25 จำนวนจริง...

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

เรอง จ านวนจรง

ตอน สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

โดย

ผชวยศาสตราจารย ทพวลย สนตวภานนท

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง จ านวนจรง สอการสอน เรอง จ านวนจรง มจ านวนตอนทงหมดรวม 17 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง จ านวนจรง 2. เนอหาตอนท 1 สมบตของจ านวนจรง

- ระบบจ านวนจรง - สมบตพนฐานของระบบจ านวนจรง

3. เนอหาตอนท 2 การแยกตวประกอบ - การแยกตวประกอบ

4. เนอหาตอนท 3 ทฤษฎบทตวประกอบ - ทฤษฎบทเศษเหลอ - ทฤษฎบทตวประกอบ

5. เนอหาตอนท 4 สมการพหนาม - สมการพหนามก าลงหนง - สมการพหนามก าลงสอง - สมการพหนามก าลงสง - การประยกตสมการพหนาม

6. เนอหาตอนท 5 อสมการ - เสนจ านวนและชวง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงหนง - อสมการทเกยวของกบพหนามก าลงสง

7. เนอหาตอนท 6 เทคนคการแกอสมการ - อสมการในรปเศษสวน - การแกอสมการโดยวธการยกก าลงสอง - การแกอสมการโดยการแทนคาตวแปร - การประยกตโจทยการแกอสมการ

8. เนอหาตอนท 7 คาสมบรณ - คาสมบรณ - สมการคาสมบรณ


2

9. เนอหาตอนท 8 การแกอสมการคาสมบรณ - อสมการคาสมบรณ - โจทยประยกตอสมการคาสมบรณ

10. เนอหาตอนท 9 กราฟคาสมบรณ - กราฟคาสมบรณ

11. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 12. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 13. แบบฝกหด (พนฐาน 3) 14. แบบฝกหด (ขนสง) 15. สอปฏสมพนธ เรอง ชวงบนเสนจ านวน 16. สอปฏสมพนธ เรอง สมการและอสมการพหนาม (ก าลงไมเกนส) 17. สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง จ านวนจรง นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง จ านวนจรง (สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ) หมวด สอปฏสมพนธ ตอนท 3 (3/3) หวขอยอย 1. คาสมบรณ 2. กราฟของสมการคาสมบรณ 3. กราฟของอสมการคาสมบรณ 4. กราฟของสมการทวไปทมคาสมบรณ 5. กราฟของอสมการทวไปทมคาสมบรณ 6. แบบฝกหด จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนไดใชสอปฏสมพนธในการศกษา เรอง จ านวนจรง เกยวกบ 1. เพอใหผเรยนเขาใจฟงกชนคาสมบรณและลกษณะของกราฟคาสมบรณซงรวมถงการเลอน

หด ขยาย และพลก กราฟคาสมบรณ 2. เพอใหผเรยนเขาใจลกษณะของกราฟอสมการทมคาสมบรณหลากหลายรปแบบ ผลการเรยนร ผเรยนสามารถ 1. วาดกราฟของสมการและอสมการทมคาสมบรณแบบตาง ๆ ได


4

เนอหาในสอการสอน สอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คาสมบรณ กราฟของสมการคาสมบรณ กราฟของอสมการคาสมบรณ กราฟของสมการทวไปทมคาสมบรณ กราฟของอสมการทวไปทมคาสมบรณ แบบฝกหด


5

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


6

การใชโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad สอการสอนชดนพฒนาดวยโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad คอซอฟตแวรส ารวจเชง

คณตศาสตร เรขาคณตพลวต รน 4.06 ภาษาไทย ผใชโปรแกรมจะเรยกใชโปรแกรมไดจากเมนค าสง เมอคลกเลอกโปรแกรม จะปรากฏหนาตางดงรปท 1

ใหคลกทปม เพอเขาสการใชงาน โปรแกรมจะปรากฏหนาตางดงรปท 2 จากรปท 2 จะกลาวถงเครองมอทใชส าหรบการท างานกบโปรแกรมน คอเมนแฟม และ

กลองเครองมอ เมนแฟม ใชท างานเกยวกบแฟมขอมล ในการใชงานสอชดนใชเพยงการเปด/ปด

แฟมขอมล

กลองเครองมอ แบงเครองมอออกเปนหกประเภท ใน

ทนจะใชเฉพาะเครองมอลกศร ส าหรบเลอกหรอเคลอนยาย (หรอลาก) ออบเจกต

ในโปรแกรม ผใชโปรแกรมนจะตองเลอกเครองมอลกศร นในการท างานตลอดทงโปรแกรม

รปท 1. หนาตางแรกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


7

รปท 3. หนาตางเลอกแฟมขอมลทตองการ

o การเปด/ปด แฟมขอมล

ถาตองการเรยกโปรแกรมแฟมขอมลขนมาใชงาน ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะปรากฏ

หนาตางดงรปท 3 ใหเลอกแฟมขอมลทตองการ โดยแฟมขอมลทพฒนาจากโปรแกรม

The Geometer’s Sketchpad จะมนามสกลเปน gsp เลอกแฟมขอมลทตองการ แลวคลกท

แลวจะปรากฏหนาตางของโปรแกรมแฟมขอมลทไดเลอกไวดงรปท 5

ถาตองการปดแฟมขอมล ใหคลกทเมน เลอกค าสง จะ

ปรากฏหนาตางดงรปท 4 คอโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad จะถามวา

รายการเมน กลองเครองมอ

รปท 2. หนาตางหลกของโปรแกรม The Geometer’s Sketchpad


8

ตองการบนทกการเปลยนแปลงของแฟมขอมลหรอไม ในทนไมแนะน าใหบนทกแฟมขอมล เพราะอาจท าใหโปรแกรมทพฒนาไวมขอผดพลาดได ใหเลอกคลกทปม

เพอจะไดไมมการเปลยนแปลงโปรแกรมทพฒนาไว

เมอเรยกโปรแกรม “สอปฏสมพนธเรอง กราฟคาสมบรณ” จะปรากฏหนาตางสองหนาตางนสลบกน

รปท 5. หนาตางแรกของโปรแกรม

จากหนาตางนจะสงเกตไดวาทดานลางของหนาตางมรายการเมนค าสงสองระดบ ดงรป

ระดบแรก

ระดบทสอง

รปท 4. หนาตางเมอเรยกค าสงปดแฟมขอมล


9

ระดบแรกอยดานลางตดกบหนาตางทเลอกไว คอรายการเมน ดงน

ส าหรบเลอกก าหนดต าแหนงของหนาตางภายในหนาจอของเรา การท างานของปมตางๆ

เลอนหนาตางไปมมบนซายของจอภาพ

ดภาพการเคลอนไหวของหนานน เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนหนาตางจอภาพ เรยกหนาสดทายของหวขอขนมาแสดงบนหนาตาง

เลอนหนาตางสอไปกลางจอภาพ ระดบทสองอยดานลางตดกบหนาตางของโปรแกรม ดงน

ส าหรบแสดงรายชอหนาตางในโปรแกรม เพอใหผใชเลอก/เปลยนการท างานไปยงหนาตางนนๆ ไดเลย เปรยบเสมอนเปนเมนลดส าหรบเลอกดหวขอ/หนาตางทตองการ การท างานของปมตางๆ

เลอนไปหนาแรกของหวขอนน เรยกหนาสารบญขนมาแสดงบนจอภาพ

แถบตอมาเปนรายการหวขอยอยในหวขอ “บทนยามของคาสมบรณ” เชน

ผใชสามารถคลกทแถบนเพอเลอนไปทหนานนๆ ไดทนท แถบเลอนหนาตาง ใชส าหรบเลอนเพอเลอกดรายการหวขอยอยดานลาง

แถบเลอน ใชส าหรบเลอนดขอมลในหนาตางไปทางดานซาย/ขวา หรอถาอยในแนวตงกใชส าหรบเลอนขอมลในหนาตางขน/ลง


10

การเรมตนใชงานสอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ ผใชตองคลกท เพอเปลยนการท างานไปทหนาสารบญ หนาตางสารบญจะแสดงดงน

ผใชสามารถเลอกโปรแกรมสอปฏสมพนธ เรอง กราฟคาสมบรณ จากหนาตางสารบญทแสดงรายการบทเรยน ซงแบงออกเปน 6 หวขอ คอ

1. คาสมบรณ 2. กราฟของสมการคาสมบรณ 3. กราฟของอสมการคาสมบรณ 4. กราฟของสมการทวไปทมคาสมบรณ 5. กราฟของอสมการทวไปทมคาสมบรณ

6. แบบฝกหด โดยผใชจะตองคลกเลอกหวขอทลอมรอบดวยกรอบสเหลยม เพอเขาดรายละเอยดของหวขอนนได ในกรณทผใชตองการเปลยนหวขอใหม ผใชตองออกจากหวขอเดมกอน แลวเลอกแฟมขอมลทตองการใหม จากนนใหเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลทเลอกใหม


11

1. คาสมบรณ


12

1. คาสมบรณ ส าหรบหวขอแรกในสอปฏสมพนธตอนน ผเรยนจะไดศกษาบทนยาม ความหมายทางเรขาคณตของคาสมบรณ รวมถงความหมายของเรขาคณตของผลตาง ซงผเรยนไดศกษามาบางแลวในสอประกอบการสอนเนอหาเรอง จ านวนจรง จงจะขอทบทวนและใหตวอยางประกอบดงหนาตางในสอปฏสมพนธหวขอน การเขาศกษาหวขอดงกลาว ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง คาสมบรณ กอนแลวเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลน แสดงดงหนาจอ

เมอคลกท จะปรากฏหนาตางตอไปน


13

ผเรยนสามารถเลอนเครองหมาย ไปทางซายหรอขวาเพอสงเกตผลลพธทได จากหนาตางขางตนจะไดวา 5.00 5.00 นนหมายถงระยะจาก 5 ถง 0 คอ 5 หนวย 5.00 3.00 8 8 หมายถงระยะจาก 5 ถง 3 คอ 8 หนวย หมายเหต จดแทน a และจดแทน b ซงแสดงเปนตวเลขทศนยม 2 ต าแหนงเปนเพยงคาประมาณของ a

และ b ดงนนคาประมาณของ a b ทแสดงจงอาจจะคลาดเคลอนจากระยะหางระหวางจดทงสองเลกนอย ดงแสดงในตวอยางตอไปน


14

2. กราฟของสมการคาสมบรณ


15

2. กราฟของสมการคาสมบรณ ผเรยนจะไดฝกสงเกตกราฟคาสมบรณรปแบบตาง ๆ กบการเลอนแกน รวมถงกราฟคาสมบรณทซบซอนขน โดยการปรบคาคงตวตาง ๆ ในสมการคาสมบรณ ดงหวขอตอไปน 2.1 กราฟคาสมบรณ 2.2 การเลอนแกน 2.3 กราฟคาสมบรณหลากหลายรปแบบ 2.4 กราฟคาสมบรณกบการเลอนแกน 2.5 กราฟคาสมบรณทซบซอนขน

การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง กราฟของสมการคาสมบรณกอนจงเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลดงกลาว ดงหนาจอแสดง

เมอคลกท จะปรากฏหนาตางสอปฏสมพนธกราฟของสมการคาสมบรณจ านวน 5 หนา ตามล าดบดงน


16

2.1 กราฟคาสมบรณ หนาจอแสดงกราฟ y x หรอ y x โดยการทผเรยนเลอนแถบสมการไปยงกราฟทตองการและสงเกตผลลพธทได

ส าหรบสมการ ผลลพธทไดเปนกราฟเสนตรงทมพกด x, y ซง y x ส าหรบทกจ านวนจรง x เมอเลอนแถบสมการไปยง ผเรยนจะสงเกตไดวา

x เมอ x 0 x เมอ x 0 ซงเปนผลจากนยามของคาสมบรณทแสดงถงคา y คอระยะจาก 0 ถง x ดงนนคา y จงมากกวา 0 เสมอผลลพธเปนดงจอภาพดานลาง

กราฟของสมการ y x อยเหนอแกน X ส าหรบทกจ านวนจรง x


17

นอกจากนผเรยนยงสามารถใชปมตาง ๆ ดานลางกราฟในการพจารณากราฟผลลพธได

: ขยายภาพกราฟบรเวณทตองการ

วธใช 1. คลกเพอเรมใชงาน

2. สงเกตเหน * สเขยวพรอมกรอบเสนประ กลางจอภาพ ดบเบลคลกท * พรอมลากเพอขยายในทศทางทตองการ

3. ดบเบลคลกนอกกรอบเสนประเพอเลอนกราฟไปยงต าแหนงของกราฟทตองการได

4. คลกอกครงทปม เมอก าหนดต าแหนงและขนาดทตองการขยายเรยบรอยแลว กรอบสเหลยมเสนประจะหายไป

: ก าหนดเสนกรด

วธใช ใหคลกเพอใหแสดงเสนกรด และคลกอกครงเพอลบเสนกรด

: ตงพกดเรมตน

: แสดงพกด x, y บนเสนกราฟ

วธใช 1. คลกเพอเรมใชงาน

2. ปรากฏจดสแดง ดบเบลคลกทจดพรอมลากไปตามเสนกราฟจะปรากฏพกด x, y ท สอดคลองกราฟ y x หรอ y x

หมายเหต การดบเบลคลกระนาบกราฟแลวลากเปนการเลอนเปลยนมมมองกราฟ 2.2 การเลอนแกน ในสวนนผ เ รยนจะไดศกษารปแบบสมการคาสมบรณกบการเลอนแกนโดยพจารณ าสมการ y x a b กบคา a และ b ทแตกตางกน กอนอนเราจะขอทบทวนความรเกยวกบความสมพนธและฟงกชนทผเรยนไดศกษามาแลวในสอประกอบการสอนเนอหาเรอง ความสมพนธและฟงกชน กนสกเลกนอย เราทราบมาแลววาถาก าหนดให y f x

กราฟของฟงกชน y f x a จะมลกษณะเหมอนกราฟ y f x แตมการขยบตามแนวแกน X ถา a 0 กราฟจะขยบไปทางซายของแกน X เปนระยะ a หนวย หรอกคอ การเลอนแกนพกดไปทางขวาของกราฟนนเอง ถา a 0 กราฟจะขยบไปทางขวาของแกน X เปนระยะ a หนวย หรอกคอการเลอนแกนพกดไปทางซายของกราฟ


18

ในลกษณะคลาย ๆ กน กราฟของฟงกชน y f x b กจะมลกษณะเหมอนกราฟ y f x แตมการขยบตามแนวแกน Y ดงน

ถา b 0 กราฟจะขยบลงดานลาง b หนวย หรอกคอการเลอนแกนพกดขนไปเหนอกราฟ ถา b 0 กราฟจะขยบขนขางบน b หนวย นนคอการเลอนแกนพกดลงไปใตกราฟนนเอง

ดงนนหาก y x มลกษณะกราฟดงจอภาพ

จะไดวากราฟ y x a b จะมการขยบในแนวแกน X เปนระยะ a หนวย และขยบในแนวแกน Y เปนระยะ b หนวย ทศทางขนอยกบเครองหมายของ a และ b ตามทอธบายขางตน จงขอแสดงดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 2.1 เลอนแถบก าหนดคา a 0 และ b 0 จะไดวากราฟของสมการ y x 0 0 x นนเอง


19

ตวอยางท 2.2 ก าหนดคา a 3 และ b 0 จะไดกราฟของสมการ y x 3 ซงกราฟมลกษณะเหมอนกราฟ y x แตมการเลอนไปทางซาย 3 หนวย หรอเลอนแกนพกดไปทางขวาของกราฟ 3 หนวยแสดงดงภาพ

ตวอยางท 2.3 ก าหนดคา a 0 และ b 5 จะไดกราฟของสมการ y x 5 ซงกราฟมลกษณะ

เหมอนกราฟ y x แตมการเลอนลง 5 หนวย หรอเลอนแกนพกดขนไปเหนอกราฟ 5 หนวย แสดงดงภาพ


20

ตวอยางท 2.4 ก าหนดคา a 3 และ b 5 จะไดกราฟของสมการ y x 3 5 ซงกราฟมลกษณะเหมอนกราฟ y x แตมการเลอนไปทางซาย 3 หนวย และเลอนลง 5 หนวย แสดงดงภาพ

ผเรยนสามารถลองฝกฝนและสงเกตในลกษณะตาง ๆ โดยการก าหนดคา a และ b เปนคาอน ๆ และพจารณาการขยบตวของกราฟหรอการเลอนแกนพกดวาสมพนธกบคา a และ b อยางไร ตวอยางท 2.5 ก าหนดคา a 5 และ b 1 จะไดกราฟสมการ y x 5 1


21

ตวอยางท 2.6 ก าหนดคา a 4 และ b 2 จะไดกราฟสมการ y x 4 2

ตวอยางท 2.7 ก าหนดคา a 6 และ b 4 จะไดกราฟสมการ y x 6 4

ในหวขอตอไปผเรยนจะไดศกษากราฟคาสมบรณรปแบบอน ๆ นอกเหนอจาก y x และ y x a b ทไดศกษามาแลวในหวขอทผานมา


22

2.3 กราฟคาสมบรณหลากหลายรปแบบ ผเรยนจะไดฝกสงเกตลกษณะกราฟคาสมบรณในรปแบบ y x และ y x ในหวขอน ซงจะเหนไดวาลกษณะกราฟทไดกจะสอดคลองกบนยามของคาสมบรณนนเอง

ตวอยางท 2.8 สมการคาสมบรณ y x ผเรยนจะสงเกตเหนวากราฟของสมการนไมใชฟงกชนในรป y f x หรอฟงกชนในตวแปร x เนองจากมคา y 2 คาถกสงมาจากคา x หนงคา แตกลบกนสมการนเปนสมการของฟงกชน x f y หรอกคอ x เปนฟงกชนของ y เนองจากไมมสองคา x ใด ๆ ทสงมาจากคา y เดยกวน

y 0 y 0 ซงจะมคาเปนบวกเสมอ กราฟของสมการแสดงดงจอภาพ

ตวอยางท 2.9 สมการคาสมบรณ y x กรณ 1 : y 0

x เมอ x 0 x เมอ x 0

กราฟแสดงดงภาพ

ดงนน x f y y

วธท า

จะได y y x


23

กรณ 2 : y 0 x เมอ x 0

x เมอ x 0 กราฟแสดงดงภาพ

ดงนนเมอรวมทงสองกรณเขาดวยกนเราจงไดกราฟของสมการคาสมบรณ y x เปนดงภาพ

จะได y y x

หรอ y x


24

2.4 กราฟคาสมบรณกบการเลอนแกน ในสวนนสอปฏสมพนธแสดงกราฟรปแบบตาง ๆ ของฟงกชนคาสมบรณ f x x a b ผเรยนจะไดศกษาและ สงเกตกราฟรปแบบตาง ๆ ของ f x x a b ดงตอไปน 1. y f x 2. y f x 3. y f x 4. y f x 5. y f x 6. y f x จากทผเรยนไดศกษากราฟของ f x x a b มาแลวในหวขอ 2.2 (การเลอนแกน) ในหวขอนผจดท าสอปฏสมพนธอยากใหผเรยนไดฝกสงเกตวา เพราะเหตใดลกษณะกราฟทไดในแตละรปแบบขางตนจงเปนเชนนน ตวอยางท 2.10 ก าหนดคา a 2 และ b 5 1. 2.

y f x y f x

3. 4.

y f x y f x


25

5. 6.

y f x y f x ท านองเดยวกบตวอยางขางตน ผเรยนสามารถฝกฝนเพมเตมโดยการเปลยนคา a และ b เปนคาอน ๆ ส าหรบเหตผลของค าตอบของค าถามทผจดท าสอทงไวในหวขอน จะอธบายในหวขอ 4 เรอง กราฟของสมการทวไปทมคาสมบรณ 2.5 กราฟคาสมบรณทซบซอนขน เชนเดยวกนกบหวขอ 2.4 ผ เรยนสามารถศกษากราฟรปแบบตาง ๆ ของฟงกชนคาสมบรณทซบซอนขน f x a x b c ซงนอกจากจะมการเลอนแกนเขามาเกยวของแลว ยงมการยดหดและพลกกราฟคาสมบรณอกดวย เราจะศกษารปแบบตาง ๆ ของ f x ดงทกลาวไวในหวขอ 2.4 ดงตวอยาง ตวอยางท 2.11 ก าหนดคา a 1 b 2 และ c 5 1. 2.

y f x y f x


26

3. 4.

y f x y f x

5. 6.

y f x y f x

ตวอยางท 2.12 ก าหนดคา a 1 b 2 และ c 5 1. 2.

y f x y f x


27

3. 4.

y f x y f x

5. 6.

y f x y f x

ผเรยนเหนความแตกตางระหวางกราฟแตละรปแบบในตวอยางท 2.11 และ 2.12 หรอไม ลองอภปรายเรมตนจากกราฟ y f x ของทงสองตวอยาง ซงรวมถงอภปรายสาเหตทไมมกราฟปรากฏในรปท 2 และ 4 ในตวอยาง 2.12


28

ตวอยางท 2.13 ก าหนดคา a 2 b 2 และ c 5

1. 2.

y f x y f x

3. 4.

y f x y f x

5. 6.

y f x y f x


29

ท านองเดยวกนผเรยนสามารถอธบายความแตกตางระหวางตวอยางท 2.11 และตวอยางนไดหรอไม อยางไร สวนค าอธบายลกษณะของกราฟรปแบบตาง ๆ ทงหก ผเรยนศกษาไดในหวขอท 4 เรองกราฟของสมการทวไปทมคาสมบรณ


30

3. กราฟของอสมการคาสมบรณ


31

3. กราฟของอสมการคาสมบรณ ส าหรบหวขอทสามนกราฟจะแสดงอาณาบรเวณของอสมการคาสมบรณหลากหลายรปแบบ รวมกบการเลอนแกนและกราฟอสมการคาสมบรณทซบซอนขน ซงการเขาศกษาหวขอนผเรยนตองเลอกแฟมขอมลเรอง กราฟของอสมการสมบรณกอนจงเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมลดงแสดง

เมอคลกท จะปรากฏหนาตางกราฟของอสมการคาสมบรณจ านวน 4 หนาตามล าดบดงน 3.1 กราฟอสมการคาสมบรณ ผเรยนเลอนแถบเครองหมายไปยงเครองหมายเทากบ หรอเครองหมายอสมการทตองการ แลวกราฟจะแสดงอาณาบรเวณจดทสอดคลองกบสมการหรออสมการทเลอกไว ส าหรบสมการ y x เราไดศกษามาแลวในหวขอทผาน ๆ มา จะไดวา กราฟเสนสแดงแสดงความสมพนธของสมการ

รปท 3.1 กราฟ y x


32

ตวอยางท 3.1 หากผเรยนเลอนแถบเครองหมายมายง กราฟแสดงอาณาบรเวณดงภาพ


สงเกตไดวาเสนกราฟ y x แบงระนาบ XY ออกเปน 2 บรเวณ ผเรยนสามารถเลอกจดพกดตวแทนมาหนงจดจากแตละบรเวณแลวแทนในอสมการ y x ถาจดใดสอดคลองอสมการดงกลาว อาณาบรเวณนนคออาณาบรเวณของอสมการ

- จดพกดบนเสนสแดงสอดคลอง y x ดงนน จดพกด สอดคลอง y x ดวย

- เลอกจด 0, 4 เปนตวแทนจากอาณาบรเวณท จะได y 4 0 x นนคอ y x

- เลอกจด 5, 1 เปนตวแทนจากอาณาบรเวณท จะได y 1 5 x นนคอ y x

ดงนนกราฟ y x แสดงโดยเสนทบสแดงและบรเวณแรเงาสฟาดงรปท 3.2 ผเรยนอาจทดลองเลอกจดพกดตวแทนอนจากบรเวณทงสองเพอหาอาณาบรเวณทสอดคลองกบ

อสมการขางตนวาไดค าตอบเหมอนกนหรอไม

2

11

2


33

ตวอยางท 3.2 หากเลอนแถบเครองหมายมายง กราฟแสดงผลลพธดงภาพ

- จดพกดบนเสนประสแดงไมสอดคลองอสมการ y x กราฟจงเปนเสนประ - ท านองเดยวกนกบการตรวจสอบในตวอยางขางตน

จะไดอาณาบรเวณท สอดคลองอสมการ y x


ดงนนกราฟ y x แสดงโดยเสนประพรอมแรเงาสเขยวอาณาบรเวณท ดงรปท 3.3 ผเรยนฝกฝนสงเกตลกษณะกราฟของอสมการคาสมบรณอน ๆ โดยเลอนแถบเครองหมายไปยง

หรอ แลวตรวจสอบไดดวยตนเอง 3.2 กราฟอสมการคาสมบรณหลากหลายรปแบบ เราจะศกษาหวขอนในลกษณะเดยวกบหวขอ 3.1 โดยเรมพจารณาจากสมการรปแบบตาง ๆ ดงน y x, y x , y x และ y x

1. 2.

y x y x

2

2

1

2


34

3. 4.

y x y x ผเรยนจะเหนวากราฟของสมการ 1 – 3 จะแบงระนาบ XY ออกเปน 2 สวนดงนนการพจารณาอาณาบรเวณของอสมการ , , หรอ จะท าไดดงทอธบายในหวขอทแลว สวนสมการ y x เสนกราฟของสมการแบงระนาบ XY ออกเปน 4 สวน การพจารณาอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการท าไดในท านองเดยวกบการแบงระนาบออกเปน 2 สวน เพยงแตตองเลอกพกดตวแทนเปน 4 จด จากแตละอาณาบรเวณดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 3.3 พจารณากราฟของอสมการ y x

- จดพกดบนเสนกราฟสแดงสอดคลอง y x ดงนนจดพกด สอดคลองอสมการ y x ดวย

- เลอกจด 2, 4 เปนตวแทนจากอาณาบรเวณท จะได y 4 2 x นนคอพกด 2, 4 ไมสอดคลองอสมการ y x - เลอกจด 5, 0 เปนตวแทนอาณาบรเวณท จะได y 0 5 x สอดคลองกบอสมการ

ท านองเดยวกนเลอกจด 4, 6 และ 5, 2 เปนตวแทนอาณาบรเวณท และ ตามล าดบ เมอพจารณาแลวจะไดกราฟอสมการ y x เปนดงจอภาพ

43

2

11

2 3

4


35

ตวอยางท 3.4 กราฟของอสมการ y x

ผเรยนจะไดผสมผสานความรเรองกราฟคาสมบรณลกษณะตาง ๆ ทผานมา เพอพจารณากราฟอสมการคาสมบรณกบการเลอนแกน และกราฟอสมการคาสมบรณทซบซอนขนในสองหวขอถดไป


36

3.3 กราฟอสมการคาสมบรณกบการเลอนแกน สมการ f x x a b กคอสมการคาสมบรณ y x ทมการเลอนตามแนวแกนนอน a หนวย และตามแนวแกนตง b หนวย ผเรยนจะไดศกษาพจารณาอาณาบรเวณทสอดคลองอสมการและสมการในลกษณะตาง ๆ ดงน เรมจากสมการ

1. 2. y x 1 2 y x 1 2

3. 4. y x 1 2 y x 1 2

5. 6. y x 1 2 y x 1 2


37

จากกราฟ 1-3 สมการแบงระนาบ XY ออกเปน 2 สวน สมการท 4-6 แบงเปน 3 สวน การพจารณาอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการทตองการท าไดในท านองเดยวกนกบหวขอทผานมา

ขอสงเกต จ านวนจดพกดตวแทนทเลอกมาจะเทากบจ านวนอาณาบรเวณบนระนาบ XY ทถกตดขาดจากกนโดยโดเมนของฟงกชนและเสนกราฟของสมการทพจารณา

ตวอยางท 3.5 กราฟของอสมการ y f x เมอ f x x 1 3 วธท า จะไดวา a 1 และ b 3 1. เลอนแถบก าหนดคา a และ b เปน 1 และ 3 2. เลอนแถบมาพจารณาลกษณะของกราฟ y f x 3. เสนกราฟ y f x แบงระนาบ XY ออกเปน 5 สวน 4. เลอนแถบเครองหมายมายง ผลลพธแสดงดงภาพ

ผเรยนสามารถทดสอบไดเองโดยการเลอกจดพกดตวแทนจากแตละบรเวณมาพจารณาวาบรเวณใดสอดคลองอสมการ y f x

3.4 กราฟอสมการคาสมบรณทซบซอนขน สวนนสอน าเสนอกราฟอสมการคาสมบรณทซบซอนขนในรป f x a x b c

ตวอยางท 3.6 กราฟอสมการคาสมบรณรปแบบตาง ๆ ของ y 2 x 1 4 วธท า 1. ก าหนดคา a 2, b 1 และ c 4 2. เลอนแถบเครองหมายไปยง 3. พจารณากราฟรปแบบตาง ๆ ดงน โดยการเลอนแถบรปแบบไปยงรปแบบทตองการ


38

1. 2.

y f x y f x

3. 4.

y f x y f x 5. 6.

y f x y f x


39

4. กราฟของสมการทวไปทมคาสมบรณ


40

4. กราฟของสมการทวไปทมคาสมบรณ ในหวขอ 2.4 กราฟคาสมบรณกบการเลอนแกนและหวขอ 2.5 กราฟคาสมบรณทซบซอนขน ผจดท าไดทงค าถามใหกบผเรยนวาเพราะเหตใดรปแบบตาง ๆ ทงหกของฟงกชน f x x a b และ f x a x b c จงมลกษณะเชนนน ส าหรบหวขอนเราจะใชฟงกชนพาราโบลาเปนตวอยางอธบาย

ลกษณะกราฟทไดจากรปแบบทง 6 แบบ ซงผเรยนตองเขาแฟมขอมลเรอง กราฟของสมการทวไปทมคาสมบรณ จากนนเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมล

เมอคลกท จะปรากฏหนาตางดงตอไปน

1. 2.


41

ในหนาตางท 3 แสดงรปแบบทง 6 แบบของฟงกชนพาลาโบลา 2

f x x 2 8 นนคอ a 1 , b 2 และ c 8

3. 3.1 3. 3.2

y f x y f x

3.3 3. 3.4

y f x y f x

3.5 3.6

y f x y f x


42

ส าหรบ 5 หนาตางถดไปเปนค าอธบายรปแบบของกราฟตาง ๆ ของ f x

4. 5.

6. 7.

8.


43

หลงจากทไดศกษากราฟทมคาสมบรณในลกษณะตาง ๆ โดยอาศยพาราโบลาเปนตวอยางแลว ในหนาตางกราฟของสมการทวไปทมคาสมบรณเราสามารถดบเบลคลกทฟงกชน f x เพอแกไขฟงกชนใหเปนตามทตองการ เมอดบเบลคลกท f x จะปรากฏหนาตาง

แกไขฟงกชนไดโดย 1. คลกทกรอบสเหลยมสขาว ลบสตรฟงกชนเดมออก 2. คลกปม เพอเลอกตวแปรหรอพารามเตอร 3. ใชแปนปมตวเลขและเครองหมายด าเนนการดานลางซายของหนาตางในการชวยก าหนดฟงกชน 4. หากตองการฟงกชนพเศษ เชน abs sin cos หรอ ln ใหคลกปม เพอเลอกใชงาน 5. ผเรยนสามารถเลอกรปแบบของฟงกชน เชน y f x หรอ x f y โดยการคลกปม

เพอเลอกรปแบบ นอกจากนผเรยนยงสามารถเลอนแถบเพอแกไขคาพารามเตอร a, b หรอ c ในฟงกชนทก าหนดขนดวย เพอเปนการอธบายหวขอ 2.4-2.5 ซงเปนการพจารณากราฟ f x a x b c ใน 6 รปแบบ ดงตวอยางตอไปน ตวอยางท 4.1 จงแสดงกราฟ y f x เมอ f x x 2 5 วธท า 1. ดบเบลคลกทฟงกชน f x ในหนาตางกราฟของสมการทวไปทมคาสมบรณ 2. พมพ a abs x b c ในกรอบสขาวเพอก าหนด f x 3. ก าหนดคา a, b และ c โดยการเลอนแถบคาพารามเตอร a 1 , b 2 และ c 5 4. เลอนแถบรปแบบฟงกชนไปยง


44

ผลลพธแสดงกราฟ f x x 2 5 ซงเปนกราฟเดยวกนกบในตวอยางท 2.10

y x 2 5

ซงลกษณะกราฟ y f x เปนสวนครงขวาของกราฟ y f x รวมกบภาพสะทอนของสวนนโดยมแกน y เปนเสนสะทอน ไดกราฟดงภาพดานลางเมอเลอนแถบฟงกชนเปน

y x 2 5

ผเรยนสามารถใชค าอธบายทไดศกษามาแลวในหนาตางขางตน เพอพจารณากราฟ ผลลพธทไดในรปแบบอน ๆ ทเหลอ y f x , y f x , y f x และ y f x

ตวอยางท 4.2 จงแสดงกราฟ y f x เมอ 3

f x 4x 2

วธท า 1. ดบเบลคลกทฟงกชน f x 2. ก าหนด f x a / x b c 3. ก าหนดคา a, b และ c โดยการเลอนแถบคาพารามเตอร a 3 , b 2 และ c 4 4. เลอนแถบรปแบบฟงกชนไปยง


45

กราฟ y f x เปนสวนครงบนของกราฟ y f x โดยมแกน X เปนเสนสะทอน

กราฟ 3

y 4x 2

กราฟ 3

y 4x 2

ผเรยนควรจะฝกฝนเพมเตมโดยการเลอนแถบรปแบบฟงกชนไปยงรปแบบอน ๆ สงเกตผลลพธทไดวาเปนจรงตามค าอธบายทไดศกษามาขางตนหรอไม


46

5. กราฟของอสมการทวไปทมคาสมบรณ


47

5. กราฟของอสมการทวไปทมคาสมบรณ ในหวขอนผเรยนจะไดศกษากราฟของอสมการทมคาสมบรณเขามาเกยวของในรปแบบตาง ๆ 6 รปแบบ ดงทไดศกษามาแลวในกราฟของสมการนนคอ ผเรยนจะไดพจารณาลกษณะของกราฟรปแบบตาง ๆ โดยแทนเครองหมายเทากบในสมการดวยเครองหมายอสมการ ๆ , , และ การเขาศกษาในหวขอน ผเรยนเลอกแฟมขอมลเรอง กราฟของอสมการทวไปทมคาสมบรณ กอนเขาสหนาตางสารบญของแฟมขอมล

เมอคลกท จะปรากฏหนาตางสอปฏสมพนธตามล าดบดงน

5.1 รปแบบของกราฟอสมการทมคาสมบรณ


48

5.2 ตวอยางกราฟอสมการพาราโบลา

ในท านองเดยวกนกบหวขอท 4 เราจะใชอสมการของฟงกชนพาราโบลาทมคาสมบรณเขามาเกยวของ มาเปนตวอยางในการพจารณาอสมการรปแบบตาง ๆ ผเรยนสามารถทดลองโดยการเลอนแถบคา a, b และ c เพอก าหนดพารามเตอรของฟงกชนตามตองการ เนองจากค าอธบายของการไดมาซงอาณาบรเวณทสอดคลองกบอสมการไดมการศกษามาแลวในหวขอกอนหนาน จงขอน าเสนอผลลพธกราฟอสมการ ทง 6 รปแบบของฟงกชน

2f x 3 x 2 4

ตวอยางท 5.1 กราฟรปแบบตาง ๆ ของอสมการ ของฟงกชน 2

f x 3 x 2 4

2

y 3 x 2 4 2

y 3 x 2 4

2

y 3 x 2 4 2

y 3 x 2 4


49

2

y 3 x 2 4 2

y 3 x 2 4

ในหนาตางถดไปผเรยนจะไดเหนตวอยางอสมการรปแบบตาง ๆ ของฟงกชนไฮเพอรโบลาทมคาสมบรณเขามาเกยวของ 5.3 ตวอยางกราฟอสมการไฮเพอรโบลา

ฟงกชนไฮเพอรโบลาทเสนอในหนาตางนอยในรปแบบ a

f x cx b

เมอ a, b และ c เปนคา

คงตวทจะก าหนดลกษณะของกราฟ y f x ไดคลาย ๆ กบฟงกชนพาราโบลา คอ

คา a ก าหนดความลาดชนของกราฟ เมอ a 0 จะได

x blim f x

และ

x blim f x

เมอ a 0 จะได x blim f x

และ

x blim f x

คา b ก าหนดระยะเลอนแกนในแนวนอน คา c ก าหนดระยะเลอนแกนในแนวตง

ในตวอยางฟงกชนไฮเพอรโบลานจะมขอควรระวงขอหนงในการพจารณาอาณาบรเวณทสอดคลองอสมการทตองการเพมเตมจากทศกษามาคอ นอกเหนอจากการแบงระนาบ XY ดวยกราฟของฟงกชนเพอพจารณาแลว จะตองพจารณาการแบงดวยชวงทท าใหฟงกชน f ไมมคาเปนจ านวนจรง ดงตวอยาง

ตวอยางท 5.2 กราฟรปแบบตาง ๆ ของอสมการ ของฟงกชน 2

f x 3x 1

วธท า 1. เลอนแถบก าหนดคา a 2 , b 1 และ c 3 2. เลอนแถบเครองหมายไปยง เพอพจารณาการแบงระนาบ XY ส าหรบการหาอาณาบรเวณ

ทสอดคลองกบอสมการ y f x ทตองการ


50

3. พจารณาการแบงระนาบ XY โดยเสนกราฟ y f x จะไดบรเวณพจารณาเพยง 3 บรเวณดงภาพขางตน ผเรยนจ าเปนตองแบงบรเวณพจารณาการสอดคลองกบอสมการ y f x ทตองการเพมเตม โดยเพมการแบงโดยเสน x 1 เนองจาก x 1 ไมอยในโดเมนของฟงกชน f จะไดอาณาบรเวณพจารณาออกเปน 4 บรเวณดงภาพ

4. เลอนแถบเครองหมายไปยง ตามทตองการ กราฟรปแบบตาง ๆ ของอสมการของฟงกชน f x ผลลพธแสดงดงจอภาพ

1

2

3

1

2 3

4


51

2y 3

x 1

2

y 3x 1

2y 3

x 1

2

y 3x 1

2y 3

x 1

2

y 3x 1


52

หมายเหต การแบงบรเวณบนระนาบ XY เพอพจารณาวาบรเวณใดสอดคลองกบอสมการทมคาสมบรณมาเกยวของของฟงกชนทตองการนน จะตองพจารณาโดเมนของฟงกชนในรปแบบของอสมการทตองการดวย

5.4 สมการทวไปทมคาสมบรณ

5.5 กราฟของอสมการทวไปทมคาสมบรณ

มาถงหนาตางสดทายของบทเรยนในสอปฏสมพนธตอนนแลว ผเรยนจะไดน าความรทงหมดทไดศกษามาเพอฝกฝนโดยก าหนดฟงกชนทตองการเอง และพจารณาสมการและอสมการรปแบบตาง ๆ ทง 6 แบบ ผเรยนควรพนจพเคราะหหาเหตผลดวยตนเองและเปรยบเทยบกบผลลพธทไดจากสอปฏสมพนธหนานวาเปนจรงตามทคดหรอไม กอนทจะไปถงหวขอสดทายของสอตอนนกคอ แบบฝกหดนนเอง จะขอยกตวอยางฟงกชน f x x 5 x x 1 เพอพจารณากราฟรปแบบตาง ๆ ของสมการและอสมการ

ของฟงกชน f x น ตวอยางท 5.3 กราฟรปแบบตาง ๆ ของสมการและอสมการ ของฟงกชน f x x 5 x x 1 วธท า 1. ก าหนดฟงกชน f x โดยดบเบลคลกท f x เพอก าหนดฟงกชน 2. พมพ abs x a abs x b abs x c แลวกดปม ขอสงเกต เมอเขาแกไขฟงกชนจะมปมการท างานเพอชวยผเรยนในการแกไข ยกตวอยาง 2.1 ปมฟงกชนก าหนดฟงกชนทตองการได เชน ฟงกชนคาสมบรณพมพ abs 2.2 ปมสมการ : ก าหนดรปของสมการ เชน y f x หรอ x f y 3. เลอนแถบก าหนดคา a 5 , b 0 และ c 1 4. เลอนแถบเครองหมายไปยง 5. เลอกรปแบบตาง ๆ ทง 6 แบบไดกราฟตอไปน


53

y x 5 x x 1 y x 5 x x 1

y x 5 x x 1 y x 5 x x 1

y x 5 x x 1 y x 5 x x 1


54

6. แบบฝกหด


55

6. แบบฝกหด

จากการศกษาสอปฏสมพนธเรอง กราฟคาสมบรณทผานมา ผเรยนคงพอเขาใจและเหนประโยชนของสอปฏสมพนธเรองนไมมากกนอย หวขอนผเรยนจะไดฝกฝนการใชสอปฏสมพนธกบแบบฝกหดเกยวกบกราฟคาสมบรณ สมการของกราฟ โดยอาศยความรทกลาวมาแลว ทงนผเรยนเลอกแฟมขอมลเรอง แบบฝกหด และเขาสหนาตางสารบญ

เมอคลกท กจะเขาสหนาตางแบบฝกหดและค าถามชวนคดทงหมด 3 หนาตาง 6.1 แบบฝกหด (กราฟคาสมบรณ)

หนาตางท 1/6


56

ผเรยนสามารถใชหนาตางถดไป “กราฟคาสมบรณ” ในการเขยนกราฟในแบบฝกหดชดนโดย 1. ก าหนดฟงกชน f x โดยผ เรยนจดรปสมการหรออสมการในแบบฝกหดใหอยในรป

y f x เองกอน 2. แกไขฟงกชน f x โดยการดบเบลคลกท f x แลวพมพฟงกชน y f x ทมการจดรปแลว 3. ก าหนดพารามเตอร a, b และ c ทตองการ 4. ก าหนดรปแบบของสมการหรออสมการ

ในแบบฝกหดขอ 1, 2, 3, 4 และ 5 ผเรยนสามารถแกไข f x และเลอกรปแบบสมการ y f x ไดทนท ในทนจะขอใหตวอยางเฉลยโดยก าหนดพารามเตอรดงตวอยาง

ตวอยางเฉลยแบบฝกหดขอท 1

y 8x 3 4

ตวอยางแบบฝกหดขอท 3

x 4

y x 4


57


y 3 3 x


y x 6 x 3


58

ส าหรบแบบฝกหด (กราฟคาสมบรณ) ขอ 2 และ 6-10 สามารถก าหนดฟงกชน f x ไดดงน

c a x

f xb

y f x

ตวอยางเฉลยแบบฝกหดขอ 2

5 3 x

y 3

12 2

2

xf x b 1

a

y f x ตวอยางเฉลยแบบฝกหดขอ 6

1

2 2xy 3 1

64

ขอ 2.

ขอ 6.


59

c

f x bx a


2

y 5x 1

2a

f xx


4

y x

ขอ 7.

ขอ 8.


60

1

2 2 2f x x a


2y x 4

1

3 3 3f x a x


1

3 3 3y 8 x

ขอ 10.

ขอ 9.


61

6.2 แบบฝกหด (สมการของกราฟ)

ส าหรบหวขอนจะขอใหค าตอบไว ผเรยนทดลองฝกฝนคดดวยตนเองกบหนาตางถดไป “สมการของกราฟ” และเปรยบเทยบกบเฉลยทใหไวดงน


เฉลยค าตอบแบบฝกหด (สมการของกราฟ)

f x 4 x 6 ; y f x

f x x 4 x 4 ; y f x

f x x x ; y f x f x x 4 x 4 4 ; y f x

1

2

3

4

2

3

4

1


62

6.3 ค าถามชวนคด

ผจดท าสอปฏสมพนธกอดทจะทงค าถามชวนคดไวใหผเรยนซงไดศกษาสอปฏสมพนธตอนนมาถง 6 หวขอใหญ ๆ แลว ไดลองคดแกปญหาโจทยขอนด


ในหนาตางนยงไดใหปมตวชวยเพอผเรยนจะไดศกษาหาเฉลยดวยตวเองไดอก เมอคลกปมตวชวยจะปรากฏขอความตวชวยดงหนาจอขางลาง

ซงนกเรยนกจะไดใชหนาตางสดทาย “ตวชวยส าหรบค าถามชวนคด” ในการเขยนกราฟดงทตวชวยไดเสนอไวขางตน


63

ขนท 1

ขนท 2

ขนท 3

ผเรยนคงจะไดเหนลกษณะกราฟทเปลยนแปลงไปเมอเพมพจนรปแบบเดยวกนเขาไปเรอย ๆ ในฟงกชน f x และไดค าตอบทตองการจากการทดสอบน


64

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


65

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


66


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


67


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

25 จำนวนจริง...

Documents