3 层合板的刚度与强度
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3 层合板的刚度与强度. 层合板的刚度与强度的分析是建立在已知单层刚度与强度的基础上。 假设层合板为 连续、均匀、正交各向异性 的单层构成的一种 连续性 材料，并假设各单层之间是完全 紧密粘接 ，且限于 线弹性、小变形 情况下研究层合板的刚度与强度，这种层合理论称为经典层合理论。 本章是利用经典层合理论来讨论层合板的刚度与强度。. 3.1 对称层合板的面内刚度. 所谓对称层合板，是指层合板的铺层方向相对于层合板的几何中面是镜面对称的，也就是说，从中面向上或向下观察各铺层方向，铺设顺序是相同的，单向层合板可看作是对称层合板的一种特例。. 3.1.1 层合板的标记 - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
3 层合板的刚度与强度 层合板的刚度与强度的分析是建立在已知单
层刚度与强度的基础上。 假设层合板为连续、均匀、正交各向异性的
单层构成的一种连续性材料，并假设各单层之间是完全紧密粘接，且限于线弹性、小变形情况下研究层合板的刚度与强度，这种层合理论称为经典层合理论。
本章是利用经典层合理论来讨论层合板的刚度与强度。
3.1 对称层合板的面内刚度 所谓对称层合板，是指层合板的铺层方向相对于层合
板的几何中面是镜面对称的，也就是说，从中面向上或向下观察各铺层方向，铺设顺序是相同的，单向层合板可看作是对称层合板的一种特例。
3.1.1 层合板的标记 层合板各铺层的方向随设计者的需要可以任意铺设。为了分析各种铺设顺序层合板的力学性能，应简明地给出表征层合板铺层或铺层组铺设顺序的符号，即层合板的标记。偶数层：对称铺层只写出一半，括号外加写下标“ s” 表示对称。
对于非对称层合板，必须在标记中表明全部铺层组的铺设顺序，并标明下角标 T 。例如：【 05/902/45/90/03 】 T
这种层合板标记，仅表明由底面向上至顶面的铺设顺序，而不能相反。
当然，即使为对称层合板，有时也可采用标出全部铺层组的标记，例如前面给出的对称层合板可写成：
【 05/902/45/-453/-453/45/902/05 】 T
例如：【 05/902/45/-453 】 s
这种标记的层合板表示，从板的底面开始，第一个铺层组包含五层相对参考轴为 0˚ 方向的铺层，接着向上是两层 90˚ 方向铺层，再向上是一层 45˚ 方向铺层，最后至中面的三层是 － 45˚ 方向的铺层。下角标 s ，表示对称层合板。
奇数层：在对称中面上的铺层用顶标“－”表示。 例如：【 0/90 】 s 即【 0/90/0 】
对于这样的层合板，当作用力的合力作用线位于层合板的几何中面内时（如图），由于层合板刚度的中面对称性，层合板将引起面内变形（厚度方向的变形可忽略），不引起弯曲变形。
)()( zQzQ ijij
或【 05/902/45/-456/45/902/05 】 T
另外，总数为奇数层的对称层合板往往采用 T 的标记法。例如：【 05/903/05 】 T
3.1.2 面内力——面内应变关系 由于本章讨论的是对称层合板，所以各单层铺层角： θ （ z ） = θ （ - z ）各单层模量：
在面内变形下，由于层合板各铺层是紧密粘接的，因而可认为位移是一致的，即层合板厚度方向上坐标为 Z 的任一点的面内位移就等于中面的位移，即
u(z)=u0 v(z)=v0
这在层合板的厚度与长度、宽度相比为很小时是合理的。
所以沿层合板厚度上各点的应变是一样的。 εx(z)=εx˚ εy (z)=εy˚ γxy(z)=γxy˚ 但因为层合板各个铺层的 Qij 可以不同，所以应力未必是一样的。
2/
2/
)(h
h
k
xxdzN
2/
2/
)(h
h
k
yydzN
2/
2/
)(h
h
k
xyxydzN
面内力的符号仍规定正面正向和负面负向为正，否则为负。与应力符号规则一致。
为了确定层合板的面内刚度，必须建立层合板的面内力与面内应变的关系。所谓层合板的面内力，就是层合板各铺层应力的合力。（其单位为 Pa·m ，表示厚度为 h 的层合板横截面单位宽度的力。）
为了建立面内力——面内应变关系式，只需要将各铺层的应力—应变关系式代入上式中，【利用（ σ ）＝（ Qij ）（ ε ）】
dzQQQxy
k
y
k
x
h
h
k
xN ][)(
16
)(
12
2/
2/
)(
11
dzQQQxy
k
y
k
x
h
h
k
][0)(
160)(
1202/
2/
)(
11
由于中面应变与 Z 无关，所以
dzQdzQdzQh
h
k
xy
h
h
k
y
h
h
k
xxN
2/
2/
)(
16
02/
2/
)(
1202/
2/
)(
110
利用同样方法，可导出 Ny 、 Nxy ，简写为
0
66
0
62
0
61
0
26
0
22
0
21
0
16
0
12
0
11
xyyxxy
xyyxy
xyyxx
AAANAAANAAAN
（ 3 － 1 ）
式中 2/
2/
)(h
h
k
ijijdzQA （ i,j=1,2,6 ）
称为层合板的面内刚度系数。面内刚度系数也象模量分量一样，具有对称性。即 Aij=Aji
为了使本章讨论对称层合板的刚度与以前讨论单向层合板的刚度相关联。因此，将面内力与面内刚度系数进行正则化，即设
hNN x
x
hN
N y
y
hN
N xy
xy
hA
A ij
ij
Nx* 、 Ny* 、 Nxy* 称为层合板的正则化面内力，单位是 Pa 或 N/m2 ，它们实际上表示了层合板的平均应力，又称层合板应力。Aij* 称为层合板的正则化面内刚度系数，单位是 Pa 或 N/m2 ，与模量分量的量纲一样。
0
16
0
12
0
11 xyyxx AAAN
0
26
0
22
0
21 xyyxy AAAN
0
66
0
62
0
61 xyyxxy AAAN
（ 3 － 2 ）
上式为对称层合板的正则化面内力——面内应变关系式，实质上就是对称层合板的平均应力（称层合板应力）和面内应变的关系式。 我们将面内力——面内应变的关系式作逆变换，可得面内应变与面内力的关系式。
NaNaNa xyyxx 161211
0 NaNaNa xyyxy 262221
0 NaNaNa xyyxxy 666261
0
（ 3 － 3 ）
所以
式中 aij 称为层合板面内柔度系数。正则化形式： NaNaNa xyyxx
161211
0NaNaNa xyyxy
262221
0NaNaNa xyyxxy
666261
0（ 3 － 4 ）
很明显， aij*=aijh ，称为对称层合板的正则化面内柔度系数。aij* 的意义是，当对称层合板为单向层合板时，
sa ijij
即单向层合板的正则化面内柔度系数就是柔量分量。
（ 3 － 1 ）～（ 3 － 4 ）均可写成矩阵形式。（略）
3.1.3 对称层合板的面内工程弹性常数 类似于定义单层的工程弹性常数，利用单轴层合板应力或纯剪层合板应力来定义对称层合板的面内工程弹性常数，可以得到面内拉压弹性模量 例： Nx*≠0, Ny*= Nxy*=0, 利用公式（ 3 － 4 ），得
aNE
x
x
x
11
0
0 1
aa
x
y
x
11
210
aa
x
xy
xxy
11
610
,
同理，
aN
Ey
y
y
22
0
0 1
aa
y
x
y
22
120
aa
y
xy
yxy
22
620
,
面内剪切弹性模量a
G xy 66
0 1
aa
xy
x
xyx
66
610
, a
axy
y
xyy
66
620
,
面内泊松耦合系数
aa
x
11
210aa
y
22
120
拉剪耦合系数
aa
xxy
11
610
,
aa
yxy
22
620
,
剪拉耦合系数
aa
xyx
66
160
,
aa
xyy
66
260
,
3.1.4 面内刚度系数的计算
由于面内刚度系数与构成对称层合板的各铺层模量有简单的积分关系式，而且各铺层可以有不同的偏轴模量，所以正则化面内刚度系数可改写成求和的形式进行计算。
利用偏轴模量的计算公式及面内刚度系数的定义
2/
2/
)(h
h
k
ijij
dzQA
则可得正则化面内刚度系数的计算式，见书中 (3-24)
3.1.5 几种典型对称层合板的面内刚度 层合结构的复合材料，利用铺层的各单层材料和方向的
随意性可以得到各种各样的层合板。这一节将主要讨论各铺层具有同样材料和厚度的一些特殊的对称层合板。
A. 正交铺设对称层合板 凡各铺层只有 00 和 900 铺层方向的对称层合板称为正交
铺设对称层合板。 由正则化面内刚度系数的计算式可以求得正交铺设对称
层合板的 Aij* 。
VQQQQVQVQnQnA n
)90(
22111122
)90(
11
)0()90(
11
)90()0(
11
)0(
11)()(
1
VQQQQVQVQnQnA n
)90(
22112211
)90(
22
)0()90(
22
)90()0(
22
)0(
22)()(
1
A12*=Q12 A66*=Q66 A16*= A26*= 0
式中 V(0)=n(0)/n, V(90)=n(90)/n 分别表示 0˚方向和 90˚方向铺层的体积含量。 由正则化面内刚度系数矩阵求逆，即得正则化面内柔度系数矩阵（ aij*）。 P48 例题
•B. 斜交铺设对称层合板 凡各个单层只按±φ两种方向铺设的对称层合板称为斜交铺设对称层合板。如果两种方向的层数相同，则称为均衡斜交铺设对称层合板。 对于均衡斜交铺设对称层合板，存在两个弹性主方向。
同样，由正则化面内刚度系数的计算式可以求得 Aij* 。
QA)(
1111
QA)(
2222
QA)(
1212
QA)(
6666
02616
AAQ
ij
)( 表示铺层方向角 θ＝ φ时的偏轴模量分量。但要注意，当 θ＝ φ时的偏轴模量分量
QQ)(
26
)(
16
和 不为零。
因为此时铺层呈现各向异性。但层合板有两种偏轴方向＋ φ和－ φ，使参考轴为主方向时，不存在拉剪耦合或剪拉耦合；因此，
02616
AA 也即层合板呈现正交各向异性。
c.准各向同性层合板
为满足（ 3 － 6 ）的条件，可以采用定向层体积含量相同的 m(m≥3) 种定向层，以间隔为 π/m弧度的方向铺设成对称层合板，即为准各向同性层合板。 例如： 【 -60/0/60 】 s 的 m ＝ 3的 π/3 层合板 【 -45/0/45/90 】 s 的 m ＝ 4的 π/4 层合板 均可推出（ 3 － 6 ）
凡面内各个方向的刚度为相同的对称层合板称为准各向同性层合板。根据上述定义，可以证明，准各向同性层合板的充要条件： A16*=A26*=0, A11*=A22*, A66*=(A11*-A12*)/2 （ 3 －6 ） 满足式中 A16*=A26*=0 表示层合板具有正交各向异性的性能，又满足 A11*=A22* ，表示层合板具有正方对称的性能，再满足 A66*=(A11*-A12*)/2 表示层合板具有准各向同性的性能。
由于正则化面内刚度系数与铺设顺序无关，而与铺层比有关，所以按上述方法构成的准各向同性层合板，若改变它的铺层顺序，也不会改变其准各向同性的性能。 例如： 【 -602/02/602 】 s 【 -60/02/60/-60/60 】 s
一般π/4层合板，各定向层包含不同体积含量所得的 Aij*
之间有很简单的线性关系，书中 51页给出了以 T300/4211复合材料的例子。 但一般π/4层合板的 aij* 的变化图线和工程弹性常数的变化图线要比 Aij* 的变化图线复杂得多。因此，利用面内刚度系数进行层合板的力学分析，将比利用面内柔度系数更方便。
•D. 一般 π /4 层合板 凡是具有四个铺层方向彼此相隔 45˚ （即 π/4 ），且各铺层组可具有任意厚度的对称层合板称为一般π/4层合板。当四个铺层组具有相同铺层体积含量时称为标准的 π/4层合板，它是准各向同性层合板。
3.1.6 对称层合板面内刚度的转换（不要求） 3.1.7 面内铺层应力和铺层应变分析 正则化面内力（ aij* ） =(Aij*)-1 面内应变 各铺层正轴
应变 各铺层正轴应力 强度校核
例 3.1 （ P54)
3.2 对称层合板的弯曲刚度 上一节讨论了对称层合板在面内力作用下面内变形时的刚
度，本章将讨论对称层合板在弯曲力矩作用下发生弯曲变形时的刚度。
象利用面内力——面内应变关系式确定面内刚度一样，可以利用弯曲力矩与曲率关系式确定弯曲刚度。
3.2.1 对称层合板的弯曲力矩——曲率关系式 首先作如下假设来近似处理层合板的弯曲问题。 1. 层合板的刚度是中面对称的，弯曲是几何中面就是中性曲面，即在小变形情况下几何中面各点没有平行于中面的位移。 2.直法线假设：弯曲前层合板内垂直于几何中面的直法线段在弯曲后仍保持为垂直于弯曲后中面的直线，且直线段的长度不变。
3. 忽略 σz ，各铺层按平面应力状态进行分析。 为了依据上述假设导出弯曲力矩——曲率关系式，补充给出如下的应变定义：
z
wz
z
u
x
wxz
z
v
y
wyz
这里 w 是对应于 z 轴方向的位移 u 是对应于 x 轴方向的位移 v 是对应于 y 轴方向的位移 根据假 2，
0
z
wz
所以位移 w 与坐标 z 无关，仅为 x 和 y 的函数，即 w=w(x,y) 同样根据假设 2 ，中面法线变形后仍为中面法线，故得 γxz=γyz=0
0
z
u
x
wxz 0
z
v
y
wyz
即x
w
z
u
y
w
z
v
对 z求积分，得
),(1
yxx
wzu c
),(2
yxy
wzv c
依据假设 1 ，在 z ＝ 0处， u=v=0, 所以 c1(x,y)=c2(x,y)=0由此，可以用位移 w 来表达其他应变分量。
2
2
x
wz
x
ux
2
2
y
wz
x
vy
yx
wz
y
u
x
vxy
2
2
根据微分几何可知： 2
2
x
w
2
2
y
w
yx
w
2
2
分别为层合板的曲率和扭率 Kx 、 Ky 、 Kxy 。所以上式可写为 εx=zKx εy=zKy γxy=zKxy
为了确定层合板的弯曲刚度，需定义引起弯曲变形的力矩，它们是层合板各铺层应力的合力矩。（图 3 － 22 ）
zdzh
h
k
xxM 2/
2/
)(zdz
h
h
k
yyM 2/
2/
)(zdz
h
h
k
xyxyM 2/
2/
)(Mx , My 为弯距， Mxy 为扭距。弯距和扭距的单位为 N 或 N·m/m,表示厚度为 h 的层合板横截面单位宽度上的力矩。符号与构成弯距和扭距的层合板下半部分的应力符号规则是一致的。
依据假设 3 ，将各铺层应力——应变关系式代入，得
zdzh
h xy
k
y
k
x
k
x QQQM 2/
2/
)(
66
)(
12
)(
11)(
即dzz
h
h xy
k
y
k
x
k
x kQkQkQM 22/
2/
)(
66
)(
12
)(
11)(
由于 kx 、 ky 、 kxy 与坐标 z 无关，所以上式可写成下式：kDkDkDM xyyxx 161211
kDkDkDM xyyxy 262221
kDkDkDM xyyxxy 666261
（ 3 － 7 ）
式中 dzzQDh
h
k
ijij
22/
2/
)(
称为层合板的弯曲刚度系数，而且 Dij=Dji
(3-7) 就是对称层合板的弯曲力矩——曲率关系式。
为了使同一块层合板的弯曲刚度系数与面内刚度系数易于比较，以及与单向层合板相关联，因此进行正则化处理， M*=6M/h2
K*=Kh/2 (3-8) Dij*=12Dij/h3
正则化弯曲力矩M* 在数字上相当于假设弯曲变形引起的应力为线性分布时的底面应力。 正则化曲率 k* 是弯曲变形引起的底面应变。
【注意】对称层合板的应变是线性分布的，而应力一般不是线性分布的，所以 kx* 是底面的真实应变，而 Mx* 一般不是底面的真实应力。 如果对称层合板为单向层合板，则弯曲时应力沿厚度是线性分布。 Mx* 、 My* 、 Mxy* 也就变成底面的真实应力。（公式 3 － 59 ）
利用正则化参数式（ 3 － 8 ）可将（ 3 － 7 ）改写成如下正则化形式——（公式 3 － 55 ） 作逆变换，可得正则化曲率与弯曲力矩的关系式——（公式 3 － 56 ）。
3.2.2 对称层合板的弯曲工程弹性常数 弯曲工程弹性常数是表达某一方向弯曲或扭转时层合板
刚度性能的参数。因此，可分别令 ①Mx*≠0,My*=Mxy*=0 ； ②My*≠0,Mx*=My*=0 ； ③Mxy*≠0,Mx*=0,My*=0来定义弯曲工程弹性常数。 由①，可得 Kx* =d11*Mx*, Ky*=d21*Mx*, Kxy*=d61*Mx* 定义 x轴向等效的弯曲弹性模量
dkME
x
xf
x
11
1
弯曲泊松耦合系数：dd
kk
vvx
yf
yx
f
x
11
21
弯扭耦合系数：dd
kk
x
xyf
xxy
11
61
,
类似可得其他弯曲工程弹性常数。公式（ 3 － 65 ）～（ 3 － 69 ）
3.2.2 弯曲刚度系数的计算将偏轴模量分量的计算公式代入层合板的弯曲刚度系数定义式：
dzzQDh
h
k
ijij
22/
2/
)(
则可得弯曲刚度系数的计算式——公式（ 3 － 73 ）。
注意：这里 k 是从中面至底面的。
3.2.4 几种典型对称层合板的弯曲刚度
A 单向层合板单向层合板是对称层合板的特例。
QADij
ijij
sad ijijij
如果将参考坐标系置于单向层合板的正轴方向，则由于单层的正轴模量分量 Q16=Q26=0 ，所以 D16*=D26*=0 或 d16*=d26*=0
B 正交铺设对称层合板 正交铺设对称层合板的正则化弯曲刚度系数，在同样的
定向层数比，即 0˚ 与 90˚ 层的层数比为一定的情况下，不同的铺层顺序也会得到不同的弯曲刚度系数。
例如【 04/904 】 s 、【 02/902 】 2s 、【 0/90 】 4s ，它们的单层组数分别为 m=2 、 m=4 、 m=8 ，利用弯曲刚度系数的计算公式，
dzzQDh
h
k
ijij
22/
2/
)(
得到正则化规则正交铺设对称层合板的正则化弯曲刚度系数：见（ 3 － 81 ）
由此可知，正交铺设对称层合板在弯曲时 D16*=D26*=0 ，所以无弯扭之间的耦合，呈现弯曲正交各向异性。 D12* 、 D66*不随铺层顺序而变化； D11* 与 D22* 随单层组数 m 的变化而变化，随 m 增大而相近。 如果将上式与这类规则正交铺设对称层合板的 Aij* 比较，可知，当 m→∞时， Dij*=Aij*。 此时的正交铺设对称层合板称为准均匀正交铺设对称层合板。一般当 m≥8时可近似按准均匀处理。 对于不同定向层数比按上述方法讨论，当 m→∞，仍满足Dij*=Aij* ，所以仍为准均匀正交铺设对称层合板。
•单向层合板，依据线弹性假设，应力沿厚度是线性分布的，•因此Mx*、My*、Mxy*就变成底面的真实应力，且
AQzQh
D ijij
h
h ijij
dz
22/
2/3
12
按照绪论假设，多向层合板是分段均匀的，而单向层合板是均匀层合板，因此，如果对称层合板满足 Dij*=Aij* ，则称此层合板为准均匀层合板。 C.斜交铺设对称层合板 斜交铺设对称层合板的正则化弯曲刚度系数，在 ±Φ两
种方向的层数相同的情况下，不同的铺层顺序也会得到不同的 Dij*（公式 3－ 86）。
例如【 -604/604】 s(m=2) 【 -602/602】 2s(m=4) 【 -60/60】 4s (m=8) 由此可知，规则斜交铺设对称层合板在弯曲存在 D16*≠0 ，
D26*≠0 ，即有弯扭之间的耦合。 同规则正交铺设对称层合板一样，当 m→∞ ，其满足Dij*=Aij* 。一般，当 m≥8 时可近似按准均匀处理。
D准各向同性层合板 准各向同性层合板是指面内刚度而言的，这一类
层合板的弯曲刚度不一定是各向同性的。E 一般 π/4 层合板
3.2.5 对称层合板弯曲刚度的转换（不要求）
例 3.4 （ p68 ）
3.3 一般层合板的刚度 前面我们讨论的是对称层合板，因此，当受有面内力时将引起面内变形而无弯曲变形，当受有弯曲力矩时将引起弯曲变形而无面内变形。但对于非对称层合板，一般情况下，面内力还将引起弯曲变形，或弯曲力矩还将引起面内变形，即存在拉弯耦合或弯拉耦合。所以，一般层合板的刚度系数除了面内刚度系数和弯曲刚度系数外，还存在耦合刚度系数。
0
z
wz 无关。与zyxww ),( 0
yzxz
3.3.1 一般层合板的内力——应变关系 依据直法线假设和应变定义导得的公式在这里同样成立：
),(1
yxx
wzu c
),(2
yxy
wzv c
由于几何中面 z=0处， u 和 v 不一定为零，故设
00 uu z 00 vv z
x
wzuu
0 y
wzvv
0
代入应变的定义式，得
2
20
x
wz
x
u
x
ux
2
20
y
wz
y
v
y
vy
yx
wz
y
u
x
v
y
u
x
vxy
2
002
设中面应变为则得到一般层合板的应变关系式：
xxxzk 0
yyyzk 0
xyxyxyzk 0
式中 kx 、 ky 、 kxy 仍为中面曲率和扭率。将上式分别代入面内力式（ 3 － 4 ）和弯曲力矩（ 3 － 46 ）中，
dzQQQdzh
h xy
k
y
k
x
kh
h
k
xxN
2/
2/
)(
16
)(
12
)(
11
2/
2/
)( ][
可以推得如下一般层合板的内力——应变关系式，
zdzQQQdzzh
h xyk
yk
xkh
h
kxxM
2/
2/
)(16
)(12
)(11
2/
2/
)( ][
式中 dzzQDh
h
k
ijij
22/
2/
)(
2/
2/
)(h
h
k
ijij
dzQA
)6,2,1,( 2/
2/
)(
jizdzh
h
k
ijij QB 称为层合板的耦合刚度系数。
对于层合板对称的情况： )()( QQ(k)
ij
(k)
ijzz
125)-(3
0
0
0
666261666261
262221262221
161211161211
666261666261
262221262221
161211161211
xy
y
x
xy
y
x
xy
Y
X
z
y
x
k
k
k
DDDBBB
DDDBBB
DDDBBB
BBBAAA
BBBAAA
BBBAAA
M
M
M
N
N
N
0
)()(
2/
0
)(2/
0
)(
2/
0
)(0
2/
)(
zdzzdz
zdzzdzh k
ij
h k
ij
h k
ijh
k
ijij
QQQQB
可见对称层合板的耦合刚度系数 Bij=0, 即此类层合板无拉— 弯之间的耦合效应。 为了使同一块层合板的这些刚度系数易于比较，作正则化处理， Bij*=2Bij/h2
则一般层合板的内力——应变关系式可简写成：
125)-(3
3 3 3
3 3 3
3 3 3
0
0
0
666261666261
262221262221
161211161211
666261666261
262221262221
161211161211
xy
y
x
xy
Y
X
z
y
k
k
k
DDDBBB
DDDBBB
DDDBBB
BBBAAA
BBBAAA
BBBAAA
M
M
M
N
N
N
xy
y
xx
N* 具有层合板平均应力的含义， k* 具有层合板底面应变的含义。 所以由上式可知， B* 为假设层合板中面无应变时层合板平均应力——底面应变关系式的系数。系数 3 的存在，说明正则化弯曲力矩引起中面应变的刚度为正则化面内力引起正则化曲率刚度的三倍。 利用矩阵求逆的方法，可求得一般层合板的正则化应变—内力关系式：
130)-(3
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
3
1
666261666261
262221262221
161211161211
666261666261
262221262221
161211161211
0
0
0
xy
Y
X
z
y
xy
y
x
M
M
M
N
N
N
k
k
k
x
xy
y
x
式中 αij*为层合板的正则化面内柔度系数。 βij*为层合板的正则化耦合柔度系数。 δij*为层合板的正则化弯曲柔度系数。 刚度系数与柔度系数除βij*不具有对称性外，其余均具有对称性。
AA jiij
BB jiij
DD jiij
jiij
jiij
注意，一般情况下，因为分块矩阵不可逆，所以
aijij
d ijij
在对称层合板时，利用 )()( zQzQ ijij 推得 0
Bij 即得 0ij aijij
d ijij
这再一次说明，对称层合板不存在拉弯耦合或弯拉耦合。
3.3.2 一般层合板的工程弹性常数 象以往定义工程弹性常数一样，分别设某一内力不为零，而其余五个内力均为零，即可定义各个工程弹性常数。
例如，设 Nx*≠0 ，而其余内力均为零，则得
xx N 11
0 xxyxy NN 61
0
21
0
xxyxyxx NkNkNk 161211
这些关系式表明，一种外力可能引起拉伸（或压缩）、剪切、弯曲、扭转四种基本变形。 面内拉压弹性模量
11
0
0 1
x
xx
NE
面内泊松耦合系数
11
21
0
0
0
x
y
yxv
拉剪耦合系数
11
61
0
0
0
,
x
xy
xxy
拉弯耦合系数
11
11
0
0
,
x
xxx
k
11
12
0
0
,
x
y
xy
k
拉扭耦合系数
11
16
0
0
,
x
xy
xxy
k
仿照上述方法，可得其他工程弹性常数表达式。 (p76)
3.3.3 一般层合板刚度系数的计算 一般层合板面内刚度系数与弯曲刚度系数的定义表达式
与对称层合板相同，对称层合板的正则化面内刚度系数计算式（ 3 － 24 ），以及正则化弯曲刚度系数计算式（ 3 －73 ）同样适用于一般层合板。由于一般层合板不存在中性对称性，所以计算正则化几何因子时必须改用如下形式的公式：
（ 3 － 144 ）、（ 3 － 145 ）、 （ 3 － 146 ）、 （ 3 － 147 ）、
（ 3 － 148 ）。
3.3.4 两种非对称层合板的刚度A 规则非对称正交铺设层合板 这里讨论的非对称正交铺设层合板是指 0˚ 铺层和
90˚ 铺层材料相同与体积含量相同的、且每一铺层组中具有相同铺层数的非对称正交铺设层合板。
例如 【 08/908 】 T 或【 04/904 】 2T 或【 02/902 】 4T
或【 0/90 】 8T
它们的铺层组数分别为 m=2,4,8,16 。顺便指出，非对称层合板的铺层组数 m 是指整个层合板的铺层组总数，这与对称层合板按一半计数是不同的。
)(2
1A
)90()0(
ij QQijij
)(2
1D
)90()0(
ij QQijij
所以，对于这类非对称正交铺设层合板有 Aij*=Dij* 。
)(2
1B
)90()0(
ij QQijijm
)90(
66
)0(
66
)90(
12
)0(
12QQQQ
0BB 6612
0 )90(
26
)90(
16
)0(
26
)0(
16 QQQQ又
0BB 2616
又由于，和只剩下因此， BBB 2211ij
)0(
11
)90(
22
)90(
11
)0(
22QQQQ
) (2
1 )
2
1BB
2211
)90(
11
)0(
111122 ( QQQQ mm
0BB m 1122 ＝时，当
此时，层合板为准均匀层合板。对于 Bij*≠0 ，而满足Aij*=Dij*条件的层合板称为伪均匀层合板。事实上，当m大到一定数值时， Bij* 与 Aij* 或 Dij* 相比就很小，可看作准均匀层合板。（ m≥8 ） 另外，依据上述分析，这类非对称正交铺设层合板的刚度系数可构成如下关系式（ 3 － 153 ）
由上式可以看出，面内剪切和扭转变形均不与其他变形耦合，因此面内剪切和扭转变形的行为均象单向层合板正轴时一样。 上式求逆可得书中公式（ 3 － 155 ）。
153)-(3
0 0 0 0 0
0 0 3 0
0 0 0 3
0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0
0
0
66
222122
121111
66
26222221
111211
xy
y
x
xy
Y
X
z
y
k
k
k
D
DDB
DDB
A
BBAA
BAA
M
M
M
N
N
N
xy
y
xx
B. 规则反对称层合板定义：规则反对称层合板是指包含有两种铺设方向，且相对于中面其铺层方向角的大小相同、符号相反，即 θ （ z)= –θ(–z)
上式说明，铺层方向角是坐标 z 的奇函数。 同样，这里讨论的规则反对称层合板是指Φ铺层与－Φ铺层材料相同。体积含量相同，且每一铺层组中具有相同铺层数的反对称层合板。 例如【－ Φ8 /Φ8 】 T 【－ Φ4 /Φ4 】 2T
【－ Φ2 /Φ2 】 4T 【－ Φ/ Φ 】 8T
铺层组数 m 分别为 2， 4， 8， 16。该反对称层合板铺层模量具有如下特点：（ 1）拉剪或剪拉耦合分量是反对称的，即是 z的奇函数：
)()(1616
zz QQ )()(2626
zz QQ
（ 2 ）其余四个分量是对称的，即是 z 的偶函数。
)()(1111
zz QQ )()(2222
zz QQ
)()(1212
zz QQ )()(6666
zz QQ
因此，我们可以计算得到如下的刚度系数为零：
026162616 DDAA
066122211 BBBB
另外，依据正则化面内刚度系数的计算公式、正则化弯曲刚度系数的计算公式、正则化几何因子的计算公式、正则
化耦合刚度系数的计算公式，可得：
)0( 2616
)(
外除 AAA Qij
ij
)0( 2616
)(
外除 DDD Qij
ij
）（除 0 66122211
)(
BBBBm
BQ
ij
ij
同样， Dij*=Aij*, 但由于一般反对称层合板存在 B16* 和 B26* ，所以是伪均匀层合板。只有当 m→∞ 时， B16* ＝ B26* ＝ 0 ，此时反对称层合板为准均匀层合板。 综合上述分析，这种规则反对称层合板的正则化内力与应变的关系可写成如下关系式（ 3 － 163 ）
由关系式可知，规则反对称层合板的面内拉力和扭距是与其相应的变形联系在一起的，利用这种耦合关系，有时可以用来实现或消除一定的变形模式。例如，用反对称层合板制成的风扇叶片，在空气动力作用下产生的扭距和旋转时的离心作用下，均将引起叶片扭率的变化，欲使扭率不变，也就是 kxy*=0 。利用应变与正则化内力的关系式（ 3 － 165 ），可得
06616 xyxxy MNk
xy
x
16
66 M
N－即
125)-(3
0 0 0 3 3
0 3 0 0
0 3 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
666261
222126
121116
66626166
262221
161211
xy
y
x
xy
Y
X
z
y
k
k
k
DBB
DDB
DDB
BBBA
BAA
BAA
M
M
M
N
N
N
xy
y
xx
若已知 Nx* 和 Mxy* ，可调整铺设情况（如改变铺层材料、铺层方向和铺设顺序等）来满足上式。
3.3.6 平行移轴定理 前面讨论的层合板刚度系数，都是将参考坐标 z 的坐标原点（即 xoy 坐标面）置于层合板的几何中面上，因而可称为层合板的中面刚度系数。然而复合材料结构件的刚度分析，不一定都是就层合板中面而言；所以要涉及如何计算关于非层合板中面的面的层合板刚度系数问题。 本节是讨论关于层合板相对于平行层合板中面的面的刚度系数与中面刚度系数之间的关系，即所谓层合板刚度系数的平行移轴定理。 设层合板中面处为坐标 z=0, 与中面平行的距离为 d 的面是z´=0, 见图。
故层合板中任一点的坐标为 z´= z + d根据该坐标关系式，按照关于 z´=0 的面的刚度系数的定义，得
ij
k
ij
h
h
k
ij
hd
hdij AdzQdzQA
)(2/
2/
')(2/
2/
'
ijij
k
ij
h
h
k
ij
hd
hdij dABdzdzQdzzQB
)(
)(2/
2/
'')(2/
2/
'
ijijij
k
ij
h
h
k
ij
hd
hdij AddBDdzdzQdzzQD 22
)(2/
2/
'2')(2/
2/
' 2)(
图 3 － 6 层合板中面与其平行 的面之间的坐标关系
利用正则化关系式将上面三式改写成正则化形式为：
ijij AA'
hdABB ijijij /2'
2')/(12/12 hdAhdBDD ijijijij
例题 3.6 ， 3.7
3.4 层合板的强度 以不同方向的铺层迭合而成的多向层合板，其刚度是通过铺层的刚度来预测的，其强度也将是通过铺层的强度来预测的。由于多向层合板是层合的结构形式，因此在外力作用下是逐层失效的。 据此，多向层合板的强度指标一般有两个：在外力作用下，多向层合板最先一层失效时的层合板正则化内力称为最先一层失效强度，其对应的载荷称为最先一层失效载荷；而最终失效（即层合板各铺层全部失效）时的层合板正则化内力称为极限强度，其对应的载荷称为极限载荷。 当然，最先一层失效强度合极限强度可以通过试验来测得，然而如果任何层合板其强度都通过试验才能给出，那么复合材料可设计性的优点就不能实现，而且要实测在各种可能应力状态下的层合板强度也是不可能的。
因此，本节讨论的内容是如何依据铺层的强度来预测层合板的最先一层失效强度和极限强度。
3.4.1 一般层合板的铺层应力和铺层应变分析
正轴应力各单层
正轴应变各单层
应变各单层
正则化曲率面内应变与
）层合板的铺设情况（弯曲力矩—正则化的面内力
应变关系—应力单层正轴
转换
）（内力关系—层合板的应变
,,2..1
,,
0
0
0
xyxyxy
yyy
xxx
ijijij
zk
zkzk
ijijij BDA
3.4.2 最先一层失效强度 确定层合板最先一层失效强度必须首先作层
合板的单层应力分析，然后利用强度比方程计算层合板各个单层的强度比，强度比最小的单层最先失效，最先失效铺层失效时的层合板正则化内力即为多向层合板最先一层失效强度。
例 3.9 （ P85 ）3.4.3 极限强度 一般来说，多向层合板用最先一层失效强度作为强度指标似乎太保守了，因为多向层合板一般在最先一层失效后仍能继续承受较高的载荷。 通常，层合板在外力作用下一般是逐层失效的，导致层合板各层全部失效时的层合板正则化内力为层合板的极限强度。
由计算来预测层合板极限强度是较为困难的，这主要是由于层合板逐层失效的过程和机理极为复杂。本节介绍一种比较简便的极限强度计算方法，其计算步骤的框图见书中图 3 － 29 。
最后，还要说明一下，多向层合板的极限强度象最先一层失效强度一样，即使是同一块层合板，层合板正则化内力各量之间的比例不同，其对应的层合板极限强度也不同。
习题 3 － 1 证明： （ a* ） =(A*) -1
66
2221
1211
00
0
0
)(
A
AA
AA
A 2
122211
22
66
2
12662211
662211
AAA
A
AAAAA
AAa
0
111
2211
2
12
11
22
2
122211
11
0
1
1
m
A
AAA
A
A
AAA
aEx
同理：2
122211
1122
AAA
Aa
0
221
2211
2
12
22
11
2
122211
22
0
1
1
m
A
AAA
A
A
AAA
aEy
662
122211
66
2
12662211
66
0 1A
AAA
AAAAA
aGxy
22
21
11
210
A
A
a
avx
11
21
22
120
A
A
a
avy
3 － 2
正交各向异性：【 0/902/0 】 s 【 0/902/02 】 s
正方对称： 【 0/902/0 】 s 【 02/902/-45/45/-45/45 】 s
【 0/90/-452/452 】 s
准各向同性： 【 02/902/-45/45/-45/45 】 s
【 0/60/0/60/-602 】 s
3 － 3 证明：① xxy Na61
0
0a 0AA 612616 正交铺设对称层合板
0 0
xy
0 0 900 0 0
90
12
0
0
12
0
）（
）（
铺层对于铺层对于
0 )(
xy k
② xxyxyxx NaNaNa 61
0
21
0
11
0
A
QQa
)(
66
)(
2211
A
QQa
)(
66
)(
1221
061 a
0
2616
)(
6666
)(
1212
)(
2222
)(
1111
AAA
AAA
QQQQ
0
0
)(
66
)(
12
)(
22
)(
66
)(
22
)(
21
)(
26
)(
22
)(
21
)(
y
AA
QQQQQQ
QQQ xyyx
k
3 － 7 对于斜交铺设对称层合板：
GPaUUUA Q 76.3836.1412.53454cos452cos 0)(
3
0)(
2
)(
1
)(
2222
GPaUUUA Q 76.3836.1412.53454cos452cos 0)(
3
0)(
2
)(
1
)(
1111
GPaUUA Q 37.31180cos00)(
3
)(
4
)(
1212
0*
26
*
16 AA
1
2
122211
2211 )(07479.0
GPa
AAA
Aa
GPaa
Ex 37.131
11
对于 450 单层：10)(
3
0)(
2
)(
111 )(5.99180cos90cos TPaUUUS sss
GPaS
Ex 05.101
11
对于－ 450 单层：1
11 )(5.99 TPaS
GPaS
Ex 05.101
11
3-8 解：【±45】 s 层合板在 x’-y’ 坐标系中是正交铺设对称层合板，
LTGQAAA 66
'
66
'
26
'
16 ,0 0''
'
66'' yxyx AN
0
''
'''
66 yx
yxLT
NGA
利用应力正转换公式（ 2 － 21 ），
xxxyx NNmnNN2
1)45sin()45cos(' 00
''
再利用应变正转换公式（ 2 － 24 ），00000
'' 22 yxyxyx mnmn
00
2/
yx
xLT
NG
注：斜交层合板对称轴方向亦为正交异性，故受单轴拉伸时仅产生 εx0和 εy0而 γxy0=0
3-10 解：对于单向层合板，如果将参考轴置于单向层合板正轴方向，
xy
y
x
xy
y
x
M
M
M
d
dd
dd
k
k
k
66
2221
1211
00
0
0
由 题中可知 0 yx MM
0 66 yxxyxy kkMdk
h
kzzkzkzk xy
xyyx
2
0 0 xyyx
2662666666
66 2
h-zh
Psha
PasMsMdk xyxyxyxy
时，当
由应变转换公式（ 2 － 25 ），得
2
6622 6
2 )(00
h
PSmnmnnm xyxy
266
31 h
PSGLT
3 － 12 解：①【 04/904 】 s 正交铺设对称层合板， 利用公式（ 3 － 30 ）
221122
)90(
11
)0(
11 2
1
2
1QQQVQVA
112211
)90(
22
)0(
22 2
1
2
1QQQVQVA
1212 QA 6666 QA 02616 AA
② 【 04/902 】 s 正交铺设对称层合板，利用公式（ 3 － 30 ）
221122
)90(
11
)0(
11 3
1
3
2QQQVQVA
112211
)90(
22
)0(
22 3
1
3
2QQQVQVA
1212 QA 6666 QA 02616 AA
③【 02/902/452/-452 】 T ，利用公式（ 3－ 24）、（ 3－ 144），
000)7
2(
7
22cos )(
11
il
iiA VV
7
1
7
1
7
2
7
2
7
24cos )(
12
il
iiA VV
7
1
7
1
7
2002sin )(
13
il
iiA VV
000004sin )(
14
il
iiA VV
)(
3
)(
2
43
43
2
)(
5
2
)(
4
21
)(
1
21
)(
1
26
16
66
12
22
11
1
20
20
0
0
Q
Q
AA
AA
A
Q
A
Q
AA
Q
AA
Q
U
U
VV
VVVU
VU
VVU
VVU
A
A
A
A
A
A
④【 0/602/-602 】 s ⑥【 452/-45】 T
计算方法同③。
QA)(
1111
QA)(
2222
QA)(
1212
QA)(
6666
02616 AA
⑦ 【 30/-30】 T 规则反对称层合板，利用公式（ 3－ 158），
)0( 2616
)(
外除 AAA Qij
ij
⑤【 45/45】 s 斜交铺设对称层合板，利用公式（ 3－ 34），
3-15. 解：由于平行移轴定理，欲使耦合刚度系数为零，即使02 0 ''
h
dABBdABB ijijijijijij 或
所以平移平面的距离应满足：
ij
ij
ij
ij
AhB
AB
d2
2' )(1212 h
dA
h
dBDD ijijijij
2)(12 12F(d)h
dA
h
dB ijij
设函数
求导，得2
' 24 12(d)Fh
dA
h
dB ijij
设 F’(d)=0, 得
ij
ij
A
hB
2d
*
0 11 A 故 D11
* 为极小值。
3-19. 解： (1) 计算【－ 60/0/60 】 s 的 Aij*( 可看作准各向同性层合板， P51) 。
GPaUAA Q 29.57)(
12211 GPaUA Q 07.18)(
412
GPaUA Q 61.19)(
566 02616 AA
(2) 计算【－ 60/0/60 】 s 的 aij*32
1266662211 )(57960)( GPaAAAAAA
1662211 )(01938.0
GPa
AAAa 16611
22 )(01938.0
GPa
AAAa
1661212 )(006114.0
GPa
AAAa
12
12221166 )(05099.0])([
GPa
AAAAa 02616 aa
(3) 计算面内应变MPaaij 1N , ,0B xijij 设由于
由式（ 3 － 15 ）求得，6
11
0 1038.19 xx Na 6
21
0 10114.6 xy Na
00 xy（ 4 ）计算各层的正轴应变①－ 60°层，由公式（ 2－ 24）
6020200202)60(
1 102595.0)2
3()
2
1( yxxyyx mnnm
6020200202)60(
2 100065.13)2
1()
2
3( yxxyyx mnmn
602200)60(
12 100785.22)(22 xyyx nmmnmn
②0º层600
1 1038.19 x 600
2 10114.6 y 00
12