29.09.2020 equazione di dirac 1 soluzioni di onde piane
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prof. Francesco RagusaUniversità di Milano
Interazioni Elettrodeboli
anno accademico 2020-2021
Lezione n. 229.09.2020
Equazione di Dirac 1Soluzioni di onde piane Invarianza relativistica
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 28
Equazione di DiracLa prima difficoltà dell’equazione di Klein-Gordon è stata l’apparizione di una densità di probabilità negativa
Dovuta alla presenza della derivata seconda rispetto al tempoDirac affrontò il problema in modo diretto richiedendo
1. Un’equazione di primo grado rispetto al tempo2. Anche di primo grado rispetto alle coordinate spaziali
per avere covarianza relativistica3. Che comunque riproducesse la corretta relazione E2 = p2 + m2
Equivalente a richiedere che la funzione d'onda ψ sia anche soluzionedell’equazione di Klein-Gordon
4. Inoltre l’equazione deve essere invariante per trasformazioni di LorentzCon queste premesse Dirac ipotizzò che la forma dell’equazione potesse essere
1 2 31 2 3
i i mt x x xψ α α α β ψ
∂ ⎡ ⎛ ∂ ∂ ∂ ⎞ ⎤⎟⎜= − + + +⎢ ⎥⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠∂ ∂ ∂ ∂⎢ ⎥⎣ ⎦
kkk
i i mt xψ α β ψ
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 29
Equazione di DiracIdentifichiamo l’Hamiltoniana dell’equazione di Dirac
Per completezza, scriviamo anche l’equazione di Dirac in forma estesa quando e c sono diversi da 1
Per determinare la natura delle grandezze α e β richiediamo il punto 33. La funzione d’onda ψ deve soddisfare anche l’equazione di Klein-Gordon
Applichiamo i∂/∂t all’equazione di Dirac
kkk
i i mt xψ α β ψ
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑ k
kk
H i mx
α β∂
= − +∂∑
i Htψ ψ
∂=
∂
H i mβ= − ⋅ +α ∇
2k
kk
i i c mct xψ α β ψ
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦
∑
i i i Ht t t
ψ ψ∂ ∂ ∂
=∂ ∂ ∂
2
2 Hitt
ψ ψ∂ ∂
− =∂∂
2
2 HHt
ψ ψ∂
− =∂
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 30
Equazione di DiracIntroducendo la forma esplicita dell’Hamiltoniana
Sviluppiamo il prodotto (facendo attenzione all’ordine nei prodotti)
Raccogliamo i termini "diagonali" e i termini "incrociati" separatamente
Per ritrovare l’equazione di Klein-Gordon fissiamo condizioni su αk e β
Osserviamo che le quantità αk e β non commutanoPertanto esse devono essere matrici
2
2 k lk lk l
i m i mx xt
ψ α β α β ψ⎡ ⎤ ⎡ ⎤∂ ∂ ∂⎢ ⎥ ⎢ ⎥− = − + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥∂ ∂∂ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦∑ ∑
22 2
2 k l k lk l k lk l k l
im im mx x x xt
ψ α α α β βα β ψ⎛ ⎞∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎜− = − − − + ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ∂ ∂ ∂ ∂∂ ⎝ ⎠∑ ∑ ∑ ∑
( ) ( )32 2
2 2 22 2
, 1k k l l k k k
k l kkk k l kk l
im mx x xt x
ψ α α α α α α β βα β ψ=
>
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ⎟⎜ ⎟− = − − + − + +⎜ ⎟⎜ ⎟∂ ∂ ∂∂ ∂ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠⎟
∑ ∑ ∑
0k kα β βα+ =2 1kα = 2 1β =0k l l k k lα α α α+ = ≠
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 31
Proprietà delle matrici α e βLe relazioni appena trovate sono espresse più convenientemente introducendo l’anticommutatore di due matrici A e B: {A,B} = AB + BA
Determiniamo alcune proprietà delle matrici α e βDevono essere hermitiane (l’Hamiltoniana H deve essere hermitiana e i è un operatore hermitiano)
Dal momento che α2 = β2 = 1 gli autovalori (reali) devono essere λ = ±1
Sono matrici con traccia nullaSfruttiamo la proprietà ciclica della traccia Tr[ABC] = Tr[CAB]
Abbiamo
Concludiamo
E analogamente per β
H i mβ= − ⋅ +α ∇
[ ]kTr α [ ]kTr βα β= − [ ]kTr α= −[ ]2kTr β α= −
[ ] 0kTr α =
[ ] 0Tr β =
[ ]2kTr β α=
{ }, 2 1j k jkα α δ= { }, 0jα β = 2 1β =
{2 1β = k kβα α β= − [ ] [ ]Tr ABC Tr CAB=
u uβ λ= 2 2u u uβ λβ λ= = 2u uλ= 2 1 1λ λ= = ±
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 32
Proprietà delle matrici α e βLe matrici hanno un rango pari
Traccia nulla e autovalori ±1 implicano che il rango deve essere pariAbbiamo 4 matrici pertanto il valore minimo del rango è 4
Infatti le matrici di Pauli (2 2) hanno le proprietà richieste ma sono solo 3
Pertanto le matrici α e β hanno dimensione 4 4Quindi anche la funzione d’onda ψ ha 4 componenti
Ci sono infinite possibilità per le matrici α e βLegate fra di loro da trasformazioni unitarie α' = UαU 1
Ne considereremo 2La rappresentazione di Pauli-Dirac
Utile per studiare l’approssimazione non relativisticaLa rappresentazione di Weyl o rappresentazione Chirale
Utile nel limite di alta energia o massa della particella nullaIn moltissimi casi comunque non è necessario scrivere esplicitamente le matrici
1 2 3
0 1 0 1 0
01 0 0 1
i
iσ σ σ
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜= = =⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟⎟ −⎟⎟ ⎟⎜⎜ ⎜⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1
2
3
4
ψψ
ψ ψψ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
spinore
non è un 4-vettoredi Lorentz
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 33
Rappresentazione di Pauli-DiracNella Rappresentazione di Pauli-Dirac le matrici sono
In questa forma (a blocchi) le quantità sono matrici di dimensione 2 2Ricordiamo alcune proprietà delle matrici di Pauli σ
Il tensore totalmente antisimmetrico εklm è così definitoε123 = +1εklm = +1 klm permutazione pari di 123εklm = 1 klm permutazione dispari di 123εklm = 0 due o più indici uguali
La proprietà del commutatore si può anche scrivere (k,l,m ciclici)Dimostrare che
0 1 0
0 0 1
k
kk
σα β
σ
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟= = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ −⎟ ⎜ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎟⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠
1 e 0
{ }, 2k l klIσ σ δ=
[ ], 2k l klm miσ σ ε σ= sottointesa la somma su m
( )( ) ( )1 i⋅ ⋅ = ⋅ + ⋅ ×a b a b a bσ σ σ[ ]exp 1 cos sin 1iα α α⋅ = + ⋅ =n n nσ σ
k l l k miσ σ σ σ σ= − =
1 01
0 1
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
k l klm mm
iσ σ ε σ= ∑
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 34
Soluzioni dell’equazione di Dirac: onde pianeCerchiamo una soluzione del tipo
Nella soluzione x e p sono 4-vettori e w è uno spinoreInoltre abbiamo costruito l’equazione di Dirac in modo che ψ soddisfi anche l’equazione di Klein-Gordon e pertanto deve essere Sostituendo nell’equazione di Dirac
Otteniamo l’equazione matriciale
Dove ricordiamo che
Gli spinori w sono gli autovettori dell’equazione agli autovalori Hw = p0wL’Hamiltoniana H è hermitianaGli autovalori ±po sono 4 e sono realiGli autovettori w sono ortogonali
( ) ip xx weψ − ⋅=
kkk
i i mt xψ α β ψ
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑
2 2 2 20p p m= − =p
2 2 0E m= + >p p2 2op m E= ± + = ± pp
( )op w m w Hwβ= ⋅ + =pα H mβ= ⋅ +pα
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 35
Soluzioni dell’equazione di Dirac: onde pianeUtilizziamo la rappresentazione di Pauli-Dirac per le matrici α
Introduciamo la rappresentazione a blocchi anche per lo spinore wLe quantità φ e χ sono spinori di Pauli (dimensione 2)
Introducendo nell’equazione
Si ottiene l’equazione
Dalla quale si ottengono le equazioni accoppiate per φ e χ
Bisogna notare che le due equazioni non sono indipendentiApplicando l’operatore σ⋅p/(po+m) alla prima equazione ( φ = σ⋅p/(po m)χ )
Ritroviamo la seconda equazione
0
0 1 0
0 0 1p m
φ φ φχ χ χ
⎛ ⎞⋅⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎟= +⎜⎜ ⎜ ⎜⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎜⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⋅⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠ −⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
p
p
σ
σ
( )0p m φ χ− = ⋅ pσ
wφχ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠
( )op w m wβ= ⋅ +pα
0p mφ χ
⋅=
−pσ
0p mχ φ
⋅=
+pσ
( )0p m χ φ+ = ⋅ pσ
0 0 0p m p m p mφ χ
⋅ ⋅ ⋅=
+ + −p p pσ σ σ
2
2 20 op m p m
φ χ⋅
=+ −
p pσ 2
20p m
φ χ χ⋅
= =+
p pp
σ
( )2 2⋅ =p pσ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 36
Soluz. dell’equazione di Dirac: Energia positivaIl primo gruppo di soluzioni si trova dalla seconda equazione
In questo caso usiamo l’autovalore positivo: po = +Ep
Ricaviamo χ in funzione di φ
Sostituiamo in w. La soluzione è pertanto
Lo spinore φ è arbitrarioCi sono due possibili spinori indipendenti φr, r = 1,2 quindi due possibili stati
Se la particella ha una massa diversa da zero si può considerare il suo sistema di riposo ( p = 0 ) nel quale si ha
Nel sistema di riposo i due spinori sono
( )0p m χ φ+ = ⋅ pσ
E mχ φ
⋅=
+p
pσ
( )wE m
φ
φ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠p
p pσ
201φ
⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠110φ
⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠( ),
r
rw r
E m
φ
φ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠p
p pσ Una possibile scelta è data da
( ),0
rw r
φ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜⎝ ⎠0
( )
10
,1 00
w
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
0 ( )
01
,2 00
w
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
0 ( )1
1000
imtx eψ −
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
( )2
0100
imtx eψ −
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
E infine
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 37
Soluz. dell’equazione di Dirac:Energia negativaIl secondo gruppo di soluzioni si trova dalla prima equazione
In questo caso usiamo l’autovalore negativo: po = Ep
Ricaviamo φ in funzione di χ
Sostituiamo in w. La soluzione è pertantoLo spinore χ è arbitrarioCi sono due possibili spinori indipendenti χr, r = 1,2 quindi due possibili stati
Se la particella ha una massa diversa da zero si può considerare il suo sistema di riposo ( p = 0 ) nel quale si ha
Nel sistema di riposo i due spinori sono
op mφ χ
⋅=
−pσ
( ) E mwχ
χ
⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠p
p
p
−σ
201χ
⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠110χ
⎛ ⎞⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠( ),
r
r
E mw rχ
χ
⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠p
p
p
−σUna possibile scelta è data da
( )0
,r
w r χ⎛ ⎞⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
0
( )
00
, 3 10
w
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
0 ( )
00
, 4 01
w
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
0 ( )3
0010
imtx eψ +
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
( )4
0001
imtx eψ +
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠
E infine
( )0p m φ χ− = ⋅ pσ
E mφ χ
⋅=
− −p
pσE m
φ χ⋅
=+p
p−σ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 38
Soluzioni dell’equazione di Dirac: onde pianeAbbiamo pertanto trovato 4 soluzioni
Due soluzioni (r = 1,2) con energia positiva
Due soluzioni (r = 3,4) con energia negativa
…… l’esponenziale con energia negativa non è in forma covariantePer le soluzioni con energia negativa si sostituisce p pSi utilizzano pertanto gli spinori w( p, r) (attenzione all’ortogonalità)
Per evitare di scrivere gli spinori con argomento negativo si definiscono due spinori per l’energia positiva u(p,r) e due spinori per l’energia negativa v(p,r)
Scrivendo v(p,r) esplicitamente (r = 1,2)
( ) ( ) [ ], expr x w r iE iψ = − + ⋅pp p x ( ) [ ], expw r ip x= − ⋅p
( ) ( ) [ ], expr x w r iE iψ = + + ⋅pp p x =………
( ) ( ) [ ], expr x w r iE iψ = − + − ⋅pp p x ( ) [ ], expw r ip x= − + ⋅p
( ) ( )
( ) ( )
, , 1,2
, , 2 1,2
u r w r r
v r w r r
= =
= − + =
p p
p p
( ), 2r
r
E mw rχ
χ
⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟+ = ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎝ ⎠p
p
p
−σ( ),
r
r
E mv rχ
χ
⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠p
p
p
σ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 39
Forma covariante dell’Equazione di DiracDimostreremo che l’equazione di Dirac ha la stessa forma in tutti i sistemi inerziali
Tuttavia la forma fin qui utilizzata non è manifestamente covarianteIn particolare la coordinata t appare in modo diverso dalle xk
Moltiplichiamo l’equazione da sinistra per βUtilizziamo β2 = 1Definiamo γ0 = β e γk = βαk
Introduciamo† ∂μ = (∂ ∂t, ∂ ∂xk) ∂μ = gμν∂ν = (∂ ∂t, ∂ ∂xk)
Riordinando i termini otteniamo
È molto usata la notazione di Feynman (aμ è un 4-vettore) Le matrici γ soddisfano le seguenti regole di commutazione
†Vedi Aitchison, Hey – Gauge Theories in Particle Physics vol I – problema 3.1
kkk
i i mt xψ α β ψ
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑
kkk
i i mt xψ αβ β ββ ψ
⎡ ⎤∂ ∂⎢ ⎥= − +⎢ ⎥∂ ∂⎣ ⎦∑
i mμμγ ψ ψ∂ =
{ }, 2Igμ ν μνγ γ =
a aμ μγ≡/
i mψ ψ/∂ =
non sono (tutte) hermitiane
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 40
Forma covariante dell’Equazione di DiracNella rappresentazione di Pauli-Dirac la forma delle matrici è
In forma esplicita
Vale la pena rendersi conto di quello che la forma compattadell’equazione di Dirac significa effettivamente
Si tratta di un sistema di equazioni differenziali alle derivate parziali
01 0 0
00 1
kk
k
σγ γ
σ
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟= =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟−− ⎟⎜ ⎟ ⎜⎜⎜ ⎟ ⎟⎝ ⎠⎝ ⎠
0 1 2 3
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 10 0 1 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 00 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0
ii
ii
γ γ γ γ
−⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜ −⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜= ⎟ = ⎟ = ⎟ = ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟− − −⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜− − −⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( )[ ]( )[ ]( )[ ]( )[ ]
0 1 1 2 4 3 3 1
0 2 1 2 3 3 4 2
0 3 1 2 2 3 1 3
0 4 1 2 1 3 2 4
i i mi i mi i mi i m
ψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψψ ψ ψ ψ
∂ + ∂ − ∂ + ∂ =∂ + ∂ + ∂ − ∂ =
−∂ − ∂ − ∂ − ∂ =−∂ − ∂ + ∂ + ∂ =
0 1 1 1
0 2 1 2
0 3 1 3
0 4 1 4
1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 0 0 0 00 0 1 0 0 1 0 0 0 0 00 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0
ii
i i i ii
ψ ψψ ψψ ψψ ψ
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ −⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ + ⎟ +⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟− −∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟⎜ ⎟⎜⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎜ ⎜− − −⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎜ ⎜⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎟ ⎟
2 1 3 1 1
2 2 3 2 2
32 3 3 3
42 4 3 4
0 0 1 00 0 0 11 0 0 00 1 0 0
i m
ψ ψ ψψ ψ ψ
ψψ ψψψ ψ
∂ ∂⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜⎟ ⎟∂ − ∂ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎟⎟ + ⎟ =⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎟−∂ ∂⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜⎜⎟ ⎟ ⎟⎟⎜ ⎟⎜ ⎜⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎟⎟ ⎟ ⎜∂ ∂⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎜ ⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎜⎟ ⎟
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 41
Forma covariante dell’Equazione di DiracAbbiamo visto le soluzioni (onde piane) dell’equazione di Dirac
Due funzioni ad energia positiva u(p,r)e−ip⋅x
Due funzioni a energia negativa v(p,r)e+ip⋅x
Applicando l’equazione di Dirac in forma covariante a queste soluzioni otteniamo due equazioni per gli spinori u e v
Ricordarsi che si tratta di due equazioni matricialiLe soluzioni sono autofunzioni dell’equazione di Dirac
Spettro continuo, funzioni non normalizzabiliLe soluzioni normalizzabili si costruiscono come pacchetti
Si può verificare† che uno stato iniziale localizzato (ad esempio una distribuzione gaussiana w(0,1) ), ha una rappresentazione che contiene sia energie positive che negative
†Greiner W. - Relativistic Quantum Mechanics. Wave Equations, 3rd ed. - Springer cap. 8, es. 8.5
i mμμγ ψ ψ∂ =
p u muμμγ = ( ) 0p m u− =/ p v mvμ
μγ− = ( ) 0p m v+ =/
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )32
3
1,2
, , , ,2
ip x ip x
r
dx b r u r e d r v r eψ
π
− ⋅ + ⋅
=
⎡ ⎤= +⎢ ⎥⎣ ⎦∑∫ pp p p p
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 42
Proprietà delle matrici γLe matrici γ hanno alcune delle proprietà delle matrici α e β
Traccia nulla, autovalori ±1A differenza delle matrici α e β le matrici γk (k = 1,3) non sono hermitiane
Queste relazioni possono essere unificate
Vedremo che risulterà molto utile anche l’aggiunto spinoriale (definito per una matrice qualsiasi, non solo per γμ)
Proprietà dell’aggiunto spinoriale (analoghe a quelle dell’aggiunto hermitiano)
Va sottolineato che tutte le espressioni scritte sono matrici (4 4)
0† † 0γ β β γ= = =
( )††kkγ βα= † †
kα β= kα β= kβα= − kγ= −
0 † 0μ μγ γ γ γ=
AB BA= * *aA bB a A b B+ = +
† 0 0μ μγ γ γ γ=
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 43
Proprietà delle matrici γVedremo che è utile definire anche l’aggiunto spinoriale per uno spinore
Come nel caso dell’aggiunto hermitiano si tratta di un vettore-riga
Una proprietà del prodotto di matrici spinori Aψ
In seguito saranno molto utili quantità scalari costruite a partire dagli spinori come ad esempio
Calcoliamo il suo complesso coniugato
A Aψ ψ=
uAv
( ) ( )*uAv vAu uAv= =
( ) ( )⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟ =⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠
i i i i ii i i i ii i i i ii i i i ii i i i i
( )⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜=⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎟ ⎟ ⎟⎟ ⎟ ⎟⎜ ⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠
i i i i i i i i ii i i i i i i i ii i i ii i i i i i i i ii i i i i i i i i
† 0ψ ψ γ=
⎛ ⎞⎛ ⎞⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎜ ⎜⎟ ⎟⎟ ⎟⎜ ⎜⎝ ⎠⎝ ⎠
i i i i ii i i i ii i i i ii i i i i
( )†⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
ii i i i iii
( ) ( )⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ =⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
i i i ii i i ii i i i i i i ii i i ii i i i
( ) ( )** † 0uAv u Avγ= ( )0 0† † 0†v A uγγ γ=( )† † 0†v A uγ=( )†† 0u Avγ=
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 44
Corrente conservataStudiamo adesso come definire una corrente jμ per l’equazione di Dirac tale che
Procediamo come nel caso delle equazioni di Schrödinger e di Klein-GordonMoltiplichiamo a sinistra per lo spinore aggiunto hermitiano
Scriviamo l’equazione aggiunta hermitiana
Moltiplichiamo a destra per ψ e sottraiamo alla prima equazione
Se le matrici γμ fossero hermitiane γμ† = γμ si potrebbe scrivere jμ = ψ †γμψ
Possiamo però utilizzare l’aggiunto spinorialeRicordiamo la definizione di aggiunto spinoriale per lo spinore ψ
i mμμγ ψ ψ∂ =
( )† * * * *1 2 3 4ψ ψ ψ ψ ψ= † †i mμ
μψ γ ψ ψ ψ∂ =
( )†i mμμγ ψ ψ∂ = ( )† † †i mμ
μψ γ ψ→ − ∂ =
( )† † † † † 0i i m mμ μμ μψ γ ψ ψ γ ψ ψ ψ ψ ψ∂ + ∂ = − =
0jμμ∂ =
† 0ψ ψ γ=
no! sbagliate
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 45
Corrente conservataRipetiamo il calcolo precedente sostituendo l’aggiunto hermitiano con l’aggiunto spinoriale
Moltiplichiamo l’equazione di Dirac a sinistra per l’aggiunto spinoriale di ψ
Scriviamo l’aggiunto spinoriale dell’equazione di Dirac
Moltiplichiamo a destra per ψ
E sottraiamo alla prima espressione
Il primo membro è il 4-divergenza della corrente
† 0ψ ψ γ= i mμμψγ ψ ψψ∂ =
( )i m i mμ μμ μγ ψ ψ γ ψ ψ∂ = → ∂ = ( )† † 0 † 0i mμ
μψ γ γ ψ γ− ∂ =
( )† † 0 †0 0 0i mμμψ γ γγ γγ ψ− ∂ = ( )i mμ
μψ γ ψ− ∂ = ( )i mμμψ γ ψ− ∂ =
( ) 0i i m mμ μμ μψγ ψ ψ γ ψ ψψ ψψ∂ + ∂ = − =
( )i mμμψ γ ψ ψψ− ∂ =
( ) 0i iμ μμ μψγ ψ ψ γ ψ∂ + ∂ =
jμ μψγ ψ= ( ) 0jμ μμ μ ψγ ψ∂ = ∂ =
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 46
Corrente conservataVediamo adesso se si può interpretare la corrente jμ come densità di corrente di probabilità
Consideriamo la densità
Vediamo pertanto che, a differenza di quanto avveniva per l’equazione di Klein-Gordon la densità ρ è definita positiva ed è pertanto interpretabile come densità di probabilità
Occorre comunque verificare che il 4-vettore jμ abbia le corrette proprietà di trasformazione per una trasformazione di Lorentz
Lo vedremo in seguitoUn punto da approfondire è legato alle normalizzazioni degli spinori
Fino a questo punto non abbiamo utilizzato la possibilità di definire la normalizzazione degli spinori w (o u, v)
La quantità ρdV deve essere invariante per trasformazioni di LorentzL’elemento di volume dV = dxdydz si contrae come 1/γ dV dV/γPertanto ρ deve "dilatarsi" come γ
( ) ( )0, ,jμ ρ ψγ ψ ψ ψ= =j
0ρ ψγ ψ= † 0 0ψ γ γ ψ= 2 2 2 21 2 3 4ψ ψ ψ ψ= + + +†ψ ψ=
2
1
1γ
β=
−
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 47
Normalizzazione degli spinoriCon un calcolo diretto si può facilmente verificare che
Analogamente per gli spinori di energia negativaPertanto, se ridefiniamo la normalizzazione degli spinori come
Otterremo
Ovviamente Ep varia come γ ( Ep = mγ )
Questa normalizzazione ha lo svantaggio di introdurre una dimensionalitàQualche autore utilizza la normalizzazione 2Ep/m
Ha lo svantaggio che diverge per particelle con massa nulla(ad esempio i neutrini)In Aitchison, Hey si usano entrambe; in Peskin Schroeder si usa 2E
( ),r
rw r
E m
φ
φ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠p
p pσ( ) ( )† 2, ,
Ew r w r
E m=
+p
pp p
( ),r
rw r E m
E m
φ
φ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠p
p
p pσ
( ) ( )† † , , 2w r w r Eρ ψ ψ= = = pp p
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 48
Normalizzazione degli spinoriPer quanto riguarda l’ortogonalità degli spinori è facile verificare che gli spinori w(p,r) sono fra di loro ortogonali
Con la normalizzazione scelta (r,q = 1,4)
Per esprimere queste condizioni utilizzando gli spinori u(p,r) e v(p,r)bisogna utilizzare cautela
Gli spinori v sono definiti come (r =1,2) v(p,r) = w(−p,r+2)Le condizioni di normalizzazione e ortogonalità sono pertanto (r,q = 1,2)
Notiamo incidentalmente che la normalizzazione degli spinori dipende da p e pertanto dipende dal sistema inerziale in cui si osserva lo spinore
Le trasformazioni di Lorentz per gli spinori (che introdurremo) non sono unitarie perché non preservano la norma
( ) ( )† , , 2 rqw r w q E δ= pp p
( ) ( )† , , 2 rqu r u q E δ= pp p ( ) ( )† , , 2 rqv r v q E δ= pp p
( ) ( ) ( ) ( )† †, , , , 0u r v q v r u q− = − =p p p p
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 49
Normalizzazione usando gli aggiunti spinorialiIntroduciamo infine le normalizzazioni degli spinori utilizzando l’operazione di aggiunto spinoriale invece della coniugazione hermitiana
Ad esempio, utilizzando la forma esplicita nella rappresentazione di Pauli-Dirac
Si dimostra facilmente che
Sottolineiamo che in queste relazioni la quantità di moto p ha sempre lo stesso segno
Si può dimostrare che queste relazioni valgono indipendentemente dalla rappresentazioneInfine questa normalizzazione è invariante rispetto al sistema di riferimento
( ) ( ) ( ) ( ), , , , 0v r u q u r v q= =p p p p
( ) ( ), , 2 rqu r u q mδ=p p ( ) ( ), , 2 rqv r v q mδ= −p p
( ),r
ru r E m
E m
φ
φ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜= + ⋅ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜ +⎝ ⎠p
p
p pσ ( ),r
r
E mv r E mχ
χ
⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟= + ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠pp
p
p
σ
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 50
Interpretazione delle soluzioni con po = −Ep
Nella teoria di Dirac sarebbe possibile interpretare senza problemile soluzioni con energia positiva
La densità di probabilità è definita positivaL’evoluzione temporale (libera) di una funzione d’onda che contiene solo stati con p0 > 0 non conduce all’apparizione di stati con p0 < 0
Tuttavia ci sono dei problemiDa un punto di vista matematico gli autovettori dell’Hamiltoniana sono un sistema completo solo se si includono anche gli stati con p0 < 0
L’evoluzione di uno stato iniziale localizzato (ad esempio una distribuzione gaussiana) porta a stati che contengono sia energie positive che negativeInfine se si introduce una interazione diventano possibili transizioni da stati di energia positiva a stati di energia negativa
Sarebbero transizioni che non assorbono energiabensì la cedono
Sarebbero transizioni spontaneeNon esisterebbero stati stabili
0EΔ = − <f iEE
fE
iE
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 51
Interpretazione delle soluzioni con po = −Ep
Dirac fornì una interessante soluzione a questi problemiLe particelle descritte dall’equazione di Dirac sono fermioniObbediscono al principio di esclusione di Pauli
Dirac ipotizzò che tutti gli stati con energia negativa fossero occupati da elettroni
Introdusse così un “mare” di particelle con energie negativeIl mare ha una energia totale infinita (E = −∞)Il mare ha una carica infinita (Q = −∞)
Il mare ha un momento angolare totale nullo (coppie up-down)Non possono esserci transizioni spontanee a stati di energia negativa: tutti gli stati sono occupati
Se uno stato fisico viene descritto rispetto a questo “mare”si giunge ad una descrizione accettabile e consistente
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 52
Interpretazione delle soluzioni con po = −Ep
Consideriamo un sistema nel quale inizialmente ci sia soloil mare (tutti gli stati di energia negativa sono completi)
Supponiamo che un fotone ceda al sistema una quantità di energia sufficiente per una transizione
Da uno stato con energia negativa −Ek , −kAd uno stato con energia positiva Ep , p
Il bilancio energia-momento è
Nello stato finale abbiamoUn elettrone di carica −|e|, momento p spin sIl mare ha perso una particella
Si è creata una buca (hole)La sua carica diminuisce di −|e|La sua energia diminuisce di (−Ek)Il suo momento diminuisce di (−k)Il suo spin diminuisce di s
Abbiamo creato un’antiparticella con numeri quantici |e|,m, Ek,k,−s
E
+m
−m
0
( )E E Eγ + − =k p E E Eγ = +p k
γ = +p p k( )γ + − =p k p
Abbiamo creato una particellaNel sistema mare
La carica aumenta di |e|L’energia aumenta di Ek
Il momento aumenta di kLo spin del mare diventa −s
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 53
Interpretazione delle soluzioni con po = −Ep
Con questa interpretazione riconsideriamo gli spinori con energia negativa
Rappresentano una antiparticella di massa m una e carica +|e|Il 4-momento della particella è (Ep ,p)
Ricordiamo che lo spinore v(p,r) è definito a partire dalle soluzioni w con energia negativa e dalla relazione v(p,r) = w(−p,r)
Se interpretiamo v(p,r) come la funzione d’onda della buca allora
Lo spinore v(p,1) rappresenta uno stato con spin down
Lo spinore v(p,2) rappresenta uno stato con spin up
Notare la corrispondenza fra valore "fisico" dello spin e numero dello statoInversa rispetto agli stati di energia positiva
( ),r
r
E mv rχ
χ
⋅⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜ + ⎟= ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎜ ⎟⎝ ⎠p
p
p
σ
1
1
0χ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
2
0
1χ
⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜= ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 54
Invarianza relativistica dell’equazione di DiracNel caso dell’equazione di Klein-Gordon avevamo visto che l’invarianza per trasformazioni di Lorentz si esprimeva nel seguente modo
Se φ soddisfa l’equazione
Allora la funzione definita da
Soddisfa l’equazione
Nel caso dell’equazione di Dirac si ha una situazione simile con una complicazione
La funzione d’onda ψ(x) ha 4 componenti e una trasformazione di Lorentz modifica anche le componentiFacciamo il parallelo con una rotazione nel caso di un campo vettoriale F(r)
La rotazione modifica le componenti del punto r = U r
La rotazione modifica anche le componenti del campo vettoriale F (r ) = U F(r)
Nel caso del campo spinoriale è fondamentale ricordare che lo spinore è una grandezza matematica differente da un 4-vettore
Occorre trovare la legge di trasformazione degli spinori
( ) ( )2 0m xμμ φ∂ ∂ + =
x xμ μ νν′ = Λ
( ) ( )2 0m xμμ φ′ ′ ′ ′∂ ∂ + =
( ) ( )x xφ φ′ ′ =
Interazioni Elettrodeboli – Francesco Ragusa 55
Invarianza relativistica dell’equazione di DiracCome nel caso delle rotazioni o delle trasformazioni di Lorentz assumiamo
La legge di trasformazione degli spinori è lineareAd ogni trasformazione di Lorentz Λ corrisponde una trasformazione spinoriale S(Λ) che permette di calcolare lo spinore in K'
Vediamo adesso le proprietà fondamentali di S(Λ)Lo spinore trasformato deve soddisfare l’equazione di Dirac nel sistema K'
Sostituendo ψ (x ) = Sψ(x) e ∂ μ = Λμα ∂α otteniamo
Moltiplichiamo da sinistra per S−1
L’equazione è identica all’equazione di Dirac se
x xμ μ νν′ = Λ ( ) ( ) ( )x S xψ ψ′ ′ = Λ
( ) ( ) 0i m xμμγ ψ′ ′ ′∂ − =
( ) ( ) 0i xSmαμ α
μγ ψ−Λ ∂ =
( ) ( )1 1 0i S m SS S xμ αμ αγ ψ− −Λ ∂ − = ( )[ ] ( )1 0i S m xSμ α
αμ ψγ− Λ ∂ − =
1S Sμ α αμγ γ− Λ =
( )S⎛ ⎞⎟⎜ ⎟⎜Λ = ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟⎟⎜⎝ ⎠
i i i ii i i ii i i ii i i i
xμ μ∂′∂ ≡′∂
sono le stesse matrici γμ del sistema K