2.2 kiselmozdulások elmélete
TRANSCRIPT
2.2. Kiselmozdulások elmélete
Az alakváltozások általában kismértékűek, így a (2.4) szerinti közelítéseket
alkalmazhatjuk
Modell felvétel:
A szerkezet modelljét végtelen merev rudak (tárcsák) és a valódi kényszerek mellett
fiktív kapcsolatok (csuklók, vezetékek) alkotják. A tényleges alakváltozásokat (eltolódás,
elfordulás) a fiktív kapcsolatokba koncentráljuk. A fiktív kapcsolatok nem változtatják meg a
rendszer kinematikai szabadságfokát, hisz ott előre rögzített relatív elmozdulások
keletkeznek.
Fiktív kapcsolat Valódi kényszer
Elsődleges haladási irány: balról jobbra, lentről fölfelé.
Relatív elmozdulások: Elfordulás
pozitív, ha a jobboldali felső rudat az óramutató járásának
irányába tereli
Eltolódás
pozitív, ha a jobboldali felső rúdvég a koordináta pozitív
irányába tolódik el
Tényleges elmozdulások: Elfordulás: A tervezett és alakváltozás utáni rúdtengely által
bezárt szög
Eltolódás: A rúdtengely adott pontjának tervezett és az
alakváltozás utáni koordináta különbsége
Elfordulási középpont (pólus): A sík azon pontja, ahol a rúd mozgásai csak elfordulással
leírhatók.
1
uz
u u
uy
Relatív pólus: Rúdelem elfordulási középpontja, a szomszédos rúdelemhez
képest.
Koordináta rendszer:
A mechanikában szokásos globális koordináta rendszert alkalmazzuk. A vizsgálatainkat
síkbeli alakváltozásokra korlátozzuk. (Statikai feladatok megoldására készített számítógépes
programok más koordináta rendszert is használhatnak.)
A „B” pont elmozdulásai az „A” pontban csuklósan rögzített merev rúd φ elfordulása
hatására:
III. rendű elmélet szerint:
III. rendű elmélet szerint:
2
A rúdszerkezet elmozdulás síkja
z
y
x
y ez
ey
r
r
y=
zz=
A
B
B’e=
e1y
e1z
1
0
1elmozdulás előtt
elmozdulás után0Pólus
1
1
Bevezetve a (2.4.) közelítéseket
II. rendű elmélet szerint:
II. rendű elmélet szerint:
Láncolat mozgása
Az „n”-edik merev rúd abszolút elfordulása:
Az „n”-edik pont eltolódása:
Fentiek a csuklósan összekapcsolt rudakból álló láncolat kinematikai alapegyenletei. Abban
az esetben, ha a láncolat elmozdulási ismeretlenjeinek száma három, a három lineárisan
független egyenlet elegendő a láncolat összes mozgás elemének a meghatározásához. A fenti
esetben kinematikailag határozott láncolatról beszélünk.
A mozgáselemeket nem szükséges mindig elölről kezdve számolni, hisz a fentiekből n, eny,
enz ismeretében m > n levezethető:
3
eyi
ly
y
z
1
2
3
4
3
1
2 n
ezi
kz= zn–zi
lz
ky
I.
II.III.
IV.
A támaszok az elmozdulásokat az alábbi módon korlátozzák:
1. az alátámasztás síkjára merőleges irányú eltolódás 0 értékű
2. az eltolódások 0 értékűek
3. az eltolódások és elfordulás 0 értékűek
Az egyik végén rögzített láncolat megtámasztása a „3.” lehet, így az ismert abszolút
mozgáselemek: e0z= 0; e0y= 0;0= 0, amiből a többi pont elmozdulása
három alapegyenlet segítségével kiszámítható.
Ebben az esetben az „1” fiktív csukló mozdulatlan marad, a „2” rúd pólusa lesz.
1= 0 2= 1
e1y= 0 e2y=
e1z= 0 e2z= stb.
4
z
y0
1
2
1
2 y2–y1
z1–z0 z2–z1
Mindkét végén rögzített láncolat (A vizsgálatot az alábbi egyszerű példán szemléltetjük.)
[Pl-2.8]
eAz= 0
eAy= 0 ismert mozgásértékek
eBy= 0
A láncolat összes mozgáseleme így is meghatározható, hisz tudjuk, hogy „A” fix csukló
pólusa az „1” rúdnak, a független mozgáselemeink: A B eBz.
A három alapegyenlet felhasználásával: eBy= innen az ismeretlen
(A) meghatározható.
A többi ismeretlen a fentieknek megfelelően:
Az eredményül kapott mozgásértékek ezred–radiánban és mm-ben értendők.
A két végén rögzített láncolat alakja az alakváltozás előtt és után is egy sokszög, aminek a
belső szögei változtak ugyan, de a belső szögek összege nem.
Tehát:
5
A
B
0
1
2
= –0,04 ()= –40
1
y2–y1= 4,0 h
z1–z0= 4,0 z2–z1= 3,0
2
l= 7,0
''
'
'''
Amiből adódik:
Általánosítva: itt A és B terelőszögek.
6
–
A
1
+
B
+
Elmozdulások ábrázolása
Az elmozdulásokat nem az eredeti tartón, hanem a vetületi tengelyeken ábrázoljuk, a
bevezetésben részletezett előjelszabály alkalmazásával.
Eltolódások meghatározása szerkesztéssel
A szerkesztés technikáját az alábbi két példán mutatjuk be.
[Pl-2.9]
7
A1 2 3 4
1,5 1,3 2,4 0,4
5,6 4,1 2,8 0,4
–+
–+
e
8,731,418
6,198,27 8,44,012
6,88e y4
23,4
83,4
18 25 13
–22,86
17,14–+
–+
()
(ey)
– + – +
() (ez)
–22,86
91,44
68,56+17,14
– 40
+22,86
Először az ismeretlen A elfordulást „0”–nak tételezzük fel, majd megszerkesztjük a eAy= 0 és
eBy= 0 feltételt kielégítő semleges tengelyt.
A semleges tengelytől a fiktív csuklók eltolódásai
mérhetők.
A kiszámolt diagramban A–val eltoljuk a semleges tengelyt.
8
A
1,5 1,3 2,4 0,4
5,6 4,1 2,8 0,4
B
82,156,5
6,88A
–23,73 –20,91
+1,1
–+
–15,82
–15,82+18= 2,17 2,17+7= 9,17
9,17–12= –2,82
–+ ey
Összetett feladatok
Háromcsuklós tartó
[Pl-2.10]
A tartó zárt láncolatot alkot. A külső támaszok miatt eA= 0 és eB= 0. Az ismeretlen független
elmozdulás–komponensek: A B C, amit a három alapegyenlet
felhasználásával megoldhatunk.
ismeretlenek a A és a C
ismeretlenek a A és a C
Tehát a két egyenletből a A és a C meghatározható.
–32
510 A= –15,93
630 C= –19,69
Ezek után a hiányzó mozgáselemek kiszámíthatók, ábrázolhatók.
9
1
2
3
C
B
A
= 30
1,0
3,0
2,0
6,0
2,0 5,0
10
3
2
1– +– +
– +– +
–+
–+
ey
ez 1–2
ez 3
14,07
–5,61
28,14
14,0
7
–15,
93
–33,
76–4
7,88
–5,6
1
–33,
76
28,14
33,76
47,88
Kéttámaszú konzolos tartó
[Pl-2.11]
Feltételek: eA= 0 eBy= 0
A közelítő feltételeink értelmében „z”
irányú eltolódások nem keletkeznek. Az
A–B szakasz ismeretlen
mozgáskomponensei a konzol
elmozdulásaitól függetlenek.
A= –6
A konzolvég elfordulásának ismeretében
az alapegyenletek segítségével
könnyedén kiszámíthatjuk a hiányzó
elmozdulásokat.
Gerber tartó
[Pl-2.12]
A mozgások meghatározását a fix tartórész zárt láncolatán kell kezdeni.
A második mezőben, a B–C szakasz elmozdulásai meghatározhatók az előző példa szerint. A
B–D tartószakasz szintén zárt láncolat, ahol tudjuk: B= 12 eB= 0 eDy=0.
Ismeretlenek: C D értékek, amelyek a rendelkezésünkre álló két mozgásegyenlet
segítségével meghatározhatók.
11
4,0 2,0 0,5 1,0
A B
66
36A
–+ ey
ey
–+
–+
–6
126
16,5
–24
622,5
24
36
22,5
4,0 2,0 0,5 1,0A B C D
2,02,0
12
–+
–+
e
–6
1216,5
–0,125
–11,125
24
6
22,5 22,25
4,0 2,0 0,5 1,0 2,0 2,0