OTO研究会@阪大豊中キャンパス, 2017年5月26日

2次元CFTのOTO

沼澤 宙朗大阪大学 素粒子論研究室

・PTEP 2016 (2016) no.11, 113B06 (arXiv1602.06542[hep-th])

参考文献)

Collaboration with P. Caputa(YITP) and A.Veliz-Osorio(Queen Mary U.)

1.Introduction2.2次元CFTのOTO相関関数

1.Introduction

・(2次元)共形場理論とは?

→量子臨界点を記述する理論

・例として、Isingスピン系を考えてみましょうi i+ 1

ハミルトニアン H =X

i

�i

z

�i+1z

+ hX

i

�i

x

h は横磁場の強さを表すパラメータ�iz =

✓1 00 �1

◆�i

x

=

✓0 11 0

◆

,

↑ ↓ ↑ ↑ … ↑ ↓ ↓

CFT = Conformal(共形) Field(場) Theory(理論)

[cf:Fradkin’s textbook]

(or )

どちらも (違う点の相関なし)

(or )|"" · · · "i

・h=0(横磁場なし)の基底状態|## · · · #i

・h=∞(横磁場のみ)の基底状態|!! · · · !i | · · · i

・h=有限

h�iz�

jzi � h�i

zi h�jzi = 0

相関長ξ: h に依る

・特殊な場合:h=1 相関長ξが無限大 = 量子臨界点

h�iz�

jzi ⇠ e�

|i�j|⇠

h�iz�

jzi ⇠ |i� j|�� (べき的な振る舞い)

ξ= ∞ ⇒ スケールなし (共形と言われる所以)

i i+ 1

・ここまでは、各サイト上にスピンが乗ったスピン系

・長波長のものだけ(程エネルギー極限、マクロ)を考える

⇒波長に対して各スピンの間隔は小さく見え， 連続的にスピンが並んでいると思える

↑ ↓ ↑ ↑ … ↑ ↓ ↓

" ""# # " ""# # " ""# # " ""# #" ""# # " ""# #

この連続極限(場の理論極限)が イジング共形場理論(Ising CFT)

例えば、分散関係は

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

h=1.3の分散

h=1の分散

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

CFT極限

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

(線形分散)

⇠

!(k)

k

⇠ = 0

拡大

2次元 CFT(共形場理論)の種類

・ホログラフィックなCFT [西田氏のトーク参照]

・有理型の(Rationalな)CFT *イジングCFTはこのクラス

*今回主に話す対象

他にもリュービル理論、オービフォールドCFTなど。CFTの完全な分類は無し

・自由場の(相互作用しない)理論

*解ける模型

・OTO 相関関数(out-of-time-ordered相関関数)

定義: C(t) = hVW (t)V †W †(t)iV,W :operator, W (t) ⌘ eiHtWe�iHt

交換子の一部として現れる:h[V,W (t)][V,W (t)]†i= hVW (t)W (t)†V †i+ hW (t)V V †W (t)†i � hVW (t)V †W (t)†i � hW (t)VW (t)†V †i

・量子力学をSemiclassicalに考えると、リャプノフ指数と関係:

�qe�Lt�q

２.OTO相関関数

[q(t), p(0)] ⇠ {q(t), p(0)}P.B

= i~ @q(t)@q(0)

= i~e�Lt = ie�L(t�t⇤)

t⇤ = ��1L log ~�1 (エーレンフェスト時間)

[Larkin-Ovchinikov,64] [Kitaev,14]

・OTO 相関関数は一般の量子系でも定義可能

・拡張するのはいいが、リャプノフ指数が存在するか否か は非自明

(=AdS中のEinstein重力を記述するCFT, large c 強結合)を有限温度に置くと、実際にカオスの振る舞いが見られる

しかし、ホログラフィックCFT

[cf:Stanford-Shenker 13]

→とくに、量子多体系でも定義できる

20 40 60 80 100

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

C�VW (t)

t

リャプノフ指数C�

VW ⇡ 1� e2⇡� (t�t⇤)

0に近づくt⇤ =

�

2⇡log c

hW (t)V (0)W (t)V (0)i�(⇠ 1�# · e�L(t�t⇤) (t t⇤)

! 0 (t > t⇤) �L =

2⇡

�, t⇤ = ��1

L log c

ホログラフィックCFT(chaotic) の場合

W (t), V( :プライマリー場)

[cf:Robert-Stanford 14, 　　西田氏のトーク]

選べる(プライマリー)演算子は identity , スピン演算子 　( に対応 ) ,

1 2 3 4

-4

-3

-2

-1

1

h✏(t, 0)✏(0, x)✏(t, 0)✏(0, x)ih✏✏i h✏✏i

t

( 　　　　)x = 2,� = 1

RationalなCFTおけるOTOC: イジングCFTの場合

C(t) = hVW (t)V †W †(t)i

�

✏

I �z

エネルギー演算子　( に対応 ) の3つ �x

例)

0に近づかない

h�✏�✏ih��i h✏✏i = �1

h✏✏✏✏ih✏✏i h✏✏i = 1

h����ih��i h��i = 0

t → ∞ でのOTO相関関数の値:

t → ∞ でのOTOCの値は演算子の取り方に依る

他の組み合わせ

一般のRCFT(可解なCFT)の場合(プライマリー演算子)

t → ∞で

limt!1

C�ij(t) =

Sij

S00

S00

S0i

S00

S0j=

Sij

S00

1

didj

[Caputa-沼澤-Osorio,16][Gu-Qi,16]

Sij : modular S matrix

di =S0i

S00:量子次元

(量子力学のS行列 とは違うものなので注意! )Sab = ha : out|b : ini

V = Oi(t, x), W = Oj(t, x)

C

�ij(t) =

hO†i (t, 0)O†

j(0, x)Oi(t, 0)Oj(0, x)ihO†

i (t, 0)Oi(t, 0)i hO†j(0, x)Oj(0, x)i

h�✏�✏ih��i h✏✏i = �1

h✏✏✏✏ih✏✏i h✏✏i = 1

h����ih��i h��i = 0

再びイジングCFT:

1

2

0

@1 1

p2

1 1 �p2p

2 �p2 0

1

A=

イジングCFTのモジュラーS行列

S��

S00

S00

S0�

S00

S0�=

=

Sij =

0

@S00 S0✏ S0�

S✏0 S✏✏ S✏�

S�0 S�✏ S��

1

A

S✏�

S00

S00

S0✏

S00

S0�

=S✏✏

S00

S00

S0✏

S00

S0✏

⇒モジュラーS行列を用いた公式から正しい値が再現された

W

V

tx

t

x

一般のRCFT(可解なCFT)の場合

C�ij(t)

Sij

S00

S00

S0i

S00

S0j

Wの励起がV直上に来ることに よって起こる変化

・OTO相関関数の値は0にならない

・ の値はモジュラーS行列の組合せ

・値は温度によらない

t ! 1

RCFTでは

その他のCFT①RCFTでも②ホログラフィックなCFT

でもないCFTにおけるCFTにおいても、OTOCは調べられ ている

[Caputa-Kusuki-Takayanagi-Watanabe, 17]

[Belin, 17]

(T 2)⌦N/ZN 巡回群オービフォールドCFT

C⌦N/SN 対称群オービフォールドCFT

どちらもリャプノフ指数は0時間発展の形は①とも②とも違う

・2d CFTにおけるOTO相関関数の振る舞いを見た

トークのまとめ

・RCFTでは一般にOTOCは0にdecayしないことを見た⇒これはホログラフィックなCFTとは違う振る舞い

・RCFTの時刻∞の時の一般的な値を導いた⇒これはイジングCFTの時の具体的な値を再現した

・その他のCFTでは、また違った振る舞いをする⇒統一的な理解は得られていないので、さらなる研究 　が必要

Appendix

Non-integrability seems to be important in BH physics...

・black hole non-formation in c=1 matrix model(integrable)[Karczmarec-Maldacena-Strominger,04]

・black hole is thermal object

:spectrum of primary state

in AdS/CFT,

⇔field with mass

⇔Black hole with temp.

⇒Eigenstate represent thermal state (ETH)⇒related to quantum chaos [Srednicki,94]

・black hole formation = thermalization in dual CFT

Furthermore , BH show initial state sensitivity:[Stanford-Shenker,13]

Proper Energy at t=0 slice is

⇒Because of Blue Shift, tiny perturbation back reacts the geoemtry

[Caputa-Simon-Stikonas -Takayanagi-Watanabe,15]

ds2 =�l2dudv +R2[1� u(v + ↵✓(u))]2d�2

[1 + u(v + ↵✓(u))]2

↵ ⌘ E

MeRtw/l2

↵

ds2 =�l2dudv +R2(1� uv)2d�2

(1 + uv)2BH metric:

tiny perturbation change the structure of entanglement

TFD : entanglement is special

⇒ make more typical entanglemet Intuitively,

Entanglement is scrambled !!

・ is related to C(t) = hVW (t)V †W †(t)i OTO (Out of-Time-Oerder) cor.

(we will see in section 3)

(we can see this using mutual information)

W (tw)

・AdS/CFT(ゲージ／重力)対応

→ラージN、強結合のCFTのみアインシュタイン重力を記述できる

超重力の極限では、CFTはラージN、強結合(ストリング長 もプランク長 も 小さい )

RAdS

ls lp

CFTn(ゲージ理論) on boundary

string theory on AdSn+1(× X9-n )

RAdS

ls⇠ �

RAdS

lp⇠ N :ゲージ群のランク

: (t‘ Hooft)結合定数

ls lp

2d CFT

・ある種の2次元CFTはAdS3中のstringを記述

・共形対称性SO(2,2)=SL(2,R)×SL(2,R)は無限次元のVirasoro対称性に拡大 [Belavin-Polyakov-Zamolodchikov, 84]

→大きい対称性を持つので扱いやすい

・しかし、現われる演算子の次元、3点関数の係数は対称性で決ま 　らず、これが個々の理論を特徴づける

→対称性で決まらない、ダイナミカルな部分を解くのは一般に 難しい

・一般には無限個のVirasoro代数の表現(プライマリー場)を含む

→ダイナミカルな部分まで含めて相関関数が完全に求まる(可解)

・特殊な場合は有限個の既約表現のみを含み、Rational CFT (RCFT) 　と呼ばれる

(1)ミニマル模型(イジング模型など)(2)WZW模型(対称性がアフィンリー代数(Virasoro以上)に拡大)

(例)

・あるRCFT(WNミニマル模型)はAdS3中の高階スピン重力(stringyな　　　 　場を含む)を記述すると信じられている

→RCFTでの解析は、量子的ないしstringyな領域でのAdS/CFT対応　 　の理解に役立つと考えられる

[Gabadiel-Gopakumar, 11]

・イジング模型に対しても、量子的でstringyな重力を記述するという 　proposalがある [Castro-Gopakumar-Hartman-Maloney-Volpato, 11]

Rational CFT

AdS/CFTと相関関数

RAdS

AdS中のscatteringCFTにおける

　実時間の4点相関関数

tt

・アインシュタイン重力( , << RAdS)の時、粒子がピンポイントでscattering

→ラージN、強結合のCFTでは、対応する配置で相関関数が 　singularityを持つ

ls lp

[Heemskerk-Penedones-Polchinski-Sully,11]

ブラックホールの場合

Boundary R

Boundary L

CFTL × CFTR における

|TFDi =X

n

e��En

2 |Eni1 ⌦ |Eni2

hTFD|VLWRWlVR |TFDi

・ブラックホールの存在→青方偏移→エネルギーの指数的増加 E ⇠ E0e

2⇡� t

→初期値鋭敏性、カオス的振る舞い

・CFT側では、　　 状態における4点関数のカオス的振る舞い 　であると解釈される

|TFDi

・この4点相関関数を書き直すと、Out-of-time-ordered相関関数 　と呼ばれるものになる

( ) VRWL

WRVL

OTO相関関数の計算方法まず、ユークリッド版のCFTから始める

hW (i✏4)W (i✏3)V (i✏2)V (i✏1)i

⌧

✏4✏3✏2✏1

WVWV

⌧

✏4✏3✏2✏1

V

V

W (t)

W (t)

hW (t+ i✏4)W (t+ i✏3)V (i✏2)V (i✏1)i

✏4 ! ✏4 � it ✏3 ! ✏3 � it, とローレンツ時間へ解析接続して時間発展を求める

✏4 > ✏2 > ✏3 > ✏1

小さいユークリッド時間 を導入して、{✏i}4i=1

演算子の順番に合わせて　　　　　　　 と取る

熱平衡状態の時はユークリッド時間を にコンパクト化S1�

W (t)

W (t)V

V

V

V

W

W

⌧

t→∞の値の導出2. OTO相関関数

hO†iO

†jOiOji = |z12|2�i |z34|2�jG(z, z̄)

G(z, z̄) =X

a

F iijj(a|z)F̄ ii

jj(a|z̄)

F iijj(a|z)

4点関数

を共形ブロック　　　　の和

に分解

z =z12z34z13z24

, zij = zi � zj

は複比

Oi(0)

O†i (0)

O†j

Oj✏4

✏3✏2

✏1

tx

時間発展 O†j

Oj✏4

✏3✏2✏1

x

Oi(t)

O†i (t)

SL(2,C )対称性 (大域的な共形対称性)を使って

z z

z

O†i (t)

Oi(0) Oj(1)O†

j(1)

・OTO相関関数はモノドロミー と関係(z, z̄) : (0, 0) ! (0, 0)

正則部分

2. OTO相関関数

(複比)

ij

0

0

t

結び目

軌跡が結び目を作る

Oi(0)

O†i (0)

O†j

Oj✏4

✏3✏2

✏1

tx

時間発展O†

j

Oj

✏4

✏3✏2

✏1

x

Oi(t)

O†i (t)

O†i (t)Oi(0)

Oj(1)O†

j(1)

z̄ z̄

z̄

反正則部分

2. OTO相関関数

ij

0

0

t

軌跡は分かれる

正則な部分の共形ブロックのモノドロミーの評価に帰着

identity ブロックのモノドロミー

M00 =Sij

S00

1

didj[Moore-Seiberg,89]

TQFT的解釈

2d CFT 3d TQFT

プライマリー場 エニオン

O†j

Oj

Oi(t)

O†i (t)

3D TQFT picture

ij

0

0

t

limt!1

Cij(t) =hLink(Wi,Wj)i

hWii hWji=

Sij

S00

1

didj

2. OTO相関関数

[Witten, 88]

結び目