25η Διάλεξη - Καθετότητα, ορθογωνιότητα και Θεμελειώδες...
DESCRIPTION
Ορισμοί, έννοιες, θεωρήματα αποδέιξειςTRANSCRIPT
Γραμμική Αλγεβρα
Καθετότητα και Ορθογωνιότητα
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
15 Δεκεμβρίου 2013
Μήκος Διανύσματος
‖x‖2 = x21 + x22 + . . . + x2n
‖x‖ =√xTx
Μήκος Διανύσματος
‖x‖2 = x21 + x22 + . . . + x2n
‖x‖ =√xTx
Μήκος Διανύσματος
‖x‖2 = x21 + x22 + . . . + x2n
‖x‖ =√xTx
Καθετότητα Διανυσμάτων
‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x − y‖2
Θεώρημα
x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν xTy = 0
Ορισμός
Ο αριθμός xTy λέγεται εσωτερικό γινόμενο
Καθετότητα Διανυσμάτων
‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x − y‖2
Θεώρημα
x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν xTy = 0
Ορισμός
Ο αριθμός xTy λέγεται εσωτερικό γινόμενο
Καθετότητα Διανυσμάτων
‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x − y‖2
Θεώρημα
x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν xTy = 0
Ορισμός
Ο αριθμός xTy λέγεται εσωτερικό γινόμενο
Καθετότητα Διανυσμάτων
‖x‖2 + ‖y‖2 = ‖x − y‖2
Θεώρημα
x και y είναι κάθετα μεταξύ τους ανν xTy = 0
Ορισμός
Ο αριθμός xTy λέγεται εσωτερικό γινόμενο
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0⇒
vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0⇒
c1vT1 v1 + c2v
T1 v2 + . . .+ cnv
T1 vn = 0⇒
c1||v1|| = 0⇒ c1 = 0
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0
⇒
vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0⇒
c1vT1 v1 + c2v
T1 v2 + . . .+ cnv
T1 vn = 0⇒
c1||v1|| = 0⇒ c1 = 0
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0⇒
vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0
⇒
c1vT1 v1 + c2v
T1 v2 + . . .+ cnv
T1 vn = 0⇒
c1||v1|| = 0⇒ c1 = 0
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0⇒
vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0⇒
c1vT1 v1 + c2v
T1 v2 + . . .+ cnv
T1 vn = 0
⇒
c1||v1|| = 0⇒ c1 = 0
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0⇒
vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0⇒
c1vT1 v1 + c2v
T1 v2 + . . .+ cnv
T1 vn = 0⇒
c1||v1|| = 0
⇒ c1 = 0
Καθετότητα & Γραμμική Ανεξαρτησία
Θεώρημα
Εάν ένα σύνολο διανυσμάτων είναι ανά δύο κάθετα μεταξύ τους
τότε αυτά είναι γραμμικά ανεξάρτητα.
Απόδειξη.
c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn = 0⇒
vT1 (c1v1 + c2v2 + . . .+ cnvn) = 0⇒
c1vT1 v1 + c2v
T1 v2 + . . .+ cnv
T1 vn = 0⇒
c1||v1|| = 0⇒ c1 = 0
Ορθογώνιοι Υπόχωροι
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
Rn) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο
σε κάθε διάνυσμα w ∈W .
Παράδειγμα:
V =
c1
140
+ c2
−170
, c1, c2 ∈ R
W =
d
00−3
, d ∈ R
Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
Rn) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο
σε κάθε διάνυσμα w ∈W .
Ορισμός
Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn, ο χώρος όλων των ορθογωνίων
διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V καισυμβολίζεται με V⊥
.
Θεώρημα
W = V⊥ ⇒ V = W⊥,(V⊥)⊥ = V
Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
Rn) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο
σε κάθε διάνυσμα w ∈W .
Ορισμός
Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn, ο χώρος όλων των ορθογωνίων
διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V καισυμβολίζεται με V⊥
.
Θεώρημα
W = V⊥ ⇒ V = W⊥,
(V⊥)⊥ = V
Ορθογώνιοι Υπόχωροι - Ορθογώνιο Συμπλήρωμα
Ορισμός
Δύο υπόχωροι V και W του ίδιου διανυσματικού χώρου (πχ του
Rn) είναι ορθογώνιοι εάν κάθε διάνυσμα v ∈ V είναι ορθογώνιο
σε κάθε διάνυσμα w ∈W .
Ορισμός
Δοθέντος ενός υπόχωρου V ⊂ Rn, ο χώρος όλων των ορθογωνίων
διανυσμάτων στον V λέγεται ορθογώνιο συμπλήρωμα του V καισυμβολίζεται με V⊥
.
Θεώρημα
W = V⊥ ⇒ V = W⊥,(V⊥)⊥ = V
Παράδειγμα
Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Αλγεβρας (μέρος 2ο)
N (A) =(R(AT )
)⊥
R(AT ) = (N (A))⊥
N (AT ) = (R(A))⊥
R(A) =(N (AT )
)⊥
Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Αλγεβρας (μέρος 2ο)
N (A) =(R(AT )
)⊥R(AT ) = (N (A))⊥
N (AT ) = (R(A))⊥
R(A) =(N (AT )
)⊥
Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Αλγεβρας (μέρος 2ο)
N (A) =(R(AT )
)⊥R(AT ) = (N (A))⊥
N (AT ) = (R(A))⊥
R(A) =(N (AT )
)⊥
Θεμελειώδες Θεώρημα Γραμμικής Αλγεβρας (μέρος 2ο)
Πόρισμα
Το Ax = b έχει λύση ανν bTy = 0 οποτεδήποτεATy = 0
mΤο Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σεκάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες
του A.Παράδειγμα:
x1 − x2 = b1
x2 − x3 = b2
x3 − x1 = b3
Πόρισμα
Το Ax = b έχει λύση ανν bTy = 0 οποτεδήποτεATy = 0
mΤο Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σεκάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες
του A.
Παράδειγμα:
x1 − x2 = b1
x2 − x3 = b2
x3 − x1 = b3
Πόρισμα
Το Ax = b έχει λύση ανν bTy = 0 οποτεδήποτεATy = 0
mΤο Ax = b έχει λύση ανν το b είναι ορθογώνιο σεκάθε διάνυσμα που είναι ορθογώνιο στις στήλες
του A.Παράδειγμα:
x1 − x2 = b1
x2 − x3 = b2
x3 − x1 = b3
Πόρισμα
Η απεικόνιση του χώρου γραμμών
στον χώρο στηλών είναι
αντιστρέψιμη
m
Για κάθε b στον χώρο στηλώνυπάρχει μοναδικό xr στον χώρογραμμών
Πόρισμα
Η απεικόνιση του χώρου γραμμών
στον χώρο στηλών είναι
αντιστρέψιμη
m
Για κάθε b στον χώρο στηλώνυπάρχει μοναδικό xr στον χώρογραμμών