28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες
DESCRIPTION
ορισμTRANSCRIPT
![Page 1: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/1.jpg)
Γραμμική Αλγεβρα
Ορίζουσες
Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας
14 Ιανουαρίου 2014
![Page 2: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/2.jpg)
Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R
τέτοια ώστε
1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο
3 |I | = 1
![Page 3: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/3.jpg)
Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R τέτοια ώστε
1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο
3 |I | = 1
![Page 4: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/4.jpg)
Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R τέτοια ώστε
1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο
3 |I | = 1
![Page 5: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/5.jpg)
Ορίζουσα Πίνακα A, det(A), |A|
Ορισμός
Ορίζουσα είναι μια απεικόνιση του Rn×nστο R τέτοια ώστε
1 Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή του πίνακα
2 Εάν εναλλαχθούν οι γραμμές του πίνακα αλλάζει πρόσημο
3 |I | = 1
![Page 6: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/6.jpg)
Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή
Εαν οι πίνακες A,B,C ταυτίζονται απο την 2η γραμμή του και
κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυσμός της 1ων
γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός
συνδυσμός των |B| και |C |.
∣∣∣∣ a+ ta′ b + tb′
c d
∣∣∣∣ =∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣+ t
∣∣∣∣ a′ b′
c d
∣∣∣∣
![Page 7: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/7.jpg)
Εξαρτάται γραμμικά απο την πρώτη γραμμή
Εαν οι πίνακες A,B,C ταυτίζονται απο την 2η γραμμή του και
κάτω και η 1η γραμμή του A είναι γραμμικός συνδυσμός της 1ων
γραμμών των B και C τότε η |A| είναι ο ίδιος γραμμικός
συνδυσμός των |B| και |C |.∣∣∣∣ a+ ta′ b + tb′
c d
∣∣∣∣ =∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣+ t
∣∣∣∣ a′ b′
c d
∣∣∣∣
![Page 8: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/8.jpg)
Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ c da b
∣∣∣∣
Συμπεράσματα
Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο
Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο
κάθε γραμμή της ξεχωριστά’
![Page 9: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/9.jpg)
Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ c da b
∣∣∣∣Συμπεράσματα
Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο
Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο
κάθε γραμμή της ξεχωριστά’
![Page 10: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/10.jpg)
Αν εναλλαχθούν δύο γραμμές αλλάζει πρόσημο
∣∣∣∣ a bc d
∣∣∣∣ = − ∣∣∣∣ c da b
∣∣∣∣Συμπεράσματα
Η 1η γραμμή δεν είναι κάτι το ιδιαίτερο
Η 1η ιδιότητα γίνεται ¨Η ορίζουσα εξαρτάται γραμμικά απο
κάθε γραμμή της ξεχωριστά’
![Page 11: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/11.jpg)
Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0
![Page 12: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/12.jpg)
Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0
![Page 13: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/13.jpg)
Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0
![Page 14: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/14.jpg)
Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0
![Page 15: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/15.jpg)
Ιδιότητες ορίζουσας (4-8)
Εάν δυο γραμμές είναι ίδιες τότε η ορίζουσα είναι μηδέν
Η αφαίρεση ενός πολλαπλάσιου μιας γραμμής απο μια
άλλη αφήνει την ορίζουσα αναλοίωτη
Η ορίζουσα ενός πίνακα με μηδενική γραμμή είναι μηδέν
Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα ισούται με το γινόμενο
των στοιχείων της διαγωνίου
A αντιστρέψιμος ανν |A| 6= 0
![Page 16: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/16.jpg)
Πορίσματα, Υπολογισμός Ορίζουσας
|A| = ±|U||A| = ±(γινόμενο των οδηγών)
Για να υπολογίσω την ορίζουσα ενός πίνακα αρκεί να κάνω
απαλοιφή και να πολλαπλασιάσω τους οδηγούς που θα βρω.
![Page 17: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/17.jpg)
Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την
ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες
ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.
![Page 18: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/18.jpg)
Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την
ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες
ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.
![Page 19: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/19.jpg)
Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την
ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες
ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.
![Page 20: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/20.jpg)
Ιδιότητες ορίζουσας (9, 10)
Η ορίζουσα του γινομένου δύο πινάκων ισούται με το
γινόμενο των οριζουσών τους
Η ορίζουσα του αντίστροφου ενός πίνακα ισούται με το
αντίστροφο της ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Η ορίζουσα του ανάστροφου ενός πίνακα ισούται με την
ορίζουσα του εν λόγω πίνακα
Συμπέρασμα: Προκύπτουν επιπρόσθετα και άλλες τόσες
ιδιότητες όσον αφορά τις στήλες.
![Page 21: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/21.jpg)
Συμπαράγοντες
Ο αριθμός
Cij = (−1)(i+j) detAij
λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο
(n − 1)× (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον Aδιαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.
Οπτικοποίηση του (−1)(i+j):
+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...
.
.
....
. . .
.
![Page 22: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/22.jpg)
Συμπαράγοντες
Ο αριθμός
Cij = (−1)(i+j) detAij
λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο
(n − 1)× (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον Aδιαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.
Οπτικοποίηση του (−1)(i+j):
+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...
.
.
....
. . .
.
![Page 23: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/23.jpg)
Συμπαράγοντες
Ο αριθμός
Cij = (−1)(i+j) detAij
λέγεται συμπαράγοντας του στοιχείου aij όπου Aij είναι ο
(n − 1)× (n − 1) πίνακας που προκύπτει απο τον Aδιαγράφοντας την i-στη γραμμή του και την j-στη στήλη του.
Οπτικοποίηση του (−1)(i+j):
+ − + · · ·− + − · · ·+ − + · · ·...
.
.
....
. . .
.
![Page 24: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/24.jpg)
Εναλλακτικός Υπολογισμός Ορίζουσας
Επιλέγουμε μια οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη), έστω την i-στηγραμμή και έχουμε
|A| = ai ,1Ci ,1 + ai ,2Ci ,2 + . . .+ ai ,nCi ,n
Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων
οποιασδήποτε γραμμής (ή στήλης) με τους συμπαράγοντές τους.
![Page 25: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/25.jpg)
Εναλλακτικός Υπολογισμός Ορίζουσας
Επιλέγουμε μια οποιαδήποτε γραμμή (ή στήλη), έστω την i-στηγραμμή και έχουμε
|A| = ai ,1Ci ,1 + ai ,2Ci ,2 + . . .+ ai ,nCi ,n
Η ορίζουσα ισούται με το άθροισμα των γινομένων των στοιχείων
οποιασδήποτε γραμμής (ή στήλης) με τους συμπαράγοντές τους.
![Page 26: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/26.jpg)
Παράδειγμα
A =
2 3 −40 −4 21 −1 5
=⇒ C22 = +det
[2 −41 5
]C23 = − det
[2 31 −1
]
C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5
detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
![Page 27: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/27.jpg)
Παράδειγμα
A =
2 3 −40 −4 21 −1 5
=⇒ C22 = +det
[2 −41 5
]
C23 = − det
[2 31 −1
]
C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5
detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
![Page 28: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/28.jpg)
Παράδειγμα
A =
2 3 −40 −4 21 −1 5
=⇒ C22 = +det
[2 −41 5
]C23 = − det
[2 31 −1
]
C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5
detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
![Page 29: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/29.jpg)
Παράδειγμα
A =
2 3 −40 −4 21 −1 5
=⇒ C22 = +det
[2 −41 5
]C23 = − det
[2 31 −1
]
C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5
detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
![Page 30: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/30.jpg)
Παράδειγμα
A =
2 3 −40 −4 21 −1 5
=⇒ C22 = +det
[2 −41 5
]C23 = − det
[2 31 −1
]
C22 = 2 · 5− (−4) · 1 = 14 C23 = −(2 · (−1)− 3 · 1) = 5
detA = a21C21 + a22C22 + a23C23 = 0·? + (−4) · 14 + 2 · 5 = −46
![Page 31: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/31.jpg)
Υπολογισμός του A−1
Τα στοιχεία του A−1 είναι οι συμπαράγοντες του Α
ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|
A−1 =Asymp
|A|
![Page 32: 28η και 29η Διάλεξη - Ορίζουσες](https://reader034.vdocuments.pub/reader034/viewer/2022042614/5597cd4b1a28ab1c208b45c0/html5/thumbnails/32.jpg)
Υπολογισμός του A−1
Τα στοιχεία του A−1 είναι οι συμπαράγοντες του Α
ανεστραμένοι και διαιρεμένοι με |A|
A−1 =Asymp
|A|