3. กฏของเกาส์

1

3. กฏของเกาส์กฎของคู�ลอมบ์�สามารถคู�านวณหาสนาม

ไฟฟ�าที่��เก�ดจากการก�าหนดการกระจายของประจ" ในห%วข&อน�'เราจะอธิ�บ์ายกฎของเกาส�

และกระบ์วนการอ*�น ที่��ใช้&ในการคู�านวณหาสนามไฟฟ�า กฎของเกาส� (Gauss’s law) จะสะดวก

ส�าหร%บ์ใช้&คู�านวณหาสนามไฟฟ�าเน*�องมาจากการกระจายประจ"อย,างม�สม��าเสมอ

กฏของเกาส�ม�พื้*'นฐานอย�,บ์นคูวามจร�งที่��ว,าแรงไฟฟ�าสถ�ตระหว,างประจ"เป1นส%ดส,วนก%บ์ระยะ

ที่างก�าล%งสอง

2

ฟลั�กซ์ไฟฟ�า (Electric flux)

ร�ป เส&นสนามแสดงสนามไฟฟ�าสม��าเสมอ

ที่ะล"ผ่,านระนาบ์ที่��ม�พื้*'นที่�� A ฟล%กซ์�ไฟฟ�า ที่��พื้" ,งผ่,านม�คู,าเที่,าก%บ์

EA

ฟล%กซ์�ไฟฟ�า คู*อ จ�านวนเส&นสนามไฟฟ�าที่��พื้" ,งผ่,านพื้*'นผ่�วที่��ต% 'งฉากผ่*นหน5�ง

พื้�จารณาสนามไฟฟ�าซ์5�งม�คูวามสมมาตรที่%'งขนาดและที่�ศที่างด%งร�ป

เส&นสนามที่ะล"ผ่,านพื้*'นผ่�วส��เหล��ยมผ่*นผ่&าพื้*'นที่�� A ซ์5�งต%'งฉากก%บ์สนาม

จ�านวนของเส&นสนามต,อหน5�งหน,วยพื้*'นที่�� หร*อเร�ยกว,า คูวามหนาแน,นเส&น

(the line density) เป1นส%ดส,วนโดยตรงก%บ์สนามไฟฟ�า ด%งน%'น จ�านวน

เส&นสนามที่%'งหมดที่��ที่ะล"ผ่,านพื้*'นผ่�วเป1นส%ดส,วนโดยตรงก%บ์ผ่ลคู�ณ EAผ่ลคู�ณของขนาดของสนามไฟฟ�า Eและพื้*'นผ่�ว A ซ์5�งต%'งฉากก%บ์สนาม

เร�ยกอ�กอย,างว,า ฟล%กซ์�ไฟฟ�า (the e lectric flux)

E

Area = A

E EA

โดย ฟล%กซ์�ไฟฟ�า ม�หน,วย N.m2 /C

E

3

ต%วอย,าง Flux through a sphere ฟล%กซ์�ไฟฟ�าที่��พื้" ,งผ่,านที่รงกลมร%ศม� 1 เมตรซ์5�งม�

ประจ" 1+ C ที่��ศ�นย�กลางที่รงกลมม�คู,าเที่,าไรว�ธิ�ที่�า

ขนาดของสนามไฟฟ�า E ที่��ห,างจากประจ"เป1นระยะ 1 เมตร ม�ขนาดเที่,าก%บ์

2

69

2E)1(

101)109(

r

qkE

C/N1099.8 3

สนามจะม�ที่�ศช้�'ออกในแนวร%ศม�และจะต%'งฉากก%บ์พื้*'นผ่�วที่รงกลมในที่"กจ"ดโดยฟล%กซ์�ที่��ผ่,านที่รงกลมคู*อ

)6.12)(1099.8(EA 3E /CmN1013.1 25

แบบฝึ�กหั�ด (ก ) สนามไฟฟ�าม�คู,าเที่,าไร (ข ) ฟล%กซ์�ที่��พื้" ,งผ่,านที่รงกลมร%ศม� 05. m ม�คู,าเที่,าไรตอบ์ (ก) 3.6x104 N/C (ข ) 1.13x105 N.m2/C

4

ถ&าพื้*'นผ่�วที่��พื้�จารณาไม,ต%'งฉากก%บ์สนามไฟฟ�า ฟล%กซ์�ไฟฟ�าที่��ที่ะล"ผ่,านจะม�คู,าน&อยลง

จากร�ปสนามไฟฟ�าสม��าเสมอ E ที่�าม"ม ก%บ์พื้*'นที่�� A และต%'งฉากก%บ์พื้*'นที่�� A/ โดยที่�� A/ = A cos ด%งน%'นสนามไฟฟ�าสม��าเสมอพื้" ,งผ่,านพื้*'นที่�� A จะม�คู,าเที่,าก%บ์ก%บ์ฟล%กซ์�ไฟฟ�าที่��พื้" ,งผ่,านพื้*'นที่�� A/ ซ์5�ง

จะม�คู,าเที่,าก%บ์

cosEAE

Normal

AcosA

A

E

θ

จากสมการน�'จะเห8นว,า E จะม�คู,ามากที่��ส"ดเที่,าก%บ์ EA เม*�อ = 0o คู*อเส&น

ปกต�ขนานก%บ์ E และ E จะม�คู,าน&อยที่��ส"ดเที่,าก%บ์ 0 เม*�อ = 90o คู*อ

เส&นปกต�ต%'งฉากก%บ์ E

5

iiiiE AEcosAE

สมมต�ให&สนามไฟฟ�าม�คู,าเปล��ยนไปตามต�าแหน,งต,างๆ ด%งน%'นเราสามารถใช้&สมการก%บ์พื้*'นที่��เล8กๆ พื้�จารณาใน

กรณ�ที่��พื้*'นผ่�วถ�กแบ์,งเป1นช้�'นเล8กๆ จะถ*อว,าไม,ม�การเปล��ยนแปลงสนามไฟฟ�าในแต,ละพื้*'นที่��ที่��ม�ขนาดเล8ก

เพื้�ยงพื้อ เพื้*�อคูวามสะดวกจะน�ยามเวกเตอร� ซ์5�งขนาดของม%นแสดงถ5งพื้*'นที่��ที่�� i ของพื้*'นผ่�วแต,ละพื้*'น

ผ่�วและที่�ศของเวกเตอร�ม�ที่�ศต%'งฉากก%บ์แต,ละพื้*'นผ่�วเล8กๆ น%'น ด%งร�ป ฟล%กซ์�ไฟฟ�า ที่��ผ่,านแต,ละพื้*'นที่��

เล8ก ๆ คู*อ

A

iA

E

Ei

iAθ

ร�ป ส,วนเล8กๆ ม�พื้*'นที่��ผ่�ว สนามไฟฟ�า Ei ที่�าม"ม θ ก%บ์เวกเตอร� โดยม�ฟล%กซ์�พื้" ,ง

ผ่,านพื้*'นผ่�วเที่,าก%บ์

iA

cosAE ii

iA

6

ถ&าเราใช้&น�ยามการคู�ณเวกเตอร�แบ์บ์สเกลาร� (scalar product) cosABBA

• โดยการรวมองคู�ประกอบ์ของที่"กๆ พื้*'นผ่�วจะได&ฟล%กซ์�รวมที่��ผ่,านพื้*'นผ่�ว

• ถ&าให&พื้*'นที่��เล8กๆ แต,ละช้�'นม�คู,าน&อยมากจนเข&าใกล&ศ�นย� พื้บ์ว,าจ�านวนพื้*'นที่��เล8กๆ ม�คู,าเป1นอน%นต� และ

สามารถแที่นผ่ลรวมได&ด&วยการ อ�นที่�เกรที่ ด%งน%'น น�ยามของฟล%กซ์�ไฟฟ�า คู*อ

iE i i

A 0surface

lim E A EdA

/

สมการน�'เป1นการอ�นที่�เกรที่เช้�งพื้*'นผ่�ว (surface integral)โดยที่%�วไป ข5'นอย�,ก%บ์ร�ปแบ์บ์ของสนามและพื้*'นผ่�ว E

7

โดยที่%�วไปจะสนใจการกระจายฟล%กซ์�บ์นพื้*'นผ่�วป:ด (the closed surface) ซ์5�งเป1นพื้*'นผ่�วที่��แบ์,ง space เป1นบ์ร�เวณ

ด&านในและด&านนอก พื้�จารณาพื้*'นผ่�วป:ดด%งร�ป เวกเตอร� ของแต,ละพื้*'นผ่�วช้�'ในที่�ศที่างที่��ต,าง ๆ ก%น ในแต,ละจ"ดม%นจะต%'งฉากก%บ์พื้*'นผ่�วโดยม�ที่�ศพื้" ,งออกเสมอ

ร�ปพื้*'นผ่�วป:ดในสนามแม,เหล8กเวกเตอร�พื้*'นผ่�ว ต%'งฉากก%บ์พื้*'นผ่�วและม�ที่�ศพื้" ,งออก ฟล%กซ์�ที่��พื้" ,งผ่,านผ่�วเล8กๆ อาจเป1น (1) บ์วก (2) เป1นศ�นย� หร*อ (3)

เป1นลบ์

ที่��จุ�ด 1 เส&นสนามจะข&ามผ่,านพื้*'นผ่�วโดยม�ที่�ศจากด&านในมาด&านนอก ด%ง

น%'น ฟล%กซ์�ที่��ผ่,านจ"ดน�'เป1นบ์วก ที่��จุ�ด 2 เส&นสนามพื้" ,งผ่,านพื้*'นผ่�ว (ต%'งฉากก%บ์เวกเตอร� ) ด%งน%'น θ = 90o และฟล%กซ์�ม�คู,าเป1นศ�นย�

180o> θ > 90o ม�คู,าเป1นลบ์เพื้ราะว,า cosθ ม�คู,าเป1นลบ์ ฟล%กซ์�ส"ที่ธิ�ที่��พื้" ,งผ่,านพื้*'นผ่�วที่%'งหมดเป1นส%ดส,วนตรงก%บ์

จ�านวนเส&นสนามที่��พื้" ,งอออกจากผ่�ว (จ�านวนส"ที่ธิ�หมายถ5งจ�านวนเส&นสนามที่��พื้" ,งออกลบ์ด&วยจ�านวนเส&นสนามที่��พื้" ,งเข&าพื้*'นผ่�ว) ถ&าม�เส&นสนามพื้" ,งออกมากกว,าพื้" ,งเข&าฟล%กซ์�ส"ที่ธิ�;เป1นบ์วกแต,ถ&าเส&น

สนามพื้" ,งเข&ามากกว,าพื้" ,งออกฟล%กซ์�เป1นลบ์ ด%งน%'นจะได&ว,า

ที่��จุ�ด 3 ที่��เส&นสนามพื้" ,งผ่,านจากด&าน นอกเข&าด&านใน

dAE AdE nE

/

เม*�อ En คู*อองคู�ประกอบ์ของสนามไฟฟ�าที่��ต% 'งฉากก%บ์พื้*'นผ่�ว

8

ต%วอย,าง Flux through a cubeพื้�จารณาสนามไฟฟ�าสม��าเสมอ E ที่��พื้" ,งออกมาตามแนวแกน x ด%งร�ป จงหาฟล%กซ์�ไฟฟ�าส"ที่ธิ�ที่��พื้" ,งผ่,านล�กบ์าศก�ที่��ม�ด&านยาว L

ร�ป พื้*'นผ่�วป:ดร�ปล�กบ์าศก�ในสนามไฟฟ�า

สม��าเสมอที่��ขนานก%บ์แกน x ฟล%กซ์�ไฟฟ�าส"ที่ธิ�ที่��ผ่,าน

ผ่�วป:ดม�คู,าเป1นศ�นย�

ว�ธิ�ที่�าฟล%กซ์�ส"ที่ธิ�คู*อผ่ลรวมของฟล%กซ์�ที่��พื้" ,งออกมาจากที่"กๆ ด&านของล�กบ์าศก� โดยฟล%กซ์�ที่��พื้" ,งผ่,านผ่�วที่�� 3 4,และผ่�วที่��ไม,ม�หมายเลขก�าก%บ์ (ด&านข&าง ) ม�คู,าเป1นศ�นย� เพื้ราะว,า E ต%'ง

ฉากก%บ์ dA บ์นพื้*'นผ่�วเหล,าน�'ฟล%กซ์�ไฟฟ�าส"ที่ธิ�ที่��พื้" ,งผ่,านผ่�วที่�� 1 คู*อ

ฟล%กซ์�ไฟฟ�าส"ที่ธิ�ที่��พื้" ,งผ่,านผ่�วที่�� 2 คู*อ

2

11

0

1

ELEAdAEdA)180(cosEAdE

0 2

2 2 2

E dA E(cos 0 )dA E dA EA EL

ด%งน%'น ฟล%กซ์�ส"ที่ธิ�ที่��พื้" ,งผ่,านผ่�วที่%'งหกด&านคู*อ 00000ELEL 22E

พื้*'นผ่�วแต,ละหน&าคู*อ A = L2

LL

L

9

กฏของเกาส์ (Gauss’s law)คูวามส%มพื้%นธิ�โดยที่%�วไประหว,างฟล%กซ์�ไฟฟ�า

ส"ที่ธิ�ที่��พื้" ,งผ่,านผ่�วป:ด (ซ์5�งม%กเร�ยกว,า ผ่�วเกาส�เซ์�ยน ) และประจ"ถ�กป:ดล&อมด&วยพื้*'นผ่�ว คูวามส%มพื้%นธิ�น�'ร� &จ%กในนามกฎของเกาส�ซ์5�งม�คูวาม

ส�าคู%ญส�าหร%บ์ใช้&หาสนามไฟฟ�ากฎของเกาส�กล,าวว,า ฟล%กซ์�ไฟฟ�าส"ที่ธิ� ที่��ผ่,านผ่�วป:ดของเกาส�จะเที่,าก%บ์ประจ"ไฟฟ�าส"ที่ธิ�

ภายในหารด&วย

0

inE

qAdE

E0

10

ร�ป พื้*'นผ่�วเกาส�เซ์�ยนที่รงกลมร%ศม� r ล&อมรอบ์จ"ดประจ" q ที่��อย�,ที่��

ศ�นย�กลางของที่รงกลมสนามไฟฟ�าต%'ง

ฉากก%บ์พื้*'นผ่�วในที่"กๆ จ"ดและม�ขนาดคูงที่��

พิ�จุารณาจุ�ดประจุ�บวก q อยู่$%ที่��จุ�ดศู$นยู่กลัางของที่รงกลัมร�ศูม� R ด%งร�ป ขนาดของสนามไฟฟ�าที่"กจ"ดบ์นผ่�วของที่รงกลมคู*อ E = kq/r2 เส&นสนามจะช้�'ออกตามแนวร%ศม�ที่"กจ"ดบ์นพื้*'นผ่�ว น%�นคู*อแต,ละจ"ดบ์นพื้*'นผ่�ว E จะขนานไปก%บ์เวกเตอร�ด%งน%'น

i iE A E A

เราพื้บ์ว,าฟล%กซ์�ส"ที่ธิ�ที่��ผ่,านผ่�วเกาส�เซ์�ยนเม*�อ E ม�คูวามสม��าเสมอและม�คู,าคูงที่�� คู*อ E E dA EdA E dA

00

22E

q4q

4

14kq)r4(

r

kq

0E

q

เราพื้บ์ว,าส�ตรน�'ให&ฟล%กซ์�ส"ที่ธิ�เที่,าก%บ์ผ่ลที่��ได&จากต%วอย,างที่��แล&วคู*อ

C/mN1013.11085.8

101 2512

6

E

จากสมการน�'พื้บ์ว,าประจ"ส"ที่ธิ�ที่��ผ่,านผ่�วที่รงกลมเป1นส%ดส,วนโดยตรงก%บ์ประจ"ภายในและฟล%กซ์�ไม,ข5'นอย�,ก%บ์ร%ศม� r เพื้ราะว,าพื้*'นที่��ของที่รงกลมเป1นส%ดส,วนตรงก%บ์ r 2 ในขณะที่��สนามไฟฟ�าเป1นส%ดส,วนตรงก%บ์ 1/r2 ผ่ลคู�ณที่��ได&ที่�าให& r2 หายไป

…เร�ยู่กว%า กฏของเกาส์

11

ร�ป พื้*'นผ่�วป:ดหลายร�ปที่รงป:ดล&อมประจ" q ฟล%กซ์�ไฟฟ�าส"ที่ธิ�ม�คู,าเที่,าก%นที่"กพื้*'น

ผ่�ว

จากกฏของเกาส� ฟล%กซ์�ไฟฟ�าซ์5�งผ่,านผ่�ว S1 ม�คู,า

เที่,าก%บ์ โดยฟล%กซ์�เป1นส%ดส,วนตรงก%บ์เส&นสนามไฟฟ�า

ที่��พื้" ,งผ่,านพื้*'นผ่�วแสดงโคูรงสร&างด%งร�ป ซ์5�งแสดงว,าจ�านวนเส&นที่��ผ่,าน S1 เที่,าก%บ์จ�านวนของเส&นซ์5�งผ่,านพื้*'นผ่�ว

ที่��ไม,ใช้,ที่รงกลม S2 , S3

ด%งน%'นสร"ปได&ว,า ฟล%กซ์�ส"ที่ธิ�ที่��ผ่,านผ่�วป:ดใดๆ ไม,ข5'นอย�,ก%บ์ร�ปที่รงของพื้*'นผ่�ว ฟล%กซ์�ส"ที่ธิ�ที่��

ผ่,านผ่�วป:ดใดๆ ที่��ล&อมรอบ์ประจ" q ม�คู,าเที่,าก%บ์

พื้�จารณาพื้*'นผ่�วป:ดใดๆ ที่��ป:ดล&อมประจ" q ด%งร�ป พื้*'นผ่�ว S1 เป1นที่รงกลม พื้*'นผ่�ว S2 และ S

3ไม,เป1นที่รงกลม

0q /

0q /

12

ด%งร�ป จากโคูรงสร&างน�'พื้บ์ว,าเส&นสนามไฟฟ�าจะพื้" ,งเข&าไปในพื้*'นผ่�วและพื้" ,งออกจากพื้*'นผ่�วที่��จ"ดต,างๆ โดยจ�านวนเส&น

สนามไฟฟ�าที่��พื้" ,งเข&าจะเที่,าก%บ์ที่��พื้" ,งออก

พื้�จารณาจ"ดประจ"ซ์5�งอย�,ภายนอกพื้*'นผ่�วป:ดร�ปที่รงใดๆ

ร�ป จ"ดประจ"อย�,ภายนอกพื้*'นผ่�วป:ด จ�านวนเส&นสนาม

ไฟฟ�าที่��พื้" ,งเข&าพื้*'นผ่�วเที่,าก%บ์จ�านวนเส&น

สนามไฟฟ�าที่��พื้" ,งออกพื้*'นผ่�ว

ถ&าเราประย"กต�ใช้&ผ่ลที่��ได&ก%บ์ต%วอย,างที่��ผ่,านมา เราจะพื้บ์ว,าฟล%กซ์�ส"ที่ธิ�ที่��พื้" ,งผ่,านร�ปที่รงล�กบ์าศก�ม�คู,าเป1นศ�นย�

เพื้ราะว,าไม,ม�ประจ"อย�,ในล�กบ์าศก�น%'น

ฟล%กซ์�ไฟฟ�าส"ที่ธิ�ที่��พื้" ,งผ่,านพื้*'นผ่�วป:ดที่��ไม,ได&ป:ดล&อมประจ"จะม�คู,าเป1นศ�นย�

สร"ปได&ว,า

13

สามารถใช้& superposition principle ซ์5�งแสดงสนามไฟฟ�าเน*�องจากจ"ดประจ"เหล,าน%'นด&วยผ่ลรวมแบ์บ์เวกเตอร�ของสนามไฟฟ�าเน*�องจากแต,ละจ"ดประจ"

Ad)...EE(AdE 21

ร�ปฟล%กซ์�ไฟฟ�าส"ที่ธิ�ที่��ผ่,านผ่�วป:ดข5'นอย�,ก%บ์ประจ"ภายในพื้*'นผ่�ว

พื้�จารณาระบ์บ์ด%งร�ป พื้*'นผ่�ว S รอบ์ประจ" q1 ประจ"ส"ที่ธิ�ที่��ผ่,านผ่�วป:ด S คู*อ

เม*�อ E คู*อสนามไฟฟ�ารวมที่��จ"ดใดๆ บ์นพื้*'นผ่�วเน*�องจากการรวมเวกเตอร�ของสนามไฟฟ�าของประจ"แต,ละต%ว

กฎของเกาส�โดยที่%�วไปแสดงให&เห8นว,าฟล%กซ์�ส"ที่ธิ�ที่��พื้" ,งผ่,านผ่�วป:ดใดๆ คู*อ

ถ&าม�จ"ดประจ"หลายจ"ดประจ"และม�การกระจายของประจ"อย,างต,อเน*�อง

0

inqAdE

E เม*�อ qin คู*อประจ"ส"ที่ธิ�ภายในพื้*'นผ่�ว และ E แสดงสนามไฟฟ�าที่��จ"ดใดๆ บ์นพื้*'นผ่�ว

ฟล%กซ์�เน*�องจากประจ" q2 และ q3 ที่��อย�,ภายนอกผ่�วป:ดม�คู,าเป1นศ�นย�เพื้ราะว,าเส&นสนามไฟฟ�าที่��พื้" ,งเข&าเที่,าก%บ์ที่��พื้" ,งออกจากพื้*'นผ่�ว พื้*'นผ่�ว S/ ที่��ล&อมรอบ์ประจ" q

2และ q

3ม�

ประจ"ส"ที่ธิ� ฟล%กซ์�ที่��พื้" ,งผ่,านพื้*'นผ่�ว S// ม�คู,าเที่,าก%บ์ศ�นย�เน*�องจากฟล%กซ์�ที่��พื้" ,งเข&าเที่,าก%บ์ฟล%กซ์�ที่��พื้" ,งออก

1 0q /

2 3 0(q q ) /

14

การประยู่�กต์ใช้,กฎของเกาส์ก�บประจุ�ในฉนวน กฎของเกาส�ใช้&ในการหาสนามไฟฟ�าเม*�อประจ"ม�การก

ระจายอย,างสม��าเสมอ ต%วอย,างต,อไปจะแสดงการเล*อกพื้*'นผ่�วเกาส�เซ์�ยนส�าหร%บ์การหาสนามไฟฟ�าโดยการอ�นที่�เกรที่ ในการเล*อกพื้*'นผ่�วเราจะใช้&หล%กการ

สมมาตร เพื้*�อที่��จะให& E ม�คู,าคูงที่��และน�าออกจากเคูร*�องหมายอ�นที่�เกรที่ได& จ"ดประสงคู�ส�าหร%บ์การ

คู�านวณแบ์บ์น�'เพื้*�อหาพื้*'นผ่�วที่��สอดคูล&องก%บ์สภาวะเหล,าน�'

1. สนามไฟฟ�าม�คู,าคูงที่��ตลอดพื้*'นผ่�ว2. เม*�อ E ขนานก%บ์ dA 3. เม*�อ E ต%'งฉากก%บ์ dA4. ฟล%กซ์�สามารถรวมก%นเป1นศ�นย�ได&ตลอดพื้*'นผ่�ว

EdAAdE

0AdE

15

ว�ธี�ที่0า

ต์�วอยู่%าง ส์นามไฟฟ�าเน1�องจุากจุ�ดประจุ� จากกฎของเกาส�จงคู�านวณหาสนามไฟฟ�าเน*�องจากจ"ดประจ"เด��ยว q

ร�ป จ"ดประจ" q ที่��ศ�นย�กลางของพื้*'นผ่�วเกาส�เซ์�ยนแบ์บ์ที่รงกลมโดย E ขนานก%บ์ dA

เราเล*อกผ่�วเกาส�เซ์�ยนแบ์บ์ที่รงกลมร%ศม� r ม�ศ�นย�กลางที่��จ"ดประจ"ด%งร�ป สนามไฟฟ�าเน*�องจากประจ"บ์วกม�ที่�ศพื้" ,งออกตามแนวร%ศม�และต%'งฉากก%บ์พื้*'นผ่�วในที่"กจ"ด จากสภาวะที่�� (2) E

ขนานก%บ์ dA ด%งน%'น กฎของเกาส�จะได&ว,า

EdAAdE

0

qEdA

εA dEE

จากคูวามสมมาตร E ม�คู,าคูงที่��ที่"กๆ จ"ดบ์นพื้*'นผ่�วและสอดคูล&องก%บ์สภาวะที่��

(1) ด%งน%'นสามารถด5ง E ออกมานอกเคูร*�องหมายอ�นที่�เกรที่ได&

0

2

εq

rE(4dAEEdA )

เน*�องจากพื้*'นผ่�วที่รงกลมคู*อ 4r2 ด%งน%'น สนามไฟฟ�าเน*�องจากจ"ดประจ"คู*อ

2Er

qkE

16

ต์�วอยู่%าง การกระจุายู่ประจุ�ส์ม0�าเส์มอแบบที่รงกลัมที่รงกลมต%นซ์5�งเป1นฉนวนม�คูวามหนาแน,นประจ"เช้�งปร�มาตร

สม��าเสมอ เป1นประจ"บ์วก Q(a) จงคู�านวณหาขนาดของสนามไฟฟ�าที่��จ"ดภายนอกที่รงกลม(b) จงคู�านวณหาขนาดของสนามไฟฟ�าที่��จ"ดภายในที่รงกลม

ร�ปที่รงกลมฉนวนม�ประจ"กระจายสม��าเสมอม�ประจ"ส"ที่ธิ� Q(a) ขนาดของสนามไฟฟ�าภายนอกคู*อ E = kQ/r2

(b) ขนาดของสนามไฟฟ�าภายในคู*อ E = kQr/a3

ร�ปกราฟระหว,าง E และ r • เม*�อ r < a สนามไฟฟ�าจะแปรผ่%นแบ์บ์เช้�งเส&นก%บ์ r • เม*�อ r > a สนามไฟฟ�าจะแปรผ่%นก%บ์ 1/r2

ว�ธี�ที่0า (a) เน*�องจากการกระจายประจ"เป1นสมมาตรที่รงกลม

เราจ5งเล*อกพื้*'นผ่�วเกาส�เซ์�ยนแบ์บ์ที่รงกลมซ์5�งม�จ"ด

ศ�นย�กลางเด�ยวก%นก%บ์ที่รงกลมต%นด%งน%'น

E 2

QE = k (r > a)

r

ผ่ลที่��ได&เหม*อนก%บ์กรณ�จ"ดประจ" สร"ปได&ว,าที่รงกลมประจ" สนามบ์ร�เวณภายนอกที่รงกลมม�คู,าเที่,าก%บ์สนามเน*�องจากจ"ดประจ"ที่��อย�,ในพื้*'นผ่�วเกาส�เซ์�ยนแบ์บ์ที่รง

กลม(b) ในกรณ�น�'เล*อกผ่�วเกาส�เซ์�ยนแบ์บ์ที่รงกลมร%ศม� r < a

ม�ศ�นย�กลางร,วมก%บ์ที่รงกลมต%นด%งร�ป(b)

ก�าหนดให&ปร�มาตรของที่รงกลมเล8กเป1น V/ ใช้&กฎของเกาส�ก%บ์กรณ�น�'โดยพื้บ์ว,าม�ประจ" qin อย�,ในปร�มาตร V/ ซ์5�งน&อยกว,า Q ที่�าการคู�านวณ qin)r

3

4(vq 3/

in

17

จากหล%กคูวามสมมาตรขนาดของสนามไฟฟ�าม�คู,าคูงที่��ที่"กจ"ดในที่รงกลมเกาส�เซ์�ยนและต%'งฉากก%บ์พื้*'นผ่�วในที่"กๆ จ"ด และเน*�องจากม�คูวามสอดคูล&องก%บ์สภาวะ (1) (2) จากกฎของเกาส� เม*�อ r < a

0

in2 q)r4(EdAEEdA

r3r4

r34

r

qkE

02

0

3

2in

E

ด%งน%'น

3a3/4 E 0k 1/(4 ) เน*�องจาก

3 30

Qr QE k r

4 a a

(เม*�อ r < a)

ผ่ลที่��ได&ส�าหร%บ์คู,า E แตกต,างจากข&อ (a) โดยม%นแสดงว,า E 0 เม*�อ r 0 น%�นคู*อ จะไม,เก�ดป>ญหาที่��

ต�าแหน,ง r = 0 ซ์5�งถ&าหาก E แปลผ่%นก%บ์ 1/r2 ภายในที่รงกลมเหม*อนก%บ์กรณ�ภายนอกที่รงกลม ซ์5�งถ&า E 1/r2 เม*�อ r < a สนามไฟฟ�าจะม�คู,าเป1นอน%นต�ที่�� r = 0 ซ์5�งเป1นไปไม,ได&ในที่างฟ:ส�กส� โดยส�ตรที่��ได&จาก (a)

และ (b) ม�คู,าเที่,าก%นที่�� r = a

ด%งน%'นและจาก

18

ต์�วอยู่%าง ส์นามไฟฟ�าเน1�องจุากเปลั1อกที่รงกลัมบาง เปล*อกที่รงกลมบ์างร%ศม� a ม�ประจ"ส"ที่ธิ� Q กระจายอย,างสม��าเสมอบ์นพื้*'นผ่�วด%งร�ป (a) จงหาสนามไฟฟ�าที่��จ"ด (a) ภายนอก (b) ภายใน

ร�ปสนามไฟฟ�า (a) ภายในเปล*อกที่รงกลมม�ประจ"ม�คู,าเป1นศ�นย� (b) พื้*'นผ่�วเกาส�

เซ์�ยนเม*�อ r>a (c) พื้*'นผ่�วเกาส�เซ์�ยนเม*�อ r>a

ว�ธิ�ที่�า คู�านวณสนามภายนอกเปล*อกที่รงกลมบ์าง

เหม*อนก%บ์กรณ�ที่รงกลมต%น (a) ถ&าที่�าการก�าหนดพื้*'น

ผ่�วเกาส�เซ์�ยนที่รงกลมร%ศม� r > a ม�ศ�นย�กลางเด�ยวก%บ์เปล*อกที่รงกลมบ์างด%งร�ป 24.13b ประจ"ภายใน

พื้*'นผ่�วคู*อ Q ด%งน%'นสนามที่��จ"ดภายนอกเปล*อกที่รงกลม

จะเที่,าก%บ์ม�ประจ" Q ที่��จ"ดศ�นย�กลาง

E 2

QE k

r (r > a)

(b) สนามไฟฟ�าภายในเปล*อกที่รงกลมม�คู,าเป1นศ�นย�เน*�องจากประย"กต�กฎของเกาส�เข&าก%บ์ผ่�วของที่รงกลมร%ศม� r < a ซ์5�งม�จ"ดศ�นย�กลางเด�ยวก%บ์เปล*อกที่รงกลมด%งร�ปc เพื้ราะว,าประจ"ม�

การกระจายแบ์บ์ที่รงกลมสม��าเสมอและเพื้ราะว,าประจ"ส"ที่ธิ�ภายในพื้*'นผ่�วเป1นศ�นย�สอดคูล&องก%บ์สภาวะที่�� (1) (2) และจาก

กฎของเกาส�ที่�าให&สร"ปได&ว,า E = 0 เม*�อ r < a

19

ต์�วอยู่%าง การกระจุายู่ประจุ�อยู่%างส์ม0�าเส์มอแบบที่รงกระบอกจงหาสนามไฟฟ�าที่��ระยะ r ห,างจากเส&นของประจ"บ์วกที่��ม�คูวามยาว

อน%นต�และประจ"ต,อหน5�งหน,วยคูวามยาวม�คู,าคูงที่��

ร�ป (a) เส&นประจ"ม�คูวามยาวอน%นต�ล&อม

รอบ์ด&วยผ่�วเกาส�เซ์�ยนที่รงกระบ์อกม�

ศ�นย�กลางเด�ยวก%นก%บ์เส&นประจ"

(b) end view แสดงว,าสนามไฟฟ�าที่��

ผ่�วที่รงกระบ์อกม�ขนาดคูงที่��และต%'งฉาก

ก%บ์พื้*'นผ่�ว

ว�ธิ�ที่�า

จากคูวามสมมาตรในการกระจายประจ"ต&องอย�,ในสภาวะที่�� E ต%'งฉากก%บ์เส&นประจ"และม�ที่�ศที่างพื้" ,งออกด%งร�ป a

และ b เพื้*�อแสดงให&เห8นว,าการกระจายประจ"ม�คูวามสมมาตรเราเล*อกผ่�วเกาส�เซ์�ยนแบ์บ์ที่รงกระบ์อกม�ร%ศม� r คูวามยาว l ม�ศ�นย�กลางเด�ยวก%บ์เส&นประจ"และม�คูวามสอดคูล&องก%บ์สภาวะที่�� (1) (2) และฟล%กซ์�ที่��ผ่,านปลายที่%'งสองของผ่�วเกาส�เซ์�ยนเป1นศ�นย�เน*�องจาก E ขนานก%บ์พื้*'นผ่�ว ที่�าการอ�นที่�เกรที่กฎของเกาส�ตลอดผ่�วเกาส�

เซ์�ยนในส,วนที่��เป1นผ่�วที่รงกระบ์อก (ไม,รวมปลายที่%'งสอง) ประจ"ส"ที่ธิ�ภายในผ่�วเกาส�เซ์�ยนคู*อ ด%ง

น%'นจะได&ว,า

00

inqEAdAEd.

AE

A 2πr โดยผ่�วของที่รงกระบ์อกม�คู,าเป1น

0

r2E

E0

E 2k2 r r

พื้บ์ว,าสนามไฟฟ�าบ์นที่รงกะบ์อกที่��ม�ประจ"กระจายอย,างสมมาตรแปรผ่%นก%บ์ 1/rในขณะที่��การกระจายประจ"อย,างสม��าเสมอ

แบ์บ์ที่รงกลมสนามไฟฟ�าแปรผ่%นตรงก%บ์ 1/r2

20

ด%งน%'น ฟล%กซ์�ไฟฟ�าเป1นส%ดส,วนตรงก%บ์จ�านวนของเส&นสนามไฟฟ�าที่��ต% 'งฉากก%บ์พื้*'นผ่�ว

- ถ&าสนามไฟฟ�าเอกร�ป ที่�ศของสนามไฟฟ�าที่��ที่�าม"ม ก%บ์เส&นปกต�ของพื้*'นที่��ผ่�ว A แล&วฟล%กซ์�ไฟฟ�าม�คู,าเที่,าก%บ์

- โดยที่%�วไป ฟล%กซ์�ไฟฟ�าที่��ผ่,านพื้*'นผ่�วอ%นหน5�ง จะม�คู,าเที่,าก%บ์

- ฟล%กซ์�ไฟฟ�า คู*อ จ�านวนเส&นสนามไฟฟ�าที่��พื้" ,งผ่,านพื้*'นผ่�วที่��ต% 'งฉากผ่*นหน5�ง

ส์ร�ป

- กฎของเกาส�กล,าวว,า ฟล%กซ์�ไฟฟ�าส"ที่ธิ� ที่��ผ่,านผ่�วป:ดของเกาส�จะเที่,าก%บ์ประจ"ไฟฟ�าส"ที่ธิ�ภายในหาร

ด&วย 0

inE

qAdE

3. กฏของเกาส์

E

E EA cos

E0

E

surface

E dA

21

ต์าราง ส์$ต์รคำ0านวณส์นามไฟฟ�าโดยู่ใช้,ส์$ต์รของเกาส์การกระจุายู่ ส์นามไฟฟ�า ต์0าแหัน%ง

ที่รงกลมฉนวนร%ศม� R ม�ประจ"ไฟฟ�รวม Q kEQ/r2 r > R และม�คูวามหนาแน,นเอกร�ป kEQr/R3 r < R

ที่รงกลมกลวงเปล*อกบ์างร%ศม� R kEQ/r2 r > Rและม�ประจ"รวม Q 0 r < R

เส&นประจ"บ์นฉนวนยาวอน%นต� ภายนอกเส&นฉนวน ม�คูวามหนาแน,นประจ"ไฟฟ�าเช้�งเส&น

แผ่,นฉนวนแบ์บ์ราบ์บ์าง ใหญ,อน%นต� ที่"กที่��ภายนอกแผ่,นฉนวน และม�คูวามหนาแน,นประจ"ไฟฟ�าเช้�งพื้*'นผ่�ว

แผ่,นต%วน�าราบ์บ์าง ใหญ,อน%นต� ภายนอกแผ่,นต%วน�าที่��ม�คูวามหนาแน,นประจ"ไฟฟ�าเช้�งพื้*'นผ่�ว 0 ภายในต%วน�า

E2k / r

0/

0/ 2

22

http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/oldnews/48/magnetic/OnlineTest_V4/index.asp

http://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/index2.htm

แบบฝึ�กหั�ด

23


ว�ธิ�ที่�า

1 .จากร�ป จงหาฟล%กซ์�ไฟฟ�า ของพื้*'นที่��ผ่�วป:ด ถ&า q1 = q4 = +3.1 nC q2 = q5 = -5.9 nC และ q3 = -3.1 nC

24


ตอบ์ 3, 4, 2, 1

2. ภาพื้แผ่,นประจ"คู�,ขนาน ภายในม�จ"ดประจ"บ์วก จงเร�ยงจากต�าแหน,งที่��ม�สนามไฟฟ�ามากไปหาต�าแหน,งที่��ม�สนามไฟฟ�าน&อย

25


ต์อบ 3.6 นาโนคู�ลอมบ์�

3. เคูร*�องว%ดที่��เห8นด%งร�ป ช้*�อว,า ไกเกอร�เคูาเตอร� ใช้&ส�าหร%บ์ว%ดการแผ่,ร%งส�ซ์5�งเก�ดจากการอ�ออไนเซ์ช้%�นของอะตอม

อ"ปกรณ�ที่�าจากเส&นลวดประจ"บ์วก ล&อมรอบ์ด&วยที่รงกระบ์อกประจ"ลบ์ เม*�อม�ร%งส�มากระที่บ์ก%บ์ที่รงกระบ์อก ร%งส� จะ

กระแที่กให&อ�เล8กตรอนหล"ดออกจากที่รงกระบ์อก กลายเป1นอ�เล8กตรอนอ�สระ (e) เพื้ราะม�สนามไฟฟ�าระหว,างที่รง

กระบ์อกก%บ์เส&นประจ" อ�เล8กตรอนอ�สระน�'จะถ�กเร,งให&ม�คูวามเร8วเเพื้��มข5'น ช้นเข&าก%บ์อน"ภาคูอากาศ ที่��อย�,ภายในที่รงกระบ์อก ที่�าให&อะตอมของอากาศเก�ดการอ�ออไนเซ์ช้%�น ม�อ�เล8กตรอนอ�สระ

เก�ดมากข5'นก,อนจะมาถ5งเส&นประจ" ปรากฎการณ�น�'เร�ยกว,า การอะวาลานซ์� หร*อการที่ลายต%วของห�มะ ซ์5�งเก�ดจาก

การเคูล*�อนต%วของห�มะเพื้�ยงเล8กน&อยในตอนเร��มต&น จนเก�ดการที่ลายต%วหร*อการเคูล*�อนต%วคูร%'งใหญ,ในคูร%'งต,อไป เส&นประจ" จะด�เที่คูอ�เล8กตรอน เก�ดเป1นส%ญญาณที่างไฟฟ�าส,งไปที่��เคูร*�องแปร

ส%ญญาณ สมมต�ว,า ร%ศม�ของเส&นลวดคู*อ 25 ไมโคูรเมตร ร%ศม�ของที่รง

กระบ์อกคู*อ 1.4 เซ์นต�เมตร และคูวามยาวของที่รงกระบ์อกเที่,าก%บ์ 16

เซ์นต�เมตร ถ&าสนามไฟฟ�าภายในที่รงกระบ์อกคู*อ 2.9 x 104 N/C จง

คู�านวณหาประจ"บ์วกที่%'งหมดบ์นเส&นลวดประจ"

26

เอกส์ารประกอบการคำ,นคำว,า

ภาคูว�ช้าฟ:ส�กส�. เอกสารประกอบ์การสอนฟ:ส�กส�เบ์*'องต&น, คูณะว�ที่ยาศาสตร� มหาว�ที่ยาล%ยนเรศวรภาคูว�ช้าฟ:ส�กส�. ฟ:ส�กส�2, คูณะว�ที่ยาศาสตร� จ"ฬาลงกรณ�มหาว�ที่ยาล%ยD.C. Giancoli. Physics Principles with Applications, 3rded., Prentic-Hall,

ISBN: 0-13-666769-4, 1991.D. Halliday, R.Resnick and K.S. Krane. Volume Two extended Version Physics, 4th ed., John Wiley & Sons, 1992.R.A.Serway, Physics for Scientists & Engineers with Modern Physics, 4th ed., 1996.

http://www.physics.sci.rit.ac.th/charud/howstuffwork/electro-mag/electro-magthai1.htm

http://www.skn.ac.th/skl/skn422/file/field.htmhttp://www.physics.uoguelph.ca/tutorials/

tutorials.htmlhttp://www.thinkquest.org/library/site_sum.html?

tname=10796&url=10796/index.htmlhttp://www.launc.tased.edu.au/online/sciences/

physics/tutes1.htmlhttp://www.colorado.edu/physics/2000/index.plhttp://www.dctech.com/physics/tutorials.php

http://www.physics.sci.rit.ac.thhttp://www.rit.ac.th/homepage-sc/charud/selftest/2/

index2.htm

3. กฏของเกาส์

Documents