2.2 métodos de cálculo -...

1 Tema 2 : Teoría de la probabilidad

2.2 Métodos de Cálculo Métodos para asignar la probabilidad asociada a la aparición de un suceso. 2.2.1. Probabilidad lógica (clásica o de Laplace) Se suponen todos los posibles sucesos incompatibles entre sí e igualmente verosímiles.

¿Cual la probabilidad tener al azar un as de espadas de una baraja entre 52 cartas diferentes?

1/52 = 0.019 (1 carta posible “as de espadas”)/(52 cartas distintas)

¿Cuál es la probabilidad de obtener un 3 en un lanzamiento de 1 dado seis caras?

1/6 = 0.17 (1 cara posible “3”)/(6 caras distintas)

El bombo de una lotería contiene los números desde 000 a 999 ambos inclusive. Se extrae la una única bola. La persona A ha comprado los números (233, 323 y 332) y la persona B ha comprado los números (134, 243, 324, 332, 423 y 432). ¿Cuál es la probabilidad de cada persona?

Persona A: 3/1000=0.003 (3 posibles números)/(1000 posibles números)

Persona B: 6/1000=0.006 (6 posibles números)/(1000 posibles números)

¿Cuál es la probabilidad de obtener la puntuación 5 al lanzar dos dados de seis caras?

Dado A

1 2 3 4 5 6

Dad

o B

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

4/36=0.11 (4 combinaciones)/(36 combinaciones)

2.2.2. Probabilidad empírica o frecuencialista La probabilidad frecuencialista se estima mediante la repetición de idénticas experiencias. La probabilidad como límite de la frecuencia requiere un número de observaciones tendiente a infinito.


Este tipo de experiencias no puede ser extrapolado a otras situaciones.

¿Cuál es la probabilidad de que una puntilla quede con la punta hacia arriba al ser lanzada sobre una superficie lisa? Se realizan 10 pruebas, cada una de ellas lanzando 10 puntillas, tanto el siguiente conjunto de resultados favorables:

0, 2, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0 y 0. 5 casos favorables

Probabilidad: 5/(10x10)=0.05 (5 casos favorables)/(100 casos favorables)

Las probabilidades empíricas se calculan a partir de los datos registrados sobre el fenómeno. Al

calcular las probabilidades frecuencialistas yaplicarlas a situaciones reales se deben tomar

precauciones como:

Al ser una probabilidad empírica, la fiabilidad del cálculo depende del número de

repeticiones del-experimento.

Los elementos inspeccionados deben proceder del mismo grupo de unidades (máquina de

fabricación).

El proceso del que se toman los elementos examinados debe permanecer en condiciones

normales y no debe realizarse modificación alguna durante la toma de la muestra.

En caso de no ser posible inspeccionar todas las piezas se debe seleccionar una muestra

aleatoria.


¿Cuál es la probabilidad de lanzar una moneda y que salga cara (C)?

Lanzamiento nº

Resultado ("C" o "X")

Nº de "C"

Frecuencia

1 C 1 1,000

2 C 2 1,000

3 X 2 0,667

4 C 3 0,750

5 C 4 0,800

6 C 5 0,833

7 C 6 0,857

8 C 7 0,875

9 X 7 0,778

10 X 7 0,700

11 X 7 0,636

12 C 8 0,667

… … … …

60 C 27 0,450

61 X 27 0,443

62 X 27 0,435

63 C 28 0,444

… … … …

98 C 45 0,459

99 X 45 0,455

100 X 45 0,450

Lanzamiento nº

Resultado ("C" o "X")

Nº de "C"

Frecuencia

1 X 0 0,000

2 C 1 0,500

3 C 2 0,667

4 C 3 0,750

5 X 3 0,600

6 C 4 0,667

7 C 5 0,714

8 X 5 0,625

9 X 5 0,556

10 C 6 0,600

11 C 7 0,636

12 X 7 0,583

… … … …

60 C 30 0,500

61 X 30 0,492

62 X 30 0,484

63 C 31 0,492

… … … …

98 X 46 0,469

99 X 46 0,465

100 X 46 0,460

0,000

0,200

0,400

0,600

0,800

1,000

1,200

0 20 40 60 80 100 120

Series1

0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0 20 40 60 80 100 120

Series1


2.2.3. Probabilidad subjetiva No depende de los experimentos repetidos; sino que se considera una creencia individual sobre la

posibilidad de ocurrencia de un determinado suceso.

2.3 Axiomática y propiedades de la Probabilidad ( s ) Elemento o átomo es cada resultado de un experimento individual. Suceso Simple P.E., los sucesos simples de lanzar un dado de 6 caras es obtener un

{1}, {2}, {3}, {4}, {5} o {6}. Suceso Compuesto Es la unión de resultados individuales (sucesos simples). P.E., el

suceso compuesto B, al lanzar un dado de 6 caras. Definido B como

obtener par: B={2, 4, 6}={2} {4} {6}

( ) Suceso Imposible o Conjunto Vacío. P.E., el suceso de obtener un valor negativo al lanzar un dado de 6 caras.

( S ) Espacio Muestral es el conjunto de todos los posibles resultados de un experimento.

El Espacio Muestral Discreto responde a uno de los siguientes casos:

- Conjunto finito de resultados. - Conjunto infinito numerable de resultados.

El Espacio Muestral Continuo responde a conjunto de infinito no numerable de resultados.


2.3.1. Operaciones de la teoría de conjuntos Se utilizan para construir sucesos.

Operación Diagrama Descripción Propiedades

Unión de conjuntos ( )

suceso que contiene todos los resultados que pertenecen sólo a A, sólo a B, o ambos A y B.

, entonces

Intersección de conjuntos ( )

suceso que contiene todos los resultados que pertenecen a ambos A y B.

, entonces

Suceso complementario

( )

suceso que contiene todos los resultados del espacio muestral (S) que no pertenecen al suceso A.

Diferencia de conjuntos ( )

suceso que contiene todos los resultados que pertenecen a A, pero no pertenecen a B.

Leyes de Morgan


Concepto de partición ( S ) Los sucesos A1, A2, …, Ak constituyen una partición de S si cumplen las siguientes condiciones:

A1, A2, …, Ak son sucesos recíprocamente (o mutuamente) excluyentes (o disjuntos).

A1, A2, …, Ak son sucesos exhautivos.

Un disco de 20 cm de diámetro se arroja aleatoriamente a un suelo pavimentado con losetas cuadradas de 40 cm de lado. Si se designa por C al suceso de que el disco esté contenido en una única loseta, ¿cuál es la probabilidad de que ocurra el suceso C?

Noción intuitiva de probabilidad Se realizan n intentos, en los cuales ha ocurrido N veces el suceso A. La probabilidad del suceso, P(A), representa el valor de frecuencia relativa:

Axiomática de la probabilidad La probabilidad es una función de conjunto P que asigna a cada suceso de (álgebra ) del espacio muestral S, un número P(A), llamado probabilidad del suceso A, que satisface los siguientes axiomas.

1)

2) 3) Si es un conjunto finito de sucesos, cada uno de ellos perteneciente al

álgebra , tales que sean mutuamente excluyentes de dos en dos

( ), se verifica:

3 bis) Si es un conjunto infinito de sucesos, cada uno de ellos perteneciente al

álgebra , tales que sean mutuamente excluyentes de dos en dos (

), se verifica:


Propiedades de la probabilidad

1. . Demostración:

;

2. . Demostración:

;

3. Si entonces

4. Si entonces . Demostración:

5. . Demostración:

Corolarios

a)

b)

En una empresa hay dos máquinas A y B. Se conocen las probabilidades siguientes de un llenado correcto:

¿Calcular la probabilidad de que al menos una de las dos máquinas realice correctamente la operación de llenado?


6. .

Demostración:

7. Continuidad. Para toda sucesión monótona de sucesos de S.

8. Subaditividad infinita.

En una empresa hay tres máquinas A, B y C. Se conocen las probabilidades siguientes de un llenado correcto:

¿Calcular la probabilidad de que al menos una de las dos máquinas realice correctamente la operación de llenado?


2.4 Métodos de enumeración Principio de multiplicación Se dispone de dos experimentos, y .

Se disponen de formas distintas de asociar ambos experimentos.

Exp.

…

Exp

.

…

…

… … … … …

…

Sea la clasificación de los pacientes alérgicos a una sustancia, los cuales pueden ser hombres (H) o mujeres (M). Además, dependiendo de la droga administrada se puede clasificar en droga (A), droga (B) o (P)lacebo. Considerando la asignación de cada tipo de paciente con cada droga, ¿Cuántas combinaciones distintas pueden existir?

Existen (2 tipos de pacientes) x (3 tipos de droga) = 6 combinaciones

(H,A) (H,B) (H,P) (M,A) (M,B) (M,P)


Sin repetición Con repetición

Permutaciones.

Número de ordenaciones diferentes:

{a,b,c } (a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (b,c,a) (c,a,b) (c,b,a)

n objetos distintos (a,b,…,n)

n1 objetos de tipo (a)

n2 objetos de tipo (b)

…

nk objetos de tipo (c)

Variaciones de orden r de n objetos.

Número de ordenaciones diferentes

{a,b,c,d,e,f,g,h,I,j,k} (a,b,c) (a,c,b) (b,a,c) (b,c,a)

(c,a,b) … (h,i,j)


(a,b,c) (a,a,b) (a.a.c) (c,d,e)…


(a,a,a) (a,a,b) (a.a.c) (a,b,a)…

Combinaciones de r elementos.

El orden es irrelevante

{a,b,c,d,e,f,g,h,I,j,k} (a,b,c)=(a,c,b)=(b,a,c)=(b,c,a)=…


(a,b,c) (a,c,b) (a,a,a)..(b,c,d)


(a,a,a) (a,a,b) (a.a.c) (a,b,a)…


Se pide evaluar el plazo de finalización de 7 proyectos en curso, y ordenarlo con respecto a dicho o plazo. ¿Cuántas ordenaciones diferentes son posibles si no existen fechas duplicadas?

(existe orden) (ordenación de todos los elementos)

(no hay repetición)

Permutaciones sin repetición

¿Cuántas palabras diferentes (tengan significado o no) se pueden formar con las letras de la palabra “alma”?

(existe orden) (ordenación de todos los elementos)

(con repetición)

Permutaciones con repetición

Letra “a”, na=2 Letra “l”, nl=1

Letra “m”, nm=1

Un dado de 6 caras se lanza 5 veces. ¿Cuál es el número de los posibles resultados ordenados?

(existe orden) (ordenación de r=5 elementos de algunos de los posibles resultados (6))

(con repetición)

Variaciones con repetición

Número de todos los elementos, n=6 Número de repeticiones, r=5


Se dispone de 15 candidatos para cubrir 8 puestos de trabajo. 10 de los candidatos residen en la región A y 5 candidatos en la región B. y toda combinación de candidato tiene la misma probabilidad, ¿cuál es la probabilidad de que ningún candidato resida en la región B?

(No existe orden) (Sin repetición)

Combinaciones sin repetición

Número de combinaciones totales:

Número de combinaciones únicamente con candidatos de la región A:

Probabilidad de combinaciones de región A:

45/6435=0.00699 (45 posibles combinaciones A)/(6435 posibles combinaciones)

Se desea realizar un juego de dominó. Cada ficha contendrá una combinación de dos números, pudiendo existir doble (6-6). A diferencia del dominó clásico, se utilizarán los números {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. ¿Cuántas fichas hay que crear sin contener piezas repetidas?

(No existe orden) (Con repetición)

Combinaciones con repetición

Número de combinaciones:

2.5 Probabilidad condicional Consiste en estudiar cómo cambia la probabilidad de un suceso ( ) sabiendo que ha ocurrido

otro suceso distinto ( ) anteriormente. Probabilidad condicional del suceso A, sabiendo que ha ocurrido el suceso B.

donde


Se puede extender a más de dos sucesos.

donde

Disponiendo de dos proveedores se inspeccionan piezas de ambos proveedores como se resume en la tabla siguiente.

Piezas

Defectuosas Correctas Total

Proveedor A 10 40 50

Proveedor B 20 130 150

Total 30 170 200

a) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza seleccionada al azar sea defectuosa?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza haya sido suministrada por el

proveedor A?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza haya sido suministrada por el

proveedor A sabiendo que es defectuosa?

d) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza haya sido suministrada por el

proveedor A y sea defectuosa?

e) ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza haya sido suministrada por el

proveedor A o sea defectuosa?


Corolario

Corolario

Una empresa posee 25 clientes (10 de la ciudad C1, 8 de la ciudad C2 y 7 de la ciudad C3) los cuales encargan únicamente un proyecto al año. ¿Cuál es la probabilidad de que los dos primeros proyectos del año provengan de clientes de la ciudad C1?

Probabilidad solicitada:

Probabilidad de que el primer proyecto provenga de la ciudad C1:

Probabilidad de que el segundo proyecto provenga de la ciudad C1, sabiendo que el

primer proyecto provenía de la ciudad C1.

La probabilidad solicitada es:

Corolario (Regla de la multiplicación)

Sucesos independientes (mutuamente independientes)

Para dos sucesos:


Tenemos 4 válvulas {1,2,3,4}, todas con la misma probabilidad de ser extraídas

. Se definen los siguientes sucesos compuestos:

¿Son independientes los sucesos A y B?

son independientes

¿Son independientes los sucesos A, B y C?

no son independientes

Corolarios

a) Si el suceso A es independiente del suceso B se cumple:

b) Si el suceso A es independiente del suceso B, el suceso B es independiente del suceso A.


Un sistema electrónico formado por 3 componentes independientes entre sí conectados como en la figura. Para que el conjunto funcione debe funcionar correctamente el componente A y alguno de los componentes B o C. ¿Cuál es la proporción de que el sistema funcione conociendo las probabilidades de funcionamiento de cada componente por separado?

Por ser independiente el componente A y el conjunto de componentes BC:

Ahora desarrollamos:

Como los componentes B y C son independientes tenemos:

Al unir [1], [2] y [3]:

2.6 Teorema de la Probabilidad Total Sea una partición de S, {A1, A2, …, An} (exhaustivos y excluyentes 2 a 2 con ), y B otro suceso de S. Resulta que:


2.7 Teorema de Bayes Sea una partición de S, {A1, A2, …, An} (exhaustivos y excluyentes 2 a 2 con ), y B otro

suceso de S (con ). Resulta que:

Para la fabricación de artículos se usan tres másquinas (M1, M2 y M3). Supóngase que se fabricaron el 20% con la máquina M1, el 30% con la máquina M2 y el 50% con la máquina M3. Si las tasas de fallos de cada máquina son respectivamente el 1% para M1, el 2% para M2 y el 3% para M3. ¿Cuál es la probabilidad de que una pieza defectuosa haya sido fabricada por la máquina M2? Probabilidad de que una pieza sea fabricada por:

Probabilidad de fabricar una pieza defectuosa por cada máquina:

2.2 métodos de cálculo -...

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