2_aula ações.pdf
TRANSCRIPT
TEORIA DAS ESTRUTURAS
AULA
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite.
Ações Atuantes nas Estruturas – Aula 2
2
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
AULA 2
-REVISÃO: COMPONENTES DE UMA FORÇA;
RESULTANTE DE FORÇAS
(no plano e no espaço)
-EQUILÍBRIO DE UM PONTO MATERIAL
-EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS
-REAÇÕES NOS VÍNCULOS DE UMA ESTRUTURA
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Sistema Internacional (SI) de UnidadesMetro (m); quilograma (kg), segundo (s); Newton (N).
1N é a força que imprime aceleração de 1m/s2 à massa de 1kg.Unidade de força: NUnidade de distância: mUnidade de tensão: Pascal (Pa) Pa = N/m2
Unidade de momento: N.m
Prefixos SI
Ex: 1kN = 103 N; 1MPa = 106 Pa; 1GPa = 109 Pa1Kgf = 9,82 N 10N
Fator de multiplicação Prefixo símbologiga Gmega Mquilo k
109
106
103
≅
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Forças
Força representa a ação de um corpo sobre outro . É caracterizadapor seu ponto de aplicação, sua intensidade, direção e sentido érepresentada por um vetor. Graficamente é dada por um segmentodefinido ao longo de sua linha de ação (reta onde a força atua) Direção: é definida por sua linha de ação
Intensidade: comprimento do segmento (módulo do vetor) Sentido: indicado pela seta
10N linha de ação
A
NF 10=ρ
NF 10=ρ
NFF 10==ρ
NF 10=ρ
Fρ
módulo
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Resultante de Forças
� Resultante ( ) é uma única força que produz o mesmoefeito de 2 ou mais forças.
� Inicialmente será considerado que o tamanho e a forma dos corpos não afetam a solução dos problemas todas as forçasque atuam no corpo serão considerandas atuando em um únicoponto (ponto material).
� Na maioria das vezes um corpo não pode ser tratado como um ponto material um corpo é um conjunto de grande númerosde pontos materiais.
� Vetores obedecem à lei do paralelogramo
Rϖ
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Resultante de Forças no Plano
Lei do paralelogramo: a resultante ( ) de duas forças ( e ) é dada pela diagonal do paralelogramo cujos lados são iguais às forças e
Regra do Triângulo: é obtida unindo o início de com o fim de (parte superior do paralelogramo) ou unindo o início de com o fim de
.
Rϖ
Rϖ
1Fρ
1Fρ
2Fρ
2Fρ
2Fρ
1Fρ
2Fρ
1Fρ
21 FFRρρϖ
+=
Rϖ
1Fρ
2Fρ
2Fρ
1Fρ
Rϖ1F
ρRϖ
2Fρ
2Fρ
1Fρ
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Resultante de Forças no Plano Subtração de 2 forças:
Soma de 3 forças:
aplica a lei paralelogramo ou regra do triângulo 2 vezes (não importa a ordem que os vetores são somados)
Soma de 4 ou mais forças coplanares (forças que estão no mesmo plano) e concorrentes (forças que passam pelo mesmo ponto):aplica a lei do paralelogramo quantas vezes for necessário (ex1 e 2)
Pρ
Qρ
Qρ
− Oposto de ) Qρ
( )QPQPρϖρϖ
−+=−
Pρ
Qρ
QPρϖ
+
Pρ
Qρ
−
QPρϖ
−
( ) SQPSQPρρϖρρϖ
++=++Pρ
Qρ
Sρ
SQPρρϖ
++
QPρϖ
+
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Decomposição de uma força emcomponentes
Uma força que atua sobre um ponto pode ser substituída por 2 ou mais forças que tenham o mesmo efeito que componentes de
Há um número infinito de conjuntos de componentes
Exemplo: decomposição de em 2 componentes, segundo as direções x1 e x2.
Fρ
Fρ
Fρ
Fρ
Pρ
Qρ
Fρ
1x
2x
Pρ
Qρ
e Componentes de Fρ
Fρ
Nas extremidades de passam paralelas segundo as direções x1 e x2 encontra e
Fρ
Pρ
Qρ
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Decomposição de uma força emcomponentes
� Casos Comuns:a) Uma das componentes é conhecida: a outra é obtida pela
regra do triângulo. Exemplo: se é conhecida, obtém unindo a extremidade de com a de .
b) As linhas de ação das componentes são conhecidas a intensidade e sentido das componentes são obtidas pela lei do paralelogramo ou regra do triângulo
Qρ
Fρ
1x
2x
Fρ
Pρ
Pρ
Qρ
Fρ
Pρ
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Componentes cartesianas de uma força no plano
� São as componentes de nas direções dos eixos de coordenadas cartesianas (x,y).
� No plano é decomposta em e
Fρ
Fρ
xFρ
yFρ
x
y
Fρ
θ
xFρ
yFρ ou
rotacionandoo sistema
x
y Fρ
xFρ
yFρ
θ
iρ
jρ
Fx e Fy componentes escalares de (Fx e Fy podem ser positivas ou negativas)
Fρ
yx FFFϖρρ
+= jFiFF yx
ρρρ+=θcosFFx
ρ= θsenFFy
ρ=
xFρ
yFρ
e componentes vetoriais de Fρ
Fy
iFF xx
ρρ= jFF yy
ρρ=
Ex3, 4 e 5222
xy FFFρρρ
+=22
xy FFFρρρ
+=
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Resultante de forças no plano pela soma das componentes em x e y
� Cada força é decomposta em x e y
yRρ
xRρ
Soma das componentes em x
Soma das componentes em y
Rρ
Resultante das forças yx RRR +=ρρ
jRiRR yx
ρρρ+=
Exemplo: resultante das forças
( ) ( ) jFiFjSQPiSQPjRiRR yxyyyxxxyx
ρρρρρρρ∑∑ +=+++++=+=
SQPRρρρρ
++=Qρ
Pρ
Sρ
Qρ P
ρ
Sρ
x
y
jPy
ρ
iPx
ρ
jQy
ρ
iQx
ρ
jS y
ρ iSx
ρx
y
jRy
ρ
iRx
ρ
Rρ
Ex 6
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Componentes cartesianas de uma força no espaço
� No espaço é decomposta em , e
� Se , e são os ângulos que faz, respectivamente com os
eixos x, y e z:
Fρ
xFρ
yFρ
iFF xx
ρρ= jFF yy
ρρ=
zFρ
kFF zz
ρρ=
zyx FFFFϖϖρρ
++=
kFjFiFF zyx
ρρρρ++=
xθ yθ zθ Fρ
xx FF θcosρ
=yy FF θcos
ρ= zz FF θcos
ρ=
x
y
z
xFρ
yFρ
zFρ
x
y
z
xFρ
x
y
z
xFρ
yFρ
zFρ
x
y
z
xFρ
yFρ
zFρ
iρ
jρ
kρ
Fρ F
ρ
Fρ
Fρ
A
O
xθ D
A
yθ
D
yFρ
zFρ
A
D
O
zθ
O
222
zxy FFFFρρρρ
++= Ex 7, 8 9
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Seja o plano OBAC que contém o eixo y e a
força . A orientação de OBAC é definida
pelo ângulo que OBAC faz com o plano xy.
A orientação de dentro do plano OBAC é
definida pelo ângulo que faz com o eixo
y.
Componentes cartesianas de uma força no espaço (cont.)
Fρ
φ
Fρ
yθ
Fρ
x
y
z
Fρ
O
Plano xz
B
C
A
φ
Plano xy
yθ
Fρ
hFρ
yFρ
pode ser decomposta em e (contida no plano xz):
x
y
z
FρB
C
A
yθ
hFρ
yFρ
Decompondo em e xF
ρzFρ hF
ρ
x
y
z
Fρ
hFρ
yFρ
xFρ
zFρ
φO
yy FF θcosρ
=
yh senFF θρ
=
φcoshx FF =
φsenFF hz =
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Forças no espaço (cont.)
� Aplicando o Teorema de Pitágoras aos triângulos OAB e OCD:
x
y
z
Fρ
yFρ
xFρ
zFρ
φ
yθ
B
A
O
C
D
hFρ
222
hy FFFρρρ
+=OAB
222
ZXH FFFρρρ
+=OCD
Portanto:2222
zxy FFFFρρρρ
++=
222
zxy FFFFρρρρ
++=
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Resultante de forças concorrentes no espaço
� Cada força é decomposta em x, y e z
yRρ
xRρ
Soma das componentes em x
Soma das componentes em y
Rρ
Resultante das forças
zyx RRRRρρρρ
++=
Exemplo: resultante das forças
( ) ( ) ( )kSQPjSQPiSQPR zzzyyyxxx
ρρρρ++++++++=
SQPRρρρρ
++=
Qρ
Pρ
Sρ
jRy
ρ
iRx
ρ
kFjFiFkRjRiRR zyxzyx
ρρρρρρρ∑∑∑ ++=++=
zRρ Soma das componentes
em z
x
y
z
kRz
ρ
Rρ
Rx Ry RzEx 10
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Equilíbrio de um ponto material� Um ponto está em equilíbrio quando a resultante de todas as
forças que agem sobre ele é nula.
� Se o ponto está em equilíbrio, o efeito global de todas as forças que agem nele é nulo.
� 1a Lei de Newton: Se a forca resultante que atua em um pontomaterial tem intensidade igual a zero, esse ponto permanece emrepouso (se estava em repouso) ou se move ao longo de umareta com velocidade constante ( se estava em movimento).
Exemplo 1: 2 forças de mesma intensidade, mesma direção, mas sentidos contrários(As 2 forças estão em equilíbrio)
0ρρ
=R
0∑ == xx FR 0∑ == zz FR0∑ == yy FR
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Equilíbrio de um ponto material
� Exemplo 2: 4 forças agem no ponto A, cuja soma dázero (no polígono, a extremidade de coincide com o início de )
4Fρ
1Fρ
Regra do polígono 0
ρρ=R
Analiticamente:
010005001500º302000º3001001500 =−−=−−== ∑ sensenFR xx
01732866866º30cos2000º30cos1000866 =+−−=+−−== ∑ yy FR
(graficamente)
y
x
Sistema de forças em equilíbrio
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
EQUILÍBRIO DOS CORPOS RÍGIDOS
� Seja um corpo sujeito a um conjunto de forças. Essas forças podem ser deslocadas para um ponto qualquer O do corpo, desde que além das forças considere também em O, os momentos dessas forças em relação a O. Se a soma de todas essas forças e a soma de todos esses momentos forem nulos, diz-se que o corpo está em equilíbrio.
( ) 0∑ ∑ =×= FrM o
ρρρ0∑ =F
ρCorpo em equilíbrio e
Decompondo cada força e cada momento em suas componentes cartesianas:
Corpo em equilíbrio:0∑ =xM
0∑ =xF
0∑ =yM
0∑ =yF
0∑ =zM
0∑ =zF
O sistema de forças não provoca no corpo movimento de translação nem de rotação
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Reações (forças de vínculo) numa estrutura
� Ações externas conhecidas forças ou qualquer outro tipo de ação que cause deformação na estrutura. Exemplos: peso do corpo, vento, variação de temperatura, movimento do solo sobre o qual a estrutura está apoiada (recalque), forças decorrentes do tipo de utilização da estrutura (peso de paredes, equipamentos, etc)
� Forças externas desconhecidas reações ou forças de vínculos. Através dessas forças o solo e/ou outros corpos impedem que a estrutura se translade ou sofra rotação, obrigando-a a permanecer na mesma posição. As reações ocorrem nos pontos da estrutura onde a mesma évinculada (tem contato) com o solo ou outro corpo.
Reações incógnitas do problema
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
� Numa estrutura bidimensional, há 3 tipos de vínculos:1. Apoio móvel (1º gênero) Impede apenas 1 movimento de
translação (a reação tem linha de ação conhecida). Exemplos
Reações (forças de vínculo) numa estrutura
Impedem o movimento vertical
Ry Reação: Ry
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
2. Apoio fixo (2º gênero) Impede a translação em todas as direções, mas não impede rotação. (a reação não tem linha de ação conhecida). Exemplos
3. Engaste (3º gênero) Impede movimentos de translação e rotação
Reações (forças de vínculo) numa estrutura
Impedem o movimento vertical e horizontal
RyRx
Ry
Rx
Reações: Rx e Ry
Reações: Rx, Ry e MZMz
ENGASTAMENTO
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Reações (forças de vínculo) numa estrutura
Representação:
a)Viga em balanço engastada na extremidade:
b)Viga bi-apoiada
engaste Apoio fixo
Apoio móvel
Ry
Rx
RyRy
Rx
M
Exemplo: dente Gerber Representa um apoio fixo (uma
viga está se apoiando na outra)
Outra representação de apoio móvel:
A B
Apoio móvel RA
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Representa um apoio móvel (rolete confinado entre chapas planas)
Exemplos de apoios em estruturas
a)Pontes em viga (entre a viga e o pilar existe um aparelho de apoio)
Esquema estático: (cada pilar representa um apoio para a viga; as vigas são calculadas separadas dos pilares)
Viga com 4 apoios
vigapilar
Esquema estático: viga com 4 apoios e 2 balanços)
viga
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
a)Pontes em Pórtico (não há aparelho de apoio entre viga e pilar, vigas e pilares formam um único sólido)
Esquema estático: (considera as vigas junto com os pilares formando um pórtico)
Considera esses apoios como apoio fixo ou engaste dependendo da rigidez do solo onde o pórtico estáapoiado
ou
Esquema estático:
PÓRTICO
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Treliças Planas para Coberturas: tesourasTreliças Planas para Coberturas: tesouras
Treliça plana
Pilar que serve de apoio para a treliça
Esquema estáticoExemplos:
a)
b)
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Treliças para Pontes e PassarelasTreliças para Pontes e Passarelas
a) Exemplos de esquemas estáticos
b) Exemplos de pontes treliçadas
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
EQUILÍBRIO DE UM CORPO BIDIMENSIONAL
� Seja uma estrutura bidimensional, definida no plano (x,y): as forças são na direção x e y; os momentos são em torno do eixo z, logo:
0∑ =xF 0∑ =yF 0∑ =AM
0=xM 0=yM0=zF
zA MM =
A estrutura estará em equilíbrio se:
Momento em torno do eixo z, em relação a um ponto qualquer A da estrutura
Através das equações de equilíbrio, calculam-se as reações nos vínculos, que são incógnitas.
ESTRUTURA ISOSTÁTICA Nº de reações incógnitas = Nº de equações de equilíbrio
3 equações de equilíbrio
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS
ESTRUTURA ISOSTÁTICA Nº de reações incógnitas = Nº de equações de equilíbrio
ESTRUTURA HIPOSTÁTICA Nº de reações incógnitas < Nº de equações de equilíbrio
O nº de vínculos que a estrutura possui, é apenas aquele necessário para impedir seu movimento ( a estrutura não se movimenta)
O nº de vínculos que a estrutura possui é menor que aquele necessário para impedir seu movimento ( a estrutura se movimenta)
ESTRUTURA HIPERESTÁTICA Nº de reações incógnitas >Nº de equações de equilíbrio
O nº de vínculos que a estrutura possui é maior que aquele necessário para impedir seu movimento ( a estrutura não se movimenta)
Movimento horizontal não estáimpedido!
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS
ATENÇÃO: pode acontecer do nº de vínculos ser igual ao nº de equações de equilíbrio, porém eles não serem suficientes para impedir que a estrutura se movimente. Nesse caso, diz-se que a estrutura estávinculada de forma ineficaz ( alguma das equações de equilíbrio não ésatisfeita. Exemplo:
A equação não é satisfeita (a menos que a soma das componentes em x das forças externas aplicadas se anulem). A treliça pode se movimentar horizontalmente. Uma das reações verticais não poderá ser determinada.
0∑ =xF
DIGRAMA DE CORPO LIVRE: retiram-se os vínculos da estrutura e desenha a estrutura indicando todas as forças externas atuantes e as reações incógnitas yAR
yER yBR
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
EQUILÍBRIO DE ESTRUTURAS TRIDIMENSIONAIS
� Em um determinado ponto de uma estrutura tridimensional, pode-se ter 6 movimentos: 3 de translação nas direções x, y e z e 3 rotações em torno dos eixos x, y e z.
� O nº de reações incógnitas em um vínculo pode variar de 1 a 6, dependendo de quantos desses 6 movimentos estiverem impedidos. Terá uma reação incógnita na direção de cada movimento impedido. Por exemplo, em engaste (todos os movimentos são impedidos), têm-se como reações: Rx, Ry, Rz, Mx, My, Mz.
� Equações de Equilíbrio:
0∑ =xM
0∑ =xF
0∑ =yM
0∑ =yF
0∑ =zM
0∑ =zF
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Revisão
- CENTRÓIDE DE UMA SUPERFÍCIE
-MOMENTO ESTÁTICO DE UMA SUPERFÍCIE
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO BIDIMENSIONAL
Seja uma placa horizontal, cujo módulo do peso é P. Pode-se dividir essa placa em n pedaços, denominados elementos, sendo:
elemento coordenadas Peso
1 (x1,y1) ΔP1
2 (x2,y2) ΔP2
i (xi,yi) ΔPi
ΔΔΔΔPi
Elemento i
xiyi
nPPPP ∆++∆+∆= .....21
Para elementos infinitesimais ∫= dPP
CG: centro de gravidade (baricentro) da placa, ponto de aplicação da resultante P
( )yx, Coordenadas do CG CG
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CG
CÁLCULO DO CENTRO DE GRAVIDADE DE UM CORPO BIDIMENSIONAL
Momento de P em relação ao ponto O ( )∑ ∆= PMPM oo )(
xPPM yo =)()( ( ) nnyo PxPxPxPM ∆++∆+∆=∆∑ ....2211)(
ΔΔΔΔPi
Elemento i
xiyi
yPPM xo =)()( ( ) nnxo PyPyPyPM ∆++∆+∆=∆∑ ....2211)(
Para elementos infinitesimais
( )∑ ∫= xdPdPM yo)(
( )∑ ∫= ydPdPM xo)(
( )∑= dPMPM xoxo )()( )(
∫= xdPxP
P
xdPx∫=( )∑= dPMPM yoyo )()( )(
∫= ydPyPP
ydPy∫=
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CG DE SUPERFÍCIES HOMOGÊNEAS E ESPESSURA CONSTANTE
Para uma placa homogênea de espessura constante o módulo do peso de um elemento i da placa é dado por:
ii AtP ∆=∆ γt é a espessura da placa
é o peso específico (peso por unidade de volume) do materialγ
iA∆ é a área do elemento i
Dividindo a placa em elementos infinitesimais, o módulo do seu peso édado por:
∫ == AtdAtP γγ A é a área da placa
∫= xdPxP ( ) ( )∫= dAtxxAt γγ ∫= xdAAxA
xdAx∫=
∫= ydPyP ( ) ( )∫= dAtyyAt γγ ∫= ydAAyA
ydAy∫=
Coordenadas do CG:
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CENTRÓIDES DE SUPERFÍCIES
Coordenadas do CG da placa homogênea:
O ponto de coordenadas também é conhecido como centróide C da superfície da placa. Se a placa não for homogênea essas equações não podem ser usadas para definir o CG, mas podem ser usadas para definir o centróide da superfície.
Centróide (C) de uma superfície de área A:
A
xdAx∫=
A
ydAy∫=
Portanto, o CG é o local onde a força peso está aplicada e o C é uma propriedade geométrica caracterizando o centro da figura.
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
MOMENTO DE 1ª ORDEM (MOMENTO ESTÁTICO) DE SUPERFÍCIES
A
xdAx∫=
A
ydAy∫=
Coordenadas do centróide (C) de uma superfície:
∫= xdAQy
∫= ydAQxMomento de 1ª ordem (momento estático) da superfície A em relação ao eixo x
A
Qx
y=
A
Qy x=
Coordenadas do centróide de uma superfície:
0=x
0=yQ
Momento de 1ª ordem (momento estático) da superfície A em relação ao eixo y
Obs: se o centróide estiver sobre um eixo coordenado , o momento estático em relação a esse eixo será nulo (ex: se o centróide está sobre o eixo y )
Obs: o Momento Estático é uma definição matemática e será ú til no cálculo das forças cortantes devidas a carregamentos transversais.
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
SUPERFÍCIES SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO A UM EI XO Q UAL Q UER
Uma superfície A é simétrica em relação a um eixo B B ’se a todo ponto P da superfície tiver um ponto P’ da mesma superfície, de tal modo que PP’ seja perpendicular a B B ’ e que o eixo B B ’ divida a superfície em 2 partes iguais.
P
P’
Q uando uma superfície A possui um eixo de simetria B B ’, o centróide da superfície deve estar sobre esse eixo, e portanto o momento estático em relação ao eixo B B ’ será nulo
Superfície simétrica em relação ao eixo BB’
Superfície simétrica em relação ao eixo y ( )
Centróide sobre o eixo y
0=x 0=yQ
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
SUPERFÍCIES SIMÉTRICAS EM RELAÇÃO A 2 EI X OS
Se a superfície possui 2 eixos de simetria, seu centróide está situado na interseção desses eixos.
B
B’
D
D’
C
Superfície simétrica em relação aos eixos BB’ E DD’
BB’
D
D’
C
Superfície simétrica em relação aos eixos BB’ E DD’
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
SUPERFÍCIE SIMÉTRICA EM RELAÇÃO A UM PONTO (centro de simetria)
Uma superfície é simétrica em relação a um centro O se para cada ponto P de coordenadas (x,y) corresponder um ponto P’ de coordenadas (-x,-y). Nesse caso o centróide coincide com o centro de simetria O (. ) e portanto: 0=x 0=yQCO = 0=y 0=xQ
BB’
D
D’
C=O
Centro de simetria (O) coincidente com o centróide (C)
Se a figura tiver 2 eixos de simetria perpendiculares entre si, o ponto de interseção dos eixos será um centro de simetria
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
SUPERFÍCIE SIMÉTRICA EM RELAÇÃO A UM PONTO (centro de simetria)
Uma figura que tem um centro de simetria não tem, necessariamente, um eixo de simetria. Exemplo:
P
P’
O=C
y
-y
x
-x
X e y não são eixos de simetria, porque a reta PP’ não éperpendicular a nenhum deles
Centro de simetria
Uma figura que tem 2 eixos de simetria não tem, necessariamente, um centro de simetria.
B
B’D
D’
C
Não é Centro de simetria
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CENTRÓIDES DE FORMAS COMUNS DE SUPERFÍCIES
Forma da superfície
Triângulo
Quarto de elipse
Semi-elipse
Semiparábola
Parábola
Quarto de círculo
Semicírculo
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CENTRÓIDES DE FORMAS COMUNS DE SUPERFÍCIES (cont.)
Forma da superfícieLimitada por 2 segmentos de reta perpendiculares e um arco de parábola do 2ºgrau
Limitada por 2 segmentos de reta perpendiculares e um arco de parábola de grau n
Setor circular
Áreax y
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CENTRO DE GRAVIDADE DE ÁREAS COMPOSTAS
Em muitos casos uma área de forma qualquer pode ser decomposta em várias áreas de formas usuais como aquelas da tabela anterior.
( )YX ,
+∆ 11 Px
( ) nnn PyPyPyPPPY +++=+++ ......... 221121
Cálculo do CG da área composta:
Sejam P1, P2,....Pn os pesos das n áreas em que a área total pode ser decomposta
P = peso total da superfície nPPPP +++= ....21
P
CG CG1CG2
CG3
∑ xM
Sejam , ..... as coordenadas dos CG dessas n áreas( )11, yx ( )22 , yx ( )nn yx ,
( ) nnn PxPxPxPPPX +++=+++ ......... 221121∑ yM
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
∑∑
∑
==
= ==n
i
i
x
n
i
i
n
i
ii
A
Q
A
Ay
Y
11
1
AtP γ=
CENTRO DE GRAVIDADE DE ÁREAS COMPOSTAS
Sendo a superfície homogênea e de espessura constante: CG=C
( ) nnn AyAyAyAAAY +++=+++ ......... 221121
( ) nnn PxPxPxPPPX +++=+++ ......... 221121
( ) nnn PyPyPyPPPY +++=+++ ......... 221121
( ) nnn AxAxAxAAAX +++=+++ ......... 221121
∑∑
∑
==
= ==n
i
i
y
n
i
i
n
i
ii
A
Q
A
Ax
X
11
1
∑=
=n
i
iix AyQ1
∑=
=n
i
iiy AxQ1
∑=
=n
i
ix AYQ1
∑=
=n
i
iy AXQ1
ou
ou
AtP γ=
EX 1, 2, 3 e 4
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CÁLCULO DO CENTRÓIDE POR INTEGRAÇÃO
Se o elemento infinitesimal de área dA for escolhido como sendo um retângulo (lados dx e dy), a solução de é dada por uma integral dupla (integra-se em x e y) ∫ xdA
Seja R a equação da curva que define a superfície.
R(x,y) : se R é dada em função das coordenadas cartesianas x e y;
R(r,θ): se R é dada em função das coordenadas polares r e θ
∫= xdAAx ∫= ydAAyCoordenadas do centróide (C) da superfície:
dx
dA
y x
x
y
R(x,y)
O
dy
∫∫∫ = xdxdyxdA
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CÁLCULO DO CENTRÓIDE POR INTEGRAÇÃO
Para evitar o cálculo da integral dupla, quando se tem R(x,y) escolhe dA como um retângulo estreito e para R(r,θ) escolhe dA como um setor fino circular solução de uma integral simples em x ou y ou θsimplifica o cálculo
R(r,θθθθ)
dA
( )elel yx , Coordenadas do centróide do elemento de área dA
y
x
x
y
dy
a
a-x dA
ely
elx
R(x,y)
O
dx
dA
y
x
x
y
elx
ely
R(x,y)
O
Fazendo-se o momento estático de toda a área igual à soma (ou integral) dos momentos estáticos de cada elemento de área:
∫== dAxAxQ ely ∫== dAyAyQ elx
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
A
dAxx
el∫=A
dAyy
el∫=
Coordenadas do centróide (C) da superfície:
CÁLCULO DO CENTRÓIDE POR INTEGRAÇÃO
∫== dAxAxQ ely ∫== dAyAyQ elx
∫= dAAObs: se a área não for conhecida, pode-se calculá-la:
Integrais simples (em x, y ou θ) para elementos retangulares ou em forma de setor circular
y
x
x
y
dy
a
a-x dA
ely
elx
R(x,y)
O
dx
dA
y
x
x
y
elx
ely
R(x,y)
O
Momentos Estáticos:
( )elel yx , Coordenadas do centróide do elemento de área dA
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
Centróide do retângulo: no seu centro; Centróide do setor fino: à distância (2/3)r de seu vértice.
R(r,θθθθ)
dA (triângulo)
CÁLCULO DO CENTRÓIDE POR INTEGRAÇÃO
ydxdA = ( )dyxadA −=
xxel =
( ) θθ drrdrbhdA 2
2
1
2
1
2
1===
yyel = θcos3
2rxel =2
yyel = θsen
ryel 3
2=2
xaxel
+=
( )elel yx ,Cálculo das Coordenadas do centróide do elemento de área dA
y
x
x
y
dy
a
a-x dA
ely
elx
R(x,y)
O
dx
dA
y
x
x
y
elx
ely
R(x,y)
O
Ex 5 e 6
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CARGAS DISTRIBUÍDAS SOBRE VIGAS
Cargas distribuídas em vigas: devido ao peso próprio da viga, ao peso de materiais apoiados sobre ela ou devido à água, ao vento.....
Seja uma carga distribuída p (carga por unidade de comprimento ex: N/m) que age sobre a viga OB. A força concentrada (dP) exercida sobre um elemento de viga dx é: pdxdP =
dPp
p dPpdxdA ==
Carga Concentrada total P (em N) suportada pela viga:
∫∫∫ ====LLL
AdApdxdPP000
A: área total sob a curva definida pela carga p
)( nxfp =
AP =A carga concentrada P é igual à área definida pela carga distribuída p
A
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CARGAS DISTRIBUÍDAS SOBRE VIGASA que distância do ponto O deve estar uma carga concentrada P (de mesmo módulo da resultante da carga p) que produza as mesmas reações de apoio que a carga distribuída p?
Igualando o momento (em relação ao ponto O) da carga concentrada P ao momento devido à carga distribuída p:
∫==L
xdPODPM0
0
AxQxdAxdP z
LL
=== ∫∫00
D: ponto de aplicação de P
Mas:
Qz: Momento estático em relação ao eixo z (perpendicular ao plano da figura), da área A
x : Coordenada x do centróide C da área AAP =
Portanto: AxODA = xOD =
dPp
P
O B D
OD
A
?=ODdPdA =
∫=L
xdPODP0
ODAODP =
Prof. Cláudio Regis Gomes Leite
CARGAS DISTRIBUÍDAS SOBRE VIGAS
xOD = a linha de ação de P passa pelo centróide da área A
Portanto, para determinar as reações da viga, pode substituir a carga distribuída p por uma carga concentrada P de módulo igual à área A (P = A) e cuja linha de ação passa pelo centróide da área A.
P=A
O B D x
Rv Rv
RH =
p
O B
A
Rv Rv
RH
x : Coordenada x do centróide da área A
A: área definida pela carga p