6 4 C A P Í T U L O 5 A N Á L I S I S D E L C O M P O R T A M I E N T O D E F U N C I O N E S

l i a E J E R C I C I O S

• I. C r e c i m i e n t o y d e c r e c i m i e n t o . E x t r e m o s

1 . D e t e r m i n e l o s i n t e r v a l o s d e c r e c i m i e n t o y d e ­c r e c i m i e n t o d e l a s f u n c i o n e s .

a) y = 1 - 4 x - x 2

b) y = ( x - 2 ) 2

c) y= ( x + 4 ) 3

d) y = x(l + jl)

e) y = 2 - 3x + x2

f) y (x2 - 1 ) *

g) y = xe'x

h) y - ( 2 - x ) ( x + l ) 2

0 y = x 2 ( x - 3 )

j ) y = ^

k) y= ( x - i ) !

0 y x ¡ - 6 x - 1 6

»0 y = f - fx~

n) y = x + senx

o) y = x l n x

p) y = 2es2^x

q) Xtr#jk

s) y = 3x + 4- + 5

t) y = a r c s e n ( 1 + x)

2. H a l l e l o s e x t r e m o s d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s :

a) y = 2x2 - 8

¿>) y = 2x - x2

c) y = x3 -9x2 + l5x-3

d) y = x l n x

¿?) y = ( x - i ) 4

A ) y

0 > y ) >

k) y

0 y

m ) y

n) y

o) y*

p) y =

q) y =

f) y =

s) y =

t) y =

u) y =

v ) y =

w) y

x) y =

y) y =

= xJl-x2

- l - ( * - 2 ) +

= , / ( * - 2 ) 3 ( 2 x + 1 )

= * 2 ( 1 - x j x ~ )

= x + j3-x

= l n ( x 2 + 1 )

xe 2

( x - l ) * ( 2 x - l ) > / ( x - 3 ) 2

x 4 - 4 x 3 + 6 x 2 - 4 x x ]

x 2 + 3 x 2 - 2 x + 2

x - l n ( l + x )

x l n x

x2 l n x

XéT*

• II. C o n c a v i d a d y p u n t o s d e inflexión 1 . D e t e r r r i i n e l o s i n t e r v a l o s d e c o n c a v i d a d y l o s

p u n t o s d e inflexión d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o ­n e s :

a) y = x3-6x2+ 1 2 x + 4

b) y = xs

c) y= 4x- 1

d) y=-x2+ 1 5 x 2 - x - 2 5 0

e) y = ( x + l ) 4

/ ) y = _!_

0 y-ijñ • h) y= U x 2 - 1 2 x

0 y = J C 2 l n x

E J E R C I C I O S 6 5

• III. V a l o r e s mínimos y máximos a b s o l u t o s

1. D e t e r m i n e l o s v a l o r e s mínimos y máximos a b s o l u t o s d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s e n l o s i n ­t e r v a l o s q u e se i n d i c a n .

a) y = x 4 - 2 x 2 + 3 ; [ - 3 , 2 ]

b) y = x 4 - 8 x 2 + 3 ; [ - 2 , 2 ]

c ) y = f x 3 - 2 x 2 + 3 ; [ - l , 2 ]

* y ' • & • • [ - * • * • ] é) y = t a n x - x ; [ - i f ]

/ ) y = 3 x - x 3 ; [ - 2 , 3 ]

g) y = x 3 ; [ - l , 3 ]

h) y = 2x3 + 3x2 - 1 2 x + l ; [ — 1 , 5 ]

0 y = 2 x 3 - 3 x 2 - 1 2 x + 1 ; [ - 1 0 , 1 2 ]

f) y - 2 » ; [ - 1 , 5 ]

*) y = x 2 - 4 x + 6 ; [ - 3 , 1 0 ]

0 y = | x 2 - 3 x + 2 | ; [ - 1 0 , 1 0 ]

m) y = x + \- ; [ 0 . 0 1 , 1 0 0 ]

n) y = j5-4x ; [ - l , l ]

o) y= *£;(0,co)

• IV. Asíntotas o b l i c u a s H a l l e l a s asíntotas d e l a s s i g u i e n t e s c u r v a s :

1 . y = x 2

2. y = x+ l n x

3 . y -4. y = x + 2 a r c t a n x

5. y = x V *

6. y - 2 x - £ S ¿

7. y - - 3 x

8. y = Jx3 - 6 x 2

9. y - 0 . 5 x + a r c t a n x

10. y - - x a r c t a n x

1 1 . y o 1 ( x - 2 ) '

12. y X

x 1 -4x K l

13. y - 1

4

14. y = X 1

x 2 + 9

15. y = V x 2 - 1 16. y = X

. / F + J 17. y = x 2 + l

18. y = x - 2 + J x 2 + 9

19. y = e~xl + 2

20. y = i l - e '

2 1 . y = X

e • 22 . y =

s e n x X

23 . y - l n ( l + x )

2 4 . y = X

25 . y = . l n x ,

X

26. y = >-¿ 27 . y = r ' + l

X

28. y = x '

x + l

• V. Construcción d e gráficas D i b u j e l a s gráficas d e l a s s i g u i e n t e s f u n c i o n e s :

1 . y = 3 x - x 2

2. y = l + x 2 - f

3 . y = ( x + l ) ( x - 2 ) 2

4. y -2 - x ¡

l+x«

5. y = x 2 - l

x 2 - 5 x + 6

6. y = X

( l + x ) ( l - x ) !

7. y = X 4

( 1 + x ) 3

8. y = tfr)4 9. y =

x : ( x - l )

( x + l ) 1

10. y - ( l - x ' ) J

1 1 . y = ( x + l ) ' ( x - l ) 1

12. y = x 4 + 8 x ' + l

13. y = _J 10_ j 1_ 1+x 3 x ! 1-x

14. y = (x-3)Jl

6 6 C A P Í T U L o 5 A H A L I S I S D E L C O - P O R U - . " ™ C E F U H C . O N E S

16. y - j g i r f

1 7 . y = ± J ^ l ) ( « - 2 ) ( * - 3 )

18. y = v x : ,

22. y - TÜjcf

2 3 . y = " S M

2 4 . y = J T T

25 . y = l - I +

26 . y - /íF V 3+x

27 . y = te. 2 8 - y = senx- + eos x

, m 7 + 2 c o s x s e n x i

29 . y

30 y = s e n x + j s e n 3 x

3 1 - y = c o s x - - j c o s 2 x

32 , y = s e n 4 x + c o s 4 x

3 3 _ y = s e n x s e n 3 x

3 4 . y

3 5 . y -

36. y -

sen(x+-2-) s e n x

48. y = x + a r c t a n x

49. y = 2

5 0 . y = **

P R O B L E M A S D E A P L I C A C I Ó N

1 " 4 P R O B L E M A S D E A P L I C A C I O N

• VI. Optimización

U t i l i d a d

1 . L o s c o s t o s f i j o s d e u n a e m p r e s a s o n d e $ 1 2 0 0 , l o s c o s t o s c o m b i n a d o s d e m a t e r i a l y t r a b a j o s o n d e $ 2 p o r u n i d a d y l a ecuación d e d e m a n d a e s

loo P ~ T

¿Qué n i v e l d e producción maximizará l a u t i l i ­d a d ? D e m u e s t r e q u e e s t o ocurrirá c u a n d o e l i n g r e s o m a r g i n a l s e a i g u a l a l c o s t o m a r g i n a l . ¿Cuál e s e l p r e c i o e n e l c u a l l a u t i l i d a d e s má­x i m a ?

2. E l f a b r i c a n t e d e u n p r o d u c t o e n c u e n t r a q u e p a ­r a l a s p r i m e r a s 5 0 0 u n i d a d e s q u e p r o d u c e y v e n d e l a u t i l i d a d e s $ 5 0 p o r u n i d a d . L a u t i l i ­d a d p o r c a d a u n i d a d p r o d u c i d a más allá d e 5 0 0 d i s m i n u y e e n $ 0 . 1 0 p o r e l número d e u n i ­d a d e s a d i c i o n a l e s p r o d u c i d a s . ¿Qué n i v e l d e producción maximizará l a u t i l i d a d ?

3. L a ecuación d e d e m a n d a p a r a e l p r o d u c t o d e u n m o n o p o l i s t a es p = 6 0 0 — 2q, y l a función d e c o s t o t o t a l e s

c = 0 . 2 9

2 + 28<? + 2 0 0

E n c u e n t r e l a producción y e l p r e c i o q u e m a x i -mizarán l a u t i l i d a d y d e t e r m i n e l a u t i l i d a d c o ­r r e s p o n d i e n t e . S i e l g o b i e r n o e s t a b l e c e u n i m p u e s t o d e $ 2 2 p o r u n i d a d a l f a b r i c a n t e , ¿cuáles serían e n t o n c e s l a producción y e l p r e ­c i o q u e maximizarían l a u t i l i d a d ? ¿Cuál sería a h o r a l a u t i l i d a d ?

4. P a r a e l p r o d u c t o d e u n m o n o p o l i s t a , l a función d e c o s t o esc = 5 0 0 + 30q y l a función d e d e ­m a n d a p = 7 2 — 0 . 0 4 Í J . E n c u e n t r e l a p r o d u c ­ción q u e m a x i m i z a l a u t i l i d a d . ¿Cuál e s e l p r e c i o y cuál e s l a u t i l i d a d ?

I n g r e s o

5. U n a e m p r e s a d e b i e n e s raíces p o s e e 1 0 0 d e ­p a r t a m e n t o s t i p o jardín. C a d a d e p a r t a m e n t o p u e d e r e n t a r s e e n $ 4 0 0 p o r m e s . S i n e m b a r g o , p o r c a d a $ 1 0 m e n s u a l e s d e i n c r e m e n t o , habrá d o s d e p a r t a m e n t o s vacíos, s i n p o s i b i l i d a d d e r e n t a r l o s d e n u e v o .

a ) ¿Qué r e n t a p o r d e p a r t a m e n t o maximizará i n g r e s o m e n s u a l ? b ) ¿Cuántos d e p a r t a m e n t o s se r e n t a n ? c ) ¿Cuál es e l i n g r e s o máximo m e n s u a l ?

6. U n a e m p r e s a d e televisión p o r c a b l e t i e i 4 8 0 0 s u s c r i p t o r e s q u e p a g a n c a d a u n o S i m e n s u a l e s , y p u e d e c o n s e g u i r 1 5 0 s u s c r i p t o u más p o r c a d a $ 0 . 5 0 m e n o s e n l a r e n t a m e r s u a l . ¿Cuál será l a r e n t a q u e m a x i m i c e e l i r g r e s o y cuál será e s t e i n g r e s o ?

7 . L o s i n g r e s o s t o t a l e s e n t a q u i l l a a n i v e l m u n d i a l d e c i e r t a película s e c a l c u l a n a p r o x i m a d a m e n t e p o r l a función

v ' x 2 + 4

d o n d e T(x) s e m i d e e n m i l l o n e s d e dólares y x s o n l o s m e s e s p o s t e r i o r e s a l e s t r e n o d e l a p e ­lícula. T r a c e l a gráfica d e l a función T e i n t e r ­p r e t e l o s r e s u l t a d o s .

8. S u p o n g a q u e l a c a n t i d a d d e m a n d a d a s e m a n a I -m e n t e d e c i e r t o v e s t i d o se r e l a c i o n a c o n e l p r e c i o u n i t a r i o p m e d i a n t e l a ecuación d e d e ­m a n d a p = V 9 0 0 — x , d o n d e p está e n dóla­r e s y x s e r e f i e r e a l o s v e s t i d o s f a b r i c a d o s . ¿Cuántos v e s t i d o s d e b e n f a b r i c a r s e y v e n d e r s e p o r s e m a n a p a r a m a x i m i z a r l o s i n g r e s o s ? [ S u ­g e r e n c i a : R(x) = px.]

9. L a c a n t i d a d m e n s u a l d e m a n d a d a d e l r e l o j d e p u l s o Swatch se r e l a c i o n a c o n e l p r e c i o u n i t a ­r i o m e d i a n t e l a ecuación

: 50_ O . O l x ' + l 0 s x < 2 0

d o n d e p se m i d e e n dólares y x e n u n i d a d e s d e m i l l a r . ¿Cuántos r e l o j e s se d e b e n v e n d e r p a r a o b t e n e r e l máximo i n g r e s o ?

1 0 . S i 2 0 0 p e r s o n a s s o l i c i t a n u n v u e l o c h a r t e r , l a a g e n c i a d e v i a j e s L e i s u r e W o r l d c o b r a $ 3 0 0 p o r p e r s o n a . A h o r a b i e n , s i l o s o l i c i t a n más d e 2 0 0 v i a j e r o s , c a d a t a r i f a se r e d u c e $ l p o r p a s a j e r o a d i c i o n a l . D e t e r m i n e cuántos p a s a j e r o s a p o r t a n e l i n g r e s o máximo a l a a g e n c i a d e v i a | e s . ¿( iiál es e l i n g r e s o máximo'' ¿< iiál

6 8 C A P Í T U L O 5 A N Á L I S I S O E L C O M P O R T A M I E N T O D E F U N C I O N E S

C o s t o s 11. E l c o s t o d e o p e r a r u n camión s o b r e u n a a u t o ­

p i s t a ( e x c l u y e n d o e l s a l a r i o d e l c h o f e r ) e s O . H + - J - dólares p o r k m , d o n d e 3 e s l a v e l o c i d a d ( u n i f o r m e ) d e l camión e n k m p o r h o r a . E l s a l a r i o d e l c h o f e r es d e $ 1 2 p o r h o ­r a . ¿A qué v e l o c i d a d d e b e m a n e j a r e l c h o f e r p a r a q u e u n v i a j e d e 7 0 0 k m r e s u l t e l o más económico p o s i b l e ?

12. E l c o s t o p r o m e d i o , e n dólares, d e l a p r o d u c ­ción d e x d i s c o s c o m p a c t o s e n l a compañía L i n c o l n está d a d o p o r

C ( x ) = - O . O O O l x + 2 + i ^ . , 0 < x < 6 0 0 0

M u e s t r e q u e C ( x ) s i e m p r e e s d e c r e c i e n t e e n e l i n t e r v a l o ( 0 , 6 0 0 0 ) .

13. R e c i e n t e m e n t e , u n o d e l o s p o z o s d e c i e r t a c i u d a d s e contraminó c o n t r i c l o r o e r i l e n o , u n a g e n t e cancerígeno, d e b i d o a q u e u n a a n t i g u a p l a n t a derramó químicos e n e l a g u a . U n a p r o p u e s t a e n v i a d a a l comité c o n s u l t i v o d e l a c i u d a d i n d i c a q u e e l c o s t o ( e n m i l l o n e s d e dó­l a r e s ) , d e l a eliminación d e x p o r c i e n t o d e l c o n t a m i n a n t e tóxico está d a d o p o r

a ) D e s c r i b a l a asíntota v e r t i c a l d e C ( x ) . b ) ¿Es p o s i b l e e l i m i n a r 1 0 0 % d e l c o n t a m i ­

n a n t e tóxico d e l a g u a ? c ) ¿Y e l 5 8 % ?

14. E l c o s t o p r o m e d i o p o r d i s c o ( e n dólares) c u ­b i e r t o p o r l a compañía g r a b a d o r a H e r a l d p a ­r a i m p r i m i r x v i d e o d i s c o s está d a d o p o r l a función d e l c o s t o p r o m e d i o C(x) = 2.2 + 2500

X

a ) C a l c u l e l a asíntota v e r t i c a l d e C(x) b ) ¿Cuál e s e l v a l o r lírrüte d e l c o s t o p r o m e ­

d i o ?

15. S u p o n g a q u e l a función d e c o s t o t o t a l p o r l a fabricación d e c i e r t o p r o d u c t o e s C ( x ) = 0 . 2 ( 0 . 0 l x 2 + 1 2 0 ) dólares, d o n d e JC r e p r e s e n ­t a l a s u n i d a d e s p r o d u c i d a s . D e t e r m i n e e l n i ­v e l d e producción q u e minimizará e l c o s t o p r o m e d i o .

16. L a g e r e n c i a d e d e p a r t a m e n t o s U N I C O h a d e ­c i d i d o c e r r a r u n área d e 8 0 0 m 2 f u e r a d e s u

e d i f i c i o p a r a e x h i b i r p l a n t a s y f l o r e s d e o r n a ­t o . U n l a d o estará f o r m a d o p o r l a p a r e d e x t e r ­n a d e l a tienda, d o s l a d o s estarán c u b i e r t o s c o n m a d e r a d e p i n o y e l c u a r t o l a d o c o n c e r c a d e a c e r o g a l v a n i z a d o . S i l a m a d e r a d e p i n o c u e s ­t a $ 6 e l m 2 y l a c e r c a d e a c e r o c u e s t a $ 3 e l m , d e t e i m i n e l a s d i m e n s i o n e s d e l área n e c e s a r i a p a r a m i n i m i z a r l o s c o s t o s d e construcción.

17. S i u n a c a j a a b i e r t a t i e n e u n a b a s e c u a d r a d a y u n v o l u m e n d e 1 0 8 p u l g 3 , c o n s t r u i d a m e d i a n ­t e u n a h o j a d e l g a d a d e m e t a l , e n c u e n t r e l a s d i m e n s i o n e s d e e s a c a j a , s u p o n i e n d o q u e e n s u construcción s e u t i l i z a l a rxiínima c a n t i d a d d e m a t e r i a l .

18. U n a c a j a r e c t a n g u l a r d e b e t e n e r u n a b a s e c u a ­d r a d a y u n v o l u m e n d e 2 0 c m 3 ; s i e l m a t e r i a l d e l a b a s e c u e s t a 3 0 c e n t a v o s e l c m 2 , e l m a t e ­rial d e l o s l a d o s c u e s t a 1 0 c e n t a v o s e l c m 2 y e l m a t e r i a l d e l a t a p a c u e s t a 2 0 c e n t a v o s e l c m 2 , d e t e r m i n e l a s d i m e n s i o n e s d e l a c a j a q u e se p u e d e c o r ^ t x u i r c o n u n c o s t o r r u n i m o .

19. E n e l s i g u i e n t e d i a g r a m a , S r e p r e s e n t a l a p o ­sición d e u n a estación d e energía l o c a l i z a d a e n u n a c o s t a r e c t a y E m u e s t r a l a posición d e u n a estación e x p e r i m e n t a l d e biología m a r i n a e n u n a i s l a .

3 0 0 0 1

X 1 0 , 0 0 0 -x

< 1> 1 0 , 0 0 0

H a y q u e t e n d e r u n c a b l e e n t r e l a estación d e energía y l a estación e x p e r i m e n t a l . S i e l c o s ­t o d e colocación d e l c a b l e e n t i e r r a e s d e $ 1 e l m e t r o y e l c o s t o d e colocación e n e l m a r e s d e $ 3 e l m e t r o , l o c a l i c e e l p u n t o P q u e p r o ­d u z c a u n c o s t o mínimo ( d e s p e j e x ) .

P R O B L E M A S D E A P L I C A C I Ó N

20. E l g a s t o t o t a l m e n s u a l ( e n dólares) e n q u e i n ­c u r r e l a compañía m u s i c a l C a r l o t a p o r l a p r o ­ducción d e x u n i d a d e s de s u s g u i t a r r a s d e l a s e r i e P r o f e s i o n a l está d a d o p o r l a función

C ( x ) = 0 . 0 0 l x 2 + l O O x + 4 0 0 0

a ) E n c u e n t r e l a función d e c o s t o p r o m e d i o C .

b ) D e t e r m i n e e l n i v e l d e producción q u e g e ­n e r e e l m e n o r c o s t o d e producción p r o m e ­d i o .

G a n a n c i a s

2 1 . L a s g a n a n c i a s m e n s u a l e s d e l a a g e n c i a d e v i a ­j e s O d y s s e y ( e n m i l e s d e dólares) d e p e n d e n d e l a c a n t i d a d x d e d i n e r o i n v e r t i d o e n p u b l i c i d a d c a d a m e s , d e a c u e r d o c o n l a fórmula

P{x) = - x 2 + 8x + 2 0

d o n d e x s e m i d e e n m i l e s d e dólares. ¿Cuál d e b e s e r e l p r e s u p u e s t o m e n s u a l d e p u b l i c i ­d a d d e O d y s s e y p a r a m a x i m i z a r l a s g a n a n ­c i a s m e n s u a l e s ?

22. L a s u b s i d i a r i a e n México d e l a compañía T h e r m o - M a s t e r f a b r i c a u n termómetro p a r a i n t e r i o r e s y e x t e r i o r e s . L a g e r e n c i a e s t i m a q u e l a g a n a n c i a q u e p u e d e l o g r a r l a compañía p o r l a fabricación y v e n t a d e x u n i d a d e s d e termómetros p o r s e m a n a e s P(x) = — O . O O l x 2

+ 8 x - 5 0 0 0 dólares. E n c u e n t r e l o s i n t e r v a ­l o s d o n d e l a función d e g a n a n c i a P e s c r e c i e n ­t e y l o s i n t e r v a l o s d o n d e es d e c r e c i e n t e .

23. C o m o r e s u l t a d o d e l m a y o r c o s t o d e l a e n e r ­gía, l a t a s a d e c r e c i m i e n t o d e l a s g a n a n c i a s d e l a compañía V e n i c e , c o n 4 años d e antigüe­d a d , h a c o m e n z a d o a d e c l i n a r . L a g e r e n c i a d e V e n i c e , después d e c o n s u l t a r a e x p e r t o s e n energía, d e c i d e i m p l a n t a r c i e r t a s m e d i d a s d e conservación d e l a energía p a r a r e d u c i r l a c u e n t a d e l a m i s m a . E l d i r e c t o r g e n e r a l i n d i ­c a q u e , d e a c u e r d o c o n s u s cálculos, l a t a s a d e c r e c i m i e n t o d e l a s g a n a n c i a s d e V e n i c e d e ­berá i n c r e m e n t a r s e d e n u e v o d e n t r o d e 4 años. S i l a s g a n a n c i a s d e V e n i c e ( e n c i e n t o s d e dólares) d e n t r o d e x años están d a d a s p o r l a función

P ( x ) = x 3 - 9 x 2 + 4 0 x + 5 0 0 s x s 8 d e t e r m i n e s i l a predicción d e l d i r e c t o r g e n e ­r a l e s p r e c i s a . [ S u g e r e n c i a : e n c u e n t r e e l p u n ­t o d e inflexión d e l a función P y e s t u d i e l a c o n c a v i d a d d e P . ]

24. L y n b r o o k W e s t , u n c o n j u n t o d e p a r t a m e n t a l , t i e n e n 1 0 0 u n i d a d e s d e 2 recámaras y l a s g a ­n a d a s m e n s u a l e s o b t e n i d a s p o r l a r e n t a d e x d e p a r t a m e n t o s están d a d a s p o r

P(x) = - 1 0 x 2 + 1 7 6 0 x - 5 0 , 0 0 0

dólares. ¿Cuántas u n i d a d e s s e d e b e n r e n t a r p a r a m a x i m i z a r l a s g a n a n c i a s m e n s u a l e s p o r c o n c e p t o d e r e n t a ? ¿Cuál e s l a máxima g a ­n a n c i a m e n s u a l p o s i b l e ?

25. L a s g a n a n c i a s m e n s u a l e s e s t i m a d a s q u e p u e ­d e a l c a n z a r l a corporación d e i n s t r u m e n t o s d e precisión C a n n o n p o r l a fabricación y v e n ­t a d e x u n i d a d e s d e s u cámara m o d e l o M 1 es P(x) = - 0 . 0 4 x 2 + 2 4 0 x - 1 0 , 0 0 0 dólares. ¿Cuántas cámaras d e b e p r o d u c i r C a n n o n c a ­d a m e s p a r a m a x i m i z a r s u s g a n a n c i a s ?

26. L a g e r e n c i a d e T r a p e e a n d S o n s , I n c . , p r o d u c ­t o r e s d e l a f a m o s a s a l s a p i c a n t e T e x a - P e p , e s t i m a n q u e s u s g a n a n c i a s p o r distribución y v e n t a d i a r i a d e x c a j a s ( c a d a c a j a c o n t i e n e 2 4 b o t e l l a s ) d e l a s a l s a p i c a n t e están d a d a s p o r P ( x ) = - 0 . 0 0 0 0 0 2 x 3 + 6 x - 4 0 0 dólares. ¿Cuál es l a máxima g a n a n c i a p o s i b l e d e T r a ­p e e e n u n día?

27. L a c a n t i d a d m e n s u a l d e m a n d a d a d e l d i s c o d e W a l t e r S e r k i n c o n l a s o n a t a C l a r o d e L u n a d e B e e t h o v e n , p r o d u c i d a p o r P h o n o l a , se r e l a ­c i o n a c o n e l p r e c i o p o r d i s c o . L a ecuación p = - 0 . 0 0 0 4 2 x + 6 , 0 = x = 1 2 , 0 0 0 , d o n d e p d e n o t a e l p r e c i o u n i t a r i o e n dólares y x e s e l número d e d i s c o s d e m a n d a d o s , r e l a c i o n a l a d e m a n d a c o n e l p r e c i o . E l c o s t o t o t a l m e n ­s u a l p o r l a impresión y e m p a c a d o d e x c o p i a s d e e s t e d i s c o clásico está d a d o p o r C ' ( x ) -6 0 0 + 2 x - 0 . 0 0 0 0 2 x 2 , 0 s= x < 2 0 , 0 0 0 dó­l a r e s . ¿Cuántas c o p i a s m e n s u a l e s d e b e p r o ­d u c i r P h o n o l a p a r a m a x i m i z a r s u s g a n a n c i a s 7

[ S u g e r e n c i a : l o s i n g r e s o s s o n R(x) • px y l a s g a n a n c i a s s o n T(x) = R(x) - C(x).]

7 0 C A P I T U L O 5 A N Á L I S I S D E L C O M P O R T A M I E N T O D E F U N C I O N E S

2 8 . U n f a b r i c a n t e d e r a q u e t a s d e t e n i s h a d e t e r ­m i n a d o q u e e l c o s t o t o t a l C(x) ( e n dólares) p o r l a producción de x r a q u e t a s p o r día está d a d o p o r C ( x ) = 4 0 0 + Ax + O . O O O l x 2 ; c a d a r a q u e t a deberá v e n d e r s e a u n p r e c i o p e n dó­l a r e s , d o n d e p se r e l a c i o n a c o n x m e d i a n t e l a ecuación d e d e m a n d a p = 1 0 - 0 . 0 0 0 4 * . S i e s p o s i b l e v e n d e r t o d a s l a s r a q u e t a s f a b r i c a ­d a s , ¿cuál es e l n i v e l d i a r i o d e producción q u e r i n d e l a g a n a n c i a máxima p a r a e l f a b r i ­c a n t e ?

E f i c i e n c i a

29. U n e s t u d i o d e e f i c i e n c i a r e a l i z a d o p o r l a compañía d e a p a r a t o s eléctricos E l e k t r a m o s ­tró q u e e l número d e w a l k i e - t a l k i e s S p a c e C o m m a n d e r e n s a m b l a d o s p o r e l t r a b a j a d o r promedió t h o r a s después d e i n i c i a r s u j o r n a ­d a d e t r a b a j o a l a s 8 a m , está d a d o p o r N(t) = —í3 - I - óí 2 + 1 5 r 0 < ¡ < 4 . ¿En qué m o m e n t o d e l t u r n o m a m t i n o t r a b a j a e l o b r e r o c o n s u máxima e f i c i e n c i a ?

3 0 . U n e s t u d i o d e e f i c i e n c i a mostró q u e e l núme­r o d e teléfonos inalámbricos e n s a m b l a d o s p o r u n t r a b a j a d o r p r o m e d i o d e D e l p h i E l e c t r o ­n i c s , t h o r a s después d e l i n i c i o d e l a b o r e s a l a s 8 a m , está d a d o p o r

N{t) = - - i - f 3 + 3 1 a + l O t 0 < Í S 4

T r a c e l a gráfica d e l a función N e i n t e r p r e t e l o s r e s u l t a d o s .

3 1 . E l o b r e r o p r o m e d i o d e W a k e f i e l d A v i o n i c s , I n c . , p u e d e e n s a m b l a r

N(t) = - 2 Z 3 + 1 2 ^ + 2 ? 0 < t < 4

m o d e l o s d e a e r o p l a n o c o n t r o l a d o s p o r r a d i o , l i s t o s p a r a v o l a r , a t h o r a s d e c o m e n z a r s u t u r ­n o d e t r a b a j o , d e l a s 8 a m a l a s 1 2 d e l día. ¿En qué m o m e n t o d e s u t u r n o estará t r a b a j a n d o a s u máxima e f i c i e n c i a ?

D e m a n d a

3 2 . L a d e m a n d a s e m a n a l d e l o s v i d e o d i s c o s f a ­b r i c a d o s p o r l a compañía H e r a l d está d a d a p o r

t = - O . O O O S x 2 4- 6 0 •

d o n d e p d e n o t a e l p r e c i o u n i t a r i o e n dólares y x l a c a n t i d a d d e m a n d a d a . L a función d e c o s ­t o s t o t a l e s p o r s e m a n a r e l a c i o n a d a c o n l a p r o ­ducción d e e s t o s d i s c o s está d a d a p o r C ( x ) = - O . O O l x 2 + 1 8 x 4 - 4 0 0 0 , d o n d e C ( x ) d e n o t a e l c o s t o t o t a l p o r l a impresión d e x d i s c o s . H a l l e e l n i v e l d e producción q u e g e n e r e l a máxima g a n a n c i a p a r a e l f a b r i c a n t e . [ S u g e ­r e n c i a : u t i l i c e l a fórmula cuadrática.]

3 3 . L a s i g u i e n t e gráfica i n d i c a e l número t o t a l d e a v i s o s " S E S O L I C I T A E J N T F E R I M E R A " e n 2 2 c i u d a d e s d u r a n t e l o s últimos 1 2 m e s e s , c o m o función d e l t i e m p o t ( m e d i d o e n m e s e s ) .

4» _ o I I *

2 4 6 a 10 12 14

a ) E x p l i q u e p o r qué N'(t) e s p o s i t i v a e n e l i n t e r v a l o ( 0 , 1 2 ) .

b ) ¿Cuáles s o n l o s s i g n o s d e N"(t) e n e l i n ­t e r v a l o ( 0 , 6 ) y e n e l i n t e r v a l o ( 6 , 1 2 ) ?

c ) I n t e r p r e t e l o s r e s u l t a d o s d e b ) .

3 4 . Maximización d e l a producción

U n a plantación d e m a n z a n a s t i e n e u n a p r o d u c ­ción p r o m e d i o d e 3 6 b u s h e l s d e m a n z a n a p o r ár­b o l y l a d e n s i d a d d e árboles e s d e 2 2 árboles p o r a c r e . P o r c a d a i n c r e m e n t o u n i t a r i o e n l a d e n s i d a d d e árboles, l a producción s e r e d u c e 2 b u s h e l s . ¿Cuántos árboles s e d e b e n p l a n t a r p a r a m a x i m i ­z a r l a producción?

3 5 . C a l i d a d a m b i e n t a l

E l D e p a r t a m e n t o d e l I n t e r i o r d e c i e r t o país a f r i ­c a n o comenzó a r e g i s t r a r u n índice d e c a l i d a d a m b i e n t a l p a r a m e d i r s u s a v a n c e s o r e t r o c e s o s e n l a c a l i d a d a m b i e n t a l d e l a v i d a s a l v a j e . E l índice d u r a n t e l o s años 1 9 8 4 a 1 9 9 4 s e a p r o x i m a m e ­d i a n t e l a función

/ ( í ) = i o £ ^ o s t i 10

P R O B L E M A S A D I C I O N A L E S 7 1

a ) C a l c u l e I ' ( t ) y m u e s t r e q u e I(t) d i s m i n u y e e n e l i n t e r v a l o ( 0 , 1 0 ) .

b ) C a l c u l e !"{t). E s t u d i e l a c o n c a v i d a d d e l a grá­f i c a d e /.

c ) T r a c e l a gráfica d e I. d ) I n t e r p r e t e l o s r e s u l t a d o s .

3 6 . P r o d u c t o i n t e r n o b r u t o

E l p r o d u c t o i n t e r n o b r u t o ( P I B ) d e u n país e n d e ­s a r r o l l o d e 1 9 8 8 a 1 9 9 6 se a p r o x i m a p o r l a f u n ­ción

G ( f ) = - 0 . 2 Í 3 + 2 . 4 r 2 + 6 0 0 < t < 8

d o n d e G(t) s e m i d e e n m i l e s d e m i l l o n e s d e dóla­r e s y t = 0 c o r r e s p o n d e a l año 1 9 8 8 . G r a f i q u e l a función G e i n t e r p r e t e l o s r e s u l t a d o s .

3 7 . A s i s t e n c i a a u n s e m i n a r i o

L a e m p r e s a I E S ( I m p e r i a l E d u c a t i o n a l S e r v i c e s ) está p e n s a n d o e n o f r e c e r u n s e r n i n a r i o s o b r e a s i g ­nación d e r e c u r s o s a d i r e c t i v o s . P a r a h a c e r e l o f r e c i m i e n t o económicamente f a c t i b l e , L E S c o n ­s i d e r a q u e p o r l o m e n o s 3 0 p e r s o n a s d e b e n i n s c r i ­b i r s e y c u b r i r u n c o s t o d e $ 5 0 c a d a u n a . L a I E S a c e p t a r e d u c i r l a c u o t a e n $ 1 . 2 5 p o r c a d a p e r s o n a a d i c i o n a l d e l a s p r i m e r a s 3 0 . ¿Cuánta g e n t e d e b e i n s c r i b i r s e p a r a q u e e l i n g r e s o d e L E S s e máxi-m i c e ? S u p o n g a q u e e l número máximo d e a s i s ­t e n t e s s e l i m i t a a 4 0 p e r s o n a s .

3 8 . E f e c t o d e l a p u b l i c i d a d s o b r e l a s v e n t a s

L a s v e n t a s t o t a l e s S, e n m i l e s d e dólares, d e l a corporación d e i n s t r u m e n t o s d e precisión C a n -n o n se r e l a c i o n a c o n l a c a n t i d a d d e d i n e r o x q u e C a n n o n g a s t a e n p u b l i c a r s u s p r o d u c t o s m e d i a n ­t e l a función

S(x) = - 0 . 0 0 2 * 3 + O.óx2 + x + 5 0 0 0 £ x s 2 0 0

d o n d e x s e m i d e e n m i l e s d e dólares. D e t e r m i n e e l p u n t o d e inflexión d e l a función S y a n a l i c e s u s i g n i f i c a d o .

3 9 . Superávit e n s e g u r i d a d s o c i a l

C o n b a s e e n l o s d a t o s d e l a S o c i a l S e c u r i t y A d m i -n i s t r a t i o n , e l e f e c t i v o e s t i m a d o e n l o s f o n d o s d e s e g u r i d a d s o c i a l d e E s t a d o s U n i d o s p a r a e l r e t i r o

y d i s c a p a c i t a d o s e n l a s 5 décadas, a p a r t i r d e l año 1 9 9 0 , está d a d o p o r

4 0 = -96 .9 Í 4 + 403.6í 3 + 6 6 0 . 9 r 2 + 2 5 0 0 < ( < 5

d o n d e A(t) s e m i d e e n m i l e s d e m i l l o n e s d e dóla­r e s y í se m i d e e n décadas, c o n t = 0 c o r r e s p o n ­d i e n t e a l año 1 9 9 0 . M u e s t r e q u e e l superávit e n s e g u r i d a d s o c i a l tendrá s u máximo n i v e l a p r o x i ­m a d a m e n t e a p r i n c i p i o s d e l año 2 0 3 0 . [ S u g e r e n ­c i a : u t i l i c e l a fórmula cuadrática.]

4 0 . V a l o r p r e s e n t e

E l v a l o r p r e s e n t e d e l p r e c i o d e m e r c a d o d e l e d i f i ­c i o d e o f i c i n a s B l a k e l y está d a d o p o r

P(t) = 3 0 0 , 0 0 0 e " 0 0 " + ^ ' 0 < t < 10

H a l l e e l v a l o r p r e s e n t e óptimo d e l p r e c i o d e m e r ­c a d o d e l e d i f i c i o .

P R O B L E M A S A D I C I O N A L E S

4 1 . H a l l a r d o s números p o s i t i v o s c u y a s u m a s e a 5 0 y e l p r o d u c t o s e a máximo.

4 2 . ¿En qué p u n t o l a t a n g e n t e a l a c u r v a y = 2 X 3 -3 x 2 + 6 x t i e n e l a p e n d i e n t e más pequeña? ¿Cuál e s l a p e n d i e n t e d e l a t a n g e n t e e n e s t e p u n t o ?

4 3 . D e a c u e r d o c o n l o s r e g l a m e n t o s p o s t a l e s , e l perímetro más l a l o n g i t u d d e l o s p a q u e t e s e n ­v i a d o s p o r c o r r e o n o p u e d e e x c e d e r 1 0 8 c m . ¿Cuál e s e l v o l u m e n máximo d e u n p a q u e t e r e c t a n g u l a r c o n d o s l a d o s c u a d r a d o s q u e se p u e d e e n v i a r p o r c o r r e o ?

44. ¿Cuál d e l o s triángulos rectángulos d e perí­m e t r o d a d o , i g u a l a 2p, t i e n e m a y o r área?

45. C o n u n a h o j a d e cartón c u a d r a d a , d e l a d o Í I , h a g a u n a c a j a r e c t a n g u l a r a b i e r t a , q u e t e n g a l a m a y o r c a p a c i d a d p o s i b l e , r e c o r t a n d o p a r a e l l o c u a d r a d o s e n l o s ángulos d e l a h o j a y d o ­b l a n d o después l a s s a l i e n t e s d e l a f i g u r a e n f o r m a d e c r u z así o b t e n i d a .

4 6 . U n depósito a b i e r t o , d e h o j a d e l a t a , c o n I o n -d o c u a d r a d o , d e b e t e n e r c a p a c i d a d p a r a v l i

C A P Í T U L O 5 A N Á L I S I S D E L C O M P O R T A M I E N T O D E F U N C I O N E S

t r o s . ¿Qué d i m e n s i o n e s d e b e t e n e r d i c h o d e ­pósito p a r a q u e e n s u fabricación s e n e c e s i t e l a m e n o r c a n t i d a d d e h o j a d e l a t a ?

47. I n s c r i b e u n rectángulo d e m a y o r área p o s i b l e e n e l s e g m e n t o d e l a parábola y 2 = 2px c o r ­t a d o p o r l a r e c t a x = 2a.

4 8 . E n física, p u e d e d e m o s t r a r s e q u e u n a partícu­l a f o r z a d a a o s c i l a r e n u n m e d i o r e s i s t e n t e t i e n e a m p l i t u d A(r) d a d a p o r

A{r) = T r r ^

d o n d e r e s e l r a d i o d e l a f r e c u e n c i a d e f u e r z a f r e n t e a l a f r e c u e n c i a n a t u r a l d e oscilación y k e s u n a c o n s t a n t e p o s i t i v a q u e m i d e e l e f e c ­t o d e amortiguación d e l m e d i o r e s i s t e n t e . D e ­m u e s t r e q u e A(r) t i e n e e x a c t a m e n t e u n número crítico d e p r i m e r o r d e n . ¿Éste c o r r e s ­p o n d e a l máximo o a l mínimo r e l a t i v o ? ¿Qué p u e d e d e c i r s e d e l o s e x t r e m o s a b s o l u t o s d e 4 ( r ) 7

49. L a reacción d e l c u e r p o a l a s d r o g a s c o n f r e ­c u e n c i a está d a d a p o r u n a ecuación d e l a f o r m a

R(D) = E¡H$ - f )

d o n d e D e s l a d o s i s y C ( u n a c o n s t a n t e ) es l a d o s i s máxima q u e p u e d e a d m i n i s t r a r s e . L a razón d e c a m b i o d e R{D) c o n r e s p e c t o a D s e d e n o m i n a sensibilidad. H a l l e e l v a l o r d e D p a r a e l q u e l a s e n s i b i l i d a d e s máxima.

50. Supóngase q u e l a producción d e d e t e r m i n a d a fábrica e s Q = Ix1 + x?y + y3 u n i d a d e s , d o n ­d e x e s l a c a n t i d a d d e h o r a s d e m a n o d e o b r a c a l i f i c a d a q u e s e u t i l i z a , y y l a c a n t i d a d d e h o r a s d e m a n o d e o b r a n o c a l i f i c a d a . L a f u e r ­z a l a b o r a l a c t u a l i n c l u y e 3 0 h o r a s d e m a n o d e o b r a c a l i f i c a d a y 2 0 h o r a s d e n o c a l i f i c a d a . E s t i m e e l c a m b i o q u e debería r e a l i z a r s e e n l a m a n o d e o b r a n o c a l i f i c a d a y p a r a c o m p e n s a r u n i n c r e m e n t o d e 1 h o r a e n l a m a n o d e o b r a c a l i f i c a d a x, d e m a n e r a q u e l a producción se m a n t e n g a e n s u n i v e l a c t u a l .

5 1 . U n a e s c a l e r a d e 1 0 m d e l a r g o está a p o y a d a c o n t r a u n a p a r e d . L a t a s a d e d e s l i z a m i e n t o d e l a p a r t e s u p e r i o r de l a e s c a l e r a es d e 3 m p o r

s e g u n d o . ¿Con qué r a p i d e z se a l e j a l a p a r t e i n f e r i o r d e l a e s c a l e r a c u a n d o l a p a r t e s u p e ­rior d e ésta s e h a l l a a 6 m d e l p i s o ?

5 2 . C u a n d o e l p r e c i o de c i e r t o artículo e s p p e s o s p o r u n i d a d , e l f a b r i c a n t e d e s e a o f r e c e r x m i ­l e s d e u n i d a d e s , d o n d e

x2 - 2xVp~ -p2 = 3l ¿Con qué r a p i d e z c a m b i a l a o f e r t a c u a n d o e l p r e c i o e s d e 9 p e s o s p o r u n i d a d y s e i n c r e ­m e n t a a u n a t a s a d e 2 0 c e n t a v o s p o r s e m a n a ?

5 3 . L a producción e n c i e r t a p l a n t a a s c i e n d e a Q = 0 . 0 6 x 2 + 0 . 1 4 x y + 0 . 0 5 y 2 u n i d a d e s p o r día, d o n d e x e s l a c a n t i d a d d e h o r a s d e m a n o d e o b r a c a l i f i c a d a q u e s e u t i l i z a y y e l núme­r o d e h o r a s d e m a n o d e o b r a n o c a l i f i c a d a q u e s e e m p l e a . E n l a a c t u a l i d a d , c a d a día se u t i l i z a n 6 0 h o r a s d e m a n o d e o b r a c a l i f i c a d a y 3 0 0 h o r a s d e n o c a l i f i c a d a . E s t i m e e l c a m ­b i o q u e debería r e a l i z a r s e e n l a m a n o d e o b r a n o c a l i f i c a d a p a r a c o m p e n s a r u n i n c r e m e n t o d e 1 h o r a e n l a m a n o d e o b r a c a l i f i c a d a , d e m o d o q u e l a producción s e m a n t e n g a e n s u n i v e l a c t u a l .

54. C u a n d o e l p r e c i o d e c i e r t o artículo e s p p e s o s p o r u n i d a d , e l f a b r i c a n t e o f r e c e x c i e n t o s d e u n i d a d e s , d o n d e

3p2-x2= 1 2

¿Con qué r a p i d e z c a m b i a l a o f e r t a c u a n d o e l p r e c i o e s d e 4 p e s o s p o r u n i d a d y s e i n c r e ­m e n t a a l a t a s a d e 8 7 c e n t a v o s p o r m e s ?

55. C u a n d o e l p r e c i o d e c i e r t o artículo e s p p e s o s p o r u n i d a d , l o s c o n s u m i d o r e s c o m p r a n x c i e n t o s d e u n i d a d e s , d o n d e

x2 + 3px + p2 = 7 9

¿Con qué r a p i d e z c a m b i a l a d e m a n d a x, c o n r e s p e c t o a l t i e m p o , c u a n d o e l p r e c i o e s d e 5 p e s o s p o r u n i d a d y l a t a s a es d e 3 0 c e n t a v o s p o r m e s ?

5 6 . A m e d i a n o c h e , e l b a r c o A está a 1 0 0 k m a l e s t e d e l b a r c o B. E l b a r c o A n a v e g a a 1 2 k m / h y e l B a 1 0 k m / h . ¿A qué h o r a s e encontrarán a l a d i s t a n c i a mínima u n o d e o t r o ? ¿Cuál e s e s a d i s t a n c i a ?

37. C a l c u l e l a s d i m e n s i o n e s d e l rectángulo d e l a ­d o s p a r a l e l o s a l o s e j e s y d e área máxima q u e p u e d e i n s c r i b i r s e e n l a e l i p s e d a d a p o r

144 T 16 1

5 8 . C o n s i d e r a m o s l o s triángulos rectángulos e n e l p r i m e r c u a d r a n t e c o n c a t e t o s e n l o s e j e s c o o r d e n a d o s y c o n h i p o t e n u s a q u e p a s a p o r e l p u n t o ( 1 ; 8 ) . H a l l e l o s vértices q u e h a c e n mínima l a l o n g i t u d d e l a h i p o t e n u s a .

59. H a y q u e r e f o r z a r u n m u r o c o n u n a v i g a q u e d e b e p a s a r p o r e n c i m a d e u n a v a l l a p a r a l e l a d e 5 m e t r o s d e a l t u r a s i t u a d a a 4 m e t r o s d e l m u r o . C a l c u l e l a l o n g i t u d mínima d e e s a v i g a .

6 0 . T r e s l a d o s d e u n t r a p e c i o t i e n e n l a m i s m a l o n g i t u d a. D e t o d o s l o s t r a p e c i o s c o n e s a condición, p r u e b e q u e e l d e área máxima t i e ­n e s u c u a r t o l a d o d e l o n g i t u d 2a.

6 1 . C a l c u l e l a l o n g i t u d d e l a tubería más l a r g a q u e s e p u e d e t r a n s p o r t a r p o r d o s p a s i l l o s e n ángulo r e c t o , d e a n c h u r a s d e 4 y 6 m e t r o s (véase l a gráfica).

4 m

62. L a ecuación g e n e r a l q u e d e s c r i b e e l d e s p l a ­z a m i e n t o d e u n o b j e t o o s c i l a n t e a t a d o a u n m u e l l e e n e l m o m e n t o t e s

y = i - c o s 1 2 / - i - s e n 1 2 /

d o n d e y s e m i d e e n m e t r o s y / e n s e g u n d o s . P r u e b e q u e e l máximo d e s p l a z a m i e n t o d e l o b j e t o e s m e t r o s .

J 1 2

P R O B L E M A S A D I C I O N A L E S 7 3

63. L a ecuación g e n e r a l q u e d e s c r i b e e l d e s p l a ­z a m i e n t o d e u n o b j e t o o s c i l a n t e a t a d o a u n m u e l l e e n e l m o m e n t o t e s

y = A s e n / + B c o s J - i - / d o n d e k e s l a c o n s t a n t e d e m u e l l e y m l a m a ­s a d e l o b j e t o . P r u e b e q u e s u d e s p l a z a m i e n t o máximo e s \ZA2 + B2.

64. U n a lámpara está c o l g a d a s o b r e e l c e n t r o d e u n a m e s a r e d o n d a d e r a d i o a. ¿A qué a l t u r a deberá e s t a r l a lámpara, s o b r e l a m e s a , p a r a q u e l a iluminación d e u n o b j e t o q u e s e e n ­c u e n t r e e n e l b o r d e s e a l a m e j o r p o s i b l e ? ( S i l a iluminación e s d i r e c t a m e n t e p r o p o r c i o n a l a l c o s e n o d e l ángulo d e i n c i d e n c i a d e l o s r a ­y o s l u m i n o s o s e i n v e r s a m e n t e p r o p o r c i o n a l a l c u a d r a d o d e l a d i s t a n c i a d e l f o c o d e l u z , e n t o n c e s l a iluminación s e e x p r e s a p o r l a fórmula

/= k^f

d o n d e <p e s e l ángulo d e inclinación d e l o s r a ­y o s , r e s l a d i s t a n c i a d e l f o c o l u m i n o s o a l a s u p e r f i c i e i l u m i n a d a y k es l a i n t e n s i d a d d e l f o c o l u m i n o s o .

6 5 . I n s c r i b e e n u n a e s f e r a d a d a u n c i l i n d r o q u e t e n g a l a m a y o r s u p e r f i c i e l a t e r a l p o s i b l e .

66. I n s c r i b e e n u n a e s f e r a d a d a u n c o n o d e v o l u ­m e n máximo.

67. I n s c r i b e e n u n a e s f e r a d a d a u n c o n o c i r c u l a r r e c t o q u e t e n g a l a m a y o r s u p e r f i c i e l a t e r a l p o s i b l e .

68. D e u n a h o j a c i r c u l a r h a y q u e c o r t a r u n s e c t o r q u e , e n r o l l a d o , n o s dé u n e m b u d o d e l a m a ­y o r c a p a c i d a d p o s i b l e .

69. H a l l e e l v o l u m e n máximo d e u n c o n o c o n u n a g e n e r a t r i z d a d a /.