2.5 coordenadas polares
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Hasta ahora, hemos representado las gráficas como colecciones de puntos (x, y) en el sistema de coordenadas rectangulares. Las ecuaciones de estas gráficas se han dado en forma rectangular o paramétrica. En esta sección introduciremos un sistema de coordenadas denominado sistema de coordenadas polares.
Para construir un sistema de coordenadas polares en el plano, fijamos un punto O, llamado el polo ( o el origen), y trazamos desde O un rayo inicial llamado el eje polar, entonces, se puede asignar a cada punto en el plano unas coordenadas polares (r, θ), como sigue:r = distancia dirigida de O a P
θ = ángulo dirigido, en sentido antihorario, del eje polar al segmento OP
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La siguiente figura muestra varios puntos en el sistema de coordenadas polares. Observemos que, en este sistema, es conveniente localizar los puntos respecto a un retículo de circunferencias concéntricas y rectas radiales que pasan por el polo.
En coordenadas rectangulares, cada punto (x, y) tiene una representación única. Esto no ocurre en coordenadas polares. Por ejemplo, las coordenadas (r, θ) y (r, 2π + θ), representan un mismo punto (véase la figura de la pizarra). Así mismo, como r es una distancia dirigida, las coordenadas (r, θ) y (-r, θ + π ), representan un mismo punto. En general el punto (r, θ) puede expresarse como:
(r, θ) = (r, θ +2nπ), o como (r, θ) = (-r, θ +(2n + 1)π),
Siendo n un entero arbitrario. Además, el polo está representado por (0, θ), donde θ es cualquier ángulo.
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CAMBIO DE COORDENADAS:
DE POLARES A RECTANGULARES Y DE RECTANGULARES A POLARES
Para establecer la relación entre las coordenadas polares y las rectangulares, hagamos coincidir el eje polar con el semieje x positivo y el polo con el origen, como se muestra en la figura. Puesto que (x, y) está sobre una circunferencia de radio r, se sigue que r2 = x2 + y2. Además, para r > 0, la definición de las funciones trigonométricas implica que:
Tg θ = y / x , cos θ = x / r , sen θ = y / r
Se puede verificar que si r < 0, se verifican las mismas relaciones
CAMBIO DE COORDENADAS
Las coordenadas polares (r, θ) de un punto están relacionadas con sus coordenadas rectangulares (x, y) por:
1. x = r cos θ 2. tg θ = y / x
y = r sen θ r2 = x2 + y2
Eje polar
yr
x(Origen)
Polo
(r, θ)
(x, y)
θ
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EJEMPLO 1: Cambiar de coordenadas polares a rectangulares para los siguientes puntos:
a). Para el punto (r, θ) = (2, π)
b). Para el punto (r, θ) = ( , π/6)3
EJEMPLO 2: Cambiar de coordenadas rectangulares a polares:
a). Para el punto del segundo cuadrante (x, y) = (-1, 1)
b). Para el punto (x, y) = (0, 2)
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EJERCICIOS PARA LA CARPETA
EJEMPLO 1: Cambiar de coordenadas polares a rectangulares para los siguientes puntos:
a). Para el punto (r, θ) = (4, π/2)
b). Para el punto (r, θ) = ( , π/4)
EJEMPLO 2: Cambiar de coordenadas rectangulares a polares:
a). Para el punto del segundo cuadrante (x, y) = (-5, 5)
b). Para el punto (x, y) = (0, 6)
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