

\ll + x 2

+ x2)+ c2du = 2\fü + c = 2\j\n(x + yfl

J ae~mxdx

Desarrollo

duSea u = -mx => dx = -----

m

\a e- mxdx = a f e “ ( - — ) = - - \ e udu = - - e u J J m m J m

\

+ c = - - e ~mx+c m

42~3xdx

Desarrollo

duJ 4 2 3̂


13/199


14/199


1098

1099

1100

bexdx

Desarrollo

, . r . X . dU Sea u = a -b e => du = -be dx => e dx — -----b

[ (a- be x)^exd x- [u^ [u^du = —— u^ +c = -^- -J( a- be x)3+c J J b b J 3b 3b

I X 1 X

(ea +1 y>eadx

Desarrollo

¿ - dxSea u = e a + 1 => du = ea— => ad u = ea dxa

f - - — f - f - 3a - 3a — I (ea +l)3eadx = I u3adu = a \ u3du =- ^-u i +c = — (ea -1 )

J

* * 3 +c

dx

2X+3Desarrollo

f — —f ( l — - ) d x = - ( x — — ln 12X+ 3 1)J 2* +3 3 J 2* +3 3 ln2

+ c

110. l - a ™ J \ + a

Desarrollo

Integral Inde finida 21

02

1103

1104

f axdx 1 f du 1 1 ,------ — = -— ----- ? = -— arctgM + c = -— arctg(a ) + c

J l + a m a j \ + u lna lna

f-J 1-e~fa¿jc

I+ e~2hxDesarrollo

Sea u = e hx => du=-be~hxdx => e~bxdx = - —

f du = e‘dt

f e!í/í C du 1, , 1+ u . 1, . 1+ e‘ .I — = I ----- í- = -ln ----- +c = —l n -------1+c

J l —e J l - u 2 2 1-M 2' l - e ' '

J sen(a + bx)dx

Desarrollo

Sea u = a + bx => du = b dx => d x - — b

f r du 1 f J sen(a + bx)dx = J sen(w)— = —I sen(u)du

= - — cos(«) + c = -icos(« + kO + c6 fe


15/199


1105

1106

1107

1108

JJt

COS(~ 7=)dxv5

Desarrollo

Sea u - -—= =>\¡5

J"cos(-JL)í£t'= J*cos(m)\^5í/m = V5j"cos(w)ài/ = 5 sen(«) + c = . 5 sen( * ) + c

J (cos(oa) + sen(ax))2dx

Desarrollo

J"(cos(a.v) + sen(ax) )2dx - J*(cos(a.v) + sen( —¡= = 2du

2 \Jx y X

j* co s(V x) .-^ - = J*cos(u).2du = 2 J eos(u)du = 2sen(w) + c = 2sen (\fx)

í

+ c

sen(log x) .— x

Desarrollo

Sea u = log x => d u - ——— => — = ln(10)í/wln(10)x a-

Integ ral Inde finida 23

1109

1110

1111

1112

J senflog x )—— = J sen(«).ln(10).dM = ln(10)J* sen(u)du

i sen2 xd x= - ln(10) eos (u) + c = - ln(10) eos (log x) + c

Desarrollo

., , ? 1 -cos2jcUsar la identidad: sen x = -----------

Jsen2.xí¿t = j i

j e o s 2 xd x

- cos(2jc) , x sen(2x)------------d x - ---------------+ c

2 2 4

Desarrollo

2 1+ cos(2jc)Usar la identidad eos x = --------------

2

J*cos2jc dx = —

a

[ see2 (ax + b)dx = f se c 2u — = - | see2udu = - tg n + c = - tg(ox + fc) + cJ J a a J a a

j c t g 2(ax)dx


16/199

24 Eduard o Espinoza Ramos

Desarrollo

Usar la identidad: 1+ c tg 2 x = ese 2 x

je tg2(ax).dx = J (csc2(ax) -1 )dx = _ * + c

1113f dx

sen(-)

Desarrollo

_ x _ , x „ , x ,Se conoce que sen—= 2sen(— ).cos(— )

a 2a 2a

i — - \' sen(-) J

dx

2sen(— ).cos(—2a 2 a

> 2 ¡

s e c ( ^ )2a

sen(— )2a

dx

- l i

2, X see (— )2a

sen(— ).sec(—2a 2 a

-dx = - f

) 2 j

j f sec2( ^ )1 ‘ 2a dx

Sea u = tg(— )2a

du = see (— ).—2a 2a

? JCDe donde se tiene: see (— ) dx = 2a dx

2a

Integral Indefinida25

1114

1115

1116

dx K

3cos(5 x-—)4

Desarrollo

dx 1 i 5x JT. i" ------ = — l n |t g [— + - ] | + co /« * * 1 5 2 83cos(5x---- )

4

dx

sen(ax + b)Desarrollo

ax + b ax + bSe conoce sen(ax + b) = 2 sen( — ).cos( ^ )

f ■ - f J sen(ox + b) J

dx ,a x + b s ax + b

2 sen(—-— ).cos(—- )

, r s e c = ( í ^ >, . sec( —- — ) , [>sec - > , , a x+b . .=1f - - - 2 — dx = - i - - - - h r dx = - l n l t g ( — ) ! + c2 J s n ,(£ £ ± * ) . g ( H ± í , “ 2

J

xd x

~)Desarrollo

cos2(x2)


17/199


1117

1118

1119

1120

J *sen(l-jr)í£cDesarrollo

Sea u = l - x 2 => du = -2x dx => x d x - ~ —

f »J*. í sen(l - x~ )dx = J sen(l - x2 )x dx = J sen

1 f j 1 1 2J $enud u = —cosu+c = —cos(l-X ) + c

I sen(;tr - \ ) 2dx

sen(xv2)

Desarrollo

J (¡enxv^ ~ 1)2 ̂dX = J (CSC^ ~ 1)2 ̂dX = J (CS° 2(̂Xŝ ) " 2 csc(;cV2 ) + IWjc

= J ( l + c s c « ( ^ ) - _ ^ I A „ _ ^ ctg(^ ) _ _ | ln | ,g(^ ) |+ c

/ tgxdxDesarrollo

eos * +cf * * * = f — dx = -lnJ J eos Jf

tg xd x

Desarrollo

\ c i g x d x = = ln | sen jc| +c J J senjr


1121

1122

1123

1124

1‘W r̂ )dxbDesarrollo

Sea u = — =* dx = (a-b )du a - b

J c tg (—̂ -j-)dx = J e tg a.(a - b)du =(a- ¿?)J cigudu X

= ( a - b ) In Isenu | +c = (a - b )ln | sen(------) | +ca - b

Idx ,x .

W j)

Desarrollo

r , r f cos( | )I — — = I ctg(— )dx = I -------- dx = 51n | sen(— ) | +c

J t g í í ) J 5 J s en A 5tgCj)

J tg(\fx). dX VI

Desarrollo

i — i dx dx ~ ,Sea z = \ x => dz- — => —¡ = - 2 d z

2yjx yjx

J tg(VÍ).-^ = Jtg z.2dz = 2 j tg zd z = -21n | eos z | +c = -21n | eos Vz | +c

JxCtg(A'2v" +1 )dx

Desarrollo


18/199


1125

1126

1127

1128

Sea u = x 2 +1 => x dx ——— 2

J xc tg(x 2 + 1 )dx = J r tg(x2 + l)x dx = j c l g u . du~2

= i ln | senu | +c = ^ ln | sen(jr2+1) | +c

í

dx

sen x. eos x Desarrollo

f dx f secx , f see x , , , ,I ------------- = I ------- dx = I --------dx = ln tg x \ +c

J sen xcos .r J senx J tg jc

ícos (—).sen(—) J a a

-)dx

Desarrollo

fco s(—).sen(— )dx = —sen2(— J a a 2 a

I sen3(6x).cos(6x)í¿vDesarrollo

Sea u = sen 6x => du = 6 eos 6x dx

J*sen3(6x).cos(6A)¿x - J u

J

i du u4 sen4(6jc) — = — + c - --------- — - + C 6 24 24

cos(ax) ,dx

sen5(ax )

Desarrollo


1129

1130

1131

p o s t a d L a * « , ) ) - * . * * « ) * . = — J-+ C = --------!¡J sen (ax) J J a u a a sen

, +c (ax)

dudonde u = sen (ax) => cos(ax)dx - —

a

Isen(3x)djc

3 + cos(3jc)Desarrollo

dz Sea u = 3 + eos (3x) => dz = - 3 sen (3x) dx => sen(3 x)d x = ——

f i E 2 f ^ L = - l f ^ = _ I l n l z l+ c = - i l n | 3 + COS(3x) |+ cJ 3 + cos(3jc) 3J z 3 3

Isen*, eos jc .

rdx Veos2Jt-sen2 x

Desarrollo

Se conoce que: sen x.cos x = — ^— y eos x — sen x — cos(2.r)

f sen xcos x = ¿ f sen(2*) ^ = 1 f ( c o s { 2 x ) ) ~ 2 sen(2x)dx

J Veos2Jt.sen2x ~ >/cos(2x) 2 J

yJcos(2x)

2 ~

V 1+ 3 eos2 x sen(2*)dx

Desarrollo

Sea u = l + 3cos2 x => du = - 6 eos x . sen x dx


19/199


1132

1133

1134

1135

du = - 3 sen (2x)dx ; — y = sen(2x)dx

J*(l + 3cos2 x )2 ,sen( 2x) dx = — i j u 2du = ~ u 2 +c = -^ yj ( l + 3cos2 jc)3 +<

,sec2(—)dx3

Desarrollo

Sea u ~ tg(~) => 3du = scc2(^)d x

Jtg3(-Í).sec2(^)í¿c = j u 33du = ^u 4 3 a . X .

+ c = - tg ( - ) + c 4 3

dx

xDesarrollo

eos2 X

f ^ ^ = f(tgx)2.sec2 xdx = — tg2(x) + cJ eos" x J 3

í

2

sen (x)

Desarrollo

c c t s3 ( x) r - ~ ^ ~ I r---- |ctg3(x).csc ( x)dx = — ctg3(x) + c

J sen (x) J 5

J1+ sen(3x) , dxcos2(3.y)Desarrollo

Integral Indefinida

1136

1137

1138

1139

f l + sen(3.t)¿jr_ f(sec2(3jt)+tg(3.x).sec(3jr))dx = J cos2(3x) J

tg(3x) | sec(3x) | c

í

(cos(üx) + sen(ax))2

sen(ax)Desarrollo

r (cos ( ojc) + sen(ax)) _ f l + 2sen(ax).cos(flx) ̂J sen(cijc) J sen(ox)

J (csc(ax) + 2 cos(ax))dx = —(ln | csc(ax) - c tg(ax) | +2 sen(ax) + c

f csc3(3x) _ ^

J b - a c tg(3x) Desarrollo

dU 2 V 1Sea u = b - a ctg (3x) => du = 3acsc“(3x)í/x ~^¡~csc

f _£ ! £ ! 2 í L . ^ = _L f = . _Lln |u | +c = J-ln |b-- aC tg(3x) | J /?-actg(3x) 3a J u 3a 3a

J (2senh(5x) - 3cosh(5x))t/x

+c

Desarrollo

f 2 3(2 sen(5x) - 3 cosh(5x))dx = - cosh(5x) - - senh(5x) + c

1senh2 xdxDesarrollo


20/199


1140

1141

1142

1143

Jsenh2 xdx = J (—i

í

cosh(2*)N, x senh(2x)H------------- )dx — -----1--------------1-c

2 2 4

senh(jc)

Desarrollo

d'X = ln | tghí^) | +


21/199

34 Eduardo Espino za Ramos

1149

1150

j xe x dx = j e x xd x = —i j e u 1 « 1du = — e +c = — e +c 2 2

J3 -> /2 + 3.í 2dx

2 + 3*2Desarrollo

dx

72 + 3*‘ J 2 + 3* J 2 + 3* J

Usando las formulas 4 y 7, se tiene:

f 3 - 7 i 7 p ^ _ f dx f Jx

J 2 + 3* J 2 + 3* J V2 +3*2

= arc tg(* ^-) - ln | \¡3x + y¡2 + 3x 2 \ +c

f ¡ L ± d x J * + 1

Desarrollo

(* -* + 1--- — )dx = -(-* —21n * + 1 +c* + 1 3 2

Desarrollo


1152

1153

1154

1155

f 1 - sen*

J * + cos*dx

Desarrollo

Seaz = x + cosx =» dz = (1 - sen x)dx

fj—sen. x_ ¿x = í — = ln | z | +c = ln | * + eos * | +cJ * + cos* J z

f tg(3*)-ctg(3*)^J sen(3*)

Desarrollo

f jg(3*)—ctg(3*) _ f (Sec(3̂ _ c tg(3x)csc(3*))d*J sen(3*) J

= - [ln | sec(3*) + tg(3*) | +---- ——] + c3 sen(3*)

Jdx

*ln2*Desarrollo

f d\ - = f(lnx) = f«J *ln ' * J x J

- 2 . 1 1du = — + c ----------1-cu ln(*)

dxdonde u = ln x => d u - —

*

J see2 xd x y¡ig2 x - 2Desarrollo

Sea u = tg x => d u = se e2 x d x

f see2 xd x f du , , r I — - I —In Iu + \luJ s]tg2 x - 2 J yju2 - 2

2- 2 | +c = ln | lgx + \ j tg2x -2 l+ c


22/199

36 Eduardo Espinoza Ramo s

1156

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1158

1159

J(2h----- — )- *2x +1 2x +1Desarrollo

f x dx C dx f xd x

J *"+ 2x2 +1 2x 2 + 1 ~ J 2x 2 + 1+ J (2x2+1)2

= \Í2 arctg(W2)-------- —— + c4(2x“ +1)

íasenx eos x dx Desarrollo

Sea u - a sen x => du - a scnx cos x. In a dx => = asenx eos xd x

In a

f sen* f du 1 asenx la cos xdx = I ----- = ------u + c - -------

J J \n a lna lna

J* x2dx

J W T \

+ c

Desarrollo

„ 3 , dU ■ySea u = x +1 => — = x~dx

3

f X d x f 3 -r 2 . f du 1I — ...-..... - I (x +1) 3x~dx= I u 3 — = — uJ J 3 2

x4Desarrollo


1160

1161

1162

1163

f xd x 1 f 2 xd x 1 2\I , ____ = —I — = = = = = = —aresen(x ) + cJ V Í I 7 2 2

í Xg2(ax)dx

Desarrollo

tg¿(ax)dx= I (sec~ (a*) -1 )dx = í^ ax ' >- x + cJ"tg2(ax)dx = J*(

J sen2('(^r)dx2

Desarrollo

« , , i 1-cos(2jc)Por la identidad se n' x ---------------- se tiene:

J sen2(-^)ífa = J -

J

—eos x . x sen* --------- dx = --------------- hc

2 2

see2 xd x

\ ¡ 4 - t g 2 x

f see*

Desarrollo

2 xd x = aresen(-----) + c

f dx

^ eos(—)

Desarrollo


23/199


1164

1165

1166

1167

1 y¡\ + In x---------- dx

Desarrollo

Sea u = 1 + ln x => du = l~

x

J Vi + ln x — - J*“

J y fx - l

l 3 - 3 -3d u - —u3’+c= — (1 + lnx)3 +c

4 4

x -1 ) . - J x - l

Desarrollo

dx „ , dxSea z - y j x - l => dz= Jí — => 2dz = -

2yjx~ l y jx - l

J*tg(V*-T).-^==== = 2J*tg zd z = -2 1n(cos z) + c = —2 ln | eos Vx- 1 | +c

i xd x

)Desarrollo

sen(x2)

f xdx 1, , , r %l 1 ,,I------- j - = -In Itg(— ) |+c = - ln(csc(x ) - c tg(x2)) + cJ s e n ( x ) 2 2 2

J

sen(x ) 2

e ^ ' + x l n ü + x V l

1+ x2 dxDesarrollo

Ce ^ + x W + x ^ + l ^ = f

J 1+x2 X ~ J

. , . e aMgv x ln(l + x 2) 1 wdx = | (- ----- - + --------- - + -------- )dx

1+ X 1+ x~ 1+ X

arctot ln (1+ X ~ )= e ° + ------------- + arctg * + c


1168

1169

1170

1171

1sen x-e os x ,--------------- dxsen x + eos x

Desarrollo

Sea u = sen x + eos x => du = (eos x - sen x) dx => -du = (sen x - eos x)dx

f sen x - eos x , f du , , . ,--------------- dx = I ------= - lnw+c = - ln | s enx + cosx |+c

J senx + cosx J u

í

(1 - sen (-~))2

---------

se„


24/199


1172 j"esen* se n lx dx

Desarrollo

Sea u = sen2 x => du = 2 sen x . eos x dx = sen 2x dx

5

Vi"-3^

f 5 -3* f d* f xdx 5 V3* I ------- 7I ~~r ' ti* = 5 I ..... -3 I = -=arcsen(——) + V4 -3*

J V4 - 3* 2 J V 4 - 3 7 V3 2

f ¿*

J e*+1

1173 f - .5 3A dx J J 4 - 3 r 2

1174

1175

Desarrollo

+ c

Desarrollo

f dx f ,I — ----= I ------- -í/* = - ln 1+ e ■* +c = -{\n(} + ex) - l n e x] + c

J e +1 J l + e

= -[ln |l + eJC|-* ] + c = * -l n |l + e* |+c

h (a + b) + (a -b )x ~

Desarrollo

f _____ * ____ _ = _ L f _J (a + b) + (a-b)x~ a - b j a-

dx 1 1 t = arctg (~ t ) + c

(a + b) + ( a - b ) x 1 a - b j a + b |a - b ¡a + b " ¡a+b

1 a ~ b . -arctg(* /------ ) + c

■Ja2 - b 2 Vfl + ¿

Integra l Indefinida

1176 í , e — -dx

1177

£

s¡e2x - 2Desarrollo

f e 'd x - f - 7=¿ £ = = m |^ + V ¡ 2̂ 2 | + cJ 4e l x - 2 J J ( eA) 2 - 2

¡

dx

sen(fl.v). cosía*)

Desarrollo

f dx = f sec( 2̂


25/199


1180

1181

1182

1183

f . f _ * l | „ | i ± ü J x ( 4 - l n ' x ) J 4 -u ~ 4 2 - u

1, , 2 + ln x ,+ c - — l n --------- +c

4 2 - lnx

. arccos(—)

Desarrollo

dx

Sea u = arccos (—) => du = — — d u = -2 / l_ ( |) 2 V ^ X 2

-arccos(-) f «2 1 -I — -j— 2 dx = - \ udu = - — + c - — (arccos(—))2 +c

J V 4 -r 2 J 2 2 2

í

V4

e~lg 1see2xdx

Desarrollo

Sea u = - tg x =» du= — sec2xdx

J* e~tg' .sec2 xdx = - J * eV « = —e" + c = -e _tgA + c

f senx.

J V2 - sen4 x

eos .v , dx

Desarrollo

,------ ------dx = — arcsen( — =—) + cV 2-sen4* 2V2

dx

sen2.v.cos2*Desarrollo


1184

1185

1186

sen 2*sen x.cos * = --------

f -------—-------= 4 f — ^ -= 4 f csc2(2x)dx = -2 c tg(2x) + cJ sen2x.cos2x J sen“(2x) J

íaresen x + x ,

dx

Desarrollo•x2

¡ ^ x + x d x = ^ l f _ ^ + c

f secx.tgx ,J i 2.......J vsec x + 1

Desarrollo

f secx.tgx , f secx.tgx ./2 „.,1,„I —


26/199


1188

1189

1190

f ¡n(x + -Jx2 +1)

Sea a = ln( x + yfx2

Desarrollo

na;- l

+1) => du = dx x 2

f ln(.v + n/a" + 1 ) (* /“’J 7 ^ dx f ^ ,i ------d x - I (\n(x + \¡x + 1))2 —p------ = I u du —

j v i + x 2 j 7 ,^ 7 J

—■\](ln(x + y¡x2 + l))^ + c3

íjc2cosh(;t3 + 3) d u 2 ,Sea u — x +3 => — = x dx

f 2 , , 3 f , , . du senh(n) senh(x3 +3)I x cosh(x +3 ) d x - I cosh(«)~— = ------ — + c = ------ --------

J J 3 3 3

^tgh(A)

+ C

í, dx

cosh“(jc)Desarrollo

Sea u = tgh x => du = see l r (x )dx

j* -jtglUjr) /• » ~u i t g h x

I - 1— , -dx = I 3'gb *.see hx 2dx = 13“du = --------- + c --------+ c J cosh“(.v) J J ln3 ln3

{ N I

I r * -i


4.3. MET ODO DE SUSTITUCION.-

PRIM ERO.- SUSTITUCION O CAMBIO DE VARIABLE EN LA

INTEGRACION INDEFINIDA.

Se hace poniendo x = y(t), donde t es una variable y f es una función

continua diferenciable,

f ( x )d x = J f( \f /( t)) xi f\ t)dt . . . ( 1)La función \\i se procura elegir de tal manera que el segundo miembro de (1)

tome una forma más adecuada para la integración.

SEGUNDO.- SUSTITUCION TRIGONOM ETRICA

1 Si la integral contiene el radical \[a2 -

xdx = a eos 0 d0 => 9 = arcsen(—)a

x se toma: sen 0 = ; x = a sen 0a

2 Si la integral contiene el radical \ x 2 —a 2 se toma: se c0 = —, x= a see 0

dx = a see 0. tg 0 d0 : 0 = aresec(-)a

\/x2 - a2

a


27/199


1191

3 Si la integral contiene el radical 4 a2+ x2 se toma: tgd = —

x = a tg 0 ; dx = a see26 d6 ; 9 ~ arctg(—)a

Hallar las siguientes integrales, utilizando para ello las sustituciones indicadas.

a)i* dx 1

J x J T ^ . ' x ~~>

Desarrollo

1 A d t A - 1 x —- => dx = —— ademas t = — t r x

dt

-dt 1

xy jx2 - 2 J2r2 J V l - 2r 2 V2(V2í)-arccos(v 2 ?) + c

b)

1 V2 /--7=arccos(— ) + c, x> \J2

V2 x

f dx

J ex +1 x = - ln tDesarrollo

Integra l Indefinida 47

dt

L+ / l+c = -ln \ \ + e~x I+cJ e ' + l J e " ln ,+1 J l + í

c) I x(5x2 - 3)7dx , 5x2 - 3 = t i ‘

Desarrollo

? , dt 5x -3 = t => jcí/x = —

10

\ x (5x2-3)1dx= f /7- = 4J J 10 80

(5x -3)+ c = ---------- — + c

80

f xd x i---- rd) I , t = J x + \

J Vx + 1 Desarrollo

t = yjx +1 => dt = ----7 = = i t = y ¡ X + 1 => X = f 2 - 12y¡X + \

f eos xd x

e) / ’ 1= sen xJ VI + sen aDesarrollo

t = sen x => dt = eos x dx

f eos xd x f dt _

J Vi + sen2 x J \¡\+t~= In I?+ Vl + r I+c = ln | sen x + + sen2x | +c


28/199


1192

1193

Hallar las integrales siguientes, empleando para ello las sustituciones masadecuadas.

I x( 2x + 5 )w dx

Desarrollo

t = 2x + 5 => — = dx , x = -- ^ 2 2

f x( 2x + 5)}0dx = f — = - f ( /n -5 tw)dt = - [ - ----- — í“ ] + c J J 2 2 4 j 4 12 11

; i í a * ± s F _ ± (2x+ n4 12 11

I1 + X dx

l + yfx

Desarrollo

Sea t - y í x =$ t 2 = x => dx = 2t dt

J 1+ yJX ' J 1+ t J í + 1

T 2 /3 t 22J ( r - t + 2 - — )d f = 2 [ - — + 2 / -21n | f + l |] +


29/199


Sea t = arcsen x => d t -dx

v r

1198

1199

f (arcsen r f f 2 /

J J T 7 - 1 ■

í

Vl - x

e2xdx

(arcsen*)3+ c = ---------------í-c

Vex +]Desarrollo

Sea t 2 = e x + 1 => ex =t2 -1 => exdx = 2rdt

r e2xdx Cf_-

J V77I J r

I

1 ltd t = 2(t - - t ) + c =^-í(r2 -3 ) + c - ~ ^ l e x + \ ( e x

sen xd x

Desarrollo

Sea t 2 = eos * => 2t dt = - sen x dx ; com o t 2 = eos *

=> í4 = eos2 * - 1-sen* *; sen~* = l - í 4

j W « f a = f l z í l . (_2 „ d, = - 2 f (1- ,< v , = - 2 ( , - 4 ) + 4J v cosx J t J

= y Veos *(cos2* - 5) + c

-2 ) + c

5) + c

1200 f y -J *Vi+*~

Desarrollo

Integral ind efinida 51

dt t.-z-

f - 7 ^ = = í -? == == = - f “ 7 = == = “ In I r + V í ^+ T | + c

j *vt t7 j r r

. i Vi+*2 1, , , i +V i+ *2 , . , * .= — ln | —h----------1-t-c = — ln ¡--------------¡+c = l n |------ = = ¡ + c

* * * 1+V 1 + * 2

Hallar las siguientes integrales, empleando sustituciones trigonométricas.

1201I" x2dx

J VHvDesarrollo

cos0 = V i-* 2 ; sen 9 = x => dx = cos0d0

fW O . c o s I ) ^ ¡ 2 e d e ^ f i r ” * * ’)

J V i-* 2 j cose J J 2 de

0 sen 9 eos 9 arcsen* Vi:------------------- hC= ------------ *-------

2 2 2 2

1202 í x ' dx

&


30/199


Desarrollo

\Í2 eo s8 - 7 2 - x 2 ; x = \¡ 2s en 9 => dx = \Í2cos9 d9

í

x dx

y¡2-

2>/2J sen30 d6 = 2V2J (1 -

= 2\¡2(-

scn}OdO = 2V2 I ( l - c o s ¿9 ) s e n 9 d 9 = 2a/2(-cos0 + ~"-) + c

7 ^ 7 . 2 - x 2 7 T 7 )+ c

V2 2 ' 3V2

1203 IDesarrollo

x2 - a2

a.tg # = 7 x 2 - a 2 ; x = a see 0 => dx = a see 0 . tg 0 d0

7 2 - X 2

f 2V2 sen30.V2 eos 6d0 J V2cos0

Int egral Inde fin ida 53

f \j x2 - a2 _ j>aíg 0.íisec 0.tg0 í/0 _ f ^ 2

J x J asec0 J6 d 6

= « | (see2 0 - 1 )d 9 = a tg 9 - u9 + c - \ jx 2 - a 2 - a.are see( —) + c

J a

1204f dx

J x T T T Í

= 7 ^2 - «2 -a.arecos(—) + cx

Desarrollo

ctg0 = - ¡= L = ; cos0= — 9 = árceos— 7 7 7 1 x a

x = see 0 => dx = sec 0 . tg 0 d0

1205

f — — = fc os 0r tg 9. sc c0 .t g0dO - f d 9 - 0 + l -a icc os (—) + tJ x T ^ T J ~ ~ J

7 x2+1 , — dx

Desarrollo

tg 0 = x => dv = sec2 0rf0. ; sec0 = 7x2 +1

1


31/199


f í £ i . sec= í )< » = r J X J tg0 J

J (see 0 .c tg 0 + see 0. tg 0 )d6 - J (ese 0 + see 0. tg 0 )dd

sec0(l + tg~0)úí0

t20

] _ eos f)= ln ¡csc 0- ctg 0 | + sec0+ c = ln| — ------ -|+sec0 + c

sen0

- _in | - St'n^-1 + sec0 + c = V*2+ 1 - ln | 1 + C OS0

1206 f ----- p- ----- x2y ¡ 4 - x 2

Desarrollo

x = 2se n0 => dx = 2c os 0d 0 ; j 4 - x 2 = 2eos0

l + Vx^ + l+c

f — = f — 1 J x2y¡ 4- x2 J 4 sen2

2c°s0 1 f 2 ctg0 J 4 -X 2 -------------do = - ese 6 dO =

----- — +c = ------------0-2cos0 4 J 4 4x +c

1207 x 1dx

Desarrollo

x = sen 0 => dx = eos 0 d0 ; cos0 = V i - * 2


1208

1209

J \ ¡ l - x2dx = J

0 sen 0. eos 0 aresen x x \ ¡ l - x2

2 + *

Calcu lar la integra! I

- + c = - + c

J V I V T I

Desarrollo

Sea x = se n2 1 => dx = 2 sen t. eos t dt,

2 2

valiéndose de la sustitución x - sen ‘ t .

como x - sen / => sen t ■ Jx t = aresen VI

f — * L _ = f - 2 sen ' -i — - 1 = 2 f - 2 t + c - 2 aresen VIJ VIVICI J sen rVi -se n2 / J sen/.cosí

+ c

j V ? + x 2dx

Desarrollo

Empleando la sustitución hiperbólica x = a senh t tenemos:

Va2 + a'2 = V«2 + «2 sen2 ht = aco sh f ; dx = a cosh t. dt

2 f 1+ cosh 2í , a2 , senh2f J Va2 +x2dx = a2 J cosh2f dt = «2J -rfí = — (/+- 2 2

) + r


32/199


2 0

= — (t + senhí.coshO + í' = — ln(x + yja2+ x2) +—4a 2 + a2 + c2 2 2

t , , x v « “ + X“ donde, senh t - —, cosh t = ------------

a a

e' = cosh t + senh t x + yfa2 + x2

í ;

2 x~dx

Hallar I r -------- ; haciendo x = a cosh t J T ^ a 2

Desarrollo

x = a cosh t => dx = a senh t. dt

f x 'dx f a2 cosh2í.senhí dt 7 f ,= I ------------------------= a I cosh t dt

J y j x 2 - a 2 J senhí J

= ° f

+ cosh2í , a2 . senh2í, a2dt = ——[t + ~--------] + c = — [t + senhr.coshí] + c

2 2 2 2

como x = a cosh t => cosh t = —, ademása

^ L , x x"> +x"senhf = „ l + (~y

V V

V 2 I í 2a + x“ , . x + vx~ +ae = senn i + cosn i = ---------------- =» t = l n ----------------

a

f x~dx _ a

i J x 2 - a 2a 2 , x + 4 x 2 +a2 . xy ja2 + x2

[ln i---------------- 1+--------r----- ] + c I o 7 o L 1 1 „2i x - a

i2

a

= — ln | .v + \[x~ + a 2 | +—yja2 + x~ +k


4.4. INTEGRAC ION POR PARTES.-

Fórmula para la integración por partes: si u = vj/(x) y v = v = x

\nxdx = Alnx- | x — - = jc.ln* — Jt+ cJ * ln xd x - A‘ln x — J x — - .

1212 I arctg xdx Desarrollo

Haciendou - arctg x => du =

dv = dx => v = a-

dx

(1 + JC2)

Jr x ¿x i . ,, ?,

arctg a*dx = x. arctg x - I ----- = X arctg x - —ln 11+ x~ | +c14" X~

J1213 aresen a dx Desarrollo


33/199


1214

1216

1217

Haciendou = arcsen x =$ du =

dx

dv = dx => v - x

arcsen xdx - x. arcsen x -

í

xdx r. 2= x arcsen x + v i - x +c

xsen xd x

Desarrollo

Haciendo

u - x => d u - d x

dv = eos 3xdx v =sen3x

í

I;

xcos 3x dx = -xsen3x fsen3 x , xsen3x cos3x

í -dx - + c

-dx

Desarrollo

Haciendo

u = x => du = dx

I I dx — =>i

ex

- - Idx x 1

J “ 7 ~ ex ex+C~

x + 1- + c

í x.2 ' dx

Haciendo

Desarrollo

u = x => du= dx

dv = 2 x dx => v = —-ln 2


1218

1219

L 2- ^ = - x .2I - f - 2I ^ = - x . ^ . -J ln2 J in 2 ln2

P

2~* xln 2 + l+ c = ---------r— + c

In-2 2jr ln2 2

Desarrollo

Haciendo

u = x_ => du= dx

j 3r . edv - e ' dx => v = — 3x

1r2 0 X „3jx W x = — eJJC- - [3 3 3 - P - d x \ = - e 3x~ e3* + -------+ c3 3 9 27

2x 2e3x

e3x 2- — (9x‘ - 6x + 2) + c

27

2x + 5)e Xdx

Desarrollo

Haciendo ju = x - 2 x + 5 du = 2(x-X)dx

\dv = e~xdx => v = -e~ x


34/199


1220

Haciendo« = * -1 => du = dx

dv = e~xdx => v = -e~

J

(x¿-2 x + 5)e Xdx = -e X(x2 - 2 x + 5) + 2(x -l)(-e x ) - 2 e x +c

X

x3e 3dx

Haciendo

= -e~x(x2 +5 ) + c

Desarrollo

u = x3 => du - 3x2dx X X

dv = e 3dx => v = —3e 3

e 3dx = -3 x3e 3 - J*(3x2)(-3e 3 )dx = ~3x3e 3 + 9 | x 2e 3dx

Haciendou = x" => du = 2xdx

X X

d v - e 3 d x => v = -3 e 3

J' J ’

Haciendou = x => d u - d x

X

dv = e 3dx => v = -3e 3

m _ X X X

\x 3e 3dx = -3x2e 3(x + 3) + 54(-3x


35/199

i

i 62 Eduardo Espinoza Ramos

i (x2+5X+6)co&2xdx = ̂ 5 ± l sen2xA {. ^ l l cos2x +^ l ) +c2 2 2 2 2x2+lOx + l \ „ 2x + 5

= — --------------sen 2x + ---------- cos2x + c

4 41223 j x 2 ln xd x

Desarrollo

Haciendo

u = ln x => du ——

dv = x 2dx => v = —

1224

f 1.. > / ** i f ** dx x3 , jr3i lu u/< In r - I -------* — ln jc------

’ J 3 x 3 9

J ln1x dx

+ c

Desarrollo

HaciendoM= ln*x => du = 2lnx.

d v - d x => v = x dx

j l n 2 x. dx = xl a2 x - j x . 2 l n x .— = x \n2 x - 2 J* ln xd x

Haciendom= ln x => d u = —

x

d v - d x => v —x

ln2 x. dx = xln2x-2xlnx+2x+c


1225

1226

1227

flnj

J x 3dx

Desarrollo

Haciendo u = lnx => du

_¿x

X

1 - l l

^ 1 8 -

=> v =1

2x2

lnx dx _

2x2 . ! 2x2 X - + c

4 x

dx

Haciendo

u = ln x => du= —x

dv = => v = 2 VI\l x

Desarrollo

dx

dx = 2 V i ln x - 1 2 V i ^ = 2 V I ln x - 2J V i y = l n ^+ ‘

íxarctgx du ------- -

1+ x2

d v - x d x => v — 2

Jxarctgx


36/199


x2 1 * * + 1 , x- — arctg*H— atc tg* — + c = --------arctg * - —+ c

2 2 2 2 2

11228 * arcsen* dx

Haciendo

u - arcsen x => du =

dv = xd x => v = —

Desarrollo

dx

s í i ^ x 2

dxf ¿ X 1 l C X 2 cI x arcsen xdx = — a rc se n* — —¡=J 2 2 J ^ Z x 2

Sea x = sen 0 => dx = eos 0 d0

V i-sen 29= f« n ’ # « ,»= í í ^ í " , »-2 ““sen2O.cosOdd = j sen" t) dt) = j ---- —

9 sen20 9 sen9 eos9 arcsen* * v l - * 22 4 2

2

Luego: * arcsen xd x = — arcsen * - —(J 2 2 2

1 arcsen* *V l- * 2) + c

arcsen* * r , T + - V 1 - * +c

1229 J ln(* + Vi + *2 W*Desarrollo

Haciendou = ln(*+ Vl + *2 => =

dv = dx => v = *

dx

V1+*2


1230

1231

1232

f ln(* + Vi + *2)d* = *ln(* + Vi + *2) - í - /==== zzx] n( x+ 'h +x 2) - 'J \ + x~ +c V i+ *2

í

xdx

en2* Desarrollo

*cos ec2xdx

Haciendoíw = * =i> du = dx

líiv = cosec2xdx =£ v = -c tg *

J- A = - c tg * + j c tg * dx = xc tg * + ln | sen * | +c j sen * J

f xc osx dx

J sen2*Desarrollo

f * c o s * ^ _ f x co sec xc Xgxdx J sen"* J

Haciendou = x => du = dxdv = cosec x.ctg xdx => v = - cos ecx

f.vcosx , f ,I —dx = - e osecx- I - e osecxdx

J sen * J X x

= -xc os ecx + ln Ieosecx - c tg * | +c = --------- + ln ¡tg— | +csen* 2

í ex sen xd xDesarrollo


37/199

66

1233

Eduardo Espi noza Ram os

Haciendou = sen x => du = eos x dx

I

dv = e dx => v = e

exsen x d x - e x s e n x - j e * cosxdx

u = eos x => du = - sen xd xHaciendo

I

d v - e * d x => v = e*

e* sen xd x = e* sen x - ( e * eos x — \ e * ( - sen x)dx)J‘

J‘= e* sen x - e* cos x - I ex sen xd x = — (se n x - eos x) + c2

13* eos xd x Desarrollo

Haciendo

u — eo s x => du = - s e n x d x

3*

13X eos xd x =

dv = 3xdx => v

3* eos x

ln3 I-

ln3

3X , 3X eos —— sen xdx = --------ln 3 ln 3

í + — f l n 3 j

3X sen xd x

Haciendow=senx => du = eos xd x

3X dv = 3xdx v = -

ln3

, 3* cosx 3* sen x 3 cos x d x - --------- -H---------—

ln3 ln3 - ¡ y3X eos xd x

, 3* (sen x + ln3c osx)3 cosxdx = ----------- ----------------- \-c

ln 3 +1

In teg ral Indef in ida 67

1234

1235

í eax sen (bx)dx

Desarrollo

m= sen(¿x) ==> du = b cos(bx)dx

Haciendodv = emdx =* v = ----

a

f eax sen(bx)dx = sen bx - \ b e — co sb xd x = e- ^ ^ - b f •* a J a a a J

Haciendo

u = eos bx => du = - b sen bxdx

e“*dv = eaxdx => v = -

a

Jeax sen bx dx =e™senbx b .e ^ cosbx b

--- (■a a a

+ — fe sen bxdx)

e“*sen bx b m b2 f „----- —e eos bx — - l e sen bxdx

a~ J

7>J(1 + —r) I e“*sen bxdx =

a a

aeax sen bx - beax eos bx

l ax , , ax . as enbx-bcos bx ,J e sen bx dx = e°* (--------- — — ------ ) + c

a2 +b2

J sen(ln x) dxDesarrollo

eos bxdx

Sea z = ln x => x - e z => dx = ezdz


38/199


f f ez sen ^— e" eos 7J sen(ln x)d x = I ez sen zd z = -------- — ----------+c , por el ejercicio 1234.

í

e njrsen(ln x)-e cos(lnx) x sen(ln a) - xcos(ln x)sen(ln x)d x = ---------- -------------------- ----- - + c = ----------------------- ------- + c

2 2

Hallar las siguientes integrales, empleando diferentes procedimientos:

J a - ' ,1236 I x e~x dx

'

Haciendo •

Desarrollo

h = x 2 => du = 2xdx

e- *dv = xe~* dx => v = ■

j x 3e x dx = -~^-e x ~ j ~ xe * dx = - ~ -- X 1 e x e x ■>

e ----------i-c = -------- (x~ + 1) + c2 2

1237 I e ^ d x

Desarrollo

Sea z2 = x => dx = 2zdz

J"e ^ d x = 2 f ze zdz

Haciendou = z => du —dz

dv = ezdz => v = ez

^ e ^ d x = 2J zezdz = 2(z ez - e z) + c = 2(yfxe' x̂ - e ^ ) + c = 2e'^x(\[x - l ) + t


1238

1239

J (x -2x+3) lnxdxDesarrollo

Haciendo

u = ln x => d u = —

x

dv = ( x 2 - 2x + 3)dx => v = —— x2 + 3x i .3

J*(jc2 - 2 x + 3) ln xd x = ( ^ - - x 2 + 3x )I n —J * — jc+ 3 )dx

fxln( |—:-)dx

J 1+ x

r 3 3 2

= (------ x2 + 3x)lnx------- ¡-------3x + c3 9 2

Desarrollo

J x ln(|— - )dx = J"jcln(l — x)d x - J x ln(l + x)d x

integrando Jxln(l-x)dx

(1)

Haciendo

u = ln(l - x ) => du = -

dv - xdx => v = — 2

dx

\ - x

Ixln(l - x)d x = — ln(l - x) + ̂2 J 1 -2 x2

dx = — ln (l -x )+ [ x 2

1 f (_ x _ l + J -2 J 1- ;

)dx]

(2)


39/199


iintegrando I xln( l + x)í/x

Haciendo

u = ln(l + x) du =

dv = xd x => v = —2

dx

í+ x

I x ln(l + x)dx - — ln(l + x) _ I f .

2 J 1

x2 x2 — dx = — ln(l + x)-+ x 2

- f ( x - l + — 2 J 1+ ;

■)dx

X X X 1= — ln(l + x ) - — + ------- ln(l + x)

2 4 2 2... (3)

reemplazando: (2), (3) en (1) se tiene:

fxln(-—-)


40/199


1243

i ■

1244

I x(arctg x) 2dxDesarrollo

Sea z = arctg x =* x = tg z => dx = sec2 z dz

JA(arctg x) 2dx = J z 2 tg z. sec2 z dz

u - z 2 => du = 2zdz Haciendo

7 t g 2 Z dv = tgz.sec zd z => v = ——

2

7 2 - 2= — tg2 z + ~ - I zsecz zd z

j*x (arctgx)2í¿x = ^ - tg 2 z - J z t g 2 zd z =~~tg2 z - j"(zsec2 z~ z )d z

- I '

integrando J z sec2 z dz = z tg z + In | cos z | es por partes

Jx(arctg x )2dx = -y (tg2 z +1) - z tg z - In | cos z | +c

Í(arcsen x) 2dx

z2= — (tg2 z + 1) - z tg z + In | sec z | +c

= i arct§AL ( Ar2+ l)-jcarctgA + 2ln(l + x 2) + c

Desarrollo

Integral Indefin ida 73

1245

Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz

J (arcsen x) 2dx = J z2 cos z dz

Haciendo u = z2 =* du = 2z v = senz

J (arcsen x) 2 dx = z 2 sen z - 2J z sen z dz

I'm= z => du= dz

\dv = sen z */z => v = -c os z

J (arcsen x) 2 dx = z2 sen z - 2(- z cos z - J - cos zd z)

Haciendo

z 1 sen z + 2z cos z - 2 sen z + c = jc(arcsen x) 2 + 2V1- x2 arcsen x - 2 x + c

f arcsen x IX

DesarrolloJ

„ -dx x2

Sea z = arcsen x => x = sen z, dx = cos z dz

farcsenx^_ f / - Cosz dz= f zctgz.coseczcfz J x J sen z J

Haciendo U - z => du = dzdv = c tgz.coseczdz => v = -coseczf arcsen x . f , z , f dz»-------- dx = -zcosecz — I-coseczdz = ------- + >----I ---------- dx = -zcos ecz - I -co s ecz az = ---------+ i -------

J x2 J sen z J sen z

+ ln | tg ( - ) |+ csenz 2


41/199


1246

1247

farcsen x , z , ,.,arcsen*,,*L ,I ---------- dx = ---------+ ln|cosé,cz -ctg z | = -------------+ ln¡------- | +c

J * sene * 1+ V 1-*

f arcsen

J jr r x dx Desarrollo

Sea[ z = arcsen V* => V* = sen z

* = sen2z => í/* = 2senz coszd z

f arcsen V* , f z-2senz.cosz ,„f,I — -------dx - I — -dz = 2 I zsenzaz

J v i - * J V i-sen 2 z J

Haciendou = z => d u = d z

dv = senzdz => v = -c os z

f arĈen -* dx = 2(-z eos z - f -eo s z dz) = -2z eos z + 2 sen z + cJ Vl~ * J

= -2arcsen V*Vl~* +2\ fx +c

J x tg 2*rf*Desarrollo

(*sec22 x - x ) d x

Haciendo

u = x => du =dx

dv = sec2 2xdx => v = ^

Integra l Indefin ida 75

1248

1249

Isen2 x ,--------dx

Desarrollo

i 2 x , f l - cos2*f sen" x f 1- cos 2x 1 f 1 f ,

I -------- dx = I ------------dx =— \e dx----

l e eos 2 xdx J ex J 2ex 2 J 2 j

4 1 -e

~2e JCcos2 xd x ... (1)

1integrando le *cos2 x d x , por partes se tiene:

Haciendou = eos 2x => du = -2 sen 2x dx

dv = e~xdx v — —e x

j e ~ x co s2 xd x = e ' ' c o& 2x +2 je ~x se al xd x

integrando por partes se tiene: j*e~x eos 2x dx = -------------- -------------- ... (2)

f sen2 x , e~x / c o s 2 * - 2 s e n 2 * - lreemplazando (2) en ( 1) se tiene: | ------—dx = —r- (----------------------------;--) +


42/199


Sea z = ln x => x — e l => dx — e 'dz

J cos(2 ln x)dx = J ez eos 2z dz

« = ez => du = ezdzHaciendo

dv = cos2 xdx => v = - sen2z

J cos(2 ln jc)í/jc = y sen 2z - — J e~ sen 2 zd z

Haciendou - e z =$ du = ezdz.

d v - s t n l z d z =* v = -cos2z

Icos(2 ln x)dx = — sen 2z - - f ( -— cos2z + - (Vcos22 du = dxdv =

xd x

(1 + Jr2)2=> v = —

1

2(x +1)

1251

— f - + ( J ( l + x2)2 2(x +1) J

í

dx

2(x +1) J 2(x +1) 2(x +1) 2

x 1-̂----+ —arctgx + c

dx

(x2+a2)2

Desarrollo

Sea x = a tg 0 => dx = a see2 9 d d

f dx _ f a sec~ 9 d 9 f a s

J (x 2+ a2)2 J (a2tg: 0 + a2)2 J asee2Odd

4 sec4 9

= 4r [cos2Od d = -2 - f(l + cos26)dd = -— ■+a3 J 2a3J 2a3

9 sen 9 cos 9---- ----- + c2a3,

arctg(-) arctg(-)/7 CL\ 1 /i X

--------- r — + -------r -------------- + C = ----- -----------------------h — -------- ^ ) + C2a ' 2(«‘ + x ) a 2a2 a a + x

1252 J J a 2 - x 2dx

Desarrollo

Sea x = a sen 0 => dx = a cos 0 d0

X X se n9 = — => 9 = arcsen(—)

a a

J*'Ja2~—x2dx = j y f a 2 -a 7 sen29.acos9d9 - a2jco s29 d9

¡


43/199

¡

7g Eduardo Espinoza Ramo s

2 f l + cos20 a" a" a= a2 I ------------¿Q = — 0H-----sen0cos0+íJ 2 2 2

« * 1 2 2 ,= — arcsen(—) + —v a -•* +c2 a 2

1253 |V a + ;c2 dx = VÂ see2 9 d9

tg 9 = -4= => 0 = arctg(-^= )Va Va

J yj A + x2dx = J s¡A + A ig 29 .y fÁ sec2dO = J A see39 dO

se integra por partes:

J A see30 d9 = AJ (1 + tg29 ) see 9 d9 = A J (sec0 + tg2 9 see 9)d9

= Aln |sec0 + tg0 |+A tg0se c0 -A jsec30¿0

= y[ln |see 0 + tg0 | + tg0sec0] + c

J V Â 7 7 d x -= | [ l n I I + ^ V Á ^ 7 ] + c

— 1n I a: + y fÂ +x2 \ + — VÁ+~? + k 2 2


12541

x 2dx

y ¡9 - x2

Desarrollo

x = 3 sen 0 => dx = 3 eos 0 d9X x

sen 0 = — => 0 = arcsen(—)3 3

f x2dx (*9sen 20 f ,I -y- — = I ---------- .3cos0 dO = 9 I sen' 0 ¿0

J V9-.Ï2 J 3eos0 J

= 1 1 -90 9

2 eos 9)d9 = — - — sen0eos0 + c2 2

9 -v 9 x y¡9-x2 9i jc r 7= —aresen(—) — ( - ) -----+ c - - a r c s e n ( - ) — yJ9- x~ +c2 3 2 3 3 2 3 2

4.5. INTEGRAL ES ELEM ENTAL ES QUE CONTIENEN UN TRINOMIO CUADRADO.-

0 IN TE G RA LE S D EL T IPO.

171X + Yl .dx , el procedimiento es el siguiente: El trinomio der ,

J ax +bx + c

segundo grado a x 2 + b x + c , se reduce a la forma

2 "yax +bx + c = a( x+ k) + L , donde k, L; son constantes y esto se

consigue completando cuadrados.

© INTEGRALES DEL TIPO.-

ímx + n

d x , los caiculos son analogos del 1) y después son\fax 2+bx + c

integrales inmediatos.


44/199


45/199

82 Eduardo Espinoza Ramo s

f x2dx f 6x-10 w f f 6x-10 JI í— ------- = (l + -r ------------------------- )dx = dx+ - T- ~--------- dx

J x -6 x + 10 J x -6 x + 10 J J x~ - 6x + 10

f 2 x - 6 f dx= x + 3 — ----------- dx + 8 --------

J x -6 x + 10 J (x-3) +1

1262 J

( x - 3 ) ¿

= x + 31n | x 2 -6 x + 10|+8arctg(x-3) + c

dx

y¡2 + 3 x - 2 x 2Desarrollo

1263

f dx (* dx 1 f dx

\ ¡2 + 3 x - 2 x 2 J j 2(l + 3 x _ x 2} 4 2 J J 1 + 3 x _ x2

72 í

í

x 1 , 4 x - 3 ,r I i ~ -------= —¡= arcsen(--------- ) + c

y j x - x 2

Desarrollo

dx

1264¡ f s

dx

= arcsen(2x -1 ) + c

+ px + q

Desarrollo

' ~ =f~j-------- ~ X = \n \x + £ + 4x 2 + px + q l+ c J \ X + DX + a J l r> ^ n


f 3 x - 6

J \ [x2-4 x + ‘ .1265 I ------ dx

h5Desarrollo

~ 2 w — dxJ ’ í i S — s L f J y¡x - 4 x + 5 * \l x - 4x + 5

/------------- x —2Sea u = \ x 2 - 4x + 5 => du = —= = = = ■ dx

Vx2 -4 x + 5

f — -j2~^L=J t=dx = 3 f - — L= =̂==rdx = 3 Id u = 3u + c = 3-v/*2 -4 x + 5 + < J \¡x 2 - 4 x + 5 * v x 2 - 4 x + 5 J

1266 J 2X 6...-dx2 x - 8

Vi - x —x”Desarrollo

f = f e * + 1 ) - y = f - 7J £ Ü _*=9f J y j l - x - x 2 J >jl—x -x ? * j \ - x - x 2 J

« f ) 2 - U + 2- ) , )5

= -2-v / l-x-x 2 -9 arcsen(—Í - ) + c yf5

í1267 I - = = = J = = = = d xV5x2 -2 x+ lDesarrollo

f , - dx = l [ ^ - 1) + 1 dx» v5x2 -2 x + l 5 J v5x2 - 2 x + 1

^ .....* + l f .^Jv 5x2 -2 x + l V5x2 - 2 x + 1


46/199


= -- >/5jc2 —2x +l h — í= f - . =

4 ^ 7 ^ + J _ to U _ i t ^ T | 7 J | +c

- ) 2 + ( - ) 25 5

1268J

dx

x \ J l - x 2

Desarrollo

Sea x = - => dx = —~ t t2

J-dt

= - ln | i + ——— | +c = ln |----- vX | +c. * * Í+ V i^ ^

- 1 1+c

1269 1d;c

x\ ¡x 2 + JC+1

i

Sea x = - => dx = ~ — t t2

Desarrollo

Jdt_

dx = f 12 = _ f dt _ _ r dt

4 2

/ 2 í- ^ , 2 - jr= - arcsen(—=-) + c - ~ arcsen( ) + cv5 V5x


1270

1271

1272

f ___ dx

J (x — ( x - l ) y ¡ x2 - 2

Desarrollo

1 1 i j dt

Sea t - -----

=> - = x - l => dx = — - x - l t t2

_d t

í ____ * ____ , r y , . = jJ í r _ n J J I 2 J i [ i .„2 „ J

= -arcsen( — ) + c

1

( jc-I )Vjc2-2 J l ^ l + 1)2_2 J Vl + 2 í- í2 J 2 ( x - D

dx

(x + l) 4 x2 + 2x

Desarrollo

i

1 di 'Sea x +1 = - => dx - — — í í2

dt 1

- arcsen t + c = ~ arcsen(------ ) + c x + l

r _ _ _ ¿ __________ r * — .

' - J (~ - l )2 + 2 ( - - l ) ^í V t t

y x 2 +2 x + 5d xDesarrollo

* J V 7 7 2 ^ 5 d x = J V Ü ^ Í) 2 + 4d x

yj(x + l)2 + 4 + - ln | jc + I + Ví-í + I)2 + 4 l+cX + l

2 v 2

= £ ± I V x 2 +2 x + 5 + 21n|x + l + >/x2+2x + 5|+ c2


47/199


1273

1274

1275

1276

S ' / * - * 2dx

Desarrollo

1

j \ f x x~dx - j ( x - —)2dx = — —í - J x - x 2 +-^.iarcsen(2*-l) + c

2 x - l I 2 1- — -— \ x - x + -arcsen(2A-l) + c

4 8

-ji1 dx

Desarrollo

l

{ ' f a - x - x d x = í j — -(* + —)- dx =— - 2 . y j 2 - x - x 2 +—arcsen(-̂ -í-í-) +c J J V4 z 2 2 4 3

_ 2x + l £ 7 92 * + l------- — \ 2 - x - x +-arcsen(------- ) + c

4 8 3

; xd x

J x4 - 4x24x 2 +3Desarrollo

f _ xd x _ f xdx 1 1 x 2 - 2 - 1 . _

J - 4^+3- J Í7TÍ7TT=i -2lnITTiTI1+" i ln17T71+cI

(a2 - 2 ) 2- 1 2 2 ' x 2- 2 + 1' !~ 4 ' x2 —1

eos xdx

í + 12 •Desarrollo

sen2x- 6s en jc + 12


1277

1278

1279

T exdx

J y¡Vve*~+e2xDesarrollo

- + yjl + ex + e2* I+c

ísenjedx

Veos2x + 4cos.x + lDesarrollo

f sen a ¿y _ f sen .ydx

J Veos2 x + 4cos.x + l J y[(cosx + 2 y - 3

= - l n |cosx + 2 + Vcos2 * + 4cosx + l |+c

f lnjcrtx

J * V l - 4 1 n x - l n 2 xDesarrollo

ln xd xf ln xd x f ____ J|

J x \ ¡ l - 4 \ n x - l n 2 x J Xy¡ 5- (ln x + 2)2

dx , tSea u = ln x + 2 => du - — , ln x - u - 2

x

f lnAdt j" ln xd x _ |‘(m-2)¿m _ |* udu ^ j* du

J vVl-4ln;c-ln2a J xy ¡5 -( \n x+ 2) 2 J yj 5 -u2 J y¡5-u^ J y ¡5 -u 2

,lnA + 2x- -y¡5 - ii' - 2 arcsen( -̂ =r)+ c = -V 1- 4 ln a - ln" a - 2 arcscn( j - ) +c


48/199


4.6. INTEGRAC ION DE FUNCIONES RACIONALE S.

® METODO DE LOS COEFICIENTES INDETERMINADOS.-

Consideremos dos funciones polinómicas:

P( x) =bnx" +bn_]x n~i +... +blx+ b0 y Q(x)=amxm+amAxm~{ +...+alx+a0

Una función racional es el cociente de dos funciones polinómicas, es P(x )

decir Q(x)

Cuando el grado de P(x) es menor que el grado de Q(x) a la función

racional se denomina función racional propia, en caso contrario se

denomina impropia.

Si la función racional es impropia al dividir el numerador por el

denominador se puede representar la función dada como la suma de un polinomio y de una función racional.

P(x ) R(x )Es decir: ------ = C(x) + ---- ^ , donde el grado de R(x) es menor que el

Q(x )

grado de Q(x).Q(x)

Nuestro interés es la integración de las funciones racionales propias:

P(x )

í Q(x)d x , para esto consideremos los siguientes casos:

PRIMER CASO: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales ydistintos.

Es decir: Q(x) = ( x -a y) ( x- a2) . . . ( x-an) , para este caso escribiremos:

donde Al ,A 2, .. ., An , son constantes] P(x )

Q( x) x -a ¡ x - a 2 x - a n

que se van a determinar.


SEG UND O CAS O: Cuando los factores de Q(x) son todos lineales y

algunos se repiten, suponiendo que ( jc -a ,) es el factor que se repite P

veces, para este caso existe la suma de P fracciones parciales.

A A, AP — — + -----3 _ + ... + ------c — x - a ¡ (x - a ¡ f ( x - a i )p

donde A,, A2 , A3,..., Ap , son constantes que se van a determinar.

TE RC ER CAS O: Los factores de Q(x) son lineales y cuadráticos

irreducibles y ninguna de los factores cuadráticos se repiten. Para el factor

cuadrático x2 +bx + c la función racional es de la forma:

Ax + B

x2 +bx + c

CU AR TO CAS O: Cuando los factores de Q(x) son lineales y

cuadráticos y algunos de los factores cuadráticos se repiten.

Si x 2 +b x +c es un factor cuadrático que se repite m veces, entonces las

fracciones parciales correspondientes a este factor son de la forma:

A|X+P| A2 x + B2 ^ j

ax2 + bx + c (ax2 +bx + c )2 (ax2 + bx + c)m

(2 ) METODO DE OSTROGRADSKI.-

Si Q(x) tiene raíces múltiples, se tiene:

\ P^ d x = X M + ... (a)• Q(x) Qx(x) J Q2( x )

donde Qt(x) es el máximo común divisor del polinomio Q(x) y de su

derivada Q'(x).


49/199


1280

1281

& (*) = -“ : * 0 i W . X(x) e Y (x)Qi(x)

son polinomios con coeficientes indeterminados, cuyos grados son

menores en una unidad que los Q¡ (x) y Q2(x) , respectivamente, los

coeficientes indeterminados de X(x), Y(x) se calcula derivando la

identidad (a).

Hallar las integrales:

dx

J (x + a)(x + b)Desarrollo

^ , efectuando y agrupando:

C x + a) (x + b) x + a x + b

A + B = 0 } i i1 A = -------- , B = -

Ab+ Ba = l! a —b a —b

f, * - M — i-*-- -L. f J Ü - + - L . fjJ ( x + a)( x + b) J x + a x + ba - b J x + a a - b j a

dx

T b

1 > i i l . i , i \ \ x + b ,- ln | jc + « | h------- \n\x + b\+c = -------ln | -------¡ + c , a ^ ba - b a - b a - b x +a

I x 2 - 5 jc + 9

x 2 - 5 jc + 6dx

Desarrollo


1282

1283

1dx

(jc —1)(jc+ 2)(jc+ 3)

1

Desarrollo

A h— — + — — , efectuando y agrupando:( jc- 1 ) ( jc + 2)(.x + 3) jc

— 1 x + 2

x +3

1= (A + B + C) x2 + (5 A + 2B + C)x + (6 A - 3B - 2C)

A + B + C —0

5 A + 2 B + C = 0

6 A - 3 B - 2 C = 0

A = — ; B = - ~ ; C = - 12 3 4

Jdx

(jc-l)(;t+ 2)(x + 3) B C u+ ------- 1------- )dx

x+ 2 x+3

_L f dx 1 f dx +J_ f 12J jc -l 3 J x + 2 4 J

dx

„t + 3

1 ln !jc — 11---In ! x + 2 |+ —ln | x + 3| +ci i 3 i 4

12

= - | - [ l n | x - l ¡ - 4 1 n | x + 2 | + 3 1 n | x + 3 |] + c l n|- 12 12 (x+ 3)

1 , . (jc-IX jc+3)3|+c

r 2x 2

J ( x - i )

+ 4 U - 9 1

1)( jc+ 3) (jc- 4 )

2jc + 41jc —91

-dx

Desarrollo

A B C h------- +.-------, efectuando y agrupando se obtiene:

( x - 1 ) ( jí + 3) (x-4) x - l x + 3 x - 4

2x2 +41jc-91 = (A + B + C)x2 +(- A -5 B + 2C )x- l2( A- 4B + 3C)


50/199


1284

A + B + C = 2

de donde se obtiene: - A - 5 B + 2 C - 4 1

-(12A -4B + 2C) = -91

resolviendo se tiene: A = 4, B = -7, C = 5

2x 2 + 41x-91

(x -l) (x + 3)(x + 4)-dx

■ M r -J JC—1 X + + 3 , n | í i t^ - 4)5 |+cx + 3 x - 4 (x + 3)5x +2

x3+ 5x2+ 4xdx

Desarrollo

5x3+2 . 25.x2-2 0* + 2 , 25x2-2 0* + 2 — ------- -------- = 5 + — -------- ----------=5 + ------------------------ x - 5 x +4 x x - 5x“+ 4x x(x 4)(.\ I)

25x2- 20x + 2 A B C

x(x- l) (x-4) x x-1 c - 4de donde

25 .v" — 20 x + 2 —{A + B + C)x~ +(5 A — 4 B ~ ( )x ■+4 A

A + B + C = 25

- 5 A - 3 B - C = - 20

4A = 2

1 „7 ^ 161, resolviendo el sistema: A .11 . C = —

2 3 6

Integ ral Indefinida 93

1285

1286

ídx

x(x + l)

1

Desarrollo

= —h — — + — —— , efectuando la operaciónx ( x + l

)2A' X + l (x + l)‘

l = A ( x + l ) 2 +B x ( x + l) + Cx => 1=( A + B) x2 +(2A + B + C)x + A , de donde:

resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = -1

A+B = 0

2A + B + C = 0

A = 1

dx

JJ x(x + l)2 J * X+l (x + l) ,A B C(_ + -------+ . ~ ) d x = [ ( i — 4 - — - ^

J X x 1 (x + l)" )dx

= lnx- ln Ix + l I+ —— + c = ln | ----- ¡+ -------+ c1 1 x + l x + l x + l

f — J 4x3- Adx

Desarrollo

* _ i x3 — 1 1 4

-= - + - ^x - 4

4x3 x 4 4x' x x(x + 2)( x_ ^)

A B C

1 . ~ x + 1 + 1x + — x —2 2

B C\ Ade donde x -4 = (A+B + C)x2+ (- — + —)x——

2 2 A

A + B + C = 0

_ B C =12 + 2

resolviendo el sistema: A =16, B =-9 , C =-7


51/199


1287

\ - ^ T ^ d x = IVJ 4 x - x J 4

A B C w . t iH-----1------ —-i------7~)dx —— i— | 1 .

4 x , 1 „ 14 16J , l v 1,í-

x - 4í/x

x + — x —2 2

x (x + - ) ( x - - )2 2

x 1 f 16 -9 7 x 1 ri¿, , L ti , —h— I (—+-— -------- r)dx = —h— [16lnx-9ln(x+ —)-7 ln (x -~ )]

4 16 J x 1 1 4 16 2 2xH— x—2 2

x 1 .= — + — ln4 16

„16

(x + i ) 9 ( x - i ) 72 2

| +c = —+ — ln |4 16 (2x + l) (2 x -l )

y \ + c

f x4- 6x3J x3- 6x2

+ 12x ‘ + 6+ 12x -8

dx

Desarrollo

x4

-6

x3

+ 12

x2

+6x3- 6x2+ 12x -8 :x + - 8

x +6x - 6x‘ + 12x - 8 = x + -8

x +6(x~ 2)3

íx4- 6x3+ 12x2+6x3- 6x2+ 12x -8 í ‘dx = I (x +

8x + 6( x - 2)3

)dx

__x1 +

2

B

( x - 2)2 ( x - 2)3 )dx

8x + 6 A + — ! L _ + _ C _ =>s x + 6 = A x 2 + ( B - 4 A ) X + 2 A - 2 B + C ( x - 2)3 x - 2 ( x - 2)2 ( x - 2)3

A = 0

.B-4A = 82A -2 B + C = 6

, resolv iendo el sistema se tiene: A = 0, B = 8, C = 22

x4- 6x3+ 12x2+ 6 , x2 f \ 8 22 w — ------ --------------dx = — + (-------- - + ------ — )dx

Integ ral Indef inida 95

1288

1289

___ 8 112 x - 2 ( x - 2)2 C

f (5x2+ 6x + 9 )dx

J (x- 3)2(x + 1)2 Desarrollo

5x2+6x + 9 _ A B C D(x- 3) 2(x + 1)2 ~ x - 3 + ( x - 3 )2+ x + 1+ (x + 1)2

5x 2 + 6x + 9 = (A + C)x 3+ (-A + B- 5C + D)x2 +

+(-5 A + 2B + 3 C - 6 D) x + ( -3 A + B + 9C + 9D)

A + C = 0

- A + 5 - 5 C + D = 5

-5 A + 2Z? + 3C - 6D = 6-3 A+ B + 9C + 9D = 9

9 lresolviendo el sistema se tiene: A = 0, C = 0, B = —, D = —

2 2

f 5x2+ 6x + 9 J 9 C dx 1 f dx 9 1 1 , 1 ,------------ ------------r- d x = - ------------T + - I ----------------------------------------------------------— = -( ---------- ) -( ---

j ( x -3 )2(x + 1)2 2 J (x -3 ) 2 J (x + 1) 2 x - 3 2 x + 1

f + 7J (x2- 3 x - 1 0 )2 X

Desarrollo

f x2- 8x + 7 J f x2- 8 x + 7 ,I —i-------------̂ rdx— I ---------- --------- dx

J ( x -3x -1 0 ) J (x -5 )2(x+2 )2


52/199


1290

1291

, A B t C | D

x - 5 + (x - 5 ) 2+ x+ 2 (x + 2)2

x 2- 8 jc + 7 = A( x + 5){x + 2) 2 + B(x + 2)2+ C(.x + 2)(x - 5)2 + D( x - 5)2

i ! « = _ A C = - — __ 343 ’ 49 ’ 343 ’ 49

f x 2 - S x + 1 , 3 0 , , c , , 8 1 30 , ,J *= 5 4 3 ln1' - 5 1 - - 3 « ln1A+21"

= _ » ________ - — + ü L i„ |— j *49(jc —5) 49 U + 2) ~ ~

J (aT

30 8 30 n - 27agrupando y resolviendo se tiene: A = ——, B - - — , C - - ——, U - -

49(jc-5 ) 49U + 2) 343 a:+ 2

2 jc —3

—rd x 2)Desarrollo

— dx (x~ — 3a:+ 2)

Sea u = x 2 - 3 a: + 2 => du = (2 x- 3) dx

J (ac —3ac+ 2) J w3 2/ r

Como

1

1 (x2 - 3 jc+ 2)3~' J « 3 2m2 + C 2 U 2 - 3 at+ 2 ) 2

IX3+ AT+1a:(a:2+ 1)

dx

Desarrollo

fAT3 +JC+l (" 1 w f d.V-----r------dx = I (H—=--- )dx = x + ------- -----

J x(x~ + 1) J x3 +x J x(x~ +1)

___ ! ___ = A + Bx + C = (A + B)x -+C x+A ^ l = x 2 (A+C) + Cx +A

JC(.V2+1) * X2 + l Af( A-2+1)


1292

A + B = 0]

de donde: C = 0

A = 1

resolviendo el sistema: A = 1, B = -1, C = 0

fAT3 +JC+l f 1 x| ---- r-----dx = x+ | ( ------ — J x( x2+1) J X X2H

)dx = x+ ln x — ln(jc +l) + c +1 2

= x + ln |Va:2+1

\+c

f x 4dx

J x 4- 1Desarrollo

\ s d x = L ' ) dx =x +J * 4 - l J JC4 —1 J a4 -1

1 A B Cx+D- + ----- + -

(ac-1)(a. + 1)(at + 1) * - 1 JC- 1 x2 +1

1= (A + B +C)x3+ (A —B + D)x 2+ (A + B +C)x + A — B —D

A + B + C =0

A - B + D = 0

A + B - C = 0 A - B - D = 1

, resolviendo el sistema: A= —, B = — , C = 0, D

4 4

f ac4 f A B Cx + D 1 f dx 1 f dx 1 f dx —— dx = x+ | ( -----+ ------+ — ------ )dx = x + - -----------------------I - —

J x —1 J x 1 x +1 x +1 4 J x -1 4 j x + \ 2 J x - + l

1 , . JT- 1 . 1= x + - ln | ---- -1- -arctg x + c

4 AC+ 1 2


53/199


f _______ * _______ J (x2 —4x + 3)(x2+ 4x + 5)

Desarrollo

1 _ A + B + Cx+D

(jc2 - 4 x + 3)(x2+ 4x + 5) x - 3 x - \ x2+4x + 5

efectuando operaciones y simplificando se tiene:

A(x 3 + 4x + 5x) - A(x2+ 4x + 5) + fí(x3+ 4 + 5x) - 3fi(x2 + 4x + 5) +

+ C(x3- 4x 2 + 3x) + D (x2 - 4x + 3) = 1

(A + B + C)x3 +(3A+B + 4C + D)x2 +(A -7B + 3C -4 D )x -5 A- l5 B + 3D = l

A + B + C = 0

3A + B -4 C + D = 0 A - 7 B + 3C - 4 D = 0

-5A -15 B + 3D = 1

1 1 2 3resolviendo el sistema se tiene'. A = — , B = ----- , C = — , D = —

52 20 65 36

f dx f , A B Cx+D — -----------------------------= (------+ ------ + — ----------- )dx

J (x -4x + 3)(x +4x + 5) J x - 3 x - \ x + 4x + 5

= _ L f _ * L + f 6 5 I j L d x5 2 j x - 3 20 j x - 1 J x 2+4x + 51 1 1 f 2x + 4 7 f dx

= — l n ( x -3 ) ----- ln(x-l)H -----I — ------------dx + ~— I —------------52 20 65 J x + 4x + 5 1 3 0 jx 2+4 x + 5

= — ln(x -3) —— ln(x — 1) + — ln(x2 + 4x + 5) + — arctg(x + 2)52 20 65 130

Int egral Ind efi nid a 99

1294

1295

f dx

J77T

i i

Desarrollo

A Bx + C

x 3 + l ( x + l ) ( x2 - x + l ) * + l X2 - X + l

1—(A + B)x~ + (“A + B + C)x + A + C

A + B = 0

-A + ¿f + C = 0

A + C = 1

1 „ 1 „ 2, resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = — , C = —

3 3 3

x 2

\ ^ - = f ( - ^ - + B2X +C )d x = ] - [ — + f 3 3 dxJ X +1 J x + 1 x ~-x + l 3 j x +1 J x - x +1

= —ln(x + l )~ —ln(x2- x + 1) + —̂ arctg(-:~ -) + c3 6 V3 V3

1 , , (x + 1)2 1= —ln .- - , ,6 x“ - x +1 v3

2x - l

f dx

J x 4+1Desarrollo

Ax + B Cx+ D- + -

x4+l (x2+\J lx + l)(x2 - V2x + 1) X 2 +y[lx + \ x2 -y¡ lx + 1l = (A + C)x3 +(B + D + y¡2C-y ¡2A)x 2 +(A + C + y¡ 2A- yÍ2 B)x +B+ D

A + C = 0

B + D + \¡2C - \Í2A = 0

A + C + y¡ 2D -y ¡2 B = 0

B + D = 1


54/199


1296

resolviendo el sistema se tiene: A = —^=r, B = D = — , C - — 2V2 ’ 2 ’ 272

1 1 1 1X + — -----T = X + -

f dx i* Ax + B Cx +D C 2V2 2 2\¡2 2,

Jx4+l“J x2+V2x+l +x2-V2x+lJV+>/2x+l x2-V2x+l1 f X + SÍ 2 _ 1 f X - y ¡ 2 .

' í T í j I?— T *+ yfl x + 1 2\/2 J .Y“ — yfl x + 1

2 ■ + y fl ,X + 1 * V2 X y fí .I n I — -------= --------I + — « r c r g ( --------- - ) + c

J

4V2 X2 - y í l x + \ 4 1 - x 2

dx

! +1

Desarrollox4+ x2+1

x4+x2+l =x4+2x2+l-x2=(x2+1)2-x2

x4+x2+1=(x2+x+ l)(x2—x +1)

A x+B Cx +D - + -

X4 + X2 +1 X ~ + X + 1 X —X + 1

1— (A x + fí)(x —x + 1) + (Cx + D)(x ~ + x +1)

1= (í4 + C) x3+ (B -A + C + D)x 2 + (A -B + C + D)x +B + D

A + C = 0

B - A + C + D = 0

A - B + C + D = 0

B + D = l

integral Indefinida 101

1297

1298

resolviendo el sistema se tiene: A = —, B = —, C = ——, D =2 2 2 2

f dx f . A x+ B Cx+ D N, 1 f x +1 ,1f x —1 —------5 — = (— ---------------------------------------------------- + -3--------- )dx = - ,d x -

J x + x +1 J x ' + x + l x -x +1 2J x‘+ x+1 2J x' - x +1

I

1 , . x +x + l . 1 x - l= - ln | — ---------1+ — j= arctgí — -=-) + c

x x —x+ 1 2V3 x%/3

dx

7

Desarrollo

(l + .v2)2

Sea x = tg 0 => dx = see2 9 dO

í — ^ r T = f - e c 2 y - ~ = f - ^ _ = f c o s 2 0 d OJ (l + x“ )~ J( l + tg‘ 0)" J s e c “ 0 Jfl + cos209 sen0eos9 arctgx x

= ------------d G = - + ---------------+ c = -— — + --------r -J 2 2 2 2 2(1+x )

r 3 x +5I —r ----------r—^dx

J (x“+ 2x + 2)

Desarrollo

(x 2+ 2x + 2)2 = (x + 1)2+ 12 => z = x + l => dz = dx

f — — 2 = 3 í — T ~ ~ — ~ t̂ x+ f J (x2 + 2x + 2) J (x2 + 2x + 2)‘ J (x2 + 2x + 2)~

= _______ 2 _____ + 2 f _____ * _____ 2 ( x 2 + 2 x + 2 ) J ( x 2 + 2 x + 2 ) 2


55/199


1299

3 + f dx _ _______ 3 _____ +2 f dx2( x 2 + 2 x + 2) J((x+1)2+1)2 2(x2 + 2x +2) J(z2+1)2

= ------ 2 3 ..... +2Í(2(a~ + 2a + 2) J2

( x ' + 2

x +2

) J (z +1) (z +

1)

■ J ; :+2arctgz—21—--- - ... (1)2(x2 + 2x + 2) ” ~J ( z 2+ 1)2

1, „ , z 2dz Z arctg;integrandopor partes; —----- =--- ---- h--—

' (z2 +l) 2 2(z +1) 2

Luego reemplazando en (1) se tiene:

J

í

3 a + 5 3 „ 2x+2 — ----------- dx =------ ----- — + 2 arctg( a + 1) + — --------------arctgU + 1 )+ c(x~ +2x +2) 2(x +2x+2) 2 ( a 2 + 2 a + 2 )

2x + \= ---- ,------------+ arctg(.v + 1) + c

2(x~ + 2x + 2)

dx

Ha + 1 ) 2

Desarrollo

A Bx + C Dx + B- + -

( a + 1 ) 2 ( a 2 + x + i ) 2

( a + 1) (a 2 + A + l)2 A + l X 2 + A ' + 1 (x2+ x + l)2

efectuando operaciones y eliminando denominadores se tiene:

1 = A(x 2 + a + 1) + ( B x + C ) ( a + 1 ) ( a 2 +x + l) + (x + l)(Dx +E)


A + B = 0

2 A + 2 B + C = 0

agrupando y por entidad de polinomios tenemos: 3A + 2B + 2C' + D = 0

2A + B + 2C + D + E = 0

A + C + E = 1

resolv iendo el sistema se tiene: A = 1, B = -1, C = 0, D = -1, E = 0

f - _____ J ( A + 1 ) ( x 2 +A + l ) 2 J A + l

Bx + C Dx + E - + — ---------+ — ---------- -]dx

( A + 1 ) ( a ” + A + 1 ) “ J A + l A + A + 1 ( A ^ + A + 1)

ít 1 * * W(---- ---------------------------------_)£/x

A + l X~+X+ l (x~ + X+ 1)

, . i r 2a+ i i w i r ; ln | x + 1 I (— - ---------- ) d x - ~

2 J X + A + 1 X + A + 1 2 J

, 2 a + 1 1( --------- ------ ---------- - )dx

( A + X + 1 ) ( a + A + 1 ) “

i i . i l . i 2 i i 5 2 a + 1 a + 2: In a + i j— ln x + A + l + — =rarctg(— ?=̂ -) + -------------------;--------+ c

2 3V3 v3 3(a + a +1)

lx3+1

1 3 0 0 ! -----------------d x

Desarrollo

( a 2 —4 a + 5 ) 2

a 3 + 1 Ax + B Cx +D

( a 2 - 4 a + 5 ) 2 a 2 - 4 a + 5 ( a 2 - 4 a + 5 ) 2

efectuando operaciones y eliminado denominadores:

a 3+ l = (Ax+i? )(x2 + x + 1) + Cx +Z>

a 3 + 1= A*3+ (- 4 A + B) x 2 +(5 A-4B + C)x + 5B + D


56/199


por identidad se obtiene:

A = 1

- 4 A + f í = 0

5 A- 4B + C = 0

5B + D = l

A = 1

B = 4A => B = 4

C = 11

D = - 49

J (x~ -4x + 5)- J. Ax+i? Cx+D ,( - -----------+ —5------------ 7)dxx2-4 x + 5 (x —4x + 5)

, x + 4 l l x - 1 9 ,= H — ------ + - T — ------ r ) d *1«x2- 4x + 5 (x2- 4x + 5)2

1 f , 2x —4 12 J 11 f 2 x - 4 J r dx= - (-5-----------+ — -------------¿ v + 3 I — --------------2 J x -4 x + 5 x~ -4x + 5 2 J (x~ -4x + 5)" J( x "- 4 x + 5)

= —Inlx2-4 x+ 5|+ óa rctg (x- 2)- —(—-—— ------ )+ —arctg(x-2)H-----~ — -----2 1 5 2 ;c2 _ 4jc + 5 2 6V 2(x - 4x + 5)

1 1 1 2 a c 1 15 , .. 3x -17= —ln x -4 x + 5 h— arctgíx-2 )-1------ --------------he

2 ' 2 2(x -4 x + 5)

Hallar las integrales siguientes, utilizando el método de Ostrogradski:

f dx

J (x + l)2(x2+ l)2Desarrollo

f dx _ Ax2+ Bx + C ^ f Dx 2 + Ex + F J (x +1)2(x2 +1)2 (x +l)(x2 +1) J (x +l)(x2 + 1)

derivando y agrupando se tiene:


Dx5 +( E + D - A ) x 4 +(E + D+ F - 2 B ) x 3+

(x + l)2(x2+ l)2 (x + l)2(x2+ l)2

+(A + E + F - B + D- 3C )x‘-+(2A + E + F- 2C )x +B + F -C

(x + l)2(x2+ l)2

de donde se tiene:

1= Dx +( E + D - A ) x 4+ (E + D + F - 2B) x +(A + E + F —B + D —3C)x~ +

D = 0

E + D - A = 0

E + D + F - 2 B = 0

A + E + F + D - B - 2 C =0

2A + E + F - 2C = 0 B + F - C = 1

+(2A + E + F- 2C )x + B+ F -C

1 1 1 3resolviendo el sistema se tiene: D~0, A = — . B - —, C = 0 , E = — , F = —

4 4 4 4

Como:dx__________________ A x 2 + Bx + C |* Dx 2 + E x+ F

i (x + l)2(x2+ l)2 (x + l)(x2+l) J (x + l)(x2+ l /

- X 2 + X __________ r x —3

4(x + l)(x2+l) 4 J (x + l)(x~ + 1)dx

- X +x 1 f -2-I i ------dx +

4(x + l)(x2+1) 4 ' J x + l 1 7 h * - ¡

------^ -+ —In Ix + l| ~ —ln |x 2+ 1 | +—arctgx + c4(x + l)(x +1) 2 ' ' 4 ' 4 6


57/199


58/199


1304

1r59 3 3sen 26» sen326 .:_ [— -+—sen 40+— sen 29 h— ------------------ ] + c8 2 8 2 2 6

= —[— + —sen9 eos9 (2eos29 - 1) + 4sen9 eos 9 — — sen39 eos39] + c 8 2 2 3

1.5 3 x 2 4x 4x3= - [ - arctg x + ----- (— -------1) + — ------------------------- -- -] + c

8 2 2(x "+l ) x +1 x~ +1 3(x~ + l)

15 15x5+40x3+33x=— arctg * + ----------- - ----------+ c48 48(x +1)

íx - 2x + 2 ,

—r --------------d x(x -2 x + 2)

Desarrollo

r 4x3-10x2+ 8 x - 2f —2 2X +22 dx = f(l + -

J ( x - 2 x + 2 ) J )dx

(x~ -2 x + 2) J (x - 2x +2)

f 4x3 —1Ox2+8x - 2 ,=x+ ------------------- — dx . . . (1)

J (x - 2x + 2)

f4x - lOx + 8x + 2 , Ax+B f Cx+D------ r ------------ ~z— dx = — --------- + — --------- — dx

J (x - 2x + 2) x -2 x +2 J x - 2 x +2

derivando, simplificando y agrupando se tiene:

4x3-10x2+ 8x —2 -A x2 -2 Bx + 2A + 2B Cx + D(x2- 2x + 2)2 (x2- 2x + 2)3 x2- 2x + 2

Cx3+ ( D - 2C - A ) x2 + (2C -2 D -2 B )x + 2A + 2B + 2D(x2- 2x + 2)2

Integral In definida 109

1305

4x - lOx +8x--2 - Cx3+ ( D - 2 C - A ) x ¿ + (2C -2D -2B )x+ 2A + 2B + 2D

C —4

D - 2 C - A = -1 0

2C - 2D - 2B = 8

2A + 2B + 2D = -2

resolviendo el sistema se tiene: A= -l, B=3, C = 4, D = -3

14x3 —10x2+ 8 x - 2

(x2- 2 x + 3)2

x - 3dx = — -------------1-

I -

4 x - 3

x2~ 2x + 2 J x z - 2x + 2-dx

x - 3

x" - 2x + 2

reemplazando (2) en (1) se tiene:

‘4x 3- 10x" + 8x - 2

- + 21n |x 2- 2x + 2 |+arc tg(x- l) (2)

íx4- 2x2+ 2

(x2- 2x + 2)2dx = * + J ‘

: X —-

(x - 2x + 2)

x - 3 , 2

dx

+ 21n ¡ x - 2x + 2 | +a rc tg (x - l ) + cx

216047342 solucionario demidovich tomo ii bypriale

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