２ 波動方程式と平面波２ 波動方程式と平面波

1

Maxwellの方程式Maxwellの方程式

BE ファラデーの法則

t

E ファラデーの法則

t

DH J アンペアの法則t

D 電界に関するガウスの法則 D 電界 関する ウ 法則

0 B 磁界に関するガウスの法則

2

ファラデーの法則ファラデーの法則

BEt

E

3

アンペアの法則アンペアの法則

Dt

DH J

4

電界に関するガウスの法則電界に関するガウスの法則

D D

5

磁界に関するガウスの法則磁界に関するガウスの法則

0 B

6

構成方程式構成方程式

D ED E

B HB H128 85 10 (F/ )

比誘電率，比透磁率

120 8.85 10 (F/m)

7= 4 10 (H/m)

0r

0 4 10 (H/m) 0 0r

J オームの法則

7

自由空間（真空）中のMaxwellの方程式

0

HE 0 t

EE

0 t

EH

0 E ４つの式をE,Hに関する連立方程式として解く

0 H連立方程式として解く

ーー＞波動方程式

8

波動方程式の導出（ベクトル数学）波動方程式の導出（ベクトル数学）

両辺にrot0 t

HE 0(

t

E) H両辺にrot

2 2( div E) E E E2

0 0 0 0 0 2( )t t t t

E EH =

t t t t

2 E20 0 2 0

t

EE 波動方程式

9

波動方程式波動方程式

2 E 2 H22

0 0 2 0t

EE

22

0 0 2 0t

HH

2 2 2 2

0x x x xE E E E

直交座標系では

0 02 2 2 2 0x y z t

2 2 2 2E E E E 0 02 2 2 2 0y y y yE E E E

x y z t

2 2 2 2

0 02 2 2 2 0z z z zE E E Ex y z t

10

y

波動方程式の意味波動方程式の意味

11

平面波の導出平面波の導出仮定

(1) : 波動は z方向に伝搬する

(2) : 波動はx y平面内で一様である(2) : 波動はx-y平面内で 様である.

2 2

0x xE E 0 02 2 0x x

z t

2 2E E

0 02 2 0y yE Ez t

2 22 2

0 02 2 0z zE Ez t

12

Maxwellの方程式に戻るMaxwellの方程式に戻る

0 E に前記条件を入れて

0yx z zEE E E

E 0yx z z

x y z z

E

Z方向の変化があることを認めるためには

つまり電界z成分は存在しない

0ZE つまり電界z成分は存在しない

電磁波は横波である

13

スカラー波動方程式スカラー波動方程式

22

2 2

1 ( , , , )( , , , ) u x y z tu x y z t 2 2( , , , )u x y z t

c t

2 2( ) 1 ( )u z t u z t

2 2 2

( , ) 1 ( , )u z t u z tz c t

1次元の場合

( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )u z t u z ct u z ct

14

電界と磁界の関係

( ) ( ) ( )E z t f z ct f z ct 1 2( , ) ( ) ( )xE z t f z ct f z ct 電界として上式を仮定し

0

HE に代入すれば次式を得る

1

0 t

E に代入すれば次式を得る。

1 20

1( , ) ( ) ( )yH z t f z ct f z ct

0

1

15 1 20

1 ( ) ( )f z ct f z ct

スカラー波動方程式の一般解としての平面波2 2

0 02 2 0x xE Ez t

1 2( ) ( )xE f z ct f z ct

z t

1 21 ( ) ( )H f z ct f z ct

81

1 20

( ) ( )yH f z ct f z ct

8

0 0

1 3 10 ( / )c m s

速度

00

0

376.6 120

固有インピーダンス；電界と磁界の比

16

0

波動の移動波動の移動

( ) ( )E f f1 2( ) ( )xE f z ct f z ct

constantz=constantz ct

c

z c

17t

電界と磁界 1 2( ) ( )xE f z ct f z ct 電界と磁界 1 2( ) ( )x f f

1 ( ) ( )H f z ct f z ct 1 20

( ) ( )yH f z ct f z ct

0 376 6 120 00

376.6 120

真空の特性インピーダンス

18

定常状態での波動方程式の解定常状態での波動方程式の解

2

2( ) ( )U x U x

2 2

2 2

( ) ( )U x U xx v

2( ) ( )v

2

x v一次元

( ) xU x e 22v

k jv 波数v

1 2( ) jkx jkxU x U e U e 19

1 2( )

時間ー空間での波動の伝搬時間ー空間での波動の伝搬

1 2( , ) Re jkz jkz j txE z t Ae A e e 1 2

1 2

( , )

cos( ) cos( )x

A t kz A t kz

t kz 定数

20

平面波のフェーザ表示平面波のフェーザ表示

ˆ jkzxE eE：z方向に伝搬する振幅E の平面波 方向の偏0xE eE E0の平面波。x方向の偏波をもつ。

k

この表現では各周波数が暗黙の内に仮定されているの内に仮定されている。

21

電磁波とス電磁波とスペクトラム

22

レーダにおける周波数の呼称名称 周波数 (Hz) 波長 (m)HF 3M-30M 100-10mHF 3M-30M 100-10mVHF 30M-300M 10-1m Pi-SAR

1 27 GHz 23cmUHF (P) 300M-1G 1-0.3mL 1G-2G 30-15cm

1.27 GHz 23cm

ALOS/PALSARS 2G-4G 15-7.5cmC 4G-8G 7.5-3.75cm

ALOS/PALSAR

1.27 GHz 23cm

C 4G 8G 7.5 3.75cmX 8G-18G 3.75-1.7cmK 18G 27G 1 7 1 1cm

TerraSAR

9.65GHz 3.1cmK 18G-27G 1.7-1.1cmKa 27G-40G 1.1-0.75cm

23