- 1 -

ตอนทหนง ขอ 1 – 12 ตอบถกไดคะแนนขอละ 4 คะแนน ไมตอบไดคะแนนขอละ 1 คะแนน ตอบผด 0 คะแนน

1. ขอสรปเกยวกบคาตอบทงหมดของสมการ 54320122555x =−−

ขอใดตอไปนถกตอง

ก. คาตอบเปนจานวนจรงบวกทแตกตางกน 4 คา ข. ผลบวกของคาตอบทงหมดมคานอยกวา 10000

ค. ผลตางระหวางคาตอบทมคามากทสด และคาตอบทมคานอยทสดมคานอยกวา 5000

ง. จาก ก – ค มขอความทถกตองมากกวาหนงขอ

จ. จาก ก – ค ไมมขอความใดถกตอง 2. กาหนดเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนจรง

ผลบวกของคาตอบทงหมดของสมการ x4 – 2x3 + x2 – 1 = 0 มคาเทากบเทาใด

ก. 1 ข. 2 ค. -1

ง. -2 จ. จาก ก – ง ไมมตวเลอกในขอใดถกตอง

- 2 -

3. มคดฆาตกรรมเกดขนทหมบานแหงหนง มผตองสงสยอยสคน คอนายไก, นายขวด,

นายเคน และนายเงน หนงในสคนนเปนผกระทาความผด ตารวจไดสอบปากคาผตองสงสย

โดยมขอความดงตอไปน

นายไก : นายขวดเปนคนทา นายขวด : นายเงนเปนคนทา นายเคน : ผมไมไดทา นายเงน : นายขวดโกหก

สมมตวาในสคนนมเพยงหนงคนเทานนทพดความจรง

จงหาวา ใครคอผกระทาความผดทแทจรง

ก. นายไก ข. นายขวด

ค. นายเคน ง. นายเงน

จ. คาใหการของคนทงสไมเพยงพอตอการสรปวา ใครคอผกระทาความผด

- 3 -

4. กาหนด ∅=A และ }{B ∅=

ขอความตอไปน มขอความทถกตองกขอความ (1) A)A(P −∈∅

(2) B)B(P −∈∅ (3) )B(P)A(P ∩∈∅ (4) )B(P))A(P(P −∈∅

ก. 0 ข. 1 ค. 2 ง. 3 จ. 4 5. กาหนด 201216 เปนจานวนทอยในรปของเลขฐานสบหก

ถาเขยน 201216 ในรปของเลขฐานสอง

แลว จะใชเลขโดด “1” ในการเขยนทงหมดกตว ก. 3 ข. 4 ค. 5

ง. 6 จ. มากกวา 6 ตว

- 4 -

6. ถา ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=14

23A , ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ −=

3142

B

และ ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

dcba

C โดยท BadjAadjC +=

แลว a – b + c - d มคาเทากบเทาใด

ก. -2 ข. -1 ค. 0

ง. 1 จ. 2 7. กาหนดไฮเพอรโบลา 011y24x30y4x5 22 =−−−− มจด A และ B เปนจดปลายของแกนสงยค และจด C และ D เปนจดทกราฟตดกบแกน Y

พนทของรปสเหลยม ABCD เทากบกตารางหนวย

ก. 2

)55(3 + ข. 2

)525(3 + ค. 221

ง. 2

27 จ. ไมเกดรปสเหลยมตามทโจทยกาหนด

- 5 -

8. ให A = {2, 3, 4} และ B = {4, 5, 8, 9, 10}

กาหนด r1 คอความสมพนธ “หารลงตว” จาก A ไป B

r2 คอความสมพนธ “มากกวา” จาก A ไป B

r3 คอความสมพนธ “เปนสามเทา” จาก B ไป A

r4 คอความสมพนธ “เปนรากทสอง” จาก B ไป A

ความสมพนธ r1, r2, r3 และ r4 มกความสมพนธทเปนฟงกชน ก. 0 ข. 1 ค. 2

ง. 3 จ. 4

9. ให }06x3x/RR)y,x{(r 21 ≤−−×∈=

และ }04y2y/RR)y,x{(r 22 ≤−−×∈=

พนททถกปดลอมดวยกราฟของ 21 rr ∩ เทากบกตารางหนวย

ก. 0 ข. 66 ค. 69

ง. 612 จ. หาคาไมได เพราะเปนบรเวณเปด

- 6 -

10. กาหนด 2 และ 3 เปนจานวนอตรรกยะ ซงมคาประมาณ 1.414 และ 1.732 ตามลาดบ

23 )3()2( ⋅ เทากบคาในขอใดตอไปน

ก. 1 ข. 6)6( ค. 32)6( +

ง. 6)32( + จ. จาก ก – ง ไมมตวเลอกในขอใดถกตอง

11. ให O แทนเซตของจานวนเตมค และ E แทนเซตของจานวนเตมค

ถา x เปนจานวนจรง ซงสอดคลองกบสมการ

644)2(2 xx2 +=

แลว ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

ก. Qx ′∈ ข. −∈ Ix ค. IQx −∈

ง. OIx ∩∈ + จ. EIx ∩∈ +

- 7 -

12. สามเหลยม ABC มความยาวของดาน AB, BC และ CA เทากบ 28, 45 และ

53 หนวย ตามลาดบ

ถา t = sin2A + sin2C แลว ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

ก. t > 1 ข. t = 1 ค. 1t43

<<

ง. 43t = จ.

43t <

- 8 -

ตอนทสอง ขอ 13 – 24 ตอบถกไดคะแนนขอละ 6 คะแนน ไมตอบไดคะแนนขอละ 1.5 คะแนน ตอบผด 0 คะแนน

13. ให X เปนเซตใดๆ สญลกษณ n(X) และ P(X) แทนจานวนสมาชกของเซต X

และเพาเวอรเซตของ X ตามลาดบ

กาหนด A และ B เปนเซตจากด โดยท n(A) = m และ n(B) = n เมอ m และ n

เปนจานวนเตมบวก และให U แทนเอกภพสมพทธ ถา nm2))BA(P(n +=∪ แลว ขอสรปในขอใดตอไปนไมถกตอง

ก. BA ′⊂ ข. BAB =′∩

ค. )AB()BA(BA −∪−=∪ ง. UBA =′∪

จ. nm 22))B(P)A(P(n +=∪ - 1

- 9 -

14. ให p, q และ r เปนประพจน กาหนด p ∗ q เปนประพจนทมคาความจรง ตามตารางขางลางน

p q q*p T

T F F

T F T F

F F F T

ถาเราสรางตารางเพอแจกแจงคาความจรงของประพจน p ∗ (q ∗ r)

แลว จงหาวามกกรณทประพจน p ∗ (q ∗ r) มคาความจรงเปนจรง

ก. 2 ข. 3 ค. 4

ง. 5 จ. 6

- 10 -

15. กาหนดใหเอกภพสมพทธ คอ {1, 2, 3, 4, 5}

P(x) แทนประโยคเปด “x เปนจานวนเฉพาะ”

และ Q(x) แทนประโยคเปด “x เปนจานวนประกอบ”

จงพจารณาประพจนตอไปน (1) )]x(Q)x(P[x ∨∀ (2) )]1(P)x(Q[x →∀ (3) )]x(P)1(Q[x →∀

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

ก. ประพจนขอ (1) เทานน ทมคาความจรงเปนจรง

ข. ประพจนขอ (2) เทานน ทมคาความจรงเปนจรง

ค. ประพจนขอ (3) เทานน ทมคาความจรงเปนจรง

ง. มประพจนทมคาความจรงเปนจรงมากกวาหนงประพจน จ. ทงสามประพจนตางมคาความจรงเปนเทจ

- 11 -

16. กาหนดเอกภพสมพทธเปนเซตของจานวนเตม

ให A เปนเซตคาตอบของอสมการ 0)3x()2x()5x()4x(32

54≤

−++−

และ B เปนเซตคาตอบของอสมการ 0x6

)54x(3x≥

−−++

ขอสรปในขอใดตอไปนถกตอง

ก. ผลบวกของสมาชกทกตวในเซต A มคาเทากบ -10

ข. ผลบวกของสมาชกทกตวในเซต B มคาเทากบ 12

ค. สมาชกทมคามากทสดของเซต A คอ 2

ง. สมาชกทมคานอยทสดของเซต B คอ 1

จ. จาก ก – ง มขอความทถกตองมากกวาหนงขอความ

- 12 -

17. สาหรบแตละคาของจานวนเตมบวก a และ b

กาหนดการดาเนนการ a1

b1ba −=∗

ถา m และ n เปนจานวนเตมบวก ซงทาให nmm6 ∗=∗

แลว ผลบวกของคาทเปนไปไดทงหมดของ n เทากบเทาใด

ก. 51 ข. 71 ค. 107

ง. 119 จ. 137 18. กาหนด b147an = เปนจานวนนบหาหลก โดยท a และ b แทนเลขโดด

ในหลกหมน และหลกหนวย ตามลาดบ

ถา n ถกหารดวย 12 ลงตวแลว จานวนของคา n ทเปนไปไดมทงหมดกจานวน

ก. 2 ข. 4 ค. 5

ง. 6 จ. มากกวา 6 จานวน

- 13 -

19. กาหนด 33ij]a[A ×=

ถา ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−=+

1221230103

AA2 t แลว คาของ )AA(det t+ เทากบเทาใด

ก. 4 ข. 8 ค. 12

ง. 20 จ. 32 20. กาหนด L เปนเสนตรงทผานจด (-2, 1) และ (2, -2) และจด P มพกดเปน (4, 4)

Q เปนจดบนเสนตรง L ทอยใกลกบจด P มากทสด

ถาใหพกดของจด Q คอ (a, b) แลว a + b เทากบคาในขอใดตอไปน

ก. 52

− ข. 51

− ค. 53

ง. 1 จ. 2

- 14 -

21. วงกลมซงมจดศนยกลางอยในจตภาคทหนง สมผสกบแกน Y ทจด (0, 4)

และมคอรดทเกดจากแกน X ตดกบวงกลม ยาวเทากบ 6 หนวย

วงกลมนตดกบกราฟ y = x ทจดใด

ก. (2, 2) ข. )2,2( ค. )22,22(

ง. (8, 8) จ. จาก ก – ง มขอถกมากกวาหนงขอ

- 15 -

22. จงหาความชนของเสนตรงทสมผสกบวงร ซงมสมการเปน x2 + 2y2 + 3x + 4y = 0

ทจด (0, -2)

ก. 1 ข. 54 ค.

43

ง. 32 จ.

21

23. ถา f = {(1, 2), (2, 3), (3, 4), (4, 5)} และ g = {(2, 5), (3, 4), (4, 2), (5, 1)}

แลว ขอสรปในขอใดตอไปนไมถกตอง ก. Df o g = Dg ข. Dg o f = Df ค. Rg o g⊂ Rg o f

ง. (3, 5) ∈ f o f จ. (3, 2) ∈ g o g

- 16 -

24. กาหนด f เปนฟงกชน ซงสามารถหาฟงกชนผกผนได และให g(2x) = 3f(x) + 5

g-1(x) เทากบขอใดตอไปน

ก. 2

5)x(f3 1 +− ข. 5

2xf3 1 +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛− ค.

5)x(f32

1 +−

ง. 52xf

31 1 −⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛− จ. ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

35xf2 1

- 17 -

ตอนทสาม ขอ 25 – 29 ตอบถกไดคะแนนขอละ 6 คะแนน ตอบผด หรอไมตอบ 0 คะแนน 25. รปหาเหลยม ABCDE ม ∠EAB = 90°, ∠ABC = 120°, ∠BCD = 60°

และ ∠CDE = ∠DEA = 135°

ถาความยาวของดาน AB, BC และ CD เทากบ 60, 40 และ 50 หนวย ตามลาดบ

แลว จานวนเตมทมคาใกลเคยงกบพนทของรปหาเหลยม ABCDE มากทสด มคาเทากบเทาใด

กาหนด 414.12 ≈ และ 732.13 ≈

- 18 -

26. กาหนด n เปนจานวนเตมบวก ซงเมอ 2555 ถกหารดวย n แลว จะเหลอเศษเทากบ 7

ผลบวกของคาทเปนไปไดทงหมดของ n เทากบเทาใด 27. กาหนด f(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d โดยท a, b, c และ d เปนจานวนเตม

ถา 0)55(f)52(f =+=+ แลว คาของ -a + b - c + d เทากบเทาใด

- 19 -

28. กาหนดจด (x, y) เปนจดทตกอยบนเสนตรง 48x + 55y = 2555

คาตาสดทเปนไปไดของ x2 + y2 เทากบเทาใด

29. กาหนด P เปนจดทอยบนสวนโคงของพาราโบลา ซงมสมการเปน

2012)2012x(y2−

=

ถาจด P อยหางจากโฟกสของพาราโบลาเทากบ 2555 หนวย

แลว จด P จะอยหางจากแกน X เทากบกหนวย

- 20 -

ขอโบนส (นกเรยนเลอกทา หรอไมทากได) ตอบถกจะได 15 คะแนน ตอบผด -5 คะแนน ไมตอบ 0 คะแนน

30. กาหนดให A เปนเมทรกซขนาด 2 × 2 ทมสมาชกเปนจานวนจรง โดยท det A > 0

ถา A2 = 4(A – 2I) เมอ I เปนเมทรกซเอกลกษณ

แลว จงหาคาของ det (adj (2A))