2.dssc.k32.ch.1.ch.2

§4. PHÉP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRÊN MỘT TẬP

Vì chỉ xét bất đẳng thức trên tập R các số thực , nên từ “ trên R “ ta sẽ bỏ đi.

Ví dụ 11. Chứng minh rằng nếu a 0, b 0 ( hoặc : chứng minh bất

đẳng thức trên tập ).

Giải:

Phương pháp thứ nhất:

.

Phương pháp thứ hai:phân tích.

Giả sử rằng , nếu a 0, b 0. Khi đó

Chứng minh :

( a + b )2 0

Phương pháp thứ ba :

Phương pháp thứ tư: ( phản chứng)

Giả sử với a, b 0. Khi đó

vô lí.

Vậy , với a 0, b 0.

Ví dụ 12.Chứng minh rằng:

(1) ở đây α >-1,a # 0,n N,n>1.

Giải.(Phương pháp qui nạp).

1) Với n=2 ta có suy ra ( .

2) Ta chứng minh nếu bất đắng thức (1) đúng với n=k,ở đây k N,k>1 thì bất

đẳng thức (1) đúng với n=k+1,nghĩa là nếu (2) ,với

,thì .

Thật vậy,

(

Nghĩa là,

Từ 1) và 2) suy ra rằng:

với

Ví dụ 13.Phương trình (1) có những nghiệm

nào,thực hay ảo?

Giải.phương pháp thứ nhất.Giả sử rằng phương trình (1) có nghiệm ảo.Điều đó chỉ

xảy ra khi và chỉ khi biệt thức âm,nghĩa là:

(2)

(2)

Trả lời:phương trình đã cho có nghiệm ảo.

Phương pháp thứ hai:giả sử rắng phương trình (1) có nghiệm thực.Điều đó xảy ra

khi va chỉ khi biệt thức không âm,nghĩa là:

(3)

vô lý.

Nghĩa là ;suy ra nghiệm của phương trình (1) là ảo .

Chứng minh rằng: (các bài 162-167):

162. ,nếu x>0,y>0.

163.

164.

165. abba )(2

1,nếu a .

166. ,nếu a,b,c .

167. ,nếu a,b,c,d .

168.Chứng minh rằng,nếu và thì

.

169.Chứng minh rằng,trung bình cộng của những số không âm không nhỏ hơn trung bình

nhân của chúng,nghĩa là chứng minh rằng:

,nếu .

170.Chứng minh rằng,nếu thì khi và

chỉ khi a .

171.Chứng minh rằng,nếu và ,ở đây S là một số dương

đã cho,thì tích đạt giá trị lớn nhất khi .

172. Chứng minh rằng,nếu x1, x2, …,xn >0 và x1+x2+ …+xn =S , ở đây S là một số dương

đã cho,thì tích với ,đạt giá trị lớn nhất khi

.

173.Chứng minh rằng,nếu và ở Đây P là số dương đã cho,thì

tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi .

174.Chứng minh rằng,nếu và =P với P là số

dương đã cho,thì tổng đạt giá trị nhỏ nhất khi .

175.Tìm giá trị lớn nhất của tích xy với điều kiện 3x+5y=12.

176.Tìm giá trị dương nhỏ nhất của biểu thức: .

177.Tìm giá trị lớn nhất của tích ,nếu .

178.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

, nếu a,b,x>0.

179.Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: ,Chứng minh rằng:

(các bài 180-224).

180.(a+b)(b+c)(c+a) 8abc, nếu a,b,c .

181. .

182. .

183. (x+y)48(x4+y4)

184. , nếu x + y + z =1.

185. , nếu a,b,c .

186. , với nN*.

187. , nếu ,n .

188. , nếu .

189.( ,nếu và .

190. , nếu a,b

191.ab(a+b-2c)+bc(b+c-2a)+ca(c+a-2b)0, nếu a,b,c0.

192. , nêú a,b,c>0.

193. , nếu a,b,c,d > 0 vá abcd=1.

194. , nếu a,b,c,d .

195.Nếu , thì hoặc |a|1 và |b|1 hoặc |a|1 và |b|1.

196. ,

nếu a,b,c,d .

197. , nếu a,b,c .

198. , nếu x+y 1.

199. (a+b-c)(b+c-a)(c+a-b)abc, nếu a, b, c >0.

200. , nếu a1, a2, a3, b1, b2, b30.

201. , nếu n ,n>1.

202. , nếu n ,n>1.

203. !, nếu n ,n>2.

204. ,nếu n ,n>1.

205.

206. .

207 2< , nếu n ,n>1.

208. .

209. 1,001> .

210.( dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

,ở dây k là một số thực nào đó.Người ta gọi bất đẳng thức này là bất

đẳng thức Bunhiacôpski-Côsi.

211. ,ở đây

212. .

213. , nếu

214. .

215.(x-2)(x-4)(x-5)(x-7)+10>0.

216. .

217.

218. .

219. , nếu a,b là độ dài các cạnh huyền của một tam giác vuông.

220. , nếu với a,b,c là độ dài các cạnh của tam giác;

là độ dài các đường trung tuyến tương ứng với các cạnh BC,AC,BA của tam

giác.

221. ,ở đây a,b,c là độ dài các cạnh, p là nửa chu vi

của tam giác.

222. log 8 < log 7 (không dùng bảng lôgarit).

223. log +log +log +log +log >5 ( không dùng bảng lôgarit).

224. log <log ( không dùng bảng lôgarit).

225. Không dùng bảng lôgarit hãy xem hai số log và log số nào lớn hơn.

226. Chứng minh rằng,nếu b>a>1 và c>0 thì log > log .

CHƯƠNG II

PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

§ SỰ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHUƠNG TRÌNH

Các phương trình sau đây có tương đương không(các bài 227-253).

227. và trên N.

228. và trên Q.

229. và trên Q.

230. và trên R.

231. và trên C.

232. và trên Q.

233. và trên Q.

234. và trên R.

235. và trên R.

236. và trên R.

237. và trên R.

238. và trên R.

239. lg =2 và 2lg trên R.



242. và trên R.

243. và trên R.

244. và trên R.

245. và trên R.

246. và trên R.

247. và trên C.

248. và trên R.

249. và trên R.

250. và trên R.

251. và trên R.

252. và trên R.

253. và trên R.

253. Phương trình nào trong các phương trình (1) và (2)

(trên một tập hợp) là hệ quả của phương trình kia?

255. Phương trình nào trong các phương trình (1) và (2) trên

R là hệ quả của phương trình kia?

256. Các phương trình và có tương đương trên R không?

257. Các phương trình và ,trong đó ,có tương đương

trên R không?

258. Phương trình nào trong các phương trình (1) và

,trong đó ,là hệ quả của phương trình kia trên r?

259. và .

260. và .

261. và .

262. và .

263. và .

264. và .

265. và .

266. và .

267. và .

268. và .

269. và .

270. và .

271. và .

272. và .

273. và .

274. và .

275. và .

276. và .

277. và .

278. và .

279. và .

280. và .

281. và .

282. và .

§ PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ NGUYÊN VÀ HỮU TỈ PHÂN MỘT ẨN SỐ

Nếu không cò sự chỉ dẫn nào khác thì phương trình cần được xét và giải trên tập hợp

C các số phức.

Ví dụ14.Giải phương trình: 2x3+3x2+6x-4=0 trên C.

Giải. Phương pháp thứ nhất.Trước hết chúng ta hãy xem phương trình dã cho có

nghiệm hữu tỉ hay không.Muốn vậy chúng ta vận dụng:1) định lí về nghiệm hữu tỉ của

một đa thức với hệ số nguyên và 2) lược đồ Hoocne.

1) Các ước của số hạng tự do-4 là các số: .Các ước dương của hệ số cao

nhất là 1,2. Nghĩa là các nghiệm hữu tỉ của phương trình đã cho nằm trong các

số : .

2)

2 3 6 -4

2 4 8 0

Khi đó:

Trả lời:

Phương pháp thứ hai.

Thí dụ 15.Giải phương trình.

trên C.

Giải. (“công thức cacđanô”) Cardano.

Có thể kiểm tra lại rằng phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỉ.

Chúng ta áp dụng phương pháp sau:

Nếu thì ta đặt ta được phương trình dạng

.

Đặt y=u+v và sau ta được phương trình bậc hai với các nghiệm

Chúng ta vẫn áp dụng điều đó với các phương trình đã cho.

Giả sử x = y-1 (vì ). Khi đó ta được:

Giả sử y=u+v. Khi đó ta được:

Giả sử uv -3 =0, uv=3. Khi đó ta có:

sẽ xem như nghiệm của phương trình bậc hai

Giả sử , một trong các nghiệm của nó là . Khi đó từ (*) ta tìm được

. Như vậy ta được:

Trong đó

Trả lời:

Thí dụ 16: Giải phương trình trên C.

Giải:

Đặt x=u+v, ta được:

Giả sử uv=2i. Khi đó ta được:

Giả sử , tức là , một trong các nghiệm của nó là:

Khi đó từ (*) ta tìm được

Trả lời: ( nghiệm (-1-i) là nghiệm kép).

Thí dụ 17: Giải phương trình:

trên C.

Giải:

Có thể kiểm tra lại rằng phương trình đã cho không có nghiệm hữu tỉ.

Phương pháp thứ nhất: =

Trả lời:

Phương pháp thứ hai: (phương pháp Phécrari)(Ferrari)

Ta đưa vào tham số y:

Ta sẽ tìm giá trị của tham số y sao cho chính vế phải của (2) là một phương trình bậc hai

đủ.

Vì khi và chỉ khi thì ta được:

Nghiệm của phương trình cuối cùng là y=1. Phương trình(2) với y=1 có dạng:

Phương pháp thứ ba ( phương pháp hệ số bất định)

Cân bằng các hệ số của các lũy thừa

tương ứng của x và giải hệ thống đó, ta tìm được các giá trị của a, b, c, d.

Thí dụ 18: ( cái gọi là phương trình lùi). Giải phương trình:

trên C

Giải:

1 là một nghiệm của phương trình (1)

1 4 -3 3 -4 -1

1 1 5 2 5 1 0

Cần phải giải phương trình (2) Chia cả hai vế của phương

trình (2) cho , ta được phương trình tương đương với phương trình (2) ( vì 0 không là

nghiệm của phương trình (2)).

Đặt . Khi đó . Ta được:

.

1) Nếu t=0, thì =0 .

2) Nếu t=-5, thì =-5

Trả lời:

Thí dụ 19: Giải phương trình:

trên R.

Giải:

Trả lời: .

Thí dụ 20. Giải phương trình:

trên C

Giải:

Trả lời: Nếu thì

Nếu

Nếu b=-a thì C\

Giải phương trình (các bài 283- 287)

283. trên R

284.

285. .

286.

287. .

288. Xác định k sao cho một trong các nghiệm của phương trình gấp đôi nghiệm

kia.

289. Chứng minh rằng các nghiệm của phương trình là nghịch đảo của

các nghiệm của phương trình nếu .

290. Lập một phương trình bậc hai mà nghiệm của nó bằng tổng và tích các nghiệm của

phương trình , .

291. Tìm tất cả các giá trị của a, mà với mỗi giá trị đó thì các phương trình

có ít nhất một nghiệm chung.

292. Cho phương trình mà các nghiệm của nó là . Hãy lập

một phương trình bậc hai mới có các nghiệm là

293. Tìm các hệ số p và q của phương trình nếu là nghiệm của

phương trình đó và nếu là các nghiệm của phương trình

Tìm các nghiệm của phương trình với độ chính xác đến 0,001 (các bài toán 294- 296).

294. .

295. .

296.

Giải phương trình trên C ( các bài toán 297-312).

297.

298.

299. .

300.

301.

302.

303.

304.

305.

306.

307.

308.

309.

310.

311.

312.

313. Hãy tìm tất cả các nghiệm hữu tỉ của phương trình trong các bài toán 297- 310.

314. Hãy tìm tất cả các nghiệm thực dương của phương trình trong các bài toán 297- 310.

Giải phương trình trên C ( các bài 315- 327).

315.

316.

317.

318.

319.

320.

321.

322.

323.

324.

325.

326. 1+

327.

Giải phương trình có chứa tham số( các bài 328- 341).

328. trên C.

329. trên R.

330. trên R.

331. trên C.

332. trên R.

333. trên C.

334. trên R.

335. trên R.

336. trên R.

337. trên R, .

338. trên C, .

339. trên C, .

340. trên C, .

341. trên R.

Bài 7. BẤT PHƯƠNG TRÌNH HỮU TỈ NGUYÊN VÀ HỮU TỈ PHÂN MỘT ẨN SỐ

Vì bất phương trình chỉ được xét trên tập hợp R các số thực, nên từ “ trên R” ta sẽ bỏ đi.

PHƯƠNG PHÁP KHOẢNG

Giả sử f(x) là một đa thức( biểu thức hữu tỉ nguyên) trên trường R các số thực với bậc

dương.

Định lí. Mọi đa thức f(x) trên trường R với bậc dương đều có thể biểu diễn dưới dạng

tích của một số thực khác không và các đa thức bất khả quy trên R với các hệ số cao nhất

bằng 1, nghĩa là: f(x)

trong đó là các tam thức bậc hai với các nghiệm

ảo; là các nghiệm thực của đa thức f(x), .

Vì với nên bất phương trình f(x)<0 tương

đương với bất phương trình còn bất phương trình f(x)>0 tương

đương với bất phương trình

Để xác định, ta xét bất phương trình:

(1) f(x)>0 (2) và giả sử

Trong mỗi khoảng ] , mỗi nhân tử ở vế trái của (2) có dấu

không đổi.

Với x> mỗi hiệu x- là dương. Nghĩa là, với dấu của vế trái của bất

phương trình (2) trùng với dấu của a.

Nếu thì , nếu là một số lẻ và nếu là một số

chẵn,

Thí dụ 21. Giải bất phương trình

(1)

Giải:

(1)

(*)

(*)

(*): với , vì biệt thức của tam thức bậc hai là âm, còn

hệ số của dương.

x ]]-3, [ ] ,1[

]1, 2[ ]2, [

Vế trái của

bất phương

trình (2)

- + - - +

Các nghiệm của là các số -3, , 1, 2. Xem hình 1 ( không

theo tỉ lệ).

(2)

Trả lời: [- ] [ ;1] [1;2]

Thí dụ 22. Giải bất phương trình :

(1)

Giải. (1) ~ (2)

Các nghiệm của là 0, 2a, a, -a.

- + - - +

○ ○ ○ ○

2a a 0 -a

Hình 2

Trường hợp 1. a (a-1) > 0 ~ . Khi đó

(2) ~ (3) .

a) a < 0. Khi đó . Xem hình 2.

(3) ~

b) a > 1. Khi đó –a < 0 < a < 2a. Xem hình 3.

(3) ~ .

- + + - +

○ ○ ○ ○

-a 0 a 2a

Hình 3.

Trường hợp 2. a (a-1) < 0 ~ 0 < a < 1. Khi đó

(2) ~ (4) .

Vì 0 < a < 1, nên – a < 0 < a < 2a. Xem hình 4.

(4) ~ .

- + + - +

○ ○ ○ ○

-a 0 a 2a

Hình 4.

Trương hợp 3. . Khi đó

(1) ~ (2) ~ 0 < 0 ~ ø.

Trả lời.

Nếu a < 0, thì

Nếu 0 < a < 1 thì

Nếu a > 0 thì

Nếu a = 0 hoặc a = 1 thì ø.


Giải. (1) ~ ~

~ ~

Các nghiệm của là các số Xem hình 5.

(2) ~ .

- + - +

○ ○ ○

Trả lời : .


(1)

Giải. (1) ~

~ ~

~ (2)

~

Các nghiệm của là các số Xem hình 6.

(2) ~

+ - + - +

○ ○ ○ ○

0 8

Hình 6.

Trả lời

Thí dụ 25. Giải bất phương trình

(1) , trong đó

Giải. (1) ~

~

(2)

Các nghiệm của là -3a, -2a, -a, 0.

Trường hợp 1. a < 0

+ - + - +

○ ○ ○ ○

0 -a -2a -3a

Hình 7

Khi đó (2) ~ (3) ;

0 < -a < -2a < -3a. Xem hình 7.

(3) ~

Trường hợp 2. a > 0.

Khi đó (2) ~ (4) ;

-3a < -2a < -a < 0. Xem hình 8.

(4) ~ .

+ - + - +

○ ○ ○ ○

-3a -2a -a 0

Hình 8

Trả lời :

Nếu a < 0 thì

Nếu a > 0 thì

Giải bất phương trình ( các bài 342 - 350).

342.

343.

344.

345.

346.

347.

348.

349.

350.

Tìm miền xác định của hàm số f trên R cho bởi biểu thức f(x) ( các bài 350 – 357).

351.

352.

353.

354.

355.

356. .

357. .

Giải bất phương trình bằng đồ thị ( các bài 358 – 362)

358.

359.

360.

361.

362.

Giải bất phương trình có chứa tham số ( các bài 363 – 371)

363. ax+4>2x+a2

364. a(3x-1)>3x-2

365. , trong đó a0 và a1

366. trong đó

367. (a2-2a-3)x <a

368. ax-b>bx+a

369. x2-2(a+1)x+4a<0

370. (a2-1)x2-2ax+1<0

371. ax2+(2a+1)x+a+2>0

Tìm tất cả các giá trị thực của m,sao cho bất phương trình nghiệm đúng với tập hợp

R tất cả các số thực ( các bài 372 – 377).

372.

373.

374. .

375. .

376.

377.

Cho tam thức bậc hai f(x). Các nghiệm thực của tam thức được kí hiệu là x 1, x2,

trong đó giả sử rằng . Tìm tất cả các giá trị thực của m sao cho : ( các bài tập 378 –

383).

378. nếu

379. , nếu

380. , nếu

381. , nếu

382. , nếu

383. , nếu

Giải bất phương trình ( các bài 384 – 394 )

384.

385. .

386.

387.

388.

389.

390.

391.

392.

393.

394.

Giải bất phương trình ( các bài 395 – 408)

395.

396.

397.

398.

399.

400.

401.

402.

403.

404.

405.

406.

407.

408.

Giải bất phương trình có chứa tham số ( các bài 409 – 419 )

409.

410.

411.

412.

413.

414.

415.

416.

417.

418.

419.

2.dssc.k32.ch.1.ch.2

Documents