2.2.2 平面与平面平行的判定

高一数学备课组

2 、空间两平面的位置关系有哪些 ?

我们来思考：

a a

// 无

一条公共直线

位置关系

两平面平行

两平面相交

公共点个数图形语言 符号语言

思考：三角板的两条边所在直线分别与桌面平行，三角板所在平面与桌面平行吗？

思考：三角板的一条边所在直线与桌面平行，这个三角板所在平面与桌面平行吗？

β

β

生活中的例子：你知道建筑师如何检验屋顶平面与水平面是否平行的吗？

思考：通过以上实验，是否能得出平面 α 内有两条直线平行于平面 β ，那么平面 α 与平面 β就一定平行？

α

β

A

DC

B

D1

A1 B1

C1

F

E

l

ab

α

β l

p

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平面与平面平行的平面与平面平行的判定定理判定定理 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。则这两个平面平行。

//

//

//

b

a

Pba

b

a

线面平行 面面平行

α

α ∥ β

β ab

P

如果一个平面内有两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，那么这两个平面平行 .

α

β

a b推论 :

ppp

p

基础尝试性练习

判断下列命题是否正确：（ ） 1 、如果一个平面内有两条直线平行于另一个 平面，那么这两个平面平行；（ ） 2 、如果一个平面内有两条不平行的直线都平 行于另一个平面，那么这两个平面平行； （ ） 3 、如果一个平面内有无数条直线分别平行于 另一个平面，那么这两个平面平行；（ ） 4 、如果一个平面内任意一条直线都平行于另 一个平面，那么这两个平面平行 .

理论迁移

例 1 在正方体 ABCD-A′B′C′D′中 . 求证：平面 AB′D′∥ 平面 BC′D.

BA

A′B′

C′D′

CD

已知正方体 ABCD-A1B1C1D1 中， M ，N ， E ， F 分 别 是 棱A1B1 ， A1D1 ， B1C1 ， C1D1 的中点，求证：平面 AMN∥ 平面 EFDB

定理应用

A B

CD

A1

C1D1

B1

E

F

M

N

能力训练

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A B

CD

A1

C1D1

B1

E

F

M

N

1 1 ,证明：连接BD MF1 1 1 1, ,A B A D M,N,E,F分别是棱 1 1 1 1,B C C D的中点，

∴MN∥B1D1 B1D1∥EF∴MN∥EF

EF 平面DBEF,又 MN 平面DBEFMN∥ 平面 BDFE

1 1 1 1在正方体ABCD-ABCD中，MF∥A1D1, A1D1∥AD∴MF∥AD且MF=A1D1= ADADFM为平行四边行，

AM DF∥ 又 AM 平面DBEF 又 DF 平面DBEF

∴ AM∥平面 DBEF 又AM MN=M∴平面 AMN∥ 平面 EFDB

拓展探究如图， ABCD和 ABEF 均为正方形， M、 N分 别 是 对 角 线 AC 、 BF 上 的 一 点 ， 且AM=FN ，如果过 MN 作一平面平行于平面BCE ，应该怎样画线？

定理应用

A B

C

EFN

M

D

G

E

A B

C

F

D

G

M

N

新知识总结

通过这节课的学习，你觉得掌握了哪些知识和方法？有哪些体会？

平面和平面平行的判定方法： 线面平行 面面平行

（ A组） P62 习题 2.2 A 组 第 7 题；

（ B组）如右图， B 为△ ADC 所在平面外一点，

M 、 N 、 G 分 别 为△ ABC 、△ ABD 、△ BCD 的重心，

求证：平面 GMN∥平面 ACD.

作业 以下两组中任选一组做作业：

A

B

C

D

G

N

M

1 1 1 1

1 1 1 1

, ,

,

,

A B A D

B C C D

1 1 ,

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1 1

证明：连接BD MF

M,N,E,F分别是棱

的中点，

MN BD EF BD则MN EF

又 MN 平面DBEF EF 平面DBEF

MN 平面DBEF

在正方体ABCD-ABCD中，MF AD AD AD

MF AD ADFF为平行四边行， AM DF

又 AM 平面DBEF 又 DF 平面DBEF

AM 平面DBEF 又AM

MN=M

平面AMN 平面DBEF

A BC

D

A1

C1D1

B1E

F

M

N

P

A

B

CD E

F

例 2 在三棱锥 P-ABC 中，点 D 、 E 、F 分别是△ PAB 、△ PBC 、△ PAC的重心，求证：平面 DEF// 平面 ABC.

M N

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