1Operaciones UnitariasTransferencia de Calor

Parte 2

Profesor: Luis Vega Alarcn2009

ConduccinConduccinLa transferencia de calor a travs de un material fijo es acompaada por el mecanismo conocido como conduccin. La velocidad de flujo de calor por conduccin es proporcional al rea aprovechable para la transferencia de calor y al gradiente de temperatura en direccin del flujo de calor. La velocidad de flujo de calor en una direccin dada entonces puede ser expresada por la ecuacin o Ley de Fourier como:

dxdTAkq =

Propuesta en 1822 por el cientfico francs J.B.J Fourier.

dxdTAkq =

k: Conductividad Trmica.

Flujo de calor a travs de la superficie en direccin normal a la misma.

q:

A: rea de la superficie isotrmica.x: Distancia en la direccin normal a la superficie.T: Temperatura

El signo negativo de la ecuacin se incluye debido a que si eIflujo de calor es positivo en determinado sentido, la tempera-tura disminuye en ese mismo sentido.

Conductividad TrmicaLa conductividad trmica k es una propiedad del material, al igual que la viscosidad es una de las llamadas propiedades de transporte, sus unidades son:

FhrpieBtu

KmW

La conductividad trmica no dice cuan fcil es la conduccin de calor a travs del

material

2Los gases tienen valores de conductividad trmica bastante bajos, los lquidos tienen valores intermedios y los metales slidos tienen valores muy altos.

Sustancia k a 0CW/mK

Aire 0.0242Agua 0.569Cobre 388

La conductividad trmica depende de la temperatura, pero la variacin es relativamente pequea, de forma que, para pequeos intervalos de temperatura, k puede considerarse constante. Para intervalos de temperatura mayores, la conductividad calorfica vara linealmente con la temperatura, de acuerdo con la ecuacin:

bTak +=

Conductividad Trmica de Metalesk en [Btu/ pie h F]

Conductividad Trmica de Solidos y Aislantes Conductividad Trmica de Gases y Vapores

3Conductividad Trmica de Lquidos Conduccin en una Pared PlanaLa conduccin se comprende fcilmente considerando el flujo de calor en slidos homogneos, debido a que en este caso no hay conveccin y el efecto de la radiacin es despreciable excepto que el slido sea translcido a las ondas electromag-nticas.

T1

T2

T(x)

T

x

q

L

dxdTAkq =

Ejemplo. Una capa de corcho pulverizado de 6 pulg se utiliza como aislamiento trmico de una pared plana. La temperatura del lado fro del corcho es 40 F y la del lado caliente es 180 F. La conductividad termica del corcho a 32 F es 0,021 Btu/pieshF, y a 200 F es 0,032. El rea de la pared es 25 pie2. Cul es la velocidad de flujo de calor a travs de la pared, en Btu/h?

T1=180 F

T2=40 F

T(x)

T

x

q

6 pulg

25 pie2

T1=180 F

T2=40 F

T(x)

T

x

Qx

6 pulg

25 pie2

De la ecuacin de Fourier:

LTTA kq 12 =

La temperatura media aritmtica de la capa de corcho es:

[ ]F1102

18040T =

+=

Para esta temperatura la conductividad trmica:

=

FhrpieBtu026.0k

4Luego:

[ ] [ ][ ]pie5.0

F)18040(pie)25(Fhrpie

Btu)026.0(L

TT Akq

2

12

=

=

=

hrBtu182q

Conduccin a travs de una serie de paredes planas

T3

T4

T2T1

A B C

q

xA xB xC

)TT(x

Ak)TT(x

Ak)TT(x

Akq 43C

C32

B

B21

A

A

=

=

=

Akxq)TT(

A

A21

=

Akxq)TT(

B

B32

=

Akxq)TT(

C

C43

=

De lo anterior podemos plantear:

Akxq

Akxq

Akxq)TT(

C

C

B

B

A

A41

+

+

=

Luego:

Sumando las ecuaciones:

Akx

Akx

Akx

TTq

C

C

B

B

A

A

41

+

+

=

Akx

Akx

Akx

TTq

C

C

B

B

A

A

41

+

+

=

AkxR

A

AA

=

AkxR

B

BB

=

AkxR

C

CC

=

CBA RRRR ++=

Sea:

RT

RTTq 41 ==

5T3 T4T2T1RA RB RC

q

Akx

A

A

Ak

x

B

B

Ak

x

C

C

Akx

Akx

Akx

TTq

C

C

B

B

A

A

41

+

+

=

T3

T4

T2T1

A B C

q

xA xB xC

Otra forma de plantear: Conduccin a travs de un cilindro hueco

L

r1

r2q

Aplicando la ley de Fourier:

drdTAkq =

El rea transversal normal al flujo de calor es:Lr2A pi=

drdT)Lr2(kq pi=

Luego:

=pi

2

1

2

1

T

T

r

r

dTkr

drL2

q

)TT(r

rln

L2kq 21

1

2

pi=

Conduccin a travs de una serie de cilindros huecos

A

B

C

r1T1

r2T2

r3

T3

r4

T4

q

6( ) ( ) ( )C

34

B

23

A

12

41

kr/rln

kr/rln

kr/rln

)TT(L2q++

pi=

A

B

C

r1T1

r2T2

r3

T3

r4

T4

q

Fcilmente se puede demostrar:

Conduccin a travs de una esfera hueca

12

1221 rr

TTrrk4q

pi=

Conduccin a travs de materiales en paralelo

Suponga que dos slidos planos A y B se colocan uno junto al otro en paralelo, y que la direccin del flujo de calor es perpendicular al plano de la superficie expuesta de cada slido. Entonces, el flujo total de calor es la suma del flujo de calor a travs del slido A ms el que pasa por B. Escribiendola ecuacin de Fourier para cada slido y sumando:

)TT(R1

R1

Akx

TT

Akx

TTq 21BA

BB

B

21

AA

A

21Total

+=

+

=

)TT(x

Ak)TT(x

Akqqq 21B

BB21

A

AABATotal

+

=+=

Conduccin BidimensionalAnteriormente se analiz la conduccin de calor en estado estacionario en una direccin. Sin embargo, en muchos casos la conduccin de calor en estado estacionario ocurre en dos direcciones, es decir se presenta conduccin bidimensional. Las soluciones bidimensionales son ms complejas y en la mayora de los casos no se dispone de soluciones analticas.

Para su resolucin:

Mtodos Numricos Mtodos Grficos

7Ecuacin de difusin de CalorUno de los objetivos principales en el anlisis de conduccin es determinar la distribucin de temperatura en un medio como resultado de las condiciones impuestas en las fronteras. Una vez que se conoce esta distribucin, el flujo de calor se puede determina en cualquier punto o superficie por intermedio de la Ley de Fourier

tTCq

z

Tkzy

Tkyx

Tkx

P

=+

+

+

k: Conductividad Trmicaq: Calor generado por unidad de volumen.

tTCq

z

Tkzy

Tkyx

Tkx

P

=+

+

+

Para conductividad trmica constante:

tT

kC

kq

z

TyT

x

T P2

2

2

2

2

2

=+

+

+

Muchos de los problemas prcticos de transferencia de calor se pueden resolver considerando un flujo de calor unidimensional en estado estacionario con lo que la ecuacin general se reduce a:

0x

T2

2

=

0kq

x

T2

2

=+

Sin generacin de calor o fuente de calor:

Problemas Propuestos

8Problema N1. Calcule la prdida de calor por m2 de rea de superficie para una pared constituida plancha de poliuretano de 25.4 mm de espesor, cuya temperatura interior es de 352.7 K y la exterior de 297.1 K.

Problema N2. A travs de una pared de 2.5 cm de espesor y un rea de 10 m2, fluye un flujo de calor 3 kW. Por el lado caliente de la pared la temperatura es de 415 C y la conductividad trmica de la pared es de 0.2 W/mK. Cul es la temperatura de la otra pared? (Respuesta: 378 C)

Problema N3. Las temperaturas de las superficies internas y externas de una ventana de vidrio de 5 mm de espesor son 15 y 5C. Cul es la perdida de calor a travs de la ventana si mide 1 x 3 m de lado? La conductividad trmica del vidrio es 1.4 W/mK. (Respuesta: 8400 W)

Problema N4. El comportamiento de un congelador consiste en una cavidad cbica que tiene 2 m de lado. Suponga que el fondo est perfectamente aislado. Cul es el espesor mnimo de aislante de espuma de poliuretano (k=0.030 W/mK) que debe aplicarse en las paredes superiores y laterales para asegurar una carga de calor de menos de 500 W, cuando las superficies interior y exterior estn a -10 y 35 C. (Respuesta: 54 mm)

Problemas Resueltos en Clases

Problema N1 . Un tubo cilndrico de caucho duro y paredes gruesas, de conductividad trmica 0.151 W/m K, cuyo radio interior mide 5 mm y el exterior 20 mm, se usa como serpentn de enfriamiento provisional en un bao. Por su interior fluye una corriente de agua fra y la temperatura de la pared interna alcanza 274.9 K, y la temperatura de la superficie exterior es 297.1 K. El serpentn debe extraer del bao un total de 14.65 W (50 Btu/hr). Cuntos metros de tubo se necesitan?

9Problema N2 (10.2 McCabe6). Una tubera estndar de 1 pulga-da Norma 40, conduce vapor de agua saturada a 250F. La tubera esta aislada con un capa de 2 pulgadas de magnesia al 85%, y sobre la magnesia lleva una capa de corcho de pulgada de espesor. La temperatura de la pared interior de la tubera es de 249 F, y la del exterior del corcho es de 90 F. Las conductividades trmicas, en Btu/piehrF, son: para el acero 26; para la magnesia 0.034; para el corcho 0.03. Calcular:

La perdida de calor en 100 pie de tubera en Btu/hr.a)Las temperaturas de los limites comprendidos entre el metal y la magnesia, y entre la magnesia y el corcho.

b)