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26 de octubre de 2013 Ricardo Esteban LIZASO 1
UN TRATAMIENTO AXIOMÁTICO DE LA UTILIDAD
Artículo de R. D. LUCE Y H. RAIFFA
Versión de Ricardo Esteban Lizaso
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AXIOMAS1. Conexidad u Ordenamiento de las
alternativas.
2. Transitividad o Coherencia.
3. Continuidad.
4. Monotonía.
5. Sustitución o Independencia de las alternativas irrelevantes.
6. Reducción de las loterías compuestas.
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ACLARACIONES
Cuando en el artículo se habla de: - loterías, se hace referencia a
alternativas sujetas a riesgo.- alternativas, se hace referencia a
resultados.- premio, se refiere a resultado cierto.
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CONEXIDAD - ORDENAMIENTO
Dos resultados cualesquiera serán comparables.
Es decir dados dos resultados cualesquiera, el sujeto preferirá uno al otro o será indiferente entre ellos.
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CONEXIDAD
El resultado B es preferido al resultado A.
La utilidad de B es mayor que la utilidad de A.
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CONEXIDAD
El resultado B es indiferente al resultado A.
Ambos poseen la misma utilidad.
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CONEXIDAD
El resultado B es menos preferido que el resultado A.
La utilidad de B es menor que la utilidad de A.
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NO CUMPLE CON CONEXIDAD
No puede
distinguirse
si el resultado B
es más o
menos preferido
que el resultado A
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NO CUMPLE CON CONEXIDAD
Ud. ha ganado una semana de vacaciones pagas y debe elegir:
• una semana en ULAN BATOR
• una semana en UAGADUGU
Son dos capitales de países, pero la mayoría no tiene idea de dónde quedan,
No saben si deben llevar maya de baño o esquíes para la nieve.
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¿NO CUMPLE CON CONEXIDAD?A mayor cantidad de x no le corresponde mayor utilidad.
Violación aparente del axioma puesto que A y C resultan indiferentes pues poseen la misma utilidad.
U(x)
xCBA
U(B)
U(A) = U(C)
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Las relaciones de preferencia y de indiferencia son transitivas.
Es decir, dados tres resultados cualesquiera, A, B y C; si el sujeto prefiere “A” a “B” y “B” a “C”, entonces prefiere “A” a “C” ; y si es indiferente entre “A” y “B” y entre “B” y “C” entonces también
será indiferente entre “A” y “C”.
TRANSITIVIDAD
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Si el resultado C es preferido al B y el B es preferido al A, entonces C es preferido a A.
Si la utilidad de C es mayor que la utilidad de B y la utilidad de B es mayor que la de A, entonces C tiene mayor utilidad que A.
TRANSITIVIDAD
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NO CUMPLE TRANSITIVIDAD
Propiedades
Atributos
Costo Espacio Ubicación
A Mejor Peor Medio
B Medio Mejor Peor
C Peor Medio Mejor
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NO CUMPLE TRANSITIVIDAD
• A, B, C son tres inmuebles que el Sr. Juárez está estudiando.
• Juárez decide que prefiere A a B, B a C y C a A.
• Cada alternativa preferida en cada comparación tiene mayor puntuación en dos de los tres atributos.
• Aquí las Preferencias son circulares.
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CONTINUIDAD
Cada resultado intermedio es indiferente a alguna alternativa
que implique sólo a dos resultados (uno superior y otro inferior) con
las probabilidades adecuadas.
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El resultado cierto B es indiferente al activo aleatorio que implica a los resultados A y C.
La utilidad de B es igual que la utilidad de [ C, 0,7 ; A, (1 - 0,7) ]
CONTINUIDAD
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El resultado ciertoB es indiferente al activo aleatorio que implica a los resultados A y C.
La utilidad de B es igual que la utilidad de [ C, 0,2 ; A, (1 - 0,2) ]
CONTINUIDAD
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MONOTONÍA
Si dos alternativas sujetas a riesgo tienen los mismos dos resultados,
será preferida aquella cuyo resultado más preferido esté
afectado por una probabilidad más alta.
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Si C = $1.000 ; A = $ 300 ; u(C) = 100 ; u(A) = 50
Con p = 0,20 entonces u(B) = 60
Con p’ = 0,70 entonces u(B’) = 85
MONOTONÍA
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• Un prisionero es sometido a la siguiente prueba: de un conjunto de 5 sombreros, 3 blancos y dos rojos, se extraerá uno para ponerle en la cabeza. Sin poder verlo debe adivinar el color de su sombrero. Si acierta lo dejan libre y si se equivocan lo fusilan.
• ¿Qué color de sombrero dirá el prisionero?
El sombreroes rojo 0,4
El sombreroes blanco 0,6
Decir Rojo Libre Fusilado
Decir Blanco Fusilado Libre
MONOTONÍA
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El caso del andinista que prefiere la vida a la muerte, pero prefiere vivir escalando, con una probabilidad de vida más baja.
En realidad, para él no es el mismo resultado la vida sedentaria que la vida
desafiando a las montañas.Es un incumplimiento “aparente” del
axioma de monotonía.
¿NO CUMPLE MONOTONÍA?
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¿NO CUMPLE MONOTONÍA?
U(muerte)
U (vida sedentaria)
U (vida escalando)
0,90,7
Una vida escalando con probabilidad del 70% es preferida a Una vida sedentaria con probabilidad del 90%
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SUSTITUCIÓN
Si dos alternativas son indiferentes, entonces son intercambiables como resultados en cualquier alternativa
compuesta (es decir, alternativa sujeta a riesgo cuyos resultados son a su vez
alternativas sujetas a riesgo).
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SUSTITUCIÓN
Esta es una situación de decisión donde una alternativa esta sujeta a riesgo.
En uno de sus resultados figura 65.
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SUSTITUCIÓN
En otro caso el decisor consideró que la alternativa Sa era indiferente a la Sb (que presenta un resultado cierto de 65)
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SUSTITUCIÓNSe sustituyó el resultado cierto por su
equivalente.Ahora esta situación de decisión expresa dos
eventos sucesivos.
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REDUCCIÓN
En el caso de que una alternativa tenga como uno de sus
resultados otra alternativa, entonces la primera alternativa es divisible entre los resultados más básicos mediante el cálculo
de probabilidades.
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REDUCCIÓN
Esta situación de decisión expresa dos eventos sucesivos.
Cada uno con sus respectivas probabilidades.
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REDUCCIÓNSe transforma en otra situación de equivalente a la anterior, con los mismos resultados, pero con un solo evento.
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PARADOJA DE ALLAIS
A1 A2 A3 A4
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PARADOJA DE ALLAISLa mayoría de las personas prefieren A1 a A2 y A3 a A4.
U (A1) > U (A2)
u (1.000.000) > u (5.000.000) x 0,10+ u (1.000.000) x 0,89 + u (0) x 0,01
reemplazando la utilidad del peor resultado por 0 y la del mejor por 1 queda:
u (1.000.000) > 1 x 0,10 + u (1.000.000) x 0,89 u (1.000.000) - u (1.000.000) x 0,89 > 0,10
(1-0,89) x u (1.000.000) > 0,100,11 x u (1.000.000) > 0,10
u (1.000.000) > 0,10 / 0,11
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PARADOJA DE ALLAISSi en el segundo caso se eligiese A3,
U (A3) > U (A4)
u (5.000.000) x 0,10 + u (0) x 0,90 > u (1.000.000) x 0,11 + u (0) x 0,89
reemplazando la utilidad del peor resultado por 0 y la del mejor por 1 queda:1 x 0,10 > u (1.000.000) x 0,11
0,10 > u (1.000.000) x 0,110,10/0,11 > u (1.000.000) o sea
u (1.000.000) < 0,10 / 0,11
Esto estaría violando la axiomática generando un comportamiento inconsistente