29_tensioni principali e direzioni principali di tensione

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Corso di Laurea: INGEGNERIA CIVILE E AMBIENTALE Insegnamento: Meccanica delle strutture n° Lezione: 29 Titolo: Tensioni principali e direzioni principali di tensione

FACOLTÀ DI INGEGNERIA

LEZIONE 29 – Tensioni principali e direzioni principali di tensione.

Nucleo tematico Lez. Contenuto

8 29 Analisi della tensione: tensioni principali e direzinoi principali di tensione; definizioni, osservazioni, esempi.

Nelle lezioni precedenti sono state definite la tensione in un punto ed il tensore di tensione; sono state inoltre mostrate le condizioni che devono essere soddisfatte dalle funzioni del punto che costituiscono detto tensore. In particolare, dopo aver riconosciuto la dipendenza della tensione dalla giacitura è stata esplicitata questa dipendenza (teorema di Cauchy). In questa lezione si mostra che tra le infinite giaciture passanti per un punto P di un solido ne esistono sempre alcune relativamente alle quali il vettore tensione è diretto ortogonalmente alle giaciture stesse. Di conseguenza su queste giaciture le tensioni tangenziali sono nulle e si ha solamente la presenza di tensione normale. Impostazione

Si supponga noto il tensore

[ ]

στττστττσ

=σ

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(29.1)

relativo ad un punto P di coordinate (x,y,z). Si cerca tra le infinite giaciture passanti per P se ne esiste qualcuna sulla quale il vettore tensione è diretto ortogonalmente alla giacitura stessa. Si cerca cioè se esiste qualche giacitura sulla quale le componenti tangenziali del vettore tensione sono nulle e quindi si ha solo la componente normale della tensione. Si cerca quindi se esiste una giacitura normale ad una retta m di versore m tale che su questa giacitura risulti (figura 29.1)

0m ≠σ 0mr =τ 0ms =τ (29.2)

essendo r ed s due rette giacenti sulla giacitura di normale m . Se una tale giacitura esiste ed è normale al versore m , la condizione di coincidenza tra la direzione della tensione ( )mzmymxm tttt = e la direzione di ( )zyx mmmm= è (figura 29.1)

mt mm ⋅σ= (29.3)

cioè, per componenti nel sistema di riferimento con assi (x,y,z)

mailto:[email protected]


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⋅σ=

=

z

y

x

m

mz

my

mx

m

mmm

ttt

t (29.4)

Figura 29.1.

D’altra parte il teorema di Cauchy assicura che il vettore tensione su una giacitura qualunque di normale m è data da

⋅

στττστττσ

=

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

mz

my

mx

m

mmm

ttt

t (29.5)

essendo mx, my ed mz le componenti del versore m , cioè i coseni direttori dell’asse m (figura 29.2). Eguagliando la (29.4) e la (29.5) si ottiene

⋅σ=

⋅

στττστττσ

z

y

x

m

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

mmm

mmm

(29.6)

che è un sistema lineare le cui incognite sono i coseni direttori mx my ed mz della normale alla giacitura sulla quale è soddisfatta la (29.4). Ricordando la definizione di autovalori e quella di autovettori di una matrice si riconosce che affinché sia soddisfatta la (29.6) σm deve essere un autovalore di [ ]σ e m = (mx, my, mz) deve essere un autovettore di [ ]σ . Ricordando poi che una matrice simmetrica ( [ ]σ è simmetrica per la reciprocità delle tensioni tangenziali) ha tre autovalori reali cui corrispondono tre autovettori ortogonali si conclude

π

P

m m

1m =

m

tm = σm

m

r s

τmr = 0 τms = 0



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che esistono tre giaciture mutuamente ortogonali passanti per P sulle quali è soddisfatta la (29.4), cioè sulle quali è presente solo tensione normale e sono nulle le tensioni tangenziali.

Figura 29.2.

Definizioni

Assegnato un punto P di un solido le tre giaciture mutuamente ortogonali passanti per P sulle quali è nulla la tensione tangenziale si dicono giaciture principali relative al punto P.

Le tre direzioni ortogonali alle giaciture principali si dicono direzioni principali di tensione o assi principali di tensione relative al punto P.

Le tensioni normali agenti sulle tre giaciture principali (e quindi aventi le direzioni delle direzioni principali di tensione) si dicono tensioni principali nel punto P.

I tre autovalori, cioè le tre tensioni principali σm ed i corrispondenti autovettori, che rappresentano le direzioni principali

( )zyx mmmm= , che soddisfano la (29.6) si determinano con i noti procedimenti dell’algebra lineare. Il sistema (29.6) è

( )

( )( )

=⋅σ−σ+⋅τ+⋅τ=⋅τ+⋅σ−σ+⋅τ=⋅τ+⋅τ+⋅σ−σ

0mmm0mmm0mmm

zmzyyzxxz

zyzymyxxy

zxzyxyxmx

(29.7)

ed in forma matriciale si scrive

P

x

y z

σy τyz

τyx

σz τzy

τzx

σx

τxy τxz

tmx

tm

m

tmz tmy

m

1m =

x

z y

mz

mx

my



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( )

( )( )

0mmm

z

y

x

mzyzxz

yzmyxy

xzxymx

=

⋅

σ−στττσ−στττσ−σ

(29.8)

avendo considerato la proprietà di reciprocità delle tensioni tangenziali e quindi avendo sostituito τxy a τyx, τxz a τzx e τyz a τzy. Questo sistema (che è un sistema lineare omogeneo) ammette solo la soluzione banale (mx = my = mz = 0) se la matrice dei coefficienti

( )

( )( )


mzyzxz

yzmyxy

xzxymx

(29.9)

ha rango 3 mentre ha infinite soluzioni se la matrice dei coefficienti ha rango inferiore a 3. Soluzioni non banali (peraltro la soluzione banale non ha senso fisico per il problema in esame in quanto i coseni direttori mx my ed mz di una retta non possono essere tutti nulli) si hanno quindi se e solo se la matrice dei coefficienti è singolare, cioè se e solo se il suo determinante è nullo. Quest’ultima condizione, cioè

[ ] [ ]( ) 0Idet m =⋅σ−σ (29.10)

è soddisfatta quando

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) 02yzmx

2xymz

2xzmy

xzyzxyxzyzxymzmzmx

=−τ⋅σ−σ−τ⋅σ−σ−τ⋅σ−σ−+τ⋅τ⋅τ+τ⋅τ⋅τ+σ−σ⋅σ−σ⋅σ−σ

(29.11)

essendo il primo membro della (29.11) lo sviluppo del determinante della matrice dei coefficienti (29.9). Riordinando la (29.11) si ha

( ) ( )

( ) 02 2xyz

2xzy

2yzxyzxzxyzyx

myyzzxyx2yz

2xz

2xy

2mzyx

3m

=τσ−τσ−τσ−τττ⋅+σσσ−+σ⋅σσ−σσ−σσ−τ+τ+τ−σ⋅σ+σ+σ−σ

(29.12)

che, ponendo

2xyz

2xzy

2yzxyzxzxyzyx3

2yz

2xz

2xyzyzxyx2

zyx1

2III

τσ−τσ−τσ−τττ⋅+σσσ=τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ=

σ+σ+σ= (29.13)

si può riscrivere come

0III 3m22m1

3m =−σ⋅+σ⋅−σ (29.14)

Si osserva poi che I3 è il determinante della matrice [ ]σ , cioè

[ ]( )σ=detI3 (29.15)

Si rammenta che il primo membro della (29.10) e cioè il polinomio al primo membro della (29.14) è detto polinomio caratteristico della matrice [ ]σ .



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La citata proprietà delle matrici simmetriche assicura che il polinomio caratteristico di [ ]σ ha tre radici reali, cioè che esistono tre valori di σm che rendono soddisfatta la (29.14) e quindi tre valori della tensione principale.

Nel caso in cui queste tre radici sono distinte, ad ognuna di esse resta associata una direzione principale mediante la soluzione del sistema (29.8); queste tre direzioni sono ortogonali per la citata proprietà di ortogonalità degli autovettori delle matrici simmetriche.

Nel caso in cui due di queste tre radici sono uguali (cioè si ha una radice multipla) tutte le direzioni di un piano ortogonale alla direzione principale associata alla terza delle radici della (29.14) sono direzioni principali.

Infine se tutte e tre le radici del polinomio caratteristico (29.14) sono uguali tutte le direzioni sono principali, cioè si ha in ogni su ogni giacitura solo tensione normale.

Si supponga di aver risolto l’equazione (29.14) e di aver determinato i valori σξ, ση ed σζ delle tensioni principali relative al punto P. Il versore ( )ζξξξ=ξ yx della direzione principale associata a σξ si determina risolvendo il sistema

( )

( )( )

0z

y

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

=

ξξξ

⋅


ξ

ξ

ξ

(29.16)

che ha al più due equazioni indipendenti in quanto la sua matrice dei coefficienti [ ] [ ]I⋅σ−σ ξ è singolare, essendo stata imposta la (29.10). Nel caso in cui la matrice [ ] [ ]I⋅σ−σ ξ ha rango 2 le componenti di

( )ζξξξ=ξ yx restano definite a meno di una costante (cioè la (29.16) definisce una retta che è la direzione principale relativa a σξ). Tra le infinite soluzioni del sistema (29.16), cioè tra gli infiniti vettori giacenti sulla direzione principale associata a σξ, l’unico di modulo unitario può determinarsi imponendo l’ulteriore condizione

12z

2y

2x1

2=ξ+ξ+ξ=ξ (29.17)

Nel caso in cui la matrice [ ] [ ]I1m ⋅σ−σ ha rango 1 le componenti di ( )ζξξξ=ξ yx restano definite a meno di due costanti (cioè il sistema (29.16) definisce un piano che contiene infinite direzioni principali relative a σξ). L’unica equazione indipendente del sistema (29.16) e la condizione (29.17) definiscono gli infiniti versori delle retta giacenti su questo piano. Osservazione 1

Assegnato in un punto P uno stato tensionale rappresentato da un tensore [ ]σ è dunque sempre possibile identificare tre assi



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ortogonali, detti assi principali di tensione in modo che sulle giaciture ad essi ortogonali è presente solo la componente normale della tensione (figura 29.3). Identificati questi assi è quindi sempre possibile assumere un sistema di riferimento con gli assi coincidenti con gli assi principali; rispetto a questo riferimento il tensore di tensione assume forma diagonale (essendo sulle giaciture principali nulle le tensioni tangenziali che sono gli elementi fuori dalla diagonale principale) ed ha sulla diagonale principale le tensioni principali. Se (ξ,η,ζ) sono le direzioni principali di tensione e σξ, ση ed σζ sono le tensioni principali, rispetto alla terna (ξ,η,ζ) il tensore di tensione assume la forma

[ ]

σσ

σ=σ

ζ

η

ξ

000000

(29.18)

Figura 29.3.

x

x

z

z

y

y

σy

τyx

τyz

σy

τyx

τyz σx

τxy τxz

σx

τxy τxz ση

η

σξ

ξ

σz

τzx

τzy

σz

τzx

τzy

ξ

σξ

σξ

ση η

ση

ζ

σζ σζ

x

z

y

σy

τyx

τyz

σy

τyx

τyz

τzy σz

τzx τzx

τzy σz

σx

τxy

τxz

τxz τxy

σx



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Di conseguenza adottando questo sistema di riferimento la tensione sulla generica giacitura normale alla retta n di versore ( )ζξξξ = nnnn è (formula di Cauchy)

⋅

σσ

σ=

=

ζ

η

ξ

ζ

η

ξ

ζ

η

ξ

nnn

000000

ttt

tn

n

n

n (29.19)

e quindi

⋅σ⋅σ⋅σ

=

=

ζζ

ηη

ξξ

ζ

η

ξ

nnn

ttt

tn

n

n

n (29.20)

evidentemente le componenti di nt restano in questo caso definite rispetto alla terna (ξ,η,ζ). Infine, noto il tensore rispetto alla terna (ξ,η,ζ), può applicarsi la (28.36) per calcolare le componenti del tensore rispetto ad una terna (x,y,z) qualsiasi:

[ ] [ ][ ] [ ]Txyz NN ⋅σ⋅=σ ξηζ (29.21)

cioè

⋅

σσ

σ⋅

=

στττστττσ

ζζζ

ηηη

ξξξ

ζ

η

ξ

ζηξ

ζηξ

ζηξ

wvuwvuwvu

000000

wwwvvvuuu

zyzxz

zyyxy

zxyxx

(29.22)

avendo indicato con (uξ, uη, uζ), con (vξ, vη, vζ) e con (wξ, wη, wζ) i coseni direttori degli assi x, y e z rispetto alla terna (ξ,η,ζ), cioè le componenti dei versori degli assi x, y e x rispetto alla terna (ξ,η,ζ), rispettivamente.

Un sistema di riferimento con gli assi orientati come la terna (ξ,η,ζ) degli assi principali di tensione si chiama sistema di riferimento principale.



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LEZIONE 29 – Sessione di studio 1 Tensioni principali e direzioni principali di tensione. In questa sessione è discusso un esempio relativo alla determinazinoe delle tensioni principali e delle direzioni principali di tensione. Esempio 29.1

Si determinino le tensioni principali e le direzioni principali di tensione dello stato tensionale nel punto P rappresentato rispetto agli assi (x,y,x) dal tensore

[ ] MPa3.35.08.05.04.24.08.04.02.3

zyzxz

zyyxy

zxyxx

−

−−=

στττστττσ

=σ (e.1.1)

Questo stato tensionale è rappresentato in figura 29.4.

Figura 29.4.

Si osservi che in figura 29.4 i vettori che indicano le tensioni sono stati rappresentati con i versi in accordo con i segni nel tensore (e.1.1).

Le tensioni principali sono le soluzioni dell’equazione

0III 3m22m1

3m =−σ⋅+σ⋅−σ (e.1.2)

nella quale per il caso in esame i coefficienti valgono

93.262I

37.11I5.2I

2xyz

2xzy

2yzxyzxzxyzyx3

2yz

2xz

2xyzyzxyx2

zyx1

−=τσ−τσ−τσ−τττ⋅+σσσ=−=τ−τ−τ−σσ+σσ+σσ=

=σ+σ+σ= (e.1.3)

Quindi l’equazione (e.1.2) è

τzx

z

σy

σy τyx

τyz

τyx

τyz σx

τxy

τxz

σx τxy

τxz

σz

τzx

τzy

σz τzy

y

x



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093.2637.115.2 m

2m

3m =+σ⋅−σ⋅−σ (e.1.4)

Studiando la funzione

( ) 93.2637.115.2f m2m

3mm +σ⋅−σ⋅−σ=σ (e.1.5)

si trova che questa ha il grafico di figura 29.5.

Figura 29.5.

Questo grafico interseca l’asse delle ascisse in corrispondenza dei valori di tensione

PaM57.3=σξ MPa26.2=ση MPa33.3−=σζ (e.1.6)

che sono quindi gli zeri del polinomio caratteristico (e.1.4) e quindi le tensioni principali.

La giacitura sula quale agisce la tensione principale PaM57.3=σξ si trova risolvendo il sistema (29.8) nel quale deve

essere introdotta al posto di σm la tensione principale relativamente alla quale si cerca la giacitura, cioè

( )

( )( )

0z

y

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

=

ξξξ

⋅


ξ

ξ

ξ

(e.1.7)

Si ha quindi il sistema

027.05.08.05.017.14.08.04.077.6

z

y

x=

ξξξ

⋅

−−−−−

(e.1.8)

le cui incognite sono le componenti del versore ( )yyx ξξξ=ξ della direzione principale di tensione associata alla tensione principale σξ, cioè i coseni direttori della retta ξ normale alla giacitura sulla quale agisce σξ. Il determinante della matrice dei coefficienti del sistema

-10

10

20

30

4 2 0 2 4

σm (MPa)

f(σm)

σξ ση σζ



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(e.1.8) dovrebbe essere nullo in quanto il valore PaM57.3=σξ è stato determinato imponendo la (e.1.2) e cioè annullando il determinante della matrice dei coefficienti (e.1.8); in effetti calcolando questo determinante si trova

026.027.05.08.05.017.14.08.04.077.6

det =

−−−−−

(e.1.9)

che non è zero a causa dell’approssimazione (troncamento) nella determinazione di σξ. Procedendo come se il determinante fosse nullo (e quindi come se una delle righe della matrice dei coefficienti fosse dipendente dalle altre due), si devono considerare due equazioni indipendenti della (e.1.8). Considerando la prima e l’ultima (questa scelta è ininfluente a patto che le due equazioni siano indipendenti) si ha

027.05.08.08.04.077.6

z

y

x=

ξξξ

⋅

−−−

(e.1.10)

Questo sistema definisce le componenti ξx, ξy e ξz a meno di una costante (è costituito da due equazioni e contiene tre incognite) che può essere determinata successivamente imponendo che la norma del vettore ( )yyx ξξξ=ξ

sia unitaria. Ogni vettore ( )zyx vvvv= che soddisfa il sistema (e.1.10) ha la direzione della direzione principale associata di tensione a σξ ma non necessariamente modulo unitario. Conviene pertanto determinare dapprima una qualunque delle infinite soluzioni del sistema (e.1.10) per poi determinarne le componenti del versore dividendo le componenti del vettore trovato per il suo modulo. Il vettore ( )zyx vvvv= soddisfa la (e.1.10) se

0vvv

27.05.08.08.04.077.6

z

y

x=

⋅

−−−

(e.1.11)

Siccome il sistema ha infinite soluzioni, cioè esistono infiniti valori vx, vy e vz che lo soddisfano, una qualunque soluzione può determinarsi assegnando arbitrariamente un valore ad una delle incognite e calcolando le altre due. Ponendo ad esempio vx = 1 si ottiene il sistema

−=⋅−⋅=⋅+⋅−

8.0v27.0v5.077.7v8.0v4.0

zy

zy

(e.1.12)

la cui soluzione è

99.4vy =

21.12vz =

(e.1.13)

Il vettore



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=

=

21.1299.41

vvv

vz

y

x

(e.1.14)

ha senz’altro la direzione della direzione principale di tensione associata a σξ (in quanto soddisfa il sistema (e.1.8)); tuttavia non ne è il versore in quanto non ha modulo unitario. Per determinare le componenti del versore è necessario dividere ogni componente di v per la norma (cioè per il modulo) di v , cioè per

23.1321.1299.41vvvv 2223

22

21 =++=++=

(e.1.15)

Si ottengono così le componenti del versore

08.023.13

1vvx

x ===ξ

38.0

23.1399.4

vvy

y ===ξ

92.0

23.1321.12

vvz

z ===ξ

(e.1.16)

Infine gli angoli che la direzione dell’asse principale ξ forma con gli assi x, y e z sono rispettivamente

°=ξ=α 4.85cosa xx

°=ξ=α 7.67cosa yy

°=ξ=α 1.23cosa zz

(e.1.17)

L’orientamento dell’asse ξ rispetto agli assi x, y e z è rappresentato in figura 29.6.

Figura 29.6.

ξ z

y

x

αx

αy αz



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La giacitura sula quale agisce la tensione principale MPa26.2=ση si trova poi risolvendo il sistema (29.8) nel quale deve

essere introdotta al posto di σm la tensione principale relativamente alla quale si cerca la giacitura, cioè

( )

( )( )

0z

y

x

zyzxz

yzyxy

xzxyx

=

ηηη

⋅


η

η

η

(e.1.18)

Si ha quindi il sistema

004.15.08.05.014.04.08.04.046.5

z

y

x=

ηηη

⋅

−

−−

(e.1.19)

le cui incognite sono le componenti del versore ( )yyx ηηη=η della direzione principale di tensione associata alla tensione principale ση, cioè i coseni direttori della retta η normale alla giacitura sulla quale agisce ση. Procedendo come per la direzione ξ, si devono considerare due equazioni indipendenti della (e.1.19). Considerando la prima e l’ultima si ha

004.15.08.08.04.046.5

z

y

x=

ηηη

⋅

−−

(e.1.20)

Questo sistema definisce le componenti ηx, ηy e ηz a meno di una costante che viene determinata successivamente imponendo che la norma del vettore ( )yyx ηηη=η

sia unitaria. Anche in questo caso si determina dapprima una qualunque soluzione ( )zyx wwww=

ponendo wx = 1. Si ottiene il sistema

−=⋅+⋅=⋅+⋅−

8.0w04.1w5.046.5w8.0w4.0

zy

zy

(e.1.21)

la cui soluzione è

74.7w y −=

95.2wz =

(e.1.22)

Il vettore

−=

=

95.274.7

1

www

wz

y

x

(e.1.23)

ha senz’altro la direzione della direzione principale di tensione associata a ση (in quanto soddisfa il sistema (e.1.19)); tuttavia non ne è il versore in quanto non ha modulo unitario. Per determinare le componenti del versore è necessario dividere ogni componente w per la norma di w , cioè per



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34.895.274.71wwww 2223

22

21 =++=++=

(e.1.24)

Si ottengono così le componenti del versore

12.034.81

ww x

x ===η

93.0

34.874.7

ww y

y −=−

==η

35.0

34.895.2

wwz

z ===η

(e.1.25)

Infine gli angoli che la direzione dell’asse principale η forma con gli assi x, y e z sono rispettivamente

°=η=β 1.83cosa xx

°=η=β 1.158cosa yy

°=η=β 3.69cosa zz

(e.1.26)

L’orientamento dell’asse η rispetto agli assi x, y e z è rappresentato in figura 29.7.

Figura 29.7.

Come controllo della correttezza dei risultati fin qui ottenuti può verificarsi che le direzioni ξ e η sono ortogonali (deve essere nullo il prodotto scalare tra i versori ξ ed η); in effetti risulta

( ) 02.035.093.0

12.092.038.008.0T =

−⋅=ηξ

(e.1.27)

che non è nullo a causa degli errori di arrotondamento.

z

η

y

x βx

βy βz



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La terza direzione principale di tensione può determinarsi semplicemente ricordando che deve essere ortogonale alle due appena trovate; in alternativa si può procedere in modo analogo a quanto visto per ξ ed η. Si trovano le componenti del versore

99.0x −=ζ

08.0y −=ζ

125.0z =ζ

(e.1.28)

e gli angoli

°=ζ=γ 5.171cosa xx

°=ζ=γ 6.94cosa yy

°=ζ=γ 8.82cosa zz

(e.1.29)

L’orientamento dell’asse ζ rispetto agli assi x, y e z è rappresentato in figura 29.8.

Figura 29.8.

La posizione della terna principale (ξ,η,ζ) rispetto alla terna (x,y,z) è mostrata in figura 29.9.

Figura 29.9.

ζ

x

z

η

y

ξ

ζ

z

y

x

γy

γz

γx



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Le tensioni agenti sulle giaciture ortogonali agli assi principali di tensione sonoe mostrate in figura 29.10.

Figura 29.10.

I due schemi di figura 29.10 rappresentano evidentemente lo stesso stato tensionale; nel primo sono evidenziate le tensioni sulle giaciture ortogonali agli assi (x,y,z); nel secondo sono evidenziate le tensioni sulle giaciture ortogonali agli assi (ξ,ψ,ζ). I tensori Equivalentemente i tensori

[ ] MPa3.35.08.05.04.24.08.04.02.3

xyz

−

−−=σ (e.1.30)

e

[ ] MPa33.300

026.200057.3

−=σ ξηζ (e.1.31)

rappresentano lo stesso stato tensionale rispetto al riferimento con assi (x,y,z) ed al riferimento principale, con assi (ξ,η,ζ).

τzx

z

σy

σy τyx

τyz

τyx

τyz σx

τxy

τxz

σx τxy

τxz

σz

τzx

τzy

σz τzy

y

x

z

ξ

η

ζ

σξ

σξ σζ

σζ

ση

ση y

x



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LEZIONE 29 – Sessione di studio 2 Tensioni principali e direzioni principali di tensione. Sono commentate nel seguito alcune ulteriori osservazioni relative agli argomenti esposti nella lezione. Osservazione 2

Ad ogni punto P di coordinate (x,y,z) è associato un tensore [ ]σ le cui componenti sono funzioni delle coordinate del punto. Pertanto ad ogni punto P del solido restano associate tre tensioni principali che sono funzioni delle coordinate del punto e tre direzioni principali le cui componenti sono funzioni delle coordinate del punto. Le tensioni e le direzioni principali variano quindi da punto a punto del solido. Osservazione 3

Si ricorda dall’algebra lineare che due matrici quadrate [ ]A e [ ]B si dicono simili se esiste una matrice invertibile [ ]T , della stessa dimensione di [ ]A e [ ]B tale che

[ ] [ ] [ ][ ]TATB 1 ⋅⋅= − (29.23)

Confrrontando la (29.23) con la (28.36) qui riportata per comodità

[ ] [ ][ ] [ ]Txyznpq NN ⋅σ⋅=σ (29.24)

e ricordando che [ ]N è una matrice ortogonale si riconosce che le matrici [ ]npqσ e [ ]xyzσ che rappresentano lo stesso stato tensionale rispetto ai riferimenti con assi (n,p,q) ed (x,y,z) sono simili essendo

[ ] [ ] [ ]INN T =⋅ (29.25)

Si ricorda inoltre che due matrici simili hanno lo stesso polinomio caratteristico e quindi gli stessi autovalori.

Questa proprietà consente di affermare che le matrici [ ]npqσ e [ ]xyzσ che rappresentano lo stesso stato tensionale rispetto ai riferimenti con assi (n,p,q) ed (x,y,z) hanno gli stessi autovalori e quindi che le tensioni principali sono indipendenti dal sistema di riferimento utilizzato per rappresentare il tensore di tensione, come evidente anche considerando il significato fisico di queste grandezze. Può inoltre affermarsi che i coefficienti (29.13) del polinomio caratteristico non dipendono dal sistema di riferimento utilizzato per rappresentare il tensione di tensione. Questo giustifica la seguente definizione. Definizione

I coefficienti del polinomio caratteristico di un tensore di tensione si dicono invarianti di tensione. In particolare I1 si chiama



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primo invariante di tensione; I2 si chiama secondo invariante di tensione; I3 si chiama terzo invariante di tensione.

Evidentemente “invariante” deve intendersi rispetto ad un cambio del sistema di riferimento.

Si osserva infine che se si sceglie di riferire il tensore al sistema di riferimento principale questi invarianti sono

ζηξ

ζηζξηξ

ζηξ

σσσ=σσ+σσ+σσ=

σ+σ+σ=

3

2

1

III

(29.26)

essendo σξ, ση ed σζ le tensioni principali. Osservazione 4

La tensione sulle giaciture passanti per un punto P di un solido è governata dalla formula di Cauchy

⋅

στττστττσ

=

=

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

nz

ny

nx

n

nnn

ttt

t (29.27)

La componente normale della tensione sul piano di normale n è data dalla prima delle equazioni (28.31), cioè

( )

⋅=σ

nz

ny

nx

zyxn

ttt

nnn (29.28)

che è il prodotto scalare tra il vettore ( )zyx nnnn= ed il vettore( )nznynxn tttt = .

Sostituendo la (29.27) nella (29.28) si esplicita la dipendenza della tensione normale dalla giacitura, identificata dai coseni direttori della sua normale

( )

⋅

στττστττσ

⋅=σ

z

y

x

zyzxz

zyyxy

zxyxx

zyxn

nnn

nnn (29.29)

in forma sintetica

[ ]nnTn ⋅σ⋅=σ (29.30)

È logico attendersi che esista una giacitura sulla quale la tensione normale è minima, cioè più piccola di tutte le tensioni normali agenti sulle altre giaciture per P, ed una giacitura sulla quale la tensione normale è massima, cioè più grande di tutte le tensioni normali agenti sulle altre giaciture per P.



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Si può dimostrare che le giaciture sulle quali la tensione normale è minima e massima sono due direzioni principali di tensione. Conseguentemente, due tra le tre tensioni principali sono la tensione normale minima e la tensione normale massima tra quelle relative alle infinite giaciture passanti per un punto P. Può infine affermarsi che sulle giaciture sulle quali si ha la tensione normale massima e la tensione normale minima è nulla la tensione tangenziale.



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LEZIONE 29 – Sessione di studio 3 Tensioni principali e direzioni principali di tensione. In questa sessione si suggerisce al lettore di rivedere alcune questioni di algebra lineare che saranno utili per una più completa comprensione degli argomenti trattati; in particolare:

- autovalori ed autovettori; - matrici simmetriche e loro proprietà; - matrici simili; - vettori e versori nello spazio.


29_tensioni principali e direzioni principali di tensione

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