2.3.4 平面与平面垂直的性质
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数学人教 A 必修 2· 第二章点、直线、平面之间的位置关系. 2.3.4 平面与平面垂直的性质. 作者/ 制作/ 授课: 程小全. b. 二、提出问题:. 一、复习引入. 1 、平面与平面垂直的 定义. 两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。. 2 、平面与平面垂直的 判定定理. 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。. 该结论正确吗?. 符号表示:. D 1. C 1. A 1. B 1. D. C. A. B. 三、探索研究. 两个平面垂直,其中一个平面的直线不一定垂直于另一个平面。. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
数学人教 A 必修 2· 第二章点、直线、平面之间的位置关系
作者/ 制作/ 授课: 程小全作者/ 制作/ 授课: 程小全
1 、平面与平面垂直的定义
2 、平面与平面垂直的判定定理一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。符号表示:
b
两个平面相交,如果它们所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直。
b b
二、提出问题:
该结论正确吗?
1. 观察实验( 1 )观察黑板所在的平面和地面,它们是互相垂直的,那么黑板所在的平面里的任意一条直线是否就一定和地面垂直?
( 2 )观察长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,平面 AA1D1D与平面 ABCD 垂直, AA1 垂直交线 AD ,平面 AA1D1D 内的直线 AA1 与平面 ABCD 垂直吗 ? D1D 呢?
两个平面垂直,其中一个平面的直线不一定垂直于另一个平面。
两个平面垂直,其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面。
A B
CD
A1 B1
C1
D1
b
2. 概括结论
l lb
b
lb
A
O
.,,, BCDABABCD 于已知
.: AB求证
则∠ ABE 就是二面角 -CD- 的平面角 ∵ , ∴AB⊥BE( 平面与平面垂直的定义 )
又由题意知 AB⊥CD,且 BE CD=B
E
证明 : 在平面 内作 BE⊥CD,垂足为 B.
∴ AB⊥ ( 直线与平面垂直的判定定理 )
D
C
A
B
3. 严格证明
l
b
l lb
b
b
两个平面垂直 , 则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直 .
简述为:面面垂直 线面垂直
符号表示:
1. 平面与平面垂直的性质定理:
b
b
β
α
P
a
2. 思考 : 设平面 ⊥平面 ,点 P 在平面 内,过点 P 作平面 的垂线 a ,直线 a 与平面 具有什么位置关系 ?
β
α
P
a
直线 a 在平面 内注:过一点只能作一条直线与已知平面垂直。
CC
×
×
1 例 、已知:两个平面 与 互相垂直,判断下列命题是否正确:
(1)若b ,则b 。
l b l b (2)若 =, 则 。
l
例 2 、 , , ,a a a 判断 与 位置关系
解:设 α
β
a
l
l b在 α内作直线 b⊥l
l
b
b l
b a 又
//a bb
a
//a
1: 已知两个平面垂直,下列命题中正确的有( )个
① 一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线;
② 一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线;
③ 一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面;
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
C
2: 如图, AB 是⊙ O 的直径, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点,平面 PAC⊥ 平面ABC ,
BO
P
A
C
(2) 求证:平面 PBC ⊥ 平面 PAC(1) 求证: BC ⊥ 平面 PAC
(1) 证明:∵ AB 是⊙ O 的直径, C 是圆周上不同于 A, B 的任意一点 ∴∠ ACB=90°∴BC⊥AC 又∵平面 PAC⊥ 平面 ABC ,平面 PAC∩平面 ABC= AC, BC 平面 ABC ∴BC⊥ 平面 PAC
(2) 又∵ BC 平面 PBC ,∴平面 PBC⊥平面 PAC
1 、平面与平面垂直的性质定理:两个平面垂直,则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。2 、空间垂直关系有那些?
请指出下图中空间垂直关系转化的定理依据?
① 线面垂直的判定定理 ② 线面垂直的定义
③ 面面垂直的判定定理 ④ 面面垂直的性质定理
④
③
②
①线线垂直 线面垂直 面面垂直
P73 习题 2.3A 组:5.P74 习题 2.3B 组:4.
, , ,
// , ,
a AB
a a AB a
探究(P72):已知平面 , ,直线 且试判断直线 与平面 的位置关系。
α
β
a
B
A
b