29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ

คมอประกอบสอการสอน วชาคณตศาสตร

บทน า

เรอง ความสมพนธและฟงกชน

โดย

อาจารย ดร.จณดษฐ ละออปกษณ อาจารย ดร.รตนนท บญเคลอบ

สอการสอนชดน เปนความรวมมอระหวาง คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย กบ

ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน (สพฐ.) กระทรวงศกษาธการ

http://www.google.co.th/imgres?q=%E0%B8%AA%E0%B8%9E%E0%B8%90&um=1&hl=th&sa=N&rlz=1R2ADRA_enTH425&biw=1051&bih=687&tbm=isch&tbnid=srkh9z1q97NYlM:&imgrefurl=http://www.manager.co.th/Qol/ViewNews.aspx?NewsID=9540000014478&imgurl=http://www.manager.co.th/asp-bin/Image.aspx?ID=1799322&w=300&h=429&ei=oZ_TTbm5I42ougPb-Yi5DQ&zoom=1

คมอสอการสอนวชาคณตศาสตร โดยความรวมมอระหวาง ส านกงานคณะกรรมการการศกษาขนพนฐาน และ คณะวทยาศาสตร จฬาลงกรณมหาวทยาลย

1

สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน สอการสอน เรอง ความสมพนธและฟงกชน มจ านวนตอนทงหมดรวม 16 ตอน ซงประกอบดวย

1. บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน 2. เนอหาตอนท 1 ความสมพนธ

- แผนภาพรวมเรองความสมพนธและฟงกชน - ผลคณคารทเซยน - ความสมพนธ - การวาดกราฟของความสมพนธ

3. เนอหาตอนท 2 โดเมนและเรนจ - โดเมนและเรนจ - การหาโดเมนและเรนจโดยการแกสมการ - การหาโดเมนและเรนจโดยการวาดกราฟ

4. เนอหาตอนท 3 อนเวอรสของความสมพนธ และบทนยามของฟงกชน - อนเวอรสของความสมพนธ - บทนยามของฟงกชน

5. เนอหาตอนท 4 ฟงกชนเบองตน - ฟงกชนจากเซต A ไปเซต B - ฟงกชนทวถง - ฟงกชนหนงตอหนง

6. เนอหาตอนท 5 พชคณตของฟงกชน - พชคณตของฟงกชน - ตวอยางประเภทของฟงกชนพนฐาน

7. เนอหาตอนท 6 อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส - อนเวอสของฟงกชนละฟงกชนอนเวอส - กราฟของฟงกชนอนเวอส

8. เนอหาตอนท 7 ฟงกชนประกอบ - ฟงกชนประกอบ


2

- โดเมนและเรนจของฟงกชนประกอบ - สมบตของฟงกชนประกอบ

9. แบบฝกหด (พนฐาน 1) 10. แบบฝกหด (พนฐาน 2) 11. แบบฝกหด (ขนสง)

คณะผจดท าหวงเปนอยางยงวา สอการสอนชดนจะเปนประโยชนตอการเรยนการสอนส าหรบคร และนกเรยนทกโรงเรยนทใชสอชดนรวมกบการเรยนการสอนวชาคณตศาสตร เรอง ความสมพนธและฟงกชน นอกจากนหากทานสนใจสอการสอนวชาคณตศาสตรในเรองอนๆทคณะผจดท าไดด าเนนการไปแลว ทานสามารถดชอเรอง และชอตอนไดจากรายชอสอการสอนวชาคณตศาสตรทงหมดในตอนทายของคมอฉบบน


3

เรอง ความสมพนธและฟงกชน หมวด บทน า จดประสงคการเรยนร เพอใหผเรยนเขาใจทมา เกดความซาบซง เหนคณคาของคณตศาสตรเรอง ความสมพนธและฟงกชน ตระหนกถงความส าคญและประโยชน ตลอดจนบทประยกตของความสมพนธและฟงกชน

วตถประสงคหลกของการจดท าสอบทน า: เพอใหผเรยนเกดแรงบนดาลใจในการเรยน ไดเหนถงทมาและประโยชนของเนอหาทจะไดเรยนตอไป โดยมไดมงเนนทการทองจ าเนอหาหรอเรองราวตามทปรากฏในสอบทน า การใชสอบทน าจงควรใชเพยงประกอบในขนการน าเขาสบทเรยน หรอน าเสนอผเรยนกอนการจดการเรยนรในเนอหานนๆ และไมควรน าเนอหาในสอบทน าไปใชวดผลการศกษาหรอใชในการสอบ เพราะอาจท าใหการใชสอไมบรรลวตถประสงคทแทจรงตามทมาดหมายไว


4

บทสารคดและขอมลเพมเตม

ธรเธยรเพยรส ารวจแม เพยงใด พอเอย ผลยอมเพยงพอได เทานน หากยกเทยบวทยไท ดดวน ไปพอ ตองพสจนคณตตามขน จงถวน ปรารถนา

ลโอนาโด ดาวนช


5

หากจะถามวาคณตศาสตรมประโยชนอยางไร คณตศาสตรเกยวของกบเราอยางไร ค าถามทดวางายแตตอบยากน คงเปนค าถามทเคยผดขนมาใจในของผทไดเรยนคณตศาสตรแลวทกผทกนาม ส าหรบบางคน คณตศาสตรอาจมคณแคเพยง การบวก ลบ คณ และหาร หรอการนบจ านวนเพยงไมกหลก แตส าหรบบางคนคณตศาสตรกลบเปนประดจ วทยเภตรา ทชวยใหเราลอยอยเหนอมหาสมทรแหงความไมร และจะน าพาเราไปเพอพบกบสรรพนวตวทยาในอนาคต และเหตทท าใหความคดของคนแตกตางกน ทงทก าลงพจาณาในสงเดยวกน นนกอาจเปนเพราะมมมมองและประสบการณตรงตอสงนนๆ ตางกน

แทจรงแลวประโยชนประการหนงของวชาคณตศาสตร คอเพอตอบสนองความกระหายใครรของเหลาบรรดานกปราชญและนกคดทงหลาย แตประโยชนประการนกลบไมใชประโยชนของประดาชนคนทวไป ทตองการใชคณตศาสตรมาชวยน าพาใหคณภาพชวตดขน และความไรประโยชนนจะยงด ารงคงอยตราบเทาทมนษยยงไมสามารถยดโยงเชอมโลกคณตศาสตรและโลกแหงความเปนจรงเขาไวดวยกนได

โลกจรงคอโลกแหงความเปนจรง แตโลกของคณตศาสตรเปนโลกแหงจนตนาการโลกแหงการสมมต ทกสงอยางในโลกจรงจงอาจเกดขนไดบนโลกใบน โดยไมจ าเปนตองรอใหเหตการณเกดขนจรงและนกคอประโยชนอนสงสดของคณตศาสตร ทมตอโลกจรงทมตอมวลมนษยชาต ทมตอประเทศของชาตเรา และทมตอเรา


6

สงส าคญทจะชวยใหบงเกดการเชอมโยงระหวางโลกทงสอง และสามารถน าไปใชไดจรงได กคอ การสรางตวแบบเชงคณตศาสตร (Mathematical Model) จากปญหาในโลกจรง ทเตมดวยปจจยหรอตวแปรทมผลตอปญหาหรอปรากฏการณนน ๆ หากเราสามารถสรางตวแบบเชงคณตศาสตรทสอดคลองหรอใกลเคยงกบปญหานนได นนกหมายความวาเราไดจ าลองปรากฏการณในโลกจรงนน ใหมาอยในโลกแหงคณตศาสตร แตหากเราจบเพยงแคการพงใจทสามารถจ าลองปญหาได ปญหาเดมทสนใจ กจกยงคงด ารงอย มไดรบการแกไข ไมกอประโยชนโพดผลใดๆ ดงนนองคความรทางคณตศาสตรประมวลมทไดสรางสงสมไว จะถกน ามาใชวเคราะหเพอแกปญหาตวแบบคณตศาสตรทเพงไดจ าลองขน จนไดเปนขอสรปหรอค าตอบเชงคณตศาสตร และจากขอสรปเชงคณตศาสตรน หากแปลความใหสอดคลองกบสถานการณปญหาในโลกจรง กจะสามารถน าขอสรปนไปประยกตใชหรออธบายปรากฏการณนนๆ ได


7

จากล าดบขนทกลาวมา ขนตอนการส ารวจ สงเกต แปลความ เพอสรางเปนตวแบบเชงคณตศาสตร นบเปนขนตอนแรกทมความส าคญยงและมผลตอขนตอนอนๆ ทตามมา และแนวทางหนงในการสรางตวแบบเชงคณตศาสตร กคอการพจารณาหาความสมพนธระหวางปรมาณหลายๆ ปรมาณ ทเกยวของและมผลตอปรากฏการณหรอปญหานน แลวจงน าความสมพนธทไดมาสรางเปนฟงกชน

ขนตอนการสรางตวแบบเชงคณตศาสตร ไมไดเปนขนตอนทจบเมอวงจรครบรอบ หากแตจ าเปนตองมการทดสอบ และปรบปรง ควบคไปในขนตอนทส ซงจะเกดการปรบปรงใหตวแบบเชงคณตศาสตรนน มความเหมาะสมกบสถานการณปญหามากทสด


8

การสรางฟงกชนนไมใชสงใหม หากแตเปนสงทเราไดเคยศกษากนมาแลว ชวเสยแตวา อาจจะยงไมรตว อาทความสมพนธระหวางพนทรปสเหลยมกบดานทงส ดงเชนชาวอยปตโบราณไดพยายามสรางและปรบปรงเพอใชในการงวดทดน ส าหรบก าหนดอตราภาษ ความสมพนธระหวางความยาวดานทงสามของรปสามเหลยมมมฉาก ดงเชนทพทาโกรสแหงซามอส (Pythagoras of Samos, 590 – 580 ปกอนครสตกาล) ไดคนพบความสมพนธระหวาง ความยาวเสนรอบวงของวงกลมกบความยาวเสนผานศนยกลาง ซงเปนสงทมนษยตงแตยคโบราณเพยรคนหาและประมาณความสมพนธนนดวยคาคงท ทรจกในชอวา พาย ไมเวนแมแตอารคมดสแหงไซราคว (Archimedes of Syracuse, 287 – 212 ปกอนครสตกาล) ในความเปนจรงตวแปรตางๆ ทปรากฏในความสมพนธอาจมมากกวาสองตวแปร และหากสถานการณยงซบซอนขน มปจจยทสงผลตอสถานการณนนๆ มากขน ตวแปรทถกใชแทนปจจยดงกลาวกยอมทจะมากขนตามล าดบหากพจารณาเฉพาะฟงกชนทพจารณาความสมพนธเฉพาะปรมาณสองปรมาณทเรยกวา ฟงกชนตวแปรเดยว เรายงอาจแบงฟงกชนตวแปรเดยวนออกตามลกษณะโครงสรางของความสมพนธหรอสตร ไดเปนอกหลายแบบ


9

อาท ฟงกชนเสนตรง เชน การแสดงความสมพนธระหวางแรงกบความเรงของวตถทมมวลคงท ในรป F = ma โดยเซอรไอแซก นวตน (Sir Isaac Newton ค.ศ. 1643 – 1727) ชายแคระผยนอยบนบาของยกษ

ค าถามอภปราย นกเรยนคดวา ยงสงทเราไดเรยนรมาแลว หรอเรองราวในชวตประจ าวน ทสามารถพจารณาในรปแบบของความสมพนธได แนวค าตอบ

ความสมพนธของความกวาง ความยาว ความสง และปรมาตร หรอ ความสมพนธพนทฐาน ความสง และปรมาตร จากเนอหาเรอง ปรมาตร

ความสมพนธระหวางระยะทาง อตราเรวในการเดนทาง กบเวลา ทสงเกตไดจากชวตประจ าวนทใชในการเดนทาง

ความสมพนธของราคาขายกบปรมาณลกคา ทสงเกตไดโดยงายวาหากขายสนคาราคาสงขน ยอมนาจะมจ านวนผซอสนคาลดลง


10

ฟงกชนก าลงสอง เชน การแสดงความสมพนธระหวาง ความสงของลกปนใหญกบกบเวลาทผานพนไป หรอทรจกในชอ การเคลอนทแบบโพรเจกไทล โดย กาลเลโอ กาลเลอ (Galileo Galilei ค.ศ. 1564 – 1642) ปราชญผทไมยอมใหความร จ านนตอความไมร ฟงกชนเลขชก าลง เชน การแสดงการเพมขนของจ านวนประชากรทสมพนธกบเวลา เพอน าไปใชในการควบคม ก าหนดนโยบาย รวมถงบรหารจดการทรพยากรทมอยอยางจ ากดใหเกดประโยชนสงสด โดย โทมส มลทส (Thomas Malthus ค.ศ. 1766 – 1834)

งานทางคณตศาสตรทเกยวของกบความสมพนธระหวาง พสยการยงของปนใหญกบมมเงยของปากกระบอกปนใหญ ไดเคยถกศกษามากอนหนา กาลเลโอ แลว โดย นคโคโล ทารทาเกลย (Niccolo Tartaglia, ค.ศ. 1500 - 1557) นอกจากน ทฤษฎของกาลเลโอ ทเกยวกบความสมพนธนไดรบการพฒนาตอยอดจนกลายเปนสตรส าหรบการเคลอนทอยางทรจกกนในปจจบน โดยศษยสองคนของเขา คอ คา วาลเยร (Bonaventura Cavalieri, ค.ศ. 1598 – 1647) และ ตอรเชลล (Evangelista Torricelli, ค.ศ. 1680 - 1647)

“ทฉนสามารถมองเหนไดไกล นนกเปนเพราะฉนยนอยบนบาของยกษ” (If I have seen further it is by standing on the shoulders of giants) วลส าคญวลหนงของ เซอรไอแซก นวตน ซงสะทอนถงความ ถอมตน โดยอปมาใหเหนถงคณปการของศลปวทยาและภมรทสงสมสบตอมาโดยปวงปราชญแตครงอดตกาล ทชวยใหสามารถพฒนาตอยอดเปนองคความรในปจจบนได


11

ฟงกชนตรโกณมต เชน ความสมพนธระหวางมมกบพกดจดบนเสนรอบวงของวงกลมหนงหนวย ดงทเหลาปราชญโบราณในหลากหลายอารยธรรมทง อยปต กรก อาหรบ ไดเคยศกษาไว ฟงกชนขนบนได เชน ความสมพนธทเกยวของกบก าลงไฟและเวลา ดงท โอลเวอร เฮวไซด (Oliver Heaviside ค.ศ. 1850 – 1925) ไดสรางฟงกชนเพออธบายปรากฏการณน ภายหลงฟงกชนนไดรบการขนานนามตามชอของเขาวา ฟงกชนเฮวไซด


12

ความหลากหลายของฟงกชนน เปนทางเลอกของมนษยผตองการน าคณตศาสตรไปใชเพออรรถาธบาย คาดการณอดตทผานพนไปแลว ค านวณสงทควรจะเกดในปจจบน หรอท านายอนาคตของเหตการณทยงมาไมถง ทงนกเพอจดประสงคสงสดในการพฒนาคณภาพชวตของมวลมนษยชาตใหดขน

ในเมอคณตศาสตรชวยใหเราหยงไดถง ทงอดตกาล ปจจบนกาล และอนาคตกาล อกทงลองพศดเถดวา รอบตวเราน มสงใดบางหรอไมทไมเกยวของหรอไมสามารถอธบายไดในเชงคณตศาสตร แลวอยางน คณตศาสตรจะยงคงไมมประโยชนอยอกหรอ

ในชวงน ผสอนใหนกเรยนยกตวอยางอนในชวตประจ าวนทสอดคลองหรอมลกษณะคลายกบฟงกชน ขางตน หรอยกตวอยางฟงกชนนอกเหนอจากทกลาวมาทมความเกยวของกบเหตการณหรอปรากฏการณในชวตประจ าวน


13

ภาคผนวกท 1 แผนภาพแสดงความสมพนธ เรอง ความสมพนธและฟงกชน


14

ความสมพนธ ผลคณคารทเชยน

ฟงกชน

กราฟ

โดเมนและเรนจ

อนเวอรส

ประเภท

ของฟงกชน

ฟงกชนจาก A ไป B

ฟงกชนทวถง

ฟงกชนหนงตอหนง

การด าเนนการ

พชคณต

ของฟงกชน

ฟงกชนประกอบ

โดเมนและเรนจ

สมบต

ตวอยางฟงกชน

อนเวอรส


15

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน


16

รายชอสอการสอนวชาคณตศาสตร จ านวน 92 ตอน

เรอง ตอน

เซต บทน า เรอง เซต

ความหมายของเซต

เซตก าลงและการด าเนนการบนเซต

เอกลกษณของการด าเนนการบนเซตและแผนภาพเวนน-ออยเลอร

สอปฏสมพนธเรองแผนภาพเวนน-ออยเลอร

การใหเหตผลและตรรกศาสตร บทน า เรอง การใหเหตผลและตรรกศาสตร

การใหเหตผล

ประพจนและการสมมล

สจนรนดรและการอางเหตผล

ประโยคเปดและวลบงปรมาณ

สอปฏสมพนธเรองหอคอยฮานอย

สอปฏสมพนธเรองตารางคาความจรง

จ านวนจรง

บทน า เรอง จ านวนจรง

สมบตของจ านวนจรง

การแยกตวประกอบ

ทฤษฏบทตวประกอบ

สมการพหนาม

อสมการ

เทคนคการแกอสมการ

คาสมบรณ

การแกอสมการคาสมบรณ

กราฟคาสมบรณ

สอปฏสมพนธเรองชวงบนเสนจ านวน

สอปฏสมพนธเรองสมการและอสมการพหนาม

สอปฏสมพนธเรองกราฟคาสมบรณ

ทฤษฎจ านวนเบองตน บทน า เรอง ทฤษฎจ านวนเบองตน

การหารลงตวและจ านวนเฉพาะ (การหารลงตวและตวหารรวมมาก) ตวหารรวมมากและตวคณรวมนอย

ความสมพนธและฟงกชน บทน า เรอง ความสมพนธและฟงกชน

ความสมพนธ


17


ความสมพนธและฟงกชน โดเมนและเรนจ

อนเวอรสของความสมพนธและบทนยามของฟงกชน

ฟงกชนเบองตน

พชคณตของฟงกชน

อนเวอรสของฟงกชนและฟงกชนอนเวอรส

ฟงกชนประกอบ

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม บทน า เรอง ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

เลขยกก าลง

ฟงกชนชก าลงและฟงกชนลอการทม

ลอการทม

อสมการเลขชก าลง

อสมการลอการทม

ตรโกณมต บทน า เรอง ตรโกณมต

อตราสวนตรโกณมต

เอกลกษณของอตราสวนตรโกณมต และวงกลมหนงหนวย

ฟงกชนตรโกณมต 1



กฎของไซนและโคไซน

กราฟของฟงกชนตรโกณมต

ฟงกชนตรโกณมตผกผน

สอปฏสมพนธเรองมมบนวงกลมหนงหนวย

สอปฏสมพนธเรองกราฟของฟงกชนตรโกณมต

สอปฏสมพนธเรองกฎของไซนและกฎของโคไซน

ก าหนดการเชงเสน บทน า เรอง ก าหนดการเชงเสน

การสรางแบบจ าลองทางคณตศาสตร

การหาคาสดขด

ล าดบและอนกรม บทน า เรอง ล าดบและอนกรม

ล าดบ

การประยกตล าดบเลขคณตและเรขาคณต

ลมตของล าดบ

ผลบวกยอย

อนกรม

ทฤษฎบทการลเขาของอนกรม


18


การนบและความนาจะเปน .

บทน า เรอง การนบและความนาจะเปน

การนบเบองตน

การเรยงสบเปลยน

การจดหม

ทฤษฎบททวนาม

การทดลองสม

ความนาจะเปน 1

ความนาจะเปน 2

สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เรอง สถตและการวเคราะหขอมล

บทน า เนอหา

แนวโนมเขาสสวนกลาง 1



การกระจายของขอมล

การกระจายสมบรณ 1



การกระจายสมพทธ

คะแนนมาตรฐาน

ความสมพนธระหวางขอมล 1

ความสมพนธระหวางขอมล 2

โปรแกรมการค านวณทางสถต 1

โปรแกรมการค านวณทางสถต 2

โครงงานคณตศาสตร การลงทน SET50 โดยวธการลงทนแบบถวเฉลย

ปญหาการวางตวเบยบนตารางจตรส

การถอดรากทสาม

เสนตรงลอมเสนโคง

กระเบองทยดหดได

29 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน บทนำ

Documents