2.2.2 平面与平面平行的判定

11 、空间两条直线的位置关系、空间两条直线的位置关系

①① 相交直线相交直线

②② 平行直线平行直线

③③ 异面直线异面直线

------------------ 有且仅有一个公共点有且仅有一个公共点

---------------- 在同一平面内在同一平面内 ,, 没有公共点没有公共点

-------------- 不同在不同在任何任何一个平面内一个平面内 ,, 没有公共点没有公共点

(1) 直线和平面有哪些位置关系 ?

α

a

直线在平面 α 内 a⊂α

有无数个交点

直线与平面 α 相交 a ∩ α= A 有且只有一个交点

αA

aa

α

直线与平面 α 平行a α ∥

无交点

两个平面平行 : 没有公共点

两个平面相交 : 有一条公共直线

画两平面平行时 , 要使表示平面的平行四边形的对应边平行

, 平面 平行平面 记作 ∥

11 、空间两个平面的位置关系、空间两个平面的位置关系

如果不在一个平面内的一条直线如果不在一个平面内的一条直线和平面内的一条直线平行和平面内的一条直线平行 ,, 那么这条那么这条直线和这个平面平行直线和这个平面平行 ..

线线平行 线面平行

线面平行的线面平行的判定定理判定定理

（ 1 ）平面 β 内有一条直线与平面 α平行， α ， β 平行吗？（ 2 ）平面 β 内有两条直线与平面 α平行， α ， β 平行吗？

A

DC

B

D1

A1 B1

C1

F

E

定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．

平面与平面平行判定定理平面与平面平行判定定理

//

//

=∩

⊂

⊂

b

a

Pba

b

a

//⇒

β

b aP

线面平行 面面平行

平面与平面平行的平面与平面平行的判定定理判定定理

βbP

α

a

C

怎样证明？

（ 1）定义法：证明平面与平面无公共点；

（ 2）判定定理：

怎样判定平面与平面平行？

.//⇒//,//,=,⊂,⊂ baPbaba

1 ．判断下列命题是否正确，正确地说明理由，错误的 举例说明

尝试训练尝试训练

（ 2）一个平面 内两条不平行的直线都平行于另一个平

面 ，则

αβ βα //

⊂ //n,//m,⊂n，（ 1）已知平面 和直线 , 若

则 βα //

βα, nm, m

（ 3）如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行。

2. 平面 与平面 平行的条件可以是 ( )βα

（ A） 内有无数条直线都与 平行α β

（ B）直线 a∥, 且 a∥

（ C）直线 ，直线 ，且 a∥ ， b∥

（ D） 内的任何直线都与 平行

⊂a ⊂b

例 1 ： 已知正方体 ABCD-A1B1C1D1，求证：

平面 AB1D1// 平面 C1BD ．

典型例题典型例题

A B

CD

A1

D1 C1

B1 E

F

M

N

变式：已知正方体 ABCD-A1B1C1D1， M、 N、E、 F分别是棱 A1B1， A1D1， B1C1 ， C1D1的中点。求证：平面 AMN// 平面 EFDB ．

例题分析例题分析

例例 22 、如图：、如图： AA 、、 BB 、、 CC 为不在同一直线上为不在同一直线上的的

三点，三点， AAAA1 1 BBBB1 1 CCCC11

求证：平面求证：平面 ABC//ABC// 平面平面 AA11BB11CC11

=∥ =∥

B

A1

B1

C1

A

C

例 3 、已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 ，

求证：平面 AB1D1∥ 平面 C1BD 。

例 4 ：已知点 P在△ ABC所在的平面外，点 A’ 、B’ 、 C’ 分别是△ PAB、△ PBC、△ PAC的重心 .求证：平面 A’B’C’∥ 平面 ABC

作辅助线：连结 PA’ 、PB’ 、 PC’ 并分别延长交 AB、 BC、 AC于 D

、 E、 F点，连结 DE

、 DF、 EF.

P

AA’

C’B’ C

D E

F• •

•

1 ．证明平面与平面平行的方法：

（ 1）利用定义（ 2）利用判定定理

2．数学思想方法：

知识小结知识小结

平面与平面没有公共点

直线与直线平行 直线与平面平行 平面与平面平行？

转化的思想 :

例 1 求证：垂直于同一条直线的两个平面 平行 .

已知： α⊥AA’ ， β⊥AA’

求证： α∥β

A

A’

α

β

γ

a

a’

δ

b

b’

例 2 求证：平行于同一个平面的两个平面平行 .

已知： α∥γ， β∥γ求证： α∥β

构造：两个相交的平面M和 N平面，分别与 α、 β、γ平面相交与 a、c、 e和 b、 d、 f

α

β

γ

c

e

aM b

d

f

N