Logaritmos - Exemplos Resolvidos

1o exemplo: Determinar o valor de 32

Fazendo 32 = β, podemos aplicar a definição:

= 32.

Passamos a ter uma equação exponencial, com resolução conhecida:

(2–2)β = 25 2 –2β = 25 – 2 β = 5

=

2o exemplo: Determinar o valor de log3 .

Fazendo log3 = , podemos aplicar a definição de logaritmo: = .

Agora é só resolver essa equação exponencial:

Determinar o valor de

Pelo uso das propriedades das potências, temos:

Usando as decorrências da definição de logaritmos, temos: = 2 . 5 = 10.

Obs.– A base 10 aparecerá com muita freqüência no estudo dos logaritmos, assim indicaremos log10x simplesmente por log x.

Exercícios Resolvidos

01. Calcular, usando a definição de logaritmo:

a) b) c)

Resolução

a)

b)

c)

02. UFRN

O valor da expressão log2 64 – log3 27 é igual a:

a) 3 b) 13 c) 17 d) 31 e) 37

Resolução: Resposta: A

03. (ITA-SP)

log216 – log432 é igual a:

a) b) c) d) 4 e) 1

Resolução

Resposta: B

04. (UCS-RS)

O valor de é:

a) 1 b) – 3 c) 3 d) –1 e)

Resolução

Resposta: D

05. (Uneb-BA). O número real x, tal que logx ., é:

a) b) c) d) e)

Resolução

Resposta: A

06. Calcular:

a) b)

Resolução

a)

b) log22 + log101 + =

1 + 0 + = 1 + 0 + 45 = 46

Exercícios Resolvidos

01. (PUC-RS) O conjunto solução da equação logx (10 + 3x) = 2, em lR, é :

a) b) {– 2} c) {5} d) {– 2, 5} e) {– 5, 2}

Resolução

Condições de existência: x > 0 e x 1 10 + 3x > 0 3x > –10 x > –10/3

Utilizando a definição de logaritmo

10 + 3x = x2 x2 – 3x – 10 = 0

S = {5}

Resposta: C

02. (FGV-RJ) O domínio da função y = log (– x2 + 2x + 3) é:

a) [ – 1, 3] b) ] – , – 1 [ ] 3, + [ c) ] –1,3] d) ] –1,3] e) [ –1,3[

Resolução

D = {x R | –1 < x < 3}

Resposta: D

03. (UFSCar-SP) O domínio de definição da função f(x) = logx – 1 (x2 – 5x + 6) é:

a) x < 2 ou x > 3 b) 2 < x < 3 c) 1 < x < 2 ou x > 3

d) x < 1 ou x > 3 e) 1 < x < 3

Resolução

f(x) = logx – 1 (x2 – 5x + 6)

D = {x IR / 1< x < 2 ou x > 3}

Resposta: C

Exercícios Resolvidos

01. (Vunesp) Sejam x e y números reais, com x > y. Se log3(x – y) = m e (x + y) = 9, determine:

a) o valor de log3(x + y);

b) log3(x2 – y2), em função de m.

Resolução

a) log3(x + y) = log39 = 2.

b) log3(x2 – y2) = log3 [(x + y) · (x – y)] =

log3 (x + y) + log3 (x – y) = m + 2.

02. Se log 2 = x e log 3 = y, então log 72 é igual a:

a) 2x + 3y b) 3x + 2y c) 3x – 2y d) 2x – 3y e) x + y

Resolução

log72 = log(23 · 32) = log23 + log32 =

= 3 · log2 + 2 · log3 = 3x + 2y

Resposta: B 03. (Fuvest-SP) Se x = log47 e y = log1649, então x – y é igual a: a) log4 7 b) log167 c) 1 d) 2 e) 0 Resolução

x – y = x – x = 0

Resposta: E

04. (UFF-RJ) Sendo log a = 11, log b = 0,5, log c = 6 e log = x, o valor de x é:

a) 5 b) 10 c) 15 d) 20 e) 25 Resolução

Resposta: B

Exercícios Resolvidos

01. (PUC-SP) Um estudante quer resolver a equação 2x = 5, utilizando uma calculadora que possui a tecla log x. Para obter um valor aproximado de x, o estudante deverá usar a calculadora para obter os seguintes números:

a) log 2, log 5 e log 5 – log 2 b) log 2, log 5 e log 5 : log 2 c) log 2, log 5 e log 25 d) 5/2 e log 5/2 e) e log Resolução

Aplicando logaritmo com base 10 nos dois membros temos: log 2x = log 5

x · log 2 = log 5 ⇒ x = Resposta: B

02. (FGV-SP) A equação logarítmica log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = 3

admite: a) uma única raiz irracional. b) duas raízes opostas. c) duas raízes cujo produto é – 4. d) uma única raiz e negativa. e) uma única raiz e maior do que 2. Resolução

Condição de existência: x + 1 > 0 ⇒ x > – 1 ; x – 1 > 0 ⇒ x > 1. Assim x > 1 log2 (x + 1) · (x – 1) = 3 log2 (x2 – 1) = 3 ⇒ x2 – 1 = 23 ⇒ x2 – 1 = 8

x = 3

Resposta: E

03. (Cesgranrio-RJ) Se log x representa o logaritmo decimal do número positivo x, a soma das raízes de log2 x – log x2 = 0 é:

a) – 1 b) 1 c) 20 d) 100 e) 101 Resolução

Condição de existência: x > 0 log2 x – log x2 = 0 log2 x – 2 log x = 0 Fazendo log x = y, obteremos: y2 – 2y = 0 y(y – 2) = 0 y = 0 ou y = 2 log x = 0 x = 1 log x = 2 x = 100

a soma das raízes será 101. S = {101} Resposta: E

Exercícios Resolvidos

01. (FCMSC-SP) São dados: log15 3 = a e log15 2 = b. O valor de log10 2 é:

a) b) c)

d) e)

Resolução Resposta: B

02. (FGV-SP) O produto (log92) · (log25) · (log53) é igual a:

a) 0 b) c) 10 d) 30 e)

Resolução

x =

Resposta: B

03. A expressão é equivalente a:

a) log250 b) log2 10 c) log2 5

d) log2 2 e) log2

Resolução

log2 3 · log3 5 · log5 10 = log2 10 e

Portanto

log2 10 + log2 = log2 10 Resposta: B