2compensacion atraso lgr
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2compensacion atraso LGRTRANSCRIPT
COMPENSACIÓN DE ATRASO
Compensador de atraso electrónico usando amplificadores operacionales
La configuración del compensador de atraso electrónico usando amplificadores operacionales es
igual a la del compensador de adelanto de la figura, analizado anteriormente.
Figura Nº
Si elegimos R2 C2>R1 C1 en el circuito de la figura, éste se convierte en un compensador de atraso.
A partir de la misma figura, la función de transferencia del compensador de atraso se obtiene igual
que el de la red en adelanto.
E0(s)Ei(s)
=R4 C1
R3C2
s+ 1C1 R1
s+ 1C2 R2
=K c
s+ 1T
s+ 1β T
Donde:
K c=R4 C1
R3 C2
1T
= 1C1 R1
1
β T= 1
C2 R2
De donde obtenemos:
β=C2 R2
C1 R1
>1
Por lo que el polo estará a la derecha del cero en plano complejo
Técnicas de compensación de atraso basadas en el enfoque del lugar geométrico de las raíces.
Considere el problema de encontrar una red de compensación conveniente para un sistema que
exhiba características:
Satisfactorias de la respuesta transitoria
Insatisfactorias en estado estable.
En este caso la compensación consiste esencialmente en incrementar la ganancia en lazo cerrado sin
modificar en forma notable las características de la respuesta transitoria. Esto se consigue si se
coloca un compensador de atraso encascada con la función de transferencia de la trayectoria directa
determinada.
Para evitar un cambio notable en los lugares geométricos de las raíces, la contribución de ángulo de
la red de atraso debe limitarse a una cantidad pequeña. Para asegurar esto, se coloca el polo y el
cero de la red de atraso relativamente cerca uno del otro y cerca del origen del plano s. De este
modo, los polos en lazo cerrado del sistema compensado sólo se alejarán ligeramente de sus
ubicaciones originales. Por tanto, la característica de la respuesta transitoria cambiará muy poco.
Dado el compensador de atraso, cuya FT es:
E0(s)Ei(s)
=K c
s+ 1T
s+1
β T
=K c βsT +1sβT +1
Si colocamos el cero y el polo del compensador de atraso muy cerca uno del otro; en s=s1 donde s1
es uno de los polos dominantes en lazo cerrado, las magnitudes del cero y del polo serán por lo
tanto casi iguales, es decir:
|Gc (s1)|=|K c
s1+1T
s1+1
β T|≅ K c
Para hacer que la contribución de ángulo de la parte de retardo del compensador sea pequeña, se
requiere:
−5 °<∠s+ 1
T
s+1
β T
<0°
Esto implica que, si la ganancia K c del compensador de atraso se hace igual a 1, la característica de
la respuesta transitoria no se alterará.
Se debe señalar que el valor de T debe ser grande, pero no es indispensable conocer su valor exacto,
sin embargo, no debe ser demasiado grande, a fin de evitar dificultades al momento de materializar
el compensador de atraso de fase mediante componentes físicos.
Un incremento en la ganancia significa un incremento en las constantes de error estático. Si la
función de transferencia en lazo abierto del sistema no compensado es G(s), la constante de error
estático de velocidad K v del sistema no compensado es:
K v=lims →0
sG(s)
Si el compensador esta dado como anteriormente la llamamos Gc (s ) .La constante de error estático
de velocidad K̂ v del sistema compensado es:
K̂ v=lims →0
sGc (s )G(s)
K̂ v=lims →0
sGc (s )G(s)=lims →0
(G c (s ) sG(s))=lims → 0 (K c β
sT +1sβT +1 )K v
K̂ v=K c β K v
Procedimientos de diseño para la compensación de atraso mediante el método del lugar
geométrico de las raíces.
El diagrama de bloques correspondiente al sistema y al compensador se muestra en la figura
siguiente:
Figura Nº
El procedimiento para diseñar compensadores de atraso para un sistema mediante el método del
lugar geométrico de las raíces se plantea del modo siguiente:
1. Dibujar la gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado, cuya función
de transferencia en lazo abierto sea G(s). Con base en las especificaciones de la respuesta
transitoria, ubique los polos dominantes en lazo cerrado en el lugar geométrico de las raíces, del
sistema no compensado.
2. Calcule la constante de error estático especificada en el problema. (sistema no compensado)
3. Determine el incremento necesario en la constante de error estático para satisfacer las
especificaciones de desempeño.
4. Suponga que la función de transferencia del compensador de atraso es
E0(s)Ei(s)
=K c
s+ 1T
s+1
βT
=K c βsT +1sβT +1
5. Determine el polo y el cero del compensador de atraso que producen el incremento necesario en
la constante de error estático determinado sin alterar apreciablemente los lugares geométricos de las
raíces originales
(Observe que la razón entre el valor de la ganancia requerido en las especificaciones y la ganancia
que se encuentra en el sistema no compensado es la razón entre la distancia del cero al origen y la
del polo al origen.)
6. Dibuje una nueva gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema no compensado.
Localice los polos dominantes en lazo cerrado deseados sobre el lugar geométrico de las raíces. (Si
la contribución de ángulo de la red de atraso es muy pequeña, es decir, de pocos grados, los lugares
geométricos de las raíces originales y los nuevos serán casi idénticos. Sin embargo, habrá una ligera
discrepancia entre ellos. A continuación ubique, sobre el nuevo lugar geométrico de las raíces, los
polos dominantes en lazo cerrado deseados a partir de las especificaciones de la respuesta
transitoria.)
7. Ajuste la ganancia K c del compensador a partir de la condición de magnitud, a fin de que los
polos dominantes en lazo cerrado se encuentren en la ubicación deseada.
Ejemplo 4
Dado el sistema del diagrama de bloques de la figura.
Figura Nº
Se requiere que la constante de error estático de velocidad este cerca de 5 seg−1
Solución
La función de transferencia de lazo directo es:
G (s )= 1.06s (s+1 )(s+2)
= 1.06
s3+3 s2+2 s
La gráfica del lugar geométrico de las raíces para el sistema aparece en la figura.
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
0.92
0.98
0.160.30.460.60.720.84
0.92
0.98
1234567
0.160.30.460.60.720.84
Root Locus
Real Axis
Imagin
ary
Axis
Figura Nº
La función de transferencia en lazo cerrado del sistema no compensado es:
C(s)R(s)
=G (s )
1+G ( s )=
1.06
s3+3 s2+2 s
1+ 1.06s3+3 s2+2 s
= 1.06s3+3 s2+2 s+1.06
= 1.06(s+2.3386)( s+0.3307+ j 0.5864 ) ( s+0.3307− j0.5864 )
De la FT de lazo cerrado determinamos los polos dominantes:
s1,2=−0.3307 ± j 0.5864
La frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado:
ωn=√0.33072+0.58642=√0.1094+0.3439
ωn=0.6733 rad / seg
El factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado:
cosθ=¿ξ ωn
ωn
=ξ ¿
El ángulo θ:
θ=tan−1 ωd
ξ ωn
¿ tan−1( 0.58640.3307 )=60.58
ξ=cos θ=cos 60.58
ξ=0.4912
La constante de error estático de velocidad es hallada:
K v=lims →0
sG(s)=K v=lims → 0
s1.06
s (s+1 )(s+2)=1.06
2
K v=0.53 seg−1
En resumen, las características del polo dominante de lazo cerrado del sistema sin compensar son:
ωn=0.6733 rad / seg
ξ=0.4912
K v=0.53 seg−1
La especificación de desempeño es:
K v=5 seg−1
Si la FT del compensador en atraso está definida como:
E0(s)Ei(s)
=K c
s+ 1T
s+1
β T
=K c βsT +1sβT +1
La constante de error estático de velocidad K̂ v del sistema compensado es:
K̂ v=lims →0
sGc (s )G(s)=lims →0
Gc (s ) sG(s)=lims→ 0 (K c β
sT+1sβT+1 )K v
K̂ v=K c β K v
Según las especificaciones de desempeño el valor de debe ser K̂ v=5 ósea casi 10 veces el valor de
la constante de error estático de velocidad del sistema K v=0.53
K̂ v=K c β K v=K c β (0.53 )=5
Para lograr este incremento de la constante de error estático de velocidad en un factor de alrededor
de 10, seleccionamos β=10
K̂ v=K c β K v=K c (10) (0.53 )=5
De donde obtenemos:
K c=5
(10) (0.53 )=0.9556
Se ubica el cero y polo del compensador de atraso (cercanos y cerca al origen) para T=20:
(se asume un valor de T)
s=−0.05 (cero)
s=−0.005 (polo)
La función de transferencia del compensador de atraso se convierte en:
Gc (s )=K c
s+ 1T
s+1
βT
=0.9556s+0.05
s+0.005
Verificamos la contribución angular del compensador (red de atraso), a un polo dominante (
s=−0.3307+ j0.5864); de la figura obtenemos:
Figura Nº
El aporte de la red de atraso al polo dominante esta dado por:
∠ z−∠ p=115.5797−119.0488=−3.4691 ≈−3.4691 °
Debido a que el aporte en ángulo de la red de atraso es un valor pequeño, el lugar geométrico de
raíces del sistema compensado no va variar mucho, el sistema compensado será:
Gc (s )G (s )=0.9556(s+0.05)(s+0.005)
1.06s ( s+1 )(s+2)
Gc (s )G (s )= K (s+0.05)s(s+0.005) ( s2+3 s+2 )
= 1.0129 s+0.0504s4+3.005 s3+2.015 s2+0.01 s
Donde K=1.06 K c=0.9556 (1.06 )=1.0129
El lugar geométrico del lugar de raíces del sistema compensado se muestra en las dos figuras, la
segunda figura se aprecia una ampliación en las cercanías del origen.
-3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1-3
-2
-1
0
1
2
3
0.120.240.360.480.620.76
0.88
0.97
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.5
1
1.5
2
2.5
3
0.120.240.360.480.620.76
0.88
0.97
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-0.05 -0.04 -0.03 -0.02 -0.01 0
-0.05
-0.04
-0.03
-0.02
-0.01
0
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.94
0.090.180.280.40.520.66
0.82
0.94
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.01
0.02
0.03
0.04
0.05
0.090.180.280.40.520.66
0.82
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
El lugar de raíces del sistema no compensado y compensado se muestra en la siguiente figura, se
pude ver que los LGR varían ligeramente uno del otro
-0.8 -0.7 -0.6 -0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1-0.1
0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8 System: sysGain: 1.01Pole: -0.311 + 0.552iDamping: 0.491Overshoot (%): 17.1Frequency (rad/sec): 0.634
0.160.340.50.64
0.76
0.86
0.94
0.9850.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.1
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Figura Nº
El factor de amortiguamiento relativo de los nuevos polos dominantes en lazo cerrado no cambian
(ξ=0.4912) por la inclusión del compensador, los polos se obtienen de la grafica del LGR y
corresponden a:
s1=−0.311+ j 0.552
s2=−0.311− j 0.552
La ganancia en lazo abierto K c se puede hallar por la condición de magnitud del sistema
compensado
|Gc (s )G ( s)|=|K c
(s+0.05)(s+0.005)
1.06s (s+1 )(s+2)|−0.311+ j 0.552
=1
|K c−0.2767+ j 0.58510.2707− j0.5761 |=K c
0.64720.6273
=1
De donde obtenemos K c:
K c=0.62730.6472
=0.9693
Por lo tanto la función de transferencia del compensador queda de la siguiente manera:
Gc (s )=0.9693(s+0.05 )
(s+0.005 )
El sistema compensado:
Gc (s )G (s )=0.9693( s+0.05 )
( s+0.005 )1.06
s ( s+1 )(s+2)=1.0275
( s+0.05 )s ( s+0.005 ) (s+1 )(s+2)
= 1.0275 s+0.0514
1.0360 s4+3.1141 s3+2.0881 s2+0.0104 s
Verificando la constante de error estático de velocidad K v es:
K v=lims →0
sGc (s )G (s )=K v=lims → 0 (s(0.9693)
(s+0.05 )(s+0.005 )
1.06s (s+1 )(s+2))
K v=(0.9693 ) (0.05) (1.06 )(0.005 ) (1 )(2)
=5.1373
Se concluye que se ha obtenido el objetivo de diseño de incrementar la constante de error estático
de velocidad hasta 5.11 seg−1
La FT de lazo cerrado del sistema compensado la hallamos a partir de la FT de lazo abierto del
sistema compensado, si:
Gc (s )G (s )= 1.0275 s+0.0514
1.0360 s4+3.1141 s3+2.0881 s2+0.0104 s
El LGR del sistema no compensado y compensado se muestra en la figura:
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
System: sysGain: 1.02Pole: -0.312 + 0.545iDamping: 0.497Overshoot (%): 16.6Frequency (rad/sec): 0.627
0.120.220.340.480.60.74
0.88
0.96
0.120.220.340.480.60.74
0.88
0.96
0.250.50.7511.251.51.752
La FT de lazo cerrado:
C(s)R(s)
=Gc (s )G ( s)
1+Gc ( s) G (s )=
1.0275 s+0.0514
1.0360 s4+3.1141s3+2.0881 s2+0.0104 s
1+ 1.0275 s+0.05141.0360 s4+3.1141 s3+2.0881 s2+0.0104 s
= 1.0275 s+0.05141.0360 s4+3.1141s3+2.0881 s2+1.0379 s+0.0514
La figura siguiente muestra la respuesta en el tiempo ante una entrada escalón unitaria del sistema
no compensado y el compensado:
0 10 20 30 40 50 600
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
La respuesta del sistema y del sistema compensado ante una entrada rampa se muestra en la figura
siguiente:
0 5 10 15 20 25 30 35 400
5
10
15
20
25
30
35
40Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de
Ejemplos
Considere el sistema de control de la figura siguiente. Diseñe un compensador de atraso Gc (s) tal
que la constante de error estático de velocidad K v sea 50 seg−1 sin modificar notablemente la
ubicación de los polos en lazo cerrado originales, que están en s=−2± j 2.4495
Figura Nº
Solución
Dada la función de transferencia de lazo abierto del sistema no compensado:
G (s )= 10s (s+4)
= 10
s2+4 s
La grafica del LGR se muestra a continuación:
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.50.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.511.522.533.544.5
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
La función de transferencia en lazo cerrado del sistema no compensado es:
C(s)R(s)
=G (s )
1+G ( s )=
10
s2+4 s
1+ 10s2+4 s
= 10s2+4 s+10
= 1.06(s+2.0000+ j 2.4495)(s+2.0000− j 2.4495)
De la FT de lazo cerrado determinamos los polos dominantes:
s1,2=−2.0000 ± j2.4495
La frecuencia natural no amortiguada de los polos dominantes en lazo cerrado:
ωn=√22+2.44952=√4+6
ωn=3.1623 rad / seg
El factor de amortiguamiento de los polos dominantes en lazo cerrado:
cosθ=¿ξ ωn
ωn
=ξ ¿
El ángulo θ:
θ=tan−1 ωd
ξ ωn
¿ tan−1( 2.44952 )=50.7686
ξ=cos θ=cos (50.7686¿)¿
ξ=0.6325
La constante de error estático de velocidad es hallada:
K v=lims →0
sG(s)=K v=lims → 0
s10
s (s+4)=2.5
K v=2.5 seg−1
En resumen, las características del polo dominante de lazo cerrado del sistema sin compensar son:
ωn=3.1623 rad / seg
ξ=0.6325
K v=2.5 seg−1
La especificación de desempeño es:
K v=50 seg−1
Si la FT del compensador en atraso está definida como:
E0(s)Ei(s)
=K c
s+ 1T
s+1
β T
=K c βsT +1sβT +1
La constante de error estático de velocidad K̂ v del sistema compensado es:
K̂ v=lims →0
sGc (s )G(s)=lims →0
Gc (s ) sG(s)=lims→ 0 (K c β
sT+1sβT+1 )K v
K̂ v=K c β K v
Según las especificaciones de desempeño el valor de K̂ v=50; si K v=2.5, entonces casi 20 veces el
valor de la constante de error estático de velocidad del sistema
K̂ v=K c β K v=K c β (2.5 )=50
Para lograr este incremento de la constante de error estático de velocidad en un factor de alrededor
de 20, seleccionamos β=20
K̂ v=K c β K v=K c (20) (2.5 )=50
De donde obtenemos:
K c=50
(20) (2.5 )=1
Ubicando el cero y el polo del compensador de atraso (cercanos y cerca al origen con T alto),
elegimos T=10 entonces tenemos:
s=−1T
=−110
=−0.1 (cero)
s=−1β T
= 1(20 )(10)
=−0.005 (polo)
La función de transferencia del compensador de atraso se convierte en:
Gc (s )=K c
s+ 1T
s+1
βT
=s+0.1
s+0.005
Verificamos la contribución angular del compensador (red de atraso), a un polo dominante (
s=−2± j 2.4495); de la figura obtenemos:
El aporte de la red de atraso al polo dominante esta dado por:
∠ z−∠ p=127.7996−129.1612=−1.3616 °
Debido a que el aporte en ángulo de la red de atraso es un valor pequeño, el lugar geométrico de
raíces del sistema compensado no va variar mucho respecto al sistema no compensado. El sistema
compensado queda definido:
Gc (s )G (s )=K c
s+ 1T
s+1
β T
G(s)=(s+0.1)
(s+0.005)10
s (s+4 )
Gc (s )G (s )= 10(s+0.1)s (s+0.005 )(s+4)
= 10 s+1s3+4.0050 s2+0.0200 s
El lugar geométrico del lugar de raíces del sistema compensado se muestra en las dos figuras, la
segunda figura se aprecia una ampliación en las cercanías del origen.
-4.5 -4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-2.5
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.50.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.160.340.50.640.760.86
0.94
0.985
0.511.522.533.544.5
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2
-0.3
-0.2
-0.1
0
0.1
0.2
0.180.360.520.680.8
0.88
0.95
0.985
0.180.360.520.680.8
0.88
0.95
0.985
0.050.10.150.20.250.30.35
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
Un acercamiento del lugar de raíces del sistema no compensado y compensado en las cercanías del
polo deseado se muestra en la siguiente figura, se pude ver que los LGR varían ligeramente uno del
otro. El polo dominantes s=−2+ j 2.4495 y ξ=0.6325 tenemos para el sistema no compensado.
Root Locus
Real Axis
Imag
inar
y A
xis
-4 -3.5 -3 -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5-0.5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
30.20.420.60.74
0.83
0.91
0.96
0.99
0.511.522.533.54
System: sysGain: 0.998Pole: -2 + 2.45iDamping: 0.633Overshoot (%): 7.66Frequency (rad/sec): 3.16
System: sysGain: 0.986Pole: -1.95 + 2.38iDamping: 0.633Overshoot (%): 7.64Frequency (rad/sec): 3.08
El factor de amortiguamiento relativo de los nuevos polos dominantes en lazo cerrado no cambian
(ξ=0.6325) por la inclusión del compensador, los polos se obtienen de la grafica del LGR y
corresponden a:
s1=−1.95+ j 2.38
s2=−1.95− j 2.38
La ganancia en lazo abierto K c se puede hallar por la condición de magnitud del sistema
compensado, dada la FT del sistema compensado:
Gc (s )G (s )= 10(s+0.1)s (s+0.005 )(s+4)
= 10 s+1s3+4.0050 s2+0.0200 s
|Gc (s )G ( s)|=|K c
(s+0.1)(s+0.005)
10s (s+4)|−1.95+ j2.38
=1
|K c
(−1.95+ j2.38+0.1)(−1.95+ j2.38+0.005)
10−1.95+ j2.38 (−1.95+ j 2.38+4)|=1
|K c
(−0.311+ j 0.556+0.05)(−0.311+ j 0.556+0.005)
1.06−0.311+ j 0.556 (−0.311+ j0.556+1 )(−0.311+ j 0.556+2)|=1
|K c−18.5000+23.8000 i18.2260−23.4582 i |=K c
30.144529.7065
=1
De donde obtenemos K c:
K c=29.706530.1445
=0.9855
Por lo tanto la función de transferencia del sistema compensado queda de la siguiente manera:
Gc (s )G (s )=0.9855( s+0.05 )
( s+0.005 )
El sistema compensado:
Gc (s )G (s )=0.9776( s+0.1 )
( s+0.005 )10
s (s+4 )=9.776
( s+0.1 )s ( s+0.005 ) ( s+4 )
= 9.776 s+0.9776
s3+4.0050 s2+0.0200 s
Verificando la constante de error estático de velocidad K v es:
K v=lims →0
sGc (s )G (s )=K v=lims → 0 (s9.776
(s+0.1 )s (s+0.005 ) (s+4 ) )
K v=9.776(0.1 )
(0.005) (4 )=48.88
Se concluye que se ha obtenido el objetivo de diseño de incrementar la constante de error estático
de velocidad hasta 48.88 seg−1
La FT de lazo cerrado del sistema compensado la hallamos a partir de la FT de lazo abierto del
sistema compensado, si:
Gc (s )G (s )= 9.776 s+0.9776
s3+4.0050 s2+0.0200 s
C(s)R(s)
=Gc (s )G ( s)
1+Gc ( s) G (s )=
9.776 s+0.9776
s3+4.0050 s2+0.0200 s
1+ 9.776 s+0.9776s3+4.0050 s2+0.0200 s
= 9.776 s+0.9776s3+4.0050 s2+9.796 s+0.9776
La figura siguiente muestra la respuesta en el tiempo ante una entrada escalón unitaria del sistema
no compensado y el compensado:
0 5 10 15 20 25 300
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4Step Response
Time (sec)
Am
plit
ude
La respuesta del sistema y del sistema compensado ante una entrada rampa, grafica que se relaciona
con la constante de velocidad dada, se muestra en la figura siguiente:
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20Step Response
Time (sec)
Am
plitu
de